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[TS - AP : Suites et Algobox - \
Nom :
EXERCICE 1
Partie A On considère l’algorithme suivant :
Les variables sont le réel Uet les entiers naturels ket N.
Entrée
Saisir le nombre entier naturel non nul N.
Traitement
Affecter à Ula valeur 0
Pour kallant de 0 à N−1
Affecter à Ula valeur 3U−2k+3
Fin pour
Sortie
Afficher U
L’algorithme précédent avec Algobox donne le résultat suivant :
1 VARIABLES
2 U EST_DU_TYPE NOMBRE
3 k EST_DU_TYPE NOMBRE
4 N EST_DU_TYPE NOMBRE
5 DEBUT_ALGORITHME
6 LIRE N
7 U PREND_LA_VALEUR 0
8 POUR k ALLANT_DE 0 A N-1
9 DEBUT_POUR
10 U PREND_LA_VALEUR 3*U-2*k+3
11 FIN_POUR
12 AFFICHER "U = "
13 AFFICHER U
14 FIN_ALGORITHME
Utilisez cet algorithme pour répondre aux questions suivantes :
Quel est l’affichage en sortie lorsque N=1 ?
Quel est l’affichage en sortie lorsque N=2 ?
Quel est l’affichage en sortie lorsque N=3 ?
Partie B
On considère la suite (un)définie par u0=0 et, pour tout entier naturel n,
un+1=3un−2n+3.
1. Calculer u1et u2.
2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,un>n.
b. En déduire la limite de la suite (un).
3. Soit pun entier naturel non nul.
a. Pourquoi sait-on qu’il existe au moins un entier n0tel que, pour tout n>n0,
un>10p?
On s’intéresse maintenant au plus petit entier n0.
b. Déterminer à l’aide du programme ci-dessus cet entier n0pour p=3.
Aide : Lorsque N=U=
Lorsque N=U=
c. Proposer un algorithme qui, pour une valeur de pdonnée en entrée, affiche
en sortie la valeur du plus petit entier n0tel que, pour tout n>n0, on ait
un>10p.
Aide : Si on écrit l’algorithme à l’aide d’Algobox,(10ps’écrit pow(10,p)) on
aura (compléter) :
1 VARIABLES
2 ___ EST_DU_TYPE NOMBRE
3 ___ EST_DU_TYPE NOMBRE
4 ___ EST_DU_TYPE NOMBRE
5 DEBUT_ALGORITHME
6 LIRE ___
7 ___ PREND_LA_VALEUR ______
8 ___ PREND_LA_VALEUR ______
9 ____________ U ___ pow(10,p) FAIRE
10
11 ____ PREND_LA_VALEUR ______________
12 ____ PREND_LA_VALEUR k+1
13
14 AFFICHER "k = "
15 AFFICHER k
16 AFFICHER "U = "
17 AFFICHER U
18 FIN_ALGORITHME
EXERCICE 2
On considère l’algorithme suivant :
Variables : iet nsont des entiers naturels.
uest un réel.
Entrée : Demander à l’utilisateur la valeur de n.
Initialisation : Affecter à ula valeur 0.
Traitement : Pour ivariant de 1 à n.
¯
¯
¯
¯
Affecter à ula valeur u+1
i
Sortie : Afficher u.
Donner la valeur affichée par cet algorithme lorsque l’utilisateur entre la valeur n=3.
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