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[ TS - AP : Suites et Algobox - \
a. Pourquoi sait-on qu’il existe au moins un entier n0 tel que, pour tout n > n0 ,
un > 10p ?
On s’intéresse maintenant au plus petit entier n0 .
Nom :
E XERCICE 1
Partie A On considère l’algorithme suivant :
Les variables sont le réel U et les entiers naturels k et N .
b. Déterminer à l’aide du programme ci-dessus cet entier n0 pour p = 3.
U=
Aide : Lorsque N =
Lorsque N =
U=
Entrée
Saisir le nombre entier naturel non nul N .
c. Proposer un algorithme qui, pour une valeur de p donnée en entrée, affiche
en sortie la valeur du plus petit entier n0 tel que, pour tout n > n0 , on ait
un > 10p .
Aide : Si on écrit l’algorithme à l’aide d’Algobox,(10p s’écrit pow(10,p)) on
aura (compléter) :
Traitement
Affecter à U la valeur 0
Pour k allant de 0 à N − 1
Affecter à U la valeur 3U − 2k + 3
Fin pour
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Sortie
Afficher U
L’algorithme précédent avec Algobox donne le résultat suivant :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
VARIABLES
U EST_DU_TYPE NOMBRE
k EST_DU_TYPE NOMBRE
N EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE N
U PREND_LA_VALEUR 0
POUR k ALLANT_DE 0 A N-1
DEBUT_POUR
U PREND_LA_VALEUR 3*U-2*k+3
FIN_POUR
AFFICHER "U = "
AFFICHER U
FIN_ALGORITHME
11
12
13
14
15
16
17
18
VARIABLES
___ EST_DU_TYPE NOMBRE
___ EST_DU_TYPE NOMBRE
___ EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE ___
___ PREND_LA_VALEUR ______
___ PREND_LA_VALEUR ______
____________ U ___ pow(10,p) FAIRE
____ PREND_LA_VALEUR ______________
____ PREND_LA_VALEUR k+1
AFFICHER "k = "
AFFICHER k
AFFICHER "U = "
AFFICHER U
FIN_ALGORITHME
E XERCICE 2
On considère l’algorithme suivant :
Utilisez cet algorithme pour répondre aux questions suivantes :
Quel est l’affichage en sortie lorsque N = 1 ?
Quel est l’affichage en sortie lorsque N = 2 ?
Quel est l’affichage en sortie lorsque N = 3 ?
Partie B
On considère la suite (un ) définie par u0 = 0 et, pour tout entier naturel n,
un+1 = 3un − 2n + 3.
Variables :
Entrée :
Initialisation :
Traitement :
1. Calculer u1 et u2 .
2.
a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un > n.
Sortie :
b. En déduire la limite de la suite (un ).
i et n sont des entiers naturels.
u est un réel.
Demander à l’utilisateur la valeur de n.
Affecter à u la valeur 0.
Pour
¯ i variant de 1 à n.
¯
¯Affecter à u la valeur u + 1
¯
i
Afficher u.
Donner la valeur affichée par cet algorithme lorsque l’utilisateur entre la valeur n = 3.
3. Soit p un entier naturel non nul.
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