Électromagnétisme en régime variable Notes de cours
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physique année scolaire 2014/2015 Électromagnétisme en régime variable Notes de cours mardi 27 janvier 2015 expérience de cours L'induction électromagnétique Le déplacement d'un aimant à proximité d'une bobine induit une force électromotrice aux bornes de celleci. à installer mardi 27 janvier 2015 en salle L111. Figure 1 L'induction électromagnétique spé PC page n ◦ 1 Janson de Sailly physique I- 1. année scolaire 2014/2015 Lois générales de l'électromagnétisme Conservation de la charge théorème 1 Densités volumiques de charge et de courant Dans d3 τ , il y a nk .d3 τ Si les particules de type particules de type k k. ⇒ nk ont une charge qk et une vitesse ~vk , X X ρ= nk .qk et ~j = nk .qk .~vk de densité k alors k théorème 2 Equation locale de conservation de la charge V ) fermé, c'est-à-dire n'échangeant pas de matière avec l'extérieur, la charge ρ(M ).d3 τ varie à cause du courant I qui traverse la surface fermée qui délimite ZZZ ZZ ZZZ −−→ dQ ∂ρ 3 = d τ = − ~j.d2 Σ = − div~j.d3 τ dt ∂t pour un système (volume électrique le volume Q= V RRR M ∈V ⇒ ∂ρ + div ~j = 0 ∂t exercice 3 Conservation de la charge en régime permanent Montrer que dans le cas permanent, la conservation de la charge permet de retrouver la loi des n÷uds. V ) fermé, qui s'appuie ZZ −−→ X dQ = 0 = − ~j.d2 Σ = Ij dt j En régime permanent, pour un système (volume 2. dur un tube de courant Équations de Maxwell Les charges et courants, sources du champ électromagnétique schéma La gure 2 représente l'unication de l'électricité et du magnétisme dans un même formalisme par Maxwell en 1862. Comment charges et courants génèrent les champs électrique et magnétique ?. Vous pouvez retrouver le schéma animé sur le site alain.lerille.free.fr. dénition Equations de Maxwell ~ =0 div B ρ ~ Maxwell Gauss : div E = ε0 ~ −→ ~ Maxwell Faraday : rot E = − ∂∂tB ~ −→ ~ Maxwell Ampère : rot B = µ0 .~j + µ0 .ε0 . ∂∂tE Maxwell ux : Constantes fondamentales de l'électromagnétisme avec : • Permittivité du vide : ε0 = 8, 85 × 10−12 F · m−1 • Perméabilité du vide : µ0 = 4π × 10−7 H · m−1 • Vitesse de la lumière dans le vide : spé PC c= √ 1 ε0 µ0 s'y retrouver = 3, 00 × 108 m · s−1 page n ◦ 2 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 Figure 2 Les charges et courants, sources du champ électromagnétique exercice 4 Conservation de la charge et équations de Maxwell B Vérier que l'équation de conservation locale de la charge est donnée par les équations de Maxwell. Maxwell Gauss ∂ρ soit ∂t = ~ ⇒ ρ = ε0 div E ~ ε0 div ∂∂tE ~ −→ ~ − ~j . ⇒ ε0 . ∂∂tE = µ10 rot B −→ ~ − div~j . = µ10 div rot B Or Maxwell Ampère' Donc ∂ρ ∂t Comme la divergence d'un rotationnel est nulle, on trouve bien : ∂ρ ∂t + div~j = 0. exercice 5 Conséquences de l'équation de Maxwell-Faraday B B Démontrer la loi de Faraday grâce à l'équation de Maxwell-Faraday. Montrer que le champ électrique ne dérive pas en général d'un potentiel scalaire. ~ −→ ~ = − ∂∂tB ⇒ B rot E I où B φ= RR avec la formule de Stokes : ZZ − −→ ~ → rot E d` = ~ ∂B − ∂t ! −− → ∂ d2 S = − ∂t Z Z −−→ ~ d2 S B =− dφ dt −−→ ~ d2 S . B Le champ électrique ne dérive pas en général d'un potentiel scalaire car ~ ∂B −−→ −→ −→ ~ rot −gradV = ~0 6= − = rot E ∂t spé PC page n ◦ 3 Janson de Sailly physique 3. année scolaire 2014/2015 Force et énergie électromagnétiques L'action du champ électromagnétique sur les charges et courants schéma La gure 3 représente les champs électrique et magnétique qui inuent sur les charges et courants.. Vous pouvez retrouver le schéma animé sur le site alain.lerille.free.fr. Figure 3 L'action du champ électromagnétique sur les charges et courants spé PC page n ◦ 4 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 théorème 6 Densité volumique de force ~k = qk E ~ + ~vk ∧ B ~ . Dans d3 τ , il y a nk .d3 τ Pour une particule de type k , f particules de type k . Donc, globalement : d3 f~ = X nk .f~k .d3 τ = X k donc ~ 3 τ + nk .qk .~vk ∧ B.d ~ 3τ nk .qk .E.d k ! X 3~ d f= nk .qk ! X ~ τ+ E.d 3 k nk .qk .~vk ~ 3 τ = ρ.E.d ~ 3 τ + ~j ∧ B.d ~ 3τ ∧ B.d k ⇒ La densité volumique de force électromagnétique (en N · m−3 ) est d3 f~ ~ + ~j ∧ B ~ = ρ.E d3 τ théorème 7 Densité volumique de puissance : Pour une particule de type ~. k , Pk = f~k .~vk = qk .~vk E Dans 3 d τ, il y a 3 nk .d τ particules de type k. Donc, globalement : d3 P = X nk .Pk .d3 τ = k X ~ 3τ = nk .qk .~vk .E.d ! X k nk .qk .~vk ~ 3 τ = ~j.E.d ~ 3τ E.d k ⇒ La densité volumique de puissance de l'interaction électromagnétique (en W.m−3 ) est d3 P ~ ~ = j.E d3 τ Le champ électromagnétique cède une puissance à la matière du fait des forces de Lorentz. C'est l'eet Joule. Pour un volume V, la puissance dissipée est ZZZ Pd = ~ 3τ ~j.E.d s'y retrouver Bilan énergétique global Ce qui précède prouve que le champ électromagnétique a une certaine énergie. Pour un volume ZZZ Eem = où eem eem .d3 τ est la densité volumique d'énergie électromagnétique (en Pour un volume V, délimité par une surface fermée Pour un volume V, le bilan énergétique est J · m−3 ). Σ, on appelle ZZ −−→ ~ d2 Σ Pr = Π. − V, puissance rayonnée dEem = Pd + Pr dt Interprétation optique du vecteur de Poynting s'y retrouver On peut associer : • le ux du vecteur de Poynting (ou puissance rayonnée) en électromagnétisme, • et l'intensité lumineuse en optique. spé PC page n ◦ 5 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 théorème 8 Bilan énergétique local − ∂eem dEem ~ + ~j.E ~ = P d + Pr ⇔ − = div Π dt ∂t ⇒ On admet que localement (en M ), le champ électromagnétique a une énergie volumique (en eem (M ) = J · m−3 ) ε0 .E(M )2 B(M )2 + 2 2.µ0 qu'on peut décomposer en ε0 .E(M )2 , 2 • densité d'énergie électrique • et densité d'énergie magnétique B(M )2 2.µ0 , On admet aussi que le vecteur de Poynting (en W · m−2 ) est : ~ ~ =E ~∧ B Π µ0 Localement, le bilan énergétique est − ∂eem ~ + ~j.E ~ = div Π ∂t 9 Bilan énergétique et équations de Maxwell B exercice Vérier que le bilan énergétique local pour le champ électromagnétique est donné par les équations de Maxwell. −→ ~ rotB − ε ∂ E~ .E ~ 0 ∂t µ0 ~ − → ~ → ~ E ~ = B~ .− div Π E − B rot . rot µ0 µ0 donc : ~ = ~j.E ~ ~ → ~ ~ ~ ~ + div Π ~ = −ε0 ∂ E E ~ + B .− ~ = −ε0 ∂ E E ~ − B ∂B ~j.E rot E ∂t µ0 ∂t µ0 ∂t d'après Maxwell Faraday. Or − spé PC ~ ~ ~ ∂eem ∂E ~ − B ∂B = −ε0 E ∂t ∂t µ0 ∂t page n ◦ 6 Janson de Sailly physique 4. année scolaire 2014/2015 Cas des régimes lentement variables dénition Approximation des Régimes Quasi Stationnaires Approximation des L' Régimes Quasi Stationnaires (ou ARQP : approximation des régimes quasi - permanents). consiste à se placer dans un régime périodique de pulsation en régime permanent, quand ω = 0, ω très faible. Tout se passe presque comme sauf que le régime est variable. Il s'agit de négliger les phénomènes ondulatoires : dans l'ARQS, les ondes électromagnétiques, à l'instant t, se trouvent dans le même état d'onde quel que soit le point M (déni par le vecteur −−→ ~r = OM ) : ψ (~r, t) = ψm . cos ω.t − ~k.~r − ϕ ≈ ψm . cos (ω.t − ϕ) = ψ (t) Négliger la propagation par rapport à la variation temporelle revient à tout r du dispositif. Or ~k.~r ≈ 0 ⇔ r λ ≈0⇔rλ pour r 6 D. λ Ainsi, tout régime sinusoïdal de longueur d'onde naires (ARQS) si et seulement si Dλ où D vériera l'approximation des régimes quasi station- est la taille caractéristique du dispositif. s'y retrouver L'ARQS est un régime de basse fréquence ν= Le régime sinusoïdal de longueur d'onde λ c ω = 2.π λ a, dans le vide, une pulsation que : ν ω (et une fréquence ν) telles c D L'ARQS est donc l'ensemble des régimes de susamment basse fréquence. Dans la vie courante, l'utilisation d'un montage électrique sur une paillasse de taille ν 3 × 108 Hz gnaux électriques de fréquences inférieures à spé PC D ∼ 1m donne : . Ainsi, l'utilisation d'un générateur basses fréquences ("généBF", qui délivre des si- 5 MHz) page n ◦ nous place dans l'ARQS. 7 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 théorème 10 Charge dans un conducteur dans l'ARQS ∂ρ La loi de conservation locale de la charge ∂t + div~j = 0 devient dans les conducteurs ∂ρ ~ = ∂ρ + γ ρ + γdiv E ∂t ∂t ε0 0= d'après l'équation de Maxwell Gauss. Aussi, tout excès (ou défaut) de charge initial un temps caractéristique θ= ε0 γ ∼ 10−18 s T , ρ0 va relaxer avec la période du régime dans l'ARQS. t ρ = ρ0 .e− θ ⇒ ρ ' 0 On voit donc que la charge des conducteurs dans l'ARQS est quasiment nulle Dans les conducteurs dans l'ARQS, ⇒ ρ ≈ 0. théorème 11 Courants dans un conducteur dans l'ARQS ∂ρ La loi de conservation locale de la charge ∂t div ~j ≈ 0, ce qui impose la conservation du + div~j = 0 devient dans les conducteurs dans l'ARQS ux de ~ j sur un tube de ~j (un l électrique). ⇒ Dans les conducteurs dans l'ARQS, on vérie : • la loi des n÷uds ; • I = cste dans une branche électrique. 12 Equation de Maxwell Ampère dans un conducteur en ARQS théorème l'équation de Maxwell Ampère, dans l'ARQS, est : ~ = µ0 .(~j + ~jD ) ~ B rot Les courants de déplacement sont ~jD ~ ~jD = ε0 . ∂ E ∂t ~ ε0 ∂~j θ ∂E = ⇒ k~jD k ∼ k~jk k~jk = ε0 . ∂t γ ∂t T ⇒ Les courants de déplacement sont négligeables devant les courants électriques dans l'ARQS, on peut écrire : ~ ≈ µ0 .~j ~ B k~jD k k~jk ⇒ rot s'y retrouver Champs magnétiques dans l'ARQS On pourra étendre le domaine de validité des expressions des champs magnétiques obtenues en régime stationnaire au cas de l'ARQS : toutes les expressions de dans l'ARQS en remplaçant l'intensité Le fait que spé PC ~ = µ0 .~j + ~ B rot ~ 1 ∂E c2 ∂t i par ≈ µ0 .~j ~ B obtenues en magnétostatique restent valables i(t). fait que l'on appelle ce régime "ARQS magnétique". page n ◦ 8 Janson de Sailly physique II- 1. année scolaire 2014/2015 Conducteurs ohmiques Loi d'Ohm Actions subies par les électrons libres d'un conducteur ohmique s'y retrouver Les électrons libres dans un métal xe subissent : • l'action de l'agitation thermique et des défauts du réseau xe (les ions) sous la forme d'une force −m~ v où τ phénoménologique de la forme • τ est le temps caractéristique de relaxation des électrons ; l'action du champ électromagnétique sous la forme de la force de Lorentz : magnétique étant bien souvent négligeable pour une onde car alors ~ = B ~ − e~v ∧ B ~, −eE v c. exercice 13 Démonstration de la loi d'Ohm locale B la partie ~ E c , avec En étudiant le comportement des électrons, montrer qu'un conducteur plongé dans un champ élec- trique ~0 E constant suit : ~ 0. ~j = γ.E En régime permanent, pas d'accélération, donc −m~v ~ 0 = ~0 ⇒ ~v = −τ e E ~0 − eE τ m Or comme les ions sont xes, 2 ~0 ~j = −e ne ~v = ne τ e E m dénition Loi d'Ohm locale Un conducteur en magnétostatique plongé dans un champ électrique ~0 E suit la loi d'Ohm locale : ~0 ~j = γ.E où γ est la conductivité électrique du métal (en S · m−1 ). exercice 14 Loi d'Ohm globale B I= 2. Déterminer la résistance d'un conducteur cylindrique de longueur RR −− → ~j d2 S = γE0 .S et U= R −−→ → − gradV d` = `.E0 . Donc : U = R.I avec `, de section R= S, de conductivité γ. ` γ.S . Eet Joule exercice 15 De la puissance dissipée à l'eet Joule B Exprimer la puissance volumique dissipée par eet Joule dans un conducteur ohmique. B Comparer la puissance totale dans un conducteur liforme de section S et de longueur ` à celle dissipée par eet Joule dans ce même conducteur ohmique. B La puissance volumique dissipée par eet Joule dans un conducteur ohmique est 2 ~ = γ E2 = j ~j.E γ B La puissance totale dans un conducteur liforme de section Ptot = S ` S et de longueur ` est donc j2 I2 ` 2 =S` = I γ γ S2 γS On retrouve bien la puissance dissipée par eet Joule dans ce même conducteur ohmique : spé PC page n ◦ 9 R I2 avec R= ` γS. Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 s'y retrouver Interprétation électrique de la puissance dissipée On peut associer : • la puissance transférée du champ électromagnétique à la matière par des forces de Lorentz en électromagnétisme, • 3. et la puissance dissipée par eet Joule en électricité. Eet Hall schéma Eet Hall La gure 4 représente l'eet de l'application d'un champ magnétique perpendiculairement à la plus grande face d'une plaquette dans laquelle circule un courant.. Vous pouvez retrouver le schéma animé sur le site alain.lerille.free.fr. Figure 4 Eet Hall s'y retrouver Loi de l'eet Hall Entre les bords d'une plaquette de Hall parcourue par un courant B I plongée dans un champ magnétique existe une tension de Hall UH = I.B I.B = RH n.e.b b avec la constante de Hall : RH = 1 n.e La constante de Hall des conducteurs est très faible, par contre celle des semi-conducteur est plus grande. Aussi, on utilise des sondes de Hall formée d'une plaquette de semi-conducteur qui permet, par la mesure de la tension de Hall, de déduire le champ magnétique. spé PC page n ◦ 10 Janson de Sailly physique III- 1. année scolaire 2014/2015 Rappels sur l'induction Induction dans un circuit électrique Equivalent du conducteur liforme en électrocinétique schéma La gure 5 représente la modélisation d'un l électrique. On pourra remplacer dans tout circuit un conducteur liforme par son équivalent en électrocinétique, c'est à dire un conducteur ohmique en série avec un générateur parfait de tension. Figure 5 Equivalent du conducteur liforme en électrocinétique à retenir Loi de Faraday soit un circuit orientée dans C orienté. La force électromotrice ("fém") d'induction qui correspond à ce circuit liforme, le sens de C est : ZZ −−→ ∂φ ~ d2 S B. eem = − où φ= ∂t est le ux du champ magnétique ~ B à travers la surface S qui s'appuie sur le contour fermé orienté C et qui est orientée par lui. à retenir Loi de Lenz L'eet des courants induits (c'est à dire le champ magnétique qu'ils créent) s'oppose à la cause qui leur a donné naissance (c'est à dire aux variation du champ magnétique inducteur). La loi de Lenz est une loi de modération (il y a rétroaction négative). vidéo Principe de l'alternateur : pour induire une diérence de potentiel (et un courant), il sut de faire varier le ux du champ magnétique à travers une bobine. Pour cela, deux possibilités : • soit on fait tourner l'aimant permanent (qui est le rotor), la bobine restant xe (c'est le stator), on est alors dans le cas de l'induction de Neumann ; • soit on garde xe l'aimant permanent (qui est cette fois-ci le stator), et on fait tourner dans son voisinage la bobine (qui est alors le rotor), et on se trouve dans un cas d'induction de Lorentz. Dans les deux cas, l'énergie cinétique d'un axe (le rotor) est convertie en travail électrique : l'alternateur est un convertisseur électromécanique. Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr. spé PC page n ◦ 11 Janson de Sailly physique 2. année scolaire 2014/2015 Circuits couplés s'y retrouver Circuits couplés On considère deux circuits liformes orientés (C1 et C2 ), parcourus par des courants φ1→2 = M.i1 M i2 . φ2→1 = M.i2 et qui s'exprime en henrys (H ) est positive ou négative suivant les conventions d'orientation des deux circuits C1 et C2 . dénition Inductance propre φ1→1 = L1 .i1 L'inductance et dénition Inductance mutuelle L'inductance mutuelle i1 φ2→2 = L2 .i2 et L, s'exprime en henry (H ), elle est toujours positive, et ne dépend que des caractéristiques géométriques des circuits (pas des conventions d'orientation). s'y retrouver Coecient de couplage : on peut poser la grandeur sans dimension : k=√ |M | L1 .L2 (k ∈ [0; 1]) Cas du couplage nul : il n'y a aucun couplage entre deux circuits si mutuelle est nulle (M = 0). k = 0, c'est à dire si leur inductance C'est le cas par exemple une bobine est susamment éloignée de l'autre pour ne pas ressentir le champ magnétique créé par celle-ci. Cas du couplage optimal : le couplage optimal, au contraire est obtenu pour un coecient de couplage maximal (k = 1), ce qui demande que tout le champ magnétique créé par une bobine intervienne dans le ux de l'autre. En pratique, pour réaliser cela, on utilise un noyau de fer doux autour duquel on réalise les deux bobinages. Les propriétés ferromagnétiques du fer font que la quasi-totalité du champ magnétique est alors dans le noyau. 3. Bobines s'y retrouver Auto-induction une bobine ("self" ou "auto-induction", ou encore "induction") parcourue par un courant assimilée à un circuit liforme orienté i peut être C. Si d'autres bobines interviennent, on supposera leur mutuelle nulle, an de n'avoir à considérer que l'inductance propre. exercice 18 Caractéristique électrique d'une bobine B Montrer que la tension aux bornes d'une bobine est : u = R.i + L. di dt en convention récepteur. B La tension aux bornes d'un l électrique R.i − e, où e = − dφ dt est la force électromotrice φ = L i. spé PC de résistance R, page n ◦ 12 i est u = di u = R.i + L. dt car parcouru par un courant électrique ("fém") d'induction. Aussi, on trouve bien Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 exercice 19 Étude énergétique d'une bobine On rappelle que le champ magnétique qui règne dans une bobine constituée de longueur parcourues par un courant B I est B = µ0 n I . N spires par unité de le nombre de spires, et S B B Établir les expressions de l'inductance propre grâce au ux du champ magnétique. ` la longueur la section de la bobine. Vérier le précédent calcul grâce à l'énergie magnétique dans la bobine. Le ux est φ = N S B = N µ0 donc l'inductance est B On notera n L = µ0 N 2 SN I = LI ` S `. L'énergie magnétique est 2 Em = donc l'inductance est 1 B2 1 (µ0 n I) 1 1 N 2 1 S` = S` = S ` µ0 n2 I 2 = S N µ0 I = L I2 2 µ0 2 µ0 2 2 ` 2 L = µ0 N 2 S `. s'y retrouver Continuité du courant dans une bobine : La continuité temporelle de l'énergie assure la continuité du courant i dans la bobine. vidéo "Inertie" du courant à cause de la présence d'une bobine : L'énergie emmagasinée dans une bobine peut être mise en évidence par le ash envoyé par une diode électroluminescente après que le générateur qui alimentait cette bobine soit mis hors fonction. Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr. remarque Il ne faut donc jamais mettre un interrupteur dans la même maille qu'une bobine au risque de crééer des étincelles. s'y retrouver Caractéristiques techniques d'une bobine pour avoir une inductance dire augmenter L respectable, on a tout intérêt à réaliser de nombreux bobinages (c'est à N ). D'autre part, l'introduction d'un noyau de fer doux aura pour conséquence de multiplier la valeur de la perméabilité du vide µ0 par la perméabilité magnétique relative de ce matériau, très élevée. tableau Exemples de perméabilités magnétiques relatives Le tableau 1 présente quelques valeur de perméabilités relatives. Matériau µr Cobalt Fer Mu-métal Nickel 250 10000 10000 600 Table 1 Perméabilité magnétiques relatives (maximales) de quelques matériaux ferromagnétiques à 20◦ C spé PC page n ◦ 13 Janson de Sailly physique 4. année scolaire 2014/2015 Transformateur photo Caractéristiques technique d'un transformateur Un transformateur est réalisé par le bobinage de deux circuits liformes orientés autour d'un cadre de fer doux qui canalise -presque- tout le champ magnétique. Ce noyau de fer est bien souvent feuilleté an d'éviter les courants de Foucault en son sein (et donc les "pertes fer"). dénition Transformateur idéal Les résistances du primaire et du secondaire d'un transformateur idéal sont nulle : R1 = R2 = 0. D'autre part, on supposera que tout le champ magnétique est canalisé par le noyau de fer doux : où φ φ→1 = N1 .φ φ→2 = N2 .φ est le ux du champ magnétique à travers une unique spire n'importe où autour du cadre de fer doux. On peut en déduire que k = 1, u2 u1 = N2 i2 N1 et i1 = N1 N2 . schéma Schéma de distribution du courant. La gure 6 représente un bon et un mauvais schéma de distribution du courant. Supposons en eet que EDF distribue l'électricité simplement, depuis la centrale électrique jusqu'à l'utilisateur (simulé par une résistance Ru ) avec des ls électriques (pris en compte par une résistance La puissance dissipée par eet Joule dans les ls est Pf = Rf .i2u , Rf ). où iu est l'intensité distribuée à l'utilisa- teur. Cette puissance dissipé dans les l serait de l'ordre de grandeur de celle récupérée par l'utilisateur. De surcroît, la chute ohmique de celle donnée par la centrale uf serait uc . telle que la tension récupérée par l'utilisateur uu serait diérente En fait, EDF élève la tension grâce à plusieurs transformateurs élévateurs (le schéma de la gure ?? pour plus de clarté n'en présente qu'un) avant d'acheminer sur ses lignes (Rf ) la puissance électrique, puis distribue au consommateur après une diminution de la tension grâce à des transformateurs abaisseurs. Ainsi, la puissance dissipée par eet Joule dans les ls est maintenant négligeable devant celle récupérée par l'utilisateur. De plus, la chute ohmique est négligeable : u00f ≈ 0 (i0f ≈ 0). Ainsi, la uc (soit 220V ecaces). tension récupérée 0 par l'utilisateur uu est quasiment celle donnée par la centrale spé PC page n ◦ 14 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 Figure 6 Schéma de distribution du courant. Technique à maîtriser jeudi 29 janvier 2015 I- 1. Les capacités exigibles Généralités sur l'électromagnétisme capacités ce qu'il faut savoir faire Exprimer ρ et ~j en fonction de la vitesse moyenne des porteurs de charge, de leur charge et de leur densité volumique. Établir l'équation traduisant la conservation de la charge dans le seul cas d'un problème unidimensionnel en géométrie cartésienne. Citer et utiliser une généralisation (admise) en géométrie quelconque utilisant l'opérateur divergence, son expression étant fournie. Exploiter le caractère conservatif du vecteur ~j en régime stationnaire. Relier ces propriétés aux lois usuelles de l'électrocinétique. Utiliser les équations de Maxwell sous forme locale ou intégrale. Faire le lien entre l'équation de MaxwellFaraday et la loi de Faraday utilisée en PCSI. Utiliser les grandeurs énergétiques pour faire des bilans d'énergie électromagnétique. Associer le vecteur de Poynting et l'intensité utilisée en optique. Discuter la légitimité du régime quasi-stationnaire. Simplier les équations de Maxwell et l'équation de conservation de la charge et utiliser les formes simpliées. Étendre le domaine de validité des expressions des champs magnétiques obtenues en régime stationnaire. spé PC page n ◦ 15 Janson de Sailly physique 2. année scolaire 2014/2015 Forces électromagnétiques capacités ce qu'il faut savoir faire −m~ v τ ) un ordre de grandeur de τ et en déduire un critère de validité du modèle en régime variable. Déduire du modèle un ordre de grandeur de v et en déduire un critère pour savoir Déduire du modèle (force s'il convient de prendre en compte un éventuel champ magnétique. Interpréter qualitativement l'eet Hall dans une géométrie rectangulaire. Exprimer la puissance volumique dissipée par eet Joule dans un conducteur ohmique. Évaluer les ordres de grandeur des forces électrique ou magnétique et les comparer à ceux des forces gravitationnelles. Savoir qu'un champ électrique peut modier l'énergie cinétique d'une particule alors qu'un champ magnétique peut courber la trajectoire sans fournir d'énergie à la particule. Mettre en équation le mouvement dans un champ électrostatique homogène ou un champ magnétostatique homogène. Eectuer un bilan énergétique pour calculer la vitesse d'une particule chargée accélérée par une diérence de potentiel. 3. Induction électromagnétique capacités ce qu'il faut savoir faire Évaluer le ux d un champ magnétique uniforme à travers une surface s'appuyant sur un contour fermé orienté plan. Utiliser la loi de Lenz pour prédire ou interpréter les phénomènes physiques observés. Utiliser la loi de Faraday en précisant les conditions d'algébrisation. Évaluer et connaître I'ordre de grandeur de l'inductance propre d'une bobine de grande longueur, le champ magnétique créé par une bobine innie étant donné. Conduire un bilan de puissance et d'énergie dans un système siège d'un phénomène d'auto-induction en s'appuyant sur un schéma électrique équivalent. Déterminer l'inductance mutuelle entre deux bobines de même axe de grande longueur en inuence totale , le champ magnétique créé par une bobine innie étant donné. II- 1. Méthodes Généralités sur l'électromagnétisme A) Simplication des équations dans l'ARQS • Conservation de la charge : • Maxwell Flux : • Maxwell • Maxwell • Maxwell spé PC div~j = − ∂ρ ∂t ≈0 méthode dans l'ARQS, ~ = 0, div B ~ = ρ ≈ 0 dans l'ARQS, Gauss : div E ε 0 ~ −→ ~ ∂B Faraday : rot E = − ∂t , ~ −→ ~ Ampère : rot B = µ0 .~j + µ0 .ε0 . ∂∂tE ≈ µ0 .~j page n ◦ 16 dans l'ARQS. Janson de Sailly physique 2. année scolaire 2014/2015 Forces électromagnétiques méthode B) Interaction dans un conducteur ohmique On prend comme système un électron. Il subit : • l'action de l'agitation thermique et des défauts du réseau xe (les ions) sous la forme d'une force phénoménologique de la forme −m~ v où τ τ est le temps caractéristique de relaxation des électrons ; • l'action du champ électromagnétique sous la forme de la force de Lorentz : • le poids est négligeable. La densité volumique de courant peut s'écrire ~ − e~v ∧ B ~. −eE ~j = ne (−e) ~ve . méthode C) Mouvements de particules chargées Pour les mouvement dans un champ Pour les mouvement dans un champ ~, E ~ B, tout se passe comme dans le cas de la chute libre. il faut utiliser le théorème de l'énergie cinétique et le repère de Frénet. Pour les mouvement dans un champ ~ E 3. ~ E et un champ ~, B il faut se placer dans le référentiel où le champ est nul. Induction électromagnétique méthode D) Induction dans un l électrique La force électromotrice ("fém") d'induction qui correspond à ce circuit liforme, orientée dans le sens de C est : eem = − est le ux du champ magnétique ~ B ZZ ∂φ ∂t φ= où à travers la surface S −−→ ~ d2 S B. qui s'appuie sur le contour fermé orienté C et qui est orientée par lui. Attention de ne pas oublier de multiplier par le nombre de spires du contour. III- 1. Exercices Généralités sur l'électromagnétisme 1.1) Noyau radioactif β − On considère une source (très petite, en O, centre d'un repère sphérique), de césium 137 radioactif 137 55 Cs β− : ∗ →0−1 e− +137 56 Ba A = 0, 185M Bq . O ? Application numérique. volumique de courant ~ j . Que vaut numériquement ~j Son activité (nombre de désintégration par seconde) est 1) 2) Quelle est l'intensité I qui traverse une sphère de centre Exprimer dans le repère sphérique la densité r = 10cm 1) 2) à de la source ? I = A.qe = −3, 0.10−14 A. RR −−→ qe .A I = ~j.d2 Σ ⇒ ~j = 4.π.r er . r = 10cm ⇒ ~j = 2, 4.10−13 A.m−2 . 2~ 1.2) Feuille d'aluminium chargée Soit une feuille d'aluminium de format 1) spé PC Quelle est la charge surfacique σ A4 (21cm sur 29, 7cm) à laquelle on a arraché 1000 électrons. portée par la feuille d'aluminium ? Application numérique. page n ◦ 17 Janson de Sailly physique 1) année scolaire 2014/2015 σ = +2, 6.10−15 C.m−2 . 1.3) Fil électrique Soit un l électrique en cuivre, cylindrique, de rayon homogène d'intensité 1) I = 10A, z vers les R0 = 3, 0mm Exprimer dans ce repère la densité volumique de courant 1) ~j = −I ~e , donc π.R02 z dans lequel circule un courant électrique négatifs dans le repère cylindrique associé au l. ~j . Que vaut numériquement ~ j ? ~ j = 3, 5.106 A.m−2 . 1.4) Conduction électrique dans un ruban d'aluminium L0 = 1, 0cm (suivant la direction y d'un repère I = 10mA vers les x positifs. surfacique de courant ~ js . Que vaut numériquement ~js ? Soit un ruban de papier d'aluminium de largeur cartésien) dans lequel circule un courant électrique homogène d'intensité 1) Exprimer dans ce repère la densité 1) ~js = I ex , donc L0 ~ ~ js = 0, 10A.m−1 . 1.5) Vitesse des électrons dans le cuivre M = 63, 54g.mol−1 , et pour masse volumique µ = 8, 9.kg/L. −1 −19 nombre d'Avogadro : NA = 6, 02.10 mol et la charge fondamentale : e = 1, 6.10 C. 1) Calculer la densité volumique n des atomes de cuivre. Le cuivre a pour masse molaire On donne le 23 2) En admettant que chaque atome de cuivre libère un électron assurant la conduction, calculer la vitesse moyenne de rayon 1) 2) hvi de ces électrons libres correspondant à un courant I = 0, 50A circulant dans un l de section droite a = 1, 0cm. 28 −3 A n = µ.N . M = 8, 4.10 m I hvi = π.a2 .n.e = 1, 2.10−5 m.s−1 . 1.6) Courant évanescent Supposons que dans un demi-espace où h des z > 0, la densité volumique de courants soit donnée par ~j = j0 .e− hz .~ex , est une constante. 1) x 2) Intensité élémentaire : 1.a) dI (z1 , z2 ) qui traverse la surface élémentaire orientée dans le sens y ∈ [0; dy] et z ∈ [z1 ; z2 ] ? Calculer dI (0, z) En déduire dI (0, ∞). Pour quelle valeur z0 de z a-t-on dI (0, z0 ) = 0, 90.dI (0, ∞) ? Commenter ce résultat. Quelle est l'intensité élémentaire croissants, pour 1.b) 1.c) 1.d) Densité surfacique de courant : 2.a) 2.b) Dans quelle limite est on confronté à une densité surfacique de courant Exprimer alors ~ js . Limite de la densité surfacique de courants : h → 0 ⇔ ~js = j0 .h.~ex . ~js ? NB : alors j0 → ∞. 1.7) Distribution volumique de charge dans l'atome d'hydrogène Dans la théorie quantique, l'électron de l'atome d'hydrogène n'est pas localisé : il s'agit d'un nuage électronique. Ainsi, si l'on exclu le proton (en O, centre de l'atome), la distribution volumique de charge dans l'atome d'hydrogène est à symétrie sphérique et ne dépend que de la distance r à O : peut 2.r ρ (r) = C.e− a0 spé PC page n ◦ 18 Janson de Sailly physique où année scolaire 2014/2015 a0 = 52, 9pm 1) 2) 3) 4) est le rayon de Bohr. Quelle est la probabilité Quelle est la probabilité A quelle distance p1 (r, θ, ϕ) de trouver l'électron en M (r, θ, ϕ) ? p2 (r) de trouver l'électron à une distance r de O ? rmax a-t-on le plus de chance de C . Application numérique trouver l'électron ? Calculer la constante 1) 2) 3) 4) − 2.r a 0 C.e p1 (r, θ, ϕ) = ρ(r) . −e = −e R π R 2.π ρ(r).dr.r.dθ.r. sin θ.dϕ p2 (r) = θ=0 ϕ=0 = −e dp Rdr∞= 0 ⇔ r = rmax = a0 . e p(r).dr = 1 ⇔ C = − π.a3 r=0 0 − 2.r a0 4.π.C.r 2 .e −e . = −3, 4.1012 C.m−3 . 1.8) Détermination du bilan d'énergie locale à partir des équation de Maxwell 1) Vérier que le bilan énergétique local pour le champ électromagnétique est donné par les équations de Maxwell. 1) −→ ~ rotB − ε ∂ E~ .E ~ 0 ∂t µ0 ~ − → ~ → ~ E ~ = B~ .− div Π rot E − . rot B µ0 µ0 donc : ~ = ~j.E ~ → ~ ~ ~ ~ ~ + div Π ~ = −ε0 ∂ E E ~ + B .− ~ = −ε0 ∂ E E ~ − B ∂B ~j.E rot E ∂t µ0 ∂t µ0 ∂t d'après Maxwell Faraday. Or − ~ ~ ~ ∂eem ∂E ~ − B ∂B = −ε0 E ∂t ∂t µ0 ∂t 1.9) Des "charges" magnétiques 1) Par analogie avec l'équation de Maxwell Gauss, 1.a) dénir une densité de "charge" magnétique ρm ; 1.b) montrer que ρm = 0. ~ = 0 ⇒ ρm = 0. div B 1.10) Un champ électrique orthoradial 1) Est-ce qu'un champ orthoradial (Cθ~eθ 1.a) en régime permanent ? 1.b) en régime non permanent ? en cylindrique) peut être un champ électrique ~ E : Le champ électrique peut être orthoradial a priori. 1.11) Courants électriques et courants de déplacement On se place dans un milieu ohmique de conductivitéγ (~ j ν. 1) 2) Montrer que pour peu que ν < νmax . ~ ), = γ.E Exprimer νmax en régime sinusoïdal forcé de fréquence en fonction de ε0 = 8, 8.10−12 SI et γ. Application numérique : 2.a) 2.b) spé PC ~ ~ j > jd = 5, 8.107 S.m−1 ) ; −9 (γ = 1, 0.10 S.m−1 ). dans le cas du cuivre (γ dans le cas de l'eau page n ◦ 19 Janson de Sailly physique 1) année scolaire 2014/2015 Courants électriques : Courants de déplacement Donc ~ ~ j = γ E ~ ~ : jd = 2.π.ν.ε0 . E . ~ ~ j > jd ⇔ ν < νmax avec : γ 2.π.ε0 νmax = 2) 2. Application numérique : 2.a) 2.b) νmax = 1, 0.1018 Hz ; l'eau νmax = 18Hz . dans le cas du cuivre dans le cas de de Forces électromagnétiques 2.12) Justication microscopique de la loi d'Ohm On s'intéresse à un électron de vitesse ~v du réseau métallique une force équivalente à une force de frottement uide 1) ~ 0 et subissant de la part des ions E ~ fi→e = −λ.~v . plongé dans un champ électrique ~v . ne . Déterminer la vitesse La densité des électrons est 2) Montrer que la densité volumique de courant suit la loi d'Ohm locale. On exprimera la conductivité 1) 2) v ~ ~ ~ me . d~ v , donc ~v = −e dt = 0 = −e.E0 − λ.~ λ E0 . P ~j = nk .qk .~vk = −e.n.~v car seuls les électrons se déplacent. Ainsi, n.e2 ~ λ E0 . Donc : ~j = k γ= γ. n.e2 λ . 2.13) Justication microscopique de l'eet Hall Soit une plaquette conductrice (de conductivité x, b ~ 0 = E0 .~ux . E suivant 1) suivant z et de longueur selon z. γ, de densité d'électrons 2) n), On y fait circuler un courant Déterminer la vitesse moyenne des électrons en fonction de On applique un champ magnétique B L I ~ = B.~uz . B Montrer qu'en régime stationnaire, existe un champ de Hall parallélipipédique, de côté I, a grâce au champ électrique et des caractéristiques de la plaquette. ~H E qu'on déterminera en fonction de I et et des caractéristiques de la plaquette. 3) En déduire alors la tension de Hall 1) Or ~j = P nk .qk .~vk = −e.n.~v UH d'un bord à l'autre de la plaquette. car seuls les électrons se déplacent. D'autre part k −a.b.e.n.~v .~ux , aussi ~v = − 2) I = a.b.~j.~ux = I ~ux n.e.a.b Le principe fondamental de la dynamique en stationnaire donne : me . d~v ~ ~ 0 − λ.~v − e~v ∧ B ~ − e.E ~ H = −e.E0 .~ux − λ.vx .~ux − e.vx .~ux ∧ .B.~uz − e.E ~H = 0 = −e.E dt Projeté suivant ~uy : ~ H = vx .B.~uy = − I.B ~uy E n.e.a.b 3) UH = R − ~ H .→ E d` = EH .a soit UH = I.B n.e.b 2.14) Eet Hall dans une plaquette semiconductrice d'arséniure d'indium spé PC page n ◦ 20 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 Une sonde de Hall, à arséniure d'indium (InAs), d'épaisseur b = 1, 0mm suivant (Oz) et a suivant (Oy) est I = 15mA suivant (Ox). On suppose que la conduction est assurée par des électrons 19 libres de charge −e = −1, 6.10 C , de densité ne . 1) Exprimer la vitesse v des porteurs de charge en fonction de I , a, b, ne et e. Plongée dans un champ magnétique B = 66mT suivant (Oz), la plaquette présente une tension de Hall UH = 1, 0mV suivant (Oy). 2) Exprimer la vitesse v des porteurs de charge en fonction de UH , a, et B . 3) En déduire le nombre de porteurs de charge ne par unité de volume dans le matériau. Application parcourue par un courant numérique. 1) 2) 3) I I j = ne .e.v = a.b donc v = a.b.ne .e . F = e.v.B = e.EH avec EH = UaH B.I 21 −3 ne = UH . .b.e = 6, 2.10 m donc v= UH a.B . 2.15) Eet Hall dans une plaquette conductrice de cuivre Une plaquette de cuivre d'épaisseur (Ox), par un courant b = 0, 5mm suivant (Oz) et a = 1, 5cm suivant (Oy) est parcouru, selon I = 60A. −e = −1, 6.1019 C , de densité ne et 1 −11 3 m .C −1 . et la constante de Hall du cuivre : AH = ne .e = −5, 3.10 On suppose que la conduction est assurée par des électrons libres de charge on donne la conductivité : 1) 6 −1 γ = 58.10 S.m Ex assurant Exprimer le champ électrique la conduction. La plaquette de cuivre est maintenant soumise à l'action d'un champ magnétique 2) 3) Calculer le champ de Hall Quel est l'angle avec la direction 1) 2) 3) θ ~ = B.~ez B avec B = 2, 5T . Ey . (qu'on exprimera en degré, minute et secondes) que fait le champ électrique total ~ tot E (Ox) ? I Ex = a.b.γ = 0, 14V.m−1 . I.B Ey = AH a.b = 1, 1mV.m−1 . 0 x tan(θ) = E Ey = AH .B.γ ⇒ θ = 26 . 2.16) Mouvement d'une particule chargée dans un champ électrostatique uniforme et homogène q , de masse m), ~v0 = v0x .~ux + v0y .~uy . On considère une particule chargée (de charge repère 1) (O, x, y, z)) avec la vitesse initiale ponctuelle, initialement en O Déterminer sa trajectoire si elle est soumise à un champ électrique homogène et permanent 1) (origine du ~ = E0 .~uy ; E La projection du principe fondamental de la dynamique sur les trois axes donne : x m dv vx (t) = v0x x(t) = v0x .t dt = 0 dvy q.E0 0 2 v (t) = m t + v0y ⇒ y(t) = q.E m dt = q.E0 ⇒ 2.m t + v0y .t y dvz vz (t) = 0 z(t) = 0 m dt = 0 Il s'agit de l'équation d'une parabole (on peut supprimer le paramètre y= t) : q.E0 2 v0y 2 x + v x 2.m.v0x 0x 2.17) Mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétostatique uniforme et homogène q , de masse m), ~v0 = v0x .~ux + v0y .~uy . On considère une particule chargée (de charge repère 1) (O, x, y, z)) avec la vitesse initiale ponctuelle, initialement en O Déterminer sa trajectoire si elle est soumise à un champ magnétique homogène et permanent spé PC page n ◦ 21 (origine du ~ = B0 .~ux ; B Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 1) Théorème de l'énergie cinétique cinétique. Soit |~v | = v0 = q 2 v0x + F~ ⊥ ~v ⇒ Ec = cste, par application du théorème de l'énergie 2 / v0y Mouvement parallèle : la projection du principe fondamental de la dynamique sur vx (t) = v0x ⇒ x(t) = v0x .t/ Le mouvement suivant l'axe du champ magnétique est donc uniforme. Mouvement perpendiculaire : la vitesse totale est décomposable v0// = |v0x | et perpendiculaire : aN = soit un rayon de courbure constant : |v0⊥ | = |v0y |, en vitesses parallèle : 2 v0⊥ R , où En applicant le principe fondamental de la dynamique dans ce à la vitesse v0 = v0// + v0⊥ v0⊥ = |v0y | = cste. Dans le repère de Frénet, l'accélération normale est ~ q.v0⊥ .B x (Ox) donne : m dv dt = 0 ⇒ en un temps T = R= R est le rayon de courbure de la trajectoire. ~ v2 repère, on trouve : m.aN = f ⇒ m 0⊥ = R m.|v0y | ~ | / Il s'agit donc d'un cercle, de rayon |q|.|B R, parcouru 2.π.m ~ | . Le mouvement total est donc un mouvement hélicoïdal, |q|.|B d'axe parallèle au champ magnétique. 2.18) Mouvement d'une particule chargée dans un champ électrostatique et un champ magnétostatique uniformes et homogènes et orthogonaux q , de masse m), ~v0 = v0x .~ux + v0y .~uy . On considère une particule chargée (de charge repère 1) (O, x, y, z)) avec la vitesse initiale ponctuelle, initialement en O (origine du Déterminer sa trajectoire si elle est soumise à : un champ électromagnétique homogène et permanent ~ = E0 .~uy E 1) et ~ = B0 .~ux . B Champ électrique et champ magnétique : il faut changer de référentiel et se ramener à un référentiel R0 R, où les champs sont ~ =B ~ /R B ~ ~ E = E/R où le champ électrique est nul : ~ /R0 = ~0 E grâce aux formules de changement de référentiel pour le champ électromagnétique : ~ /R E où ~v (M )R/R0 est la vitesse d'entraînement de ~ /R = B ~ /R0 B ~ /R0 + ~vR/R0 ∧ B ~ /R0 =E R dans R0 . ~vR/R0 = Dans Dans R0 R, Pour cela, il sut d'avoir : E0 ~uz B0 le mouvement est hélicoïdal, d'axe parallèle au champ magnétique, comme démontré précédement. le mouvement hélicoïdal, d'axe parallèle au champ magnétique, conjugué à une vitesse de dérive (la vitesse d'entraînement de R dans R0 ). 2.19) Cyclotron de Lawrence Le premier cyclotron fut construit en 1932 par Lawrence à Berkeley (Californie). L'appareil avait un rayon R = 14cm e = 1, 6.10−19 C et de masse m = 1, 67.10−27 kg ) une potentiel était ∆V = 4000V au moment du passage du et communiquait à des protons (de charge énergie cinétique Ec = 1, 2M eV . La diérence de faisceau entre les dees. 1) Quelles étaient : 1.a) 1.b) 1.c) 1.d) 1.e) spé PC la vitesse maximum des protons ? la tension accélératrice qu'il aurait fallu utiliser pour leur communiquer cette vitesse ? la fréquence du champ accélérateur ? le nombre de tours décrits par les protons ? le champ magnétique ? page n ◦ 22 Janson de Sailly physique 1) année scolaire 2014/2015 On détermine : 1.a) 1.b) 1.c) 1.d) 1.e) vmax = la vitesse maximum : q 2.Ec m = 1, 52.107m.s−1 U = Emc = 1, 2M V vmax la fréquence du champ accélérateur : f = 2.π.R = 17, 3M Hz Ec le nombre de tours décrits par les protons : n = 2.e.∆V = 150tours 2.π.m.f = 1, 13T . le champ magnétique : B = e la tension accélératrice qu'il aurait fallu utiliser : 2.20) Expérience de J.J.Thomson (1897) 1) Un faisceau d'électrons homocinétiques de vitesse ~v = v0 .~uz Il transite dans une zone 2) 1.a) Z qui a une taille Déterminer le temps ∆t a Oz , le long de l'axe xOy ) est détecté sur un écran (plan petite devant la distance Z. ~ = −E0 .~uy E D en entre l'écran et O. Z. pendant lequel le faisceau transite dans On dévie ce faisceau d'électrons à l'aide d'un champ électrique y du spot sur l'écran. ∆vy suivant ~uy des électrons règnant dans Z, uniforme et indépendant du temps, et on mesure la déviation 2.a) y, D et 2.b) e m, ∆t. ~ = B0 .~ux , B règle la valeur de B0 de manière à ce que le spot soit ramené en O . 3.a) Exprimer alors l'expression de B0 en fonction de E0 et v0 . 3) On Déterminer la projection de la vitesse au sortir de Z, en fonction de v0 . Enn, on établit en plus 3.b) 2) 3) en fonction de y , a, D, B0 ∆t = e m de l'électron en fonction des grandeurs intervenant E0 . ~ = −E0 .~uy E ∆vy = ∆vy = : y.v0 D . e m E0 .∆t. ~ = B0 .~ux et champ électrique B E0 . v0 En remplaçant, on trouve : Champ magnétique 3.a) 3.b) uniforme et indépendant du temps. a v0 . Champ électrique 2.a) 2.b) et Z Transit dans 1.a) et E0 un champ magnétique En déduire l'expression de la charge massique dans l'expérience : 1) ∆vy dans Z De même, déterminer ~ = −E0 .~uy E : B0 = e y.E0 = m D.a.B02 2.21) Spectrographe de Bainbridge m et de charge q sortant d'un ioniseur sont U = 10kV qui leur impose une vitesse ~v = v0 .~uz . Dans le spectrographe de Bainbridge, les ions de masse blement accélérés sous une tension de valeur absolue 1) v0 du cercle décrit par un ion. O dans une zone (z > 0) où règne indépendant du temps (B0 = 0, 10T ) 2) Déterminer le rayon R du cercle décrit par un ion. Déterminer la vitesse Ils pénètrent ensuite en 3) préala- un champ magnétique Deux isotopes viennent impressionner une plaque photographique dans le plan 3.a) 3.b) 1) 2) 3) Déterminer la distance x uniforme et xOy . séparant les traces laissées par sur la plaque. Application numérique pour les isotopes 39 K+ et 41 K +. q v0 = 2.q.U m . 0 R = m.v q.B0 . Deux isotopes : 3.a) R1 = m1 q.B0 q 2.q.U m1 = q 2.m1 .U et q.B02 R2 = s x=2 3.b) spé PC ~ = B0 .~uy B Application numérique : m2 q.B0 q 2.q.U m2 = q 2.m2 .U . Or q.B02 x = 2.R2 − 2.R1 , donc : √ 2.U √ ( m2 − m1 ) q.B02 x = 4, 6cm. page n ◦ 23 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 2.22) Mesure expérimentale de Des électrons (de masse 2, 5kV , m e m et de charge −e) u = R = 3, 3cm. préalablement accélérés par une diérence de potentiel décrivent dans une ampoule où règne un vide poussé une trajectoire circulaire de rayon Le champ magnétique créé par les bobines de Helmoltz, est quasi uniforme et sa valeur numérique égale à B = 5, 1mT . 1) 2) 3) 4) Exprimer la vitesse Relier le rayon R v0 m, e et u. v0 , m, e et B . des électrons en fonction de de la trajectoire des électrons à e m en fonction de u, R et B . −19 Comparer à la valeur théorique : e = 1, 6.10 C et En déduire le rapport 1) 2) 3) 4) q v0 = 2.e.u m . m.v0 R = e.B . 11 = R2.u C.kg −1 . 2 .B 2 = 1, 77.10 11 −1 = 1, 76.10 C.kg . Expérimentalement : e Théoriquement : m m = 9, 1.10−31 kg . e m 2.23) Focalisation électrique d'un faisceau homocinétique d'électrons m et y > 0 où règne un α ∈ 0; π2 avec ~ex . Un faisceau homocinétique d'électrons (de masse fente supposée très ne dans la région dans le plan (xOy ) fait un angle 1) 2) −e) de charge de vitesse v0 pénètre en O par une ~ = E.~ey . Ce faisceau, E champ électrique uniforme Déterminer l'équation paramétrique du mouvement : 1.a) 1.b) x(t) ; y(t). Déterminer l'abscisse xs de la position de sortie S 3) Déterminer 1) 2) 3) α0 y > 0. ∆α (α ∈ α0 − des électrons de la région Le faisceau incident présente maintenant une faible dispersion angulaire pour que tous les électrons soient récupérés en ∆α 2 ; α0 + ∆α 2 ). S. Equation paramétrique du mouvement : 1.a) 1.b) x(t) = v0 . cos(α).t ; y(t) = v0 . sin(α).t − 2.m.v02 xs = e.E sin(α). cos(α) dxs π dα = 0 ⇔ α = α0 = 4 . e.E.t2 2.m . m.v 2 = e.E0 sin α 2 . 2.24) Focalisation magnétique d'un faisceau homocinétique d'électrons Un faisceau homocinétique d'électrons (de masse y > 0 où règne α ∈ ]0; π[ avec ~ex . fente supposée très ne dans la région dans le plan (xOy ) fait un angle 1) 2) m −e) et de charge de vitesse un champ magnétique uniforme Déterminer les caractéristiques de la trajectoire circulaire du mouvement : 1.a) 1.b) son rayon R; la position de son centre Déterminer l'abscisse xs C. de la position de sortie S 3) Déterminer 1) 2) 3) α0 y > 0. ∆α (α ∈ α0 − des électrons de la région Le faisceau incident présente maintenant une faible dispersion angulaire 3. v0 pénètre en O par une ~ = −B.~ez . Ce faisceau, B pour que tous les électrons soient récupérés en ∆α 2 ; α0 + ∆α 2 ). S. Caractéristiques de la trajectoire circulaire du mouvement : 1.a) 1.b) 0 R = m.v e.B ; 0 xC = R. sin(α) = m.v e.B sin(α) 2.m.v0 xs = 2.R. sin(α) = e.B sin(α). dxs π dα = 0 ⇔ α = α0 = 2 . et 0 yC = −R. cos(α) = − m.v e.B cos(α). Induction électromagnétique spé PC page n ◦ 24 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 3.25) Cadre xe dans un champ magnétique homogène et variable ~ = B0 cos (ω.t) .~uz . B On s'intéresse à un cadre conducteur rectangulaire ABCD dans le plan (xOy). sont a suivant AD et BC et b suivant AB et CD . Soit un champ magnétique homogène et variable 1) Les longueurs de ses côtés Calculer la f.e.m. induite dans le cadre. 1) On calcule la f.e.m. induite dans le cadre en utilisant la loi de Faraday : B0 .a.b. cos (ω.t). d e = − dt φ, avec φ = Soit : e = ω.B0 .a.b. sin (ω.t) 3.26) Bobine plongée dans un champ magnétique variable inhomogène Oz . On se place dans un repère cylindrique d'axe Une bobine constituée de N spires circulaires, de rayon variable inhomogène 1) 2) Calculer le ux du champ e(t) En déduire la f.e.m 1) 2) Φ(t) = e(t) = R, d'axe Oz , est plongée dans un champ magnétique ~ = B0 . cos π.r . cos (ω.t) ~ez B 2.R magnétique Φ(t) à travers la bobine. induite. 8.( π 2 −1) R2 .N.B0 . cos (ω.t). π π 8.( 2 −1) 2 R .N.ω.B0 . sin (ω.t). π 3.27) Cadre tournant dans un champ magnétique homogène et permanent ~ = B0 .~uz . B ABCD. Les longueurs de ses côtés sont a suivant AD autour de l'axe AD = (Ox). On repère sa rotation par l'angle Soit un champ magnétique homogène et permanent On s'intéresse à un cadre conducteur rectangulaire BC et b suivant AB θ = (~uz , AB). et 1) et CD. Ce cadre tourne Calculer la f.e.m. induite dans le cadre en utilisant : 1.a) 1.b) 1) la loi de Faraday ; la circulation du champ électromoteur. On calcule la f.e.m. induite dans le cadre en utilisant : 1.a) la loi de Faraday : e = − dφ dt , avec φ = B0 .a.b. sin θ. e=− e= R 1.b) BC dθ B0 .a.b. cos θ dt la circulation du champ électromoteur : ~ .dx~ux , b. dθ uθ ∧ B dt .~ Soit : e= H ~ ~ em .dl E les intégrales sur les autres côtés étant On retrouve donc bien : e=− ~ em = − ∂ A~ + ~v ∧ B ~ = ~v ∧ B ~ . Soit E ∂t R dθ nulles. e = b. dt .B0 .(− cos θ).dx. BC avec dθ B0 .a.b. cos θ dt 3.28) Déplacement d'une barre conductrice sur deux rails conducteurs parallèles (O, ~ux , ~uy , ~uz ), avec ~uz vers le haut. AB et A0 B 0 sont placées parallèlement (AB//A0 B 0 //(Ox)) dans un plan horizontal ; 0 elles sont distantes de AA = 15cm. 0 On déplace une barre conductrice CC qui reste parallèle à (Oy) à la vitesse ~ v = v0 .~ux , avec v0 = 50cm.s−1 . ~ = Ba .~uz , avec Ba = 0, 10T . Le tout est plongé dans un champ magnétique vertical, uniforme et constant B 0 1) Quelle est la f.e.m e qui apparaît entre A et A ? On se place dans un repère cartésien orthogonal direct Deux tiges conductrices spé PC page n ◦ 25 Janson de Sailly physique Entre année scolaire 2014/2015 A et A0 se trouve un conducteur ohmique, de résistance R = 1, 0kΩ (la résistance des tiges étant négligeable). 2) Quelle est la puissance 1) 2) P dissipée par ce résistor ? |e| = v0 .Ba .AA0 = 7, 5mV . 0 2 2 P = eR = (v0 .BaR.AA ) = 56nW . 3.29) Déplacement d'une barre conductrice sur deux rails conducteurs concourants (O, ~ux , ~uy , ~uz ), avec ~uz vers le haut. 0 OA et OA sont placées dans un plan horizontal ; elles ont pour médiatrice ~ ~ux = ~ux , OA ~ 0 avec lui. α = OA, On se place dans un repère cartésien orthogonal direct Deux tiges conductrices (Ox) et font un angle (Oy) à la vitesse ~v = v0 .~ux , avec v0 > 0. Cette barre OA0 ) en B (respectivement en B 0 ). A t = 0, B = B 0 = O. de α et v0 : On déplace une barre conductrice parallèlement à en contact avec la tige 1) OA la circonférence l'aire S(t) est (respectivement Exprimer, à l'instant 1.a) 1.b) l'axe t, en fonction C(t) du circuit ; du circuit. Rl . Le ~ = Ba .~uz , avec Ba > 0. B Exprimer, en fonction de Ba , v0 , Rl et de α : 2.a) la valeur absolue de la f.e.m |e(t)| qui apparaît dans le circuit ; 2.b) la valeur absolue de l'intensité |i(t)| qui circule dans le circuit. Les conducteurs composant le circuit ont une résistance linéïque tout est plongé dans un champ magnétique vertical, uniforme et constant 2) 1) 2) Circuit : 1.a) 1.b) α C(t) = 2.v0 .t 1+sin cos α ; 2 S(t) = (v0 .t) . tan α. circonférence aire Induction : 2.a) 2.b) |e(t)| = 2.v02 .Ba . tan(α).t ; v .B sin α intensité |i(t)| = 0 a Rl 1+sin α . f.e.m 3.30) Un aimant qui s'approche d'une bobine `, d'axe Oz qu'on assimilera à un solénoïde quasi −− → 2 2 inni. On oriente la bobine de telle sorte que d S = +d S.~ uz . Un aimant (de moment dipolaire m ~ = +m.~uz ) crée un champ magnétique principalement suivant ~ uz (Bz > 0). On approche cet aimant de la bobine. 1) Montrer que le courant i qui circule dans la bobine est négatif. On s'intéresse à une bobine formée de 2) N spires, de longueur Montrer que le ux du champ magnétique induit tend (en partie) à contrarier ce qui lui a donné naissance (à savoir l'augmentation du ux du champ magnétique de l'aimant). 1) • Le ux du champ magnétique • dφ dt >0 induit une fém e < 0, φ= RR S −−→ ~ d2 S B. à travers celle-ci va augmenter. donc un courant i= 2) • ce courant induit • le champ magnétique induit • donc que son ux i e R négatif ; crée à son tour un champ magnétique induit −−→ ~ .d2 S B S i RR ~i ≈ B µ0 .N.i ~uz est opposé à ` ~uz ~i ≈ B (puisque µ0 .N.i ~uz ; ` i < 0) ; est négatif. Aussi, le ux du champ magnétique induit tend (en partie) à contrarier ce qui lui a donné naissance (à savoir l'augmentation du ux du champ magnétique de l'aimant). 3.31) Auto-induction dans un solénoïde spé PC page n ◦ 26 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 On considère un solénoïde cylindrique, d'axe comportant N On suppose que circule un courant 1) 2) 3) Oz , de longueur l (mais supposé quasi-inni), de rayon R, tours de l. i(t) variable dans la bobine. Quel est le champ magnétique créé par le courant i à travers la bobine ? Utilisation du ux : 2.a) 2.b) Quel est le ux Φ En déduire la self du champ magnétique à travers la bobine ? L de la bobine. Utilisation de l'énergie : 3.a) 3.b) 1) 2) 3) Quel est l'énergie magnétique En déduire la self L Em dans la bobine ? de la bobine. A l'extérieur, le champ est nul, et à l'intérieur, ~ = µ0 . N i(t).~uz . B l Utilisation du ux : 2.a) 2.b) Φ(t) = N.π.R2 .µ0 . Nl i(t). 2 Φ(t) = L.i(t) ⇒ L = π.R2 .µ0 . Nl . Utilisation de l'énergie : 3.a) 3.b) 2 Em = 12 π.R2 .µ0 . Nl i(t)2 . 2 Em = 21 L.i2 ⇒ L = π.R2 .µ0 . Nl 3.32) Inductance propre d'un tore à section circulaire On se place dans un repère cylindrique d'axe On considère un tore d'axe 1) 2) (Oz), de rayon (Oz). R, composé de ~ dans le tore B En déduire l'inductance propre L de ce tore 2.a) grâce au calcul du ux Φ ; Calculer le champ magnétique 2.b) 1) 2) grâce au calcul de l'énergie magnétique ~ = µ0 . N.I ~uθ B 2.π.R spires de section circulaire, de rayon a R. I. Em . dans le tore. Inductance propre 2.a) 2.b) N si y circule un courant L : grâce au calcul du ux N.I Φ = N.π.a2 .µ0 . 2.π.R = L.I ⇒ L = grâce au calcul de l'énergie magnétique 2 2 µ0 .N 2 .a2 ; 2.R 2 N .I 1 2 ⇒L= Em = 12 µ0 . 4.π 2 .R2 π.a .2.π.R = 2 L.I µ0 .N 2 .a2 . 2.R 3.33) Inductance propre d'une ligne bilaire On se place dans un repère cartésien (Oxyz). f et f0 sont deux cylindres de rayon a, d'axes parallèles à Un l électrique habituel est constitué de deux ls dans lesquels circulent des courants opposés : c'est une "ligne bilaire". Supposons que distants de D>a f et f0 D uz ; 2 circule +I dans la direction de ~ D 0 • dans f , d'abscisse x = − 2 circule −I dans la direction de ~uz . ~ ∈ − D + a; D − a , y Quel est le champ magnétique B(x 2 2 entre les deux ls ? • dans f, d'abscisse situés dans le plan (xOz) et x= 1) 2) (Oz), : Calculer le ux = 0, z) en un point du plan (xOz) compris Φ de ce champ à travers la surface rectangulaire du plan (xOz) dénie par deux tronçons de ls de longueur l0 . 3) En déduire l'inductance propre linéïque 1) 2) 3) spé PC ~ B(x, y = 0, z) = µ0 .I 2.π Φ = l0 µ0π.I ln D−a . a Ll = µπ0 ln D−a . a 1 D 2 −x + 1 D 2 +x Ll de la ligne bilaire. .~uy . page n ◦ 27 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 3.34) Caractéristiques électrocinétiques d'un transformateur 1) Montrer que la tension aux bornes du primaire est u1 = R1 .i1 + L1 . où M 2) est l'inductance mutuelle entre C1 et di1 di2 + M. dt dt C2 . De même, montrer que la tension aux bornes du secondaire est u2 = R2 .i2 + L2 . 1) Le premier circuit, C1 , est un bobinage de di1 di2 + M. dt dt N1 spires, de résistance R1 , d'inductance R1 en série avec une fém d'induction propre L1 . C1 se comporte comme un l, c'est à dire une résistance e1 = − dφ1→1 dφ2→1 dφ→1 =− − dt dt dt Or le ux à travers le primaire est φ→1 = φ1→1 + φ2→1 = L1 .i1 + M.i2 Donc la tension aux bornes du primaire est u1 = R1 .i1 + L1 . où M 2) est l'inductance mutuelle entre C2 C1 et di1 di2 + M. dt dt C2 . se comporte comme un l, c'est à dire une résistance e2 = − R2 en série avec une fém d'induction dφ1→2 dφ2→2 dφ→2 =− − dt dt dt Or le ux à travers le secondaire est φ→2 = φ1→2 + φ2→2 = M.i1 + L2 .i2 Le deuxième circuit, C2 , est un bobinage de N2 spires, de résistance à ses bornes est u2 = R2 .i2 + L2 . R2 , d'inductance propre L2 . La tension di1 di2 + M. dt dt 3.35) Caractéristiques d'un transformateur idéal On s'intéresse à un transformateur idéal. 1) 2) 3) 4) 5) En supposant que le secondaire est à vide, montrer que L1 M = L2 N2 De même, montrer que M = N1 . En déduire que k = 1. u2 N2 Montrer que u1 = N1 . N1 i2 Montrer aussi que i1 = N2 . 1) φ→1 φ→2 N1 N2 . N1 N2 . En supposant que le secondaire est à vide (i2 = 0), φ→2 = M.i1 et φ→1 = L1 .i1 . φ→1 L1 On trouverait dans ce cas φ→2 = M . Or cette relation ne dépend que des caractéristiques intrinsèques du L1 N1 transformateur, elle est toujours valable : M = N2 . Si on mène un raisonnement identique en intervertissant primaire et secondaire, on trouverait : L2 N2 = M N1 . Aussi, on a montré que Aussi, = 2) 3) spé PC MM N2 N1 = ⇒k=1 L1 L2 N1 N2 page n ◦ 28 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 4) di2 dt soit = u1 M − di2 1 u1 = L1 . di dt + M. dt di2 1 u2 = L2 . dt + M. di dt L1 di1 M dt , qu'on reporte dans la seconde équation : L2 L1 .L2 di1 di1 L2 di1 u2 = u1 − + M. = u1 + M. M M dt dt M dt car N2 L2 M = N1 . La puissance électrique au primaire vaut k = 1. 5) L2 L1 .L2 = 1− u1 2 M M Or, on a montré que P1 = u1 .i1 , celle au secondaire P2 = u2 .i2 . La conservation de la puissance (il n'y a ni pertes fer dans le cadre de fer doux, ni pertes cuivre par eet Joule dans les ls car R1 = R2 = 0), impose ⇒ u1 .i1 = u2 .i2 i2 N1 = i1 N2 3.36) Transformateur abaisseur de tension On s'intéresse à un transformateur supposé parfait qui comporte N1 spires au primaire, et N2 spires au secondaire. Au primaire, on impose une tension sinusoïdale de valeur ecace sinusoïdale d'amplitude U1 = 25, 0kV , et on récupère une tension U2 = 3, 32kV . 1) En déduire le rapport du nombre de spires 2) Quelle est la tension ecace N1 N2 du transformateur. On met à la sortie de ce transformateur un transformateur identique. 1) 2) N1 N2 = U3 = √ U1 . 2 U2 U2 N1 √ 2 N 2 spé PC U3 à la sortie de cette association ? = 10, 7. = NU112 = 220V . N2 page n ◦ 29 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 Résolution de problème vendredi 30 janvier 2015 Cet exercice sera fait en demi-groupe lors de la séance de travaux dirigés. La vitesse des électrons Le déplacement des électrons dans les ls électriques permet la conduction du courant Enoncé 1) spé PC Evaluer l'ordre de grandeur de la vitesse moyenne des électrons dans un l électrique. page n ◦ 30 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 Correction 1) On peut partir du cours et faire l'étude mécanique d'un électron : En régime permanent, pas d'accé- lération, donc −m~v ~ 0 = ~0 ⇒ ~v = −τ e E ~0 − eE τ m Or comme les ions sont xes, Au niveau global, on a 2 ~ 0 = γ.E ~0 ~j = −e ne ~v = ne τ e E m RR −−→ R −−→ → − I = ~j d2 S = γE0 .S et U = gradV d` = `.E0 . Donc : U = R.I avec R= ` γ.S . Ainsi, v= ~0 j γ.E I = = e ne e ne e ne S Par exemple, pour un conducteur cylindrique de section en prenant e = 1, 6 × 10 −19 C et ne ≈ 10 v≈ 30 m −3 S ≈ 1 mm2 , parcouru par un courant I ≈ 30 mA, , on trouve 30 × 10−3 ≈ 10−10 m · s−1 1, 6 × 10−19 × 1030 × 10−3 Travaux pratiques vendredi 30 janvier 2015 La moitié de la classe fait un TP d'électricité sur le michelson. spé PC page n ◦ 31 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 Approche documentaire vendredi 30 janvier 2015 Le document est à lire, l'exercice est à rendre. Bénédicte Marie-Jeanne et Marie Mauriaucourt feront un exposé. Les plaques électriques Cédric Ray et Jean-Claude Poizat c Belin - Pour la Science. La physique par les objets quotidiens Les diérentes façons de faire chauer une casserole avec de l'électricité La cuisson est un processus qui a pour but de rendre les aliments assimilables par notre organisme et de leur donner du goût, grâce à la modication de leurs constituants dans des réactions chimiques complexes. Ces mécanismes de cuisson font parfois appel à un acide, comme dans un carpaccio au citron par exemple, mais ils sont le plus souvent réalisés par chauage. Les cuisinières électriques qui nous intéressent ici reposent toutes sur le même principe fondamental : un matériau conducteur est chaué par un courant électrique et transfère de la chaleur aux aliments. L'invention est à peine centenaire : si les premiers modèles datent de la n du XIXe siècle, il faudra attendre le début du suivant pour voir apparaître des cuisinières destinées au grand public. Qu'est-ce que le courant électrique ? Avant de comprendre comment il est possible de chauer un matériau grâce au courant électrique, revenons aux bases de l'électricité et plus particulièrement à la dénition du courant électrique. Rappelons que la matière est constituée d'atomes, eux-mêmes composés d'un noyau massif et d'électrons en mouvement autour de lui. Dans un solide, les atomes occupent des positions précises (contrairement aux liquides ou aux gaz) et ne peuvent guère bouger. Ils vibrent cependant autour d'une position moyenne et la température du solide est une mesure de l'amplitude de ces mouvements de vibration. Dans les matériaux conducteurs, les électrons de la bande de conduction peuvent se déplacer d'atome en atome dans le solide. C'est ce ux d'électrons (chacun portant une charge élémentaire négative) à l'intérieur de la matière que l'on appelle le courant électrique, dont l'intensité s'exprime en ampères. Par exemple, c'est la diérence de potentiel (ou tension) imposée par une pile qui crée un courant électrique dans un circuit fermé contenant une ampoule et une plaque métallique. Notons que la pile fournit autant d'électrons (par des réactions chimiques internes) à une borne qu'elle n'en reçoit à l'autre borne. La plaque de métal reste donc globalement neutre. Se chauer par eet Joule Lorsqu'ils se déplacent dans un matériau conducteur, les électrons entrent en collision avec les atomes, dont l'amplitude de vibration augmente en conséquence. Or dans un solide, les atomes sont liés à leurs voisins (un peu comme par des élastiques) : les collisions accroissent les amplitudes de vibration de l'ensemble des atomes du solide, et donc sa température (qui est une mesure de cette agitation). L'échauement d'un conducteur lors du passage du courant électrique s'appelle l'eet Joule. La fréquence des collisions caractérise la résistance électrique du matériau : à une résistance élevée correspond une production de chaleur importante dans le matériau. En conclusion, le matériau qui constitue les plaques électriques doit posséder une résistance importante tout en restant conducteur. Si au contraire on souhaite faire circuler un courant électrique en minimisant l'échauement, un conducteur de très faible résistance s'impose, comme le cuivre dont la résistance est neuf fois plus faible que celle du fer. Notons que pour transporter de très fortes puissances en réduisant les pertes d'énergie par eet Joule, il est préférable d'abaisser l'intensité du courant circulant dans les lignes électriques et pour cela, d'augmenter la tension imposée aux conducteurs. C'est pourquoi le transport de l'électricité depuis le site de production vers le consommateur fait appel à des lignes à haute tension. Voyons maintenant quels sont les diérents types de plaques électriques en service. Les plaques en fonte Les plaques en fonte comptent parmi les plus anciens modèles. Les éléments chauants (par eet Joule) sont répartis dans le corps en fonte de la plaque et transmettent leur chaleur par conduction thermique à la plaque entière. La fonte, alliage de fer et de quelques pourcents de carbone et de silicium, sert à répartir la chaleur de manière homogène vers la casserole. Les tables de cuisson possèdent un thermostat individuel qui contrôle spé PC page n ◦ 32 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 la température de chaque feu indépendamment. Le transfert de chaleur s'eectue ensuite principalement par conduction de la plaque vers le fond de la casserole. Les plaques vitrocéramiques Les plaques en fonte sont en passe d'être progressivement remplacées par des modèles dits à table de cuisson vitrocéramique. En réalité, seul le plan de cuisson est en verre vitrocéramique, et le nom peut prêter à confusion avec d'autres systèmes. Il s'agit d'un verre particulier qui se rapproche des céramiques par bien des propriétés, en particulier solidité et faible coecient de dilatation thermique (donc bonne résistance aux hautes températures). La présence d'un revêtement en verre vitrocéramique, et donc d'une surface totalement plane et lisse, facilite grandement l'entretien au quotidien, d'autant que les boutons de contrôle sont souvent des dispositifs tactiles intégrés dans la table. Dans ce type de table de cuisson, les éléments chauants sont situés en dessous de la plaque vitrocéramique. Bien que cette dernière puisse atteindre localement des températures de l'ordre de 600 ◦ C (elle est contrôlée par un ther- mostat de manière à ne pas dépasser 750 ◦ C en surface), le transfert de chaleur se fait majoritairement par rayonnement infrarouge. Le verre vitrocéramique est d'ailleurs choisi pour sa grande résistance aux hautes températures, sa solidité et sa transparence aux infrarouges. Il existe plusieurs types de foyers pour produire la chaleur : le foyer radiant et le foyer halogène. Les tables de cuisson intègrent d'ailleurs souvent les deux types (gure 6). Les foyers radiants Les foyers radiants sont constitués d'éléments chauants en forme de spirale. Le transfert de chaleur se fait en partie par conduction, c'est-à-dire que le foyer radiant chaue la plaque vitrocéramique, qui à son tour chaue la casserole. Toutefois, la chaleur est essentiellement transmise par émission de rayonnement infrarouge. En eet, un métal chaué jusqu'à l'incandescence émet certes une petite quantité de lumière visible qui lui donne sa couleur rouge, mais produit principalement du rayonnement infrarouge invisible. Les foyers halogènes La plus grande partie de l'énergie électrique consommée par une ampoule halogène est transformée en rayonnement infrarouge (ce qui explique le mauvais rendement énergétique de ces ampoules). Les foyers dits halogènes emploient justement une ampoule halogène pour chauer la casserole par rayonnement. Ce mode de propagation de la chaleur étant rapide et le rayonnement important, l'augmentation de température de la casserole est très rapide. Ces foyers halogènes sont en particulier très utiles pour saisir les aliments. Enn, précisons que le rendement énergétique des foyers halogènes est meilleur que celui des foyers radiants car, dans ces derniers, une partie de la chaleur est transférée par conduction, entraînant davantage de pertes. En eet, lors du chauage de la table de cuisson, une partie de la chaleur est transférée à l'air environnant, et donc perdue. Les plaques à induction Bien qu'exploitant toujours l'eet Joule pour créer de la chaleur, les plaques à induction sont fondées sur un système de chauage innovant puisqu'elles chauent directement la casserole grâce aux courants qui y sont créés (induits). Si un conducteur massif, comme le fond d'une casserole, est soumis à un champ magnétique variable, il constitue une innité de circuits fermés dans lesquels des courants induits circulent : ces derniers portent le nom de courants de Foucault, en référence au physicien français Léon Foucault (1819-1868) ayant étudié le phénomène (on lui doit également une éclatante mise en évidence du mouvement de rotation de la Terre, grâce à l'installation d'un pendule géant à l'intérieur du Panthéon, à Paris). Dans une plaque à induction, les courants de Foucault sont donc induits directement dans le fond de la casserole par un champ magnétique variable. L'intensité de ces courants - et donc le chauage par eet Joule qui en résulte - dépendent fortement des propriétés magnétiques du matériau employé. Les matériaux ferroma- spé PC page n ◦ 33 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 gnétiques sont particulièrement adaptés. Les fabricants essayent constamment d'améliorer ces matériaux an d'optimiser les courants créés et la diusion de la chaleur dans le fond du récipient. Les éléments de la plaque à induction Pour induire des courants de Foucault dans le fond des casseroles, il faut produire un champ magnétique rapidement variable. C'est le rôle des bobines dites inductrices (gure 11), parcourues par un courant alternatif de haute fréquence : environ 25 kHz, soit 25 000 changements de sens par seconde. La table de cuisson qui sépare les bobines et les casseroles est constituée d'une plaque en verre vitrocéramique. Notons que la plaque de vitrocéramique n'est pas chauée directement puisque les courants induits chauent directement le fond de la casserole. Ce système de chauage direct réduit les pertes d'environ 20% par rapport aux plaques en fonte. Enoncé 1) Neutralité des conducteurs : Démontrer que, dans le cas d'une "diérence de potentiel (ou tension) imposée par une pile qui crée un courant électrique dans un circuit fermé contenant une ampoule et une plaque métallique [...] la plaque de métal reste globalement neutre." 2) Eet Joule dans une résistance cylindrique On considère un conducteur ohmique de conductivité dont la section est un disque de rayon a). γ, Ce conducteur, qui est parcouru par un courant i (Oz), de longueur L, (~ur , ~uθ , ~uz ) d'axe (Oz). une tension u à ses bornes (en immobile, cylindrique (d'axe On se place dans le repère cylindrique (vers les z croissants) subit convention récepteur). Dans toute cette partie, on suppose que la densité volumique de courant y est homogène et permanente : ~j = jz .~uz . spé PC On donnera les réponses en fonction de i, γ , L page n ◦ et a. 34 Janson de Sailly physique 2.a) 2.b) 2.c) 2.d) année scolaire 2014/2015 Déterminer la résistance d'un conducteur. Ee et du champ magnétique Em dans le conducteur. ~π dans le conducteur en fonction de i, L, a et γ . En déduire la puissance rayonnée Pr à travers la surface fermée qui délimite le conducteur ohmique puis la puissance dissipée Pd par eet Joule dans le conducteur ohmique. Comparer ces puissance à la puissance Exprimer les énergies du champ électrique Exprimer le vecteur de Poynting électrique échangée par le conducteur ohmique. 3) Transport de l'électricité 3.a) Supposons que EDF distribue l'électricité simplement, depuis la centrale électrique jusqu'à l'utili- sateur (simulé par une résistance Ru ) avec des ls électriques (pris en compte par une résistance Rf ≈ Ru ). Quels seraient les inconvénients d'une telle distribution ? 3.b) En fait, EDF élève la tension grâce à plusieurs transformateurs élévateurs (le schéma ci-dessous pour plus de clarté n'en présente qu'un) avant d'acheminer sur ses lignes (Rf ) la puissance électrique, puis distribue au consommateur après une diminution de la tension grâce à des transformateurs abaisseurs. Montrer que les précédents inconvénients ont disparu. 4) Chauage par induction Dans une plaque à induction d'axe 4.a) 4.b) spé PC ~ = B0 cos (ω t). Oz , on suppose que le champ magnétique est homogène : B ω . Est-on dans le cadre de l'ARQS ? Donner un ordre de grandeur de Pourquoi des courants orthoradiaux naissent dans la casserole ? Pourquoi la casserole chaue-t-elle ? page n ◦ 35 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 Correction 1) L'équation de conservation locale de la charge : ∂ρ + div ~j = 0 ∂t donne en régime permanent ("pile") : 2) ∂ρ = 0 ⇒ ρ = cste = 0 ∂t Eet Joule dans une résistance cylindrique 2.a) i= RR ~j.d~2 S ⇒. i = jz .π.a2 ~ ~ = −grad(V E ) en régime stationnaire. RB RB RB ~ ~ = − dV = −VB + VA ⇒. ~ = − grad(V ~ dl ).dl E. Si ~ = +dz.~uz , dl RB ~ = Ez .L = u. ~ dl E. Or Dans un repère cylindrique d'axe, l'axe du l, ~ . ~j(r) ⇒ B(r) A A A ~ , ⇒ Ez = ~j = γ.E jz γ . Donc A jz .L γ u= D'après les deux dernières relations : u i = jz .L γ.jz .π.a2 , soit avec L γ.π.a2 R= 2.b) u = R.i ~ ⇒ ~j = γ.E i .~uz γ.π.a2 ~ = E L'énergie électrique est : EE = RRR ε0 .E 2 3 2 .d τ . Soit : EE = Maxwell Ampère dans l'ARQS : ~ = µ0 .~j . ~ B) rot( ε0 .i2 .L 2.π.a2 .γ 2 ~ est un pseudo vecteur, donc orthogonal aux ~j . B C , un cercle d'axe, l'axe du l, de rayon r, orienté Les plans contenant l'axe du l sont plans de symétrie pour plans de symétrie pour ~j . ~ = Bθ (r)~uθ . B ~ dl = r.dθ.~uθ . donc dans le sens trigonométrique : On choisit RR ~ = µ0 . ~ dl ~. ~j.d2 S B. S 2 2.π.r.Bθ (r) = µ0 .π.r .jz . Donc H C L'énergie magnétique est : EM ~ = µ0 .i.r ~uθ B 2.π.a2 RRR B 2 3 R r=a R θ=2.π R z=L = 2.µ0 .d τ = r=0 θ=0 z=0 µ0 .i2 .L 16.π EM = 2.c) Le vecteur de Poynting est : ~ =E ~∧ Π µ0 .i2 .r 2 8.π 2 .a4 .r.dr.dθ.dz . Soit : ~ B µ0 . Soit : i2 .r ~ur 2.π 2 .a4 .γ R θ=2.π R z=L i2 .a ~ =− Π La puissance rayonnée est RR −− → ~ d2 Σ = − Pr = Π. .a.dθ.dz donc z=0 2.π 2 .a4 .γ θ=0 Pr = − La puissance dissipée par eet Joule est Pd = RRR ~ 3τ . ~j.E.d Pd = spé PC i2 .L π.a2 .γ i2 .L γ.π.a2 page n ◦ 36 Janson de Sailly physique année scolaire 2014/2015 ce qui est cohérent avec le bilan énergétique pour le champ électromagnétique : − On remarque que 3) Pd = R i 2 dEem = Pr + Pd = 0 ⇒ Pr = −Pd dt qui est la puissance électrique échangée par le conducteur ohmique. Transport de l'électricité 3.a) La puissance dissipée par eet Joule dans les ls est Pf = Rf .i2u , où iu est l'intensité distri- buée à l'utilisateur. Cette puissance dissipé dans les l serait de l'ordre de grandeur de celle récupérée par l'utilisateur. uf uc . De surcroît, la chute ohmique de celle donnée par la centrale 3.b) serait telle que la tension récupérée par l'utilisateur uu serait diérente Ainsi, la puissance dissipée par eet Joule dans les ls est Pf0 = Rf .i02 f = Rf .i02 u N1 N2 2 Pf Donc la puissance dissipée par eet Joule dans les ls est maintenant négligeable devant celle récupérée u0f ≈ 0 (car i0f ≈ 0). La tension récupérée 0 uc (soit 220V ecaces). par l'utilisateur. De surcroît, la chute ohmique est négligeable : 0 par l'utilisateur uu est quasiment celle donnée par la centrale Chauage par induction 4) 4.a) de l'ARQS car la longueur 4.b) f = 25 kHz ⇒ ω = 2 π f = 1, 6 × 105 rad · s−1 . On se trouve bien dans le c 4 d'onde est λ = f = 10 m très grande devant les dimensions de la plaque. D'après le texte, cadre La loi de Lenz ou celle de Faraday permet de vérier que la variation d'un ux magnétique à travers une spire (imaginaire) orthoradiale dans la casserole induit un courant électrique. Du fait de ce courant, la casserole chaue à cause de l'eet Joule. Devoir surveillé samedi 31 janvier 2015 Un DS commun aura lieu samedi 31 janvier 2015, il portera sur Electromagnétisme et magnétostatique. spé PC page n ◦ 37 Janson de Sailly
