Fascicule d`exercices d`électromagnétisme

Exercices d’électromagnétisme John MARTIN |2016–2017 1 / 49
Fascicule d’exercices
d’électromagnétisme
John Martin, Dorian Baguette
I.P.N.A.S., bât. B15
Tél. : [phone]
email : [email protected]
2016–2017

Exercices d’électromagnétisme John MARTIN |2016–2017 2 / 49
I
Calcul vectoriel

Exercices d’électromagnétisme John MARTIN |2016–2017 3 / 49
Calcul vectoriel
Rappels sur les intégrales curviligne et superficielle
Une courbe Cest paramétrée par un chemin r(t) = (x(t), y(t), z(t)).
L’intégrale curviligne (ou circulation) d’un champ vectoriel Ale long d’une courbe
orientée C={r(t) : t∈[tA, tB]}est notée
ˆC
A·d`et est par définition égale à ˆtB
tA
A(r(t)) ·
dr
dt dt
***
Une surface Sest paramétrée par une couverture (r(u, v), K)où
r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) et (u, v)∈K= [umin, umax]×[vmin, vmax].
L’intégrale superficielle (ou flux) d’un champ vectoriel Asur (au travers de) la
surface orientée Sest notée
ˆC
A·ndS et est par définition égale à ˆ ˆK A(r(u, v)) ·(∂ur×∂vr)du dv

Exercices d’électromagnétisme John MARTIN |2016–2017 4 / 49
Calcul vectoriel
Rappels de calcul intégral
Quelques primitives à connaître...
ˆ1
xdx = ln(x)ˆ1
√1 + x2dx = arcsinh(x)
ˆ1
1 + x2dx = arctan(x)ˆx
√1 + x2dx =p1 + x2
ˆx
(1 + x2)3/2dx =−1
√1 + x2ˆ1
(1 + x2)3/2dx =x
√1 + x2
Chagement de variable régulier x=x(y)
ˆb
a
f(x)dx =ˆb0
a0
f(x(y)) dx
dy (y)dy
avec a0= limx→ay(x)et b0= limx→by(x)
Remarque : •Toutes les primitives sont définies à une constante additive près.
•arcsinh(x) = ln(x+√1 + x2).

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Calcul vectoriel
Théorèmes de Gauss et de Stokes
Formule de Gauss (du flux ou d’Ostrogradsky)
Pour tout volume donné Vdont la frontière est une surface Srégulière, c’est-à-dire
admettant une normale extérieure npresque partout, on a
ˆS
A·ndS =ˆV (∇·A)dV
Formule de Stokes(-Ampère)
Pourvu que Aet ∇ × Asoient continus dans un domaine contenant la surface S
ouverte, limitée par le contour C, on a
˛S
A·d`=ˆS (∇ × A)·ndS
avec les règles de signes habituelles concernant net le sens de parcours de C.