Mines-PSI-2015 Machines à écoulement - MP*1

Mines-PSI-2015
Machines à écoulement permanent
1-A- Dimensionnement des étages de compression
1- Pour un gaz diatomique, la capacité thermique molaire à volume constant vaut : 
.
On a la relation de Mayer pour un GP :  ce qui donne pour la capacité thermique
molaire à pression constante : 
.
D’où l’expression de  : 
Dans le compresseur, le gaz subit une transformation adiabatique et réversible. La loi de
Laplace est vérifiée. On a donc entre l’entrée et la sortie d’un compresseur :  ce
qui donne 
 soit   
. Entre l’entrée et
la sortie de chaque compression le rapport des pressions est  
d’où
 puisque l’entrée du compresseur revient toujours à la
même température
L’énoncé nous dit que la température du diazote ne doit jamais dépasser la valeur  donc
  ce qui donne 
On obtient le nombre minimal de compressions:  
.
Il faut donc 5 compressions.
2- Si la transformation est irréversible, la température en fin de compression sera plus
importante. Il faudra donc diminuer  pour ne pas atteindre  et du coup augmenter 
3- Dans le réfrigérant, si on considère comme système le diazote en écoulement, la
température à l’entrée du réfrigérant du diazote est la température de sortie du compresseur,
 , et la température de sortie est . En appliquant le premier principe aux
systèmes en écoulement et en supposant que les énergies cinétiques sont négligeables on a :
 mais le réfrigérant n’échange pas de travail des forces
pressantes et la capacité thermique massique à pression constante du diazote vaut 
 ce
qui donne : 
L’eau du réfrigérant reçoit cette énergie de transfert thermique et passe de la température  à
une température 
 soit : 
On en déduit dans le cas limite où   et 
 :
 soit 

4- La courbe représente une isotherme. A basse pression, le gaz se comporte comme un
gaz parfait. Comme l’enthalpie d’un gaz parfait ne dépend que de la température, à basse
pression les isothermes sont des isenthalpiques et l’asymptote devient une droite verticale.
5- La courbe représente une isentropique. Dans la zone vapeur, le long d’une isentropique
on a  ce qui donne : 
. Le diagramme présenté est un
diagramme . La pente d’une isenstropique est 
 . La pente de
la courbe est bien positive.
6- La courbe   se décompose en courbe de rosée à droite, le diazote y est sous forme de
vapeur et en courbe d’ébullition à gauche, le diazote y est sous forme de liquide.
En , on a le point critique.
7- La courbe  est une courbe isotitre. Le diazote en  est de titre , c’est-à-dire que c’est
un mélange avec  de liquide et  de vapeur.
8- On a  
9- Le débit massique du diazote est : 
 avec   et 
 ce qui donne :  et 
10- On prend comme système {l’échangeur}
Pour le gaz en écoulement de  à  
Pour le gaz en écoulement de  à  
L’échangeur étant un système un système isolé,    donc
On a   car la transformation BC est isenthalpique et
 car en D on n’a que de la vapeur.
On obtient :  
  ce qui donne pour  :  
11- Pour le point A on est sur l’isotherme  à la pression de  bars.
On lit 
Pour le point E on est sur l’isotherme 27°C à la pression de 1 bar.
On lit 
En C on a la pression de 1 bar et un système diphasé.  se lit sur la courbe d’ébullition à 1
bar soit   et  se lit sur la courbe de rosée à 1 bar soit
 . On obtient  
Si le gaz était parfait on obtiendrait  et 
12- B est à l’intersection de l’isobare passant par A et de l’isentalpique passant par C. Au
point D le diazote est sous forme de gaz à la température de .

13- Dans un compresseur adiabatique .
La puissance correspondant aux N compresseurs est :    avec 
,
 et  soit 
Le débit de  correspond à 
  soit une puissance  
Problème 2 :X-MP-2000
Propulseur électromagnétique
Principe et ordres de grandeurs :
A-1) On a  ; D’près la loi de Faraday 
, on en déduit 
A-2) Si on applique la loi des mailles au circuit on a  soit 
On multiplie par  cette égalité ce qui donne :
Le terme  correspond à l’effet Joule dépensée entre  et .
Le terme 
 correspond à l’énergie magnétique emmagasinée par la bobine entre
et . On a donc 
B-1) Lorsqu’un courant électrique parcourt le circuit, celui-ci crée un champ magnétique. Le
barreau est donc un circuit parcouru par un courant et placé dans un champ magnétique. Il est
soumis à une force de Laplace.
B-2) On a toujours  mais cette fois . En appliquant la loi de Faraday on a
donc : 
 .
On applique la loi des mailles à ce circuit on obtient :
On multiplie l’expression par  ce qui donne :

La puissance fournie par le générateur en sus de celle dissipée par effet Joule est donc :
B-3) A la question A-2 on a trouvé le terme d’énergie magnétique
 qui se
dérive par 
La puissance mécanique donnée au barreau est :  
 soit  
B-4) La puissance d’une force est 
 soit ici : 
 d’où :  
C-1-a) Le plan  est un plan de symétrie. On en déduit que le champ magnétiques
est dirigé selon .
C-2-b) La distribution de courant étant invariante par translation suivant  et  on en
déduit :  .
Dans l’une des trois zones de l’espace délimitée par les plaques, on applique le théorème
d’Ampère, la circulation du champ étant calculée sur un rectangle de côtés parallèles à  et à
.
On a 
.
Le champ magnétique est suivant donc    et    ;
Le champ magnétique ne dépend que de z ce qui donne : 
On applique le théorème d’Ampère :   puisqu’il n’y a aucun courant enlacé
par la courbe.
On en déduit 
Le champ magnétique est bien uniforme dans chacune des trois zones délimitée par les
plans.
Chaque plan conducteur infini crée un champ uniforme de norme identique mais de signes
opposés puisque les distributions de courants sont de sens opposés. En superposant les deux
champs dans la zone extérieure, on trouve donc un résultat nul.
On applique le théorème d’Ampère avec la même courbe que précédemment mais cette fois
on circule entre deux zone :
z
y
H
G
F
E

On a encore 
avec  et 
On en déduit : 
C-2-a) On a 
 ; d’après les questions précédentes, on en déduit l’expression du champ
magnétique créé par les rails : 
.
Les rails sont espacées de . Le flux du champ magnétique pour une unité de longueur 
est :
.
Le flux par unité de longueur est 
. L’inductance par unité de longueur est : 
C-2-b) 
D) La force  est supposée constante. On applique le théorème de l’énergie cinétique :
Ce qui donne 
 soit  
Accélération du projectile par un plasma
A-1) Le plasma est parcouru par un courant et placé dans un champ magnétique. Il est donc
soumis à la force de Laplace :  ce qui correspond pour la tranche comprise entre
 et , de volume  à la force :   soit :
A-2) Pour le plasma les forces pressantes s’exercent sur la face  et sur la face ,
chaque face ayant une surface .
La résultante des forces pressantes sera :  
Soit 
A-3) On applique la loi de la quantité de mouvement à la tranche de plasma de masse 
 dans un référentiel galiléen :
z
y
H
G
F
E