Thermodynamique d`un fluide relativiste

Séminaire L. de Broglie.
Théories physiques
P HAM M AU Q UAN
Thermodynamique d’un fluide relativiste
Séminaire L. de Broglie. Théories physiques, tome 24 (1954-1955), exp. no 3, p. 1-19
<http://www.numdam.org/item?id=SLDB_1954-1955__24__A3_0>
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3-01
Faculté des Sciences de Paris
23 novembre 1954
_, _~ _j _g _g _g _, _
Séminaire de Théories Physiques
(Séminaire
Louis de
BROGLIE)
-t -g -g -t -, -, -g -
1954/1955
Année
EXPOSÉ N° 3
THERMODYNAMIQUE D’UN FLUIDE RELATIVISTE,
par PHAM MAU QUAN
1
Introduction et considérations
géométriques
1. INTRODUCTION
Je
tenus
me
propose, dans cet
exposée d’indiquer quelques résultats que j’ai
récemment dans l’étude des fluides thermodynamiques. Cette étude
dans le cadre de la Relativité
a
ob-
été faite
générale.
Des tentatives d’études ont été effectuées
cette voie.
Déjà,
dès les
premiers temps de la Relativité, Einstein, Planck, De Broglie, étudiaient la nature
des grandeurs thermodynamiques, à travers leur variance dans le groupe de
Puis en 1940, C. Eckart [2] et van Dantzig [3] ont cherché à établir les équations
générales des fluides thermodynamiques, respectivement en Relativité restreinte et en
Lorentz .
Relativité
générale 9
mais d’une manière
en
général
peu satisfaisante.
J’ai été amené à faire cette étude pour les raisons suivantes.
On sait que la
d’Alembert
P (
du
p,
aux
6)
où p
principe
tème
en
est la
de d’Alembert
densité et 03B8
généralisé,,
on
température. Cependant, dans l’application
procède aux modifications virtuelles du sysla
deux stades :
a)
et
fluides
thermodynamique classique justifie l’extension du principe de
dont le ;potentiel interne par unité de volume est de la forme
une
modification virtuelle compatible
avec
les liaisons à l’instant
t
qui laisse invariante la température.
b) une
thermodynamique.
.
modification de la
température fixée
au
moyen de
quelque hypothèse
On
où
déduit qu’en tout point du fluide, existe la
~.
en
représente
p
la
Elle fait intervenir
faire intervenir
pèce l’équation
une
relation
:
pression du fluide. C’est l’équation caractéristique du fluide.
8 . On doit alors
en Hydrodynamique un nouveau champ scalaire
nouvelle relation demandée à la théorie de la chaleur, en l’es-
de conduction
décomposition précédente permet heureusement en Mécanique classique
d’établir les équations générales du fluide. Mais, si selon les principes de la Relativité, on donne une inertie à l’énergie, de quelque origine soit-elle, on ne peut
par ce procédé 9 obtenir les équations rigoureuses du fluide.
La
Pour avoir les
faut
encore
tenir
compte
équations rigoureuses
de l’effet de la
des fluides
thermodynamiques,
il
nous
gravitation.
part, en relativité générale, la représentation de la matière s’effectue nécessairement par des schémas du type hydrodynamique. L’hydrodynamique relativiste a reçu des travaux de A. Lichnerowicz ~~~ un exposé cohérent et rigoureux.
Elle constitue le premier pas d’une théorie complète des milieux continus. Il apparaît comme nécessaire de développer une théorie thermodynamique des fluides en iRelaD’autre
tivité générale.
2. LES POSTULATS
Il est clair qu’une théorie relativiste des fluides
trouver
ses
bases dans les théories de
l’hydrodynamique
thermodynamiques
et de la chaleur. Aussi
doit
nous
efforcés de tenir le plus grand compte des bases classiques nécessaires
à l’intelligence de la théorie et aux applications possibles. Inversement notre étude
suggère une modification de certains résultats classiques concernant la thermodynanous sommes
mique des fluides
Il
théorie,
nous
en
mouvement.
apparaît
comme
suffisant de
prendre
pour
éléments primitifs de notre
les éléments suivants:
1° -
un
espace,temps
de la
Relativité générale qui fait intervenir la gra-
phénomènes étudiés,
vitation dans les
qui établissent
le lien
priétés géométriques
siège des phénomènes
de
Nous
V4 ,
ET CONSIDERATIONS
représentons
traduit par
thermique 3
le fluide
Un fluide relativiste
déformable,
/
considéré par
un
domaine
connexe
de classe
c2 ,
de
l’espace-
c
par
mor-
métrique
type hyperbolique normal. Les
doué des
1)
il
2)
il est
propriétés
possède
une
g
c3
sont de classe
peut être considéré
suivantes
comme un
par
morceaux.
milieu matériel
continu,
ô
densité propre p ;
possible de définir
un
vecteur vitesse
unitaire u
pour
chaque
du milieu.
point
Cette définition est suffisante pour que le fluide constitue
tion
l’hy-
GÉOMÉTRIQUES GÉNÉRALES.
variété différentiable à quatre dimensions
ceaux~ douée de la
du
i
l
l
i
DÉFINITIONS
temps
de conduction
de Fourier
~
3.
logique entre le champ gravitationnel inclus dans les pro1’espace-temps et 10 champ de la matière qui constitue le
phénomène élémentaire
le
pothèse
d’Einstein
équations
2° - les
phénoménale
de l’univers
Le fluide
fiques
ne
sont pas
vecteur vitesse
et le
envisagé
négligés.
spatio-temporel de
est dit
des
descrip-
Physique.
thermodynamique, lorsque
les
phénomènes
calori-
Un tel fluide fait intervenir les données suivantesi
unitaire u ,
champ scalaire
la
une
densité propre f , tenseur des pressions
températures propres 5 .
03C003B103B2
2
classe
c
6 qui représente
La fonction scalaire
4
~
c
supposée
est
de
morceaux.
par
Considérons dans la variété espace-temps
un
température
la
milieu fluide. Nous dirons que
V. ~
un
l’espace-temps riemannien
occupé
D
domaine
par
est associé à
V.
ce
fluide.
u désigne
le vecteur vitesse unitaire
trajectoires orientées
temps, sont appelées lignes
dans le
appellera repère
norme dont le premier vecteur
On
propre
V
et dont les trois autres vecteurs
condition
-~i)~
V ’
Ce
a
=
la direction du
On
en un
point
coïncide
V
de courant.
du domaine
avec
D
repère
un
le vecteur vitesse unitaire
en ce
où les
doit être identifié à
vecteur u . L’espace
un
repère galiléen
associé est défini
local. L’axe de
par le
point. La métrique d’univers
forment
sent des
un
système
de
V4
prend
V4
de formes de Pfaff linéairement
considération du repère propre est fort utileo
En
effet,
au
premières
Quant à
tenseur peut être défini
repère
propre. Ses
en un
composantes
.
au
repère
la formes
La
un
temps
V
tri-plan
peut naturellement rapporter le voisinage d’un point de
posantes relatives
u ,
orientés dans l’espace sont normes par la
.
propre
ortho-
1 .
-
repère
chaque point du fluide. Ses
en
point
x
indépendantes.
de
V4
par
générales quelconques
ses
se
com-
dédui-
par des formules de transformation connues.
l’interprétation
locale des
équations,
on
s’appuie
sur
la
remar-
que suivante :
Dans la théorie de la Relativité
générale,
l’univers est
regardé
comme une
variété dont les systèmes de référence en un point se repèrent entre eux comme dans
la Relativité restreinteinte. Dans celle-ci, l’espace-temps rapporté au repère propre,
admet la
métrique 1
où
et .
est la vitesse de
c
propagation
do la lumière dans le vide.
II
Les
4. LE TENSEUR
Les
équations
du fluide
thermodynamique
D’IMPULSION-ÉNERGIE.
équations
Le tenseur
du
S
03B103B2
champ
de
sont les
éguations
signification
d’Einstein
essentiellement
géométrique
est défini
par
où
R03B103B2
R
g‘~°~ R 0
=
est le tenseur de
Le
et
k
la
est la constante
variété riemannienne
V4
cosmologique.
signification purement physique, doit décrire au mieux
les propriétés du milieu. Les grandeurs qui figurent dans ce tenseur sont les éléments du modèle plus ou moins simplifié du concept approprié au problème traité par
lequel nous remplaçons la matière réelle. Pour un fluide thermodynamique, nous som-
tenseur
mes
conduits à prendre
où
Q
est le tenseur
de
n
thermodynamique.,
Nous rapportons
repère
propre
en ce
points Dans
le fluide
ce
repère,
au
voisinage d’ un point
la matière est
au
repos
au
au
point consi-
dere.
sions
03C0i’k’
tion
thermique.
d’énergie
ainsi amenés à
sommes
dans le
repère
justifiées
seront
Rapportons
sont les
repère
donner
par les
qui
rend
composantes
tenseur de près-
compte
T
03BB’ ’
de la conduc-
du tenseur
conséquences.
l’espace-temps au point considéré au
coordonnées curvilignes locales x~ . La matrice
est
~A ~ ~ ~
Soit
(A~ )
la matrice
composantes contravariantes des
inverse. Les
du repère
natude pas-
A B’
propre dans le
naturel. Soit>
t
accent
se
ces
formules et dans colles qui
rapportent
1~ 2~ 3 ~ tout indice
au
grec
suivent~ les indices affectés
prend
propre ; tout indice latin prend les valeurs
les valeurs 0 ~ 1 ~ 2 ~ 3 .
~
T" ~
t
aux
composantes contravariantes
par les formules ~
En effectuant les
nous avons
poséô
d’un
repère
Nous passons des composantes
où
q
son
maintenant
au système de
repère à l’autre
Dans
T c~/~
aux
i’"
propre, les valeurs suivantes :
rel associé
sage d’un
densité propre P y
sa
par
et le vecteur courant de chaleur
Nous
qui
caractérisé
Le fluide y est
calculs,
nous
donnerons à
?’‘~’~
l’expression
°
quantités
Les
et
q~
satisfont respectivement
aux
identités
5. LA CONDUCTIONDE LA CHALEUR EN RELATIV TE.
q~
Le vecteur courant de chaleur
relativiste de
point
l’hypothèse
considérée
il
c,
pour
de Fourier. En
aux
formes 03C903B1
.
x
en
=
-n~03C103B8
remarquant
rapport
est le coefficient de conductivité
q ,
de
q
à
ses
repère
propre
au
rela-
thermique.
composantes covariantes
àÎ,
que
:
q
changement
on
en
ie coordonnées :
à. ,Ù = ~p
8
déduit:1
est la composante d’ espace du vecteur - grad 03B8.
On vérifie que
Cette identité appelle deux remarques :
1)
au
par les formuless
D’autre part, dans le
q, ,
par
température, ~la dérivée pfaffienne
Nous passons des composantes
générales q~
effet,
composantes :
où 03B8 désigne le champ scalaire de
tive
peut être rendu compte par l’ extension
q~
est
un
vecteur
d’espace, orthogonal
à
u~ :1
ài.
et par suite
2) l’identité u~ q. ~
"
0 traduit
en un
certain
l’absence de toute
sens
densité de charge calorifique ".
Définition.- On appellera lignes de chaleur, les trajectoires du vecteur
courant de chaleur
q~ .
lignes, orientées
Ces
dans
rant. Elles interviennent pour la
Dans
l’espace-temps
chaleur à travers
l’espace, sont orthogonales aux lignes de coudescription de certains phénomènes calorifiques.
V49
le vecteur
q~ permet
de
définir le flux de
élément tri-plan orienté dans le temps. Il satisfait à une formule de divergence que l’on peut établir en admettant le postulat de continuité de
un
la chaleur.
L’élément de fluide
point
au
caractérisé par
est
température 03B8 , son volume spécifique 03C9 = 1 p . Au cours
mentaire d’état, la quantité de chaleur mise en jeu est
sa
où
est la chaleur
c
est la forme
m
repère
spécifique
élément de matière qui
~O’~1~2~3’
de volume
est le tenseur
spatio-temporel.
lorsqu’on rapporte l’espace-temps
Par
définition, Q~
est
+
dx ,
La
quantité
repère
pour
la chaleur de dilatation.
composante
nulle dans
non
au
propre donne
complètement antisymétrique attaché
On
en
repère
au
à la forme
déduit l’expression
appelée
quadridimensionnel de fluide attaché
x
a
d’une modification élé-
propre
Un calcul effectué dans le
élément
et ~
à volume constant
densité ~ ~
sa
naturel.
0
la chaleur
x~
lorsqu’il
dégagée
relative à
point
totale de chaleur
dégagée
relative à
vient
un
au
un
élément
point
domaine
B4
de
l’espace-temps, occupé
par le
fluide,
sera
l’intégrale1
Considérons maintenant des domaines
engendrées
rant par deux sections
fluides). Le postulat
chaleur dégagée relative à
volumes
de
la
un
limités dans des tubes de
au
la frontière de
choix de
B4 , dcj
B4 ,
cou-
lignes de chaleur (associées donc à
continuité de la chaleur consiste à affirmer
par des
B.
quelconque
est
égale
travers la surface latérale de
de chaleur
Grâce
B.
ce
flux
a
pour valeur
l’élément d’hypersurface
au
flux du vecteur
des
que
cou-
B..
q03B1d03C903B1 ,
où
~B4
de
~B4
Nous
est
avons
donc1
En transformant la seconde
formule de
Stokes,
on
en
déduit
intégrale
l’égalité
en
intégrale
de
divergence
qui a lieu pour tout domaine
B4 du type considéré. Sous des hypothèses
rentiabilité de la théorie, on tire :1
Cctte
tion
classique
équation s’appelle équation
de conduction. Elle
par la
de
diffé-
généralise l’équa-
de Fourier.
1
6. LES EQUATIONS DE MOUVEMENT.
Les
équations
les conditions de
de mouvement du fluide
conservation
thermodynamique
sont fournies par
appliquées
à la forme
(4.3)
du tenseur
d’impulsion énergie.
En tenant
compte des
conditions
on en
déduitt
L’équation (6.1) joue
rôle d’une équation do continuité pour le milieu.
le
L’énergie d’origine calorifique
y
figure effectivement.
part, les lignes de courant du schéma considéré sont définies comme lignes tangentes en chaque point au vecteur vitesse unitaire u , c’est-à-dire
les trajectoires du champ de vecteur u . Les équations (5.2) où l’on posera
D’autre
constituent
un
système différentiel qui déterminera
Il convient
d’ajouter
qui déterminent les lignes
L’interprétation
aux
lignes
équations précédentes,
de chaleur et le
des
les
équations
les
de courant du
équations
champ de température
de mouvement
se
fait
schéma.
en
du
schéma.
faisant les
hypo-
thèses localesâ
où ~
est la densité de matière
locale,
traduit la conservation de la matière.
pL~
la densité
d’énergie
interne.
(6.6)
d’ un
Cas
fluide parfait thermodynamique.
Un fluide est dit
1
On
où
ds
a
p
agissant
sur un
alors dans le
est
un
parfait,
si la résultante des forces
élément de surface orientée
repère
scalaire
superficielles
ds ~ est normale à cet élément.
propre
représentant
la
pression
du fluide
au
point considéré.
Les formules de transformation conduisent à
Nous donnons
namique,
au
tenseur
d’impulsion-énergie
d’un fluide
parfait thermody-
la forme
Les
équations
Les trois
de mouvement s’écrivents
quantités p,
d’état du fluide parfait. Celle-ci
sont liées par
est introduite
sous
une
relation
la forme ~ô
appelée équation
III
LA STRUCTURE DES
ÉQUATIONS
DU CHAMP
RELATIF A UN FLUIDE PARFAIT THERMODYNAMIQUE
7. LE PROBLEME D.i; CAUCHY.
Etant
donné,
dans la variété
espace-temps
occupé par un fluide thermodynamique, on se
équations fondamentaLes au moyen de la solution
de la relativité
générale,
un
domaine
propose d’étudier la structure
des
du
Le
champ
de
donnés
on se
gravitation
sur une
a)
le champ de
b)
le
propose
champ
L’hypersurface
les
équations
tèmes
S
(g03B103B2,03B8)
au
d’~instein sont
équations
d’Einstein
et
de
quantités
étant définie localement
équivalentes
aux
Cauchy.
g . et leur dérivées
voisinage
les valeurs des
S
satisfaire
de
S ~i
hypersurface
températures par 03B8
des
sur
supposé
gravitation par les
de déterminer
sibilité de calculer
vécs successives.
est
problème
pour
S o Il suffit d’étudier la pos-
introduites et de leurs déri-
par
g ~~ ~ 0
à l’ensemble des deux sys-
De
(7.3)
tire
on
en
qui
déterminent linéairement
V
ou
W V
0
1
u.
ractère unitaire de
(R0)2
en
effet les
u
et
Z
fontion de
équations
à
p ,
partir
en
V .
Or~
on
exprimant à partir
peut déterminer
de
(7.3)
le
ca-
Il vient1
(S003BB
est le carré du vectcur d’
Connaissant
de
W0 (p)
on
détermine sur S
+ ~p g003BB).
la valeur
p
â l’ aide de
l’ é quati on d’ é t at
puis les valeurs
de
donnent alors les
~u..Les u ~B
sont déterminées si
sur
S
de
s’effectuent
à l’aide des conditions de conservation et de
l’équation
Introduisant
on
tème :é
équations (7.2)
~0 gij .
La détermination des valeurs
encore
0 . Les
l’inconnu
auxiliaire 1 ,
de conduction
déduit de
ces
thermique.
équations,
le sys-
équations
et les trois
où
~03B 03B8 = g03B 03C1~03C103B8
et où les
x
désignent
et
des
quantités
à valeurs
con-
’
nues
S .
sur
V0 ~ 0 ,
Pour
connues
sont immédiatement
les
connues
quand les
autres in-
évaluées. Le calcul peut être poursuivi par des dérivations
ont été
succes-
sives.
sauf pour des variétés
Ainsi~
admet
(au moins sous
équations adoptées.
solution
une
tifier les
8. LE
PROBLÈME
DE
exceptionnelles,
des données
le
analytiques)y
Cauchy posé
qui contribue à jus-
problème
ce
de
RACCORDEMENT.
variété espace-temps V. ~ un modèle
comportant plusieurs domaines meublés par de la matière. Dans chacun de ces domaines
meublés~ la matière engendre un tube d’univers limité par une hypersurface S . A
On
se
l’intérieur de
d’Einstein du
propose de
S ,
cas
la
représenter
métrique
de
cas
aux
équations
meublés,
elle doit vérifier les
équations
extérieur
L’axiomatique
vantes :
l’espace-temps doit satisfaire
intérieur
A l’extérieur de tous les domaines
tein du
sur une
de la
théorie conduit
aux
conditions de raccordement sui-
1°- les (g03B103B2,~03B g03B103B2)
continues pour l’
( ~ ~ 1~, ~ ~
~° -- les
à la traversée de
champ extérieur,
On
lcs
en
déduit
lignes
avec
LES
de raccordement
champ
d’un fluide
doit s’offectucr le
la condition
S .
parfait thermodynamique avec un
long d’une hypersurface S sur laquelle
Si = 0
sur
S~
que
de courant du schéma intérieur et que la
,
9o
continues pour le schéma matériel
l’hypcrsurface
Le raccordement du
espace-temps
1
.
VARIETES CARACTERISTIQUES
C
VC3
1
S
doit être
engendrée
pression s’annule
sur
par
S ~
/
ET LES VARIÉTÉS EXCEPTIONNELLES DU PREMIER
3.
Les variétés exceptionnelles du
la traversée
desquelles
se
présentent
problème
certaines
Cauchy sont des va,riétés â
discontinuités. Dans un système de
dE
coordonnées arbitraire, elles auront pour équation
Pour qu’Elles aient
soit orientée dans le
Dans 10
ser ce
qu~ elle
signification physique, il faut faire l’hypothèse qu’elle
temps, ou à la limite, tangente aux cônes élémentaires ~
une
langage
qu’on appelle
de la théorie de
par vitesse de
est donnée par
propagation par ondes, on peut généralipropagation au sens d’Hugoniot. On établit ,;w ~~, r~ ~
On sait alors que les
rôle de surfaces d’ondes gravifiques (Darmois
Les variétés
continuités
du
gradient
exceptionnelles
de
0) jouent
variétés caractéristiques
du
cLp (ainsi
pression
’-’:’).
et Lichnerowicz
V~
ordre
premier
le
correspondent
aux
dis-
que de
Elles constituent 1~extension relativiste des fronts d’ondres de l’hydrodynamique
l’on tient compte des
classique lorsque
généralisent
Elles
dillugoiiiot
au sens
avec
nent la solution du
Si @
de la
où
n
température.
propagation d~une perturbation faible compatible
le mouvement initial
problème
de
de la
fluide
propagation
du
thermodynamique.
dans
son
Elles don-
milieu conducteur.
petite ce qui est le cas des fluides réels, on établit à partir
déterminant D du système des équations (7.8~10yll) que la viest
nullité du
tesse de
la
changements
propagation
T
est
donnée
est le vecteur unitaire
aux
infiniment petits d’ordre
d’espace définissant
La coprection est de 1 t ordre de
q.n p+p-xZ,
la dire ’
si
on
supérieur près
par :
de propagation.
compare
aux
résultats
.
classiques T = ±
tituer
au
(03C6’p)-1 2 . Elle
vecteur q
expérimentales. C’est
10. LES VARTIÉ S EXC PTION EL S D’ORD E Z RO
~.~.
c
le vecteur
dans
formules clas,siques
est très
cc
sens
petite puisqu’en unités
est donc
il faut subs--
imperceptible dans les
preuve de la
que nous avons
mesures
précision
des
proposées depuis Laplace.
~.~......~".......~...~...~
~1
Cc sont
variétés tElles aue
produisent les discontinuités dc p 9 p9
équations
CGS
V03ETL PROB~LÈMEDSONDE.,S ~7icr11n1~11YÜ1V11a.s111p
0
9
initiales utilisées pour la
q03BB
à
lâ
~
’-
CHOC.
0.~~.~,~ DE
D~ Ç~iU
Ç
traversée desquelles
se
Pour lcs
étudier, il faut
détermination de p , u03BB qui peuvent
0
c~~ire
Cette
détermination
ne
fait pas intervenir
l’équation
de conduction et les
conditions de conservation. Nous supposerons donc que les données de
Cpuchy
consis-
~g ;. 9 ~:, g ~ )
tcnt dans les valeurs de
Nous orientons
Le
q03BB+)
lorsque
C’est le
En
gant
consiste à déterminer les valeurs
l’on
se
se
vue
des
o
l’ indice
applications
Nous
0
1).
Les
par
A
quation
sur un
Nous
partir
à
un
ce
1
0
peut prendre
système
de
pour
V4
un
espace-temps
de la
galiléennes réduites
équations ( 10, 1) , en rempla-
coordonnées
notation dans les
pour
don-
problème.
équation
doit naturellement
être orientée dans le temps
(g11
=
conduisent à
de
(~so3~ 9
il est
possible
de déduire
dans 1 ~ étude des ondes de choc. Pour
domaine B
avons
S
inversement.
adjoindre les hypothèses locales
connue
voisines et
on
changeons de
1; S aura
é quations ~~o~~
Il leur faut
relativiste dc
rapporté
ou
l’étude des ondes de choc. Les variétés
pose dans
généralisation
de manière à distin-
P- , 03B8- , u03BB-, q03BB-)
les
donne
L’hypersurface
-
normale
problème
xl)
et ,
sa
par
et
relativité restreinte,
(x =
l’hypersurface S
une face positive.
négative
problème qui
nent donc la
peut être
préservées.
pace sont ainsi
une
température 6
S c Les conditions de raccordement concernant l’es-
discontinue à la traversée de
guer
S . La
sur
limité dans
parallèles
à
Ss
un
une
relation
analogue à l’é-
cela, intégrons l’équation (~, 4~
tube de courant par deux surfaces
S-
et
S
où
do est
l’élément
d’aire de la frontière
de la normale unitaire à
Nous
Los
des
en
l’hypersurface
cB
de
ôB . Grâce
B
au
et
B/
choix de
les composantes
B ,
on a1
déduirons la relation
équations (~, ~ ) ( ~~, 3 ) ( ~, q. ) ( ~;, 5 )
équations d’Hugoniot
pour
une
onde de
constituent l’extension relativiste
choc, compte
tenu des
phénomènes
ther-
miques.
Il est facile de mettre les
sous
équations
dans le
cas
adiabatique
(q ~ 0)
la f orme
On
en
tire les corrections relativistes vis-à-vis des
équations d’Hugoniot.
3-19
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