V : Orbitales Atomiques

V : Orbitales Atomiques
1 L’atome d’hydrogène
a Résolution de l’équation de Schrödinger
hydrogénoïdes) dans le cadre du modèle de Bohr-Sommerfeld. Nous allons voir ici que les mêmes
nombres quantiques (n, l, ml         
contenterons donc de présenter les solutions sans en détailler le calcul.
-
En plaçant celui-         
 :
Etant le vecteur position
 :
de la distance et des angles directeurs et .
 :
 :

 :
sont de la forme :
On obtient alors trois équations interdépendantes :
et sont des constantes réelles.
La résolution de ces équations différentielles fait apparaître des conditions sur les constantes et .
Notamment :
et avec et entiers.
angulaire appelée harmonique sphérique :
entiers est la condition de quantification.
 :
est appelé nombre quantique orbital :
est le nombre quantique magnétique :
Ce sont les mêmes nombres quantiques que ceux du m
orbitales, en référence aux orbites du modèle de Bohr. Cependant il faut se souvenir que la position, la
 :
n colatitude :
 :

On range les orbitales en couches et sous-couches, comme vu au cours sur le modèle de Bohr :
, mais pas le nombre quantique de spin, 
une propriété intrinsèque des particules 
comme toutes les particules de type fermion, a un spin S=1/2, avec 2 valeurs possibles du nombre
quantique de spin : et        
m

Stern et Gerlach :
par un champ magnétique. Les atomes sont déviés vers le haut ou vers
seulement deux angles de déviation possible, donc seulement deux orientations possibles pour les
moments magnétiques.
b Forme des orbitales
  :
est le rayon de Bohr 
et sont des polynômes de degré et respectivement.
donne la dépendance en -ci évolue avec la
distance au noyau.             
conclusions suivantes sur les nombres quantiques :
- énergie et la « taille » 
- détermine la forme 
- détermine son orientation
α L’orbitale 1s
 :
Il y a alors une seule valeur de possible, , et donc On a dans ce cas :
angles et . Sa forme est donc sphérique.
La dépendance en r est représentée ci-dessous :

dans un volume élémentaire  point donné est .
Calculons maintenant la probabilité radiale  du noyau. La
probabilité de le trouver à une distance comprise entre et est la probabilité de le trouver à
rieur du  (voir figure), cest à dire :
étant le volume correspondant, c'est-à-dire celui de la sphère de rayon  .
étant petit devant :
donc