Validité de l`identité thermodynamique lors de mouvements collectifs

Validité de l'identité thermodynamique lors de mouvements
collectifs
La problématique qui donne du souci aux élèves ingénieurs et aux étudiants est ce que devient la validité de
l'identité thermodynamique
dU = T dS - P dV + etc.
quand apparaissent des mouvements collectifs des constituants ultimes (atomes, électrons, molécules, ions,
etc) de la matière. Je pense notamment aux gaz dans les moteurs, les turbines et autres objets technologiques,
et aussi au cosmos.
Considérons un système quasi-isolé en équilibre thermodynamique. Son environnement lui impose des
contraintes constantes aux fluctuations de détail près. Son entropie a atteint sa valeur maximale :
dS = 0.
Comme les contraintes sont constantes, il apparaît ce qu'on appelle en mécanique des "intégrales premières",
qui sont de grandeurs constantes (entre parenthèses la mention "ce" signifie que l'addition se fait en
parcourant le n° des composants ultimes) :
l'énergie E = somme (ce) des (1/2) m v² + somme (ce) des u,
la quantité de mouvement Pi = somme (ce) des m vi (i est le n° de la coordonnée, 1, 2 ou 3),
le moment cinétique Mi= somme (ce) des [x^(m v)]i où x^(m v) est le produit vectoriel du vecteur x par le
vecteur m v.
Supposons que des mouvements collectifs apparaissent dans le système, ce qui nous oblige à le
découper mentalement en blocs compacts assez petits pour qu'on puisse les assimiler temporairement à des
solides en mouvement et notons n le numéro de ces blocs. A chaque vitesse vi est ajouté un incrément
collectif Vi (le même pour tous les composants ultimes du bloc) et alors chaque intégrale première devient
(entre parenthèses la mention "n" signifie que l'addition se fait en parcourant le n° des blocs)
E = somme (ce) des (1/2) m v² + somme (ce) des u + somme* (n) des (1/2) m Vn²,
Pi = somme (ce) des m vi + somme (n) des m Vin,
Mi= somme (ce) des [x^(m v)]i + somme (n) des [xn^(m Vn)]i.
Quand on prend la moyenne de ces grandeurs, du fait du désordre des mouvements des composants
élémentaires, les valeurs vi s'évanouissent et il reste
E = somme (ce) des (1/2) m v² + somme (ce) des u + somme (n) des (1/2) m Vn²,
Pi = somme (n) des m Vin,
Mi= somme (n) des [xn^(m Vn)]i.
Question : existe-t-il des situations du système dans laquelle on ait à la fois équilibre thermodynamique et
existence de mouvements collectifs ? Pour répondre, on utilise un des plus étonnants théorèmes de Lagrange
: celui des multiplicateurs inconnus.
Considérons la quantité (entre parenthèses la mention "i" signifie que l'addition se fait en parcourant le n° 1,
2 ou 3 des coordonnées)
f = S + somme (i) des Ai Pi + somme (i) des Bi Mi.
Ici, A, et les Bi sont des multiplicateurs à ajuster.
Attention : les blocs sont compacts, ce qui permet de négliger les énergies potentielles de contact entre eux et
d'écrire
E = somme (n) En.
L'entropie du système est toujours la somme des entropies des blocs :
S = somme (n) des Sn.
Pas de difficulté pour la quantité de mouvement et le moment cinétique collectifs :
Pi = somme (n) Pin,
Mi = somme (n) Min.
Dans chaque bloc, l'entropie par définition ne dépend que de la partie interne de l'énergie (pour chaque bloc
de n° n, En est l'énergie, Un est l'énergie interne, Pin est la coordonnée n° i, Sn est l'entropie et mn est la
masse) :

Sn = Sn(Un) = Sn(En - somme (j) Pnj²/2 mn).
On a donc
f = somme (n) [Sn + somme (i) Ai Pin + somme (i) Bi Min].
Si l'entropie est maximale pour le système, alors les grandeurs Pi sont telles que
dS/dPin = 0
(les dérivées sont partielles) donc telles que
df/dPin = 0.
Premier terme entre crochets :
dSn/dPin = dSn/dEn dEn/dPin = - dSn/dUn Vin = - Vin/T.
Le second terme donne Ai.
Le troisième, après un calcul d'analyse vectorielle, donne la coordonnée n°i du produit vectoriel (B^xn)i.
On a
0 = -Vin/T + Ai + (B^xn)i
qui donne
Vin = T (B^xn)i + Ai.
C'est l'expression d'un corps en mouvement,ce mouvement étant la superposition d'une rotation et d'une
translation uniformes.
Les conséquences théoriques sont grisantes.
Tout système, même non solide, quasi-isolé et en équilibre thermodynamique se comporte comme un solide
abandonné à lui-même, donc en rotation et translation uniformes.
Tout système quasi-isolé non en équilibre thermodynamique et siège de mouvements collectifs divers va
s'équilibrer, donc va réduire progressivement la diversité de ces mouvements collectifs : c'est l'explication de
l'impossibilité du "mouvement perpétuel", des frottements qui arrivent à arrêter tout mouvement d'un corps
par rapport à son environnement.
Tout système quasi-isolé initialement en équilibre et forcé de quitter cet équilibre sera le siège de
mouvements collectifs divers : les gaz entraînent le rotor du moteur qui se met à tourner par rapport à son
milieu, le stator ; la convection dans la marmite sur le feu débute, etc.
Les élèves ingénieurs motoristes sont confrontés à la relation de Barré de Saint-Venant dont
l'établissement pose le délicat problème de la validité de l'identité thermodynamique
dU = T dS - P dV + etc,
en présence de mouvements collectifs divers. Disons pour simplifier un corps bougeant par rapport à un
milieu, le tout étant quasi-isolé. Si on retourne le sens des mouvements, l'équilibre thermodynamique est
rompu et l'entropie S du tout diminuera. Une démarche analogue à celle de mon précédent message démontre
que dS/dt est une fonction quadratique des vitesses des mouvements collectifs divers, donc qu'il existe un
seuil en dessous duquel l'entropie reste à sa valeur maximale (à une quantité négligeable près). De plus, le
développement limité dS/dt par rapport aux vitesses donnent les ébauches des relations hydrodynamiques
des régimes laminaires (forces de frottement proportionnelles à la vitesse) et turbulents (forces de frottement
proportionnelles au carré de la vitesse).
En cosmologie, une masse de gaz en équilibre est à température uniforme et est en rotation et
translation uniformes. Mais la gravitation s'oppose à une telle situation et ajoute une diversité de
mouvements collectifs, ce qui éloigne la masse de son équilibre thermodynamique, donc en particulier crée
des gradients de température, de pression et de densité de matière, donc fait vivre le cosmos. La mort
thermique de l'univers n'aura jamais lieu !
En chimie on a une situation analogue : l'uniformité des températures, des pressions, des concentrations peut
mécaniquement être rompue. Ainsi naît et s'entretient l'hétérogénéité naturelle des matériaux de la terre.
Cordialement, Denis Chadebec