Devoir Surveillé n 3 I Modèle semi-quantique de

DS n◦03 PCSI
Devoir Surveillé n◦3
Les candidat(e)s veilleront à exposer leurs réponses avec clarté et rigueur, rédiger avec soin dans un fran-
çais correct et reporter dans la marge les numéros des questions traitées. Les résultats seront encadrés.
Aucun document n’est autorisé. Il est conseillé de prendre rapidement connaissance de la totalité du
sujet avant de commencer. Le sujet est composé de 6 pages et de 3 exercices indépendants.
I Modèle semi-quantique de Bohr pour l’atome d’hydrogène
Les données suivantes pourront être utiles :
•Masse d’un proton : mp= 1,7×10−27 kg ;
•Masse d’un électron : me= 9,1×10−31 kg ;
•Charge élémentaire : e= 1,6×10−19 C;
•Permittivité du vide : ε0=1
36π109S.I;
•Constante gravitationnelle : G= 6,7×10−11 m3.kg−1.s−2.
I.1 Quelques questions de cours
1. Donner l’inégalité d’Heisenberg et expliquer sa signification. On précisera la signification de tous les termes.
2. Démontrer cette inégalité dans le cas du phénomène de diffraction.
3. Donner la formule de de Broglie. Quelle est sa signification ?
4. Calculer l’ordre de grandeur de l’énergie d’un atome.
5. Rappeler ce qu’est l’effet photoélectrique. Quel résultat expérimental principal est incompatible avec le caractère
ondulatoire de la lumière ? Quelle interprétation de ce phénomène a introduit Einstein ? en quelle année ?
6. Donner le schéma de l’expérience des fentes de Young dans le domaine quantique. Qu’observe-t-on ? Distinguer
les deux cas vus dans l’activité documentaire et discuter sur l’aspect probabiliste (3-4 lignes).
7. Déterminer les niveaux d’énergie d’une particule confinée dans un puits de largeur apar analogie avec les modes
propres d’une corde fixée à ses extrémités. Quel phénomène (observation physique) ce calcul quantique permet
d’expliquer ?
I.2 Modèle planétaire de l’atome d’hydrogène
On considère l’atome d’hydrogène 1
ZH.
1. Quel est le numéro atomique Z de l’atome d’hydrogène ? Préciser la composition de cet atome.
On étudie dans la suite le mouvement de l’électron autour du noyau de l’atome 1
ZH. La force électrostatique subie
par l’électron est dirigée selon la droite proton-électron. Cette force attractive a pour intensité Fe=1
4πε0
e2
r2où eest
la charge élémentaire et rla distance proton-électron.
2. Quel est l’unité de ε0dans le S.I ?
3. Exprimer l’intensité de l’interaction gravitationnelle Fg(et non le poids) subie par l’électron de la part du noyau.
On notera Gla constante gravitationnelle.
4. Calculer un ordre de grandeur du rapport Fg/Fe. En déduire que l’on peut négliger l’interaction gravitationnelle
devant l’interaction électrostatique.
Pour décrire l’atome d’hydrogène, Rutherford a utilisé un modèle planétaire dans le cadre de la mécanique new-
tonienne : l’électron a un mouvement circulaire, de rayon r, autour du noyau supposé fixe. En considérant le proton
comme immobile dans un référentiel galiléen, on montre que l’énergie mécanique Emde l’électron s’exprime sous la
forme :
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Em=−Ec=−1
8πε0
e2
r
où Ecest l’énergie cinétique de l’électron.
5. En déduire l’expression de la vitesse de l’électron ven fonction de ε0,e,ret me.
Lors de l’étude de l’atome d’hydrogène, différents faits expérimentaux ont conduit Niels Bohr à formuler l’hypothèse
suivante : l’électron ne peut se déplacer que sur certains cercles dont les rayons rnobéissent à la loi (quantification du
moment cinétique) :
L = n~
où Lest le moment cinétique de l’électron, ~=h
2π= 1 ×10−34 S.Iavec hla constante de Planck et nun nombre
entier >1.
6. Sachant que L = m r v, en déduire que l’hypothèse de Bohr peut aussi se mettre sous la forme :
2π r =n λ
où λest la longueur d’onde de de Broglie de l’électron.
7. Que peut-on dire en conséquence de l’onde associée à l’électron ? Représenter cette onde pour les valeurs n= 2,
n= 3 et n= 4.
8. Déterminer rnen fonction des constantes ε0,e,~,meet de npuis en fonction de r1et n.
9. Déterminer l’expression de En, énergie mécanique de l’électron sur le cercle de rayon rnen fonction de ε0,e,~,
meet de n. En déduire que Enest de la forme :
En=−E1
n2
On exprimera E1en fonction de ε0, e et r1.
10. Calculer r1, puis calculer E1en Joules et en électron-volt (1 eV = 1,6×10−19 J).
I.3 Spectre de l’atome d’hydrogène
1. Quelle est l’expression de la fréquence νpuis de la longueur d’onde λd’un photon émis lorsque l’électron passe
d’un niveau d’énergie Epà un niveau d’énergie En(p>n) ?
En 1 885, Joseph Balmer observe le spectre visible de l’atome d’hydrogène. Il constate que 1/λ est proportionnel à
1
4−1 p2:
1
λ= Rh1 4−1 p2
2. Avec la question précédente et la I.8, déterminer l’expression de Rhen fonction de E1, h et c.
3. À quelle valeur de nla série de raies de l’atome d’hydrogène observée par Joseph Balmer correspond-elle ?
4. Déterminer les longueurs d’onde des raies de cette série pour pallant jusqu’à 5. On prendra pour les applications
numériques Rh= 1,097 ×107m−1.
5. Quel intervalle de longueurs d’onde définit habituellement le spectre visible ?
I.4 Chute du modèle de Bohr
La puissance P rayonnée par un électron ayant une accélération aest donnée par la formule de Larmor :
P = exaycz
6πε0
1. Déterminer les entiers x, y, z par une analyse dimensionnelle.
2. Expliquer pourquoi le modèle planétaire est incompatible avec la formule de Larmor.
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I.5 Critère quantique
Une ”action” en physique, pour un système donné, est une grandeur caractéristique de ce système ayant pour
unité celle de la constante de Planck. Ainsi ~= 1 ×10−34 S.Iest appelée une ”action”. On peut déterminer une
action en combinant des paramètres pertinents pour la description des phénomènes physiques en jeu. Un système dont
l’action caractéristique admet une valeur proche de ~, est un système pour lequel on ne peut plus faire abstraction des
phénomènes quantiques. Par contre, si sa valeur est très supérieure à ~, alors l’étude du système relève de la physique
classique. En clair, il faut comparer dans les deux cas ci-dessous l’énergie du phénomène à celle qui correspondrait à
h f et conclure sur l’utilisation de la physique quantique ou non.
1. Rappeler (en justifiant) l’unité de cette constante ~dans le système international.
2. La description d’une antenne radio de puissance 1 kW qui émet pendant 1 s relève-t-elle de la physique quantique
lorsqu’elle émet à 1 MHz ?
3. Prenons maintenant l’atome d’hydrogène. Il possède une énergie d’ionisation égale à 2×10−18 J. Son spectre,
par ailleurs, est caractérisé par une longueur d’onde minimale λ= 100 nm. L’atome d’hydrogène relève-t-il de
la physique quantique ? En déduire une justification de la remise en cause du modèle de Bohr.
4. Dans le modèle quantique de l’atome d’hydrogène, de quelle manière décrit-on le comportement de l’électron ?
II Étude d’un système afocal imageur
Tous les schémas seront faits à l’échelle 1 cm →100 mm ce qui correspond à une échelle 1/10. On atta-
chera une attention particulière à la propreté des tracés et à la distinction entre rayons de construction,
rayons réels et prolongement de rayons.
Les angles seront orientés depuis l’axe optique vers les rayons utiles et comptés positivement dans
le sens trigonométrique. On rappelle que la tangente d’un angle orienté entre −π
2et π 2et du même
signe que cet angle. Par convention, les distances seront comptées positivement si elles sont orientées
vers le haut ou vers la droite.
Le but de ce problème est de comprendre le fonctionnement d’un système afocal imageur, système optique permet-
tant d’imager simultanément des objets situés à l’infini (voie champ lointain) et des objets situés à distance réglable
(voie champ proche) et dont le principe est schématisé sur la figure ci-dessous :
Un système afocal imageur est constitué :
•du système afocal à proprement parler, constitué de deux lentilles convergentes L1et L2,
•d’une lame semi-réfléchissante, dont le rôle est de transmettre 50% de la lumière incidente et de réfléchir 50% de
la lumière incidente,
•de la voie de détection champ lointain, permettant d’imagé sur un capteur l’image finale d’un objet situé à
l’infini,
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•de la voie de détection champ proche, permettant d’imagé sur un capteur l’image finale d’un objet situé à une
distance D avant la lentille L1du système afocal.
Dans ce problème, on n’étudiera pas l’effet de la lame semi-réfléchissante. Tout se passera donc comme si on étudiait
l’effet des voies de détection indépendamment, et on redonnera dans chaque partie un schéma optique équivalent ne
comportant que la voie étudiée.
On rappelle que pour une lentille mince de centre O, de distance focale image f0, dont les foyers sont F (objet)
et F0(image), qui conjugue un objet transverse AB avec son image A0B0où Aet A0sont sur l’axe optique, on a les
relations suivantes :
1
OA0−1 OA =1
f0FA ×F0A0=−f02
et γt=A0B0
AB =OA0 OA =−F0A0
f0=f0
FA
II.1 Réglage du système afocal
Le système afocal est composé de deux lentilles minces sphériques, de même axe optique ∆:
•une lentille convergente L1, de distance focale f0
1= 400 mm,
•une lentille convergente L2, de distance focale f0
2= 200 mm.
On supposera que les deux lentilles du système travaillent dans les conditions de Gauss. Les deux lentilles L1et
L2sont associées de manière à former un système afocal, c’est-à-dire que l’image d’un objet à l’infini par le système
optique se situe à l’infini.
1. Donner les définitions de stigmatisme et aplanétisme.
2. Rappeler les conditions de Gauss pour un système optique centré et leurs conséquences pour ce système.
3. Quelles sont les valeurs des vergences des lentilles L1et L2, notées respectivement v1et v2?
On considère un point objet A situé à l’infini sur l’axe optique. On pourra noter ses images successives A0,A00 , etc.
4. En expliquant soigneusement, éventuellement avec un schéma de principe, exprimer O1O2en fonction des dis-
tances focales des lentilles. Application numérique.
5. Sur un schéma, tracer la marche d’un rayon lumineux issu du point A à travers le système afocal (c’est-à-dire
que tous les rayons sont parallèles à l’axe optique). On notera dla distance algébrique depuis l’axe optique
jusqu’au rayon et on précisera la position des différents foyers de chaque lentille. Attention à l’échelle indiquée
au début de l’énoncé.
6. Indiquer sur le schéma la distance algébrique d0depuis l’axe optique jusqu’au rayon émergeant du système
afocal.
7. Déterminer la valeur du grandissement transversal gdu système afocal, grandeur algébrique définie comme :
g=d0
d
Le grandissement transversal sera exprimé uniquement en fonction des distances focales f0
1et f0 2puis on fera
l’application numérique correspondante.
On considère désormais un point objet B situé à l’infini en dehors de l’axe optique, dans une direction faisant un
angle αavec l’axe optique. On notera B0,B00 , etc. ses images successives.
8. Sur un nouveau schéma, représenter la marche d’un rayon issu de B, ne passant pas par le centre O1de la
première lentille. On notera sur le schéma α0l’angle formé par ce rayon émergent et l’axe optique. On pourra
tracer d’autres rayons pour la construction et on précisera la position des foyers et de l’image intermédiaire.
9. Les angles sont orientés positivement dans le sens trigonométrique. Exprimer les tangentes αet α0en fonction
de la taille A0B0de l’image intermédiaire et des distances focales.
10. Montrer que le grossissement G du système afocal, grandeur algébrique définie par G = α0/α vaut
G = −f0
1
f0
2
Faire l’application numérique.
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II.2 Étude de la voie de détection du champ lointain
On étudie désormais la voie de détection du champ lointain permettant, sans toucher au réglage afocal, de
visualiser sur un capteur l’image réalisée par le système afocal d’un objet situé à l ?infini.
L’effet de la lame semi-réfléchissante n’étant pas étudié, le schéma optique équivalent de la voie de détection du
champ lointain est le suivant.
La détection est réalisée à l’aide d’une lentille convergente L3, de distance focale image f0
3= 250 mm, couplée à
un capteur.
11. Sans faire aucun calcul ni construction géométrique, en quel point doit-on placer le capteur pour observer l’image
nette de l’objet AB à l’infini ?
12. Sur un schéma, représenter la marche d’au moins un rayon issu de B formant une image sur le capteur. On
respectera l’échelle et on précisera la position des différents foyers ainsi que les angles αet α0. Vous pourrez
éventuellement (en le précisant sur votre copie) compléter le schéma de la question 8.
13. Montrer que la taille de l’image A000 B000 sur le capteur AB à l’infini est donnée en fonction de αet Gpar
A000 B000 =|Gα|f0
3
14. En déduire numériquement la taille sur le capteur d’un objet de diamètre apparent α= 5,0◦.
II.3 Étude de la voie de détection du champ proche
On étudie désormais la voie de détection du champ proche, permettant, toujours sans toucher au réglage afocal, de
visualiser sur un second capteur l’image d’un objet A1B1, de taille A1B1= 100 mm, situé à une distance D = 150 mm
de la lentille d’entrée L1du dispositif afocal.
L’effet de la lame semi-réfléchissante n’étant pas étudié, le schéma optique équivalent de la voie de détection du
champ proche est le suivant :
On appellera les images successives de A1B1,A2B2,A3B3, etc. avec le schéma de principe suivant
A1
L1
−→ A2
L2
−→ A3
15. Par une construction géométrique, respectant l’échelle donnée au début de l’énoncé, tracer les images successives
de A1B1et faire figurer la distance D. Donner la nature et le sens des images.
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