Préceptorat de Mécanique des Fluides Trajectoire des cyclones

Préceptorat de Mécanique des Fluides
Trajectoire des cyclones tropicaux
16 mai 2001
1. Dynamique bi-dimensionnelle
Pour comprendre certains comportements dynamiques des tourbillons
atmosphériques on peut utiliser, en première approximation, un modèle très simple. Ce
modèle (couramment appelé: 2D-Barotrope) repose sur les approximations suivantes:
a - on considère un fluide inviscide et incompressible;
b - l'écoulement est bi-dimensionnel.
1.1 Estimer les tailles caractéristiques (verticale et horizontale), le nombre de Reynolds et
le nombre de Mach pour des tourbillons atmosphériques caractéristiques: cyclones (pour
tout savoir sur les cyclones: http://www.aoml.noaa.gov/hrd), dépression, anticyclones.
Justifier les approximations a et b.
1.2 Ecrire l'équation d'Euler à deux dimensions et en déduire l'équation de conservation de
la vorticité:
D!
(1)
=0
Dt
"v
"v
avec ! = y # x .
"x
"y
1.3 Montrer que le champ de vitesse peut s'écrire sous la forme:
"#
"#
vx = !
,v y =
(2)
"y
"x
avec une fonction de courant ψ(x,y). Calculer le produit scalaire V.grad! . A quoi
correspondent les lignes ψ(x,y)=Cst dans le cas d'un écoulement stationnaire ?
1.4 Calculer la fonction de courant ψ(r,θ) d'un vortex ponctuel (vorticité nulle sauf en r=0)
de circulation Γ0. Quelle est sa dynamique, est-il stationnaire ?
1.5 Quelle est la trajectoire et la vitesse d’un vortex ponctuel placé dans un écoulement
uniforme U? En déduire la dynamique d'une paire de vortex ponctuel de signe opposé
(+Γ0,- Γ0) séparé par la distance d ?
2. Dynamique bi-dimensionnelle sur le globe
Afin de reproduire certains effets dynamiques il est nécessaire de prendre en compte la
rotation de la planète et la géométrie sphérique de celle-ci. On se place alors dans un repère
localement cartésien (Ox est dirigé vers l'Est et Oy vers le Nord) en un point M de la
surface du globe.
2.1 Montrer, dans le cadre du modèle 2D barotrope, que l'équation de conservation de la
vorticité s'écrit alors:
D(! + f)
(3)
=0
Dt
f = 2! o sin "
(4)
avec ω la vorticité relative dans le référentiel lié au point M, Ωo la rotation planétaire et θ
la latitude du point M.
2.2 En coordonnées cartésiennes (x,y) les variations de f s'écrivent, au premier ordre :
f ! fo + "y
(5)
Pour quelle taille de tourbillon cette approximation (couramment appelée: plan-beta) est
valide ? Calculer fo et β. Dans quelle région du globe β est-il le plus intense ?
2.3 Montrer que l'équation (3) s'écrit sous la forme:
!"#
!#
+ aJ(#,"# ) + b
=0
!t
!x
avec l'opérateur Jacobien J( f, g) =
(6)
!f !g !g !f
"
. Calculer les coefficients a et b.
!x !y !x !y
2.4 On considère un tourbillon axisymétrique !(x, y) = ! 0 (r) ayant une distribution de
vorticité quelconque, calculer le terme J( ! 0 , "! 0 ) . Dans quelle région du globe peut-on
avoir un tourbillon axisymétrique stationnaire? Donner un exemple.
2.5 On considère un tourbillon ponctuel aux latitudes tropicales (θ~20°N) dont la vorticité
est proche de fo. Entraîné par la circulation atmosphérique à grande échelle celui-ci peut se
déplacer en latitude (vers le Nord ou le Sud). Montrez qu’il existe une latitude limite au
delà de laquelle le tourbillon change de signe.
3. Essayons de comprendre la trajectoire des cyclones
3.1 Pour calculer l'évolution initiale d'un tourbillon axisymétrique ! 0 (r) on utilise un
développement de Taylor de la fonction de courant:
2
!(x, y,t) = ! 0 (r) + (t " o )!1 (x,y) + ( t " o ) ! 2 (x,y) + ...
ro
avec ! o = 1 "ro , ro étant une taille caractéristique du tourbillon. Montrez à l’aide de
l’équation (6) que ! 1 se déduit directement de ! 0 . Justifier l’introduction du temps
caractéristique ! o et estimez celui-ci pour un cyclone tropical (θ~20°N et ro ! 20km ).
Discutez la validité de ce développement.
3.2 On choisi un tourbillon initial défini par :
(
! o ( r) = 14 " o r 2 # ro 2
(
)
; r $ ro
! o ( r) = 16 " o ro 2 1 # (ro r)3
)
; r % ro
en déduire ! 1 (r,") . Quel type de symétrie vérifie la fonction ! 1 ? Dessinez
qualitativement l'allure des lignes de courant ! 1 = Cst lorsque r >> ro .
3.3 Une fois que la composante ! 1 de l’écoulement apparaît, on peut essayer d’évaluer
qualitativement l’interaction entre ! 1 et ! 0 . Calculer la vitesse induite par ! 1 sur le centre
du tourbillon initial ! o . Réciproquement, comment le tourbillon initiale oriente la
composante ! 1 après sa formation? En déduire la trajectoire initiale d'un cyclone généré à
une latitude tropicale dans l'hémisphère Nord. Quelle est la trajectoire initiale d'un cyclone
identique dans l'hémisphère Sud ?
Rappel coordonnées cylindriques :
# $ #" & 1 #2 "
!" = 1r
r
+ 2
#r % #r ' r #(2
#"
#" sin(
= cos(
)
#x
#r
r
#"
#" cos(
= sin (
+
#y
#r
r
#"
#(
#"
#(
3.4 Discuter la trajectoire du cyclone Floyd ci-dessous :
4. Pourquoi ce type de modèle est-il "très loin" de prédire la trajectoire réelle des cyclones ?