2.7 Théorèmes de l`énergie et applications.

32
2.7
CHAPITRE 2. TREILLIS PLANS DANS LE DOMAINE ÉLASTIQUE
Théorèmes de l’énergie et applications.
Dans tout ce paragraphe, les déformations sont supposées réduites aux déformations
élastiques (il n’y a ni défaut d’usinage, ni effet thermique, ni plasticité).
On va ici, sur l’exemple du treillis, donner un certain nombre de méthodes performantes qui constituent l’ossature du calcul de structures par ordinateur et que l’on retrouve lorsque l’on calcule des poutres, des arcs, des plaques, des coques et des structures
tridimensionnelles.
2.7.1
Rappels et notations.
Les données des problèmes réguliers que nous considérons sont :
√
les charges, de composantes P1 , P2 , P3 , · · · , P2n−l ,
√
d
d
d
les liaisons imposées, de composantes q2n−l+1
, q2n−l+2
, · · · , q2n
.
On appelle déplacements cinématiquement admissibles, un système de déplacements qui vérifient toutes les données du problème relatives aux déplacements seuls, i.e.
qαad arbitraires (α = 1, · · · , 2n − l) et qi = qid (i = 2n − l + 1, · · · , 2n).
On appelle efforts intérieurs statiquement admissibles, un système de tensions
ad
Nβ (β = 1, · · · , b) solution du système statique i.e. vérifiant toutes les données du problème relatives aux seuls efforts extérieurs.
Pour un problème hyperstatique d’ordre h, les efforts intérieurs SA admettent la représentation :
h
2n−l
X
X
Pα
ad
XH NβH .
Nβ =
Pα Nβ +
α=1
2.7.2
H=1
Formulation globale du comportement élastique.
Soit, pour un problème donné, un système de b déformations εβ et un système de b
tensions Nβ . On dit que ces systèmes sont élastiquement liés si Nβ = (ES)β εβ pour
chaque β = 1, · · · , b. (i.e. la loi de comportement est vérifiée dans chaque barre.)
On peut donc caractériser globalement la loi de comportement par l’inégalité :
!2
b
X
1
Nβ
Lβ (ES)β εβ −
≥ 0.
2
(ES)β
β=1
Cette somme de termes positifs n’est nulle que si chaque terme l’est i.e. les efforts intérieurs
Nβ et les déformations εβ sont élastiquement liés dans chaque barre β.
Développons cette inégalité :
!
b
2
X
N
1
1
β
Lβ (ES)β ε2β + Lβ
− Lβ εβ Nβ ≥ 0.
2
2 (ES)β
β=1
2.7. THÉORÈMES DE L’ÉNERGIE ET APPLICATIONS.
33
Introduisons :
√
l’énergie élastique globale des déformations :
W (ε1 , ε2 , · · · , εb ) =
√
b
X
1
β=1
2
Lβ (ES)β ε2β
l’énergie élastique globale des efforts intérieurs :
W (N1 , N2 , · · · , Nb ) =
∗
√
b
X
1
β=1
Nβ2
Lβ
2 (ES)β
la puissance globale des efforts intérieurs Nβ dans les déformations εβ :
P(int) (N, ε) = −
b
X
Lβ εβ Nβ
β=1
La formulation globale du comportement devient :
W (ε1 , · · · , εb ) + W ∗ (N1 , · · · , Nb ) + P(int) (N, ε) ≥ 0
l’égalité ayant lieu si et seulement si les efforts intérieurs Nβ et les déformations εβ sont
élastiquement liés dans chaque barre.
On voit facilement que si Nβ et εβ sont élastiquement liés
Nβ = (ES)β εβ
donc
1
W (ε1 , · · · , εb ) = W ∗ (N1 , · · · , Nb ) = − P(int) (N, ε) .
2
2.7.3
Théorèmes de l’énergie.
Inégalité fondamentale.
On considère des tensions statiquement admissibles et des déplacements cinématiquement admissibles (qui seront nos déplacements virtuels).
Pour trouver la solution nous disposons de :
√
l’équilibre (on prend son énoncé exprimé en puissance virtuelle)
P(int) N ad , εad + P̂(ext) = 0
(2.1)
pour tout champ de tensions S.A. et tout champ de déplacements CA
34
CHAPITRE 2. TREILLIS PLANS DANS LE DOMAINE ÉLASTIQUE
√
√
le comportement (exprimé sous sa forme globale)
W εad + W ∗ N ad + P(int) N ad , εad ≥ 0
(2.2)
W εad + W ∗ N ad + P(int) N ad , εad = 0 si N ad et εad sont élastqt liés
le fait que le problème soit régulier
2n−l
X
P̂(ext) =
ou encore
2n
X
+
α=1
2n−l
X
P̂(ext) −
Pα qαad
Riad qid
i=2n−l+1
Pα qαad
α=1
−
2n
X
Riad qid = 0
(2.3)
i=2n−l+1
Par combinaison de ces trois (in)égalités ((2.2)+(2.3)-(2.1)), on obtient :
W εad + W ∗ N ad + P(int) N ad , εad
{z
}
|
×
+P̂(ext) −
| {z }
◦
2n−l
X
Pα qαad
α=1
W ε
ad
+W
−
∗
2n
X
Riad qid − P(int) N ad , εad −P̂(ext) ≥ 0
|
{z
}| {z }
i=2n−l+1
N
ad
◦
×
−
2n−l
X
Pα qαad
2n
X
−
α=1
i=2n−l+1
Riad qid ≥ 0
l’égalité ayant lieu si et seulement si les efforts intérieurs Nβ et les déformations εβ sont
élastiquement liés dans chaque barre.
On peut définir deux nouvelles expressions :
√
énergie potentielle des déplacements CA du problème
V q
√
ad
=W ε
ad
−
2n−l
X
Pα qαad
α=1
(qui ne fait intervenir que les déplacements CA)
énergie potentielle des efforts intérieurs SA du problème
V
∗
N
ad
= −W
∗
N
ad
+
2n
X
i=2n−l+1
(qui ne fait intervenir que les efforts intérieurs SA)
Riad qid
2.7. THÉORÈMES DE L’ÉNERGIE ET APPLICATIONS.
35
On a alors le théorème suivant :
T
héorème 1 (approche globale des structures).
L’énergie potentielle de tout système de déplacements CA est supérieure à l’énergie
potentielle de tout système d’efforts intérieurs SA
V ∗ N ad ≤ V q ad .
Théorème du travail.
◦ ◦ ◦
Si l’on a affaire à la solution du problème N β , q α , les efforts intérieurs N β et les
◦
déformations εβ sont élastiquement liés dans chaque barre, ce ne sont plus des inégalités
mais des égalités que l’on manipule. On a alors :
◦ ◦ V ∗ N β = V qα .
On en déduit le théorème suivant :
T
héorème 2 (dit du travail).
Le travail des efforts extérieurs solution dans le champ des déplacements solution
est égal au double de l’énergie élastique globale de la solution.
2n−l
◦ ◦ X
◦
2W εβ = 2W ∗ N β = P(ext) (solution) =
Pα q α +
α=1
i=2n−l+1
Théorèmes de l’énergie potentielle.
Puisque la solution est CA, on en tire que
◦ V ∗ N ad ≤ V q α
Puisqu’elle est aussi SA
Et puisque
on a
◦
V ∗ N ≤ V q ad
∀N ad
∀q ad
◦
◦
V∗ N = V q
◦
◦
V ∗ N ad ≤ V ∗ N = V q ≤ V q ad
D’où les deux théorèmes suivants :
2n
X
∀N ad , ∀q ad .
◦
d
Ri qi
36
CHAPITRE 2. TREILLIS PLANS DANS LE DOMAINE ÉLASTIQUE
T
héorème 3 (dit de l’énergie complémentaire).
T
héorème 4 (pour la résolution en déplacements).
Parmi tous les efforts intérieurs SA pour un problème donné, la solution maximise
l’énergie potentielle V ∗ .
Parmi tous les déplacements CA pour un problème donné, la solution minimise
l’énergie potentielle V .
Les théorèmes de Castigliano.
Les théorèmes suivants, de démonstration délicate, sont très simples à mettre en œuvre
et très utiles pour la résolution de problèmes de structures.
Nous allons faire apparaître les variables dont dépendent les énergies potentielles :
X
2n−l
V q ad = W εad qαad , qjd −
Pα qαad
α=1
V ∗ N ad = −W ∗ N ad (Pα , XH ) +
2n
X
Riad (Pα , XH ) qid
i=2n−l+1
On sait que la solution est telle qu’elle minimise V donc dV = 0, et qu’elle maximise
V donc dV ∗ = 0. De plus, pour la solution, les deux énergies potentielles sont égales.
Cette énergie potentielle de la solution ne dépend que des données
d
d
P1 , · · · , P2n−l , q2n−l+1
, · · · , q2n
.
∗
C’est une grandeur avec une signification physique. Nous la notons
d
d
Π P1 , · · · , P2n−l , q2n−l+1
, · · · , q2n
.
D’après ce qui précède :
◦
• dΠ = dV , les déplacements qαad étant fixés égaux aux déplacements solution q α , les
données étant variables,
◦
• dΠ = dV ∗ , les tensions XH étant fixées égales aux tensions solution X H , les données
étant variables,
d’où
P ∂W ◦ d d 2n−l
P ◦
q α , qj dqi −
q α dPα
dΠ = dV =
d
α=1
i ∂qi
!
◦
∗
2n
P
P
P ◦
∂W
∂
Ri
= dV ∗ =
−
(Pα , XH ) +
(Pα , XH ) qid dPj +
Ri dqid
∂P
∂P
j
j
j
i
i=2n−l+1
2.7. THÉORÈMES DE L’ÉNERGIE ET APPLICATIONS.
37
l’identification des dérivées partielles conduit à :
◦
∂
d
q
Ri = d W α , qj
∂qi
◦
◦
∂W ∗ (Pj , XH ) X ∂ Ri d
qα=
−
qi
∂Pa
∂P
a
i
◦
T
héorème de Castigliano n◦ 1.
◦
Le déplacement q α sous la charge Pα , solution d’un problème, est la dérivée partielle
de l’énergie potentielle de la solution par rapport à la variable Pα , au signe près.
◦
∂W ∗ (Pj , XH ) X ∂ Ri d
qα=
−
q .
∂Pα
∂Pα i
i
◦
T
héorème de Castigliano n◦ 2.
◦
La réaction de liaison Ri correspondant au déplacement imposé qid , solution d’un
problème, est la dérivée partielle de l’énergie potentielle de la solution par rapport
à la variable qid .
Si les données en déplacement sont nulles, les qid n’apparaissent pas explicitement. Il
est donc impossible de dériver par rapport à ces variables. D’où le théorème suivant :
T
héorème de Castigliano n◦ 3.
◦
Lorsque les données en déplacement sont homogènes qid = 0 , le déplacement qα sous
la charge Pα , solution d’un problème, est la dérivée partielle de l’énergie élastique
globale des efforts intérieurs solution par rapport à la variable Pα .
Ce théorème est d’une très grande utilité pratique. Il permet, quand on a calculé
les efforts intérieurs solution, d’obtenir directement (sans passage par une intégration
cinématique) les déplacements sous les charges (qui sont généralement les informations
cinématiques dont on a besoin en priorité).
Remarque :
Si l’on souhaite connaître le déplacement d’un point où aucune charge n’est appliquée, on
introduit une charge fictive Q, on calcule les efforts intérieurs et on applique le théorème
de Castigliano n◦ 3, on annule ensuite la charge fictive. ♦
38
CHAPITRE 2. TREILLIS PLANS DANS LE DOMAINE ÉLASTIQUE
2.7.4
Théorèmes d’unicité, de superposition et de réciprocité.
Théorème d’unicité.
Soit un problème régulier.
La différence de deux solutions est (par linéarité) solution du problème homogène
associé au problème donné. Donc la puissance des efforts extérieurs associée
est nulle.
∆ ∆
On en déduit (théorème du travail) que pour la différence Nβ , εβ de deux solutions
∗
d’un problème régulier, on a W ∗ Nβ∆ = W ε∆
β = 0. W et W sont, par définition, des
∆
∆
formes quadratiques définies positives. Donc Nβ = 0 et εβ = 0. Si de plus l’assemblage
avec ses liaisons est rigide alors qα∆ = 0. D’où
T
héorème d’unicité.
Pour un problème régulier, les efforts intérieurs solution et les déformations solution
sont uniques. Si de plus l’assemblage est rigide, il y a unicité de la solution en
déplacements. Sinon les déplacements solution sont définis à un mouvement de solide
rigide près.
Théorème de superposition.
T
héorème de superposition.
La solution correspondant au chargement combinaison linéaire de deux chargements
est la combinaison linéaire correspondante des solutions relatives à chacun des deux
chargements.
Théorème de réciprocité (Maxwell-Betty)
T
héorème de réciprocité
(1)
(1)
Soient un chargement Pα et la solution en déplacements correspondante qα . Soient
(2)
(2)
un chargement Pα et la solution en déplacements correspondante qα . Alors
X
α
Pα(1) qα(2) =
X
Pα(2) qα(1)
α
Autrement dit : le travail des efforts extérieurs (1) dans les déplacements solution sous
les efforts (2) est égal au travail des efforts (2) dans les déplacements solution sous les
efforts (1).
Démonstration sur un treillis.
2.7. THÉORÈMES DE L’ÉNERGIE ET APPLICATIONS.
39
Appliquons le PPV aux efforts correspondant au chargement (1) avec pour déplace(1)
ments virtuels les solutions du problème (2). Les efforts intérieurs Nβ et les déformations
(1)
εβ sont élastiquement liés dans chaque barre, car solutions
X
Pα(1) qα(2)
α
=
X
(1) (2)
Lβ Nβ εβ
=
β
X
β
(1)
εβ
(2)
Lβ
ε
(ES)β β
(2)
(1)
Lβ εβ
β
♣
= −P(int) =
X
X
X
εβ
(2) (1)
=
Lβ Nβ εβ = −P(int) =
Pα(2) qα(1)
(ES)β
α
β
On peut établir une version plus générale de ce théorème :
A
géométrie et matériau fixés,
si l’on a deux jeux de données :
X
X (1) (2) X (2) (1) X (2) (1)
Pα(1) qα(2) +
Ri qi =
Pβ qβ +
Rj qj
α
2.7.5
i
j
β
Application : résolution en efforts intérieurs.
Commentaires sur le théorème 3.
Soit un problème hyperstatique d’ordre h où les données en déplacements sont homogènes (qid = 0). Alors
V ∗ N ad = −W ∗ N ad .
Le théorème 3 affirme que, parmi tous les efforts intérieurs SA représentés par
Nβad
=
2n−l
X
Pα NβPα
α=1
+
h
X
Xη Nβη ,
η=1
β = 1, · · · , b,
la solution minimise l’énergie élastique des déformations
W
∗
N
ad
b
X
2
1 Lβ
=
Nβad .
2 (ES)β
β=1
Ceci s’écrit :
b
b
X ∂W ∗ ∂Nβad X Lβ
∂W ∗
0=
N ad =
=
Nβad × NβI ,
ad ∂X
∂XI
(ES)
∂N
I
β
β
β=1
β=1
I = 1, · · · , η.
40
CHAPITRE 2. TREILLIS PLANS DANS LE DOMAINE ÉLASTIQUE
Soit encore :
0=
b
X
I
Lβ εad
β Nβ .
β=1
Ceci revient à écrire les relations de compatibilité directement sur les efforts intérieurs
grâce à la loi de comportement.
Exemple :
On reprend l’exemple du "trois barres", avec une charge verticale P~ = P ~ey , P>0.
√ 
 √ 
2
2
N1
 √2 
− √2 



N2ad  = P 
 2 + X 
2


−

N3ad
2
2
0
1


ad
la solution élastique maximise l’énergie potentielle.
V ∗ = −W ∗ + 0
,→car les données en déplacements sont nulles
ou, si l’on préfère, minimise W ∗ parmi tous les efforts intérieurs SA.
3
√
√ 2
X
L √ 2
1 Lβ
Nβad =
W ∗ N ad =
2P − 2 2XP + 1 + 2 X 2
2 (ES)β
2ES
β=1
Le minimum de cette fonction est donné par :
√ ∂W ∗
L √
=
− 2P + 1 + 2 X
0=
∂X
ES
c’est à dire
2−
√ ◦
2 P =X
d’où les efforts intérieurs solution
√ 
◦ 
2
N
1

√ ◦ 
√2 

 =P
2 P
+
2
−

2

N 2 


◦
2
N3
0
 √ 
2
− √2 



2 = P
−

2
1
√ 

2
1
−

√2 


2 .

1 −

√2
2− 2
2.7. THÉORÈMES DE L’ÉNERGIE ET APPLICATIONS.
41
Supposons les barres élastiques fragiles (même limite à la rupture en traction K). La
◦
barre 3 est la plus sollicitée. Elle casse donc en premier
lorsque N 3 atteint K soit quand
√
2+ 2
la charge extérieure atteint la valeur P ∗ =
K. À cet instant, la barre 3 casse
2
◦
∗
(N 3 = X = √0) et la charge
√ P est entièrement reportée sur les barres 1 et 2 qui sont
1+ 2
2 ∗
soumises à
P =
K > K. Elles cassent instantanément. La charge de sortie
2
2
du domaine élastique est également la charge limite de la structure pour laquelle celle-ci
s’effondre par un mécanisme de rupture simultanée des trois barres.
Enfin, on peut définir la raideur élastique de la structure k, comme le coefficient de
◦
proportionnalité entre la charge P et le déplacement sous la charge q2 . (on compare la
structure à un ressort)
– Première méthode : système cinématique.
√ ◦
◦
q2
2− 2 P
N2
ε2 =
=
=
L
ES
ES
!
√
◦
2 ES
D’où P = k q 2 avec k = 1 +
.
2
L
– Deuxième méthode : théorème de Castigliano n◦ 3.
◦
√ ◦
2 − 2 LP 2
.
W N =
2ES
∗
Il en résulte que
√ 2 − 2 LP
∂W ∗
q2=
=
∂P
ES
!
√
◦
2 ES
D’où P = k q 2 avec k = 1 +
.
2
L
– Troisième méthode : théorème du travail.
◦
◦
2W ∗ N = P q 2 .
◦
Donc
2−
◦
D’où P = k q 2 avec k =
√ ◦
2 LP 2
= P q2
ES
√ !
2 ES
1+
.♦
2
L
42
CHAPITRE 2. TREILLIS PLANS DANS LE DOMAINE ÉLASTIQUE
2.7.6
Application : approche globale des structures.
Principe.
Soit le problème où toutes les barres ont la même rigidité ES.
P~ = P ~ey , P > 0
◦
Soit ~q la flèche sous la charge P~ . Par linéarité, la solution du problème est telle que P = k q
où k est la raideur caractérisant globalement la structure. Ici, le théorème 1 s’écrit :
−W
∗
N
ad
◦
◦
◦
≤ −W N = W ε − P q ≤ W εad − P q ad
∗
Compte tenu du théorème du travail :
−W
∗
N
ad
◦
◦
1 ◦
P2
q
q
ε
−P =− P =−
≤W
≤ W εad − P q ad
2
2k
| {z }
◦
= 21 P q
P2
≤ W εad − P q ad .
−W ∗ N ad ≤ −
2k
P2
On va montrer que, étant donné un N ad , on peut mettre −W ∗ N ad sous la forme −
2kS
ad
ad
ad
(S pour statique), et que, étant donné un q , on peut mettre W ε
− P q sous la
P2
forme −
(C pour cinématique). On obtiendra un encadrement de la raideur exacte :
2kC
kS ≤ k ≤ kC .
Sans résoudre le problème on voit que tout champ d’efforts intérieurs SA conduit à une
borne inférieure et que tout champ de déplacements CA conduit à une borne supérieure
de la raideur exacte.
Dans l’exemple traité la valeur exacte peut être facilement calculée, il n’en est pas
toujours de même pour des structures plus complexes, l’encadrement ayant alors un grand
intérêt.
2.7. THÉORÈMES DE L’ÉNERGIE ET APPLICATIONS.
43
Détermination de la valeur exacte de k.
Déterminons tout d’abord un système d’efforts intérieurs SA.
A0 : R0x + N02 = 0
R0y = 0√
2
A1 : R1x +
N12 + N13 = 0
√2
2
R1y +
N12 = 0
2√
√
2
2
N12 +
N23 + N24 = 0
A2 : −N02 −
2 √
2
√
2
2
−
N12 −
N23 = 0
2
√2
√
2
2
A3 : R3x − N13 −
N23 +
N34 + N35 = 0
2 √
2
√
2
2
N23 +
N34 = 0
R3y +
2√
2√
2
2
A4 : −N24 −
N34 +
N45 = 0
2 √
2
√
2
2
N34 −
N45 = 0
−
2
2
√
2
A5 : −N35 −
N45 = 0
2
√
2
N45 − P = 0
2
on obtient un système hyperstatique de degré 2, avec si l’on choisit N12 et N13 comme
variables hyperstatiques :
 ad 
N02
ad 
N12
 ad 
N13 
 ad 
N23 
 ad  = P
N24 
 ad 
N 
 34

ad 
N35
ad
N45


 
2
0
 0 
0


 
 0 
1


 
 0 
 

 + X 0 + Y
 2 
0
 √ 
 
− 2
0


 
 −1 
0
√
0
2
 √ 
− 2
 1 


 0 


 −1 


 0 


 0 


 0 
0
Le treillis est hyperstatique de degré 2. Mais puisque A1 et A3 sont fixes, ε13 = 0 donc
N13 = 0. La barre est inactive. On peut donc considérer le treillis hyperstatique de degré 1
◦
obtenu en supprimant cette barre (X = 0). Le Y solution minimise W ∗ N ad par rapport
44
CHAPITRE 2. TREILLIS PLANS DANS LE DOMAINE ÉLASTIQUE
à Y . D’où :
W∗
P 1 Lβ
2
N ad =
Nβad
β 2 (ES)β
√ 2 √ 2
√ 2
√ 2
√ 2
l
2
2
2
=
2P − 2Y + 2Y + 2X + 2Y + 8P + 2 2P + 2P + 2 2P
2ES
√ 2l √
∂W ∗
=
− 2P + 1 + 2 Y = 0
∂Y
ES
√ ◦
=
2
−
2 P.
Y
Les efforts intérieurs solution sont alors :
◦ 
N◦ 02 


N 12 
◦ 
N 13 
◦ 


N 23 
◦ =P
N 24 
◦ 


N 34 
◦ 


N 35 
◦
N 45
√ 
2 2 −√ 2
 2− 2 




0

√ 
− 2 − 2 




2


√
 − 2 




−1
√
2

Le théorème de Castigliano donne :
◦
q=
d’où k =
∂W ∗
18lP
=
∂P
ES
ES
1
( ' 55, 6.10−3)
18lP 18
Obtention de bornes inférieures par l’approche statique.
Idée : on se donne des efforts intérieurs SA pour le problème considéré. On calcule
W et on le met sous la forme P 2 /2kS . Pour construire les efforts intérieurs SA on peut
supprimer des liaisons qi = qid puisque modifiant les données en déplacements, on ne
modifie pas les données statiques qui seules contribuent à définir les efforts intérieurs SA.
L’idée mécanique est donc de remplacer la structure par une structure moins liée (donc
de raideur moindre) mais plus facile à traiter.
Premier essai. On supprime l’appui fixe en A3 . Le problème devient isostatique.
√
X = −3P ; Y = − 2P
∗
2.7. THÉORÈMES DE L’ÉNERGIE ET APPLICATIONS.
◦ 


N◦ 02 
4


√
N 12 
− 2
◦ 


N 13 
 −3 
◦ 
√ 


 2
N 23 

◦ =P
 2 
N 24 

√ 
◦ 
− 2




N 34 
 −1 
◦ 
√


N 35 
2
◦
N 45
2
P 1 Lβ
W ∗ N ad =
Nβad
β 2 (ES)β
√
P2
l
=
8 2 + 44 P 2 =
2ES
2kS
ES
ES
' 18.10−3
kS = √
l
8 2 + 44 l
45
Deuxième essai. On remplace les appuis fixes en et par des appuis mobiles d’axes
horizontal.
Troisième essai. On remplace l’appui fixe en par un appui mobile horizontal. Le treillis
devient hyperstatique de degré 1. . N’importe quel Y minimise , le maximum étant obtenu
pour la solution réelle. Soit : . Alors
Obtention de bornes supérieures par l’approche cinématique. Idée : on se donne des
déplacements CA pour le problème considéré. On calcule et on le met sous la forme . On
en tire une borne supérieure pour le k. Pour construire les déplacements CA on n’a pas le
droit de toucher aux liaisons existantes puisque ces données cinématiques définissent les
déplacements CA, mais on peut en ajouter autant que l’on veut. Quant aux charges, elles
ne jouent aucun rôle dans la construction des conditions CA. L’idée mécanique est donc
de remplacer la structure par une structure plus liée (donc de raideur plus grande) pour
laquelle les calculs sont plus rapides. Premier essai. Tous les noeuds sont fixes sauf qui
peut se déplacer verticalement. Soit ce déplacement. , toutes les autres déformations étant
nulles. . La meilleure approximation est obtenue pour la solution du nouveau problème
c’est-à-dire :
d’où
Deuxième essai. Tous les noeuds sont fixes sauf et qui peuvent se déplacer verticalement. Soit et ces déplacements. , toutes les autres déformations étant nulles.
La meilleure approximation est obtenue pour la solution du nouveau problème c’està-dire :
d’où
Un exemple de structure avec dénivelé d’appui et contact unilatéral. Soit la structure
Toutes les barres ont le même module de rigidité à la traction/compression . L’appui en