2.7 Théorèmes de l`énergie et applications.

32 CHAPITRE 2. TREILLIS PLANS DANS LE DOMAINE ÉLASTIQUE
2.7 Théorèmes de l’énergie et applications.
Dans tout ce paragraphe, les déformations sont supposées réduites aux déformations
élastiques (il n’y a ni défaut d’usinage, ni effet thermique, ni plasticité).
On va ici, sur l’exemple du treillis, donner un certain nombre de méthodes perfor-
mantes qui constituent l’ossature du calcul de structures par ordinateur et que l’on re-
trouve lorsque l’on calcule des poutres, des arcs, des plaques, des coques et des structures
tridimensionnelles.
2.7.1 Rappels et notations.
Les données des problèmes réguliers que nous considérons sont :
√les charges, de composantes P1,P2,P3,···,P2n−l,
√les liaisons imposées, de composantes qd
2n−l+1,qd 2n−l+2,···,qd
2n.
On appelle déplacements cinématiquement admissibles, un système de déplace-
ments qui vérifient toutes les données du problème relatives aux déplacements seuls, i.e.
qad
αarbitraires (α= 1,···,2n−l) et qi=qd i(i= 2n−l+ 1,···,2n).
On appelle efforts intérieurs statiquement admissibles, un système de tensions
Nad
β(β= 1,···, b) solution du système statique i.e. vérifiant toutes les données du pro-
blème relatives aux seuls efforts extérieurs.
Pour un problème hyperstatique d’ordre h, les efforts intérieurs SA admettent la re-
présentation :
Nad
β=
2n−l
X
α=1
PαNPα
β+
h
X
H=1
XHNH
β.
2.7.2 Formulation globale du comportement élastique.
Soit, pour un problème donné, un système de bdéformations εβet un système de b
tensions Nβ. On dit que ces systèmes sont élastiquement liés si Nβ= (ES)βεβpour
chaque β= 1,···, b. (i.e. la loi de comportement est vérifiée dans chaque barre.)
On peut donc caractériser globalement la loi de comportement par l’inégalité :
b
X
β=1
1
2Lβ(ES)β εβ−Nβ (ES)β!2
≥0.
Cette somme de termes positifs n’est nulle que si chaque terme l’est i.e. les efforts intérieurs
Nβet les déformations εβsont élastiquement liés dans chaque barre β.
Développons cette inégalité :
b
X
β=1 1
2Lβ(ES)βε2
β+1
2Lβ
N2
β
(ES)β−LβεβNβ!≥0.

2.7. THÉORÈMES DE L’ÉNERGIE ET APPLICATIONS. 33
Introduisons :
√l’énergie élastique globale des déformations :
W(ε1, ε2,···, εb) =
b
X
β=1
1
2Lβ(ES)βε2
β
√l’énergie élastique globale des efforts intérieurs :
W∗(N1, N2,···, Nb) =
b
X
β=1
1
2Lβ
N2
β
(ES)β
√la puissance globale des efforts intérieurs Nβdans les déformations εβ:
P(int)(N, ε) = −
b
X
β=1
LβεβNβ
La formulation globale du comportement devient :
W(ε1,···, εb) + W∗(N1,···, Nb) + P(int)(N, ε)≥0
l’égalité ayant lieu si et seulement si les efforts intérieurs Nβet les déformations εβsont
élastiquement liés dans chaque barre.
On voit facilement que si Nβet εβsont élastiquement liés
Nβ= (ES)βεβ
donc
W(ε1,···, εb) = W∗(N1,···, Nb) = −1
2P(int)(N, ε).
2.7.3 Théorèmes de l’énergie.
Inégalité fondamentale.
On considère des tensions statiquement admissibles et des déplacements cinématique-
ment admissibles (qui seront nos déplacements virtuels).
Pour trouver la solution nous disposons de :
√l’équilibre (on prend son énoncé exprimé en puissance virtuelle)
P(int)Nad, εad+ˆ P(ext)= 0 (2.1)
pour tout champ de tensions S.A. et tout champ de déplacements CA

34 CHAPITRE 2. TREILLIS PLANS DANS LE DOMAINE ÉLASTIQUE
√le comportement (exprimé sous sa forme globale)
Wεad+W∗Nad+P(int)Nad, εad≥0(2.2)
Wεad+W∗Nad+P(int)Nad, εad= 0 si Nad et εad sont élastqt liés
√le fait que le problème soit régulier
ˆ
P(ext)=
2n−l
X
α=1
Pαqad
α+
2n
X
i=2n−l+1
Rad
iqd i
ou encore
ˆ
P(ext)−
2n−l
X
α=1
Pαqad
α−
2n
X
i=2n−l+1
Rad
iqd i= 0 (2.3)
Par combinaison de ces trois (in)égalités ((2.2)+(2.3)-(2.1)), on obtient :
Wεad+W∗Nad+P(int)Nad, εad
| {z }
×
+ˆ P(ext)
| {z }
◦
−
2n−l
X
α=1
Pαqad
α−
2n
X
i=2n−l+1
Rad
iqd i− P(int)Nad, εad
| {z }
×
−ˆ P(ext)
| {z }
◦
≥0
Wεad+W∗Nad−
2n−l
X
α=1
Pαqad
α−
2n
X
i=2n−l+1
Rad
iqd i≥0
l’égalité ayant lieu si et seulement si les efforts intérieurs Nβet les déformations εβsont
élastiquement liés dans chaque barre.
On peut définir deux nouvelles expressions :
√énergie potentielle des déplacements CA du problème
Vqad=Wεad−
2n−l
X
α=1
Pαqad
α
(qui ne fait intervenir que les déplacements CA)
√énergie potentielle des efforts intérieurs SA du problème
V∗Nad=−W∗Nad+
2n
X
i=2n−l+1
Rad
iqd i
(qui ne fait intervenir que les efforts intérieurs SA)

2.7. THÉORÈMES DE L’ÉNERGIE ET APPLICATIONS. 35
On a alors le théorème suivant :
Théorème 1 (approche globale des structures).
L’énergie potentielle de tout système de déplacements CA est supérieure à l’énergie
potentielle de tout système d’efforts intérieurs SA
V∗Nad≤Vqad.
Théorème du travail.
Si l’on a affaire à la solution du problème ◦
Nβ,
◦
qα, les efforts intérieurs ◦
Nβet les
déformations ◦
εβsont élastiquement liés dans chaque barre, ce ne sont plus des inégalités
mais des égalités que l’on manipule. On a alors :
V∗◦
Nβ=V◦
qα.
On en déduit le théorème suivant :
Théorème 2 (dit du travail).
Le travail des efforts extérieurs solution dans le champ des déplacements solution
est égal au double de l’énergie élastique globale de la solution.
2W◦
εβ= 2W∗◦
Nβ=P(ext)(solution) =
2n−l
X
α=1
Pα
◦
qα+
2n
X
i=2n−l+1
◦
Riqd
i
Théorèmes de l’énergie potentielle.
Puisque la solution est CA, on en tire que
V∗Nad≤V◦
qα∀Nad
Puisqu’elle est aussi SA
V∗◦
N≤Vqad∀qad
Et puisque
V∗◦
N=V◦
q
on a
V∗Nad≤V∗◦
N=V◦
q≤Vqad∀Nad,∀qad.
D’où les deux théorèmes suivants :

36 CHAPITRE 2. TREILLIS PLANS DANS LE DOMAINE ÉLASTIQUE
Théorème 3 (dit de l’énergie complémentaire).
Parmi tous les efforts intérieurs SA pour un problème donné, la solution maximise
l’énergie potentielle V∗.
Théorème 4 (pour la résolution en déplacements).
Parmi tous les déplacements CA pour un problème donné, la solution minimise
l’énergie potentielle V.
Les théorèmes de Castigliano.
Les théorèmes suivants, de démonstration délicate, sont très simples à mettre en œuvre
et très utiles pour la résolution de problèmes de structures.
Nous allons faire apparaître les variables dont dépendent les énergies potentielles :
Vqad=Wεad qad
α, qd j−
2n−l
X
α=1
Pαqad
α
V∗Nad=−W∗Nad (Pα, XH)+
2n
X
i=2n−l+1
Rad
i(Pα, XH)qd i
On sait que la solution est telle qu’elle minimise Vdonc dV = 0, et qu’elle maximise
V∗donc dV ∗= 0. De plus, pour la solution, les deux énergies potentielles sont égales.
Cette énergie potentielle de la solution ne dépend que des données
P1,··· , P2n−l, qd
2n−l+1,···, qd 2n.
C’est une grandeur avec une signification physique. Nous la notons
ΠP1,···, P2n−l, qd
2n−l+1,···, qd 2n.
D’après ce qui précède :
•dΠ = dV , les déplacements qad
αétant fixés égaux aux déplacements solution ◦
qα, les
données étant variables,
•dΠ = dV ∗, les tensions XHétant fixées égales aux tensions solution ◦
XH, les données
étant variables,
d’où
dΠ = dV =P
i
∂W
∂qd
i◦
qα, qd
jdqd i−
2n−l
P
α=1
◦
qαdPα
=dV ∗=P
j −∂W ∗
∂Pj
(Pα, XH) +
2n
P
i=2n−l+1
∂
◦
Ri
∂Pj
(Pα, XH)qd
i!dPj+P
i
◦
Ridqd
i