TD n°1

TD n°1 : Physique des plasmas (session du 17/09/10)
Exercice 1 (variante du problème proposé en TD) :
Gaine de plasma, longueur de Debye et notion d’écrantage.
Un « demi-plasma » occupe initialement le demi-espace gauche ( 0
≤
x). Lorsqu’on laisse
les électrons se mouvoir, ils ont tendance à occuper l’espace situé à droite 0
>
x de la
frontière initiale (interface plasma-vide) du fait de l’agitation thermique. Si on suppose
qu’une couche électronique d’épaisseur x se déplace d’une distance x, il se forme un
champ
E
r
au bord du plasma.
a) Que vaut le champ électrique
b) Que vaut l’énergie potentielle à la distance x ?
c) Pour quelle valeur de x cette énergie est égale à l’énergie thermique ?
Correction :
a) Le problème est unidimensionnel.
x
en
E
en
dx
dE
E
ee
000
εεε
ρ
=⇒−=⇒=∇rr
b) La force d’interaction dérive d’un potentiel.
2
0
2
0
2
2
x
en
Ux
en
eEUF
e
p
e
p
εε
=⇒−=−=−∇=
r
d) On en déduit la longueur de Debye :
2
0
2
2
1
en
Tk
xTkU
e
B
Bp
ε
=⇒=
2
0
en
Tk
e
B
D
ε
λ =
La longueur de Debye
D
λ est l’échelle spatiale caractérisant l’hypothèse de quasi-
neutralité et les phénomènes d’écrantage électrique.
Exercice 4 :
Quasi-neutralité, fréquence plasma
Dans un plasma d’hydrogène infini homogène, la quasi-neutralité implique
que cstenn
ie
==
00
. Supposons qu’on établisse un défaut de quasi-neutralité sur une

couche infinie d’épaisseur L où à l’intérieur de la couche ( 2/Lx < ) on a
0
,0
iie
nnn == (Pour 2/Lx > , on a
00 ie
nn = .
a) Calculer le champ électrique maximal dans la couche. Calculer la différence de
potentiel entre 0
=
x et 2Lx = . Application numérique : L = 1mm et
320
0
10
−
=mn
i
.
Commenter.
b) Ecrire l’équation du mouvement pour un électron de masse
e
m se trouvant en
2
)0( L tx == avec une vitesse initiale nulle. Que représente le terme
e
i
m
ne
0
0
2
ε
.
c) Nous allons effectuer le calcul complet de la fréquence plasma. Pour cela, on se place
dans le cadre de petites oscillations de plasma autour de l’équilibre sous la forme
d’ondes planes
)( kxti
e
− ω
. En utilisant les équations de quantité de mouvement, les
équations de continuité pour les électrons et les ions ainsi que l’équation de Poisson,
vous démontrerez que la fréquence plasma peut s’écrire sous la forme
222
pipep
ωωω += .
Correction :
a) Le problème est symétrique par rapport à l’axe Oy et par conséquent le champ
E
r
est
nul sur cet axe. On obtient donc
x
en
xEcxE
cxEE
i
xx
x
0
0
0
00
00)0(
εε
ρ
ε
ρ
ε
ρ
==⇒=⇒==
+=⇒=∇
r
r
Calcul du potentiel électrique :
V
V
AN
Len
EdxdlEV
i
L
5
0
2
0
2/
0
10
.
26
.
2
:
8
−=∆
−=−=−=∆
∫ ∫
ε
r
On remarque que les grandeurs sont considérables pour une couche de seulement 1 mm
d’épaisseur. Ceci est dû à l’amplitude de la force électrique où, avec des densités de
charges relativement faible, on obtient des champs électriques énormes. Il est donc
difficilement imaginable d’avoir un plasma où les différences de potentiel sont à ce point
élevées et dans la mesure où le plasma est constitué d’électrons et ions il va évoluer
rapidement de manière à satisfaire à la quasi-neutralité.
b) L’équation du mouvement d’un électron soumis à la force de cette couche peut
s’écrire :
0
0
0
2
0
2
2
2
0
2
0
2
2
>=
=+⇔−=−==
ε
ω
ω
ε
e
i
p
p
i
xxe
m
en
x
dt
xd
x
en
eEF
dt
xd
m

Solution harmonique :
)sin()cos()( tBtAtx
pp
ωω +=
Les conditions initiales nous donnent 0,2/
=
=
BLA
)cos(
2
)( t
L
tx
p
ω =
La particule a donc un mouvement harmonique de fréquence
π
ω
2
p
f=. Cette grandeur
s’appelle la fréquence plasma électronique. L’onde correspondante (onde Langmuir) peut
se propager dans des plasmas non-magnétisés.
c) Calcul complet de la fréquence plasma :
Pour chaque espèce α :
).(0)(
).(
).(
0
Continuitévn
t
n
NewtonEq
t
v
m
PoissonE
=∇+
∂
∂
=
∂
∂
=∇
αα
α
αα
α
ε
ρ
r
r
r
r
r
r
Perturbation du système :
1
1
10
EE
vv
nnn
=
=
+
=
Linéarisation :
0)(
0)(
)(
10
1
10
1
1
1
1
1
0
11
1
=∇+
∂
∂
=∇+
∂
∂
=
∂
∂
−=
∂
∂
−
−=∇
ii
i
ee
e
i
i
e
e
ie
vn
t
n
vn
t
n
EZe
t
v
m
Ee
t
v
m
eZnn
E
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
ε
0)(0)(
0
11
0
2
1
2
1
0
2
1
2
=
−
−∇
−
+
∂
∂
⇒ =
−
∇+
∂
∂
ε
ie
e
e
e
e
e
e
Znn
m
e
n
t
n
m
Ee
n
t
n
r
r
r
(1)

0)(0)(
0
11
0
2
1
2
1
0
2
1
2
=
−
−∇ +
∂
∂
⇒ =∇+
∂
∂
ε
ie
e
i
i
i
i
i
Znn
m
Ze
n
t
n
m
EZe
n
t
n
r
r
r
(2)
En posant
11 ie
Znn −= α et en effectuant (1) – Z×(2) :
0
2
2
=+
∂
∂
αω
α
p
t
avec
i
i
e
e
pipep
m
eZn
m
en
0
22
0
0
2
0
222
εε
ωωω +=+=
Exercice 2 : Mouvement d’une particule chargée
Partie 1 : Mouvement d’une particule chargée dans des champs E et B croisés uniformes
Considérons une particule de charge q soumise à un champ magnétique et à un champ électrique
constants et uniformes et perpendiculaires l’un à l’autre. On décompose la vitesse v
r
de la particule
suivant cD vvv
r
r
r
+= , où D v
r
est la vitesse de dérive électrique.
a) Montrer analytiquement, à partir de l’équation du mouvement, que c v
r
représente le
mouvement qu’aurait la particule dans le champ magnétique seul.
Partie 2 : Mouvement d’une particule chargée dans un champ B statique et un champ E
variant lentement dans le temps
b) Considérons le mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique statique B
uniforme et constant, et dans un champ électrique E uniforme, dirigé perpendiculairement à B
et variant lentement dans le temps. Nous notons v
r
, la vitesse de la particule.
c) Montrer qu’en exprimant la vitesse v
r
selon les trois vecteurs vitesses
suivants PcD vvvv
r
r
r
r
++= , où D v
r
est la vitesse de dérive électrique et
t
E
qB
m
v
P
∂
∂
=
r
r
2
(dérive
de polarisation), que c v
r
et P v
r
obéissent alors à l’équation du mouvement :
)( Bvq
dt
vd
m
dt
vd
m
c
P
c
r
r
r
r
×=+
d) Considérer que E(t) varie de façon périodique avec une pulsation
ω
. Montrer que si la
pulsation du champ
ω
est petite devant la pulsation de giration cyclotronique c ω , alors la
composante c v
r
décrit le mouvement cyclotronique dans le champ B seul.
Correction (partie1) :
Equation du mouvement :
)( BvEq
dt
vd
m
r
r
r
r
×+=
⊥
2
B
BE
v
r
r
r×
=⊥

Or 0=
dt
vd
D
r
car E et B constants.
)(
2
BvB
B
BE
Eq
dt
vd
m
c
c
r
r
r
r
r
r
r
×+×
×
+=
⊥
⊥
D’où finalement )( Bvq
dt
vd
m
c
c
r
r
r
×=
Il s’agit d’un mouvement d’une particule dans le seul champ magnétique.
Partie 2 : méthodologie similaire que partie 1.
Exercice 3 : Dérive gravitationnelle
Déterminer la densité de courant due à la dérive gravitationnelle des ions et des électrons de
l’ionosphère dans le champ magnétique terrestre à une altitude de 300 km. On supposera que le
vecteur induction magnétique B est perpendiculaire au champ gravitationnel terrestre.
La relation générale pour la force gravitationnelle s’exerçant entre la masse m et la masse M, séparées
d’une distance r est :
2
r
GMm
F
g
−=
Où G est la constante de gravitation universelle. Par définition à la surface de la terre (de masse M)
une masse m est soumise à la force :
mg
R
GMm
F
gt 0
2
−=−= (R : rayon de la terre et M masse localisée au centre de la terre).
AN : on considère des ions O+ de densité 312 108,1
−
×m , densité égale à celle des électrons ;
1 =B gauss. Le rayon terrestre est
π
2
104
7
×
mètres et le champ de gravitation à la surface de la terre
vaut 2
0
.8.9
−
=smg .
Correction : voir session TD