ÉLECTROMAGNÉTISME

Spé ψ 2015-2016
Devoir n°5
ÉLECTROMAGNÉTISME
PARTIE I
Un conducteur ohmique est caractérisé par une conductivité électrique γ de l’ordre de
10 S⋅m-1. Il forme un tore tronqué de section
rectangulaire de rayon intérieur a, de rayon extérieur
b, d’épaisseur c.
b
On cherche à déterminer la résistance
orthoradiale R d’une portion de ce conducteur
comprise entre les angles θ = 0 où l’on applique un
G
α
uz
potentiel uniforme et constant V = U et θ = α où l’on
G
G
applique un potentiel V = 0 V.
θ
uθ
ur
1) On étudie d’abord le cas général d’un régime
a
dépendant du temps. On rappelle la valeur numérique
1
constante ε 0 =
10−9 dans les unités du système international.
36π
a) Rappeler le nom et l’unité pratique de cette constante.
b) Établir, dans un conducteur ohmique, l’équation différentielle vérifiée par la
densité volumique de charge ρ. En déduire que ρ ≈ 0 tant que la durée T caractéristique de
variations des grandeurs électromagnétiques est très supérieure à une durée τ dont on donnera
l’expression en fonction de γ et ε0 ainsi que la valeur numérique.
c) Montrer qu’un terme peut être négligé dans l’équation de Maxwell-Ampère si
T >> τ.
2) On se place en régime établi constant.
a) Établir l’équation vérifiée en régime constant et dans le conducteur par le potentiel
électrique V.
b) On suppose que V ne dépend que de l’angle θ en coordonnées cylindriques et l’on
JJJJG
1 ∂V G
1 ∂ 2V
donne dans ce système de coordonnées, les expressions grad (V ) =
u θ et ΔV = 2 2 .
r ∂θJG
r ∂θ
JG
Déterminer les expressions de V(θ), du champ E et de la densité de courant J .
c) Déterminer l’expression de l’intensité totale I traversant une section rectangulaire
droite quelconque de ce tore. En déduire sa résistance orthoradiale R en fonction de a, b, c, γ et α.
d) Rappeler l’expression de la résistance d’un conducteur filiforme de section S et de
longueur L. Vérifier qu’elle est compatible avec l’expression du conducteur torique quand b est très
proche de a.
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PARTIE II
Une pince ampèremétrique est un appareil dont l’extrémité possède la forme d’un tore. En
disposant ce tore autour d’un conducteur parcouru par un certain courant le dispositif équipant la
pince permet d’en mesurer l’intensité.
Son principal intérêt est l’absence de contact physique avec le conducteur et le fait qu’il ne
soit pas nécessaire d’ouvrir le circuit pour mesurer le courant qui le traverse contrairement à
l’implantation d’un ampèremètre classique.
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c
Le dispositif de mesure de la pince ampèremétrique est formé d’un
bobinage torique comportant N spires enroulées sur un tore isolant et sans
propriété magnétique de section rectangulaire de rayon intérieur a, de rayon
extérieur b, d’épaisseur c, d’axe (O, z). Le fil conducteur utilisé pour le
bobinage possède une résistance linéique λ.
Un point
JJJJGM intérieur
G
G au tore est repéré par ses coordonnées
cylindriques : OM = r e r + z e z avec r ∈ [a, b] et z ∈ [0, c].
i1
G
uz
yM
G
uθ
G
ur
O
Un fil rectiligne infini de même axe (O, z) est parcouru par un
fil à tester
i
courant d’intensité i(t). On note i1(t) l’intensité du courant circulant dans la
bobine torique. On se place dans l’approximation des états quasi-stationnaires.
1) Rappeler ce que l’on appelle l’Approximation des Régimes Quasi Stationnaires. Montrer
que cette approximation permet de simplifier l’équation de Maxwell-Ampère. Énoncer dans ce cas
le théorème d’Ampère.
2) On considère un point M intérieur au tore.
a) Montrer que le champ magnétique en M peut se mettre sous la forme
JG
G
B = B ( r , t ) u θ où l’on précisera l’expression de B ( r , t ) en fonction de μ0, i(t), i1t), N et r.
JG
b) Calculer le flux Φ de B à travers le bobinage et en déduire les expressions des
coefficients d’auto inductance L du bobinage et de mutuelle inductance M entre le fil et le bobinage.
c) Déterminer l’expression de la résistance totale RP du bobinage en fonction de a, b,
c, N et λ.
3) On se place en régime sinusoïdal forcé avec i ( t ) = I 0 2 cos ( ωt ) associée à l’amplitude
complexe I = I 0 2 et i1 ( t ) = I1 2 cos ( ωt + ϕ1 ) associée à l’amplitude complexe I 1 = I1 2e jϕ .
a) Le bobinage formant un circuit fermé, déterminer
I
l’expression de la fonction de transfert H = 1 en fonction de M, ω, RP
I
et L.
b) Dans quel régime de pulsations ce dispositif peut-il
former une pince ampèremétrique ? Peut-il fonctionner en régime
constant ?
c) À l’aide du document photographique ci-contre
représentant une pince ampéremétrique et des données indiquées
précédemment, évaluer un ordre de grandeur du nombre maximal de
spires permettant d’utiliser la pince pour des courants de 50 Hz.
Conclure.
PARTIE III
Le principe d’une variante de la pince
ampremétrique étudiée précédemment est présenté
sur la figure ci-contre. Le courant à mesurer,
d’intensité I, circule dans un bobinage de N1 spires
(N1 pouvant se réduire à l’unité) placé sur un circuit R2
ferromagnétique de forme torique (section ST, rayon
moyen rT, périmètre moyen AT) muni d’un entrefer L2
d’épaisseur e dans lequel on glisse une cellule de
Hall d’épaisseur bH.
La tension aux bornes de cette cellule s’écrit
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I
y
SONDE DE HALL
} N1
y
} N2e
VH
AH
IM
VS
RM VM
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I0
B ( t ) où RH est une constante caractéristique de la cellule et B(t) la valeur
bH
algébrique du champ magnétique régnant dans l’air entourant la cellule. Cette tension est amplifiée
grâce à un amplificateur de gain AH.. On accorde la sortie de l’amplificateur à un enroulement
secondaire de N2 spires comme le montre la figure (L2 et R2 modélisent l’inductance de fuite et la
résistance du bobinage secondaire, RM la résistance de mesure).
On suppose que la présence de la sonde ne perturbe pas les lignes de champ dans l’entrefer.
1) On note BM, HM (resp. HE, BE) les amplitudes des champs et excitations magnétiques dans
le matériau magnétique (resp. dans l’entrefer).
a) Justifier que BM = BE = B et trouver l’expression de B en fonction de μ0, e, I, IM,
N1, 2, AT et μr (perméabilité relative du matériau ferromagnétique constituant le tore supposé
VH ( t ) = RH
linéaire). Simplifier cette expression dans le cas où μr est très élevée (ce que l’on supposera dans la
suite).
b) Déterminer la f.e.m. e2 d’induction mutuelle aux bornes de l’enroulement
secondaire. Écrire la loi des mailles dans le circuit secondaire et en déduire une relation entre les
fonctions VS(t), I(t) et IM(t).
2) La figure ci-dessous propose le schéma fonctionnel de ce capteur (où ϕC est le flux
commun dans le noyau).
I
ϕC
H1
+
–
H3
H4
VH
H5
VS
+
H6
H2
IM
–
H7
a) À partir des résultats précédemment obtenus, exprimer les fonctions de transfert
Hn pour n référencé de 1 à 7.
b) Réduire le schéma afin de mettre en évidence une chaîne directe et une chaîne de
retour sachant que I est la grandeur d’entrée et IM la grandeur de sortie.
c) Vers quelle expression tend la fonction de transfert harmonique en boucle fermée
IM
H ( iω ) =
en hautes fréquences, sachant qu’à partir des résultats précédents, on obtient
I
facilement
I
AH RH 0 + iωN 2
S
bST
H ( iω) = μ0 N1 T
?
I0
ST
e
⎛
2 ST ⎞
+ iω ⎜ L2 + μ0 N 2
( R2 + RM ) + N 2μ0 AH RH
⎟
e
bST
e ⎠
⎝
N
À quelle condition cette valeur est-elle peu différente de 1 ? Que peut-on alors dire du
N2
flux commun ϕC ?
I
e) Que vaut le rapport M en régime constant ? Conclure sur le principe de
I
fonctionnement de ce capteur (rôle du noyau ferromagnétique, rôle du bobinage secondaire, rôle de
la liaison amplificateur-secondaire,....)
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