CI-5 MODÉLISER LES ACTIONS MÉCANIQUES - gondor

CI-5 M ODÉLISER LES ACTIONS MÉCANIQUES
P RÉVOIR ET VÉRIFIER LES PERFORMANCES DE SYSTÈMES
SOUMIS À DES ACTIONS MÉCANIQUES STATIQUES .
Objectifs
ANALYSER-MODELISER-RESOUDRE-OPTIMISER
A la fin de la séquence,
• B2 : Proposer un modèle de connaissance et de comportement
◦ Associer un modèle à une action mécanique
◦ Déterminer la relation entre le modèle local et le modèle global
◦ Associer à chaque liaison son torseur d’actions mécaniques transmissibles
• C1 : Proposer une démarche de résolution
◦ Choisir une méthode pour déterminer la valeur des paramètres conduisant à des positions d’équilibre
• C2 : Procéder à la mise en oeuvre d’une démarche de résolution analytique
◦ Déterminer le calcul complet des inconnues de liaison
◦ Déterminer la valeur des paramètres conduisant à des positions d’équilibre (par exemple l’arc-boutement)
Table
1
matières
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3
Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite
2.1 Rappels sur les liaisons parfaites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Analyse de la liaison pivot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Tableau des liaisons usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Moyen mnémotechnique de retrouver les torseurs des liaisons parfaites .
2.5 Modélisation plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
3
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5
5
5
3
Actions mécaniques particulières
3.1 Pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Pression hydrostatique d’un fluide sur un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
7
4
Lois de Coulomb
7
4.1 Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2 Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5
Principe Fondamental de la Statique (PFS)
5.1 Isolement d’un solide . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Action mécanique extérieure / intérieure . . . . .
5.3 Enoncé du PFS . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Théorèmes généraux de la statique . . . . . . . .
5.5 Théorèmes des actions réciproques . . . . . . . .
5.6 Système soumis à l’action de 2 glisseurs (forces)
5.7 Système soumis à l’action de 3 glisseurs (forces)
2
Modélisation d’une action mécanique
1.1 Définition . . . . . . . . . . . . .
1.2 Notion de force . . . . . . . . . .
1.3 Notion de moment . . . . . . . .
1.4 Torseur d’action mécanique . . . .
1.5 Cas particuliers . . . . . . . . . .
des
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12
13
13
13
6
Liaisons équivalentes
15
6.1 Liaisons en parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.2 Liaison en série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
7
Résolution d’un problème de statique
7.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Algorithme de résolution . . . . . . . . .
7.3 Résolution d’un problème de statique plan
7.4 Exemple de statique graphique . . . . . .
8
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Tableau des liaisons normalisées
LYCÉE C ARNOT (D IJON )
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MPSI -PCSI
G ERMAIN G ONDOR
1. M ODÉLISATION D ’ UNE ACTION MÉCANIQUE
2/20
1 Modélisation d’une action mécanique
1.1
Définition
D ÉFINITION : Action mécanique
Toute cause susceptible de
• maintenir un corps au repos
• créer un mouvement
• déformer un corps
On distingue deux types d’actions mécaniques :
• les actions mécaniques de contact (liaison de contact entre solides, pression,. . . .)
• les actions mécaniques à distance (champ de pesanteur, force électromagnétique,. . . )
1.2
Notion de force
L’action mécanique est caractérisée par :
sa direction
son sens
son intensité
Elle possède donc toutes les caractéristiques d’un vecteur. Un action mécanique représentable par un vecteur est appelée
force. Cependant cette notion de force n’est pas suffisante pour décrire les actions mécaniques.
1.3
Notion de moment
Pour définir complètement une action mécanique, il convient de
prendre en compte son point d’implication (P) :
La porte se ferme
La porte ne se ferme pas
Il est donc nécessaire d’introduire la notion de moment au point A
#»
de la force F appliquée en P et défini par :
#»
#»
# » #»
M(A, F#»P ) = M(A, F#») = AP ∧ F
R EMARQUE : l’unité d’un moment est le N.m.
1.4
Torseur d’action mécanique
# » # » #»
#»
# » #»
# » #»
# » #»
#»
#»
# » #»
Puisque M(B, F#»P ) = BP ∧ F P = BA + AP ∧ F P = BA ∧ F P + AC ∧ F P d’où M(B, F#»P ) = M(A, F#»P ) + BA ∧ F P
LYCÉE C ARNOT (D IJON )
CI-5 ACTIONS MÉCANIQUES
MPSI - PCSI
2. ACTIONS MÉCANIQUES TRANSMISSIBLES PAR UNE LIAISON PARFAITE
3/20
Le champ des moments d’une force est donc. . . un champ de moments ! ! Il est donc représentable par un torseur avec comme
( #»
)
FP
#»
FF P →Σ =
#»
M(M, F#»P )
#»
M
vecteur résultante, la force appliquée F P :
#»
Dans le cas général d’un système S soumis à une force F , le torseur FF#»→S de l’action mécanique créée par cette force
s’écrit :
FF#»→S =
M
 #»


 R F#»→S
#»


 M(M, F#»→S )




=






 X
Y


 Z
M
L
M
N







B
Lorsqu’il y a plusieurs actions mécaniques, on additionne les torseurs (attention au point où on additionne les torseurs)
FP h F#»i i→Σ
i
X 

=

i
M
 #»


 R F#»i →Σ
#»


 M(M, F#» →Σ)
i




=



M
1.5
Cas particuliers
1.5.1
Torseur couple
Un torseur couple est de la forme FF#»→S

#»


0

#
»
= 

 M(M, F#»→S )
M
1.5.2
i
 X h #»

#»
R


F i →Σ


 Xih
i
#
»



M(M, F#»i →Σ)



i
















#»
#»

avec M(M, F#»→S ) , 0 .



Torseur glisseur
Un torseur glisseur est de la forme FF#»→S
( #»
)
R F#»→S
=
avec ∀M,
#»
0
A
#»
#»
M(M, F#»→S ) . R F#»→S = 0.
#»
L’action mécanique d’une force F appliquée en un point A est modélisable par un glisseur.
D ÉMONSTRATION :
i #»
h #»
i #»
h # » #»
#»
#»
# » #»
#» + MA ∧ R #»
#»
#»
#»
MA
∧
R
M(M, F#»→S ) . R F#»→S = M
.
R
=
F →S . R F →S = 0
(A, F →S )
F →S
F →S
2 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite
2.1
Rappels sur les liaisons parfaites
Ces liaisons parfaites ont les caractéristiques suivantes :
• Les pièces mécaniques sont des solides indéformables.
• Les surfaces sont géométriquement parfaites.
• Les jeux sont nuls
• Le contact est sans frottement ni adhérence.
LYCÉE C ARNOT (D IJON )
CI-5 ACTIONS MÉCANIQUES
MPSI - PCSI
2. ACTIONS MÉCANIQUES TRANSMISSIBLES PAR UNE LIAISON PARFAITE
2.2
4/20
Analyse de la liaison pivot
Une liaison pivot d’axe (O, #»
x ) permet un mouvement de rotation, autour de cet axe, entre deux solides S i et S k . Sa réalisation se fait essentiellement par un couple de surfaces cylindriques de révolution, avec éventuellement des paliers lisses ou
des roulements, et des arrêts axiaux.
Projection orthogonale
#»
z
Sk
Si
Perspective
Sa schématisation (norme NF E 04-015) est donnée
ci-contre.
#»
x
En tout point de l’axe (O, #»
x ), donc en particulier au point O, les éléments
de réduction du torseur cinématique associé s’écrivent :




ωx 







#»





0
Ω



(k/i) 








0 



VS k /S i = 



0 





#»

 



0 
V

(O,S k /S i ) 






 0 

O

























Considérer une liaison pivot d’axe (O, #»
x ) entre deux solides revient à considérer, d’un point de vue mathématique, les
surfaces de liaison comme des surfaces de révolution non cylindriques d’axe (O, #»
x) :
#»
La densité surfacique d F l (S i 7→ S k ) rencontre l’axe (O, #»
x ) en H, donc son moment en O a une projection nulle sur l’axe
#»
(O, x ). En effet
h# »
i #»
#»
#»
#»
M(O,S i →S k ) . X = OIl ∧ d F l (S i 7→ S k ) . X
i #»
h# »
i #» h # »
#»
#»
= OH ∧ d F l (S i 7→ S k ) . X + HIl ∧ d F l (S i 7→ S k ) . X = 0
{z
}
|
{z
} |
0
#»
0
d’après les conditions de nullité du produit vectoriel et du produit mixte. Par conséquent le torseur d’inter-efforts transmis#»
sibles par la liaison pivot d’axe (O, X ) entre les deux solides S i et S k s’écrit :

 


X 










#»








Y
R




S
→S
i
k 













Z




FS k →S i = 






0 








#
»








M
M




(O,S
→S
)
i 
k







 N 
 
O
#»
La forme de ce torseur est conservée en tout point de l’axe (O, X ).
LYCÉE C ARNOT (D IJON )
CI-5 ACTIONS MÉCANIQUES
MPSI - PCSI
2. ACTIONS MÉCANIQUES TRANSMISSIBLES PAR UNE LIAISON PARFAITE
2.3
5/20
Tableau des liaisons usuelles
Une étude semblable peut être faite pour toutes les liaisons usuelles. Le tableau des liaisons et de leur torseur d’action transmissible est porté en dernières pages.
2.4
Moyen mnémotechnique de retrouver les torseurs des liaisons parfaites
Nous verrons dans le programme de deuxième année que la liaison étant parfaite, la puissance des efforts intérieurs à la
liaison sont nuls. Le comoment du torseur cinématique VS 2 /S 1 et du torseur des actions mécaniques FS 2 →S 1 est donc nul.
#»
#»
#»
#»
R S 2 →S 1 . V(A,S 2 /S 1 ) + Ω(S 2 /S 1 ) .M(A,S 2 →S 1 ) = 0
X10 u10 + Y10 v10 + Z10 w10 + L10 p10 + M10 q10 + N10 r10 = 0
On peut en déduire que le produit scalaire du vecteur résultante des actions mécaniques et du vecteur vitesse entre les solides est nul. Il en est de même pour le produit scalaire du moment des actions mécaniques et du vecteur rotation entre les
solides. Ainsi, il convient de remplacer de façon duale les zéros du torseur cinématique pour obtenir le torseur des actions
mécaniques et inversement. Attention toute fois à ne pas se tromper de colonne et dans le cas de la liaison hélicoïdale !
Par exemple pour la liaison pivot :









 X
 ω21 0 
Y
0
0
⇒
VS 2 /S 1 = 





 Z
 0 0 
R
A
A
0
M
N




=
F

S 2 →S 1


R
#»
• X, Y et Z sont les composantes de R S 2 →S 1 dans le repère R .
#»
• L, M et N sont les composantes de M(A,S 2 →S 1 ) dans le repère R , avec L = 0.
Physiquement, cela se comprend car si on applique une force ou un moment selon une certaine direction à une des pièces,
cette force (ou ce moment) ne peut pas être transmise à l’autre pièce si il y a un mouvement possible entre les deux dans
cette même direction.
2.5
Modélisation plane
Torseur cinématique
ddl
Nom de la liaison
Schématisation
Caractéristique
géométrique
#»
Ω
#» (S 1 /S 0 )
V (X,S 1 /S 0 )
(
V1/0 =
X
0 ddl
0 tr
0 rt
1 ddl
1 tr
0 rt
1 ddl
0 tr
1 rt
2 ddl
1 tr
1 rt
Encastrement



 −
−


 0
0
0
−



 −
−


 0

u10 


0 

− R0



 −
−


 r10

0 


0 

− R0



 −
−


 r10

u10 


0 

− R0
∀M ∈ (ε)
M
Glissière
1 direction #»
x
∀M ∈ (ε)
M
Pivot
1 axe (A, #»
z)
∀M ∈ (A, #»
z)
M
Ponctuelle plane
LYCÉE C ARNOT (D IJON )
Normal au plan
#»
y , point de
contact A
A
CI-5 ACTIONS MÉCANIQUES







R0
Torseur des
actions mécaniques
transmissibles
)



 X10
Y


 −10
−
−
N10



 0
Y


 −10

− 


− 

N10 R0



 X10
Y


 −10
−
−
0



 0
Y


 −10

− 


− 

0 R0
M
M
M
A







R0







R0
MPSI - PCSI
3. ACTIONS MÉCANIQUES PARTICULIÈRES
6/20
Dans un problème considéré comme plan, un solide S k possède au maximum trois degrés de liberté par rapport à un repère
de référence Ri . Quatre modèles de liaisons, correspondant à des formes particulières du torseur cinématique, peuvent être
retenus.
Dans une modélisation plane, les forces appartiennent toutes à un même plan ou sont parallèles à ce plan, les couples étant
perpendiculaires à ce plan. Pour chaque liaison, connaissant les mouvement effectifs permis, il est aisé de déterminer le
torseur des inter-efforts transmissibles. Il est également possible d’utiliser la relation :
X10 .u10 + Y10 .v10 + Z10 .w10 + L10 .p10 + M10 .q10 + N10 .r10 = 0
ramenée à un problème plan soit :
X10 .u10 + Y10 .v10 + N10 .r10 = 0
. Nous obtenons donc le tableau précédant.
3 Actions mécaniques particulières
3.1
Pesanteur
Un point matériel que l’on lâche au voisinage de la surface de la terre tombe. Sa trajectoire est rectiligne et verticale. Le
déplacement a lieu de haut en bas avec une accélération constante par rapport à la terre : g = 9, 81 m.s−2 .
Ce déplacement est dû à une action à distance : le poids (dû au phénomène d’attraction terrestre ou pesanteur). Le point matériel de masse m
#»
P = m. #»
g
est soumis à la force :
#»
Le poids P est dirigé de haut en bas et est porté par une droite verticale (en négligeant la rotation de la terre) qui passe par le point matériel.
Chaque point matériel Mi d’un solide S est soumis à cette attraction terrestre :
Nous pouvons donc écrire le torseur résultant en un point M j quelconque :



n
n
X






#»
#»
#» X #»






R=
Pi
R=
mi . g















i=1
i=1
FX
= 
= 
n

n
n


X
X



#»
#»
#»
# » #» 
# »






#»
#»



Pi → S
M
=
AM
∧
P
M
=
AMi ∧ mi . #»
g


i
i 
(A, Pi →S )
(A, Pi →S )






i
A
i=1
A
i=1



















Quand la masse est distribuée de manière continue, ce torseur prend la forme
Z


#»


#»


(
)


R
=
g
.dm
#»




m.
g


X
ZM∈S
=
F #»
= 
#»



#»
# » #»


0
Pi → S


#»


G
M
=
AM
∧
g
.dm


(A, Pi →S )
i
A
M∈S
où dm est l’élément de masse autour du point M. Le centre de gravité G est le point définit par


Z
Z
X  # » X # »
#»
#» 1
# »
# »
 mi  .AG =
mi .AMi
AG = .
AM.dm
GM.dm = 0
m
i
i
M∈S
M∈S
soit encore
. Si le système est discret
R EMARQUES :
• si S possède un plan de symétrie, G y appartient
• si S possède un axe de symétrie, G y appartient
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4. L OIS DE C OULOMB
7/20
• si S possède un centre de symétrie, G est confondu avec ce centre.
Pression hydrostatique d’un fluide sur un solide
M)
). #»
n(
N
M
)
N
p( M ). #»
n(
p(
N
M∈Σ
)
O
#»n (N
Soit p(M) la pression en un point M d’un fluide. Le fluide est en contact sur la
surface Σ avec le solide S . On a alors :
"




#»




p(M).
n
(M).dΣ




 "

M∈Σ
Ff luide→S = 



#
»


#»




(p(M).
OM
∧
n
(M))
.dΣ


n#»( M )
3.2
Où #»
n (M) est la normale en M dirigée vers l’extérieur du solide S . La pression
exerce une densité de force localement normale à la paroi.
4 Lois de Coulomb
4.1
Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel
Entre deux solides S 1 et S 2 en contact peuvent
se transmettre des actions mécaniques avec
frottement (dû aux irrégularités de contact, et au
bourrelets de contact).
Coulomb a déterminé empiriquement des lois sur
les efforts.
Soit
• I le point de contact
• Π le plane tangent commun aux deux solides
• #»
n la normale à Π
4.1.1
Le mouvement de S 2 par rapport à S 1 est caractérisé par
#»
• un vecteur vitesse de glissement V(I,2/1)
#»
• un vecteur rotation Ω(2/1)
#»
#»
• un vecteur rotation de pivotement Ω p(2/1) = ( Ω(2/1) . #»
n ). #»
n
#»
#»
#»
• un vecteur rotation de roulement Ω r(2/1) = Ω(2/1) − Ω p(2/1)
Lois de Coulomb concernant le glissement
Soient
#»
• F (17→2) la force de S 1 sur S 2 au niveau du
point I
#»
• N (17→2) la force normale de S 1 sur S 2 au
niveau du point I
#»
#»
N (17→2) = F (17→2) . #»
n . #»
n
#»
• T (17→2) la force tangentielle de S 1 sur S 2
au niveau du point I
#»
#»
#»
T (17→2) = F (17→2) − N (17→2)
LYCÉE C ARNOT (D IJON )
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8/20
Les lois de Coulomb spécifient que :
• s’il y a glissement au contact entre S 1 et S 2 :
• s’il y a adhérence au contact entre S 1 et S 2 :
#»
#»
V(I,2/1) , 0
⇒
#»
#»
V(I,2/1) = 0
⇒
#»
#»
#»
T (17→2) ∧ V(I,2/1) = 0
#»
#»
T
.V
<0
#»
#» (17→2) (I,2/1)
T (17→2) = f. N (17→2) #»
#»
T (17→2) ≤ f. N (17→2) où f est le coefficient de frottement entre S 1 et S 2 .
#»
La force F (17→2) doit donc être située dans le cône de frottement de demi angle au sommet ϕ tel que
f = tan ϕ
#»
Si F (17→2) est sur le cône, il y a glissement. Si la force est dans le cône, il n’y a pas glissement. On parle alors d’adhérence
#»
F (17→2)
Glissement
#»
F (17→2)
Adhérence
Le coefficient de frottement f entre S 1 et S 2 ne dépend que de la nature des matériaux de S 1 et S 2 et de leur état de surface
au niveau du contact.
Etat de surface
f = tan ϕ
Acier sur acier
Polie
0.1
Acier sur bronze
A sec
0.2
Fonte sur bronze
A sec
0.1
Acier sur bronze
Lubrifié
0.07
Fonte sur Fonte
Lubrifié
0.07
Acier ou fonte sur garniture de friction
A sec
0.45
Pneu neuf sur chaussée
A sec
0.6
Nature des matériaux
4.1.2
Lois de Coulomb concernant le roulement
#»
#»
Si le contact est rigoureusement ponctuel, M(I,1→2) = 0 . Si le contact n’est par rigoureusement ponctuel, cette équation
#»
n’est plus vraie. Pour les contacts quasi ponctuels (la surface est suffisamment grande pour que M(I,1→2) , 0 mais reste
petite tout de même), des lois analogues à celles précédemment données existent pour les vecteurs rotations et moment.
Soient
#»
• M(I,1→2) le moment en I de S 1 sur S 2
LYCÉE C ARNOT (D IJON )
CI-5 ACTIONS MÉCANIQUES
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4. L OIS DE C OULOMB
9/20
# »
• MN (I,17→2) le couple de résistance au pivotement en I de S 1 sur S 2
#»
# »
MN (I,17→2) = M(I,1→2) . #»
n . #»
n
# »
• MN (I,17→2) le couple de résistance au roulement en I de S 1 sur S 2 .
#»
# »
#»
M
=M
− M
. #»
n . #»
n
T (I,17→2)
(I,1→2)
(I,1→2)
Les lois de Coulomb pour le roulement s’écrivent
• s’il y a glissement au contact entre S 1 et S 2 :
#»
#»
ΩR(2/1) , 0
⇒
# »
#»
#»
MT (I,17→2) ∧ ΩR(2/1) = 0
# »
#»
T (I,17→2) . ΩR(2/1) < 0
# M
#»
M»
T (I,17→2) = fP . N (17→2) • s’il y a adhérence au contact entre S 1 et S 2 :
#»
#»
ΩR(2/1) = 0
⇒
# »
#»
MT (I,17→2) ≤ fR . N
(17→2) où fR est le coefficient de résistance au roulement entre S 1 et S 2 .
4.1.3
Lois de Coulomb concernant le pivotement
De la même manière, les lois de Coulomb pour le pivotement s’écrivent
• s’il y a glissement au contact entre S 1 et S 2 :
#»
#»
ΩP(2/1) , 0
⇒
# »
#»
#»
MN (I,17→2) ∧ ΩP(2/1) = 0
# »
#»
N (I,17→2) . ΩP(2/1) < 0
# M
#»
MN»(I,17→2) = fP . N
(17→2) • s’il n’y a pas glissement au contact entre S 1 et S 2 :
#»
#»
ΩP(2/1) = 0
⇒
# »
#»
MN (I,17→2) ≤ fP . N
(17→2) où fP est le coefficient de résistance au pivotement entre S 1 et S 2 .
LYCÉE C ARNOT (D IJON )
CI-5 ACTIONS MÉCANIQUES
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5. P RINCIPE F ONDAMENTAL DE LA S TATIQUE (PFS)
4.2
10/20
Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel
Les lois de Coulomb, concernant le frottement de glissement, ne sont valables que pour un contact ponctuel ou "quasi ponctuel". Mais très souvent le contact entre deux solides n’est pas ponctuel et s’effectue sur une surface entière .
Soient
#»
• f p(17→2) la densité surfacique de force de
S 1 sur S 2 au niveau du point P de la zone
de contact
• #»
n
la densité surfacique de force norp(17→2)
male de S 1 sur S 2 au niveau du point Pde
la zone de contact
#»
#»
n
= f
. #»
n . #»
n
p(17→2)
p(17→2)
#»
• t p(17→2) la densité surfacique de force tangentielle de S 1 sur S 2 au niveau du point
P de la zone de contact
#»
#»
t p(17→2) = f p(17→2) − #»
n p(17→2)
! #»
(
)
f
dS
p(17
→
2)
! # » #»
L’action mécanique de S 1 sur S 2 est F1→2 =
.
AP ∧ f p(17→2) dS
A
Les lois de Coulomb s’écrivent :
#»
#»
V(I,2/1) , 0
⇒
#»
#»
V(I,2/1) = 0
⇒
#»
#»
#»
t p(17→2) ∧ V(I,2/1) = 0
#»
#»
t p(17→2) . V(I,2/1) < 0
#»
t p(17→2) = f. #»
n p(17→2) • s’il y a glissement au contact entre S 1 et S 2 :
• s’il y a adhérence au contact entre S 1 et S 2 :
#»
t p(17→2) ≤ f. #»
n p(17→2) où f est le coefficient de frottement entre S 1 et S 2 au niveau du point P.
La solution pratique du problème exige :
• la connaissance de la loi de répartition de #»
n p(17→2)
• la loi de répartition de f (qui peut dépendre du point P considéré).
Dans de nombreux cas, nous pouvons faire des hypothèses simplificatrices qui peuvent être :
• une répartition uniforme pour f
• une répartition uniforme pour #»
n
p(17→2)
ou une répartition qui, en essayant d’approcher la réalité, permet des calculs
rapides.
5 Principe Fondamental de la Statique (PFS)
5.1
Isolement d’un solide
Pour étudier un système matériel (Σ) on commence par l’isoler de l’extérieur Σ .
E XEMPLE :
LYCÉE C ARNOT (D IJON )
CI-5 ACTIONS MÉCANIQUES
MPSI - PCSI
5. P RINCIPE F ONDAMENTAL DE LA S TATIQUE (PFS)
11/20
Le système matériel (Σ) défini à l’intérieur de la frontière est constitué du corps de vérin, de deux pattes de fixation, du
piston, d’un joint, de la tige, du ressort, et du volume d’air situé dans la chambre entre le piston et le corps.
Ce système est en relation avec l’extérieur par l’intermédiaire de deux liaisons : une liaison encastrement (patte de fixation)
une liaison rotule de centre O avec un autre système. De plus, chaque corps du système est soumis au champ d’action de la
pesanteur.
Isolons le système matériel (S ) constitué de la tige, du piston et du joint du vérin. L’extérieur de (S ), noté S , est constitué
du corps de vérin, de deux pattes de fixation, du ressort, du volume d’air situé dans la chambre entre le piston et le corps et
de l’extérieur de Σ (Σ).
5.2
Action mécanique extérieure / intérieure
Les actions mécaniques extérieures à un système matériel (S ) sont l’ensemble des actions mécaniques de S sur (S ).
E XEMPLE :
Bilan des actions mécaniques exercées sur l’ensemble matériel {tige, piston, joint} du vérin.
Les actions mécanique intérieures à un système matériel (S ) sont l’ensemble des actions mécaniques mutuelles entre les
différents sous ensembles de (S ).
LYCÉE C ARNOT (D IJON )
CI-5 ACTIONS MÉCANIQUES
MPSI - PCSI
5. P RINCIPE F ONDAMENTAL DE LA S TATIQUE (PFS)
12/20
E XEMPLE : l’action mutuelle de la tige sur le piston, et l’action mutuelle du piston sur le joint.
5.3
Enoncé du PFS
Dans un repère galiléen Rg , si un système matériel (Σ) est en équilibre, l’ensemble des actions mécanique extérieures est nul.
 #»
 


 R Σ→Σ 

#»
(Σ) en équilibre dans Rg ⇒
FΣ→Σ = 
= 0



 M

A
(A,Σ→Σ)
R EMARQUES :
• Le Principe Fondamental de la Statique ne se démontre pas, c’est un cas particulier du Principe Fondamental de la
Dynamique (P.F.D).
• Si un torseur est nul alors il est nul en tout point. Il n’est donc pas nécessaire d’imposer un point pour exprimer
le torseur des actions extérieures. Par contre, il est judicieux de choisir correctement ce point afin de simplifier au
maximum les calculs : en particulier ce point peut être l’origine d’une force inconnue.
• Les repères galiléens sont des repères où le PFS est vérifié. Pour des applications des systèmes mécaniques classiques
(voiture, avion, machine,. . . ), la Terre est une bonne approximation d’un repère Galiléen.
• L’analyse de PFD montre qu’il est possible d’étendre le champ d’application du PFS à des systèmes mobiles dans
les trois cas particuliers suivants :
◦ mouvement de translation uniforme
◦ mouvement de rotation uniforme d’un solide équilibré dynamiquement
◦ lorsque les effets des masses et des inerties peuvent être négligés devant les efforts extérieurs
• la réciproque du P.F.S n’est pas forcément juste.
E XEMPLE : : l’ensemble des actions extérieures
sur le ciseau sont nulles, alors qu’il va se mettre à
bouger.
5.4
Théorèmes généraux de la statique
Une égalité de torseur se traduit par deux égalités vectorielles. Dans un problème spatial, elle génère 6 équations scalaires
mais dans un problème plan, seulement 3 équations scalaires. Ainsi, on déduit du principe fondamental de la dynamique les
deux théorèmes suivants.
5.4.1 Théorème de la résultante statique
#»
Dans un repère galiléen Rg , si un système matériel (Σ) est en équilibre, la résultante statique R Σ→Σ est nulle :
#»
#»
R Σ→Σ = X. #»
x + Y. #»
y + Z. #»
z = 0
5.4.2
⇒
X = 0, Y = 0, et Z = 0
Théorème du moment statique
#»
Dans un repère galiléen Rg , si un système matériel (Σ) est en équilibre, le moment statique M(M,Σ→Σ) est nulle pour tout
point M de l’espace :
#»
#»
M(M,Σ→Σ) = L. #»
x + M. #»
y + N. #»
z = 0
LYCÉE C ARNOT (D IJON )
⇒
L = 0, M = 0, et N = 0
CI-5 ACTIONS MÉCANIQUES
MPSI - PCSI
5. P RINCIPE F ONDAMENTAL DE LA S TATIQUE (PFS)
5.5
13/20
Théorèmes des actions réciproques
Soient deux systèmes distincts Σ1 et Σ2 (Σ1 ∩ Σ2 = ∅). Alors le théorème des actions réciproques énonce que les actions
mécaniques de Σ1 sur Σ2 sont opposées aux actions mécaniques de Σ2 sur Σ1
FΣ1 →Σ2
= − FΣ2 →Σ1
D ÉMONSTRATION :
Soit Σ tel que Σ1 ∪ Σ2 = Σ. Les systèmes sont supposés être à l’équilibre dans le repère galiléen Rg .
Isolons Σ1 . Le principe fondamental de la statique appliqué à Σ1 dans le repère galiléen Rg s’énonce :
FΣ→Σ1 + FΣ2 →Σ1 = 0
Isolons Σ2 . Le principe fondamental de la statique appliqué à Σ2 dans le repère galiléen Rg s’énonce :
FΣ→Σ2 + FΣ1 →Σ2 = 0
Isolons enfin Σ. Le principe fondamental de la statique appliqué à Σ dans le repère galiléen Rg s’énonce :
FΣ→Σ = FΣ→Σ1 + FΣ→Σ2 = 0
En retranchant la dernière équations à la sommes des deux premières :
FΣ2 →Σ1 + FΣ1 →Σ2 = 0
⇒
FΣ2 →Σ1 = − FΣ1 →Σ2
5.6
Système soumis à l’action de 2 glisseurs (forces)
#»
#»
Le système (S ) est soumis à deux forces : F A appliquée en A et F B appliquée en B. Le principe fondamental de la statique
nous permet d’écrire :
( #» )
(
FA
#» +
0
A
B
#» ) (
FB
#» =
0
#» )
0
⇔
#»
0
(
) ( #» )
( #» )
#»
FA
FB
0
#» +
# » # » = #»
AB ∧ F B
0
0
A
A
 #»

#»
#
»
#
»
#
»




 F A = −F B
 FA + FB = 0
⇔ 
# » # » #» ⇔ 
#»
#»

 AB
 ∃ λ / AB

∧F = 0
= λ.F
B
A
#»x
FA
B
x #»
FB
B
Lorsqu’un système en équilibre est soumis à deux forces, ces deux forces sont colinéaires, de même norme et
opposées.
5.7
Système soumis à l’action de 3 glisseurs (forces)
#» #» #»
Le système S est soumis à trois forces F A , F B , FC appliquées en A, B et C. Soit :
• aucune des forces n’est parallèle à une des deux autres forces,
• deux forces sont parallèles.
LYCÉE C ARNOT (D IJON )
CI-5 ACTIONS MÉCANIQUES
MPSI - PCSI
5. P RINCIPE F ONDAMENTAL DE LA S TATIQUE (PFS)
5.7.1
14/20
Les forces ne sont pas parallèles
#» #» #»
Le système S est soumis à trois forces F A , F B , FC appliquées en A, B et C. Le principe fondamental de la statique nous
permet d’écrire :
) ( #» )
)
(
( #» )
( #» )
( #» )
( #» )
(
#»
#»
FA
FB
FC
FA
0
FC
FB
#» +
#» +
#» =
#» +
# » # » = #»
# » #» +
AC ∧ FC
AB ∧ F B
0
0
0
0
0
A
A
A
B
C
A

#»
#
»
#
»
#
»


 F A + F B + FC = 0
⇔ 
# » # » # » # » #»

 AB
∧ F B + AC ∧ FC = 0
# » #» # » #»
# » #»
Pour vérifier la deuxième équation, il faut que les deux vecteurs AB ∧ F B et AC ∧ FC soient parallèles. Or AB ∧ F B est
#»
# » #»
#»
perpendiculaire au plan (P1) = (A, B, F B ) et AC ∧ FC est perpendiculaire au plan (P2) = (A, C, FC ). Ces deux plans doivent
#» #»
donc être parallèles. A appartient aux deux plans (P1) et (P2), ces deux plans sont donc confondus. A, B, C, F B et FC sont
dans un même plan.
#» #»
F B et FC sont coplanaires mais non parallèles, ils se coupent donc en un point I.
) ( #» )
) (
) (
(
#»
#»
#»
0
FC
FB
FA
# » # » = #»
#» # » +
#» # » +
IC ∧ FC
IB ∧ F B
IA ∧ F A
0
I
I
I

#»
#
»
#
»
#
»


 F A + F B + FC = 0
⇔ 
# » # » #»

 IA
∧ FA = 0
A
B #»
FB
+
B #»
FB
+
+
#C
»
FC
#»
#»
Pour vérifier l’équation de moment, il faut que ∃λ ∈ R/F A = λ.IA.
A
+
#»
FB
+
#C
»
FC
Pour qu’un solide S soumis à trois forces non parallèles soit en équilibre, il
faut que ces trois forces soient coplanaires, concourantes et de somme nulle.
5.7.2
+
#»
FC
#»
FA
Deux forces sont parallèles
#» #»
#» #»
F B et FC sont parallèles. B, C, F B et FC sont donc coplanaires. Le principe fondamental de la statique nous permet d’écrire :
( #» )
( #» )
( #» )
(
FA
FB
FC
#» +
#» +
#» =
0
0
0
A
B
C
A

#»
#» #» #»


 F A + F B + FC = 0
⇔ 
# » # » # » # » #»

 AB
∧ F B + AC ∧ FC = 0
(
)
(
) #» )
#»
#»
FA
FB
FC
#» +
# » #» +
# » #» = 0
AB ∧ F B
AC ∧ FC
0
A
A
#»
#» #»
Pour vérifier l’équation de la résultante, il faut que F A soit aussi parallèle à F B et FC .
#» #»
Pour vérifier l’équation du moment, il faut que A appartienne au plan B, C, F B et FC .
A
#»
FB x B
x
#C
»
FC
x
LYCÉE C ARNOT (D IJON )
A
#»
FB
x
Cx
B
x #»
FC
#»
FC
#»
FA
#»
FB
#»
FA A
x
Cx
CI-5 ACTIONS MÉCANIQUES
#»
FB x B
#»
FC
MPSI - PCSI
6. L IAISONS ÉQUIVALENTES
15/20
Lorsqu’un solide (S) en équilibre est soumis à trois forces dont deux d’entre elles sont parallèles, il faut que la
troisième soit coplanaire et parallèle et que la somme des trois forces soit nulle ainsi que le moment de ces trois
forces.
5.7.3
Bilan
Pour qu’un solide soumis à trois forces soit en équilibre par rapport à un repère galiléen, il faut et il suffit que ces forces
soient :
• coplanaires,
• parallèles ou concourantes,
• à somme nulle et à somme des moments nulle.
6 Liaisons équivalentes
Afin d’étudier la cinématique d’un mécanisme, on cherche à remplacer des associations de liaisons en parallèle ou en série
par une liaison élémentaire normalisée et dont le comportement est cinématiquement équivalent.
6.1
Liaisons en parallèle
L’associations de liaisons en parallèle peut engendrer des inconnues hyperstatiques. Le calcul du degré d’hyperstatisme dit
" interne " s’effectue de la même manière que précédemment.
L1
Leq
L2
P1
P2
≡
P1
P2
Li
Ln
6.1.1
Approche cinématique
Pour que la liaison équivalente Leq entre P1 et P2 soit compatible avec les autres liaisons simples parallèles, il faut que son
torseur cinématique soit égal au torseur cinématique associé à chaque liaison parallèle :
L
VP2eq/P1 = VPL21/P1 = . . . = VPL2n/P1
6.1.2
Approche statique
Isoler P2 permet de faire le bilan des actions mécaniques qui lui sont exercées. Le principe fondamentale de la statique (ou
de la dynamique) appliqué à P2 nous permet d’écrire que :
L
FP2eq7→P1 = FPL217→P1 + . . . + FPL2n7→P1
6.2
Liaison en série
L1
P2
P1
LYCÉE C ARNOT (D IJON )
Pn−1
Ln
≡
Leq
P1
Pn
Pn
CI-5 ACTIONS MÉCANIQUES
MPSI - PCSI
7. R ÉSOLUTION D ’ UN PROBLÈME DE STATIQUE
6.2.1
16/20
Approche cinématique
Par composition des vecteurs vitesses :
L
L1
VPneq/P1 = VPLnn−1
+
.
.
.
+
V
/Pn−1
P2 /P1
6.2.2
Approche statique
Par application du successives du PFS à n − 1 solide i :
FPi−1 →Pi
( #» )
0
+ FPi+1 →Pi =
#»
0
FPi+1 →Pi = FPi →Pi−1
On en déduit donc que :
L
FPneq7→P1 = FPLn17→Pn−1 = . . . = FPL2n7→P1
7 Résolution d’un problème de statique
7.1
Hypothèses
On suppose que
• les solides sont indéformables
• les liaisons sont géométriquement parfaites
• les actions mécaniques des fluides, le frottement sont pris en compte ou négligés.
7.2
Algorithme de résolution
7.2.1
Méthodes de résolution
Deux méthodes peuvent être envisagées pour résoudre un problème de statique
• Méthode graphique :
◦ le problème doit être plan
◦ les actions mécaniques extérieures doivent être modélisables par des glisseurs coplanaires
• Méthode analytique :
◦ Le problème doit être isostatique (cf cours sur les mécanismes l’année prochaine). Si le problème comporte n
inconnues statiques (d’efforts), il doit permettre d’écrire n équations indépendantes.
◦ L’écriture du théorème de la résultante, en projection sur les axes du repère, nous fournit 3 équations ( 2 équations
en 2D ).
◦ L’écriture du théorème du moment résultant, en projection sur les axes du repère, nous fournit 3 équations ( 1
seule équation en 2D ).
7.2.2
Algorithmes
1. Identifier les actions mécaniques connues et inconnues par un graphe des liaisons (recensement de toutes les actions
mécaniques)
LYCÉE C ARNOT (D IJON )
CI-5 ACTIONS MÉCANIQUES
MPSI - PCSI
7. R ÉSOLUTION D ’ UN PROBLÈME DE STATIQUE
17/20
2. Isoler le système en faisant apparaître les inconnues recherchées et en limitant le nombre d’inconnues
3. Réaliser le bilan des actions mécaniques (de contact et à distance)
4. Modéliser ces actions mécaniques en tenant compte des hypothèses et on écrit le torseur d’actions mécaniques
correspondant.
5. Décompter toutes les inconnues I s
◦ Si I s ≤ 6, écrire le PFS en déplaçant tous les torseurs au même point (choisir parmi les différents points disponibles pour les torseurs, celui qui demande le moins de changements de points et fait apparaître le moins de
termes)
◦ Sinon, écrire le PFS et isoler d’autres ensembles en pensant à utiliser le théorème des actions réciproques.
R EMARQUE : ON N’ISOLE JAMAIS LE BÂTI
7.3
7.3.1
Résolution d’un problème de statique plan
Rappel
Si le mécanisme est modélisé comme plan (de plan ( #»
x , #»
y )), les forces auxquelles on s’intéresse sont dans le plan (F x et Fy ),
et les moments sont hors plan (Mz ). Les torseurs des liaisons ne font apparaître que ces quantités.
7.3.2
Graphe des liaisons
Pour s’aider dans les isolements, on peut utiliser les symboles :
7.3.3
Ordonnancement des isolements
Si un système matériel est en équilibre sous l’action de deux
glisseurs, les deux résultantes sont égales et directement opposées, donc
Si un système matériel est en équilibre sous l’action de trois
glisseurs, les résultantes de ceux-ci sont :
• coplanaires
• concourantes ou parallèles
• de sommé géométrique nulle.
Pour résoudre un problème de statique graphique, il faut, sur le graphe des liaisons, isoler les solides ou groupes de solides
soumis à 2 ou 3 glisseurs, et leur appliquer le PFS pour obtenir des informations supplémentaires sur les forces.
7.4
Exemple de statique graphique
LYCÉE C ARNOT (D IJON )
CI-5 ACTIONS MÉCANIQUES
MPSI - PCSI
8. TABLEAU DES LIAISONS NORMALISÉES
18/20
8 Tableau des liaisons normalisées
LYCÉE C ARNOT (D IJON )
CI-5 ACTIONS MÉCANIQUES
MPSI - PCSI
Pivot
Hélicoïdale
Pivot glissant
Rotule à doigt
1 ddl
0 tr
1 rt
1 ddl
1 tr
1 rt
2 ddl
1 tr
1 rt
2 ddl
0 tr
2 rt
1 point A, centre
de liaison
1 axe (A, #»
x)
∀M ∈ (A, #»
x)
1 axe (A, #»
x)
∀M ∈ (A, #»
x)
1 axe (A, #»
x)
∀M ∈ (A, #»
x)
1 direction #»
x
∀M ∈ (ε)
Glissière
1 ddl
1 tr
0 rt
Schéma plan
∀M ∈ (ε)
Nom de la liaison
Caractéristique
géométrique
Encastrement
0 ddl
0 tr
0 rt
ddl
Schéma
spatial
)
M
(
(
ω. #»
x
V. #»
x
)
( #»
)
Ω(S 1 /S 0 )
avec
#»
0
A
#»
Ω(S 1 /S 0 ) . #»
x =0
M
ω. #»
x
#»
0
)
ω. #»
x
avec
V. #»
x
p
V = 2.π .ω
M
(
M
( #» )
0
V. #»
x



 0
q10


 r10
A



 p10
0


 0
M




 p10

0


 0
M



 p10
0


 0
M



 0
0


 0
M
R0
R0














0
0
0
R0







R0







u10
0
0
p
2.π .p10
0
0
0
0
0
u10
0
0





 0 0 

0 0 


 0 0 

R0
M
( #»
)
Ω
V1/0 =
#» (S 1 /S 0 )
V (X,S 1 /S 0 )
X
( #» )
0
#»
0
M
Torseur cinématique
R0












 X10
Y


 Z10
10
A



 0
Y


 Z10
10
M




 X10

Y


 Z10
10
M



 X10
Y


 Z10
10
M



 0
Y


 Z10
10
M



 X10
Y


 Z10
10
M
R0
R0
R0





















L10
0
0
0
M10
N10







R0
R0







p
− 2.π .X10
M10
N10
0
M10
N10
L10
M10
N10
L10
M10
N10
Torseur des
actions mécaniques
transmissibles
R0









Normal au plan
#»
y , point de
contact A
Normal au plan
#»
y , Droite de
contact (A, #»
x)
4 ddl Linéaire rectiligne
2 tr
2 rt
Ponctuelle
1 axe (A, #»
x ),
centre de sphère
A
4 ddl Linéaire annulaire
1 tr
3 rt
5 ddl
2 tr
3 rt
Normal au plan
#»
y , ∀M ∈ (ε)
Appui plan
1 point A, centre
de liaison
3 ddl
2 tr
1 rt
Schéma plan
Rotule
Nom de la liaison
Caractéristique
géométrique
3 ddl
0 tr
3 rt
ddl
Schéma
spatial



 p10
q10


 r10
A



 p10
q


 010
A



 p10
q10


 r10
A



 0
q


 010
M



 p10
q10


 r10
A
u10
0
w10
u10
0
w10
u10
0
0
R0
R0







R0
R0





















R0







u10
0
w10
0
0
0
( #»
)
Ω
V1/0 =
#» (S 1 /S 0 )
V (X,S 1 /S 0 )
X
( #»
)
Ω(S 1 /S 0 )
avec
#»
0
A
#»
Ω(S 1 /S 0 ) quelconque
( #»
)
Ω(S 1 /S 0 )
#»
V (M,S 1 /S 0 )
M
avec
#»
V (M,S 1 /S 0 ) . #»
y =0
( #»
)
Ω(S 1 /S 0 )
avec
V. #»
x
A
#»
Ω(S 1 /S 0 ) quelconque
(
)
ω x . #»
x + ωy . #»
y
#»
V (A,S 1 /S 0 )
A
avec
#»
V (A,S 1 /S 0 ) . #»
y =0
( #»
)
Ω(S 1 /S 0 )
#»
V (A,S 1 /S 0 )
A
#»
avec Ω(S 1 /S 0 )
quelconque et
#»
V (A,S 1 /S 0 ) . #»
y =0
Torseur cinématique



 0
Y


 010
A



 0
Y


 010
A



 0
Y10


 Z10
A



 0
Y


 010
M



 X10
Y10


 Z10
A














0
0
0







0
0
N10
0
0
0







R0
R0
R0







R0
R0
L10
0
N10
0
0
0
Torseur des
actions mécaniques
transmissibles