mécanique quantique i
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MÉCANIQUE QUANTIQUE I
NOTES DE COURS
(PHQ-330)
par
René Côté
Professeur titulaire
Département de physique
Université de Sherbrooke
Faculté des Sciences
Sherbrooke, août 2012
ii
Table des matières
1 Origines de la physique moderne
1.1 Les débuts de la physique moderne . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Le quantum de charge électrique . . . . . . . . . .
1.1.2 Les rayons cathodiques . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 La découverte de l’électron . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 L’expérience de Millikan . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Les rayons X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6 La découverte de la radioactivité . . . . . . . . . .
1.1.7 Rayonnements et . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.8 Modèle nucléaire de l’atome et spectres atomiques
1.2 Naissance de la mécanique quantique . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Une théorie révolutionnaire . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 De nouvelles applications technologiques . . . . . .
1.3 Quelques repères historiques1 . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Comportement corpusculaire de la radiation
2.1 Radiation du corps noir . . . . . . . . . . . .
2.2 Effet photoélectrique . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Effet Compton . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Radiation de freinage (Bremsstrahlung) . . .
2.5 Création et annihilation de paires . . . . . . .
2.6 Expériences modernes de mise en évidence du
2.7 Questions et problèmes . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Le corps noir et l’hypothèse de Planck
2.7.2 L’effet photoélectrique . . . . . . . . .
2.7.3 L’effet Compton . . . . . . . . . . . .
2.7.4 Production de rayons X . . . . . . . .
1 D’après
J. L. Basdevant, Mécanique quantique, tome II.
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électromagnétique
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photon comme corpuscule
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iv
Table des matières
2.7.5
Création et annihilation de paires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Comportement ondulatoire de la matière et quantification
tèmes physiques
3.1 Ondes de matière de Louis de Broglie . . . . . . . . . . . . .
3.2 Expériences de Davisson-Germer et de G.P. Thomson . . . .
3.3 Spectres atomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Expérience de Franck et Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Modèle atomique de J.J. Thomson . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Expériences de diffraction de Rutherford . . . . . . . . . . . .
3.7 Modèle atomique de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Règles de quantification de Wilson et Sommerfeld . . . . . . .
3.9 Principe de correspondance de Bohr et limite classique . . . .
3.10 Proton et neutron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11 La vieille théorie quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12 Questions et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12.1 Les ondes de matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12.2 L’expérience de Davisson et Germer . . . . . . . . . .
3.12.3 Les spectres atomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12.4 L’expérience de Franck et Hertz . . . . . . . . . . . .
3.12.5 Le modèle de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12.6 Les règles de quantification de Wilson-Sommerfeld . .
3.12.7 Le principe de correspondance de Bohr . . . . . . . .
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de l’énergie des sy.
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4 Concepts fondamentaux de la mécanique quantique
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Dualité onde-corpuscule et principe de complémentarité . . . . .
4.3 La fonction d’onde (r) et son interprétation . . . . . . . . . .
4.3.1 Vitesse de phase et vitesse de groupe de l’onde matérielle
4.3.2 Représentation de la particule par un paquet d’ondes . . .
4.4 Exemples de paquets d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Onde plane tronquée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Paquet d’ondes gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Étalement d’un paquet d’ondes dans le temps . . . . . . . . . . .
4.6 Interprétation probabiliste de la fonction d’onde ( ) . . . . .
¯2
¯
4.7 Définition de la densité de probabilité ¯()¯ . . . . . . . . . . .
4.8 Le concept d’état quantique et la phase de la fonction d’onde . .
4.9 La fréquence de l’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Principe d’indétermination d’Heisenberg . . . . . . . . . . . . . .
4.11 Applications du principe d’indétermination d’Heisenberg . . . . .
4.11.1 Contraintes imposées par la relation d’incertitude . . . . .
4.11.2 Explication de l’élargissement du paquet d’ondes . . . . .
4.11.3 Onde plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11.4 Stabilité des atomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11.5 Mesure de la position d’une particule par un diaphragme
4.11.6 Le microscope de Bohr-Heisenberg . . . . . . . . . . . . .
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Table des matières
v
4.11.7 Tentative de déterminer par quelle fente passe l’électron dans l’expérience de
Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11.8 Temps de vie d’un état excité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11.9 Particule libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11.10 Largeur de bande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11.11 Énergie du point zéro d’un oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . .
4.12 Expériences et considérations modernes sur les principes d’indétermination et de
complémentarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13 Questions et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13.1 L’expérience des fentes de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13.2 Le principe de complémentarité de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13.3 La fonction d’onde et son interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13.4 Les paquets d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13.5 Le principe d’indétermination d’Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Formalisme mathématique de la mécanique quantique
5.1 Equation de Schrödinger dépendante du temps . . . . . . . . .
5.2 Conservation de la norme et courant de probabilité . . . . . . .
5.3 Equation de Schrödinger indépendante du temps . . . . . . . .
5.4 Un cas simple : le puits de potentiel infini . . . . . . . . . . . .
5.5 Calcul des valeurs moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Opérateurs X et P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Opérateurs linéaires et commutateur . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 Opérateurs hermitiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9 Opérateur adjoint ou conjugué hermitique . . . . . . . . . . . .
5.10 Expression formelle du principe d’indétermination d’Heisenberg
5.11 Hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12 Evolution d’une valeur moyenne dans le temps . . . . . . . . .
5.13 Le théorème d’Ehrenfest et la limite classique . . . . . . . . . .
5.14 Postulats de la mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . .
5.14.1 Postulat I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.14.2 Postulat II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.14.3 Postulat III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.14.4 Postulat IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.14.5 Postulat V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.14.6 Postulat VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.15 Application : superposition linéaire d’états du puits infini . . .
5.16 La relation d’indétermination ∆∆ ≥ }2 . . . . . . . . . . .
5.17 Les sauts quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.18 Superposition linéaire et mélange statistique . . . . . . . . . . .
5.19 Questions et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.19.1 L’équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.19.2 Calcul de valeurs moyennes . . . . . . . . . . . . . . . .
5.19.3 Courant de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.19.4 Les opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.19.5 Théorème d’Ehrenfest . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.19.6 Postulats de la mécanique quantique . . . . . . . . . . .
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vi
Table des matières
6 Potentiels carrés en une dimension et oscillateur harmonique
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Cas de la particule libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 La marche de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Cas 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Cas 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 La barrière de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Cas 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Cas 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Le puits de potentiel carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Autres applications physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8 Problèmes pour le chapitre VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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208
212
221
221
7 Atome d’hydrogène et spin de l’électron
7.1 Séparation des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Équation angulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Équation radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Équation radiale pour l’atome à un électron . . . . . . .
7.5 Énergies et fonctions d’onde de l’atome d’hydrogène . .
7.6 Dépendance angulaire des densités de probabilité . . . .
7.7 Quantification du moment cinétique orbital . . . . . . .
7.8 L’expérience de Stern et Gerlach et le spin de l’électron
7.9 Formalisme quantique pour le spin électronique . . . . .
7.10 Liaison covalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.11 Complément : orbitales hybrides, tableau périodique . .
7.12 Questions et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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255
256
8 État quantique, mesure, et interférences
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Description classique de l’onde électromagnétique . . . .
8.2.1 Polarisations linéaire et circulaire . . . . . . . . .
8.2.2 Production des polarisations linéaire et circulaire
8.2.3 Intensité de l’onde transmise . . . . . . . . . . .
8.3 Description quantique des expériences de transmission .
8.3.1 État quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.3 Fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.4 Comportement statistique des photons . . . . . .
8.4 Le concept d’état quantique . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Interférence et amplitude de probabilité . . . . . . . . .
8.6 Le vecteur d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7 Particularités de la mécanique quantique . . . . . . . . .
8.7.1 Déterminisme incomplet des lois quantiques . . .
8.7.2 Indétermination des variables d’un système . . .
8.7.3 Discontinuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7.4 Énergie et quantité de mouvement . . . . . . . .
8.7.5 Principe de complémentarité . . . . . . . . . . .
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273
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279
Table des matières
vii
8.7.6 Absence de variables cachées . . . . . . . . . . . .
8.7.7 Principe de correspondance de Bohr . . . . . . . .
8.7.8 Sens de la fonction d’onde . . . . . . . . . . . . . .
8.7.9 Réduction du paquet d’ondes . . . . . . . . . . . .
8.7.10 Non-séparabilité du monde physique . . . . . . . .
8.8 L’interprétation de Copenhague . . . . . . . . . . . . . . .
8.9 Quelques positions par rapport à la mécanique quantique
8.10 Quelques interprétations possibles de la fonction d’onde .
8.10.1 Interprétation littérale . . . . . . . . . . . . . . . .
8.10.2 Interprétation épistémique (subjective) . . . . . . .
8.10.3 Interprétation ensembliste . . . . . . . . . . . . . .
8.10.4 Interprétation en termes de variables cachées . . .
8.11 Questions et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 Brève révision des phénomènes ondulatoires
9.1 Quelques définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1 Onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.2 Équation d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.3 Onde plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.4 Onde sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.5 Principe de superposition . . . . . . . . . . . . .
9.1.6 Onde harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.7 Onde stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.8 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.9 Intensité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Interférence et diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Interférence produite par deux sources cohérentes
9.2.2 Diffraction par une mince fente rectangulaire . .
9.2.3 Diffraction par deux fentes minces . . . . . . . .
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296
296
297
297
299
viii
Table des matières
Liste des figures
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
3.1
3.2
Densité spectrale à différentes températures et courbe de Rayleigh-Jeans. . . . . .
Cavité percée d’un trou formant un corps noir. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Intensité du rayonnement fossile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma du dispositif expérimental pour l’étude de l’effet photoélectrique. (Figure
tirée de Hecht, page 1124.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Courbes courant-tension et tension-fréquence pour l’effet photoélectrique. (Figure
tirée de Hecht, page 1124.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Courbe du courant en fonction de l’intensité lumineuse pour l’effet photoélectrique.
(Figure tirée de Hecht, page 1124.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calcul du temps d’attente dans l’effet photoélectrique. . . . . . . . . . . . . . . . .
Modèle de Sommerfeld d’un métal à = 0. Les électrons sont retenus dans le
métal par un potentiel dû aux ions positifs. Le principe de Pauli fait en sorte que les
électrons occupent tous les états d’énergie entre = 0 et = appelé le niveau
de Fermi. L’énergie minimale requise pour extraire un électron est 0 aussi appelé
travail de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma expérimental pour l’expérience de diffusion de Compton. (Figure tirée du
Hecht, page 1129.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Représentation graphique du processus de diffusion dans l’effet Compton. . . . . .
Intensité diffusée en fonction de l’angle dans l’effet Compton. (Figure tirée du
Hecht, page 1130.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Décalage de Compton en fonction de l’angle de diffusion du photon. . . . . . . . .
Production des rayons X et spectre de la REM émise. (Figure tirée du Hecht, page
1128.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Processus de création (a) et d’annihilation (b) de paires. . . . . . . . . . . . . . . .
Arrangement régulier des ions Na+ et Cl− dans un cristal de NaCl. (Figure tirée du
Alonso et Finn, page 948.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quelques familles de plans pour la diffraction des électrons par un cristal. (Figure
tirée du Alonso et Finn, page 908.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
20
26
26
27
27
29
30
33
33
34
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41
44
54
54
x
LISTE DES FIGURES
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
5.1
Démonstration de la loi de Bragg. (Figure tirée du Hecht, page 1096.) . . . . . . .
Schéma du montage expérimental de l’expérience de Davisson et Germer. (Figure
tirée du Eisberg et Resnick, page 65.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Résultats expérimentaux de l’expérience de Davisson et Germer. (Figure tirée du
Eisberg et Resnick, page 65.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Démonstration de la loi de Bragg qui tient compte de la réfraction du faisceau sortant
du cristal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Patron de diffraction obtenu par rayons X et par diffraction des électrons sur l’aluminium. (Figure tirée du Young, page 1146.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Molécule 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Formation des raies spectrales par un prisme. (Figure tirée du Hecht, page 1103.) .
Partie visible du spectre de l’hydrogène et dénomination des différentes raies. (Figure
tirée du Eisberg et Resnick, page 107.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma expérimental de l’expérience de Franck-Hertz et courbe courant-voltage.
(Figure tirée du Alonso et Finn, page 600.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modèle atomique de Thomson. (Figure tirée du Hecht, page 1101.) . . . . . . . . .
Simulation par ordinateur de la diffusion des particules alpha (a) selon le modèle de
Rutherford, (b) selon le modèle de Thomson. (Figure tirée du Young, page 1116.) .
Diagramme des niveaux d’énergie et des transitions radiatives dans le modèle de
Bohr. (Figure tirée du Hecht, page 1135.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trajectoire de l’oscillateur harmonique dans l’espace de phase. . . . . . . . . . . .
Modes stationnaires de de Broglie pour les niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène.
(Figure tirée du Hech, page 1150.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Réfraction de l’onde électronique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Émission d’un photon à partir d’un atome en mouvement. . . . . . . . . . . . . . .
Expérience de Young. En (a) on a le patron d’interférence obtenu en considérant la
lumière comme une onde. En (b), chaque profil correspond à l’intensité lumineuse
provenant de la fente A ou de la fente B. L’addition de ces deux profils ne donne
pas un patron d’interférence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Construction du patron d’interférence des électrons. Le nombre d’électrons sur l’écran
est de (a) 10 ; (b) 100 ; (c) 3000 ; (d) 20 000 et (e) 70 000. D’après A. Tonomura et
al., American Journal of Physics, 57, 117-120 (1989). . . . . . . . . . . . . . . . .
Partie réelle de la somme des deux ondes planes à = 0. On a pris ici 0 = 2
et ∆ = 24 de sorte que la périodicité de l’enveloppe représentée par la ligne
continue est = 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonction () donnée par l’éq. (4.23). On a choisi 2 = 1. La figure du bas donne
les coefficients de la série de Fourier (en cosinus) correspondante. . . . . . . . . . .
Fonction () d’une one plane tronquée et sa transformée de Fourier (). On a
pris 0 = 0 (2) = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Partie réelle de la fonction d’onde () (ligne pleine avec = 1) de l’éq. (4.42) et
sa transformée de Fourier donnée par l’éq. (4.49). On a pris 0 = 4 et 0 = 0 . .
Schéma pour l’expérience de pensée du microscope de Bohr-Heisenberg. . . . . . .
Schéma pour l’expérience visant à déterminer par quelle fente passe l’électron (notez
que la séparation entre les maxima d’interférence est grandement exagérée). . . . .
Fonctions d’onde et densité de probabilité pour les quatre premiers niveaux de puits
infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
56
57
57
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60
61
62
64
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67
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93
96
99
101
104
105
125
127
146
LISTE DES FIGURES
xi
5.2
5.3
5.4
Fonction d’onde variant rapidement par rapport à la fonction potentiel. . . . . . . 160
Évolution dans le temps de la densité de probabilité pour la fonction d’onde Φ ( ) 168
Évolution de la valeur moyenne de la position au cours d’une période du mouvement.
La ligne en pointillés donne le mouvement classique. . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.1
(a) Potentiel carré schématisant un potentiel réel (b) pour lequel la force a l’allure
indiquée en (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Marche de potentiel en (a) approximant le potentiel plus réaliste en (c). (b) Deux
électrodes séparées par une différence de potentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Marche de potentiel avec 0 . Densité de probabilités pour différentes valeurs
du rapport 0 . Déphasage (en radians). On a choisi 0 = 1. . . . . . . . . . . . .
Densité de probabilité en fonction du rapport 0 pour la marche de potentiel avec
0 . On a pris 0 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Coefficient de réflexion et de transmission pour la marche de potentiel. . . . . . . .
Marche de potentiel pour la réflexion du neutron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Barrière de potentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Variation du coefficient de transmission pour la barrière de potentiel en fonction de
l’énergie (à gauche) et en fonction de la largeur de la barrière (à droite). . . . . . .
Évolution de la densité de probabilité en fonction du rapport 0 . Les fonctions
ne sont pas normalisées de sorte que l’axe des ordonnées n’est pas gradué. Il part
toutefois à 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Puits de potentiel carré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Solution graphique pour le puits de potentiel carré. À gauche, solutions paires. À
droite, solutions impaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les trois états liés dans le puits de potentiel carré avec 0 = 64 et = 1 Notez que
les fonctions d’onde n’ont pas été normalisées. Chaque fonction est placée à la valeur
de son énergie propre soit : 1 = 627356 2 = 244941 3 = 51701Les fonctions
ont été obtenues avec Mathematica (fichier potentielcarre.nb). . . . . . . . . . . . .
Fonctions d’onde et densités de probabilité correspondantes pour les quatre premiers
niveaux de l’oscillateur harmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparaison entre les densités de probabilité classique et quantique pour les niveaux
0 et 20 de l’oscillateur harmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma pour le problème #6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma pour le problème #7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma pour le problème #12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma pour le problème #13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
6.16
6.17
6.18
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
8.1
Quelques densités de probabilité radiales pour l’atome d’hydrogène. . . . . . . . . .
Dépendance angulaire de la densité de probabilité. De haut en bas et de gauche à
droite : ( ) =(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2) et (3,0),(3,1),(3,2),(3,3). . . . . . .
Dépendance angulaire de la densit é de probabilité pour () = (1 1) et (10 10) .
Illustration de la quantification de la projection du moment cinétique en mécanique
quantique. (Figure tirée du Young, page 1187.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma du dispositif expérimental de l’expérience de Stern et Gerlach. (Figure tirée
du Alonso et Finn, page 606.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(a) Définition des polarisations circulaires droite et gauche ; (b) systèmes d’axes de
référence pour l’analyse de la polarisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
188
192
196
199
201
202
202
205
207
208
211
212
217
220
223
224
226
226
240
241
242
245
247
261
xii
LISTE DES FIGURES
8.2
8.3
263
8.4
8.5
8.6
(a) analyseur de polarisation linéaire ; (b) analyseur de polarisation circulaire. . . .
Un faisceau lumineux se propage dans la direction et traverse successivement le
polariseur et l’analyseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Boucle de polarisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Expérience d’interférence pour la mesure des amplitudes de probabilité. . . . . . .
Deux polariseurs en séquence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1
9.2
9.3
Patron d’interférence produit par deux sources ponctuelles (0 = 1 = 1) . .
Diffraction par une fente mince. (0 = 1 = 13) . . . . . . . . . . . . . . . .
Diffraction par deux fentes minces ( = 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
298
298
299
266
269
270
288
Liste des tableaux
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Longueurs d’onde et fréquences correspondantes pour la partie visible du spectre
électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quelques valeurs représentatives pour l’émissivité à T=300 K. . . . . . . . . . . .
Travail de sortie pour quelques métaux. Tableau tiré du Hecht, page 1126. . . . .
Fréquence de coupure et énergie du niveau de Fermi pour quelques métaux.. . . .
Quelques formules utiles de relativité restreinte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
18
28
31
36
3.1
3.2
3.3
Longueurs d’onde de de Broglie pour différentes particules . . . . . . . . . . . . . .
Les séries de l’hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Échelle d’énergie de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
63
74
8.1
Fraction de l’intensité transmise pour un onde de polarisation incidente donnée (colonne) détectée dans un canal de polarisation donné (rangée) . . . . . . . . . . . .
Amplitudes de projection pour un photon de polarisation incidente donnée (colonne)
détectée dans un canal de polarisation donné (rangée) . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2
264
272
xiv
LISTE DES TABLEAUX
CHAPITRE 1
Origines de la physique moderne
Dans ce chapitre, nous rappelons brièvement quelques découvertes fondamentales en physique
faites vers la fin du 19ième et au début du 20ième siècle1 . Elles vous sont sans doute familières de
sorte que nous n’entrerons pas dans les détails. Nous introduisons ensuite la mécanique quantique
et donnons quelques repères historiques.
1.1 Les débuts de la physique moderne
1.1.1 Le quantum de charge électrique
L’électron, la première particule subatomique à nous être révélée, fut mis en évidence par des
expériences sur les courants électriques dans les solides, les liquides et les gaz. Au 19ième siècle,
les physiciens n’avaient aucune idée de ce qu’était la charge, ni si elle était continue ou discrète.
Aujourd’hui, nous savons que la charge est une propriété de la matière et que le charge totale
dans un système est toujours un multiple d’une charge élémentaire correspondant à la charge d’un
électron (ou d’un proton).
Michael Faraday2 , un des grands expérimentateurs de l’histoire de la physique, utilisa l’électrolyse
pour explorer les réactions chimiques. Dans le procédé d’électrolyse, deux électrodes (cathode et
anode) branchées à une pile sont insérées dans un liquide. Si la solution conductrice, l’électrolyte,
contient un sel d’un certain métal comme l’argent, du métal est libéré à la cathode. Connaissant
le courant circulant dans le circuit, on peut calculer la charge totale qui a traversé l’électrolyte
pendant un temps et comparer ce résultat avec la masse d’argent déposée sur l’électrode. Pour
expliquer le passage du courant à travers l’électrolyte, Faraday a fait l’hypothèse qu’il y avait un
mouvement de particules chargées dans ce liquide, particules qu’il a appelées des ions.
Faraday a mesuré la masse d’argent déposée sur la cathode et la charge totale qui a traversée
le circuit pour libérer cet argent. Pour libérer une mole d’un élément monovalent (ion d’une seule
charge positive ou négative), il lui fallait une charge d’un Faraday (1F= 96485 C). Si l’expérience
est refaite pour d’autres sels, on se rend compte que la même quantité de charge est nécessaire pour
1 Ces
sections sont inspirées du livre Physique, de Eugène Hecht, Éditeur : DeBoeck Université s.a., 1999. Traduction française.
anglais, 1791-1867.
2 Physicien
2
Chap.1. Origines de la physique moderne
libérer une mole de tous les éléments monovalents, quelles que soient leurs propriétés chimiques.
Dans le cas d’éléments bivalents, comme le cuivre, une charge 2F est nécessaire pour libérer une
mole.
Si une charge d’un Faraday est transportée par une mole d’une substance monovalente, alors
12 F est transportée par 12 mole et ainsi de suite. Cela doit se poursuivre jusqu’à la plus petite
charge associée à la plus petite masse soit la masse d’un seul atome de la substance libérée.
Ainsi, même si on ne connaissait pas le quantum de charge ni la masse des différents atomes
à l’époque, on pouvait mesurer le rapport . Pour l’hydrogène, on a ainsi
= 958 × 107 C/Kg.
+
(1.1)
Lorsque le nombre d’Avogadro = 60221367 × 10−23 fut connut, quelques décennies plus tard,
avec assez de précision, on put en déduire la valeur du quantum de charge = 1F
En 1881, Hermann von Helmholtz3 affirma que si on acceptait l’hypothèse que les substances
élémentaires étaient composées d’atomes, nous devions logiquement en déduire que l’électricité,
tant positive que négative, devait être divisée en portions finies qui devaient se comporter comme
des atomes d’électricité. En 1891, G. Stoney nomma l’unité fondamentale de charge l’électron.
1.1.2 Les rayons cathodiques
L’étude des décharges électriques dans des gaz raréfiés date d’aussi loin que 1675 alors qu’on
pouvait observer une mystérieuse luminosité dans un gaz soumis à une décharge électrique provoquée par un générateur électrostatique. En 1870, Sir William Crookes construisit un tube de
verre scellé dans lequel il disposa deux électrodes ainsi que le gaz à étudier (l’ancêtre de nos néons
d’aujourd’hui). Lorsque les électrodes du tube sont connectées à une source de haut voltage, un
faisceau lumineux traverse le tube (les atomes sont en fait ionisés par le champ électrique entre les
électrodes). Crookes observa que différents gaz émettaient différentes couleurs. Le mercure émet un
bleu-vert alors que le néon donne un rouge-orangé intense. Crookes montra, en courbant le tube,
que le faisceau partait de la plaque négative, la cathode (d’où le nom de rayons cathodiques) et que
ce faisceau se propageait en ligne droite (en l’absence de champ magnétique), frappant les parois
du tube courbé. En interposant un objet sur le trajet du faisceau, on peut observer son ombre sur
la paroi opposée du tube. Le faisceau parvenait même à faire tourner une petite roue à aubes disposée sur son chemin, suggérant qu’il était constitué de particules ayant une certaine énergie et une
certaine quantité de mouvement. Pour Crookes, un britannique, les rayons cathodiques devaient
être des faisceaux de particules négatives microscopiques.
À l’opposé de cette conception anglaise se trouvait celle de l’allemand Philipp von Lenard.
Heinrich Hertz avait montré que les rayons cathodiques pouvaient traverser une mince feuille de
métal. Son assistant, von Lenard, acquit ainsi la conviction que les rayons cathodiques devaient
être immatériels comme des ondes dans l’éther. Aujourd’hui, nous savons que la matière est surtout
constituée de vide et que les particules subatomiques peuvent parfois la traverser sur de grandes
distances sans être arrêtées. Mais à l’époque, avec ces deux conceptions diamétralement opposées,
nous avions le début d’un débat sur la nature de l’électron, corpusculaire ou ondulatoire, qui ne
trouverait sa solution qu’avec la création de la mécanique quantique.
3 Physicien
allemand, 1821-1894.
§1.1 Les débuts de la physique moderne
3
1.1.3 La découverte de l’électron
En 1897, Joseph John Thomson4 montra, par ses recherches sur les rayons cathodiques, que
ces derniers voyagaient beaucoup plus lentement que la lumière et donc qu’ils ne pouvaient être
un phénomène dans l’éther. De plus, J. Perrin avait montré en 1895 qu’un obstacle métallique
disposé sur le parcours du faisceau acquiert une charge négative. Il restait donc à J. J. Thomson à
démontrer que les rayons cathodiques et les électrons étaient la même chose.
À cette fin, Thomson construisit un tube à rayons cathodiques dans lequel un fort voltage entre
une cathode et une anode ionise un gaz à faible pression ce qui crée un nuage de charges négatives
et d’ions positifs. Les électrons constituent le faisceau cathodique. Ils sont accélérés vers l’anode
positive à une vitesse considérable. Un petit trou dans l’anode permet aux électrons de passer
et de ressortir en un mince faisceau. La vitesse des électrons peut être contrôlée par le voltage
entre la cathode et l’anode. Le tube comporte également un sélecteur de vitesse utilisant un champ
électrique et un champ magnétique croisés. Vous avez sans doute rencontré ce dispositif dans
votre étude de l’électricité ou de la mécanique au collège. En faisant l’hypothèse que les rayons
cathodiques sont composés d’électrons, ce tube permet de mesurer avec précision le rapport
où est la masse de l’électron. Le rapport obtenu est environ 1836 fois plus grand que celui
obtenu pour l’hydrogène (éq. (1.1)). Pour Thomson, la raison en était que la masse de l’électron
était beaucoup plus petite que celle de l’hydrogène et cela dans le même rapport. Pour lui, l’électron
était un tout petit fragment détaché d’un atome complexe. En 1897, la notion d’atome n’était pas
universellement acceptée et peu de scientifiques apprécièrent à sa juste valeur cette idée de particule
subatomique.
J. J. Thomson répéta son expérience en utilisant d’autres sources d’électrons dont, entre autres,
l’effet photoélectrique que nous étudierons au chapitre 2. Vers 1901, il arriva à une valeur de
qui était exacte à 30% près. Son travail inspira l’américain Robert Millikan dont l’expérience de la
goutte d’huile chargée est restée un classique de la littérature scientifique.
1.1.4 L’expérience de Millikan
Dans l’expérience de Robert Millikan5 , de fines gouttes d’huile sont vaporisées au dessus d’un
condensateur dont la plaque supérieure est percée d’un petit trou. En passant par le trou, les
gouttes acquièrent une certaine quantité de charge par frottement. Elles tombent ensuite vers la
plaque inférieure. En visionnant les gouttes avec un télescope, on peut ajuster le champ électrique
entre les plaques du condensateur de façon à ce que la force électrique compense graduellement la
force gravitationnelle et que la goutte soit suspendue sans mouvement entre les deux plaques. De
l’équation de l’équilibre des forces : = on peut déterminer la charge transportée par chaque
goutte si on connaît la masse de la goutte.
Pour déterminer la masse, on supprime le champ électrique. La goutte tombe et atteint rapidement sa vitesse limite à cause de la résistance de l’air. Cette vitesse limite dépend, entre autres
facteurs, du rayon de la goutte. Toujours avec le télescope, on mesure cette vitesse limite et connaissant les autres facteurs, on en déduit le rayon. La masse est alors facilement déterminée connaissant
la densité de l’huile.
Millikan et son étudiant Fletcher répétèrent cette expérience sur des milliers de gouttes. Ils purent
alors montrer que la charge nette sur les gouttes était toujours un multiple de la charge élémentaire
qui fut alors identifiée avec la charge de l’électron. Leur valeur de était 1592 × 10−19 C alors
4 Physicien
5 Physicien
anglais 1856-1940. Prix Nobel 1906.
américain, 1868-1953. Prix Nobel 1923.
4
Chap.1. Origines de la physique moderne
qu’aujourd’hui, la meilleure mesure du quantum de charge donne
= (160217733 ± 000000049) × 10−19 C.
(1.2)
Toutes les charges subatomiques connues aujourd’hui, qu’elles soient positives ou négatives, transportent une charge nette qui est un multiple de . (Les quarks, bien sûr, ont une charge fractionnaire,
mais ils n’apparaissent pas comme entités isolées. Il existe également des charges fractionnaires
dans l’effet Hall quantique mais cela est une toute autre histoire.) En combinant cette valeur de
avec le rapport Millikan a pu obtenir une valeur assez précise du nombre d’Avogadro soit
6062×1023 molécules par mole au lieu de notre 6022×1023 molécules par mole. On peut combiner
ces différentes mesures avec la densité volumique d’une substance pour estimer la taille d’un atome
d’argent, par exemple, à environ 026 nm.
1.1.5 Les rayons X
En 1895, Wilhelm Conrad Röntgen6 travaillait également sur les rayons cathodiques. Il était particulièrement intéressé par les expériences de Lenard et Hertz sur le passage des rayons cathodiques
à travers de minces feuilles de métal. Pour bloquer la lumière ambiante, il entourait son tube de
carton noir épais. Dans une pièce sombre, il nota un jour que l’un des cartons qu’il utilisait comme
écran (une feuille de carton sur laquelle il disposait une couche de sels de barium) et qui se trouvait à une certaine distance du tube se mettait à luire intensément lorsque l’appareil fonctionnait.
Intrigué, il étudia l’effet jusqu’à ce qu’il fut convaincu qu’il était bien réel et qu’il était dû à une
nouvelle forme de radiation invisible venant du tube à décharge. Il appela cette radiation rayons
X car en mathématique, représente une inconnue.
Comme la lumière, les rayons X peuvent exposer des films photographiques. Ils ont un pouvoir
de pénétration très grand. Bien qu’ils puissent ioniser l’air, les rayons X ne sont pas défléchis par
les champ électriques ou magnétiques. Röntgen essaya de prouver que les rayons X était une forme
d’onde, mais ne réussit pas à mettre en évidence des phénomènes de réfraction ou de polarisation.
C. Barkla en 1906 parvint à mettre en évidence une polarisation des rayons X démontrant ainsi
leur nature transverse. On croyait que les rayons X était une forme de radiation électromagnétique
de très courte longueur d’onde, mais on ne savait pas mesurer cette longueur d’onde.
C’est le physicien allemand Max von Laue7 qui, en 1912, permit de résoudre le problème et de
mesurer la longueur d’onde des rayons X. Il raisonna correctement que pour diffracter ces rayons, les
réseaux ordinaires ne convenaient pas. Il proposa d’utiliser les atomes d’un cristal comme diffuseurs
car ceux-ci étaient séparés d’une distance d’environ 01 nm, ce qui correspondait à la grandeur
présumée de la longueur d’onde des rayons X. Nous verrons au chapitre 3 que la diffraction par un
cristal produit un patron de diffraction bien spécifique. L’expérience fut faite et fut un succès. La
nature ondulatoire et transverse des rayons X ainsi que la périodicité des atomes dans un cristal
fut prouvée.
Dans l’expérience de Röntgen, les rayons X sont générés par les électrons des rayons cathodiques
qui sont freinés par le métal. Ce phénomène est appelé radiation de freinage et sera étudié au
chapitre 2. La diffraction des rayons X est une technique très utilisée pour la détermination des
structures cristallines. Un tube moderne de rayons X utilise l’émission thermoionique découverte
par Thomas Edison8 (un filament métallique chauffé à très haute température par un courant
électrique) comme source d’électrons.
6 Physicien
allemand, 1845-1923. Prix Nobel 1901.
allemand, 1879-1960. Prix Nobel 1914.
8 Inventeur américain, 1847-1931.
7 Physicien
§1.1 Les débuts de la physique moderne
5
1.1.6 La découverte de la radioactivité
La découverte de Röntgen provoqua un grand intérêt pour l’étude des rayons X. Henri Becquerel9
en France se mit à étudier certaines substances fluorescentes pour voir si, elles aussi, émettaient
des rayons X. Il travailla avec un sel d’uranium qu’il exposa à la lumière puis ensuite à une
plaque photographique enveloppée de papier épais. Il trouva que les sels d’uranium parvenaient
à impressionner la plaque photographique et donc qu’ils émettaient une radiation après avoir été
exposé à la lumière.
Un jour de 1896, cependant, le soleil n’étant pas au rendez-vous, Becquerel placa ses sels d’uranium directement sur la plaque photographique enveloppée de papier et rangea le tout dans un
tiroir en attendant qu’il fasse soleil. Une couple de jours après, il lui vint l’idée de développer la
plaque et, surprise, il remarqua que celle-ci était avait été impressionnée par les sels d’uranium.
Contrairement à ce qu’il pensait, il n’était donc pas nécessaire que les sels soient d’abord exposés à la lumière pour impressionner la plaque. La radiation émise par les sels n’était pas reliée à
la fluorescence ! Becquerel venait de découvrir, par accident, ce que Marie Curie allait appeler la
radioactivité c’est-à-dire la propriété qu’ont certaines substances d’émettre, par elles-mêmes, de la
radiation.
Les propriétés de la radiation émise par le sel d’uranium n’étaient pas aussi excitantes que celles
des rayons X. Cette radiation ne permettait pas de voir à travers le corps humain, par exemple.
C’est pourquoi les recherches sur la radioactivité furent un peu plus lentes à s’enclencher. C’est
Marie Curie10 qui s’intéressa au problème dans le cadre de son doctorat. Elle montra que le thorium,
comme l’uranium était radioactif. Avec son mari, Pierre, elle découvra un élément 400 fois plus
radioactif que l’uranium qu’elle appela polonium. Marie Curie fut la première à montrer, en 1898,
que la radioactivité était une propriété atomique. En travaillant pendant près de 45 mois dans des
conditions très pénibles et dangereuses, Pierre et Marie Curie isolèrent un autre élément radioactif :
le radium. Cet élément s’avéra deux millions de fois plus radioactif que l’uranium ! Sa radioactivité
est telle que l’élément luit par lui-même comme une luciole. Au cours des années, 30 grammes de
radium dégagent la même énergie que la combustion de dix tonnes de charbon. En 1903, Pierre
et Marie Curie ainsi que Henri Becquerel se partagèrent le prix Nobel de physique. Marie Curie
se mérita également le prix Nobel de chimie en 1911. En 1934, Marie Curie mourut de leucémie,
victime d’une trop grande exposition au radium.
La désintégration spontanée des noyaux atomiques est régie par la loi
() = 0 −
(1.3)
où 0 est la quantité de noyaux dans un volume donné de substance à l’instant = 0, la quantité
de noyaux dans le même volume à l’instant la constante de désintégration. La constante a le
sens de probabilité de désintégration du noyau en 1 sec. Elle est égale à la fraction de noyaux se
désintégrant en 1 sec. La grandeur 1 est appelée la durée de vie moyenne de l’isotope radioactif.
Pour caractériser la stabilité des noyaux à la désintégration, on utilise la notion de période 12
égale au temps pendant lequel la moitié du nombre initial de noyaux d’une substance donnée se
désintègre. Évidemment, 12 = (ln 2) .
9 Physicien
français, 1852-1908. Prix Nobel 1903 avec Pierre et Marie Curie.
française, 1867-1934. Prix Nobel de physique en 1903 avec Pierre Curie et Henri Becquerel et prix Nobel de
chimie en 1911.
1 0 Physicienne
6
Chap.1. Origines de la physique moderne
1.1.7 Rayonnements et
Ernest Rutherford11 commenca à étudier les rayons de Becquerel en 1895. Il montra que ces
rayons se composent de deux types bien différents de radiation. Le premier type était rapidement
absorbé par la matière. Il l’appela par commodité le rayonnement et montra qu’il s’agissait
de particules de masse assez grande et portant une double charge positive. Le second type était
beaucoup plus pénétrant et il l’appela rayonnement . On savait alors que de l’hélium était libéré
par le radium et donc qu’il y avait une certaine relation entre l’hélium et le rayonnement
Cependant, le fait qu’une particule alpha est un atome d’hélium complètement ionisé (He++ ) ne
fut connu que beaucoup plus tard, en 1908, suite aux expériences de Rutherford et Royds.
Plusieurs laboratoires européens travaillèrent en même temps sur l’étude des rayons . En 1902,
il fut déterminé qu’il s’agissait d’électrons12 . P. Villard, à Paris, étudia aussi l’émission de rayonnement par le radium et rapporta, en 1900, l’émission de particules extrêmement pénétrantes. Cet
autre rayonnement avait des propriétés très similaires à celles des rayons X. En 1914, Rutherford
et Andrade montrèrent qu’il s’agissait bien de radiation électromagnétique de très courte longueur
d’onde (plus courte que les rayons X). On appela ce rayonnement, rayonnement . Les particules
peuvent traverser plusieurs mètres de béton et environ un à cinq centimètres de plomb avant
d’être absorbées. Elles sont beaucoup plus dangereuses que les rayons .
1.1.8 Modèle nucléaire de l’atome et spectres atomiques
Nous savons aujourd’hui qu’un atome est composé d’un minuscule noyau positif autour duquel se
trouvent des nuages d’électrons. Ce modèle s’est progressivement développé au début du XXième
siècle. Nous étudierons au chapitre trois les expériences de Rutherford qui ont mises en évidence
le noyau atomique ainsi que le modèle de Bohr. Nous verrons le rôle crucial joué par les mesures
spectroscopiques dans l’élaboration du modèle de Bohr.
1.2 Naissance de la mécanique quantique
On peut situer la naissance de la mécanique quantique en 1900, année où Max Planck13 présenta son célèbre article sur le rayonnement du corps noir à une réunion de la société allemande
de physique. Durant la trentaine d’années qui ont suivies, plusieurs expériences ont démontré l’incapacité de la physique classique (mécanique, thermodynamique, électromagnétisme) d’expliquer
certains comportements de la matière au niveau microscopique, c’est-à-dire certains phénomènes
où interviennent des particules de faibles masses localisées dans de très petites régions de l’espace
comme un atome, un noyau atomique, une molécule, un électron.
Pour parvenir à donner une interprétation cohérente de ces expériences, il a été nécessaire d’introduire des concepts radicalement différents de ceux de la physique classique. Par exemple, on
a dû abandonner la notion de trajectoire et considérer que les particules microscopiques ont parfois un comportement ondulatoire ! L’ensemble de ces nouveaux concepts a donné naissance à une
nouvelle mécanique, la mécanique quantique, qui s’est développée rapidement puisqu’en 1927, déjà,
les fondements de la théorie sont achevés. Par son abandon des concepts-clés de la mécanique
1 1 Physicien
anglais, 1871-1937. Prix Nobel 1908.
la désintégration les électrons (ou les positrons) émis forment un spectre énergétique continu. Cette désintégration
s’accompagne souvent de l’émission de rayons gamma. De plus, la désintégration s’accompagne de l’émission d’un anti-neutrino
(dans le cas d’un électron émis) ou d’un neutrino (dans le cas d’un positron émis).
1 3 Physicien allemand, 1858-1947. Prix nobel 1918.
1 2 Dans
§1.2 Naissance de la mécanique quantique
7
classique, on peut dire que la mécanique quantique constitue une véritable révolution dans notre
façon de décrire le monde physique. Avec la relativité introduite par Albert Einstein14 au début
du siècle (1905), la mécanique quantique est un des piliers de l’édifice théorique de la physique
contemporaine. Ces deux théories, mécanique quantique et relativité, expliquent un vaste ensemble
de phénomènes physiques avec une précision stupéfiante.
Tout comme la relativité contient la mécanique classique comme cas limite (les lois relativistes
approchent les lois classiques lorsque la vitesse d’une particule est suffisamment faible par rapport à
celle de la lumière), la nouvelle mécanique quantique contient comme cas limites les lois classiques.
La constante fondamentale qui caractérise la physique quantique (comme la vitesse de la lumière,
, caractérise la relativité) est la constante de Planck, Toutefois, la relation entre mécanique
quantique et mécanique classique est un peu plus subtile. Dans un sens, on peut dire que la
mécanique quantique, dans sa forme actuelle, a besoin pour exister de la mécanique classique (voir
Landau et Lifchitz, p. 11).
1.2.1 Une théorie révolutionnaire
Pour comprendre à quel point la mécanique quantique révolutionne notre façon de voir le monde
physique, nous donnons ici quelques changements importants apportés par la nouvelle théorie par
rapport à la physique classique.
1. Abandon de la distinction stricte entre particule et onde.
2. Abandon du concept de trajectoire d’une particule.
3. Abandon du déterminisme stricte de la mécanique classique au profit d’une interprétation
probabiliste des phénomènes physiques.
4. Discrétisation des états.
5. Non-localité et contextualité de la réalité physique.
6. Indiscernabilité des particules (électrons, protons, etc.).
Il est clair que, d’un point de vue philosophique, la théorie quantique n’est pas neutre. Elle
suppose une vision du monde physique incompatible avec le réalisme pur qui est si fortement
incrusté en nous. C’est cette incompatibilité qui fait en sorte que la mécanique quantique est si
difficile à comprendre et à accepter. Dans ce cours, nous insisterons surtout sur l’interprétation de la
théorie telle que donnée par Bohr ("interprétation" de Copenhague). Nous montrerons cependant
que cette interprétation peut être contestée. Grâce au théorème de Bell que nous introduirons
vers la fin du cours, nous verrons qu’il est possible de tester expérimentalement certaines idées
concernant la nature de la réalité décrite par la mécanique quantique. La recherche sur ce sujet
est très active aujoud’hui. Un excellent livre : The quantum challenge par G. Greenstein et A.G.
Zajonc décrit plusieurs expériences contemporaines dans ce domaine.
Il est important de se rendre compte cependant que, si l’interprétation de la théorie soulève
encore des critiques dans la communauté scientifique, nul ne remet en cause les prédictions de
la mécanique quantique. En fait, les succès de la théorie quantique sont très nombreux et ses
prédictions d’une précision stupéfiante. De ce point de vue, peu d’autres théories physiques ont été
aussi couronnées de succès. La mécanique quantique a permis, entre autres choses,
1. de comprendre la stabilité des atomes, leur structure, de construire l’ordonnancement des
atomes dans le tableau périodique ;
1 4 Physicien
allemand, 1879-1955. Prix Nobel en 1921.
8
Chap.1. Origines de la physique moderne
2. de déterminer les affinités chimiques des atomes et donc de comprendre la formation des
molécules ainsi que les diverses réactions chimiques ;
3. d’aller de plus en plus loin dans notre connaissance du monde de l’infiniment petit en découvrant de nouvelles particules élémentaires et surtout en donnant un modèle cohérent (le
modèle standard) des particules subatomiques et de leur interaction ;
4. de comprendre et d’être en mesure de calculer les propriétés physiques des liquides et des solides (chaleur spécifique, conductivité, rigidité, propriétés optiques, etc.) à partir d’un modèle
microscopique ;
5. d’expliquer des propriétés purement quantiques de certains corps comme la supraconductivité
de plusieurs métaux et la superfluidité d’un liquide comme l’hélium.
1.2.2 De nouvelles applications technologiques
La mécanique quantique est à la base de nombreuses inventions de la technologie moderne.
1. Le laser permet de générer un faisceau lumineux extrêmement cohérent et possède de nombreuses applications dans le domaine de la médecine, des communications et dans nombre
d’industries de transformation.
2. Les processus radioactifs sont à la base du fonctionnement des réacteurs nucléaires et servent
à produire de l’électricité. Ils sont aussi utilisés en médecine pour traiter certains cancers.
3. Des technologies utilisant le spin des noyaux atomiques (la résonance magnétique nucléaire)
permettent de construire des systèmes d’imagerie médicale d’une grande précision.
4. L’utilisation astucieuse d’un effet quantique très spécial, l’effet tunnel, permet de construire
un microscope d’un très grand pouvoir de résolution.
5. Une nouvelle spectroscopie, basée sur l’utilisation du comportement ondulatoire des électrons
lors de leur diffusion sur un cristal, permet d’en révéler la structure interne.
6. En électronique, les applications de la mécanique quantique semblent sans limites. On peut
dire, sans trop exagérer, que l’électronique moderne est entièrement basée sur les découvertes
de la mécanique quantique. Qu’on pense à la diode, aux transistors et aux semiconducteurs
qui composent les circuits intégrés et à la miniaturisation des circuits qu’il est possible de
réaliser. La quantification de l’énergie des électrons dans les solides est utilisée pour créer de
nouveaux dispositifs pour contrôler le courant, l’amplifier, le moduler. Il est ainsi possible
de fabriquer toutes les merveilles de la technologie moderne (télévision, radio, ordinateur).
L’interaction entre électrons et les quanta du champ électromagnétique permet de créer des
dispositifs opto-électroniques pouvant servir à une vaste gamme d’applications.
7. La mécanique quantique permet la création d’états macroscopiques cohérents comme ceux
donnant lieu à la supraconductivité qui permet de construire des bobines permettant de
créer de très fort champs magnétiques. La supraconductivité permet de rêver à des trains
fonctionnant par lévitation magnétique et à un transport de l’électricité sans perte.
8. Les particularités de la mécanique quantique comme la superposition d’états quantiques
et l’enchevêtrement ouvrent la voie vers des applications très sophistiquées de la théorie :
cryptographie, téléportation, ordinateur quantique. Nous tenterons, si le temps le permet, de
dire un mot sur ces applications futuristes.
§1.3 Quelques repères historiques16
9
1.3 Quelques repères historiques15
1687 : Newton publie les Principia mathematicae. Mécanique classique, nature corpusculaire de
la lumière (en opposition avec Huyghens).
1800 : Thomas Young et l’expérience des deux fentes. Démontre la nature ondulatoire de la lumière.
1814 : Fraunhofer découvre de raies sombres d’absorption dans le rayonnement solaire. C’est Kirchhoff (1860) qui montre que la matière est capable d’émettre et d’absorber la lumière à
des fréquences bien déterminées qui dépendent de la substance considérée mais qui sont les
mêmes à l’absorption et à l’émission. Kirchhoff étudie les restrictions imposées par la thermodynamique au rayonnement des corps.
1860 : Maxwell postule l’existence des ondes électromagnétiques.
1885 : Travaux de Balmer sur les raies spectrales.
1897 : J.J. Thomson démontre l’existence des électrons.
1900 : Quelques problèmes majeurs : radiactivité, l’éther, le corps noir, l’effet photoélectrique,
existence des spectres d’émission des gaz.
1900 : Lord Rayleigh établit que la densité d’énergie de rayonnement, contenue dans une enceinte,
est donnée (en physique classique) par
e
() =
8 2
3
(1.4)
Cette expression est vérifiée aux basses fréquences, mais elle diverge (catastrophe de l’ultraviolet) aux hautes fréquences ! Expérimentalent, on observe plutôt, aux hautes fréquences
où et sont des constantes.
e
() = 3 −
(1.5)
1900 : Max Planck découvre une formule d’interpolation entre ces deux régimes de fréquences. Sa
formule
8 2
(1.6)
e
() = 3
−1
est en parfait accord avec l’expérience. est la fameuse constante de Planck. Cette formule
est un résultat empirique. Planck essait de la justifier par des considérations statistiques.
Pour y arriver, il doit postuler que la matière absorbant le rayonnement se comporte comme
un ensemble d’oscillateurs parfaits (hypothèse maitenant rejetée) dont l’énergie est égale à un
nombre entier de fois . C’est le début de la mécanique quantique, la première quantification
dont la signification allait rester, pour quelque temps, très obscure.
1899-1902 : Lenard formule les lois empiriques de l’effet photoélectrique (aussi Rutherford et J.J.
Thomson).
1903 : J.J. Thomson élabore son modèle de la structure de l’atome (plum-pudding). Permet d’expliquer l’existence de raies monochromatiques. Pour vérifier son modèle, Thomson suggère
d’envoyer des particules lourdes et chargées sur l’atome et d’analyser la distribution des
particules diffusées.
1 5 D’après
J. L. Basdevant, Mécanique quantique, tome II.
10
Chap.1. Origines de la physique moderne
1905 : Einstein introduit le concept de photon qui permet d’expliquer les règles auxquelles obéit
l’effet photoélectrique. Il prédit la dépendance du courant photoélectrique en fonction de la
nature de la substance, de la fréquence du rayonnement incident et de la température. Ces
prédictions sont confirmées par Millikan en 1914. Il n’est pas clair, pour les physiciens, que les
quanta de Planck et ceux d’Einstein sont les mêmes. Einstein, pourtant, pressent la dualité
onde-corpuscule de la lumière.
1906 : Einstein propose un modèle pour la chaleur spécifique des solides en quantifiant les modes
de vibrations. Son modèle (dans une certaine gamme de température) fut assez bon pour
convaincre pas mal de physiciens de la réalité des quanta.
1885-1908 : Mise en place d’un ensemble de résultats empiriques concernant la distribution des
raies spectrales. Ces résultats ne pouvaient être expliqués par la mécanique classique et l’électrodynamique classique.
1911 : Rutherford montre que les expériences de diffusion des particules alpha sur les atomes ne
peuvent s’expliquer dans le cadre du modèle de Thomson. Il introduit le modèle planétaire
de l’atome (noyau central positif et électrons tournant autour). Mais son modèle pose le
problème de la stabilité de l’atome.
1912 : Max von Laue : diffraction des rayons X.
1913 : Ehrenfest (avant le modèle de Bohr) avait prévu la quantification du moment cinétique
de l’électron (projection selon ) en raffinant la théorie d’Einstein et Stern sur la chaleur
spécifique des gaz diatomiques. C’est pour mettre cette curieuse prédiction à l’épreuve qu’Otto
Stern entreprit une longue série d’expériences qui devait aboutir, en 1921, à l’expérience de
Stern et Gerlach et donc à la découverte du spin de l’électron.
1913 : Bohr séjourne chez Rutherford à Manchester. Il postule alors l’existence d’états d’énergie
stationnaires dans lesquels l’électron ne rayonne pas et postule que le rayonnement a lieu
lors des changements de niveaux. Il introduit ainsi le concept de sauts quantiques. C’est
un spectroscopiste, H. M. Hansen qui, en 1913, apprit à Bohr l’existence des formules de
Balmer et de Rydberg. Bohr racontait que dès qu’il avait vu la formule de Balmer, tout
devint limpide pour lui. La validité du modèle de Bohr fut confirmée lorsque Bohr identifia
des raies, observées dans le spectre de l’étoile Puppis et attribuées à tort à l’hydrogène.
Bohr montra qu’il s’agissait en fait d’hélium une fois ionisé.
1914 : Les expériences de Franck et Hertz (1914-1919) confirmèrent l’existence des états stationnaires proposés par Bohr.
1914 : Sommerfeld donne une version plus générale des règles de quantification de Bohr. Les règles
de quantification de Bohr-Sommerfeld permettaient d’expliquer l’effet Stark (structures en
multiplets des raies spectrales en champ électrique), la structure fine des spectres, la table de
Mendeleiev (en partie car il n’y avait pas moyen d’expliquer que chaque niveau était occupé
par deux électrons, ni l’effet Zeeman anormal (multiplets dans un champ magnétique)).
1916-1917 : Einstein publie sur l’émission spontanée et l’émission stimulée dans les molécules.
1921 : Expérience de Stern et Gerlach sur la quantification du moment cinétique orbital de l’électron ainsi que l’apparation de deux taches lorsque = 0 ! Découverte du spin.
1923 : Le photon était demeuré un concept relativent mystérieux. Compton montre qu’il se comporte effectivement comme une particule. Mais pour montrer le caractère corpusculaire du
photon, on doit aussi utiliser le caractère ondulatoire des rayons X puisque le pic à 0 est
mesuré par la diffraction sur un réseau cristallin. Au total, les rayons X sont à la fois des
ondes et des corpuscules.
§1.3 Quelques repères historiques17
11
1923 : L. de Broglie propose d’associer systématiquement onde et corpuscule. Il associe une onde
à une particule. Louis de Broglie publie sa thèse en 1925. Einstein est impressionné par cette
idée.
1925 : Pauli se penche sur le problème de la stabilité des atomes et tente d’expliquer pourquoi les
électrons d’un atome n’occupent pas tous l’état fondamental mais sont répartis en couches.
Il propose alors le principe d’exclusion et la division entre fermions et bosons. Il propose
que l’électron possède un quatrième nombre quantique. Ce nombre est d’origine purement
quantique. Il n’a pas d’équivalent classique.
1925 : Uhlenbeck et Goudsmit proposent l’interprétation de ce nouveau nombre quantique comme
étant relié à un moment cinétique propre de l’électron, le spin, (auquel est associé un moment
magnétique). Ce moment magnétique permet d’expliquer l’effet Zeeman anormal, la structure fine des raies atomiques. Les données spectroscopiques ont été très importantes dans la
confirmation de ces nouvelles idées.
1925 : La vieille théorie des quanta se présente comme un ensemble inextricable d’hypothèses, de
principes, de théorèmes et de recettes de calcul plutôt qu’un théorie cohérente.
1925 : Heisenberg fait l’hypothèse fondamentale de rejeter les notions classiques de position et
d’impulsion d’un électron. Pour lui, aucune expérience ne mesure de telles quantités et la
théorie qui suppose leur existence conduit à un échec. Einstein avait procédé de même en
rejetant la notion de temps absolu dans sa théorie de la relativité. Heisenberg élabore une
théorie (la mécanique des matrices) qui ne considère que des quantités mesurables expérimentalement. Il part des fréquences spectrales observées. Born fait remarquer à Heisenberg
que les quantités qui apparaissent dans sa théorie sont des matrices. C’est Born d’ailleurs
qui trouve la règle de commutation fondamentale [ ] = } Born, Heisenberg et Jourdan
développent la mécanique des matrices. Heisenberg est mal à l’aise avec la non commutativité
des objets (matrices) introduits dans la théorie. Il n’en comprend pas le sens physique.
1925 : Pauli utilise la mécanique des matrices pour montrer qu’elle peut expliquer les niveaux
d’énergie de l’atome d’hydrogène.
1925 : Dirac reconnaît que rien ne pousse les grandeurs physiques à être commutatives. Il faut
donc adapter la théorie à ce fait (et non l’inverse). En quelques mois, il construit sa propre
version de la mécanique quantique !
1926 : G.N. Lewiss introduit le mot photon.
1926 : Schrödinger se penche sur le travail de de Broglie. C’est lors d’un séminaire que Debye
propose à Schrödinger de trouver une équation d’onde pour l’onde de de Broglie. Après
plusieurs essais infructueux, Shcrödinger obtient dans une limite non-relativiste sa célèbre
équation. Dans une série d’articles en 1926, il résout quantité de problèmes : les niveaux de
l’atome d’hydrogène, la théorie des perturbations et l’effet Stark, etc. En 1926, il établit aussi
l’équivalence de la mécanique ondulatoire et de la mécanique des matrices. Le formalisme de
Schrödinger explique naturellement pourquoi les énergies sont quantifiées. Le sens à donner
à la fonction d’onde n’est pas clair. Pour Schrödinger, elle est réelle.
1926 : H. Lorentz montre l’étalement du paquet d’ondes.
1926 : Brillouin, Kramer et Wentzel montrent indépendamment que la méthode de quantification
de Bohr-Sommerfeld constitue une approximation de la mécanique quantique, valable dans
la limite des grands nombres quantiques.
1926 : Born, pour interpréter les expériences de collision d’électrons, propose l’interprétation probabiliste de la fonction d’onde. Einstein n’aime pas l’interprétation de Born.
12
Chap.1. Origines de la physique moderne
1926 : Dirac approfondit la structure de la nouvelle théorie et introduit la fonction .
1927 : Congrès de Solvay. Darwin et Pauli montrent indépendamment comment le spin de l’électron s’introduit dans le formalisme. Davidson et Germer mettent un terme à une série d’expériences commencées en 1919 et établissent l’existence de la diffraction des électrons dans
un cristal. G.P. Thomson obtient la même année ce résultat par une technique expérimentale différente. Hilbert et Nordheim clarifient les fondements mathématiques de la mécanique
quantique. Introduction de l’espace d’Hilbert et de la théorie générale des opérateurs. Von
Neumann introduit la matrice densité et formula la théorie quantique comme on la connaît
aujourd’hui (fomulation orthodoxe). Dirac quantifie le champ électromagnétique et explique
ainsi complètement l’émission et l’absorption des photons par les atomes.
1928 : Dirac propose son équation relativiste qui explique naturellement le spin de l’électron et qui
introduit l’antimatière. Bohr et ses collaborateurs à Copenhague approfondissent la théorie
de la mesure en mécanique quantique.
1929 : Invention du premier accélérateur, le cyclotron, par Lawrence.
1930 : Invention de la résonance magnétique par Rabi.
1931 : Wilson fait la théorie des bandes de conduction dans les solides : explication de la différence
entre conducteurs et isolants.
1932 : Chadwick découvre le neutron. On n’a toujours pas de modèle du noyau atomique. On sait
maintenant qu’il contient des neutrons et des protons, mais qu’est-ce qui les tient ensemble ?
Quelle est la force qui fait en sorte que les protons ne s’échappent pas du noyau. Découverte
du positron dans les rayons cosmiques (Anderson).
1933 : Pauli prédit l’existence du neutrino pour expliquer le spectre des électrons dans la désintégration des noyaux. Blackett et Occhialini observent la production et l’annihilation de
paires électron-positron.
1934 : Fermi propose un modèle des interactions faibles (radioactivité ). I. et F. Curie réalisent
la radioactivité artificielle.
1935 : Yukawa montre que les protons et les neutrons sont cimentés par une force très forte due
à l’échange d’une particule (comme dans la liaison chimique covalente) : le méson. Proton
et neutron peuvent se transformer l’un en l’autre en échangeant un méson. Cette force a un
rayon d’action très réduit, le méson ayant à peu près 237 fois la masse de l’électron.
1936 : Bohr propose le modèle hydrodynamique du noyau.
1938 : Bethe propose un mécanisme de réactions nucléaires pour la génération d’énergie dans les
étoiles. Kapitza découvre la superfluidité de l’hélium. Découverte de la fission des noyaux
lourds (Hahn-Strassmann).
1939 : F. Bloch et Alvarez mesurent le moment magnétique du neutron. Jensen et Mme. GoppertMayer proposent indépendamment le modèle en couches du noyau.
1941 : Landau explique la superfluidité de l’hélium : un phénomène quantique à l’échelle macroscopique.
1942 : Fermi réalise la première pile nucléaire : réactions en chaînes contrôlées.
1944 : Onsager donne la première interprétation quantique des transitions de phase.
1946 : Étude des semi-conducteurs et invention du transistor (Bardeen, Brattain, Shockley).
1947 : Découverte du méson dans les rayons cosmiques (Lattes, Occhialini, Powell). La force
nucléaire due à cet échange est la plus puissante (force nucléaire forte) des forces. Elle parvient à assurer la cohésion des protons dans le noyau. La force nucléaire est à courte portée.
§1.3 Quelques repères historiques18
13
Plus le noyau est gros (en nombre de protons et neutrons), plus la force nucléaire doit compétitionner contre la répulsion coulombienne. La force nucléaire faiblit avec la taille du noyau
et celui-ci devient instable. Il a tendance à se scinder en parties plus petites c’est-à-dire à
être radioactif. Kuch mesure avec précision le moment magnétique de l’électron : il trouve
une valeur légèrement différente de celle que prédit l’équation de Dirac.
1948 : Gamow applique la physique nucléaire à l’étude de la cosmologie (modèle du big bang).
1949 : Mise au point d’une théorie, l’électrodynamique quantique, qui englobe tous les phénomènes
électromagnétiques (Feynman, Schwinger, Tomonaga). Calcul très précis des effets trouvés
par Lamb et Kuch. Découverte du méson .
1950 : Kastler et Brossel mettent au point la méthode du pompage optique.
1952 : Invention de la chambre à bulle (Glaser).
1955 : Observation de l’antiproton (Segré et Chamberlain). Première analyse structurale d’une
protéine, la myoglobine, par Kendrew.
1957 : Un problème fondamental de la théorie des solides : la superconductivité, est résolu par
Bardeen, Cooper et Schrieffer. E. et G. Burdidge, W. Fowler et F. Hoyle proposent une
explication détaillée de la synthèse des noyaux dans les étoiles.
1961 : Découverte de nombreuses résonances (particules à vie extrêmement brève).
1962 : Townes propose le principe du laser. Découverte de l’effet Josephson dans les supraconducteurs.
1964 : Gell-Mann et Zweig proposent que les nucléons, et plus généralement les hadrons (particules
interagissant par interaction forte) sont composés de quarks.
1965 : J. S. Bell démontre ses célèbres inégalités.
1969 : A. Salam, S. Weinberg montrent la possibilité d’unifier la théorie des interactions faibles et
de l’électromagnétisme. Ceci, vérifié expérimentalement, est le point de départ d’une véritable
révolution dans la théorie des interactions fondamentales.
1970-1972 Mise en évidence de sous-structures ponctuelles à l’intérieur du proton.
1974 : Découverte des nouvelles particules qui accréditent l’hypothèse de l’existence de constituants élémentales, les quarks, proposés par Gell-Mann.
1976 : Mise en évidence directe de l’existence d’un nouveau nombre quantique : le charme, les
quarks acquièrent une existence.
1977-1985 : Preuves expérimentales de la violation des inégalités de Bell et de la validité de la
mécanique quantique.
1980 : Découverte de l’effet Hall quantique entier par Von Klitzing.
1982 : Découverte de l’effet Hall quantique fractionnaire par D. Tsui, H. Störmer et A.C. Gossard.
Théorie des effets Hall quantiques par R. Laughlin.
1983 : Découverte des bosons intermédiaires ± et au CERN à Genève.
1988 : Découverte de la supraconductivité à haute température critique.
14
Chap.1. Origines de la physique moderne
CHAPITRE 2
Comportement corpusculaire de la radiation
électromagnétique
Dans ce chapitre et le suivant, nous passons en revue des expériences célèbres qui n’ont pu trouver d’explication dans le cadre de la théorie classique (mécanique classique, thermodynamique,
électromagnétisme). Dans chaque cas nous donnons une brève description de l’expérience et nous
expliquons pourquoi la théorie classique ne marche pas. Nous indiquons ensuite quels sont les nouveaux concepts qui ont du être introduits pour expliquer chacun des phénomènes physiques. Dans
ce chapitre, nous nous concentrons sur les expériences qui suggèrent que la radiation électromagnétique ne se comporte pas toujours comme une onde. Dans le chapitre 3, nous considérons des
expériences qui montrent que les particules (comme l’électron) peuvent parfois se comporter comme
des ondes. Notre but, dans les deux cas, est de montrer pourquoi il a été nécessaire de créer une
nouvelle théorie.
2.1 Radiation du corps noir
Le problème du corps noir est à l’origine du développement de la mécanique quantique et du
concept de quantum de lumière. Il est donc difficile d’éviter d’en parler. Malheureusement, c’est
aussi le problème le plus difficile que nous aurons à traiter dans ce chapitre et les suivants !... En
effet, l’étude du corps noir nécessite des notions de thermodynamique et d’électromagnétisme que
vous ne possédez pas encore. Il vous faudra donc être patient et admettre un certain nombre de
notions pour passer au travers de l’exposé qui suit. Soyez rassurés toutefois, l’étude du corps noir
sera reprise en plus de détails dans le cours de Physique statistique II.
L’étude du spectre de radiation du corps noir a débuté vers 1859 avec les travaux de Gustav
Robert Kirchhoff1 qui a analysé la façon dont les corps en équilibre thermique échangent leur
énergie thermique par émission de rayonnement électromagnétique (ce qu’on appelle la radiation
thermique). Certains corps comme les gaz dilués émettent de la radiation seulement à certaines
fréquences. D’autres comme les solides, les liquides ou même les gaz très denses émettent un
spectre continu de radiation (c’est-à-dire qu’au moins une partie du spectre est continue). Pour
les solides, la forme de ce spectre dépend peu du matériel qui constitue le corps mais beaucoup de
1 Physicien
allemand, 1824-1887.
16
Chap.2. Comportement corpusculaire de la radiation électromagnétique
Couleur
Violet
Bleu
Vert
Jaune
Orange
Rouge
(Å)
3900—4550
4550—4920
4920—5770
5770—5970
5970—6220
6220-7800
(1014 Hz)
7.69—6.59
6.59—6.10
6.10—5.20
5.20—5.03
5.03—4.82
4.82—3.84
TABLE 2.1. Longueurs d’onde et fréquences correspondantes pour la partie visible du spectre électromagnétique
sa température. À faible température, les solides nous sont visibles surtout par la lumière qu’ils
réfléchissent. Lorsque leur température augmente, cependant, ils deviennent eux-mêmes lumineux.
Autrement dit, la quantité de radiation qu’ils émettent dans la région visible du spectre devient
assez importante pour que nous puissions la voir. Lorsque la température des solides augmente, ils
passent successivement du rouge au bleu puis au blanc. La plupart de la radiation émise, même à
assez haute température, l’est cependant dans la région infrarouge du spectre. Le tableau 2.1 donne
les longueurs d’onde et les fréquences pour partie visible du spectre de radiation électromagnétique.
Supposons que la capacité d’un corps d’émettre et d’absorber de la radiation électromagnétique
(nous utiliserons l’abbréviation REM pour faire plus court) soit caractérisée par un coefficient
d’émission, (), appelée radiance spectrale
¥ Radiance spectrale () : la quantité d’énergie émise par unité de surface du corps,
dans un intervalle unitaire de longueur d’onde autour de à une température donnée et par
unité de temps est appelée la radiance spectrale2 . Nous pouvons aussi définir une radiance
e () = − (). La radiance totale
spectrale fonction de la fréquence par la relation
R∞
R∞
e ()
(ou simplement la radiance) est définie par = 0 () = 0
et par un coefficient d’absorption () qui est la fraction de l’énergie incidente absorbée dans
le même intervalle de longueur d’onde ( () est donc sans unités). En principe, ces coefficients
dépendent de la nature de la surface du corps (couleur, texture, etc.) et de la longueur d’onde de la
REM. En effet, un corps qui émet bien à une longueur d’onde donnée peut être un piètre émetteur
à une autre longueur d’onde.3
Considérons maintenant une chambre ou cavité isolée (comme une fournaise) en équilibre thermique à une certaine température . Cette cavité sera sûrement remplie de REM de différentes
longueurs d’onde. Supposons qu’il existe une fonction de distribution dépendant uniquement de la
température, () et qui nous donne l’intensité électromagnétique (énergie par unité de temps
et par unité de surface) incidente sur les murs de la cavité, par unité de longueur d’onde dans
un domaine de longueur d’onde autour de . Logiquement, la quantité totale d’énergie électromagnétique, à toutes les longueurs d’onde, absorbée par les murs de la cavité doit être égale à celle
2 Les unités de la radiance spectrale () sont donc des J/m 3 −s alors que celles de la radiance spectrale
() sont des
J/m 2
3 Le blanc normal est un réflecteur presque parfait pour la lumière visible. Notons que si la réflexion est forte, l’absorption
est faible de sorte que l’objet émet également peu (son émissivité est faible). Notons également que la radiation thermique est
surtout dans l’infrarouge à température ordinaire. Il n’est donc pas évident de juger de l’émissivité d’un objet par sa couleur.
§2.1 Radiation du corps noir
17
émise par les murs autrement le corps formant la cavité verrait sa température changer. Kirchhoff
raisonna que si le corps formant la cavité est fait de différents matériaux (se comportant donc de
façon différente avec la température), l’équilibre entre radiation émise et radiation absorbée doit
s’appliquer pour chaque longueur d’onde (ou domaine de longueur d’onde) séparément. Il s’ensuit
que l’intensité absorbée par les murs de la cavité à la longueur d’onde soit () () doit
être égale à l’intensité émise par les murs soit () La loi de Kirchhoff pour la radiation est
donc
(2.1)
() = () ()
Puisque nous avons supposé que () ne dépendait que de la température, nous voyons ainsi
que () () est une fonction universelle, la même pour toutes les cavités sans égard à leur
composition, leur forme ou la couleur de leurs murs. Kirchhoff ne donna pas cette fonction mais
il fit remarquer qu’un corps parfaitement absorbant, c’est-à-dire un corps pour lequel () = 1
apparaîtrait noir et que pour ce corps très spécial
() = ()
(2.2)
La radiance spectrale pour un tel corps est donc identique à la fonction de distribution donnant
l’intensité de la REM présente dans une cavité fermée à la même température. Autrement dit,
l’intensité de l’énergie électromagnétique en équilibre dans une cavité isolée est, à tous égards, la
même que celle émise par un corps parfaitement noir à la même température. Évidemment, si la
cavité est fermée, nous ne pouvons pas mesurer le courant d’énergie qui s’en échappe ! Mais, si nous
pratiquons un tout petit trou dans cette cavité de façon à ce qu’il soit suffisamment petit pour ne
pas perturber l’équilibre de la REM à l’intérieur, alors l’énergie électromagnétique s’échappant de
ce petit trou est la même que celle émise par un corps parfaitement noir.
En 1879 Josef Stefan4 proposa, à partir des travaux de J. Tyndall publiés en 1865, que le taux
d’émission de la REM par un corps noir chauffé est proportionnel à la quatrième puissance de la
température. Cette conclusion fut par la suite prouvée théoriquement par Ludwig Boltzmann5 en
1884.
¥ Loi de Stefan-Boltzmann : = 4 où = 56703 × 10−8 W m2 · K4 est la constante
de Stefan-Boltzmann.
Si le corps a une surface alors la puissance totale émise est
= 4
(2.3)
Évidemment, aucun objet réel n’est un corps noir. Le noir de charbon a un coefficient d’absorption
très près de 1 mais seulement pour certaines fréquences (incluant, bien sûr, le visible). Son coefficient
d’absorption est beaucoup plus petit dans l’infrarouge lointain. Tout de même, la plupart des objets
s’approchent d’un corps noir au moins dans certaines gammes de fréquences. Le corps humain, par
exemple, est presqu’un corps noir dans l’infrarouge. Pour traiter les différents corps, on introduit
un facteur appelé émissivité totale, , qui relie la puissance totale émise par le corps à celle émise
par un corps noir parfait pour lequel = 1 Nous avons donc pour un corps quelconque
= 4
4 Physicien
5 Physicien
autrichien, 1835-1893.
autrichien, 1844-1906.
(2.4)
18
Chap.2. Comportement corpusculaire de la radiation électromagnétique
Matériel
feuille d’aluminium
cuivre poli
carbone
peinture blanche (mate)
brique rouge
peinture noire (mate)
suie
0.02
0.03
0.8
0.87
0.94
0.94
0.95
TABLE 2.2. Quelques valeurs représentatives pour l’émissivité à T=300 K.
Par définition, le corps noir est le parfait émetteur (ou absorbant). À une température donnée,
aucune surface ne peut émettre plus qu’un corps noir. Le tableau 2.2 donne quelques valeurs de
Supposons qu’un objet avec un coefficient d’absorption totale une émissivité et une surface
soit placé dans une cavité dont les murs possède une émissivité totale et une température
Si est la température de l’objet, alors ce dernier va émettre à un taux donné par 4 et
absorber à un taux6 de 4 À l’équilibre thermique, = , on doit avoir
4 = 4
(2.5)
=
(2.6)
soit
valable pour toute température. On peut donc écrire pour la puissance nette émise par le corps :
¡
¢
= 4 − 4
(2.7)
Cette formule a plusieurs applications pratiques dont certaines sont discutées dans les exercices à la
fin de ce chapitre. Elle permet, par exemple, de comprendre pourquoi l’on se sent froid lorsqu’on se
tient devant une fenêtre en hiver. Autre exemple : tous les corps émettent de la REM à température
finie. Comme nous l’avons vu, la puissance émise augmente très rapidement avec la température.
C’est pourquoi il devient de plus en plus difficile d’augmenter la température d’un corps en le
chauffant, celui-ci perdant de plus en plus rapidement l’énergie qu’on lui donne.
Lorsque la température d’un corps est augmentée, la distribution d’énergie émise, () change.
La fig. 2.1 reproduit le spectre de REM du corps noir pour deux températures différentes (il s’agit
e () comme nous le verrons plus loin). On voit bien
de la courbe e
() qui est proportionnelle à
que le maximum de la courbe se déplace vers les plus hautes fréquences lorsque la température
augmente expliquant ainsi le changement de couleur du corps. Remarquez que pour que la quantité
de radiation émise dans la partie visible du spectre soit importante, la température doit être de
l’ordre de plusieurs milliers de degrés Kelvin (la température du soleil est d’environ 5800 K). En
1893, Wilhelm Wien a trouvé une expression permettant de calculer la longueur d’onde à laquelle
le maximum de REM est émise pour un corps noir.
6 C’est la surface du corps qui intervient également dans cette expression. L’énergie totale émise par les murs de la cavité
dépend de la surface de ses murs, mais l’énergie captée par le corps est proportionnelle au rapport de la surface du corps avec
celle des murs.
§2.1 Radiation du corps noir
19
200
150
6000K
(10
-17
3
J/m -Hz )
Rayleigh-Jeans (à 4000K)
100
4000K
50
visible
0
0
2
4
6
8
(10 14 Hz)
FIGURE 2.1. Densité spectrale à différentes températures et courbe de Rayleigh-Jeans.
¥ Loi de Wien7 : max = où = 2898 × 10−3 m · K est la constante de Wien et max
e ()
désigne la position du maximum de la courbe de () et non celle de
(On peut trouver une relation similaire pour le rapport max , max désignant la position du
e () ou e
(). Voir les exercices à la fin du chapitre). La longueur
maximum de la courbe de
d’onde max est donc inversement proportionnelle à la température. Une personne émet de la REM
principalement dans l’infrarouge. Pour émettre, bien que très faiblement, dans le visible, il faudrait
porter la température des corps à plus de 600 degrés Kelvin, ce qui les décomposerait.
À la fin du 19ième siècle, les chercheurs ont amasser une grande quantité de données expérimentales sur le corps noir en utilisant comme source une cavité fermée dans laquelle un petit trou est
percé comme sur la fig. 2.2. Toute radiation incidente sur le trou est réfléchie par les murs intérieurs
de la cavité et ne peut plus sortir de la boîte. On considère que le trou absorbe toute la radiation
incidente et qu’il a donc les propriétés d’un corps noir. En effet, un parfait absorbant est également
un parfait émetteur. D’un autre côté, comme les murs de la cavité sont maintenus à une certaine
température, la matière8 constituant les murs contient des charges en mouvement qui doivent être
la source d’un rayonnement électromagnétique qui passe à travers le trou. En effet, on sait qu’en
théorie classique, les particules chargées émettent de la radiation électromagnétique lorsqu’elle sont
accélérées. C’est cette énergie électromagnétique qui est mesurée expérimentalement. On suppose
que la cavité est à l’équilibre thermodynamique de sorte que le rayonnement à l’intérieur est en
équilibre avec la matière formant les murs. L’énergie emmagasinée à l’intérieur de la cavité est
donc constante dans le temps. Lorsque la température augmente, la distribution de l’énergie dans
7 Wilhelm
WIEN. Physicien allemand (1864-1928). Prix Nobel en 1911.
faut se rappeler qu’au début du siècle, atomes et molécules étaient encore des entités nouvelles et mal comprises. L’électron
n’a été découvert comme constituant des atomes qu’en 1897 par Joseph John THOMSON ! Pour les physiciens de l’époque,
l’énergie venait d’un ensemble d’oscillateurs dans les parois de la cavité, oscillateurs dont la nature était imprécise.
8 Il
20
Chap.2. Comportement corpusculaire de la radiation électromagnétique
corps noir
FIGURE 2.2. Cavité percée d’un trou formant un corps noir.
les différents modes de vibration des oscillateurs de la cavité (et donc du rayonnement puisque les
deux sont en équilibre) est modifiée.
Max Planck avait 42 ans lorsqu’il a posé le premier jalon qui devait mener à la création de la
mécanique quantique. Il a réussit à calculer correctement la fonction de distribution () et, en
même temps, à révolutionner complètement la physique. En octobre 1900, il a obtenu une formule
pour () qui permet de reproduire parfaitement les résultats expérimentaux sur le corps noir.
Naturellement, Planck travailla ensuite à trouver une explication théorique pour cette formule. Il
fit l’hypothèse que la REM dans la cavité interagit avec les “oscillateurs” matériels formant les
murs de la cavité. (Ces oscillateurs sont en fait les atomes dans les murs de la cavité. Comme ces
atomes forment un cristal, leur spectre d’énergie n’est plus un spectre discret comme dans un atome
isolé mais continu). L’origine de ces oscillateurs n’était pas bien définie mais ils devaient absorber
et réémettre de la REM permettant ainsi l’équilibre thermique entre la REM dans la cavité et les
murs formant la cavité. Le calcul de Planck devait mener à la quantification de l’énergie de ces
oscillateurs. Pour obtenir la formule de Planck, nous allons considérer non pas la quantification de
l’énergie des oscillateurs dans les murs mais plutôt la quantification de l’énergie des oscillateurs
formant le champ électromagnétique dans la cavité, démarche plus moderne.
Tout d’abord, bien qu’expérimentalement on mesure la radiance spectrale (le courant d’énergie),
il est plus facile théoriquement de considérer la densité d’énergie électromagnétique, () dans
la cavité. Notez qu’on peut également définir une densité d’énergie par unité de fréquence plutôt
que de longueur d’onde en utilisant la relation :
() = −e
()
(2.8)
e
() est l’énergie contenue par unité de volume de la cavité, à température et dans un intervalle
unitaire de fréquence autour de la fréquence On peut montrer (voir exercices) que
e () = e
()
4
(2.9)
Pour calculer la densité d’énergie électromagnétique emmagasinée dans la cavité, on considère que
le champ électromagnétique à l’intérieur de la cavité est formé par l’excitation d’un ensemble de
modes propres, chaque mode se comportant comme un oscillateur harmonique. La notion de mode
propre devrait vous être familière après le cours de Physique de phénomènes ondulatoires.
§2.1 Radiation du corps noir
21
¥ Oscillateurs harmoniques et champ électromagnétique. Rappelons qu’en combinant
les équations de Maxwell, on obtient l’équation d’onde
∇2 E (r ) =
1 2 E (r )
2
2
(2.10)
En écrivant (r ) = 0 () k·r cette équation devient
2 E0 ()
+ 2 2 E0 () = 0
2
(2.11)
qui est bien l’équation d’un oscillateur harmonique dont la pulsation est donnée par = .
Chaque vecteur d’onde k dans l’espace à trois dimensions correspond à un mode de vibration
du champ électromagnétique.
Le champ électrique dans la cavité doit satisfaire à certaines conditions de frontières. Par exemple,
si la cavité est métallique, le champ électrique parallèle à la surface doit s’annuler sur les murs.
Comme nous l’avons vu en Phénomènes ondulatoires, cela implique que les vecteurs d’onde k sont
quantifiés. L’énergie totale dans la cavité est obtenue en calculant le nombre de modes et l’énergie
contenue dans chacun de ces modes. En physique classique, l’énergie d’un mode va comme l’amplitude au carré. Selon la loi de l’équipartition de l’énergie, lorsqu’un grand nombre d’oscillateurs se
retrouvent en équilibre thermodynamique à température , l’énergie moyenne de chaque oscillateur
est donnée par où
(2.12)
= 13806568 × 10−23 J K
est la constante de Boltzmann. En calculant la densité de modes (nombre de modes par unité de
fréquence et par unité de volume) dans la cavité et en multipliant par l’énergie moyenne par mode,
on trouve la loi de Rayleigh-Jeans9 (Rayleigh 1900 puis corrigée par Jeans en 1905)
e
() =
8 2
3
(2.13)
Ce résultat coïncide bien avec la courbe expérimentale (voir la fig. 2.1), mais seulement aux basses
fréquences. Pour les fréquences plus élevées, la densité d’énergie calculée par Rayleigh-Jeans diverge ! Cette divergence est appelée la catastrophe de l’ultraviolet et n’est pas physiquement
acceptable. Il y a donc un problème avec le calcul de la théorie classique. Notons qu’un peu avant
Rayleigh et Jeans, Wien en utilisant un modèle simple (et quelques hypothèses fausses !), avait
trouvé (en 1893) la forme du spectre pour les hautes fréquences
e
() = 3 −
(2.14)
où sont des constantes.
¥ Calcul de la densité de modes. La composante parallèle du champ électrique doit s’annuler
aux murs. On écrit pour les modes stationnaires du champ électrique (le calcul détaillé est fait
en PHQ 421)
= 0 (k) cos ( ) sin ( ) sin ( ) sin ()
(2.15)
= 0 (k) sin ( ) cos ( ) sin ( ) sin ()
(2.16)
= 0 (k) sin ( ) sin ( ) cos ( ) sin ()
(2.17)
9 John William STRUTT (lord Rayleigh), physicien britannique (1842-1919) et Prix Nobel en 1904. James Hopwood JEANS,
physicien britannique (1877-1946).
22
Chap.2. Comportement corpusculaire de la radiation électromagnétique
Dans le plan , les murs sont à
= 0 ( ) ∈ [0 ]
= ( ) ∈ [0 ]
(2.18)
(2.19)
On a des relations similaires pour les quatre autres murs (plans et ). Dans ces deux plans
, la composante parallèle du champ E doit s’annuler. Cela veut dire que et doivent
être nuls lorsque = 0 et = . On a donc
= 1 2 3
(2.20)
sin ( ) = 0 ⇒ =
(puisqu’il s’agit de modes stationnaires, les = ± correspondent aux mêmes modes donc
on ne doit compter que les positifs. On peut faire la même analyse pour les quatre autres
plans de sorte que les modes possibles sont donnés par ( = ) :
= 1 2 3
(2.21)
Puisqu’il n’y a pas de charge dans la cavité, notre solution doit également satisfaire ∇ · E = 0.
On a donc
(2.22)
∇ · E = − [k · E0 (k)] sin ( ) sin ( ) sin ( ) sin ()
Pour chaque valeur de k, on peut choisir deux orientations perpendiculaires de E0 (k) qui
satisfont l’équation soit deux polarisations. La fréquence correspondant à chaque mode est
donnée par
q
(2.23)
= 2 + 2 + 2
¡ ¢3
Chaque mode occupe un volume dans l’espace des . Le nombre de modes compris sous
une coquille de rayon en ne comptant que la région avec les positifs et en incluant les
deux polarisations est donné par
1 4 3
3
¡ ¢3 = ¡ ¢3
83
3
¡ 2 ¢3
¡ ¢3
3
= 2
=
(2.24)
8 3 3
3 3
Cela représente aussi le nombre de modes sous la fréquence (avec 2 = ).
La densité de modes, par unité de volume de la cavité, à fréquence est donc finalement
donnée par
8 2
1
= 3
(2.25)
() = 3
Aucun raffinement de la théorie classique ne fut capable de reproduire la courbe expérimentale.
Pour résoudre le problème, Max Planck dû faire une hypothèse très étrange pour l’époque. Il devait
forcer l’énergie des oscillateurs harmoniques10 de la cavité à être quantifiée, même s’il ne pouvait
fournir aucune justification physique pour cela11 .
=
1 0 Rappelons
qu’un oscillateur harmonique est un oscillateur dont la coordonnée est une fonction sinusoïdale du temps.
verrons plus loin que l’hypothèse de Planck n’est pas exacte. Les niveaux d’énergie d’un oscillateur harmonique sont
donnés par = ( + 12) .
1 1 Nous
§2.1 Radiation du corps noir
23
¥ Hypothèse de Planck : pour tout système dont la coordonnée oscille harmoniquement dans
le temps, l’énergie totale ne peut prendre que certaines valeurs données par
= ; = 0 1 2 3
(2.26)
où
= 66260755 × 10−34 J · s
−15
= 41356692 × 10
(2.27)
eV · s
est la constante de Planck. On dit dans ce cas que l’énergie est “quantifiée”. Les échanges
d’énergie entre la matière et le rayonnement ne se font pas de manière continue, mais par
l’échange de paquets d’énergie discrets et indivisibles : les quanta. Notez que le terme 2
apparaît tellement souvent en mécanique quantique que P.A.M. Dirac lui a donné son propre
symbole, }, prononcé h-bar.
L’hypothèse de Planck s’applique à l’énergie d’un oscillateur pris isolément. Si on considère un
très grand nombre d’oscillateurs harmoniques et que l’on tient compte du fait qu’un oscillateur en
particulier est indiscernable d’un autre, la physique statistique nous donne que l’énergie moyenne
par oscillateur est une fonction de la fréquence et vaut
hi =
−
1 − −
(2.28)
En multipliant par le nombre de modes dans la cavité, on trouve
e
() =
8 3 −
3
1 − −
(2.29)
1
8
5
− 1
(2.30)
ou, en fonction de la longueur d’onde,
() =
C’est le résultat de Planck pour la densité d’énergie et il reproduit exactement la courbe expérimentale. Remarquons que le résultat de Planck coïncide avec celui de Rayleigh-Jeans pour les
basses fréquences et avec celui de Wien pour les hautes fréquences.
¥ Limites hautes et basses fréquences de la densité d’énergie. La densité de modes
augmente très rapidement avec la fréquence (voir exercices). Pour reproduire la courbe expérimentale, il faut donc que l’énergie moyenne par mode diminue lorsque la fréquence augmente.
Lorsque À 1 on peut écrire l’énergie moyenne comme
−
1 − −
1
=
−1
≈ −
hi =
(2.31)
(2.32)
(2.33)
24
Chap.2. Comportement corpusculaire de la radiation électromagnétique
L’énergie moyenne tend vers zéro aux très grandes fréquences de sorte que () → 0 Pour
des fréquences un peu moins grandes, cependant, on retrouve le résultat de Wien :
() ≈
≈
8 2
hi
3
8 3 −
3
(2.34)
(2.35)
Lorsque ¿ 1 l’énergie moyenne devient
−
−
µ1 −
¶
1 −
≈
1 − (1 − )
≈
hi =
(2.36)
(2.37)
(2.38)
qui est le résultat de la thermodynamique classique. La densité d’énergie est alors
() ≈
≈
8 2
hi
3
8 2
3
(2.39)
(2.40)
qui est bien le résultat de Rayleigh et Jeans. Notez que ce résultat classique ne comporte pas la
constante de Planck, comme il se doit. Remarquez bien ceci : pour exciter un quantum d’énergie, il faut fournir l’énergie . À haute fréquence (ou basse température), lorsque
peu d’oscillateurs sont excités. On est dans la limite quantique. Au contraire, à basse fréquence
, beaucoup d’oscillateurs sont excités et la discrétisation de l’énergie des oscillateurs n’est pas apparente. Tout se passe comme si l’énergie des ocillateurs étaient continue.
C’est là la limite classique où l’on retrouve la loi de Rayleigh et Jeans.
Le résultat de Planck, l’éq. (2.29), permet de retrouver les lois empiriques de Stefan et de Wien.
La démonstration de la loi de Wien sera faite en exercice.
¥ Démonstration de la loi de Stefan. La radiance totale est donnée par
Z ∞
()
=
0
Z
∞
=
()
4 0
Z ∞
8
3
=
4 3 0 − 1
En posant = on peut simplifier l’intégrand de sorte que
Z
8 ( )4 ∞ 3
=
42 4
− 1
0
4 4 µ 4¶
2
=
2
3
15
4
2 5
152 3
= 567051 × 10−8 W m2 · K4 On a utilisé le résultat
(2.42)
(2.43)
(2.44)
(2.45)
= 4
où =
(2.41)
(2.46)
R∞
0
3
−1
= 4 15
§2.1 Radiation du corps noir
25
L’hypothèse de Planck n’a pas été facilement acceptée par la communauté scientifique de l’époque.
C’est surtout la catastrophe de l’ultraviolet dans la formule de Rayleigh et Jeans qui a forcé les
physiciens à réexaminer le résultat de Planck et à le prendre au sérieux. Planck lui-même a eu
beaucoup de mal à accepter l’idée de la quantification de l’énergie. Il était plutôt conservateur !
C’est Albert Einstein qui a poussé plus loin l’idée des quanta12 . Remarquez que l’expression de la
loi de Planck contient la vitesse de la lumière, la constante de Planck et la constate de Boltzmann.
Elle fait donc un lien entre l’électromagnétisme et l’atome. Planck remarqua que la constante a
les unités d’une énergie multipliée par un temps (J-s) ou encore d’une quantité de mouvement multipliée par une distance. En mécanique classique, ce produit (quantité de mouvement par distance)
est connu sous le nom d’action. Planck appela donc le quantum d’action.
¥ Exemple : température du soleil. Les lois de Stefan et de Wien ont des applications immédiates en astrophysique. En voici un exemple : l’énergie qui atteint la surface de la terre en
provenance du soleil est connue expérimentalement. Elle vaut = 2 calories/cm 2 ×minute
(avec 1 calorie = 4.18 J). Quelle est la température du soleil s’il est considéré comme un corps
noir ?
L’énergie totale rayonnée par le soleil se retrouve sur une surface sphérique de rayon où
est la distance terre-soleil. Elle vaut approximativement = 215 0 avec 0 le rayon du soleil.
Si 0 est la radiance thermique à la surface du soleil alors, l’énergie totale étant conservée,
nous avons
(2.47)
42 = 402 0
Il s’ensuit que
0 =
d’où
4 =
2
= 4
02
2
= 1135 × 1015 K4
02
(2.48)
(2.49)
soit
= 5805 K.
(2.50)
¥ Exemple : rayonnement fossile. En 1961, deux physiciens, Arno Penzias et Robert Wilson,
ont fait une importante découverte en testant un détecteur de radiation micro-ondes très sensible. Ils trouvèrent que, peu importe la direction dans laquelle ils pointaient leur détecteur, ils
captaient une radiation qui avait toujours la même intensité et la même distribution spectrale.
Cette radiation s’avéra être indépendante du jour ou même de l’année de sorte qu’elle était
indépendante du mouvement de la terre sur elle-même ou autour du soleil. Cette radiation a
été mesurée de façon précise par le satellite COBE (Cosmic Background Explorer) en 1989 et
elle correspond très exactement à cette d’un corps noir ayant une température de 2.735K. Il
est maintenant accepté que cette radiation remplit tout l’univers et qu’elle est un vestige de
la radiation électromagnétique qui existait tout juste après le Big Bang lorsque l’univers était
extrêmement chaud. À cause de l’expansion de l’univers (et donc de son refroidissement), la
distribution spectrale de la radiation s’est déplacée vers le rouge c’est-à-dire vers des températures plus basses.
1 2 En fait, l’hypothèse originale de Planck concernait les oscillateurs mécaniques matériels dans les murs de la cavité. Il
considérait ces oscillateurs comme des oscillateurs harmoniques. L’hypothèse de Planck fut élargie par après (en grande partie
due à Einstein) au champ électromagnétique oscillant dans la cavité.
26
Chap.2. Comportement corpusculaire de la radiation électromagnétique
FIGURE 2.3. Intensité du rayonnement fossile.
2.2 Effet photoélectrique
Le concept de quantum d’énergie est resté dans l’ombre pendant près de 5 ans jusqu’à ce qu’Einstein se préoccupe du problème. Entre 1902 et 1904, Einstein publia trois articles importants sur
la physique statistique. En utilisant ces travaux comme base, il publia ensuite en 1905 un article
dans lequel il montra que le REM consiste en une collection de particules -des quanta de lumièrechacune d’énergie . C’est dans cet article qu’il explique l’effet photoélectrique.
FIGURE 2.4. Schéma du dispositif expérimental pour l’étude de l’effet photoélectrique. (Figure tirée de
Hecht, page 1124.)
L’effet photoélectrique consiste en l’éjection d’électrons de la surface d’un métal par la lumière. Il
fut découvert par Heinrich Hertz, le même physicien qui établit l’existence des ondes électromagnétiques. Cet effet fut d’abord considéré comme une observation mineure. Pourtant, son explication
devait révolutionner complètement notre conception de la lumière ! La fig. 2.4 montre un schéma
du dispositif expérimental et les figs. 2.5,2.6 les résultats de l’expérience. La lumière incidente sur
la plaque métallique y éjecte des électrons qui sont dirigés vers le collecteur par la différence de
§2.2 Effet photoélectrique
27
FIGURE 2.5. Courbes courant-tension et tension-fréquence pour l’effet photoélectrique. (Figure tirée de
Hecht, page 1124.)
FIGURE 2.6. Courbe du courant en fonction de l’intensité lumineuse pour l’effet photoélectrique. (Figure
tirée de Hecht, page 1124.)
28
Chap.2. Comportement corpusculaire de la radiation électromagnétique
Métaux
Na
Co
Al
Pb
Zn
Fe
Cu
Ag
0
2.28
3.90
4.08
4.14
4.31
4.50
4.70
4.73
TABLE 2.3. Travail de sortie pour quelques métaux. Tableau tiré du Hecht, page 1126.
potentiel ∆ = − entre la plaque et le collecteur. La lumière incidente est monochromatique
et sa fréquence est dans le domaine de l’ultraviolet (∼ 1016 Hz ).
¥ Faits expérimentaux concernant l’effet photoélectrique :
1. Lorsque ∆ est négatif, les électrons sont repoussés vers la plaque. Dans ce cas, il y a un
potentiel maximal 0 (un potentiel d’arrêt) au-dessus duquel plus aucun électron ne peut
atteindre le collecteur.
2. Le potentiel d’arrêt, 0 ne dépend pas de l’intensité de la radiation incidente.
3. Le potentiel d’arrêt est linéairement proportionnel à la fréquence de la radiation incidente.
4. Lorsque ∆ est suffisamment grand et positif, le courant d’électrons qui peut atteindre le
collecteur sature.
5. Le courant de saturation dépend linéairement de l’intensité de la radiation incidente.
6. Il y a une fréquence de seuil, 0 , au-dessous de laquelle plus aucun électron n’est éjecté de la
plaque.
7. L’éjection des électrons par la radiation électromagnétique est instantanée (il n’y a pas de
temps d’attente).
Pour extraire un électron de la plaque, le champ électromagnétique doit faire un certain travail
car les électrons sont retenus dans le cristal formant la plaque par un champ attractif dû à l’ensemble
des ions du cristal. La force qui retient les électrons peut varier d’un électron à un autre de sorte
que l’on définit le travail de sortie, 0 comme étant le travail minimal que l’on doit faire pour
éjecter un électron de la plaque. Pour la plupart des métaux, le travail de sortie est de l’ordre de
quelques électron-volts (eV). Les électrons impliqués dans l’effet photoélectrique sont des électrons
de conduction qui doivent franchir une certaine barrière de potentiel pour pouvoir sortir du métal
(voir fig. 2.8).
Il est clair que, lorsque la différence de potentiel est négative, les électrons sont repoussés vers
la plaque. Il s’ensuit que l’énergie cinétique maximale des électrons éjectés, max doit satisfaire la
relation13
max = 0
(2.51)
puisque 0 est le travail fait par le champ électrique pour arrêter un électron.
1 3 Par
convention, on prendra la quantité comme positive de sorte que la charge de l’électron sera = −
§2.2 Effet photoélectrique
29
La théorie classique ne parvient pas à expliquer tous les faits expérimentaux. En effet, selon cette
dernière :
¥ Prédictions de la théorie classique pour l’effet photoélectrique :
1. La force agissant sur les électrons est F = −E où E est le champ électrique de l’onde
électromagnétique incidente. Le champ électrique, et donc la force, augmente avec l’intensité
de la radiation ( ∝ |E|2 ). L’énergie cinétique des électrons éjectés devrait donc dépendre
de l’intensité de la radiation incidente sur la plaque.
2. Des électrons devraient être éjectés pour toute fréquence de la lumière incidente si l’intensité
est assez grande pour faire le travail de sortie ou si on attend assez longtemps.
3. L’énergie est répartie sur tout le front d’onde dans la théorie classique. Comme la surface de
la plaque est petite, il s’ensuit que si l’intensité de la lumière incidente est suffisamment faible,
il faut un certain temps à l’onde électromagnétique pour communiquer assez d’énergie à un
électron pour qu’il puisse sortir de la plaque. On devrait donc pouvoir observer un temps
d’attente entre l’illumination et l’émission d’un électron. On peut montrer que ce temps
d’attente est une quantité mesurable.
¥ Calcul du temps d’attente selon la théorie classique. Considérons une source ponctuelle
de 1 Watt = 1 J/s située à une distance = 1 m d’une plaque de potassium dont le travail
de sortie est de 0 = 34 × 10−9 J = 2.1 eV. À 1m de la source ponctuelle, le front d’onde
de la source occupe une surface de = 42 L’énergie lumineuse est répartie également sur
le front d’onde (voir fig. 2.7). Une petite partie de cette énergie est absorbée par les atomes
de potassium de la cible. Considérons qu’un atome de potassium a une surface d’absorption
donnée par = 2 où ≈ 1 × 10−10 m est le rayon de l’atome. L’atome ne peut donc capter
qu’une portion de l’énergie contenue dans le front d’onde. Le temps d’attente, , est alors
donné par
× 1 × = 0
(2.52)
soit
0
≈ 120 s,
(2.53)
=
× 1
qui est une quantité facilement mesurable
source
lumineuse
d =1m
surface absorbant
la radiation de la
source
FIGURE 2.7. Calcul du temps d’attente dans l’effet photoélectrique.
30
Chap.2. Comportement corpusculaire de la radiation électromagnétique
Planck a obtenu son résultat pour le corps noir en faisant l’hypothèse curieuse que les oscillateurs
chargés dans les murs de la cavité ne pouvaient émettre ou absorber de l’énergie lumineuse à
une fréquence que par quantités discrètes d’énergie = Les quanta de Planck étaient très
mystérieux et pas plus la communauté scientifique que Planck lui-même n’apprécièrent la portée de
sa découverte. C’est Albert Einstein qui postule, en 1905, que la lumière elle-même a des propriétés
quantiques. Il introduit le concept de quantum de rayonnement ou photon (le mot photon est
venu beaucoup plus tard).
¥ Hypothèse d’Einstein : la radiation électromagnétique est constituée d’un grand nombre de
petits paquets d’énergie, les photons, dont l’énergie, pour une fréquence est donnée par
=
(2.54)
Lorsque la radiation électromagnétique interagit avec la matière, elle se comporte comme si
l’énergie était contenue sous la forme de paquets localisés dans l’espace. C’est pour cela qu’on parle
d’un photon comme d’une particule. Le nombre de photons dépend directement de l’intensité de la
radiation électromagnétique. Lors d’une collision avec un électron, ces particules donnent toute leur
énergie à ces derniers. Autrement dit, les photons sont absorbés entièrement et instantanément
par les électrons. Le photon voyage à la vitesse de la lumière, Pour expliquer les expériences
d’interférence, il faut cependant que le mouvement du photon ne soit pas celui d’une particule
mais celui d’une onde.... Nous reviendrons sur ce point. On voit qu’Einstein pressentait la dualité
(ondulatoire et corpusculaire) de la radiation électromagnétique.
Kmax
h
W0
EF
niveau de
Fermi
mer de
Fermi
FIGURE 2.8. Modèle de Sommerfeld d’un métal à = 0. Les électrons sont retenus dans le métal par
un potentiel dû aux ions positifs. Le principe de Pauli fait en sorte que les électrons occupent tous les états
d’énergie entre = 0 et = appelé le niveau de Fermi. L’énergie minimale requise pour extraire un
électron est 0 aussi appelé travail de sortie.
Selon Einstein, l’électron dans le métal absorbe un quantum d’énergie provenant de la radiation
électromagnétique incidente. Une partie de cette énergie sert à vaincre les forces retenant l’électron
au métal et l’autre à lui communiquer une énergie cinétique. L’énergie cinétique maximale est donc
simplement
(2.55)
max = 0 = − 0
On en déduit facilement que le potentiel d’arrêt est donné par
§2.2 Effet photoélectrique
31
Métaux
Ag
Na
K
0 (Hz)
114 × 1014
56 × 1014
51 × 1014
(eV)
55
31
21
TABLE 2.4. Fréquence de coupure et énergie du niveau de Fermi pour quelques métaux..
0 =
− 0
(2.56)
et donc la pente de la courbe potentiel d’arrêt en fonction de la fréquence donne la valeur de la
constante de Planck. Il est important de noter que cette valeur est la même que celle trouvée par
Planck pour reproduire la courbe du corps noir.
Selon Einstein, si l’intensité de la radiation augmente, alors le nombre de photons augmente. La
fréquence reste la même toutefois et donc l’énergie de chaque photon est inchangée. Cela explique
bien pourquoi l’énergie max est indépendante de l’intensité de la lumière.
La fréquence de seuil s’explique aisément par l’hypothèse d’Einstein car elle est obtenue en posant
max = 0 Dans ce cas, l’énergie du photon est tout juste suffisante pour faire le travail de sortie
et
(2.57)
0 = 0
Notons que le photon est entièrement absorbé par l’électron dans la plaque. La conservation de
l’énergie et de la quantité de mouvement relativistes est possible car l’électron est lié au métal de
sorte que la plaque joue un rôle dans la conservation de la quantité de mouvement sans vraiment
affecter la conservation de l’énergie (la masse de la plaque est beaucoup plus grande que celle de
l’électron). Un électron seul ne peut absorber un photon tout en conservant énergie et quantité de
mouvement (vous démontrerez cela en exercice).
Les équations d’Einstein pour l’effet photoélectrique expliquent complètement ce phénomène. Il
faut toutefois attendre jusqu’en 1914-1915 pour que Robert Millikan montre expérimentalement de
façon exhaustive que tel est le cas. Ironiquement, Millikan travailla méticuleusement pendant près
de 10 ans pour tenter de démontrer qu’Einstein avait tort !
¥ Exemple : granularité de la radiation électromagnétique. L’intensité de l’onde électromagnétique est donnée par
≡
nombre de photons
×
m2 -s
(2.58)
Une source de 1 W située à 1 m donne une puissance par unité de surface de = 1 W/
(4 m 2 ) = 8 × 10−2 J/m 2 -s Si la longueur d’onde de la lumière est de = 5890 Å, alors
= = = 34 × 10−19 J = 21 eV. On a donc = 24 ×1017 photons/m 2 -s ce
qui est énorme ! Typiquement, le travail de sortie vaut 0 ∼ 2 eV ce qui implique que les
photons doivent avoir une fréquence minimale de 0 = 0 = 048 ×1015 Hz (donc dans
l’ultraviolet). On voit bien, à partir de ces chiffres, que la granularité de la radiation est très
fine ce qui explique pourquoi il est si difficile de la détecter dans des conditions normales.
(Comme il est difficile de détecter que la matière est faite d’atomes si on ne possède pas les
instruments requis.) Lorsque la fréquence augmente, la granularité devient plus évidente.
32
Chap.2. Comportement corpusculaire de la radiation électromagnétique
L’hypothèse d’Einstein semble nous ramener à une conception corpusculaire de la lumière ! On
sait que le débat entre théorie ondulatoire et théorie corpusculaire a été tranché au siècle dernier
en faveur de la théorie ondulatoire après près de 200 ans de controverse. (Isaac Newton14 voyait
la lumière comme constituée de particules alors que son contemporain Christiaan Huygens15 était
convaincu de sa nature ondulatoire). Nous verrons au prochain chapitre que la nature réelle de la
lumière est plus subtile. Notons toutefois que l’idée des quanta de lumière a été très lente à être
acceptée. Peu de physiciens s’en firent les défenseurs sauf, en particulier, Max von Laue, Johannes
Stark et Paul Ehrenfest. Même si elle parvenait à expliquer correctement les faits, elle était très
déroutante pour les physiciens habitués à la physique des ondes. Lorsque Planck recommanda
Einstein à l’académie des sciences de Prusse en 1913, il se sentit même obligé de dire que, malgré
son génie, il arrivait parfois à Einstein de se tromper, comme lors de son hypothèse des quanta de
lumière ! Cela prit près de 10 ans avant que l’idée fasse son chemin. Einstein recut le prix Nobel en
1921 pour ses contributions à la physique théorique dont son explication de l’effet photoélectrique.
Si on tient compte du fait qu’aucune expérience n’a jamais pu détecter une partie d’un quantum
d’énergie, on arrive à la conclusion que le quantum est une unité d’énergie indivisible. De plus,
comme on ne peut pas non plus mesurer de temps d’attente, on doit conclure que l’absorption d’un
quantum d’énergie par un système est un processus indivisible. Cela implique, par exemple, que
lors d’un transfert d’un quantum d’énergie à un système, celui-ci ne peut pas être vu comme passant
à travers une succession d’états intermédiaires où l’énergie serait échangée de façon graduelle.
¥ Il faut voir le transfert d’énergie comme un processus discontinu et indivisible (un processus
quantique). C’est un processus élémentaire de la nature qui ne peut pas être décrit en terme
d’autres processus.
¥ Nous avons introduit les concepts de particule et d’onde. Rappelons qu’une particule est un
objet qui peut toujours être localisé dans une certaine région de l’espace. L’objet est dans une
certaine région ou il n’y est pas et il ne peut être simultanément dans les deux régions ! Au
contraire, une onde est un objet qui est nécessairement étendu dans l’espace. L’onde peut très
bien être simultanément en deux endroits très éloignés l’un de l’autre. De plus, les particules
sont dénombrables. On peut les compter. On ne peut pas compter une onde.
2.3 Effet Compton
La nature corpusculaire de la radiation électromagnétique a été dramatiquement mise en évidence
en 1922 par les expériences de Arthur Holly Compton16 . Dans ses expériences, un faisceau de
radiation monochromatique très énergétique et donc de petite longueur d’onde (rayons-X) est
incident sur un diffuseur en graphite. L’intensité () du faisceau diffusé est mesurée pour différents
angles d’incidence et pour différentes longueurs d’onde. Le schéma expérimental est reproduit sur
la fig. 2.9 et une représentation graphique du processus est donnée sur la fig. 2.10. Les courbes
() pour différents angles d’incidence en sont reproduits sur la fig. 2.11. Compton observa que :
Faits expérimentaux concernant l’effet Compton :
1. Pour un angle de diffusion 6= 0 il apparaît deux pics d’intensité dans le faisceau diffusé. Le
premier est à la même longueur d’onde que celle du faisceau incident, alors que le second
1 4 Isaac
NEWTON, physicien, mathématicien et astronome anglais (1642-1727).
HUYGENS, physicien et astronome néerlandais (1629-1695).
1 6 Arthur Holly COMPTON, physicien américain (1892-1962). Prix Nobel 1927.
1 5 Christiaan
§2.3 Effet Compton
33
FIGURE 2.9. Schéma expérimental pour l’expérience de diffusion de Compton. (Figure tirée du Hecht, page
1129.)
FIGURE 2.10. Représentation graphique du processus de diffusion dans l’effet Compton.
34
Chap.2. Comportement corpusculaire de la radiation électromagnétique
FIGURE 2.11. Intensité diffusée en fonction de l’angle dans l’effet Compton. (Figure tirée du Hecht, page
1130.)
§2.3 Effet Compton
35
est à 0 Le décalage de Compton, fonction de l’angle de diffusion, est défini par
∆ = 0 −
(2.59)
2. La position en fréquence du second pic, 0 , ne dépend pas du matériau formant le diffuseur.
Compton en déduisit que la radiation incidente est diffusée non pas par les atomes, mais par
les électrons dans le diffuseur. À cet égard, notons que l’énergie d’un photon dans la gamme
des rayons X est beaucoup plus grande que l’énergie de liaison de l’électron dans le métal. En
effet, cette énergie de liaison correspond à une fréquence dans l’ultraviolet comme on l’a vu
dans l’effet photoélectrique. On peut donc faire l’approximation que les électrons du diffuseur
sont initialement au repos, ce qui simplifie les calculs.
Compton remarqua que ces faits expérimentaux étaient en conflit avec la théorie classique. Avec
Peter Debye17 en 1923, il appliqua la cinématique relativiste ainsi que l’hypothèse des quanta de
lumière pour expliquer complètement ce phénomène.
Examinons d’abord la théorie classique. Elle est assez compliquée. Selon cette dernière, une
partie de l’énergie électromagnétique incidente est absorbée par chaque électron irradié et ensuite
réémise sous la forme d’un rayonnement électromagnétique de même fréquence. Contrairement à la
quantité de mouvement de la radiation incidente, la quantité de mouvement moyenne totale de la
radiation réémise (dans toutes les directions) est nulle. Il s’ensuit qu’il y a un transfert continu de
quantité de mouvement de la radiation incidente à l’électron qui est irradié. L’électron irradié est
continuement accéléré par la pression de radiation dans la direction de propagation de la radiation
incidente. Dans le système de référence dans lequel l’électron est au repos, absorption et émission
ont lieu à la même fréquence. Mais dans le référentiel où l’électron est en mouvement, les fréquences
observées changent à cause de l’effet Doppler. Le décalage en fréquence, dû à l’effet Doppler, dépend
de l’angle d’observation de la radiation émise. Le calcul classique18 (valable pour 1) donne
µ ¶
2
∼
(2.60)
∆ = 2 sin
2
On voit que, selon la théorie classique, le décalage ∆ est une fonction croissante de la vitesse
de l’électron et augmente donc continuellement durant l’irradiation. De plus, il devrait être
possible pour la particle de gagner n’importe quelle quantité d’énergie. Pour un angle d’observation donné, on devrait donc observer toutes les valeurs possibles du décalage lorsque le temps
d’exposition au faisceau ou l’intensité du faisceau sont variés. Aux fréquences incidentes utilisées
dans l’expérience de Compton, un tel décalage continu n’est pas observé. Le principal défaut de la
théorie classique est donc de prédire un transfert continu de quantité de mouvement et d’énergie
de la radiation incidente à tous les électrons irradiés. Expérimentalement, on observe plutôt un
transfert discontinu et instantané de quantité de mouvement et d’énergie à certains électrons !
Avec l’hypothèse des quanta, la présence d’un second pic s’explique naturellement. La radiation
est constituée d’un ensemble de photons d’énergie = qui entrent en collision avec les électrons
du diffuseur. Dans ce cas
1. Le pic à 0 doit correspondre aux photons qui diffusent sur les électrons libres du diffuseur. En
effet, dans l’approximation où l’énergie de liaison des électrons est très petite par rapport à
l’énergie du photon incident, l’électron peut être considéré comme libre. Les photons perdent
nécessairement de l’énergie dans la collision et en sortent donc avec une plus grande longueur
d’onde.
1 7 Physicien
1 8 Le
hollandais, 1884-1966. Prix Nobel de chimie en 1936.
calcul classique est fait en détails dans le livre de Bohm cité dans la bibliographie. Voir pages 34 et suivantes.
36
Chap.2. Comportement corpusculaire de la radiation électromagnétique
Masse au repos
Masse relativiste
0
= 0 = √
Énergie de masse au repos
Quantité de mouvement
Énergie totale de la particule libre
Énergie totale de la particule libre
Énergie cinétique
0 = 0 2
p = 0 v
= 2 = 0 2
2 = 2 2 + 20 4
= − 0 2
0
1− 2 2
TABLE 2.5. Quelques formules utiles de relativité restreinte.
2. Le pic à correspond aux photons qui diffusent sur des électrons très liés (par exemple
ceux qui se trouvent dans les premières couches atomiques). Dans ce cas, le photon entre
effectivement en collision avec l’ensemble électron+noyau et donc sur une masse 0
où 0 est la masse de l’électron et la masse du noyau. L’énergie perdue est négligeable ce
qui implique que ∆ → 0
On peut calculer le décalage de Compton en considérant les relations de conservation pour
l’énergie, et la quantité de mouvement, , lors de la collision. Comme on a ici affaire à des
photons, il faut utiliser les formules relativistes. Le tableau 2.2 fait un rappel des formules dont
nous aurons besoin pour notre démonstration
La masse d’un photon étant nulle, l’hypothèse d’Einstein combinée aux formules précédentes
donne :
¥ Relations d’Einstein pour le photon :
= =
=
=
=
(2.61)
Attention ! La première relation n’est valable que pour un photon. Pour une particule, nous
verrons que la relation entre l’énergie et la quantité de mouvement est très différente.
Les expériences de Compton ont vérifié expérimentalement ces relations, en plus de démontrer
qu’énergie et quantité de mouvement sont conservées dans les processus quantiques. Comme la
quantité de mouvement est une quantité vectorielle, on écrit
p = ~k
(2.62)
où |k| = 2 Notons que le photon étant considéré comme une particule, son énergie et sa
quantité de mouvement doivent venir par paquets19 .
On peut maintenant écrire les équations de conservation pour le processus de collision. Initialement, l’électron est au repos. Soit 0 p0 pour le photon incident, 1 p1 pour le photon diffusé,
1 9 L’énergie
du champ électromagnétique (dans le vide) est donnée par
§2.3 Effet Compton
37
p pour l’énergie totale, l’énergie cinétique et la quantité de mouvement l’électron après la
collision. L’angle que fait le photon diffusé avec le photon incident est alors que l’électron est
diffusé à un angle . La conservation de la quantité de mouvement selon donne
0 = 1 cos + cos
(2.63)
1 sin = sin
(2.64)
et selon
Additionnons les carrés de ces deux équations :
20 + 21 sin2 = 21 cos2 + 2 cos2 + 2 sin2 + 21 cos cos
=
21 cos2
2
+ + 21 cos cos
(2.65)
(2.66)
Isolons 2 :
2 = 20 + 21 sin2 − 21 cos2 − 21 cos cos
=
=
=
20
20
20
+ 21
+ 21
+ 21
− 221 cos2
− 21 cos cos
− 21 (1 cos + cos ) cos
− 21 0 cos
(2.67)
(2.68)
(2.69)
(2.70)
La conservation de l’énergie donne :
0 + 0 2 = 1 + + 0 2
(2.71)
soit
0 − 1 =
(2.72)
(0 − 1 ) =
(2.73)
Pour l’électron diffusé
2
¢2
¡
2 = 2 2 + 0 2
¡
¡
¢2
¢2
+ 0 2
= 2 2 + 0 2
2
+ 20 4
2 2
=
+ 20
2
+ 20 = 2
2
+ 20 4
(2.74)
(2.75)
(2.76)
(2.77)
2
+ 2
1
4
2
où l’intégrale est sur le volume contenant le champ. Ce champ électromagnétique transporte une quantique de mouvement
donnée par
1
(E × B)
p=
4
=
Dans l’onde électromagnétique, E ⊥ B et |E| = |B| d’où |E × B| = E2 =
2 + 2
On
2
en déduit donc que
p= k
est un vecteur unitaire dans la direction de propagation de l’onde. En physique classique, ces quantités ne sont pas
où k
quantifiées contrairement à celles de la théorie quantique.
En effet, en physique quantique = est quantifiée. Puisque l’énergie vient en paquets, on a donc également que la
quantité de mouvement vient en paquets selon =
Notons finalement qu’en relativité
2
= 20 2 + 2
2
En comparant avec les relations d’Einstein, on voit que la masse du photon doit être nulle.
38
Chap.2. Comportement corpusculaire de la radiation électromagnétique
En utilisant (2.70) et (2.73), cette dernière ligne peut s’écrire :
2
+ 20 = 2
2
2
+ 20 = 20 + 21 − 21 0 cos
2
2 (0 − 1 )2
+ 20 (0 − 1 ) = 20 + 21 − 21 0 cos
2
21 0 (1 − cos ) = 2 (0 − 1 ) 0
µ
¶
1
1
(1 − cos ) = 0
−
1 0
0
(1 − 0 )
(1 − cos ) =
Le décalage de Compton en fonction de l’angle du photon diffusé est donc donné par
∆ = 1 − 0
(1 − cos )
=
0
µ ¶
2
2
sin
=
0
2
(2.78)
(2.79)
(2.80)
(2.81)
(2.82)
(2.83)
(2.84)
(2.85)
(2.86)
Il est représenté sur la fig. 2.12. Remarquez que ce décalage est maximal lorsque le photon est
rétrodiffusé. La quantité de mouvement transférée au photon est alors maximale. Encore un fois,
la constante qui reproduit les résultats expérimentaux est la même que celle trouvée dans les
problèmes du corps noir et de l’effet photoélectrique, ce qui est un bon point en faveur de la théorie
des quanta. De plus, on a pu détecter le recul de l’électron dans des expériences ultérieures et même
détecter en coïncidence l’électron et le photon diffusés.
La quantité
= 242631058 × 10−12 m
(2.87)
≡
0
est appelée longueur d’onde de Compton. Si on remplace la masse de l’électron par 0
la masse du noyau (pour le carbone = 220000 ), on voit sur l’éq. (2.84) que le décalage ∆ → 0
ce qui confirme bien que la position du premier pic de diffusion correspond à la collision d’un photon
avec un électron fortement lié. Ce type de diffusion est appelé diffusion Thomson.
¥ Limite classique : On remarquera que ∆ ne dépend pas de la longueur d’onde initiale . Le
décalage est au plus de l’ordre de et il ne sera observable que si ∆ ≈ n’est pas
trop petit. Comme ∼ 002 Å la granularité de la radiation apparaîtra pour des petites
donc pour des fréquences élevées. Si la fréquence n’est pas assez grande, ∆ → 0 et la
diffusion Compton est indiscernable de la diffusion Thomson et on n’observe que le processus
classique. Tout comme pour l’effet photoélectrique, la granularité de la REM n’apparaît que
pour des petites longueurs d’onde. La limite classique est obtenue pour des grandes longueurs
d’onde
Peut-on observer le décalage continue prédit par la théorie classique ? Dans certaines conditions,
oui. Nous en reparlerons dans la section concernant le principe de correspondance de Bohr. Dans
les années 1920, l’explication correcte de l’effet Compton eut pour effet de dissiper complètement
les derniers doutes concernant la notion de quanta de lumière. Lorsqu’elle interagit avec un système
physique, la lumière se comporte comme un flot de particules capable de transférer de l’énergie et
de la quantité de mouvement.
§2.4 Radiation de freinage (Bremsstrahlung)
39
1.0
c
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
(en radians)
FIGURE 2.12. Décalage de Compton en fonction de l’angle de diffusion du photon.
2.4 Radiation de freinage (Bremsstrahlung)
Les rayons X ont été découverts en 1895 par Wilhelm Conrad Röntgen. À l’époque, leur nature
était mystérieuse mais nous savons aujourd’hui que ce sont essentiellement des ondes électromagnétiques de faible longueur d’onde ( 10 Å ). Ils sont produits dans un tube à rayons X, lorsque
des électrons accélérés par une différence de potentiel de plusieurs milliers de volts (typiquement
20 keV) sont freinés par une cible. Le spectre du rayonnement émis est large et comprend parfois
quelques pics très étroits qui sont reliés à la structure atomique de la cible. La production des rayons
X peut être vue comme un effet photoélectrique inverse. Les deux processus ne peuvent d’ailleurs se
produire qu’en présence d’un corps assez lourd pour assurer la conservation de la quantité de mouvement. En utilisant la notion de quanta de lumière, Einstein prédit une longueur d’onde minimale
pour l’émission des rayons X. Cette longueur d’onde minimale fut confirmée expérimentalement en
1915 par W. Duane et F. Hunt à l’université Harvard au États-Unis.
Avant d’aborder les faits expérimentaux concernant le Bremsstrahlung, un petit rappel de la
théorie classique sur l’émission de rayonnement électromagnétique par une particule chargée est
nécessaire. Une particule chargée émet de la REM lorsqu’elle est accélérée. L’énergie émise par
unité de temps et dans toutes les directions est donnée par (système MKSA)
=
=
Z
S · A
Z
1
(E × B) · A
0
(2.88)
(2.89)
où S est le vecteur de Poynting et une surface sphérique de rayon arbitraire Dans la limite
non-relativiste ( ),
=
1 2 2 2
40 3 3
(2.90)
40
Chap.2. Comportement corpusculaire de la radiation électromagnétique
où est la charge de la particule et son accélération20 . Le taux de radiation d’énergie est donc
proportionnel au carré de l’accélération de la particule.
Si la charge exécute un mouvement harmonique simple le long d’un axe : = sin () où
est l’amplitude de la vibration et sa fréquence angulaire, alors = 2 2 = − 2 sin () =
− 2 . En portant ce résultat dans (2.90), nous obtenons
=
1 2 2 4 2
40 3 3
(2.91)
Le taux moyen est obtenu en prenant la moyenne sur une période :
2 =
2
2
(2.92)
de sorte que
=
=
=
1 2 2 4 2
40 3 3
1 1 2 4 2
40 3 3
16 4 2 4 2
120 3
(2.93)
(2.94)
(2.95)
L’émission d’énergie dépend donc de l’amplitude du mouvement ainsi que de sa fréquence. Pour
un mouvement harmonique, il n’y a qu’une seule fréquence d’émission dans . Si l’accélération
est une fonction plus complexe du temps, comme dans le cas qui nous occupe ici, il y aura un
continuum de fréquences d’émission (il suffit de prendre la transformée de Fourier en fréquence de
l’accélération). Le spectre d’émission dans le Brehmsstrahlung devrait donc être un spectre continu
puisque l’électron est continûment freiné.
Expérimentalement, on observe (voir fig. (2.13)) que
¥ Faits expérimentaux concernant le Bremsstrahlung :
1. Contrairement à la théorie classique, il y a une longueur d’onde minimale au-dessous de
laquelle aucune radiation électromagnétique n’est émise.
2. Bien que la courbe dépende un peu du matériau formant la cible, la longueur d’onde minimale
elle ne dépend que du potentiel qui accélère les électrons.
Encore une fois, l’hypothèse du photon permet de résoudre ces difficultés. Un électron d’énergie
cinétique est freiné lorsqu’il entre en interaction, via le champ de Coulomb, avec un noyau de
la cible lui transmettant une partie de son impulsion. Ce freinage s’accompagne de l’émission d’un
photon. Comme le noyau est très lourd par rapport à l’électron, l’énergie cinétique qu’il acquiert
peu être négligée21 de sorte que si 0 est l’énergie de l’électron après la collision, alors on a pour
l’énergie du photon émis
(2.96)
= − 0 =
2 0 Pour les détails du calcul, voir l’appendice B du Resnick. Cette formule est valable pour le mouvement rectiligne. Le cas
du mouvement circulaire est plus compliqué.
2 1 L’énergie cinétique du noyau est négligeable, mais sa présence est importante pour assurer la conservation de la quantité
de mouvement.
§2.4 Radiation de freinage (Bremsstrahlung)
41
FIGURE 2.13. Production des rayons X et spectre de la REM émise. (Figure tirée du Hecht, page 1128.)
42
Chap.2. Comportement corpusculaire de la radiation électromagnétique
L’électron peut perdre différentes quantités d’énergie. Toutefois, l’énergie maximale qu’il peut
perdre est simplement
(2.97)
max =
où est le potentiel accélérateur. On en déduit facilement la longueur d’onde minimale pouvant
être émise :
(2.98)
⇒ min =
max =
min
Le résultat classique est obtenu en prenant la limite → 0 dans l’éq. (2.98). Le spectre de radiation de freinage est souvent appelé bremsstrahlung, de l’allemand brems (freinage) et strahlung
(radiation).
Sur la fig. 2.13, on voit qu’il existe un spectre de raies (des pointes étroites dans l’intensité
émise) pour la radiation X. Ce spectre est produit par les transitions électroniques dans les couches
internes des atomes moyens et lourds. Pour ces couches, les différences d’énergie électronique sont
notablement supérieures aux différences d’énergie pour les couches externes. C’est pourquoi les
fréquences des spectres caractéristiques des rayons X sont de quelques ordres supérieures aux
fréquences des spectres optiques. Les raies observées résultent de l’arrachement de l’électron de
l’une des couches de l’atome, proches de son noyau. La place vacante est alors occupée par un
électron des couches profondes. Ceci conduit à l’émission d’un photon X. Évidemment, la place de
l’électron arraché peut être occupé par des électrons de plusieurs autres couches de sorte que toute
une spectroscopie X est possible.22
¥ Effet Auger : l’absorption d’un quantum X par l’atome peut s’accompagner de l’autoionisation de l’atome excité. Ce phénomène, appelé effet Auger, est dû à la redistribution
interne de l’énergie d’excitation. Il a lieu en deux étapes : en premier lieu, absorption du
2 2 (Cette
note vous sera plus compréhensible après avoir lu la section sur le modèle de Bohr). Les fréquences spectrales
viennent en groupes de façon semblable aux séries de Balmer et Paschen. Ces groupes sont nommés K,L,M,... et les pics de
chaque groupe K K K et ainsi de suite. En 1913, Henry Moseley trouva comment exprimer les fréquences correspondant à
la raie K pour des cibles différentes c’est-à-dire des cibles composées d’atomes différents. Il exprima ces fréquences en terme
d’une quantité qu’il nomma le nombre atomique ().
Chaque élément du tableau périodique a un nombre atomique qui augmente d’une unité en passant de l’hydrogène ( = 1)
à l’hélium ( = 2) au lithium ( = 3), etc. Moseley conclua que ne pouvait être que le nombre de charges positives sur le
noyau central c’est-à-dire le nombre de protons dans le noyau. La formule de Moseley pour la raie K est
3
(2.99)
=
( − 1)2
4
Le modèle de Bohr ne permettait pas, à l’époque, de traiter les atomes à plusieurs électrons. Il fut toutefois suggéré que si,
dans un atome à plusieurs électrons, un électron très lié au noyau (un électron d’une orbitale près du noyau) est enlevé de son
orbite (par l’action d’un rayon cathodique, par exemple), tous les autres électrons des orbitales supérieures se ruraient vers le
site laissé vacant pour l’occuper. Le niveau électronique le plus bas (de cet atome à plusieurs électrons) est appelé K, le suivant
L, etc. À chaque transition est associée une raie spectrale. Les fréquences émises sont beaucoup plus grandes que celles émises
par l’atome à un électron et se situent dans la gamme des rayons X.
L’équation (2.99) prend une forme très familière si on l’écrit en fonction de l’inverse de la longueur d’onde :
1
1
1
= ( − 1)2
(2.100)
−
12
22
La raie K correspond donc à une transition d’un état L à un état K. Cette équation ressemble beaucoup à l’équation pour la
formule de Lyman sauf que 2 est ici remplace par ( − 1)2 Cela se comprend facilement. Normalement, le niveau = 1 (K)
a deux électrons (un de chaque spin). Un électron est enlevé par l’excitation. Il s’ensuit donc que l’électron qui descend vers
ce niveau laissé vide voit, par le théorème de Gauss, une charge nucléaire réduite de une unité par l’électron qui reste dans le
niveau 1
L’idée que les éléments du tableau périodique devaient être ordonnés non pas par leur masse mais plutôt par leur charge
nucléaire était dans l’air depuis quelque temps à l’époque. Avec l’émission de rayons X, Moseley pouvait immédiatement dire
de quel élément était constitué la cible.
§2.5 Création et annihilation de paires
43
quantum X et excitation de l’atome avec libération d’un électron de l’une des couches profondes, ensuite passage de l’électron d’une couche moins profonde à la place vide. La différence
d’énergie n’apparaît cependant pas sous forme d’un nouveau quantum X, mais provoque l’expulsion d’un électron de l’une des couches externes de l’atome. L’effet Auger non accompagné
de radiation est un exemple de transition non radiative.
2.5 Création et annihilation de paires
Un photon peut perdre son énergie en créant de la matière ! Dans le processus représenté sur la
fig. 2.14(a), un photon donne naissance à une paire électron-positron (le positron est l’anti-particule
de l’électron). Ce processus doit se faire au voisinage d’un noyau pour assurer la conservation de
la quantité de mouvement et de l’énergie. La grande masse du noyau fait en sorte qu’il prend très
peu d’énergie.
Pour la conservation de l’énergie, nous avons
= − + +
¢ ¡
¢
¡
= 0 2 + − + 0 2 + +
2
= + + − + 20
(2.101)
(2.102)
(2.103)
La présence du noyau fait en sorte que l’énergie cinétique du positron n’est pas exactement celle
de l’électron, mais si nous négligeons cette différence alors l’énergie minimale requise pour un tel
processus est
min = 20 2
≈ 102 MeV.
(2.104)
(2.105)
La longueur d’onde maximale du photon incident est donc ≈ 0012 Å ce qui correspond aux
rayons X très courts ou même aux rayons .
Le processus inverse corespond à l’annihilation d’une paire électron-positron et à la création de
deux photons. Il est représenté sur la fig. 2.14(b). Nous supposons les deux particules initialement
au repos pour simplifier l’analyse. Deux photons doivent être créés pour conserver la quantité de
mouvement (il pourraît aussi se créer trois photons, mais cela est moins probable). Par conservation
de la quantité de mouvement
(2.106)
0 = p1 + p2
où 1 et 2 sont les quantités de mouvement des photons émis. Il s’ensuit que
|p1 | = |p2 | ⇒ 1 = 2
(2.107)
1min = 0 2 ≈ 051 MeV.
(2.108)
Par conservation de l’énergie
Un exemple typique d’annihilation de paires se produit avec l’atome de positronium. Celui-ci
consiste en un électron tournant autour d’un positron. Le temps de vie d’un tel atome est d’environ
= 10−10 sec. Une telle recombinaison a été observée en 1933 par Anderson en utilisant les rayons
cosmiques et une chambre à bulles.
44
Chap.2. Comportement corpusculaire de la radiation électromagnétique
K+
(a)
h
noyau
(b)
h
e+ e-
K-
h
FIGURE 2.14. Processus de création (a) et d’annihilation (b) de paires.
2.6 Expériences modernes de mise en évidence du photon comme
corpuscule
(Section facultative) Si le temps le permet, nous étudierons quelques expériences beaucoup plus
récentes qui permettent de mettre en évidence l’aspect corpusculaire de la radiation électromagnétique.
1. Expérience d’anticoïncidences de Hanbury-Brown et Twiss (1956).
2. Interféromètre de Mach-Zehnder et expérience d’anticoïncidences de Grangier, Roger et Aspect (1986).
3. Wheeler et l’expérience à choix différé (1978).
2.7 Questions et problèmes
2.7.1 Le corps noir et l’hypothèse de Planck
1. Quelle est la dépendance en fréquence de la radiance spectrale dans la théorie classique de
Rayleigh et Jeans ? Pourquoi cette formule est-elle inacceptable ?
2. Un oscillateur doit-il être harmonique pour avoir son énergie quantifiée comme = ?
3. Calculez la longueur d’onde à laquelle un corps noir à une température de = 6000 K émet
le plus de radiation par unité de longueur d’onde.
e () = e
() 4.
4. Prouvez la relation
5. Dans quel domaine de fréquences la densité spectrale d’énergie calculée par Planck coïncidet-elle avec le résultat classique ?
§2.7 Questions et problèmes
45
e (), en déduire celle de () et
6. En partant de la formule pour la radiance spectrale,
utilisez ce résultat pour montrer que max × max 6= .
7. À une certaine température, un corps noir émet le maximum de son énergie à une longueur
d’onde 1 . Si la température du corps noir est augmentée de sorte que la radiation émise
au nouveau maximum, 2 , est le double de celle émise à la longueur d’onde 1 , quelle est la
relation entre ces deux longueurs d’onde ?
8. Pour des objets ordinaires (tel un pendule), le quantum d’énergie est très petit et la quantification de l’énergie n’est pas détectable. Démontrez explicitement ce résultat en utilisant
un pendule constitué d’une masse = 01 Kg et d’un fil d’une longueur de = 01 m.
9. Donnez des exemples de systèmes classiques dans lesquels les fréquences possibles sont quantifiées. La quantification de la fréquence est-elle équivalente à la quantification de l’énergie ?
10. Considérez un corps noir formé d’une cavité dans laquelle on a percé un petit trou de 20
mm2 Si la cavité est maintenue à une température de = 373 K, calculez le temps qu’il
faut pour qu’elle émette 500 J d’énergie à travers le trou.
11. Pourquoi une feuille d’aluminium (qui est un métal bon conducteur de la chaleur) permet-elle
de conserver la chaleur des aliments qu’elle enveloppe ?
12. Supposez qu’un accident de fusée dans l’espace vous laisse exposé à un environnement proche
de zéro absolu de température. Puisque cet environnement ne vous transmet pratiquement
pas d’énergie par radiation, vous-mêmes perdez rapidement de la chaleur. En supposant que
la surface de votre corps est approximativement de 2 m2 que la température de votre peau
est de 310 K et que motre émissivité est de 05, calculez la puissance que vous dissiper.
13. Vous vous sentez froid lorsque vous vous tenez devant un réfrigérateur ouvert même si l’air
froid de celui-ci ne vous atteint pas. Comment expliquez-vous cet effet ?
14. Comment un satellite en orbite parvient-il à éliminer la chaleur produite par ses composants
électroniques ?
15. Au chapitre 5, nous verrons qu’un électron confiné sur une surface carrée de côté et d’aire
= 2 est décrit par une fonction d’onde (r) = √1 k·r où k est le vecteur d’onde de l’électron. Avec des conditions aux frontières périodiques, ce vecteur d’onde ne peut prendre que
les valeurs k = 2
( ) où = 0 ±1 ±2 À la différence du champ électromagnétique,
la relation de dispersion pour l’électron est = } = }2 2 2 Calculez la densité d’états
() corespondante. Quel serait le résultat correspondant en une dimension ?
16. Quelle est la différence entre le calcul de Planck pour le spectre de radiation du corps noir et
celui de Rayleigh-Jeans ?
17. Si on regarde à l’intérieur d’une cavité dont les murs sont maintenus à une température
constante, aucun détails de l’intérieur n’est visible. Expliquez.
18. Montrez que deux corps noir à la même température doivent émettre de la radiation thermique avec la même distribution spectrale, indépendamment des détails de leur composition.
(Indice : faites une preuve par l’absurde).
19. Lorsqu’une ampoule électrique brûle, il se produit un flash lumineux de couleur bleu-blanc.
Cette couleur est différente de celle de la lumière émise lorsque l’ampoule fonctionne normalement. Pourquoi ?
46
Chap.2. Comportement corpusculaire de la radiation électromagnétique
2.7.2 L’effet photoélectrique
1. Donnez trois faits expérimentaux, concernant l’effet photoélectrique, qui ne peuvent pas être
expliqués par la théorie classique.
2. Le transfert d’énergie entre le photon et l’électron dans l’effet photoélectrique est-il un processus continu ou discontinu ?
3. Lorsque l’électron absorbe le photon dans l’effet photoélectrique, il va passer par une série
d’états intermédiaires avant d’atteindre sa position finale hors du métal. Vrai ou faux ?
4. La mécanique quantique peut prédire à quel moment le photon sera absorbé par l’électron
dans l’effet photoélectrique. Vrai ou faux ? Expliquez.
5. Le fait que le courant de saturation dans l’effet photoélectrique soit proportionnel à l’intensité
de la lumière incidente est-il suffisant pour distinguer entre les théories classique et quantique ?
Pourquoi ?
6. Si on suppose que l’émission de photons par une source de radiation est isotrope, est-ce que
l’intensité de la source diminue en 12 comme dans la théorie classique (ondulatoire) ?
7. Combien de photons par seconde sont émis par un laser hélium-néon de 150 mW lasant à
une longueur d’onde = 633 nm ?
8. L’énergie requise pour éjecter un électron du sodium est de = 23 eV. Si la lumière incidente
a une longueur d’onde de = 5890 Å (lumière jaune), verra-t-on un effet photoélectrique ?
Quelle est la longueur d’onde de coupure pour le sodium ?
9. De la lumière de longueur d’onde = 2000 Å tombe sur une surface d’aluminium. Sachant
que le travail de sortie de l’aluminium est de = 42 eV, calculez
(a) l’énergie des électrons les plus rapides ;
(b) l’énergie cinétique des électrons les plus lents (certains électrons sont plus liés que
d’autres au métal. De plus, certains électrons peuvent perdre de l’énergie par collision
avec d’autres électrons en sortant du métal) ;
(c) le potentiel d’arrêt ;
(d) la fréquence de coupure.
(e) Si l’intensité de la lumière incidente est de = 20 W/m2 , quel est le nombre moyen de
photons par unité de temps et par unité de surface qui frappent la surface d’aluminium ?
10. Un film photographique est exposé si l’énergie lumineuse parvient à dissocier ses molécules
de bromure d’argent (AgBr). L’énergie de dissociation de cette molécule est de = 10 × 105
J/mole.
(a) Trouvez l’énergie d’un photon (en eV) qui est tout juste capable de dissocier cette
molécule.
(b) Calculez la longueur d’onde et la fréquence de ce photon.
(c) Expliquez pourquoi la lumière d’une luciole est suffisante pour exposer le film alors que la
radiation d’une station de radio FM (50 000 W à 100 MHz), beaucoup plus énergétique,
en est incapable.
11. De la lumière monochromatique est incidente sur une surface de sodium. On trouve un potentiel d’arrêt de 0 = 185 V pour = 3000 Å, et de 0 = 082 V pour = 4000 Å. À partir
de ces données, déterminez (a) la valeur de la constante de Planck ; (b) le travail de sortie du
sodium ; (c) la longueur d’onde de coupure du sodium.
§2.7 Questions et problèmes
47
12. Expliquez pourquoi, même pour une lumière monochromatique, les électrons sont émis avec
une gamme de vitesses dans l’effet photoélectrique.
13. Expliquez pourquoi l’existence d’une fréquence de coupure dans l’effet photoélectrique est
regardée comme une objection majeure à toute explication ondulatoire du phénomène.
14. Dans des conditions idéales, l’oeil humain normal pourra détecter un stimulus visuel à 5500 Å
si aussi peu que 100 photons sont absorbés par seconde. À quelle puissance cela correspondt-il ?
15. L’expression relativiste pour l’énergie cinétique doit être utilisé dans l’effet photoélectrique
lorsque 01 si on veut éviter une erreur de plus de 1%. Pour des photoélectrons éjectés
d’une surface d’aluminium (0 = 42 eV), quelle est la plus petite longueur d’onde du photon
incident pour laquelle on peut utiliser l’expression classique de l’énergie cinétique
2.7.3 L’effet Compton
1. Que démontre principalement l’effet Compton ?
2. Peut-on observer l’effet Compton avec de la lumière visible ?
3. Dans l’effet Compton, la radiation diffusée a une longueur d’onde plus grande que la radiation
incidente. Pourquoi ?
4. Peut-on changer l’impulsion d’un photon sans changer son énergie ? Si oui, comment ?
5. Prouvez mathématiquement qu’un électron libre ne peut absorber un photon et conserver
l’énergie et la quantité de mouvement dans l’effet photoélectrique. Pourtant, dans l’effet
Compton, l’électron peut être libre. Pourquoi ?
6. Si une antenne émet, dans une certaine direction, de la radiation avec une puissance de 100
Watts, quelle est la force de réaction sur l’antenne ?
7. Trouvez l’énergie et la longueur d’onde d’un photon qui peut donner une énergie cinétique
maximale de 60 keV à un électron libre dans l’effet Compton.
8. Un rayon X frappe un électron au repos. La longueur d’onde du rayon diffusé est de = 0006
nm et la vitesse finale de l’électron est de = 86 × 107 m/s. Quelle était la longueur d’onde
initiale du photon diffusé ? À quel angle est diffusé le photon ?
9. L’effet Compton a été observé pour les protons dans une cible d’hydrogène. Pour quelle valeur
approximative de l’énergie des photons cet effet est-il observable si on suppose qu’on peut
détecter une variation de 1% dans l’énergie du photon ?
10. Obtenez la relation
cot
¶
µ ¶ µ
= 1+
tan ()
2
0 2
(2.109)
entre la direction du mouvement du photon diffusé () et la direction de l’électron diffusé ()
dans l’effet Compton.
11. Obtenez la relation
³
´
¡ ¢
sin2 2
´
³
=
¡ ¢
2
sin
1 + 2
2
2
0
2
0 2
(2.110)
entre l’énergie cinétique de recul de l’électron, , et l’énergie du photon incident, , dans
l’effet Compton.
48
Chap.2. Comportement corpusculaire de la radiation électromagnétique
12. Un photon de longueur d’onde = 0024 Å est incident sur un électron libre au repos.
(a) Calculez la longueur d’onde d’un photon qui est diffusé à un angle = 30◦ de la direction
incidente.
(b) Calculez l’énergie cinétique gagnée par l’électron.
13. Quelle est l’énergie cinétique maximale de recul de l’électron dans l’effet Compton ? Donnez
la réponse en terme de l’énergie du photon incident, = , et de l’énergie 0 2 de masse
au repos de l’électron.
14. Considérez un faisceau de lumière monochromatique d’intensité , incident sur une surface
parfaitement absorbante et orientée perpendiculairement au faisceau. Utilisez le concept de
photon pour montrer que la pression de radiation exercée par la lumière sur la surface est
donnée par = .
15. Un photon d’énergie = 350 keV est diffusé par un électron libre. L’énergie cinétique de
recul de l’électron est de = 200 keV. Quelle est la longueur d’onde du photon diffusé ?
16. Montrez que les photons les plus énergétiques (donc ceux de petite longueur d’onde) subissent en pourcentage de leur énergie initiale la plus grande perte d’énergie dans la diffusion
Compton.
17. Un photon d’une longueur d’onde initiale de = 013 nm est diffusé d’un angle de 180◦ dans
l’effet Compton.
(a) Quelle est la longueur d’onde du photon diffusé ?
(b) Quelle énergie est donnée à l’électron initialement au repos ?
(c) Quelle est la vitesse de recul de l’électron ?
2.7.4 Production de rayons X
1. A quoi correspond la longueur d’onde minimale du photon émis lors du freinage d’un électron ?
2. L’écran cathodique dans les télévisions anciennes étaient des sources de rayons X ! Si le
potentiel d’accélération dans un de ces tubes était de 200 kV, quelle était la longueur d’onde
minimale des rayons X émis ?
3. Quelle est la différence de potentiel minimale, dans un tube à rayons X, suffisante pour
produire des rayons X ayant la longueur d’onde de Compton ?
4. Expliquez pourquoi on peut considérer que le Bremsstrahlung est l’inverse de l’effet photoélectrique.
2.7.5 Création et annihilation de paires
1. Soit une paire électron-positron au repos dans un référentiel Cette paire se recombine et
émet deux photons dans les directions + et −. Considérez maintenant un référentiel 0
de déplacant le long de − à la vitesse Quelles sont les fréquences des deux photons émis
pour un observateur dans le référentiel 0 ?
2. Par quel facteur pourriez-vous évaluer la probabilité d’occurence d’une diffusion Compton
par rapport à celle d’une d’une absorption photoélectrique ?
3. Une paire électron-positron est créée par un photon . Répondez aux questions suivantes en
utilisant les bonnes approximations. Vous ne devez pas tenter de résoudre exactement ces
problèmes.
§2.7 Questions et problèmes
49
(a) Montrez que sans la présence d’un troisième corps pour absorber une partie de la quantité de mouvement, l’énergie et la quantité de mouvement ne peuvent être conservées
simultanément dans le processus (indice : commencez par supposer que l’énergie est
conservée sans le troisième corps et montrez que cela implique que la quantité de mouvement initiale ne peut égaler la quantité de mouvement finale).
(b) Supposez que le troisième corps soit un noyau de masse 0 , 0 étant la masse
de l’électron et du positron. Montrez que l’énergie de seuil pour ce processus est 20 2
et que l’énergie cinétique prise par la masse est effectivement beaucoup plus petite
que cette énergie de seuil (donc négligeable).
(c) Supposez maintenant que la paire soit créée au voisinage d’un électron. Montrez alors
que l’énergie de seuil pour le processus est 40 2 Faites l’approximation que les trois
masses bougent ensemble : elles ont les mêmes vitesses et directions.
4. Supposez qu’une paire électron-positron est formée par un photon qui a tout juste l’énergie
de seuil pour ce processus. Calculez la quantité de mouvement transférée au noyau dans le
processus. En supposant que ce noyau en soit un de plomb, calculez son énergie cinétique de
recul. Montrez que l’on peut sans problème négliger cette énergie de recul par rapport aux
autres énergies dans le problème.
50
Chap.2. Comportement corpusculaire de la radiation électromagnétique
CHAPITRE 3
Comportement ondulatoire de la matière et
quantification de l’énergie des sytèmes physiques
Nous continuons dans ce chapitre d’étudier le développement historique de la mécanique quantique. Nous abordons d’abord les expériences qui démontrent le comportement ondulatoire de la
matière. Ensuite, nous étudions diverses expériences sur les atomes qui démontrent la quantification
de l’énergie de certains systèmes matériels.
3.1 Ondes de matière de Louis de Broglie
En 1925, le physicien français, Louis de Broglie1 émit l’hypothèse que la matière, tout comme
la radiation électromagnétique, pouvait être associée à un phénomène ondulatoire. Pour associer
une longueur d’onde à ces “ondes de matière”, de Broglie généralisa les relations d’Einstein pour
le photon et postula ainsi que la fréquence et la longueur d’onde de l’onde de matière étaient reliée
à l’énergie totale et la quantité de mouvement de la particule matérielle par les relations2 :
¥ Relations de de Broglie pour les ondes de matière :
=
=
(3.1)
Pour une particule libre = 2 2 de sorte que = 2 2 ⇒ = 22 alors que pour
des photons = Le photon est une particule très spéciale parce qu’il ne possède aucune
masse au repos. De plus il voyage toujours à la vitesse dans le vide. Les relations de de
1 Louis
de Broglie, physicien français (1892-1987). Prix Nobel 1929.
2 2
relations sont des invariants relativistes. Pour une particule relativiste : 2 = 2 2 + 20 4 d’où ()2 = 2 + 20 4
12
2
2 4
et donc = 2 + 02
Dans le cas d’un électron, l’énergie de masse au repos 0 2 ≈ 05 MeV. Notons aussi que, si
2 Ces
¿ l’énergie totale peut s’écrire simplement comme ≈
1
2
2 0
+ 0 2 .
52
Chap.3. Comportement ondulatoire de la matière et quantification de l’énergie des sytèmes physiques
Broglie (non-relativistes) peuvent également s’écrire sous la forme
2 2
= }2
p = }k
(3.2)
puisque la quantité de mouvement est une quantité vectorielle.
L’hypothèse de de Broglie fut jugée assez saugrenue. Quel sens physique donner à ces ondes ?
Existent-elles réellement ? La particule est-elle quelque part dans l’onde ? de Broglie incline à croire
que l’onde et la particule coexistent, l’onde pilotant la particule. C’est Max Born3 qui donnera
plus tard l’interprétation probabiliste des ondes de matière et Erwin Schrödinger4 qui trouvera
l’équation qui gouverne sa propagation. Louis de Broglie, quant à lui, acceptera pendant plusieurs
années l’interprétation probabiliste pour ensuite la répudier vers la fin de sa vie.
Ayant postulé l’existence d’ondes de matière, la question est de savoir si de telles ondes, ou
leurs effets, peuvent être détectés. Pour répondre à cette question, il est utile de se rappeler que
la diffraction, aspect typique du comportement ondulatoire, commence à être observable lorsque
la dimension caractéristique du système physique (la taille des obstacles qui diffusent les ondes, la
largeur de la fente dans une expérience de diffraction, etc.) est plus petite ou du même ordre de
grandeur que la longueur d’onde de l’onde incidente soit lorsque
.
(3.3)
La limite inverse, , correspond au domaine de l’optique géométrique où les ondes se comportent comme des rayons et voyagent en ligne droite. Pour déterminer si les ondes de matière sont
observables ou non, il faut donc en calculer la longueur d’onde approximative. Considérons deux
cas limites.
¥ Exemple : objet macroscopique : considérons une balle de baseball de masse = 10 Kg
et ayant une vitesse de = 10 m/s.
=
=
= 66 × 10−25 Å.
(3.4)
Cette longueur d’onde est beaucoup trop petite pour être mesurable car on n’a tout simplement
pas d’objet physique sur lequel la diffuser.
¥ Exemple : objet microscopique : considérons un électron (masse 0 = 91 × 10−31 Kg)
accéléré par une différence de potentiel de 100 V. L’énergie cinétique donnée à l’électron est
alors de 100 eV et donc, puisque
√
1
2
⇒ = 2
= 2 =
2
2
on a
=
=
=
3 Max
√
2
66×10−34 J-sec
(2×91×10−31 Kg×100 eV×16×10−19 J/eV)12
Born, physicien britannique d’origine allemande (1882-1970). Prix Nobel 1954.
Schrödinger, physicien autrichien (1887-1961). Prix Nobel 1933.
4 Erwin
(3.5)
= 12Å.
(3.6)
§3.2 Expériences de Davisson-Germer et de G.P. Thomson
Particule
Électron
Électron
Électron
Proton
Proton
Proton
Neutrons thermiques (à 300 K)
Atomes d’He à 300 K
Énergie
1 eV
100 eV
104 eV
1 keV
1 MeV
1 GeV
0.025 eV
0.025 eV
53
λ
12.2 Å
1.2 Å
0.12 Å
900 F
28.6 F
0.73 F
1.5 Å (moyenne)
0.75 Å (moyenne)
TABLE 3.1. Longueurs d’onde de de Broglie pour différentes particules
On voit que la longueur d’onde d’un objet microscopique est de l’ordre de grandeur de la longueur
d’onde des rayons X. Celle-ci est approximativement égale à la distance séparant les plans d’atomes
dans un cristal. L’allemand Max von Laue avait découvert la diffraction des rayons X par un
cristal dès 1912. Le physicien Elsasser a proposé, en 1927, que l’on teste l’hypothèse de de Broglie
en utilisant un cristal pour diffracter les ondes de matière. L’expérience a été réalisée par les
physiciens C. J. Davisson5 et Germer aux États-Unis et par G.P. Thomson6 en Écosse à peu près
en même temps (1928). Ces expériences ont montré hors de tout doute que l’électron a bel et bien,
dans certains cas, un comportement ondulatoire7 .
Le tableau 3.1 donne les longueurs d’onde de de Broglie pour différentes particules (1F=10−15
m) selon leur énergie cinétique.
3.2 Expériences de Davisson-Germer et de G.P. Thomson
Voyons maintenant l’expérience de Davisson et Germer. À titre d’exemple, la fig. 3.1 montre
l’arrangement régulier des ions de sodium et de chlore dans un cristal de NaCl. Lorsqu’une onde est
incidente sur le cristal (rayons X ou onde de matière), celui-ci agit comme un réseau de diffraction
en trois dimensions et fait en sorte que l’onde initiale est diffusée dans toutes les directions. Par
interférence, il y a renforcement ou annulation, selon la direction où l’on mesure l’onde diffusée. Le
calcul du patron de diffraction est un problème classique de physique du solide. On peut toutefois le
simplifier grandement en considérant l’approche de Bragg8 . Dans cette approche, on considère que
les ions dans le cristal forment des plans également espacés et que chaque plan agit un peu comme
un miroir semi-transparent. L’onde initiale est partiellement transmise et partiellement réfléchie
spéculairement par chaque plan. Les réflexions provenant des différents plans se détruisent ou se
renforcent mutuellement selon la différence de parcours entre les ondes réfléchies sur des plans
différents. Puisqu’on peut diviser le cristal en un nombre infini de familles de plans, comme le
montre la fig. 3.2, le patron de diffraction d’une onde par un cristal comporte donc plusieurs pics9 .
¥ Démonstration de la loi de Bragg. Considérons une famille en plans comme celle repré5 Clinton
Joseph Davisson, physicien américain (1881-1958). Prix Nobel 1937.
Paget THOMSON, physicien britannique (1892-1975). Prix Nobel 1937.
7 Il ne faut pas confondre J.J Thomson (père) et G.P. Thomson (fils). Le premier a démontré l’existence de l’électron comme
particule microscopique dans l’atome alors que le second a montré que l’électron est une onde !
8 William Henry Bragg, physicien britannique (1862-1942). Prix Nobel 1915.
9 Ce calcul sera fait dans le cours de physique du solide (PHQ 585).
6 George
54
Chap.3. Comportement ondulatoire de la matière et quantification de l’énergie des sytèmes physiques
FIGURE 3.1. Arrangement régulier des ions Na+ et Cl− dans un cristal de NaCl. (Figure tirée du Alonso
et Finn, page 948.)
FIGURE 3.2. Quelques familles de plans pour la diffraction des électrons par un cristal. (Figure tirée du
Alonso et Finn, page 908.)
§3.2 Expériences de Davisson-Germer et de G.P. Thomson
55
sentée sur la fig. 3.3. Soit l’angle entre l’onde incidente et la famille de plans considérée
et la séparation entre deux plans dans cette famille. La différence de parcours entre deux
ondes réfléchies par deux plans adjacents est 2 sin . Pour que ces deux ondes interfèrent
constructivement, il faut satisfaire la loi de Bragg :
2 sin = 0 ; = 1 2 3
(3.7)
Dans cette formule, 0 est la longueur d’onde électronique dans le cristal et est l’ordre
de la diffraction. En effet, la longueur d’onde des électrons dans le cristal est différente de
celle des électrons dans le vide. L’énergie cinétique des électrons augmente en entrant dans le
cristal car l’intérieur du cristal est une région d’énergie potentielle négative pour les électrons.
Une manifestation de cela est qu’il faut fournir de l’énergie aux électrons pour les faire sortir
du cristal (effet photoélectrique). Une augmentation de l’énergie cinétique des électrons dans
le cristal implique que la longueur d’onde de de Broglie diminue dans le cristal. Remarquez
qu’en optique, la vitesse de la lumière diminue en entrant dans un matériau et il s’ensuit que
0 = = où est l’indice de réfraction du matériau et la longueur d’onde
dans le vide. Pour des électrons, nous avons 0 = 0 = puisque 0 . On a
donc 0 dans les deux cas, mais pour des raisons différentes.
Un changement de longueur d’onde en passant d’un milieu à un autre implique une réfraction.
La fig. 3.4 montre que, dans ce cas, les longueurs d’onde sont reliées aux angles d’incidence
et de réfraction par la relation de Snell-Descartes (les angles sont mesurés par rapport à la
normale à la surface)
sin
= 0
(3.8)
sin 0
C’est la même relation qu’en optique puisqu’elle n’est due qu’au changement de longueur
d’onde.
Dans l’expérience de Davisson-Germer, le faisceau d’électrons arrive à angle droit sur le cristal
de façon à ce qu’il n’y ait pas de réfraction comme le montre la fig. 3.4. Toutefois, il y a
une réfraction à la sortie du cristal. Puisque le faisceau incident est non dévié, la réflexion de
Bragg produit un faisceau réfléchi (dans le cristal) qui fait un angle 0 = 2 avec la normale
à la surface du cristal (voir fig. 3.6). Ce faisceau réfléchi est réfracté en sortant du cristal en
faisant un angle avec la normale et donc avec le faisceau incident. Soit la séparation entre
deux atomes adjacents à la surface du cristal. On montre facilement que = sin et que
+ = 2 En partant de la loi de Bragg, on a 2 sin = 0 et donc (avec sin = cos )
2 cos = 0
(3.9)
0 = 2 sin cos = sin 2 = sin 0
(3.10)
Cette relation devient
En utilisant l’eq. (3.8), on a facilement
sin =
(3.11)
Qui est une autre forme de la loi de Bragg. Pour qu’il y ait un maximum d’interférence, il
faut, pour une longueur d’onde donnée, qu’il se trouve une famille de plan avec le bon angle
permettant de satisfaire la loi de Bragg.
Si on a un polycristal, on a, pour une incidence directe, ∈ [0 2] et toutes les longueurs
d’onde ∈ [0 ] sont diffusées. Les électrons plus lents ( ) peuvent, au contraire,
traverser le polycristal sans être affectées. Le polycristal agit alors comme un filtre qui ne
laisse passer que les électrons les plus lents.
56
Chap.3. Comportement ondulatoire de la matière et quantification de l’énergie des sytèmes physiques
FIGURE 3.3. Démonstration de la loi de Bragg. (Figure tirée du Hecht, page 1096.)
FIGURE 3.4. Schéma du montage expérimental de l’expérience de Davisson et Germer. (Figure tirée du
Eisberg et Resnick, page 65.)
§3.2 Expériences de Davisson-Germer et de G.P. Thomson
57
FIGURE 3.5. Résultats expérimentaux de l’expérience de Davisson et Germer. (Figure tirée du Eisberg et
Resnick, page 65.)
FIGURE 3.6. Démonstration de la loi de Bragg qui tient compte de la réfraction du faisceau sortant du
cristal.
58
Chap.3. Comportement ondulatoire de la matière et quantification de l’énergie des sytèmes physiques
Remarque 1 La largeur des pics de diffraction dépend du nombre d’atomes impliqués. Les électrons de 30 à 600 eV pénètrent peu dans le cristal comparativement aux rayons-X. Les rayons-X
produisent donc des pics plus étroits que ceux dus à la diffraction électronique.
L’expérience de Davisson et Germer est illustrée sur la fig. 3.4 et les courbe courant-voltage
(énergie cinétique) et courant-angle d’incidence sont données sont la fig. 3.5. Des électrons sont
accélérés par une différence de potentiel de façon à leur communiquer une énergie cinétique et donc
une longueur d’onde bien définie, Le faisceau est dirigé vers un cristal et l’on mesure l’intensité
du faisceau diffusé selon différents angles On remarque
Faits expérimentaux concernant la diffraction des électrons :
1. Lorsque l’énergie des électrons est fixée, l’intensité diffusée montre un maximum important
pour un certain angle.
2. Si on fixe l’angle d’incidence et qu’on varie la différence de potentiel qui accélère les électrons,
il apparaît un maximum d’intensité à une certaine différence de potentiel, .
Il est facile d’expliquer ces résultats et de montrer que les maxima de la fig. 3.5 sont reliés si
on accepte l’hypothèse ondulatoire. En effet, sur la fig. 3.5, l’intensité maximale apparaît pour une
différence de potentiel de = 54 V et un angle = 50◦ En prenant = 1 et = 216Å pour le
cristal de nickel utilisé dans l’expérience ( ayant été obtenu par les rayons X), on a que
= sin = 216Å × sin 50◦ = 165Å.
(3.12)
Or, la longueur d’onde de Broglie correspondant à une énergie cinétique de = 54 eV est
=
=√
= 165Å.
20
(3.13)
L’accord avec l’expérience est impressionnant et confirme l’existence des ondes de matière de de
Broglie.
Il faut bien comprendre que dans une expérience de diffraction comme celle décrite ici, l’onde
incidente est diffractée par le cristal et différentes parties de la même onde interfèrent constructivement ou destructivement dans différentes régions de l’espace. Ce n’est pas l’onde associée à
un électron qui interfère avec l’onde associée à un autre électron mais plutôt l’onde associée à un
électron qui interfère avec elle-même. On peut prouver cela en réduisant l’intensité du faisceau
d’électrons de telle façon qu’un seul électron à la fois pénètre dans le cristal.
Les expériences de Davisson et Germer utilisent la réflexion des ondes de matière sur les différents
plans atomiques. De son côté, G.P. Thomson a confirmé indépendamment leurs résultats en faisant
passer des électrons à travers de minces films de cristaux et en utilisant un film photographique
comme détecteur. Ses électrons avaient une énergie très grande de sorte que plusieurs centaines de
plans d’atomes contribuaient à la diffraction. La partie supérieure de la fig. 3.7 montre le patron
de diffraction obtenu en diffusant des rayons-X de 91pm sur une feuille d’aluminium alors que la
partie inférieure montre le patron de diffraction obtenu en faisant diffuser des électrons d’énergie
cinétique 600 eV (environ 50 pm) sur le même métal (l’échelle a été modifiée dans ce dernier cas
pour faire correspondre les deux images). Cette figure illustre très bien la nature ondulatoire des
électrons ! Notez que de tels patrons de diffractions sont d’une grande importance en physique du
solide car on peut les utiliser pour déterminer l’arrangement des atomes dans un cristal.
§3.2 Expériences de Davisson-Germer et de G.P. Thomson
59
FIGURE 3.7. Patron de diffraction obtenu par rayons X et par diffraction des électrons sur l’aluminium.
(Figure tirée du Young, page 1146.)
¥ Complément : propriétés ondulatoires des atomes neutres, des molécules et des
neutrons. Esterman et Stern (1930) ont diffracté des atomes d’He ainsi que des molécules
d’hydrogène (H 2 ) sur un cristal de lithium (LiF). Dans ces expériences, les particules ne pénètrent pratiquement pas dans le cristal et la diffraction est due aux atomes formant la surface
(diffraction en deux dimensions). La relation de de Broglie a été vérifiée dans ce cas. Cela
est particulièrement intéressant car ces particules sont plus lourdes et donc plus “proches”
de nous que les électrons qui restent des particules très mystérieuses. En 1932, Chadwick découvre le neutron, une particule subatomique ayant la même masse que le proton. Des neutrons
ayant une énergie de 0025 eV (neutrons thermiques) ont ≈ 1 Å. Ils sont donc particulièrement utile pour étudier la structure des cristaux. Les neutrons étant des particules neutres, ils
peuvent pénétrer loin dans le cristal. Ils diffractent sur les noyaux et, possédant un moment
magnétique, sont également affectés par la structure magnétique du cristal. Par contraste, les
rayons X (photons) diffractent sur la distribution électronique formées par les couches électroniques autour des atomes. Pour une même longueur d’onde, rayons X et neutrons ont des
pics de diffusion aux mêmes endroits. L’intensité de ces pics est très différentes dans les deux
cas de sorte que l’information que nous en tirons est également très différente. Les neutrons
rapides d’énergie 1 − 10 MeV ont une longueur d’onde d’environ 10−12 cm ce qui correspond
environ au diamètre du noyau atomique. La diffraction des neutrons rapides sur les noyaux
permet donc d’obtenir de l’information sur le noyau.
¥ Diffraction de la molécule 60 . En 1999, M. Arndt, O. Nairz, J. Vos-Andrae, C. Keller,
G. van der Zouw et A. Zeilinger ont publié dans Nature, vol. 401, p. 680 (1999) la diffraction
de la molécule de carbone 60 . C’est l’objet le plus massif (diamètre de 71Å, 60 atomes de
carbone, voir fig. 3.8) et complexe sur lequel l’aspect ondulatoire a été mis en évidence ! De
plus, à cause de ses nombreux degrés de liberté internes, 60 se rapproche pas mal d’un objet
classique.
¥ Dualité onde-corpuscule : l’aspect particulaire est mis en évidence lorsqu’on considère la
détection de la particule (son interaction avec une autre système) alors que l’aspect ondulatoire
60
Chap.3. Comportement ondulatoire de la matière et quantification de l’énergie des sytèmes physiques
FIGURE 3.8. Molécule 60 .
se révèle lorsqu’on étudie sa propagation. L’aspect ondulatoire devient de plus en plus difficile
à observer lorsque la longueur d’onde (de matière ou de rayonnement) devient petite. C’est la
petitesse de la constante de Planck qui voile l’aspect ondulatoire des particules. Pour réfléter
cette dualité, la particule quantique est parfois appelée “quanton”.
3.3 Spectres atomiques
Nous avons vu que la radiation électromagnétique était constituée de paquets d’énergie = ,
les photons. L’étude des effets photoélectrique et Compton nous ont montré que les lois classiques
de conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie s’appliquaient à chaque transfert d’un
quantum d’énergie entre rayonnement et matière. Lorsque l’on considère que le spectre de radiation
électromagnétique (à l’équilibre thermodynamique) du corps noir ne dépend pas du matériau formant les murs de la cavité, on est forcé de conclure que toute matière ne peut absorber ou émettre
de la radiation électromagnétique que sous forme de quanta d’énergie = L’explication la plus
simple de cette restriction est de supposer que les niveaux d’énergie des systèmes matériels sont
eux-mêmes quantifiés ! Nous avons aujourd’hui suffisamment de preuves expérimentales que cette
idée, d’abord proposée par Niels Bohr10 , est valable.
Une des raisons appuyant la quantification de l’énergie des systèmes matériels concerne le problème de la stabilité des atomes. Selon la théorie classique, un électron en mouvement émet de la
radiation électromagnétique à un taux proportionnel au carré de son accélération (voir chapitre
2). Comme les électrons circulant sur les orbites d’un atome sont continuellement accélérés, ils
devraient perdre graduellement leur énergie jusqu’à ce qu’ils s’écrasent sur le noyau. On n’observe
évidemment pas ce phénomène autrement nous ne serions pas ici à faire de la mécanique quantique !
Cela suggère qu’il y a un état d’énergie minimale pour l’électron dans l’atome et que l’émission de
radiation cesse lorsque l’électron a atteint cet état. L’existence d’un tel état n’est pas compatible
avec la théorie classique. De plus, selon la théorie classique, un électron tournant autour d’un noyau
doit émettre un spectre continu de radiation électromagnétique. En effet, si l’électron est sur une
orbite circulaire, il émet de la radiation électromagnétique avec une fréquence correspondant à sa
fréquence de rotation (ainsi que des harmoniques de cette fréquence). Cependant, s’il est sur une
orbite très elliptique, des pulses de radiation sont émis lorsque l’électron est rapidement accéléré
près du noyau. Ces pulses sont émis périodiquement et contiennent une grande quantité d’harmo1 0 Niels
BOHR, physicien danois (1885-1962). Prix Nobel 1922.
§3.3 Spectres atomiques
61
niques. Comme la fréquence de rotation dépend de la taille et de la forme de l’orbite et que selon
la théorie classique, toutes les orbites sont possibles, il devrait donc y avoir émission d’un spectre
continu de radiation électromagnétique.
FIGURE 3.9. Formation des raies spectrales par un prisme. (Figure tirée du Hecht, page 1103.)
Le spectre continu prédit par la théorie classique n’est pas observé. Au contraire, on trouve que
chaque atome émet un ensemble discret de fréquences, ensemble qui lui est propre et qu’on appelle
son spectre atomique. L’origine de ce spectre se conçoit facilement si on suppose que les énergies
possibles pour l’électron dans l’atome sont quantifiées. Disons tout de suite que l’écart entre les
niveaux d’énergie d’un système matériel (comme l’atome) n’a pas à être constant comme dans le
cas de l’oscillateur harmonique. Les niveaux d’énergie dépendent grandement du système considéré.
La spectroscopie débute avec Newton et ses expériences avec les prismes. Il faut toutefois attendre
les années 1800 pour qu’elle devienne un outil puissant d’exploration de la matière. En 1853, A. J.
Ångström utilise un tube à décharge rempli de divers gaz pour étudier leur spectre. La lumière émise
par le gaz est passée à travers un prisme pour en séparer les différentes bandes de couleurs appelées
lignes spectrales. Lorsqu’un gaz est excité par une décharge électrique, il émet des longueurs d’onde
spécifiques dont l’ensemble est appelé le spectre d’émission atomique (voir fig. 3.9). Inversement,
lorsque de la lumière blanche passe à travers un gaz, les atomes absorbent à certaines fréquences
bien spécifiques qui constituent le spectre d’absorption et on voit alors des lignes noires sur un
fond coloré. Ångström mesura les longueurs d’onde des quatre lignes très brillantes du spectre
d’émission de l’hydrogène.
La fig. 3.10 montre un exemple de spectre atomique. Chaque ligne correspond à une fréquence
d’émission. Comme le spectre atomique est unique à chaque atome, la spectroscopie est très utile
pour l’analyse chimique et c’est pourquoi beaucoup d’efforts ont été fournis pour la rendre très
précise. Remarquez que l’écart entre les raies spectrales diminue lorsque la longueur d’onde diminue
de sorte que la série de raies de la fig. 3.10 converge vers une longueur d’onde bien définie (à 36456
Å dans notre exemple).
Vers les années 1890, plusieurs physiciens sont parvenus à trouver des formules empiriques pour
calculer la longueur d’onde de chacune des lignes. Par exemple, la formule de Balmer (1885)11
1 1 Johann
Jakob BALMER, physicien suisse (1825-1898).
62
Chap.3. Comportement ondulatoire de la matière et quantification de l’énergie des sytèmes physiques
FIGURE 3.10. Partie visible du spectre de l’hydrogène et dénomination des différentes raies. (Figure tirée
du Eisberg et Resnick, page 107.)
donne pour la série de l’hydrogène représentée sur la fig. 3.10 :
= 3646
2
Å
2 − 4
(3.14)
où = 3 4 5 pour H H H Si on considère plutôt l’inverse de la longueur d’onde, comme l’a
suggéré Rydberg12 , on trouve, pour cette série
µ
¶
1
1
1
= =
−
= 3 4 5
(3.15)
22 2
où la constante de Rydberg, vaut
= 109677576 ± 12 m−1
(3.16)
Ce chiffre donne une idée de la précision atteinte par les mesures spectroscopiques !
D’autres séries de raies spectrales existent pour l’hydrogène. Elles sont données dans le tableau
3.2 avec la formule empirique correspondante et qui a la forme générale
Ã
!
1
1
1
= =
− 2
(3.17)
2
Notez que l’on peut obtenir des spectres atomiques en absorption plutôt qu’en émission. On utilise
alors une source continue de radiation électromagnétique et l’on dispose l’élément à étudier sur
le parcours de celle-ci, avant le prisme. On observe ainsi que le film est noir partout sauf pour
certaines lignes blanches. Ces lignes représentent les fréquences d’absorption de l’élément étudié.
On observe que pour chaque ligne du spectre d’absorption, il y a une ligne correspondante dans le
spectre d’émission. L’inverse cependant n’est pas vrai. Pourriez-vous dire pourquoi ?
3.4 Expérience de Franck et Hertz
La plus importante évidence de la quantification des niveaux d’énergie de l’atome est l’existence des spectres discrets d’émission ou d’absorption. C’est sur cette base que Bohr a construit
1 2 Johannes
Robert RYDBERG, physicien suédois (1854-1919).
§3.4 Expérience de Franck et Hertz
Nom
Lyman
Balmer
Paschen
Brackett
Pfund
63
Domaine
Ultraviolet
Proche UV et visible
Infrarouge
Infrarouge
Infrarouge
Formule
¡
= ¡ 112
= ¡ 212
= ¡ 312
= ¡ 412
= 512
−
−
−
−
−
¢
1
2 ¢
1
2 ¢
1
2 ¢
1
2 ¢
1
2
Valeurs de
= 2 3 4
= 3 4 5
= 4 5 6
= 5 6 7
= 6 7 8
TABLE 3.2. Les séries de l’hydrogène
son modèle de l’atome. Cependant, d’autres expériences permettent aussi de mettre en évidence
cette quantification. La plus caractéristique est celle de Franck et Hertz qui utilise des collisions
inélastiques entre des électrons et des atomes et dans laquelle une partie de l’énergie cinétique de
l’électron est transférée aux degrés de liberté internes de l’atome.
Supposez qu’une particule rapide, , que nous appellerons le projectile entre en collision avec un
système la cible, que nous supposerons dans un état initial d’énergie 1 . L’interaction entre le
projectile et la source fait en sorte qu’il y a un échange d’énergie entre les deux. Supposons que
le premier niveau d’énergie excité de la cible ait l’énergie 2 . L’énergie cinétique sera conservée
et la collision sera élastique sauf si le projectile possède une énergie cinétique plus grande que
2 − 1 . Si le projectile peut transférer son énergie cinétique à la cible, alors la collision peut
s’écrire schématiquement comme
+ → + ∗
(3.18)
où ∗ désigne l’état excité de la cible. Lorsque la masse du projectile est beaucoup plus petite
que celle de la cible, ce qui est notre cas ici pour une collision entre un électron et un atome,
alors on peut négliger l’énergie cinétique de recul de la cible. La condition pour avoir une collision
inélastique est alors
1 2
≥ 2 − 1
(3.19)
2
où 2 2 est l’énergie cinétique du projectile avant la collision. L’énergie cinétique du projectile
après la collision est bien évidemment
1 02 1 2
= − (2 − 1 )
2
2
(3.20)
Dans l’expérience de J. Franck13 et G. Hertz14 faite en 1914.15 , des électrons rapides collisionnent
avec des atomes de mercure. Le schéma expérimental est reproduit sur la fig. 3.11. Des électrons
thermiques de faible énergie sont émis par une cathode chauffée. Une différence de potentiel,
entre cathode et anode accélère les électrons. Certains électrons passent par des trous dans l’anode
(G) pour rejoindre la plaque (P). Cela est possible s’ils ont une énergie cinétique suffisante pour
vaincre un petit potentiel retardateur, 0 , appliqué entre l’anode et la plaque. Le tube qui contient
l’appareillage est rempli d’un gaz de l’élément à étudier. Dans l’expérience, le courant d’électrons
atteignant la plaque est mesuré en fonction du potentiel d’accélération, .
La courbe courant-voltage montre le résultat obtenu pour la vapeur de mercure. Elle présente
une série de maxima. Le premier maximum est à = 49 eV. L’interprétation de ce résultat
1 3 James
FRANCK, physicien américain d’origine allemande (1882-1964). Prix Nobel 1925.
HERTZ, physicien allemand (1887-1975), Prix Nobel 1925. Il fut le neveu de Heinrich HERTZ (1857-1894) qui a
mis en évidence les ondes électromagnétiques.
1 5 Cette expérience vient historiquement après le modèle de Bohr (1913) que nous verrons à la prochaine sous-section.
1 4 Gustav
64
Chap.3. Comportement ondulatoire de la matière et quantification de l’énergie des sytèmes physiques
FIGURE 3.11. Schéma expérimental de l’expérience de Franck-Hertz et courbe courant-voltage. (Figure tirée
du Alonso et Finn, page 600.)
par Franck et Hertz est la suivante. Lorsque l’énergie cinétique des électrons atteint 49 eV, il se
produit une interaction entre un grand nombre d’électrons et les atomes de mercure. Les électrons
qui entrent en interaction perdent alors toute leur énergie cinétique. Si est juste un peu plus
grand que 49 eV, cette interaction doit nécessairement avoir lieu proche de l’anode de sorte que les
électrons affaiblis n’ont plus assez d’énergie cinétique pour vaincre le petit potentiel 0 . Comme ces
électrons ne peuvent se rendre à l’anode, ils ne participent plus au courant et diminue rapidement.
Le courant ne devient pas complètement nul car ce ne sont pas tous les électrons qui subissent
une collision. Pour bien faire ressortir le pic à 49 eV, on applique un petit potentiel retardateur
(de l’ordre de 05 V dans l’expérience). Ainsi, les électrons qui restent avec une certaine énergie
cinétique plus faible que ce potentiel après la collision ne pourront pas atteindre l’anode. Les autres,
ceux qui n’auront pas subi de collision pourront toujours bien sûr s’y rendre. Lorsque augmente
suffisamment, les électrons affaiblis peuvent à nouveau contribuer au courant. La baisse soudaine
de courant à 49 V indique que les électrons d’énergie plus petite que 49 eV sont incapables de
transférer leur énergie aux atomes de mercure et donc qu’il existe des états d’énergie quantifiée
dans l’atome16 . Elle indique aussi que le transfert d’énergie entre deux systèmes matériels (ici les
électrons et les atomes) est quantifié, tout comme le transfert d’énergie entre photons et systèmes
matériels.
Selon l’expérience de Franck et Hertz, le premier état excité de l’atome de mercure se trouve à
une énergie de 49 eV au-dessus de l’énergie de l’état le plus bas. Cette conclusion est confirmée
par une mesure des raies spectrales émises par les atomes dans le tube. Si est plus petit que
49 eV, aucune raie spectrale n’est émise alors que si le potentiel est juste un peu plus grand que
49 eV, une seule raie spectrale, à = 2536 Å est émise (ce qui représente un photon d’énergie
49 eV).17 On peut également vérifier de cette façon que l’énergie du photon émis correspond bien
à l’énergie perdue par l’électron. Cela a été fait dans des expériences subséquentes. L’énergie est
1 6 Notez qu’il pourrait aussi y avoir un transfert d’énergie sous forme d’énergie cinétique des atomes. Ici on s’intéresse plutôt
aux degrés de liberté interne des atomes de mercure.
1 7 Les deuxième et troisième maxima sur la fig. 3.11 correspondent à des électrons subissant deux et trois collisions avec les
atomes de mercure. En principe, on peut aussi observer des transitions entre l’état fondamental et les autres états excités.
§3.5 Modèle atomique de J.J. Thomson
65
donc bien conservée lors du transfert d’un quantum d’énergie. L’expérience de Franck et Hertz est
considérée comme une vérification importante du modèle de Bohr que nous abordons maintenant.
3.5 Modèle atomique de J.J. Thomson
Nous savons qu’aucun arrangement de charges électriques statiques n’est stable si ces charges
ne sont sous l’influence que de la force de Coulomb. Il faut donc que les particules qui constituent
l’atome soient en mouvement pour en assurer la stabilité. Selon les expériences faites sur les rayons
cathodiques, ces particules en mouvement devraient être des électrons. En 1900, J. Larmor18 proposa un vague modèle d’électrons attirés vers une charge centrale positive. J. Perrin19 en 1901
proposa un modèle de l’atome semblable à celui du système solaire, les orbites étant occupées par
des électrons. Comme on le voit, plusieurs physiciens ont pavé la voie à Rutherford dans l’élaboration d’un modèle de l’atome. En 1900, toutefois, ces modèles avaient un grave problème de
stabilité : l’électron en orbite devait émettre de la radiation électromagnétique et donc tomber sur
le noyau.
C’est Kelvin20 en 1902 qui proposa un modèle dans lequel l’atome était constitué d’une gelée
de charge positive dans laquelle se trouvait des électrons un peu à la façon des raisins dans un
plum pudding (voir la fig. 3.12). L’année d’après, J. J. Thomson étudia plus à fond la stabilité de
ce modèle et, ainsi va l’histoire, ce modèle nous resta connu comme le modèle de Thomson. Ce
modèle simple permet une estimation de la taille des atomes. En effet si est la densité typique,
le “rayon” de l’atome et la masse atomique, alors
FIGURE 3.12. Modèle atomique de Thomson. (Figure tirée du Hecht, page 1101.)
4
· 3 =
3
(3.21)
Connaissant et on obtient ≈ 1×10−10 m. Dans l’état d’énergie la plus basse, les atomes sont
supposés fixes. Lorsque l’atome est excité, les électrons vibrent autour de leur position d’équilibre.
On peut facilement estimer la fréquence de cette vibration et montrer que, dans un tel modèle,
seulement une raie spectrale serait observée (contrairement à l’expérience).
1 8 Sir
Joseph Larmor, physicien irlandais. 1857-1942.
Baptiste Perrin, physicien français. 1870-1942. Prix Nobel 1926 pour ses travaux sur la structure discontinue de la
matière.
2 0 Lord William Thomson Kelvin, physicien écossais, 1824-1907. Une de ses remarques célèbres est la suivante, faite devant
la British Association for the advancement of Science en 1900 : ”There is nothing new to be discovered in physics now. All
that remains is more and more precise measurement.” (Une remarque similaire est également attribuée au physicien Albert
Michelson). Une autre : ”In science there is only physics ; all the rest is stamp collecting”. Vous trouverez une collection de ses
remarques sur le site : http ://zapatopi.net/kelvin/quotes.html
1 9 Jean
66
Chap.3. Comportement ondulatoire de la matière et quantification de l’énergie des sytèmes physiques
¥ Exemple d’application du modèle de Thomson : fréquence d’émission dans le
modèle du plum-pudding. Considérons une gelée de
¢ positive en forme de sphère de
¡ charge
rayon et dont la densité de charge positive est 43 3 On déplace un électron d’une
distance par rapport à sa position d’équilibre au centre de la gelée où la force qu’il subit
est nulle. Par la loi de Coulomb, nous savons que l’électron est, à sa nouvelle position, soumis
à une force
1
40 2
¡4 3 ¢
1
3
= −
40
2
2
= −
30
= −
=
(3.22)
(3.23)
(3.24)
(3.25)
Selon le théorème de Gauss, l’électron ne subit que la force correspondant à la charge positive
contenue à l’intérieur du rayon . Cette force de rappel est proportionnelle au déplacement de
sorte que le mouvement, pour de petits déplacements passant par le centre de la sphère, est
harmonique. La fréquence d’oscillation est donc
r
1
(3.26)
=
2 0
s
2
1
=
(3.27)
2 30 0
La fréquence est environ de 25×1015 s −1 ce qui correspond à une radiation dans l’ultraviolet.
De plus, cette fréquence est unique. On ne retrouve pas un spectre de fréquences comme on le
devrait.21
3.6 Expériences de diffraction de Rutherford
Le coup de grâce fut porté au modèle de J.J. Thomson par son étudiant, Ernest Rutherford22 , qui
expérimenta sur la diffusion des particules23 par les atomes. Rutherford a été le premier à diffuser
des particules alpha sur de la matière. Son idée était de diffuser les particules alpha sur de minces
films de façon à apprendre quelque chose de la structure de l’atome. La source de particules alpha
était quelques milligrammes de radium et la cible une très mince feuille d’or d’environ 6 × 10−5 cm
ce qui correspond à environ 1000 couches atomiques. Les particules alpha qui pénètraient aisément
cette feuille allaient ensuite bombarder un écran recouvert de sulphure de zinc. Chaque impact des
particules sur cet écran donnait une petite lueur qui pouvait être vue dans une pièce très sombre
et comptée bien qu’avec beaucoup d’effort. Cette expérience était en fait très éprouvante pour les
nerfs de l’expérimentateur !
2 1 Une particule chargée en mouvement circulaire émet de la REM à une fréquence égale à celle de son mouvement ainsi qu’à
certaines harmoniques de cette fréquence.
2 2 Ernest RUTHERFORD, physicien britannique (1871-1937). Prix Nobel de chimie ( !) en 1908.
2 3 Les particules sont des atomes d’hélium doublement ionisés (He++ ). Elles sont émises spontanément par certains matériaux radioactifs.
§3.6 Expériences de diffraction de Rutherford
67
FIGURE 3.13. Simulation par ordinateur de la diffusion des particules alpha (a) selon le modèle de Rutherford, (b) selon le modèle de Thomson. (Figure tirée du Young, page 1116.)
Les particules alpha étant chargées, elles sont défléchies par leur interaction avec les charges
positives et négatives des atomes dans les feuilles. Les feuilles sont si minces, cependant, que la
plupart des particules alpha passent sans être notablement freinées. Pour celles qui sont diffusées,
l’angle de diffusion dépend de la trajectoire à travers la feuille et varie donc d’une particule à une
autre. Rutherford étudie la distribution de particules diffusées selon différents angles. Parce que les
électrons ont une masse très petite, ils ne peuvent que produire une petite déflection des particules
alpha incidentes.24 Quant à la charge positive, si elle est vraiment, comme le prétend le modèle de
J.J. Thomson, répartie uniformément dans une sphère de l’ordre de l’angström, alors elle ne peut
pas provoquer une grande déflection dans la trajectoire des particules incidentes. La fig. 3.13(b)
montre une simulation par ordinateur de la trajectoire des particules alpha diffusées par un atome
selon le modèle de Thomson. Remarquez qu’il n’y a pas de diffusion à de grands angles parce que
les particules alpha sont défléchies par petits coups. Au contraire, si la masse de la charge positive
est concentrée dans un petit noyau, la fig. 3.13(a) montre qu’il est possible d’observer des diffusions
à de très grands angles.25 Il est même possible que la particule alpha incidente soit rétrodiffusée !
Selon Rutherford, la dimension du noyau, nécessaire pour produire un tel type de diffusion, est de
l’ordre26 de 10−14 m. Pour Rutherford qui avait en tête le modèle de Thomson, l’observation de
particules rétrodiffusées était très surprenante. D’où sa célèbre remarque : “it was as if you fired a
15-inch naval shell at a piece of tissue paper and the shell came right back and hit you.”
2 4 Les
électrons sont si légers qu’ils vont s’écarter des particules avec peu d’impact sur la trajectoires de ces dernières.
peut calculer analytiquement l’angle de diffusion selon la distance d’approche entre la particule diffusée et le diffuseur.
Pour un courant de particules incidentes, on peut donc calculer le nombre de particules diffusées dans un certain angle solide.
Ce calcul est habituellement fait dans le cours de Mécanique classique II. Vous pouvez aussi consulter le Resnick pour plus de
détails.
2 6 L’unité de distance utilisée en physique nucléaire est le Fermi. 1 F= 10−15 m.
2 5 On
68
Chap.3. Comportement ondulatoire de la matière et quantification de l’énergie des sytèmes physiques
Les expériences de Rutherford permettent de conclure que la presque totalité de la masse de
l’atome se trouve dans un petit noyau au centre de l’atome et que ce noyau possède une charge
positive égale à où est le nombre atomique. Autour de ce noyau gravitent électrons qui
neutralisent cette charge positive. Un grave problème de stabilité se pose toutefois. Si on suppose
que les électrons sont fixes, alors aucune disposition des particules n’est stable et les électrons
devraient s’écraser sur le noyau. Si les électrons décrivent des orbites autour du noyau, alors ils
doivent émettre de la radiation électromagnétique, être ralentis et finalement s’écraser aussi sur le
noyau !
¥ Exemple : estimation de la taille du noyau atomique. À l’époque des expériences de
Rutherford, on savait que les atomes mesuraient environ 10−10 m en diamètre. Considérons
une collision frontale entre une particule alpha et un noyau atomique qui contient une charge
positive . L’énergie cinétique de la particule est initialement 2 2 La plus petite
distance d’approche, , correspond au moment où l’énergie cinétique de cette particule est
transformée en énergie potentielle d’interaction entre la particule et le noyau soit
1
2
2 =
2
40
soit
=
42
40 2
(3.28)
(3.29)
Cette distance représente une limite supérieure sur la taille du noyau27 . Connaissant la vitesse
des particules qui sont rétrodiffusées ( = 15 × 107 m/s) et leur masse ( = 66 × 10−27
Kg), nous avons ensuite besoin de pour estimer . Rutherford estima que, comme pour les
particules alpha, le noyau devait contenir un nombre de charges positives égale à la moitié du
poids atomique (hypothèse fausse mais il faut attendre les travaux de Moseley pour déterminer
De plus le neutron n’était pas encore connu). Il prit donc = 1972 pour l’or (alors que
= 79 pour l’or) ce qui donnait un de l’ordre de 10−14 m. Le noyau est donc environ 10
000 fois plus petit que l’atome ! Toutes proportions gardées, si le noyau était de la taille d’une
pomme, l’atome ferait environ 1 km. La matière est donc surtout constituée de vide !
¥ Remarque : rayon classique de l’électron : nous n’avons jamais parlé de taille pour
l’électron ! En fait, toutes les expériences visant à mesurer le rayon de l’électron ont failli.
Tout ce que nous savons c’est que le rayon de l’électron est plus petit que 10 −18 m. Toutes les
propriétés connues de l’électron sont en accord avec le concept d’une particule infiniment petite
et sans structure interne. Ce qu’on appelle rayon classique de l’électron ou rayon de Compton
est obtenu en égalisant l’énergie électrostatique d’une sphère uniformément chargée de rayon
0 avec l’énergie au repos de l’électron soit
2
= 2
40 0
soit
0 =
2
= 28 × 10−15 m.
40 2
(3.30)
(3.31)
2 7 Évidemment, si la vitesse des particules alpha est augmentée, la distance d’approche sera plus petite. C’est pourquoi
ce calcul représente donne une borne supérieure pour le rayon du noyau. On pourrait augmenter la vitesse des particules
alpha et voir pour quelle vitesse le patron de diffusion n’est plus représentatif d’une diffusion coulombienne. Là, les particules
rétro-diffusées nous fourniraient une meilleure estimation de la taille du noyau.
§3.7 Modèle atomique de Bohr
69
Remarquez que Rutherford a été assez chanceux dans ses expériences. Ses particules n’étaient
pas assez énergétiques pour s’approcher très près du noyau et donc subir l’influence de la force
nucléaire. Si cela avait été le cas, ses résultats expérimentaux auraient été très différents de ceux
obtenus en supposant une répulsion coulombienne et leur analyse n’aurait pas été aussi simple.
3.7 Modèle atomique de Bohr
Comme nous l’avons vu précédemment, il doit exister un état d’énergie minimale, pour l’électron
dans l’atome. Niels Bohr avait 26 ans lorsqu’en 1911, il partit de son Danemark natal pour aller
travailler à l’Université de Cambridge, en Angleterre. Il voulait initialement travailler avec J. J.
Thomson mais ils ne parvinrent pas à s’entendre très bien. Lors d’une conférence, Bohr rencontra
Rutherford qui venait alors de publier sa théorie du noyau atomique. Il travailla avec lui durant
quatre mois, ce qui suffit à le convaincre de la validité de l’hypothèse du noyau atomique.
Bohr construisit son modèle atomique en s’attaquant tout d’abord à la plus simple configuration
possible, l’atome d’hydrogène. Il imagine que l’électron tourne autour du noyau sur une orbite
circulaire et que seulement certaines orbites sont possibles. On peut résumer les hypothèses de
Bohr de la façon suivante :
¥ Postulats du modèle de Bohr :
1. L’électron se déplace, sous l’influence de la force coulombienne, sur une orbite circulaire
autour du noyau.
2. L’électron ne peut se déplacer que sur une orbite où son moment cinétique = ~ avec
= 1 2 3
3. Bien que l’électron soit constamment accéléré sur son orbite, il n’émet pas de radiation électromagnétique de sorte que son énergie reste constante.
4. L’émission de radiation électromagnétique ne se produit que si un électron, initialement sur
une orbite d’énergie totale change son mouvement de façon discontinue pour se retrouver
sur une orbite d’énergie totale La fréquence de la radiation émise est alors donnée
par
−
(3.32)
=
Notez que Bohr semble résoudre le problème de la stabilité de l’atome en émettant un postulat !
Cela peut sembler parfaitement inadmissible et en fait, il faut attendre Schrödinger pour comprendre pourquoi l’électron n’émet pas de radiation s’il reste sur la même orbite. Pour le moment,
nous devons accepter tel quel ce postulat. Si ce postulat est valable, cela implique nécessairement
que quelque chose ne tourne pas rond avec la théorie électromagnétique classique. Bohr en était
bien conscient.
Notez que Bohr met ensemble des notions classiques et quantiques : l’électron obéit à des lois
du mouvement classique (postulat I) mais n’émet pas de radiation (postulat III) contrairement à
ces mêmes lois classiques ! Cependant, la quantification des orbites proposée par Bohr conduit à
une quantification de l’énergie de l’atome qui est bien en accord avec les résultats expérimentaux
70
Chap.3. Comportement ondulatoire de la matière et quantification de l’énergie des sytèmes physiques
représentés par les mesures spectroscopiques. Bohr mentionna une fois que dès qu’il vit la formule
de Balmer pour sa série de raies spectrales, tout son modèle lui apparut très clairement.
Le modèle de Bohr s’applique aux atomes à un électron tels que H, He+ ,Li++ , avec un nombre de
charges positives donné par = 1 2 3 respectivement. On peut également l’appliquer aux excitons
(état lié électron-trou dans un semiconducteur) et à bien d’autres types d’“atome” à un électron.
En première approximation, le noyau est considéré comme stationnaire, sa masse étant beaucoup
plus grande que celle de l’électron. En supposant une orbite circulaire de rayon , l’équilibre de la
force de Coulomb et de la force centripète donne28
1 2
2
=
2
40
(3.33)
alors que la quantification du moment cinétique conduit à (la force est radiale, donc r⊥v )
= = ~ ⇒ = }
= 1 2 3
(3.34)
( est la vitesse de l’électron sur l’orbite.) En résolvant ces équations, on trouve facilement que les
orbites permises sont données par
1 2
40 2
1 2 2 2
=
40 2 }2
2 ~2
⇒ = 40
2
(3.35)
=
(3.36)
= 1 2 3
(3.37)
avec des vitesses correspondantes données par
=
1 2
}
=
40 ~
= 1 2 3
(3.38)
Remarquez que le rayon est proportionnel au carré du nombre quantique La plus petite orbite
possible correspond à = 1 et, pour l’atome d’hydrogène ( = 1) a un rayon, le rayon de Bohr,
donné par
' 053 Å,
(3.39)
et est un bon estimé de la taille de l’atome. La vitesse de l’électron sur cette orbite est aussi la plus
grande vitesse possible de l’électron. Pour l’atome d’hydrogène, on a
= 22 × 106 m/sec,
(3.40)
ce qui justifie l’approche non-relativiste adoptée par Bohr. Pour des valeurs plus grandes que = 1
cependant, la vitesse augmente et un traitement relativiste peut être nécessaire.
L’énergie totale de l’électron est la somme de ses énergies cinétique et potentielle29
= +
2
= 12 2 − 4
0
2
2
= 4
−
40
0 2
2 4
= − (4 )2 2~2 12
0
1
= 9 0 × 109 N-m 2 /coul2
40
2 9 L’énergie potentielle est définie
28
comme nulle lorsque l’électron est infiniment éloigné du noyau.
(3.41)
§3.7 Modèle atomique de Bohr
71
Nous voyons que la quantification du moment cinétique donne lieu à une quantification de l’énergie totale de l’électron dans l’atome. L’énergie totale est inversement proportionnelle au carré du
nombre quantique La fig. 3.14 donne le diagramme d’énergie pour l’atome d’hydrogène. Remarquez que lorsque le nombre quantique augmente, les niveaux deviennent de plus en plus
rapprochés et l’énergie totale tend vers zéro. Les états d’énergie négative correspondent à des états
liés de l’électron. L’état lié d’énergie la plus basse, l’état fondamental (ground state, en anglais)
vaut ( = 1)
= −136 eV,
(3.42)
pour l’atome d’hydrogène. Cette énergie est aussi l’énergie de liaison. C’est l’énergie qu’il faut
fournir pour ioniser l’atome. Les états d’énergie positive n’ont pas leur énergie quantifiée. L’énergie
de l’électron, une fois celui-ci séparé de l’atome, peut prendre un continuum de valeurs possibles.
En mécanique classique, = 0 donne une orbite parabolique alors que 0 correspond à des
orbites hyperboliques. Un des foyers de ces orbites peuvent être près du noyau donc l’électron n’est
pas nécessairement infiniment éloigné du noyau dans les orbites d’énergie positive.
FIGURE 3.14. Diagramme des niveaux d’énergie et des transitions radiatives dans le modèle de Bohr. (Figure
tirée du Hecht, page 1135.)
L’origine des raies spectrales s’explique facilement par le modèle de Bohr. Les électrons sont
excités à un niveau supérieur lorsqu’ils reçoivent de l’énergie par une décharge électrique ou autrement. Ils perdent ensuite cette énergie par une série de transitions à des niveaux inférieurs. Dans
chaque transition, ils doivent émettre un photon dont l’énergie correspond à la différence d’énergie
entre les deux niveaux impliqués dans la transition. Si la transition se fait entre un niveau initial
et un niveau final ( ), on a selon le quatrième postulat de Bohr
−
1
= =
=
µ
1
40
¶2
4 2
4~3
Ã
1
1
− 2
2
!
(3.43)
72
Chap.3. Comportement ondulatoire de la matière et quantification de l’énergie des sytèmes physiques
d’où
= ∞
2
Ã
1
1
− 2
2
!
(3.44)
Le modèle de Bohr permet de donner une expression microscopique pour la constante de Rydberg
µ
¶2
1
4
(3.45)
∞ =
40
4~3
La fig. 3.14 montre également les niveaux impliqués dans les transitions donnant à trois séries
spectroscopiques (Lyman, Balmer et Paschen). La série de Lyman, par exemple, correspond aux
transitions d’un état excité (tout état avec 1) vers l’état fondamental. Les longueurs d’onde
prédites par le modèle de Bohr sont en excellent accord avec les données spectroscopiques. De plus,
les séries de Lyman, Brackett et Pfund n’avaient pas encore été découvertes à l’époque. Elles ont
été prédites par le modèle.
Nous utilisons ici la notation ∞ parce que la masse du noyau a été supposée infinie (le noyau
est immobile). Lorsqu’on tient compte de la masse finie du noyau, on doit corriger légèrement la
valeur de la constante de Rydberg. Comme la masse du noyau est approximativement 1800 fois
plus grande que celle de l’électron, considérer la masse du noyau comme infinie est une bonne
approximation. Cependant, les résultats spectroscopiques sont très précis et on doit tenir compte
de la correction due à la masse finie du noyau. Cela est assez facilement fait. Il suffit de considérer
que l’électron et le noyau tournent autour de leur centre de masse. Comme seul le mouvement
relatif est quantifié30 , cela revient à considérer une particule de masse réduite = ( + )
tournant autour d’un centre fixe31 . On n’a donc qu’à remplacer la masse de l’électron dans les
équations de Bohr par la masse réduite. On obtient alors, pour l’éq. (3.44),
Ã
!
1
1
− 2
= 2
(3.46)
2
où
∞ = ∞
(3.47)
+
est la constante de Rydberg pour un atome de masse Pour l’hydrogène, la notation sera
= Si on évalue en utilisant les valeurs couramment acceptées des constantes
et nous trouvons = 10968100 m−1 La valeur expérimentale étant 10967757 m−1 nous voyons
que le modèle de Bohr, corrigé pour tenir compte de la masse du noyau, est en accord avec les
résultats spectroscopiques avec une marge d’erreur de 3 parties dans 100 000 !
=
¥ Exemple d’application : Un proton et un antiproton ayant même masse mais des charges
de signes opposés forment un atome, le protonium. Quelle est l’énergie de liaison du protonium ? Quelle est l’énergie du premier niveau excité ? Quel est le rayon du protonium dans
l’état fondamental ? (L’énergie du proton au repos est 0 2 = 940 MeV et celle de l’électron
2 = 0511 MeV).
L’énergie de liaison, selon le modèle de Bohr, est
1 = −
4
(40 )2 2~2
(3.48)
3 0 Par mouvement quantifié nous voulons dire que seules certaines énergies sont possibles pour ce mouvement. L’énergie
correspondant au mouvement du centre de masse, elle, peut prendre n’importe quelle valeur.
3 1 Si cela ne vous paraît pas évident, vous devriez sans doute tenter de le prouver par vous-mêmes ou revoir vos notes de
mécanique.
§3.7 Modèle atomique de Bohr
73
où est la masse réduite du protonium,
=
0
0 0
=
20
2
(3.49)
On trouve donc
µ
µ
¶
¶
4
1 0
1 0 2
× 136 eV,
(3.50)
1 = −
=−
2 (40 )2 2~2
2 2
³
´
940
soit (a) 1 = − 12 0511
136 eV = −125 KeV ; (b) 2 = 41 = −3127 KeV ; (c) rayon
³
´
2
0 = 022 0 = 000063 Å (où 0 est le rayon de Bohr).
¥ Atome de positronium. Un positron et un électron peuvent former un état lié pendant un
temps très court (environ 10−10 s). La masse réduite de l’atome est = ( + ) = 2
∞ = 2∞ . Les niveaux d’énergie de l’atome de positronium sont
de sorte que = +
donc donnés par la formule
∞
(3.51)
= − 2 = −
2 2
La fréquence des raies émises est donnée par
!
Ã
1
1
∞
− 2
=
(3.52)
2
2
Les fréquences émises sont la moitié des fréquences émises dans l’atome d’hydrogène. On peut
facilement montrer que le rayon de la plus petite orbite est le double de celui de l’atome
d’hydrogène.
¥ Rapport gyromagnétique : pour toutes les orbites de Bohr, le rapport du moment magnétique dipolaire de l’orbite électronique sur le moment angulaire orbital est égal à la valeur
constante 2 où − est la charge de l’électron et est sa masse. En effet, soit la vitesse
de l’électron sur l’orbite et le rayon de l’orbite. Dans le modèle de Bohr, l’orbite est circulaire, et ⊥ . Le moment magnétique dipolaire est égal à la surface entourée par l’orbite
multipliée par le courant soit 2 × où = 2 est la période du mouvement. Le
moment angulaire est = ~ = donc
moment magnétique orbital
moment angulaire
=
=
2 × 2
2
(3.53)
Par la règle de la main droite, nous avons vectoriellement (rappelons que est pris comme
une quantité positive)
μ = −
L
(3.54)
2
de sorte que le moment magnétique orbital de l’électron est opposé à son moment angulaire.
Avec le modèle de Bohr,
(3.55)
=
2
}
=
(3.56)
2
(3.57)
=
74
Chap.3. Comportement ondulatoire de la matière et quantification de l’énergie des sytèmes physiques
Liaison
entre molécules
entre atomes d’une molécule
entre électron et noyau
entre protons du noyau
Énergie (en eV)
0.01 /molécule
10
10 -1000
106
TABLE 3.3. Échelle d’énergie de liaison
Le moment magnétique orbital, est donc quantifié, tout comme le moment angulaire. La
}
= 92740154 × 10−24 J T s’appelle le magnéton de Bohr (note : 1 J/T = 1
quantité = 2
2
A·m ). De façon tout à fait générale, nous pouvons donc écrire que dans un niveau atomique
donné
μ = L
(3.58)
où = −2 est appelé rapport gyromagnétique orbital du niveau considéré. C’est le plus
petit moment magnétique d’origine orbitale. Nous verrons plus loin que l’électron possède également un moment magnétique intrinsèque μ lié à un moment cinétique intrinsèque appelé
spin et noté . La relation entre ces deux quantités est donnée par
μ = S
(3.59)
Pour le spin = 20024 (−2) ≈ − est le rapport gyromagnétique de spin (il est deux
fois plus grand que le rapport gyromagnétique orbital).
Un traitement correct de l’atome à un électron viendra avec Schrödinger. Nous étudierons son
modèle dans un chapitre ultérieur. La quantification du moment cinétique y est plus complexe
que dans le modèle (incorrect) de p
Bohr. En particulier, on montrera que le module du moment
cinétique est quantifié selon = ( + 1)} où = 0 1 2 3 et non comme = } et que
la projection selon un axe (disons ) du moment cinétique est donnée par = } avec =
− − + 1 −1 0 1 − 1
Depuis les travaux de Michelson en 1891, il est connu que chacune des raies spectrales de l’hydrogène comprend en fait plusieurs lignes très proches les unes des autres. Partant de ce fait,
Arnold Sommerfeld (1915) généralise le modèle de Bohr pour tenter d’expliquer cette structure
fine des raies spectrales. Pour cela, il a besoin d’introduire une petite énergie supplémentaire dans
le problème qui permet d’expliquer les différentes raies. Il suppose donc que les orbites ne sont pas
circulaires mais elliptiques, le noyau étant à l’un des foyers de l’ellipse. Lorsqu’il ajoute en plus des
corrections relativistes à son modèle, Sommerfeld est capable de reproduire presque parfaitement
les résultats expérimentaux. Aujourd’hui, le modèle de Sommerfeld est obsolète mais cette image
des orbites elliptiques persiste dans le grand public.
3.8 Règles de quantification de Wilson et Sommerfeld
Le succès du modèle de Bohr est impressionnant, mais les postulats sur lesquels il se base sont
assez mystérieux. Pour essayer d’éclaircir l’origine de ces postulats, Charles Wilson32 et Arnold
3 2 Charles
Thomson Rees WILSON, physicien écossais (1869-1959). Prix Nobel 1927.
§3.8 Règles de quantification de Wilson et Sommerfeld
75
Sommerfeld33 énoncent en 1916 une série de règles permettant de quantifier n’importe quel système physique pour lequel les coordonnées sont des fonctions périodiques du temps. Ces règles
permettent, entre autres choses, de retrouver les règles de quantification de Planck pour l’oscillateur harmonique et de Bohr pour l’atome d’hydrogène.
¥ Règle de quantification de Wilson-Sommerfeld : pour chaque système physique dans
lequel les coordonnées sont des fonctions périodiques du temps, il existe une condition quantique
pour chaque coordonnée. Cette condition stipule que34
I
≡ =
(3.60)
où est la coordonnée, est la quantité de mouvement conjuguée à cette coordonnée, et
est un nombre quantique qui ne peut prendre que des valeurs entières. L’intégration se fait
sur la trajectoire parcourue par la particule durant une période d’oscillation de la coordonnée
Notez qu’en mécanique classique, est la variable d’action. La règle de quantification de
Wilson-Sommerfeld correspond à la quantification de l’action qui ne peut changer que par unité
discrète correspondant à la constante de Planck (parfois appelée le quantum d’action).
Voyons quelques exemples d’application de cette règle de quantification.
¥ Oscillateur harmonique : considérons un oscillateur harmonique dont l’énergie totale est
donnée par
1
2
+ 2
(3.61)
= + =
2 2
Puisque l’énergie est une constante du mouvement, réécrivons cette équation sous la forme
2
2
+
= 1
2 2
(3.62)
Cette équation peut être comparée à l’équation d’une ellipse ( et sont les demi-axes majeur
et mineur de l’ellipse)
2 2
+ 2 = 1
(3.63)
2
si
√
2
(3.64)
=
p
=
2
(3.65)
Dans l’espace de phase (espace − ), le mouvement de l’oscillateur harmonique est donc
représenté par une ellipse (voir fig. 3.15). Une période d’oscillation correspond à faire le tour
de l’ellipse une seule fois. La règle de quantification donne donc
I
2
=
(3.66)
= = q =
3 3 Arnold
SOMMERFELD, physicien allemand (1868-1951).
: ne confondez pas le ici avec le moment cinétique total introduit plus haut.
3 4 Attention
76
Chap.3. Comportement ondulatoire de la matière et quantification de l’énergie des sytèmes physiques
p
1
0.5
0
-2
-1
0
1
2
x
-0.5
-1
FIGURE 3.15. Trajectoire de l’oscillateur harmonique dans l’espace de phase.
soit
=
= 0 1 2 3
(3.67)
On retrouve ainsi le résultat de Planck pour les niveaux d’énergie de l’oscillateur harmonique.
Notez que dans (3.66), l’intégrale est faite en parcourant l’ellipse. Lorsque
H change de signe,
change aussi de signe puisque le sens d’intégration est alors inversé. correspond alors
à l’aire entourée par l’ellipse et vaut L’aire entre deux ellipses permises est donnée par
( + 1) − =
(3.68)
de sorte que lorsque → 0 on retrouve l’oscillateur classique où tout l’espace de phase est
accessible.
¥ Modèle de Bohr : l’électron suit une trajectoire circulaire autour du noyau. La coordonnée
du mouvement est l’angle auquel est correspond la coordonnée conjuguée le moment
angulaire. La règle de quantification donne
I
=
(3.69)
Z 2
=
(3.70)
0
= }
= 1 2 3
(3.71)
qui est la règle de quantification de Bohr. Notez que nous avons utilisé le fait que est une
constante du mouvement. Notez également que = 0 est impossible puisque l’électron serait
alors sur le noyau.
¥ Particule dans une boîte : considérons une particule piégée dans une boîte unidimensionnelle de longueur À l’intérieur de la boîte, il n’y a aucune force sur la particule de sorte que
sa quantité de mouvement est une constante du mouvement. Ce système pourrait représenter
le mouvement d’un électron dans un métal unidimensionnel ( !). La coordonnée de la particule
est est sa coordonnée conjuguée est . La règle de quantification donne
I
=
(3.72)
Z 0
Z
−
= 2 =
(3.73)
0
=
2
= 0 1 2
(3.74)
§3.9 Principe de correspondance de Bohr et limite classique
77
Comme = } = , les longueurs d’onde permises pour la particule dans la boîte sont
données par
2
(3.75)
=
On voit de l’éq. (3.75) que la règle de quantification, dans le cas de la boîte, conduit à voir
chaque état d’énergie possible comme une onde stationnaire ayant un noeud à chaque extrémité
de la boîte (sauf pour = 0 qui correspond à la particule au repos). Cette idée sera beaucoup
plus apparente dans l’approche de Schrödinger. Notez que l’énergie est quantifiée puisque pour
une particule libre
2 2
2
=
(3.76)
=
2
82
¥ Quantification de Bohr revue par de Broglie : Une autre façon d’obtenir la règle de
quantification de Bohr a été suggérée par de Broglie en 1924. La condition de Bohr peut s’écrire
= = ~
(3.77)
où est la quantité de mouvement linéaire de l’électron sur l’orbite de rayon Si on remplace
la quantité de mouvement par la longueur d’onde de de Broglie, = la condition de Bohr
devient = ~ ou
2 =
= 1 2 3
(3.78)
Autrement dit, les orbites possibles sont celles qui peuvent contenir un nombre entier de longueurs d’onde de de Broglie comme illustré sur la fig. 3.16. Si on imagine l’électron parcourant
une orbite atomique avec son onde associée, alors l’onde est continuellement enroulée autour
de l’orbite. Il y a interférence constructive seulement si l’onde d’un parcours donné est en
phase avec celle du parcours précédent. Les seules longueurs d’onde possibles correspondent
à des ondes stationnaires (à des modes propres). Nous verrons que l’onde de de Broglie est
reliée à la probabilité de présence de l’électron sur une orbite de sorte que s’il y a interférence
destructive, on en conclut qu’il est impossible pour l’électron de se trouver sur cette orbite.
La suggestion de de Broglie permet en quelque sorte de comprendre l’origine des règles de
quantification de Wilson-Sommerfeld.
3.9 Principe de correspondance de Bohr et limite classique
Le principe de correspondance de Bohr n’a été formulé clairement qu’en 1923, mais il a inspiré
plusieurs de ses travaux. Son but est de préciser comment les notions et résultats de la théorie
classique peuvent servir de bases pour l’élaboration et l’interprétation de la théorie quantique. La
théorie classique explique, en effet, de nombreux phénomènes. Ses difficultés apparaissent surtout
lorsqu’on essait de l’appliquer aux phénomènes microscopiques pour lesquels le caractère discontinu
est essentiel. On peut donc dire que la théorie classique est correcte “macroscopiquement” c’est-àdire qu’elle explique correctement les phénomènes dans la limite où les discontinuités quantiques
(des sauts de niveau atomique, par exemple) peuvent être considérées comme infiniment petites.
Pour tous les phénomènes et dans cette limite, les prédictions de la théorie quantique doivent
coïncider avec celles de la théorie classique. Cette obligation impose des conditions très restrictives
sur la théorie quantique ! On formule souvent cette condition en disant que :
78
Chap.3. Comportement ondulatoire de la matière et quantification de l’énergie des sytèmes physiques
FIGURE 3.16. Modes stationnaires de de Broglie pour les niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène. (Figure
tirée du Hech, page 1150.)
§3.9 Principe de correspondance de Bohr et limite classique
79
¥ Principe de correspondance de Bohr : les prédictions de la théorie quantique quant au
comportement d’un système physique doivent reproduire les prédictions de la théorie classique
dans la limite où le nombre quantique décrivant l’état du système est grand.
Le principe de correspondance de Bohr est d’une application assez délicate. Nous donnons ici
trois exemples de son utilisation.
¥ Application à la loi de Rayleigh-Jeans. Imaginons que nous ayons un grand nombre
d’oscillateurs harmoniques, tous quantifiés comme = La valeur moyenne de l’énergie
pour l’ensemble des oscillateurs est hi = hi . La limite classique de la loi de RayleighJeans correspond à → 0. Nous avons déjà montré que, dans cette limite, hi = Il
s’ensuit donc que hi = Ainsi, lorsque → 0 hi → ∞. La limite classique est
donc obtenue dans la limite des grands nombres quantiques, en accord avec le principe de
correspondance.
¥ Application au modèle de Bohr. La fréquence de révolution d’un électron sur une orbite
autour du noyau est, d’après le modèle de Bohr :
µ
¶2 µ
¶
1
4
2
=
(3.79)
0 =
3
2
40
4}
3
En théorie classique, cette fréquence de révolution serait aussi la fréquence à laquelle serait
émise le rayonnement électromagnétique par l’électron. En mécanique quantique, cependant,
l’énergie rayonnée provient d’un saut entre deux niveaux. Considérons un saut du niveau
au niveau . La fréquence correspondante est :
#
µ
¶2 µ
¶"
1
4
1
1
− 2
= =
(3.80)
40
4}3
2
La limite classique doit correspondre à un petit changement d’orbite (puisque la discontinuité
tend alors vers zéro). Prenons donc, − = 1 La fréquence correspondante est alors
µ
¸
1
1
=
−
( − 1)2 2
¶2 µ
¶∙
¸
µ
4
2 − 1
1
=
40
4}3
2 ( − 1)2
1
40
¶2 µ
4
4}3
¶∙
(3.81)
(3.82)
Dans la limite des grands nombres quantiques, (limite des grands ), cette fréquence est
≈
µ
1
40
¶2 µ
4
4}3
¶
2
3
(3.83)
Dans cette limite, → 0 et nous retrouvons le résultat classique. Remarquons que pour
− = 2 3 nous obtenons des multiples de la fréquence et non le résultat classique.
¥ Application à l’effet Compton : essayons maintenant de montrer comment on peut obtenir
le résultat classique pour l’effet Compton. Supposons, par exemple, qu’un électron soit frappé
par une onde radio contenant un grand nombre de quanta d’énergie. Nous choisissons une
onde radio car il faut que la longueur d’onde soit suffisamment grande pour observer la limite
80
Chap.3. Comportement ondulatoire de la matière et quantification de l’énergie des sytèmes physiques
classique (l’énergie des quanta doit être petite pour qu’on soit dans la limite du continuum.
Avec des rayons X comme dans l’expérience de Compton, on ne verra toujours que la diffusion
Compton et non le décalage Doppler). L’électron est continuellement bombardé par les photons
contenus dans la radiation et il les diffuse l’un après l’autre. Comme la longueur d’onde des
photons est grande, le décalage de Compton dû à chaque diffusion est très petit par rapport
à la longueur d’onde incidente et il est impossible de le détecter (on est dans la limite de la
diffusion Thomson). Mais, quand même, l’électron acquiert de l’énergie à chaque diffusion et
éventuellement sa vitesse devient assez grande pour que le décalage Doppler (l’effet classique)
soit important. L’effet Doppler apparaît donc bel et bien et semble un processus continu alors
qu’en fait il est formé d’une multitude de processus quantiques discontinus.
Pour calculer le décalage Doppler, il suffit de refaire notre analyse de la diffusion Compton,
mais sur un électron voyageant à vitesse . Supposons que la quantité de mouvement initiale
de l’électron soit dans la direction du photon incident. Le changement de longueur d’onde est
alors donné par
µ ¶
2 ( + )
2
(3.84)
sin
∆ = p 2
2
0 2 + 2 −
Pour obtenir la limite classique, nous devons supposer que le changement dans la quantité
de mouvement de l’électron dû à une diffusion est très petit par rapport à la quantité de
mouvement de l’électron. Pour 1, la transfert de quantité de mouvement est de l’ordre
de = de sorte que dans la limite classique
⇒
(3.85)
L’équation précédente devient donc
µ ¶
2
2
∆ =
sin
0
2
µ ¶
= 2 sin2
2
(3.86)
(3.87)
qui est bien notre résultat classique de l’éq. (2.60). Notez que l’énergie du faisceau incident est
diffusée par l’électron à un taux donné par
84
=
32 4
(3.88)
et que la quantité de mouvement transmise du faisceau d’intensité à l’électron est =
On en déduit facilement que
µ ¶
2
(3.89)
sin
∆ = 2
0 2
2
où est l’énergie totale perdue par le faisceau incident après un temps d’irradiation. Le
résultat quantique correspond à prendre = Mais, attention ! Il serait faux d’interpréter
ce résultat en disant que l’énergie est transférée de façon continue, mais par paquet de . On
ferait de cette façon la même erreur que celle du temps d’attente dans l’effet photoélectrique.
3.10 Proton et neutron
Revenons à l’expérience des rayons cathodiques décrite dans le chapitre I. Une cathode et une
anode sont placées dans un tube contenant un gaz à faible pression. Un fort potentiel électrique est
§3.10 Proton et neutron
81
appliqué entre les électrodes. Le gaz devient ionisé et un courant d’électrons se dirige vers l’anode.
En 1886, il fut remarqué qu’une partie de la trace lumineuse du faisceau pouvait aussi être projetée
dans la direction opposée à celle des rayons cathodiques. La direction prise par ce second faisceau
ainsi que le fait qu’il pouvait être dévié par un champ magnétique était une évidence que l’on avait
affaire à des particules chargées positivement. J. J. Thomson inventa le terme rayons positifs pour
décrire ce faisceau. Lorsqu’on mesura le rapport charge sur masse des particules de ce faisceau,
plusieurs valeurs très faibles furent trouvées ce qui indiquait des particules de grande masse, de
l’ordre de la masse des atomes eux-mêmes.
Avec l’arrivée du modèle de Rutherford, il fut naturel d’identifier cette partie du faisceau avec
les atomes ionisés du gaz dans le tube. Le rapport charge sur masse dépend alors évidemment du
type de gaz utilisé dans le tube. Lorsque Thomson fit l’expérience avec l’hydrogène (1907), il trouva
deux valeurs de corespondant aux ions + et aux molécules ionisées 2+ . De plus en plus,
il apparaissait que le noyau était en fait un atome d’hydrogène débarassé de sa charge négative.
D’autres expériences de diffusion de particules alpha sur des noyaux de différents éléments faites
par Rutherford indiquèrent que cette particule positive devait être une des constituantes du noyau
de la plupart des éléments, sinon de tous. Dans ces expériences, la collision des particules alpha
sur des atomes d’azote ou d’autres gaz libèrent des protons. C’est en 1920 que Rutherford proposa
le nom de proton (du Grec protos voulant dire “premier”) bien que ce mot était déjà en usage
depuis une douzaine d’années. La masse du proton est environ 1836 fois plus grande que celle de
l’électron. Des expériences ont montré que la charge de l’électron et celle du proton sont égales
avec une précision de 22 décimales ! Cette égalité est remarquable lorsque l’on sait que le proton a
une structure complexe (faite de quarks) alors que l’électron est une particule élémentaire.
Si on imagine les atomes faits uniquement de protons et d’électrons, on ne peut expliquer les
masses retrouvées dans le tableau périodique. L’hélium, par exemple, devrait être fait de deux
électrons et deux protons. Pourtant l’atome d’hélium a une masse de 4. Partout, dans le tableau
périodique, il y a une différence entre le nombre atomique, , et la masse atomique . En 1920,
Rutherford (encore lui !) proposa que cette difficulté pouvait être résolue en supposant l’existence
de paire électron-proton très liées qui ajouterait à la masse de l’atome sans changer sa charge.
Cette idée était merveilleusement simple mais, hélas, fausse. Rutherford proposa même le nom de
neutron pour cette paire. Il proposa à ses étudiants et collaborateurs de traquer cette nouvelle
particule. C’est ainsi que James Chadwick commenca une recherche qui devait durer 12 ans.
En 1930, on découvra que, lorsque le beryllium (Be) était bombardé avec des particules ,
il y avait également émission d’un flux de radiation très énergétique qui fut d’abord pris pour
de la radiation . Cependant, on a rapidement réalisé que cette radiation était très pénétrante
et non déviée par un champ magnétique mais que contrairement aux rayons elle n’était pas
ionisante et ne pouvait décharger un électroscope. Irène Joliot-Curie (la fille de madame Curie) et
son marie Frédéric Joliot-Curie observèrent que la présence de cette mystérieuse radiation pouvait
être amplifiée si on la dirigeait vers une substance riche en hydrogène, c’est-à-dire en protons.
Lorsque le faisceau frappe une feuille de paraffine, des protons sont éjectés et peuvent facilement
être détectés par un compteur Geiger. Chadwick (1932) suggéra que ces particules non ionisantes,
capables d’éjecter des protons devaient être des neutrons. En étudiant les détails des collisions
avec les protons, il fut capable de montrer que ceux-ci s’expliquaient si on supposait la présence
d’une particule neutre de masse approximativement égale à celle du proton. Lorsque la réaction se
produisant entre les particules alpha et les atomes de Beryllium fut finalement comprise, Chadwick
l’écrivit comme
4
2
1
+94 Be →12
6 C +0 n.
(3.90)
82
Chap.3. Comportement ondulatoire de la matière et quantification de l’énergie des sytèmes physiques
Contrairement à l’hypothèse de Rutherford, les électrons ne vivent pas dans le noyau et le neutron
est une particule élémentaire tout comme le proton, bien que légèrement plus massive :
= 16726231 × 10−27 Kg ;
−27
= 16749286 × 10
Kg.
(3.91)
(3.92)
Après l’annonce de la découverte du neutron, Heisenberg proposa le modèle présentement accepté
du noyau constitué de protons et de neutrons. Tous les noyaux sont composés exclusivement de
neutrons et de protons dont le nombre total détermine la masse atomique. Neutron et proton
sont des nucléons c’est-à-dire des composants du noyau.
Hors du noyau, le neutron est instable. Il se décompose en un proton, un électron et un antineutrino. Ce processus est un exemple de décomposition et il explique comment les électrons
peuvent être éjectés du noyau, bien qu’ils n’existent pas dans le noyau. Ils sont un sous-produit de
la réaction nucléaire.
Lorsque des atomes, des noyaux ou des neutrons se désintègrent, le processus doit être décrit de
façon statistique. Par exemple, nous savons que la moitié des neutrons dans une boîte se désintègreront après 104 minutes mais nous n’avons ne pouvons pas dire quels neutrons en particulier vont
disparaître. Chaque survivant de la désintégration est absolument identique aux autres neutrons
restants et chacun semble complètement non affecté par la désintégration des autres. Par exemple,
les expériences suggèrent que la durée de vie des neutrons n’est pas affectée par le passage du temps,
les neutrons ne vieillissent pas ! Ils semble se désintégrer sans raison apparente ! Cela suggère que le
déterminisme des phénomènes physiques disparaît à l’échelle atomique. Aujourd’hui, nous croyons
que notre incapacité à prédire le comportement du neutron n’est pas le fruit d’un manque d’information, mais bien la manifestation de la nature quantique de l’univers. Nous reviendrons plus en
détails sur ce point dans les prochains chapitres.
3.11 La vieille théorie quantique
Les notions quantiques vues jusqu’à maintenant constituent ce qu’on nomme la vieille théorie
quantique. La vieille mécanique quantique est essentiellement une méthode générale pour calculer
des quantités quantifiées (comme l’énergie, la quantité de mouvement, etc.) basée sur les hypothèses
de Bohr et sur le principe de correspondance. La procédure est de supposer que le système physique
obéit aux lois de la mécanique classique mais que, de toutes les solutions classiques possibles, les
seules qui puissent être retenues sont celles qui vérifient certaines conditions de quantification. En
général, à chacune de ces solutions discrètes correspond une énergie donnée. La séquence discontinue
de niveaux d’énergie ainsi obtenue constitue le spectre des niveaux d’énergie possibles du système
physique considéré.
La détermination des règles de quantification est le problème central de la vieille mécanique quantique. C’est surtout, en fait, un problème d’intuition ! Il s’agit de postuler certaines règles (comme
Bohr l’a fait) et de comparer le spectre d’énergie ainsi obtenue théoriquement avec le spectre expérimental. Dans la recherche des bonnes règles de quantification, le principe de correspondance
joue un rôle actif.
La vieille mécanique quantique a fait avancer considérablement l’étude des spectres atomiques
et moléculaires de plusieurs systèmes. Elle souffrait cependant de plusieurs problèmes. En effet, il
n’y avait pas moyen de formuler la théorie pour traiter des atomes complexes ou pour des systèmes
non périodiques comme, par exemple, le problème de la diffusion des électrons par les atomes ou
l’expérience de Franck et Hertz. Dans ce dernier cas, la théorie de Wilson-Sommerfeld donnait les
§3.11 La vieille théorie quantique
83
niveaux d’énergie quantifiés des atomes bombardés par les électrons, mais pas la trajectoire des
électrons dans le tube, ni les détails de la collision inélastique entre les électrons et les atomes. En
fait, la vieille théorie ne permettait pas d’expliquer les phénomènes de collision. Même dans l’étude
des spectres, les résultats de la vieille théorie n’étaient pas toujours justes. Dans certains cas, les
résultats obtenus étaient mauvais pour les petits nombres quantiques et des nombres quantiques
fractionnaires durent être inventés pour reproduire les résultats expérimentaux !
Ce qui est plus troublant encore, dans la vieille mécanique quantique, c’est que les règles de
quantification apparaissent comme des restrictions purement formelles imposées à la mécanique
classique. Aucune raison profonde pour l’existence de ces règles n’est proposée. On n’arrive pas non
plus à comprendre comment on peut concilier la notion de trajectoire avec celle de la quantification
de l’énergie. En effet, le concept de trajectoire implique qu’une particule a, à tout instant, une
position, une quantité de mouvement et une énergie bien définies. Que se passe-t-il, alors, lorsque la
particule fait une collision avec un atome comme dans l’expérience de Franck et Hertz ou lorsqu’elle
change de niveau d’énergie comme dans le modèle de Bohr de l’atome d’hydrogène ? L’énergie
change alors de façon soudaine et, cela, de façon instantanée ! En fait, postuler la quantification
de l’énergie revient à renoncer au concept classique de trajectoire. Nous allons voir que
c’est le prix à payer pour comprendre les phénomènes microscopiques.
Vers 1925, ces critiques étaient très fortement ressenties par les physiciens travaillant sur la
théorie quantique. La nouvelle mécanique quantique développée, entre autres, par Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg et Paul Dirac35 présente une approche plus cohérente et satisfaisante des
problèmes quantiques. C’est cette théorie que nous aborderons dans le prochain chapitre.
3 5 Paul
Dirac, physicien britannique (1902-1984). Prix Nobel 1933.
84
Chap.3. Comportement ondulatoire de la matière et quantification de l’énergie des sytèmes physiques
3.12 Questions et problèmes
3.12.1 Les ondes de matière
1. Les atomes d’un gaz peuvent être traités classiquement si leur longueur d’onde de de Broglie
est beaucoup plus petite que la distance moyenne entre les atomes dans le gaz. Comparez
la longueur d’onde de de Broglie (moyenne) avec la séparation moyenne entre les atomes
dans un contenant d’hélium à 1 atm de pression et à une température de 20◦ C. À quelle
température ou pression les effets quantiques deviendraient-ils importants ?
2. En 1924, Louis de Broglie propose l’existence d’ondes de matière. Donnez les relations de de
Broglie-Einstein pour l’énergie et la quantité de mouvement de l’onde de matière. Dites ce
que sont ces ondes et expliquez brièvement comment on est arrivé à les détecter.
3. Donnez un exemple de phénomène où la matière se comporte comme une onde.
4. En physique des hautes énergies, on construit des accélérateurs d’électrons d’énergie de plus de
= 30 GeV (1 GeV=109 eV). Quelle est la longueur d’onde de de Broglie de ces électrons ?
Donnez d’abord la formule reliant à Utilisez le fait que, pour l’électron, l’énergie de
masse au repos est 0 2 = 0511 MeV et la longueur d’onde de Compton = 0 =
00243 Å. Compte tenu de votre réponse précédente, dites pourquoi de si hautes énergies sont
nécessaires.
5. La longueur d’onde de de Broglie peut-elle être plus petite que la dimension de la particule
associée ? Y a-t-il nécessairement une relation entre ces deux quantités ?
6. Un photon d’une longueur d’onde initiale de = 013 nm est diffusé d’un angle de 180◦ dans
l’effet Compton. (a) Quelle est la longueur d’onde du photon diffusé ? (b) Quelle énergie est
donnée à l’électron initialement au repos ? (c) Quelle est la vitesse de recul de l’électron ?
7. Un photon avec = 0120 nm est diffusé par un électron au repos. (a) Quelle est l’énergie
cinétique de l’électron après la collision ? (b) Si l’électron est subitement stoppé, il émet un
photon. Quelle est la longueur d’onde de ce photon ?
8. Écrivez la formule donnant la longueur d’onde de de Broglie pour une particule d’énergie
cinétique et de masse au repos 0 . Exprimez votre réponse en termes des variables 0 2
et = 0 (longueur d’onde de Compton). Calculez la longueur d’onde de de Broglie
(en Å) pour des électrons d’énergie cinétique 1 eV, 100 eV et 10 000 eV.
9. Un résultat fondamental de l’optique ondulatoire est qu’aucun instrument d’optique ne peut
résoudre les détails d’un objet qui sont plus petits que la longueur d’onde de la lumière qui
sert à les observer. Le même principe physique s’applique, bien sûr, pour les électrons dans
un microscope électronique. Si on veut étudier un virus dont le diamètre est de = 200 Å,
peut-on utiliser la lumière visible ? Si on utilise un microscope électronique, quel doit être le
voltage d’accélération des électrons pour que la longueur d’onde de de Broglie soit 1000 fois
plus petite que la dimension du virus (on aura ainsi une très bonne image) ?
10. Est-ce que la longueur d’onde de de Broglie dépend du référentiel inertiel dans lequel l’observateur se trouve ? Si oui, quelle est la longueur d’onde en fonction de l’énergie cinétique
relativiste (la particule est supposée libre) ? Est-ce que la dualité onde-corpuscule en est
affectée ?
11. Montrez que la longueur d’onde de de Broglie d’une particule de charge , de masse au
repos 0 , et se déplaçant à une vitesse relativiste est donnée, en fonction d’un potentiel
§3.12 Questions et problèmes
85
d’accélération , par la formule :
=
³
√
20 1 +
20 2
´12
(3.93)
12. Montrez que la longueur d’onde de de Broglie, relativiste, redonne la formule = dans
la limite non-relativiste.
13. Un électron se déplace avec une vitesse de = 50 × 106 m/s, quelle est sa longueur d’onde ?
Si un proton se déplace à cette même vitesse, quelle est sa longueur d’onde ?
14. Pour la diffraction des électrons par un cristal, des longueur d’onde de l’ordre de = 025
nm sont appropriées. Calculez l’énergie, en eV, d’une particule ayant cette longueur d’onde
pour (a) un électron, (b) un photon.
15. Un électron et un photon ont chacun une longueur d’onde de = 20 Å. Calculez (a) leur
quantité de mouvement ; (b) leur énergie totale ; (c) leur énergie cinétique.
16. Des neutrons thermiques ont une énergie cinétique moyenne de = 32 à une température
de = 300 K. Ces neutrons sont en équilibre thermodynamique avec leur environnement.
Quelle est (a) l’énergie, en eV, des neutrons thermiques ; (b) leur longueur d’onde de de
Broglie ?
17. Est-ce que les objets composés (comme les atomes, les molécules) ont aussi une longueur
d’onde de de Broglie ?
18. Des électrons d’énergie , incidents sur la surface d’un cristal subissent une réfraction due à
un potentiel attractif 0 causé par les ions dans le cristal. Trouvez la formule donnant l’angle
de réfraction, , en fonction de 0 et (angle d’incidence). Si l’angle d’incidence = 45◦ ,
le potentiel 0 = 15 V et = 100 eV, calculez l’angle de réfraction. (voir fig. 3.17).
y
x
cristal
FIGURE 3.17. Réfraction de l’onde électronique.
19. Quel potentiel d’accélération faudrait-il avoir dans un microscope électronique pour obtenir
le même pouvoir de résolution limite (∆ = sin () où est l’ouverture du microscope)
que dans un microscope à “rayons gamma” utilisant des photons d’énergie = 02 MeV ?
20. Soit une longueur caractéristique d’un système physique et, , la longueur d’onde d’une
particule dans ce système. Donnez un critère physique reliant et et qui permette de
distinguer le régime dans lequel les effets quantiques sont importants de celui dans lequel ils
ne le sont pas. En utilisant ce critère, dites si les effets quantiques sont importants :
86
Chap.3. Comportement ondulatoire de la matière et quantification de l’énergie des sytèmes physiques
(a) pour un proton dans un noyau ? (Prenez 10−13 cm pour la taille du noyau et 0 = 10
MeV pour l’énergie cinétique du proton.)
(b) pour un gaz électronique d’une densité = 1020 cm−3 à une température de = 300
K ? (Prenez 3 2 pour l’énergie moyenne de chaque électron.)
21. Dans un réacteur nucléaire, les atomes d’uranium se fissionnent en relâchant plusieurs neutrons de haute énergie. Ces neutrons ont initialement une énergie de 2 MeV mais, après plusieurs collisions avec d’autres atomes, ils sont progressivement freinés à une énergie moyenne
de 0025 eV. Il y a donc une distribution continue de neutrons d’une énergie de 2 MeV à
une énergie moindre que 0025 eV. On peut construire un filtre qui ne laisse passer que les
neutrons de faible énergie en faisant passer les neutrons à travers des blocs de carbone polycristallin. Considérez que par polycristallin on veut dire que le carbone est constitué d’un
très grand nombre de petits cristaux orientés au hasard. Représentez-vous chaque petit cristal
comme constitué d’une famille de plans d’atomes avec une séparation entre les plans de = 2
Å. (Rappel : la condition de Bragg pour l’interférence constructive est 2 sin = où est
l’angle entre l’onde incidente et la famille de plans et la séparation entre les plans.)
(a) Expliquez qualitativement pourquoi les neutrons de faible énergie peuvent passer au
travers des blocs alors que ceux de grande énergie sortent par les côtés sans pouvoir les
traverser.
(b) Les neutrons de longueur d’onde ≤ seront bloqués par le filtre. Calculez
3.12.2 L’expérience de Davisson et Germer
1. La séparation minimale entre les plans d’atomes d’un cristal de chlorure de potassium est de
= 314 Å. Calculez les angles, pour la diffraction de Bragg du premier ordre, correspondant
à des électrons d’énergie cinétique = 40 keV et à des photons d’énergie = 40 keV.
2. Un faisceau de neutrons monoénergétiques est diffracté par un cristal dont les plans sont
espacés de 096 Å. Le premier maximum dans la loi de Bragg ( 2 sin = ) apparaît
lorsque l’angle = 28◦ . Calculez l’énergie cinétique (en eV) des neutrons dans le faisceau
(à vous de vérifier si vous avez besoin de faire un calcul relativiste ou classique). Prenez
= 663 × 10−34 J-s, 1 Å= 10−10 m = 167 × 10−27 Kg, 1 eV= 160 × 10−19 J. (Négligez
la réfraction ici et prenez = 0 .)
3. Si notre longueur d’onde était de l’ordre du mètre, nous subirions une diffraction importante
en passant à travers une porte36 .
(a) Calculez la vitesse à laquelle nous devrions aller pour avoir une longueur d’onde de
l’ordre du mètre (prenez une masse de = 60 Kg).
(b) À la vitesse calculée en (a), combien d’années s’écouleraient avant que nous ayons fait
un pas (environ 080 m) ?
4. Est-ce que le fait que l’interférence, dans l’expérience de Davisson-Germer, apparaît entre
différentes parties d’une même onde, plutôt qu’entre différentes parties d’ondes différentes,
complique ou simplifie l’interprétation de la fonction d’onde ?
3 6 Une explication plus poussée de ce problème ferait intervenir la notion de décohérence reliée aux nombre de dergrés de
liberté internes de cette “particule” classique.
§3.12 Questions et problèmes
87
3.12.3 Les spectres atomiques
1. Supposez qu’une certaine quantité de tritium (un isotope de l’hydrogène avec un poids atomique de 30) est placée dans un tube contenant de l’hydrogène ordinaire. Dans une mesure
spectroscopique, quelle serait l’écart observé entre les longueurs d’onde correspondant à la
première raie de la série de Balmer pour ces deux éléments ?
2. Calculez la fréquence et la longueur d’onde de la raie H de la série de Balmer pour l’hydrogène. Cette raie est émise par la transition entre les niveaux = 4 et = 2
3. L’hydrogène, le deutérium et l’hélium ionisé, He+ , sont trois exemples d’atomes à un électron.
Le noyau de deutérium a environ deux fois la masse du noyau d’hydrogène et celui d’hélium
environ quatre fois la masse du noyau d’hydrogène. Comparez les énergies du niveau fondamental de ces trois atomes.
3.12.4 L’expérience de Franck et Hertz
1. En quoi l’effet photoélectrique est-il similaire au phénomène étudié dans l’expérience de
Franck et Hertz ?
3.12.5 Le modèle de Bohr
1. Un satellite d’une masse de 20 Kg est en orbite circulaire autour de la terre avec une période
de 2 heures à une distance de 8060 Km du centre de la terre.
(a) En supposant le moment cinétique quantifié comme dans le modèle de Bohr, trouvez le
nombre quantique ( = }) correspondant à cette orbite.
(b) Montrez, en utilisant le postulat de quantification du moment cinétique et la loi de
gravitation de Newton que le rayon de l’orbite du satellite est directement proportionnel au carré du nombre quantique c’est-à-dire. = 2 où est la constante de
proportionnalité.
(c) En utilisant le résultat de (b), trouvez la distance entre l’orbite du satellite dans ce
problème et la prochaine orbite permise (donnez la valeur numérique du résultat).
(d) Commentez sur la possibilité d’observer la séparation entre ces deux orbites adjacentes.
2. Selon la physique quantique, pourquoi l’électron ne tombe-t-il pas sur le noyau ?
3. Comparez les forces d’attraction gravitationnelle et coulombienne pour un atome d’hydrogène. Est-on justifié d’ignorer la force gravitationnelle dans le modèle de Bohr ?
4. Calculez l’énergie, la longueur d’onde et la fréquence du photon émis lors de la transition
du niveau excité, = 10 au niveau fondamental de l’atome d’hydrogène. Calculez aussi la
vitesse de recul de l’atome après l’émission du photon.
5. Calculez l’énergie requise pour enlever un électron du niveau = 8 de l’atome d’hydrogène.
6. Lorsqu’un atome excité émet un photon, il doit reculer pour conserver la quantité de mouvement. L’énergie du photon émis, , doit donc nécessairement être plus petite que ∆, la
différence d’énergie entre les deux niveaux atomiques car le photon et l’atome se partagent
l’énergie de la transition.
(a) Trouvez la formule reliant l’énergie du photon émis à la différence d’énergie entre les
niveaux et à la masse de l’atome (la correction est très petite).
88
Chap.3. Comportement ondulatoire de la matière et quantification de l’énergie des sytèmes physiques
(b) Pour une transition du niveau = 3 au niveau = 2 de l’atome d’hydrogène, la
différence d’énergie est de ∆ = 19 eV. Montrez que l’énergie cinétique de recul de
l’atome est complètement négligeable par rapport à cette différence d’énergie.
7. Appliquez le modèle de Bohr à l’atome d’hélium ionisé une fois (He+ ). Comparez les niveaux
d’énergie obtenus avec ceux de l’atome d’hydrogène.
8. Supposez que le moment cinétique de la terre (masse = 60×1024 Kg) dû à son mouvement
autour du soleil (rayon = 15 × 1011 m) soit quantifié selon le postulat de Bohr =
~ Quelle est la valeur du nombre quantique ? Pourrait-on détecter cette quantification ?
Pourquoi ?
9. Est-ce qu’un atome d’hydrogène peut absorber un photon d’énergie supérieure à son énergie
de liaison (136 eV) ?
10. Une particule de masse décrit une orbite circulaire dans un champ à symétrie centrale où
son énergie potentielle est fonction de la distance au centre du champ :
1
= 2
2
(3.94)
où est une constante.
(a) Montrez que la force sur la particule est F = −r où r est le vecteur radial.
(b) En utilisant la règle de quantification de Bohr ( = }) et la condition d’équilibre
donnée par la mécanique classique, montrez que les rayons des orbites permises sont
donnés par
µ
¶
} 12
=
(3.95)
p
où = .
(c) Montrez que les valeurs permises pour l’énergie totale sont données par
= }
(3.96)
et donnez les valeurs possibles du nombre quantique
11. Quelle énergie minimale un photon doit-il posséder pour initier l’effet photoélectrique dans
un gaz d’hydrogène. Attention au piège à ours !
12. Utilisez les règles de quantification de Bohr pour calculer les niveaux d’énergie dans un
potentiel donné par
³ ´
() = 0
(3.97)
où est très grand. Représentez qualitativement la forme du potentiel et montrez que les
niveaux d’énergie tendent alors vers ' 2
13. L’énergie du rotateur rigide classique est donnée par
=
2
2
(3.98)
où est le moment angulaire et le moment d’inertie. Appliquer les règles de quantification
de Bohr pour obtenir les niveaux d’énergie du rotateur rigide en mécanique classique. Si le
postulat de Bohr s’applique en ce qui concerne la fréquence de la radiation pour une transition
entre niveaux 1 à 2 montrez que :
§3.12 Questions et problèmes
89
Mv’
Mv
h/c
Observateur
FIGURE 3.18. Émission d’un photon à partir d’un atome en mouvement.
(a) le principe de correspondance est satisfait ;
(b) ce principe implique que seules les transitions avec ∆ = ±1 sont possibles.
14. Les molécules se comportent parfois comme des rotateurs. Si les spectres de rotation sont
caractérisés par une radiation de longueur d’onde de l’ordre de 107 Å, et que celle-ci est
utilisée pour estimer la distance interatomique dans une molécule comme H2 , quelle séparation
approximative obtient-on ?
15. Considérez un atome de masse se déplaçant initialement à vitesse par rapport à un
observateur Cet atome émet soudain un photon dans une direction faisant un angle par
rapport à sa direction initiale (voir fig.3.18). Avant l’émission, l’atome se trouve dans un état
d’énergie interne Après l’émission d’un photon d’énergie , son énergie interne est 0 .
(a) En utilisant les équations de conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement (le
calcul est non relativiste), obtenez une équation exacte reliant à et 0 ≡ ( − 0 )
et (vous n’avez pas à isoler dans cette équation). (b) Lorsque la quantité de mouvement de
la masse est beaucoup plus grande que celle du photon émis, montrez que cette équation
se réduit à
0
(3.99)
=
1 − cos ()
(c) Lorsque l’atome s’éloigne de l’observateur, est-ce que la fréquence du photon émis augmente ou diminue (par rapport à 0 ) ? (d) Si = 0 est-ce que le résultat ci-dessus est valable
physiquement ? Pourquoi ?
3.12.6 Les règles de quantification de Wilson-Sommerfeld
1. En utilisant les règles de quantification de Wilson-Sommerfeld, calculez les niveaux d’énergie
d’une balle de masse rebondissant élastiquement sur un plancher parfaitement plat dans le
champ d’attraction gravitationnelle de la terre. (Prenez = pour l’énergie potentielle
gravitationnelle de la balle.)
90
Chap.3. Comportement ondulatoire de la matière et quantification de l’énergie des sytèmes physiques
3.12.7 Le principe de correspondance de Bohr
1. Selon la mécanique classique, un électron en mouvement sur une orbite circulaire peut avoir
un moment cinétique quelconque. Selon Bohr, au contraire, son moment cinétique est quantifié comme = }. Comment le principe de correspondance de Bohr réconcilie-t-il ces deux
points de vue ?
CHAPITRE 4
Concepts fondamentaux de la mécanique quantique
4.1 Introduction
Il ressort de notre étude des expériences qui ont marqué les débuts de la mécanique quantique
que l’on ne peut considérer la radiation électromagnétique comme un pur phénomène ondulatoire.
L’explication du spectre de radiation du corps noir par l’hypothèse des quanta, l’utilisation de
cette même hypothèse par Einstein pour expliquer l’effet photoélectrique, puis les expériences
de Compton ont montré que la radiation électromagnétique doit, dans certaines circonstances,
être considérée comme composée de petits paquets d’énergie = localisés dans l’espace : les
photons. De même, l’hypothèse de de Broglie, confirmée par les expériences de Davisson-Germer
et de Thomson ont demontré que les électrons, ainsi que tout autre particule matérielle, ont un
comportement ondulatoire.
Nous savons pourtant que particule et onde sont deux concepts totalement opposés. Une particule
est une quantité de matière avec une certaine extension (une taille) bien définie, alors qu’une onde
peut être complètement délocalisée et emplir tout l’espace1 . Et, bien qu’une particule puisse être
diffusée lors de son interaction avec une autre particule, on ne peut pas additionner ou soustraire
des particules comme on le fait avec des ondes. Seule une onde peut donner lieu à des phénomènes
d’interférence et de diffraction. Donc, bien que ces deux concepts soient totalement opposés, les
expériences nous empêchent de n’en garder qu’un seul. Il nous est impossible de revenir à une
théorie purement ondulatoire pour expliquer le comportement de la lumière et en même temps
il nous est impossible de ne la considérer que comme un gaz de photons. Nous devons donc, en
quelque sorte, tenter de réconcilier les points de vue ondulatoire et corpusculaire. Pour anticiper sur
le résultat de notre analyse, nous pouvons dire que la solution quantique est de considérer qu’onde
et particule sont deux manifestations possibles de ce qu’on appelle un électron ou le rayonnement
électromagnétique. Selon le type d’expérience que nous faisons, nous déterminons l’apparition d’un
comportement ou d’un autre, mais jamais des deux à la fois. Ainsi, il n’y a pas de contradiction dans
le fait de garder ces deux concepts car ils ne se révèlent jamais simultanément. Pour illustrer cela,
1 On peut évidemment représenter une particule en formant des paquets d’ondes qui, eux, sont localisés dans une certaine
région de l’espace. Cependant, cela ne fait pas disparaître le concept de dualité onde-particule comme nous le verrons plus loin.
92
Chap.4. Concepts fondamentaux de la mécanique quantique
nous réexaminons l’expérience de diffraction de Thomas Young2 à la lumière du concept de dualité
onde-particule. Puis, une fois cela fait, nous introduisons la notion de fonction d’onde ainsi que
son interprétation probabiliste. Nous discutons ensuite de l’important principe d’indétermination
d’Heisenberg. Une brève révision de la physique des phénomènes ondulatoires est faite dans le
chapitre 9.
4.2 Dualité onde-corpuscule et principe de complémentarité
L’expérience des fentes de Young a été faite pour démontrer le caractère ondulatoire de la lumière.
Dans cette section, nous reconsidérons cette expérience ainsi qu’une expérience similaire mais faites
avec des électrons3 . Commençons par l’expérience faite avec la lumière. Nous supposons qu’un
faisceau lumineux est incident sur un système de deux fentes minces. Selon la théorie ondulatoire
de la lumière, l’onde lumineuse passe par les deux fentes à la fois et est diffractée.4 L’intensité
lumineuse dans le patron diffracté est donnée par la formule
µ
¶ " 2 ¡ ¢ #
sin
2 2
2
∝ 40 cos
(4.1)
¡ ¢2
où 02 ∝ 0 qui est l’intensité incidente, est la séparation entre les fentes de largeur , est
la distance entre les fentes et l’écran et la longueur d’onde de la radiation incidente. Le patron
d’interférence qui est observé sur l’écran correspond à celui de la fig. 4.1(a). D’après la théorie
ondulatoire, l’intensité observée sur l’écran n’est pas la somme des intensités provenant de chaque
fente c’est-à-dire que
(4.2)
6= 1 + 2
Il ne faut donc pas additionner les deux patrons de diffractions donnés sur la fig. 4.1(b). Au
contraire, l’intensité au point P sur l’écran s’obtient en sommant les amplitudes du champ
électrique des ondes venant des fentes A et B c’est-à-dire en prenant
∝ |E1 + E2 |2
(4.3)
Il est important de réaliser que ces deux équations ne donnent pas du tout le même résultat. Par
exemple, si on considère qu’il y a seulement la fente A d’ouverte alors le patron sur l’écran est un
patron de diffraction centré autour de la position correspondant à cette fente. De même, si seule
la fente B est ouverte, alors le patron sur l’écran est un patron de diffraction centré autour de la
position La somme des intensités est alors donnée par la somme de deux profils représentés sur
la fig. 4.1(b). Évidemment, ce patron est complètement différent du résultat correct qui est donné
par l’éq. (4.3) et qui correspond à celui de la fig. 4.1(a).
La théorie ondulatoire prédit très bien la forme du patron observé sur l’écran. Un problème
survient cependant si on diminue l’intensité du faisceau lumineux incidents. Selon cette dernière,
une diminution d’intensité se traduit par une diminution d’amplitude. Le patron de diffraction ne
2 Thomas
Young (1773-1829) par ses expériences de diffraction a mis en évidence le caractère ondulatoire de la lumière.
Tonomura, J. Endo, T. Matsuda, and T. Kawasaki, Demonstration of single-electron buildup of an interference pattern,
American Journal of Physics, 57, 117, février 1989.
4 La densité totale d’énergie (électrique et magnétique) dans l’onde électromagnétique est = 2 où est le module du
0
champ électrique de l’onde. L’intensité lumineuse est le courant d’énergie (l’énergie passant, par unité de temps, à travers une
surface unitaire perpendiculaire à la direction de propagation de l’onde) c’est-à-dire que = = 0 2
3 A.
§4.2 Dualité onde-corpuscule et principe de complémentarité
93
FIGURE 4.1. Expérience de Young. En (a) on a le patron d’interférence obtenu en considérant la lumière
comme une onde. En (b), chaque profil correspond à l’intensité lumineuse provenant de la fente A ou de la
fente B. L’addition de ces deux profils ne donne pas un patron d’interférence.
devrait pas changer de forme, mais seulement devenir plus pâle. On devrait donc observer encore
une fois le patron de la fig. 4.1(a), mais avec un contraste moins fort entre franges sombres et
claires.
Ce n’est pas du tout ce que l’on observe ! La fig. 4.2 reproduit le résultat obtenu par Tonomura
et al. avec un faisceau d’électrons (on obtiendrait la même chose avec un faisceau lumineux). Dans
leur expérience, ces physiciens furent capables de diminuer le faisceau d’électrons jusqu’à ce qu’un
seul électron à la fois soit présent dans le dispositif de diffraction. On observe sur la fig. 4.2 que
si l’intensité est diminuée, les franges apparaissent comme formées d’une multitude d’impacts très
localisés. Ces impacts montrent bien la nature particulaire de l’électron. Un électron est capté en
un point bien précis de l’écran P. Il ne se sépare pas en morceaux ! Alors qu’une onde remplie tout
l’espace, la particule électron est un objet ponctuel jusqu’à des distances de 10−18 m comme on
peut le vérifier dans des expériences d’accélérateurs de particules de hautes énergies. Cependant,
à en juger par la partie (a) de la fig. 4.2, le point d’impact de l’électron sur l’écran semble
aléatoire. C’est-à-dire que différents électrons (indépendants) préparés dans les mêmes conditions
ont des points d’impact différents. Lorsque l’intensité est augmentée, les électrons se distribuent
sur l’écran avec une certaine loi de probabilité. Pourtant, nous ne sommes pas en présence d’un
phénomène probabiliste classique. Il y a des endroits sur l’écran où l’électron ne va jamais. Après
le passage d’un grand nombre d’électrons, on voit bien que ces endroits exempts d’électrons correspondent aux zéros d’un patron d’interférence. Ainsi, la nature ondulatoire de l’électron
nous apparaît clairement, lorsque l’intensité est assez grande pour que la multitude
d’impacts faits par les électrons reproduisent les franges d’interférence. Cette nature
ondulatoire est présente lors du passage de l’électron dans le dispositif. C’est elle qui détermine
l’impact de l’électron sur l’écran. Une fois en contact avec l’écran, cependant, l’onde disparaît pour
laisser la place à la particule électron. C’est comme si l’onde qui baigne tout le dispositif s’était
soudainement réduite à une position bien précise (on parlera plus tard du phénomène de réduction
du paquet d’onde et on verra qu’il s’agit d’un des aspects les plus étranges de la théorie quantique).
94
Chap.4. Concepts fondamentaux de la mécanique quantique
On pourrait être tenté d’expliquer cette expérience de diffraction en ne retenant que le caractère
corpusculaire de l’électron. L’explication serait la suivante : on suppose que les particules électrons
se dirigent vers les deux fentes et on fait une expérience de diffraction de particules. En passant à
travers les fentes, les électrons sont déviés par des chocs sur les parois des fentes. Après le passage
d’un grand nombre d’électrons, on devrait observer deux distributions d’électrons centrées autour
des positions et sur l’écran. La somme de ces deux distributions ne donne évidemment rien
de semblable à un patron d’interférence. Pour expliquer les oscillations, il faudrait supposer que
les électrons interfèrent entre eux lors du passage à travers les fentes (on pourrait supposer, par
exemple, que le patron d’interférence est causé par des paires d’électrons, chaque électron d’une
paire passant par une fente en particulier.) Comme on peut faire passer un électron à la fois dans le
dispositif et continuer à observer le patron d’interférence, il est facile de réfuter une telle explication.
Le patron d’interférence ne vient pas d’une interaction quelconque entre les électrons.
Si l’électron est une particule, il doit nécessairement passer par une des fentes, jamais par les
deux à la fois ! On peut vérifier cela en mettant un détecteur derrière chaque fente. On note alors
que si un détecteur enregistre un impact, l’autre est muet de sorte que l’électron passe bien par
une fente donnée. Cependant, si une fente est bouchée par un détecteur, alors le patron que l’on
observe sur l’écran est un patron de diffraction et non d’interférence. Le résultat de l’expérience est
complètement changé. Comment comprendre cela ? Si l’électron est une particule et donc passe par
une fente bien précise, en quoi l’action de boucher l’autre fente peut-elle modifier le comportement
de l’électron puisqu’il ne passe pas par là ? Cela est parfaitement incompréhensible dans le cadre
de la théorie corpusculaire. Un seul électron passe dans le dispositif, et donc à travers une des
fentes, et le résultat observé est complètement bouleversé si on bouche la fente par laquelle il ne
passe pas ! C’est comme si, en forçant l’électron à nous montrer son aspect corpusculaire, on perd
complètement la possibilité d’observer son côté ondulatoire. Comme le dit Richard Feynmann5 :
“Est-il vrai qu’un électron passe soit à travers la fente 1, soit à travers la fente 2 ? La
seule réponse qui puisse être donnée est que nous avons prouvé par l’expérience qu’il
nous faut raisonner d’une façon complètement spéciale si nous voulons éviter d’obtenir
des choses incohérentes. Ce que nous devons dire (pour éviter par la suite de faire des
prédictions fausses) est ce qui suit. Si l’on observe les fentes, ou plus précisément si
l’on dispose d’un appareil capable de déterminer si les électrons passent à travers la
fente 1 ou la fente 2, alors on peut dire qu’ils passent soit à travers la fente 1 soit à
travers la fente 2. Mais, quand on n’essaie pas de dire quel est le chemin emprunté par
les électrons, et quand il n’y a rien dans l’expérience pour perturber les électrons, alors
on ne peut pas dire qu’un électron soit passé à travers la fente 1 ou 2. Si on dit cela et
que l’on commence à faire des déductions de cet énoncé, on aboutit à des conclusions
erronées. Voilà sur quelle corde raide il nous faut marcher si nous voulons décrire la
nature avec succès.”
Nous concluons qu’il nous est impossible d’expliquer cette expérience en ne retenant qu’une des
théories, ondulatoire ou corpusculaire.
F La dualité onde-corpuscule et le principe de complémentarité :
¥ Tous les objets de la nature sont composés de particules élémentaires qui ne peuvent être
divisées. Tous ces objets élémentaires peuvent manifester un comportement ondulatoire et un
comportement corpusculaire. Ces deux comportements sont complémentaires.
5 Richard
Feynmann, The Feynmann lectures on Physics (Addison-Wesley, Menlo Park, CA, 1965), Vol III, pp. 1.1-1.5.
§4.3 La fonction d’onde (r) et son interprétation
95
¥ Les objets élémentaires sont discrets et indivisibles. Ils peuvent être comptés (c’est la propriété
particulaire par excellence). Tous les électrons, par exemple, ont la même masse et la même
charge. Les photons sont plus subtils, mais tous les photons d’une énergie donnée sont des objets
discrets et indivisibles. L’indivisibilité n’est pas incompatible avec la création ou la destruction
de la particule. Les photons peuvent être créées et détruits, tout comme les autres particules.
¥ Le comportement corpusculaire apparaît lorsqu’il y a interaction alors que le comportement
ondulatoire gouverne la propagation de l’électron.
¥ À l’échelle microscopique, la propagation de toutes les particules élémentaires a un caractère ondulatoire. Cela implique que toutes les particules sont capables de montrer des effets
d’interférence et de diffraction qui caractérisent les ondes.
¥ La probabilité d’observer la particule électron en un certain point de l’écran doit être reliée
d’une certaine façon à l’intensité de l’onde telle que calculée par la théorie ondulatoire.
¥ À une échelle microscopique, une particule élémentaire n’a pas de trajectoire au sens classique
du terme.
¥ La dualité onde-corpuscule des objets élémentaires se manifeste aussi pour les objets composés. Le comportement d’un objet composé devient indiscernable de celui d’un objet élémentaire
lorsque l’énergie de l’objet composé n’est pas suffisante pour exciter ses degrés de liberté interne
ou pour le briser en particules plus petites. L’objet composé agit alors comme un objet indivisible avec une longueur d’onde donnée par la relation de de Broglie où est maintenant la
masse de l’objet composé. Lorsque l’énergie cinétique de l’objet composé excède la limite mentionnée ci-dessus, le comportement de l’objet est plus compliqué car il devient alors nécessaire
de tenir compte des interactions entre ses différentes parties.
Comme nous l’avons vu au chapitre 2, de nombreuses expériences ont démontré la validité du
concept de quanta d’énergie de la radiation introduit par Planck et Einstein, tout comme de
nombreuses expériences faites tout au long du XIX siècle ont démontré la nature ondulatoire
de la radiation électromagnétique. Dans le cas de la radiation électromagnétique, la probabilité
d’observer un photon en un certain point de l’espace est reliée au module carré du champ électrique
|E (r )|2 c’èst-à-dire à l’intensité. Cela se conçoit facilement puisque plus l’intensité est grande en
un point, plus le nombre de photons y est élevé et donc plus grande est la probabilité de trouver
un photon en ce point. De plus, le fait d’additionner les champs électriques au point r venant
de différentes sources, et ensuite de prendre le carré du module du champ total permet de tenir
compte des phénomènes d’interférence. Nous allons maintenant faire quelque chose de semblable
pour l’électron. Nous allons tenter de lui associer une fonction d’onde qui nous permette de prédire
le résultat de l’expérience de diffraction et de bien d’autres.
4.3 La fonction d’onde (r) et son interprétation
4.3.1 Vitesse de phase et vitesse de groupe de l’onde matérielle
L’hypothèse de Louis de Broglie permet d’associer une onde à toute particule matérielle. La
fréquence et la longueur d’onde de cette onde sont données par une généralisation des relations
d’Einstein pour le photon, c’est-à-dire par
~ =
~k = p
(4.4)
96
Chap.4. Concepts fondamentaux de la mécanique quantique
FIGURE 4.2. Construction du patron d’interférence des électrons. Le nombre d’électrons sur l’écran est de
(a) 10 ; (b) 100 ; (c) 3000 ; (d) 20 000 et (e) 70 000. D’après A. Tonomura et al., American Journal of Physics,
57, 117-120 (1989).
§4.3 La fonction d’onde (r) et son interprétation
97
Dans la première relation, est l’énergie totale de la particule. Nous voulons maintenant associer
une fonction d’onde à la particule matérielle. Nous allons expliquer plus tard le sens à donner
à cette fonction. Pour l’instant, admettons que cette onde nous donne une certaine information
sur la présence de la particule en un point de l’espace. Pour simplifier la notation, nous allons
considérer une particule dans un espace à une dimension. Pour la particule libre, c’est-à-dire
pour une particule sur laquelle n’agit aucune force, l’énergie et la quantité de mouvement sont
bien définies et on peut supposer que la fonction d’onde correspondante doit être une onde plane
puisque l’éq.(4.4) prédit que la fréquence et le vecteur d’onde sont reliés.
( ) = (−)
(4.5)
La vitesse de phase de cette onde plane est donnée par
=
=
(4.6)
Par exemple, pour un photon, la relation de dispersion est = et donc la vitesse de phase de
l’onde lumineuse est égale à la vitesse de la lumière, = Pour la particule matérielle, cependant,
l’énergie d’une particule libre vaut
=
~2 2
~2
2
=
⇒=
2
2
2
(4.7)
et la vitesse de phase est
~
=
=
=
(4.8)
2
2
2
où = est la vitesse de la particule6 . Nous arrivons ainsi à la conclusion que la vitesse de
l’onde plane que nous avons associée à notre particule ne correspond pas à la vitesse
réelle de la particule ! Il y a donc un problème à représenter une particule matérielle par une
onde plane.
La représentation par une onde plane donne lieu à un autre problème. Nous avons mentionné
précédemment que l’intensité lumineuse est donnée par ( ) = ( ) où ( ) est le nombre
moyen de photons par unité de temps frappant une unité d’aire. Comme l’intensité ( ) ∝
|E( )|2 le module du champ électrique au carré, on en déduit que ( ) ∝ |E( )|2 La
probabilité de trouver un photon au point , au temps est donc proportionnelle à l’amplitude
du champ électrique au carré7 . Si nous supposons que le même type de relation est valide pour la
fonction d’onde matérielle, ( ) nous trouvons que
=
|( )|2 = 2
(4.9)
Si donc l’amplitude au carré de la fonction d’onde doit être reliée à la probabilité de trouver la
particule en un certain point de l’espace, alors l’onde plane que nous avons considérée nous indique
que la particule peut être trouvée en n’importe quel point de l’espace ! L’onde plane ne nous
donne donc aucune information sur la position de la particule !
6 Dans l’Eq. (4.8), on remarque que la vitesse de phase de l’onde matérielle dépend du vecteur d’onde C’est comme si
on avait affaire à un milieu dispersif. On peut faire une analogie avec la propagation d’une onde lumineuse dans un fluide où
= () () étant l’indice de réfraction qui est dépendant de la fréquence (et donc du vecteur d’onde). La vitesse de
l’onde lumineuse dans le fluide () est dispersive.
7 Il faut faire attention cependant de ne pas identifier le champ électromagnétique E( ) avec la fonction d’onde du photon.
La quantification du rayonnement électromagnétique est un problème complexe qui sera abordé dans un cours plus avancé de
mécanique quantique (niveau maîtrise).
98
Chap.4. Concepts fondamentaux de la mécanique quantique
Mais, il y a pire ! Si |( )|2 doit représenter une densité
de probabilité, alors la somme de
R +∞
tous les événements doit donner l’unité. Plus précisément, −∞ |( )|2 = 1. Cette relation
exprime le fait que la particule doit être trouvée quelque part dans l’espace. Il s’agit de la relation
de normalisation que nous développerons un peu plus tard. Pour l’onde plane
Z +∞
|( )|2 → ∞
(4.10)
−∞
L’onde plane n’est pas normalisable ! On ne peut donc pas représenter une particule par
une onde plane. Nous verrons plus loin qu’en mécanique quantique, il n’existe pas de
particule libre avec une énergie bien définie.
Tous ces problèmes ne doivent cependant pas nous amener à laisser tomber l’onde plane ! Mathématiquement, elle continue à jouer un rôle très important. Voyons pourquoi : essayons de représenter
notre particule en superposant des ondes planes de différentes longueurs d’onde, c’est-à-dire en formant un paquet d’ondes. Considérons la fonction d’onde obtenue en superposant deux fonctions
d’onde planes ayant des vecteurs d’onde et des pulsations très proches :
avec
( ) = 1 ( ) + 2 ( )
(4.11)
∆
∆
1 ( ) = [(0 + 2 )−(0 + 2 )]
∆
∆
2 ( ) = [(0 − 2 )−(0 − 2 )]
(4.12)
L’onde totale est donnée par
h
i
= [0 −0 ] 2 (∆−∆) + − 2 (∆−∆)
¡
¢
∆
−
= 2[0 −0 ] cos ∆
2
¡ 2 ∆ ¢
< [( )] = 2 cos (0 − 0 ) cos ∆
2 − 2
( )
(4.13)
Sa partie réelle est représentée sur la fig. 4.3. Elle est constituée d’une oscillation rapide (longueur
d’onde 0 = 20 ), modulée par une enveloppe variant lentement avec la longueur d’onde
enveloppe =
4
2
=
∆2
∆
(4.14)
L’oscillation rapide se propage à la vitesse de phase = 0 0 Les noeuds de l’enveloppe, eux,
sont aux positions qui satisfont à l’équation
∆
∆
−
= (2 + 1)
2
2
2
c’est-à-dire en
= 0 ±1 ±2
¸
∙
2
∆
= (2 + 1) +
2
2
∆
(4.15)
(4.16)
La modulation (l’enveloppe) se déplace donc à la vitesse de groupe, , donnée par
=
∆
=
∆
(4.17)
Passant à la limite ∆ → 0 ∆ → 0 on obtient
=
(4.18)
99
Partie réelle et à t=0 de la somme des deux ondes
§4.3 La fonction d’onde (r) et son interprétation
enveloppe
-10
-5
0
5
10
x
FIGURE 4.3. Partie réelle de la somme des deux ondes planes à = 0. On a pris ici 0 = 2 et ∆ = 24
de sorte que la périodicité de l’enveloppe représentée par la ligne continue est = 8.
100
Chap.4. Concepts fondamentaux de la mécanique quantique
Comme,
~
=
=
=
(4.19)
on voit que c’est la vitesse de groupe du paquet d’ondes et non la vitesse de phase
qui correspond à la vitesse de la particule matérielle. En sommant des ondes planes, on
peut arriver à représenter une particule par une fonction qui est normalisable. Le paquet d’ondes
ayant un maximum quelque part en la particule a maintenant plus de chance d’être trouvée
dans une certaine région de l’espace plutôt que dans une autre. Le paquet d’ondes nous donne de
l’information sur la position de la particule contrairement à l’onde plane.
=
4.3.2 Représentation de la particule par un paquet d’ondes
Nous savons par l’analyse de Fourier que toute fonction périodique réelle, telle que ( + ) =
() peut être développée sur les fonctions sinus et cosinus8 selon la formule
() =
∞
∞
X
0 X
+
cos( ) +
sin( )
2
=1
=1
(4.20)
où les coefficients et sont donnés par9
2
2
=
=
R +2
R−2
+2
−2
0 (0 ) cos( 0 )
0 (0 ) sin( 0 )
(4.22)
avec = 2 Par exemple, la fonction périodique représentée sur la fig. 4.4 est donnée par
() = 06 + cos () + 075 cos (2) + 05 cos (3) + 025 cos (4) + 01 cos (5)
(4.23)
Nous pouvons donc définir complètement la fonction () en termes des coefficients et . La
même décomposition peut être faite pour une fonction périodique dans le temps. Il suffit alors de
remplacer par et les par les pulsations = 2 où est la période de la fonction ()
L’avantage de cette décomposition en séries de Fourier est qu’il est bien plus facile de travailler
avec les fonctions sinus et cosinus qu’avec les fonctions () ou ().
Il est évident de l’éq. (4.20) que la fonction obtenue en superposant une série d’ondes planes avec
des vecteurs d’onde = 2 est toujours périodique. De notre exemple de superposition de
deux ondes planes, nous voyons que enveloppe ∼ 2∆min où ∆min est la plus petite différence
entre les vecteurs d’ondes de la série. Il est clair que si nous voulons obtenir la représentation d’une
particule matérielle, nous devons faire en sorte que la fonction () ne se répète pas c’est-à-dire
qu’elle soit localisée dans l’espace. Il faut donc prendre ∆min → 0 soit combiner des vecteurs
d’onde infiniment proches ce qui revient à passer à l’intégrale.
8 Sous
9 Les
réserve de certaines conditions de continuité et d’analyticité.
relations d’orthonormalisation suivantes sont particulièrement utiles pour obtenir ce résulat :
1
1
+
−
+
−
cos () cos ()
=
sin () sin ()
=
(4.21)
§4.3 La fonction d’onde (r) et son interprétation
101
4.0
3.5
3.0
f(x)
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
-10
-5
0
5
10
4
6
8
x
a(n)
1.0
0.5
0.0
0
2
n
FIGURE 4.4. Fonction () donnée par l’éq. (4.23). On a choisi 2 = 1. La figure du bas donne les
coefficients de la série de Fourier (en cosinus) correspondante.
102
Chap.4. Concepts fondamentaux de la mécanique quantique
Pour passer à l’intégrale de Fourier, nous utilisons maintenant la notation complexe. Nous écrivons pour une fonction périodique de période ,
() =
=+∞
X
=−∞
1
←→ =
Z
+2
0
0 (0 )−
(4.24)
−2
où est maintenant un coefficient complexe. Cette formule est beaucoup plus générale que celle
de l’éq. (4.20) car elle nous permet de développer en série de Fourier une fonction () complexe.
Si () est réelle, on peut retrouver le résultat de l’éq. (4.20) en prenant = 12 ( − ) et
( )∗ = − En insérant la définition des dans () nous obtenons
() =
=+∞
X
=−∞
"
1
Z
+2
0
#
(4.25)
0
#
(4.26)
− 0
0
( )
−2
Comme ∆ = 2 ⇒ 1 = ∆ 2 de sorte que
() =
=+∞
X
=−∞
Lorsque → ∞ ∆ →
P
() =
Z
∆
2
"Z
+2
0 (0 )−
−2
R
→ et donc
+∞
−∞
∙
¸
Z +∞
1
0
0 −0
√
√
( )
2
2 −∞
(4.27)
que nous définissons comme
Z
() =
+∞
−∞
√ () ←→ () =
2
Z
+∞
−∞
0
0
√
(0 )−
2
(4.28)
On dit que la fonction () est la transformée de Fourier de la fonction () alors que
la fonction () est la transformée de Fourier de la fonction () Notez le changement de
signe de l’exponentielle complexe dans ces deux fonctions.
Pour une fonction dans l’espace à trois dimensions, on généralise facilement la transformée de
Fourier à10
Z
Z
3 k
3 r0
0
k·r
(r) =
(k)
←→
(k)
=
(r0 )−k·r
(4.29)
32
32
(2)
(2)
Finalement, pour une fonction du temps
() =
Z
+∞
−∞
1 0 Nous
utilisons la notation :
√
() ←→ () =
2
3 k ( ) =
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
Z
+∞
−∞
0
0
√
(0 )−
2
( ) et de façon similaire pour
(4.30)
r ( )
§4.4 Exemples de paquets d’ondes
103
¥ Quelques propriétés de la transformée de Fourier. Si () est la transformée de Fourier
de () soit () = F [ ()]
h
i
( − 0 ) = F 0 ()
−0 () = F [ ( − 0 )]
µ ¶
1
F [ ()] =
||
h
i
F () () = () ()
() () = F [(−) ()]
∗
() = (−) si la fonction () est réelle.
(4.31)
(4.32)
(4.33)
(4.34)
(4.35)
(4.36)
R +∞
On a également que, si () = −∞ 2 ( − ) 1 () alors la transformée de Fourier de ce
produit de convolution est donnée par
F [ ()] =
√
22 () 1 ()
(4.37)
4.4 Exemples de paquets d’ondes
Pour fixer les idées, considérons deux exemples simples de paquets d’ondes.
4.4.1 Onde plane tronquée
Considérons une fonction représentée par l’onde plane tronquée définie par
() =
½
0 si − ≤ ≤
0
si ||
(4.38)
et représentée sur la fig 4.5.
Cette onde tronquée peut être obtenue par superposition d’une infinité d’ondes planes. Calculons
sa transformée de Fourier
Z +
2 sin [( − 0 ) ]
√ −(−0 ) = √
(4.39)
() =
2
2 ( − 0 )
−
Cette fonction est représentée sur la fig. 4.5. C’est une fonction centrée autour de = 0 et ayant
une certaine largeur. Si on définit la demi-largeur de la fonction () comme étant ∆ = et la
demi-largeur de sa transformée de Fourier comme étant la distance du maximum central au premier
zéro soit ∆ = , on trouve que
∆∆ =
(4.40)
Ce type de relation est une propriété des transformées de Fourier. Si on voulait construire un
paquet d’ondes plus localisé dans l’espace, ∆ serait plus petit, mais ∆ plus grand car il nous
faudrait combiner beaucoup plus d’ondes planes pour y arriver. La largeur de la fonction () est
inversement proportionnelle à celle de la fonction () Notez aussi que le produit ∆∆ ne dépend
pas de la largeur de notre fonction () initiale.
104
Chap.4. Concepts fondamentaux de la mécanique quantique
2.0
2X
1.5
f(X)
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-1.5
-2
-1
0
1
2
X=x/a
2.0
2K
1/2
g(K)/(2a/(2) )
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.5
-2
-1
0
1
2
3
4
K=k/(2/a)
FIGURE 4.5. Fonction () d’une one plane tronquée et sa transformée de Fourier (). On a pris
0 = 0 (2) = 1.
§4.4 Exemples de paquets d’ondes
105
4.4.2 Paquet d’ondes gaussien
Considérons maintenant une fonction d’onde d’enveloppe gaussienne telle que
2 2 2
() = 0 −(−0 )
(4.41)
Cette fonction représente une onde plane de vecteur d’onde 0 laquelle est modulée par une
enveloppe gaussienne centrée en = 0 . Elle est représentée sur la fig. 4.6. Pour cette figure, on a
utilisé = et = (2) de sorte que
2 2
() = 20 −(−0 )
(4.42)
Il est naturel de prendre comme demi-largeur de cette fonction ∆ = car en = 0 + , la
1.5
2X
1.0
f(X)
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-2
-1
0
1
2
X=x/
1.5
2K
g(K)/A
1.0
0.5
0.0
1
2
3
4
5
6
7
K=k
FIGURE 4.6. Partie réelle de la fonction d’onde () (ligne pleine avec = 1) de l’éq. (4.42) et sa transformée de Fourier donnée par l’éq. (4.49). On a pris 0 = 4 et 0 = 0
√
fonction () est tombée à 1 = 0606 53 de son amplitude maximale, La transformée de
Fourier de () est
Z +∞
Z +∞
−
2
2
√
√
−(−0 ) −(−0 ) 2
() =
(4.43)
() =
2
2
−∞
−∞
106
Chap.4. Concepts fondamentaux de la mécanique quantique
Pour calculer plus simplement cette expression, écrivons
Z +∞
− −(−0 )2 22
√
( + 0 ) =
2
−∞
puis prenons → + 0
( + 0 ) = −0
∙Z
+∞
−∞
¸
− −2 22
√
2
(4.44)
(4.45)
L’intégrale entre parenthèses carrées n’est que la transformée de Fourier d’une fonction gaussienne,
Z +∞
− −2 22
2 2
√
= − 2
(4.46)
2
−∞
qui est elle-même une fonction gaussienne, comme on le sait. Nous avons donc
( + 0 ) = −
soit finalement
2 2 2
−0
(4.47)
−(−0 )0
(4.48)
−2(−0 )0
(4.49)
2 2 2
() = −(−0 )
ou
() = −2
2 (− )2
0
Cette fonction représente une onde plane modulée par un paquet d’ondes gaussien centré en = 0
En définissant la largeur de la fonction () de la même façon que pour () on obtient
∆ = 1
(4.50)
∆∆ = 1
(4.51)
et donc
Le produit ∆∆ est encore une fois indépendant de la largeur de notre fonction de départ.
∆ = 1 de sorte que plus on localise le paquet d’ondes dans l’espace plus la paquet d’ondes
en s’élargit.
Comme nous l’avons écrit auparavant, la relation ∆∆ = cte est une propriété des transformées
de Fourier. On peut montrer que, peu importe la fonction () on a toujours
∆∆ ≥ 1
(4.52)
La borne minimale ∆∆ = 1 est atteinte par la fonction gaussienne. Nous verrons un peu plus
loin dans ce chapitre que cette propriété des transformées de Fourier est à la base du principe
d’indétermination d’Heisenberg.
4.5 Étalement d’un paquet d’ondes dans le temps
Maintenant que nous savons comment construire un paquet d’ondes dans l’espace, nous pouvons examiner sa propagation dans le temps. Considérons encore une fois une particule libre dont
l’énergie, entièrement cinétique, est donnée par = ~2 2 2. Pour simplifier, nous nous limitons
à un paquet d’ondes gaussien en une dimension, c’est-à-dire que nous considérons un superposition
d’ondes planes . Au temps = 0 nous prenons
§4.5 Étalement d’un paquet d’ondes dans le temps
( = 0) =
Z
+∞
−∞
107
2
2
√ − (−0 ) 2
2
(4.53)
Puisque la particule est libre, chaque onde doit osciller à la fréquence () = ~ 2 2 Pour
obtenir le paquet d’ondes au temps il suffit donc de multiplier chaque onde plane par le facteur
exp [−()]
Z +∞
2
2
√ − (−0 ) 2 (−())
(4.54)
( ) =
2
−∞
soit
( ) =
Z
+∞
−∞
2
2
2
√ − (−0 ) 2 (−~ 2)
2
(4.55)
Notez que nous avons centré le paquet d’ondes autour du vecteur d’onde 0 . Cela revient à dire
que l’onde plane avec le vecteur d’onde 0 a la plus grande amplitude dans notre paquet d’ondes.
Les ondes avec un plus petit ou plus grand que 0 sont aussi contenues dans ( ) mais elles
ont moins de poids. Pour simplifier l’intégrale, faisons le changement de variable11
→ 0 +
de sorte que
( ) =
Z
+∞
−∞
(4.56)
2
~ 0
~ 0
~ 2
2 2
√ − 2 0 +− 2 − − 2
2
(4.57)
Et en regroupant les termes dans l’intégrand,
Z
+∞
− 2 + ~ 2 − ~ 0
√ 2 2
(4.58)
( ) =
2
−∞
´i
h ³
L’intégrand contient le terme oscillant exp − ~0 Lorsque = ~0 ce terme vaut
1 et l’intégrale est maximale puisque les différentes hcontributions
´is’additionnent en phase. Au
³
~0
contraire, si s’éloigne trop de ~0 le terme exp −
oscille rapidement avec et
l’intégrale diminue rapidement. Il est donc clair que ( ) est maximale lorsque
0 −
2
~ 0
2
max =
~0
=
(4.59)
Cette simple observation nous indique que le maximum du paquet d’ondes ( ) se déplace à la
vitesse de groupe = ~0 qui est aussi la vitesse de la particule matérielle. Pour voir comment
la forme du paquet d’ondes change dans le temps, nous devons faire l’intégrale dans l’éq. (4.58). À
cette fin, nous définissons
2
~
= 2³ + 2
´
(4.60)
−
= 2
de sorte que
( ) = 0 −
2
~ 0
2
Z
+∞
−∞
1 1 Ne
2
√ −( −2)
2
pas confondre utilisé ici avec la quantité de mouvement de la particule.
(4.61)
108
Chap.4. Concepts fondamentaux de la mécanique quantique
En complétant le carré,
0 −
( ) =
2
~ 0
2
2
Z
+∞
−∞
2
√ −(−)
2
(4.62)
Comme < [] = 2 2 0 cette intégrale converge. étant est un nombre complexe, nous pouvons
l’écrire sous la forme
r
4 ~2 2
+
(4.63)
= || =
4
42
où la phase de est donnée par
tan =
~
2
2
2
=
~
2
L’intégrale dans l’éq. (4.62) peut être faite explicitement ou trouvée dans une table. La solution
est
⎡
¢⎤
¶¸
∙ µ
2¡
~
( − ) 1 − 2
1
}02
⎦
⎣
³
´
( ) = ³
−
(4.64)
exp 0 −
´14 exp −
2 2
2
2 2
2 2 1 + ~ 24
1 + ~ 2 4
L’enveloppe du paquet d’ondes est donnée par l’enveloppe de la partie réelle de la gaussienne
dans l’éq. (4.64),
⎤
⎡
2
( − )
2
³
´⎦
(4.65)
( ) |enveloppe ∼ ³
´14 exp ⎣−
2 1 + ~ 2 2
~2 2
2
1 + 2 4
2 4
Cette expression représente un paquet d’ondes se propageant à la vitesse (vitesse de la particule),
dont la largeur est une fonction du temps. Si nous prenons encore une fois ∆, la demi-largeur,
√
comme étant définie par la position à laquelle la fonction tombe à 1 de son amplitude maximale,
nous voyons facilement que
r
~2 2
(4.66)
∆() = ∆(0) 1 + 2 4
Ainsi, la largeur de la fonction, qui est ∆(0) = au temps = 0 augmente continuellement avec le temps ! (Notez que si la masse est très grande, comme dans le cas d’un objet
macroscopique, l’élargissement du paquet d’ondes est presque nul.)
¥ Exemples d’élargissement du paquet d’ondes :
(a) Supposons qu’à = 0, un électron libre dans l’espace soit concentré dans un volume de
l’ordre de grandeur de la taille d’un atome soit ∆(0) ' 10−8 cm. Au bout d’une seconde,
l’éq. (4.66) nous indique que la taille de l’électron serait d’environ 1000 km ! La fonction
d’onde a donc littéralement explosée. Ceci doit en réalité s’interpréter comme le fait que
1 seconde est un temps extrêmement long à l’échelle atomique et qu’un électron libre aussi
bien localisé à = 0 met un temps beaucoup plus court à avoir une probabilité de présence
appréciable à des distances de l’ordre de grandeur des distances atomiques, et même à des
distances macroscopiques (comme la taille d’un cristal).
(b) Inversement, supposons que l’on ait une masse de 10−3 g ( 1 mm 3 d’eau) localisée dans
un volume de 10−9 m 3 à = 0 ( ∆(0) ' 10−3 m). La même formule nous donne que le
paquet d’ondes associé à cette masse aura doublé en environ 1015 années ! Ceci nous montre
que nous pouvons négliger en toute quiétude les effets quantiques lorsqu’on considère des
objets macroscopiques.
§4.6 Interprétation probabiliste de la fonction d’onde ( )
109
Il est clair d’après ce calcul que nous ne pouvons pas égaler particule et paquet d’ondes. Autrement dit, la particule n’est pas seulement un paquet d’ondes ayant une certaine
extension dans l’espace car si cela était le cas, sa taille augmenterait continûment lors de sa
propagation. Bien sûr, une telle inflation de la particule n’est pas observée dans la réalité. Au
contraire, une particule reste toujours localisée en se déplaçant. Nous devons donc abandonner
l’idée d’une relation simple entre onde de matière et particule et chercher une correspondance plus
subtile.
4.6 Interprétation probabiliste de la fonction d’onde ( )
En 1926, Schrödinger avait déjà publié quelques articles sur la mécanique ondulatoire. Dans un
de ces articles, il présente sa fameuse équation d’onde pour ( ). Si Schrödinger n’avait publié
que son équation d’onde, elle serait peut-être passé inaperçue. Mais, heureusement, il appliqua
son formalisme au problème de l’atome d’hydrogène et montra comment les nombres quantiques
introduits par Bohr peuvent apparaître tout naturellement.
La solution de Schrödinger fut saluée comme un triomphe ! Cependant, bien que sa théorie
explique les obscures règles de quantification de Bohr, elle ne fait que changer le problème de
place. C’est-à-dire que pour comprendre réellement l’atome, il nous faut maintenant comprendre
ce qu’est la fonction d’onde ! Schrödinger était convaincu que la réalité sous-jacente à la mécanique
quantique était ondulatoire et que la fonction d’onde représentait un vibration d’un champ électromagnétique. Pour lui, l’électron était une perturbation de ce champ électromagnétique et son
caractère particulaire pouvait s’expliquer comme un paquet d’ondes dans ce champ. Le mouvement
du paquet d’ondes devait alors représenter le mouvement de la particule dans l’espace. La dualité
onde-corpuscule disparaissait donc au profit d’une interprétation purement ondulatoire.
C’est Hendrick Lorentz12 qui signala à Schrödinger qu’une telle interprétation n’était pas tenable. Le paquet d’ondes, comme nous l’avons vu plus haut, se disperse lors de sa propagation et
ne peut donc pas représenter une particule réelle. Max Born, en 1926, proposa l’explication adoptée
aujourd’hui pour la fonction d’onde. Il n’aimait pas l’interprétation de Schrödinger et fut influencé
par une suggestion faite par Einstein selon laquelle, pour les photons, le champ électromagnétique
agit comme une espèce de champ fantôme qui guide les particules lors de leur propagation et permet de calculer les effets d’interférence et de diffraction. Born pensa donc que le module carré de
l’amplitude du champ électromagnétique était proportionnel à la probabilité de trouver la particule
photon dans une certaine région de l’espace. Évidemment, un tel raisonnement n’est pas nouveau
en soi. Nous avons déjà indiqué que, comme le nombre de photons en un certain point est proportionnel à l’intensité lumineuse en ce point (intensité qui est donnée par le module carré du champ
électrique), il est naturel de considérer que la probabilité de trouver le photon en un certain point
doit aller comme le module carré de l’amplitude. Cependant, le grand changement apporté
par Born est de refuser de considérer la fonction d’onde comme un élément de la
réalité. Pour Born, est un outil de calcul.
¥ Interprétation de Born de la fonction d’onde. La fonction d’onde n’est pas réelle au
sens où une onde sur l’eau est réelle. Elle est plutôt un outil de calcul nous permettant de
faire certaines prédictions quant aux résultats qu’il est possible d’obtenir lors d’une mesure
sur un système physique. Elle peut donc sans problème être une fonction complexe. Puisque
1 2 Hendrick
Antoon Lorentz, physicien néerlandais (1853-1928). Prix Nobel 1902.
110
Chap.4. Concepts fondamentaux de la mécanique quantique
la probabilité de trouver la particule en un certain point de l’espace doit être réelle, Born
postule que, pour la particule matérielle13 , la probabilité de trouver une particule dans une
région de l’espace comprise entre et + lors d’une mesure de la position, est donnée par
( ) ≡ |( )|2
La fonction |( )|2 est donc une densité de probabilité dans l’espace des positions (une probabilité par unité de longueur en une dimension ou par unité de volume en trois dimensions).
Remarquez que la particule matérielle n’est ni émise, ni absorbée contrairement au photon. Cela
implique que la probabilité totale de trouver la particule dans tout l’espace doit être égale à 1 et le
demeurer en tout temps. Évidemment, en mécanique quantique relativiste, cette condition ne tient
plus puisqu’une particule peut se transformer en énergie et vice-versa. Nous devons donc imposer
sur ( ) la condition de normalisation.
¥ Normalisation de la fonction d’onde :
Z +∞
|( )|2 = 1
(4.67)
−∞
Il n’est pas inutile, sans doute, de préciser ce qu’on entend par densité de probabilité. Faisonsle avec un exemple. Supposons qu’un pièce contienne personnes dont () sont d’âge où
est restreint à une valeur entière d’années (on arrondit l’âge des personnes). Le nombre total de
personnes dans la pièce est évidemment
X
()
(4.68)
=
La probabilité qu’une personne choisit au hasard ait l’âge est donnée par
() =
()
(4.69)
La somme des probabilités doit donner 1 puisqu’une personne a nécessairement un certain âge. On
a donc
X
() = 1
(4.70)
L’âge moyen des personnes est donnée par
=
X
()
(4.71)
Pour avoir une idée de la distribution des âge, c’est-à-dire de la largeur de la fonction de probabilité
(), on calcule la variance
X
(∆)2 =
(∆)2 ()
(4.72)
où ∆ = − est l’écart à la moyenne. La racine carée de la variance est appelé écart quadratique
moyen ou déviation standard.
1 3 Le
cas du photon est différent et sera abordé dans un cours plus avancé de mécanique quantique.
¯
¯2
§4.7 Définition de la densité de probabilité ¯()¯
111
Dans cet exemple, est une variable discrète. En mécanique quantique, nous avons besoin de
considérer une fonction de probabilité pour une variable continue comme la position ou la quantité
de mouvement. Cependant, si on pose la question : qu’elle est la probabilité qu’une particule soit
à la position = 100009 m, on obtiendra la réponse zéro ! La seule question sensée à poser est :
qu’elle est la probabilité que la particule se trouve entre les positions 1 et 2 . Si l’intervalle entre
1 et 2 est suffisamment petit, la probabilité sera proportionnelle à la grandeur de cet intervalle.
Pour un intervalle infinitésimal , nous pouvons donc écrire que la probabilité que la particule
soit trouvée entre et + est donnée par () . () représente donc une densité de
probabilité. Pour une variable continue, la somme des probabilités devient l’intégrale sur la densité
de probabilité et l’éq. (4.70) devient l’équation de normalisation (4.67). En mécanique quantique,
( ) = |( )|2 On appelle ( ) une amplitude de probabilité.
¯
¯2
4.7 Définition de la densité de probabilité ¯()¯
Considérons la transformée de Fourier, que nous noterons ( ) de la fonction d’onde ( )
Z +∞
√
( )−
( ) =
(4.73)
2
−∞
Il est raisonnable de supposer, par analogie avec la définition probabiliste que nous avons adoptée
¯2
¯
pour ( ) que ( ) ≡ ¯( )¯ représente la probabilité de trouver la particule avec un
¯2
¯
certain vecteur d’onde compris entre et + au temps c’est-à-dire que ¯( )¯ puisse être
considérée comme une densité de probabilité dans l’espace des Tout comme la position exacte de
la particule ne peut être connue, mais seulement la probabilité que la particule soit trouvée en un
certain point de l’espace, il en va de même pour sa quantité de mouvement = ~ Elle non plus
ne peut être connue de façon exacte. Dans un série d’expériences avec des systèmes identiques, il y
aura une distribution des valeurs mesurées pour la quantité de mouvement, de même qu’il y aura
une distribution des valeurs mesurées pour la position.
Pour saisir le bien fondé de notre définition de ( ) nous pouvons considérer à nouveau
l’expérience de diffraction des ondes matérielles par Davisson et Germer. Dans cette expérience,
un faisceau d’ondes électroniques est dirigé sur un cristal et ensuite diffracté. Si le faisceau arrive à
incidence normale sur le cristal, des ondes diffractées apparaissent pour des angles de diffraction,
qui satisfont à la relation de Bragg, c’est-à-dire pour sin = 2 (où est la séparation entre deux
plans adjacents. Il y a évidemment plusieurs valeurs possibles pour ainsi que pour = 1 2 3
donc plusieurs angles de diffraction pour une longueur d’onde donnée.)
Pour simplifier la discussion, considérons une seule famille de plans (une seule valeur de ) et
un seul ordre de diffraction ( = 1) de sorte qu’à chaque longueur d’onde soit associé seulement
un pic de diffraction. Considérons maintenant que l’électron incident est représenté par un paquet
d’ondes, au lieu d’une onde plane. À chaque composante de Fourier dans le paquet d’ondes (à
chaque valeur de ) est associé un angle de diffraction différent. Sur un écran, l’intensité de la
composante diffusée en est proportionnelle au carré de l’amplitude de l’onde diffusée. Comme
Z +∞
√
( )
(4.74)
( ) =
2
−∞
l’amplitude de chaque composante dans le paquet d’ondes est ( ), l’intensité de chaque onde
¯
¯2
diffusée sera proportionnelle à ¯( )¯ En mécanique quantique, cependant, le paquet d’ondes ne
112
Chap.4. Concepts fondamentaux de la mécanique quantique
contient qu’un électron et après le passage du paquet d’ondes dans le cristal, nous savons que nous
n’observerons sur l’écran qu’un seul point (et non un patron de diffraction). La probabilité que
¯
¯2
nous observions l’électron à un angle doit être proportionnelle à l’intensité et donc à ¯( )¯
¯2
¯
Comme la valeur absolue de ne change pas sous diffraction, nous pouvons conclure que ¯( )¯
est proportionnelle à la probabilité de trouver l’électron avec un certain vecteur d’onde (une certaine
quantité de mouvement) dans le paquet d’ondes incident.
Remarquez qu’après le passage à travers le cristal (c’est-à-dire après la mesure), la forme du
paquet d’ondes est irrémédiablement changée. De paquet d’ondes, elle passe à une onde plane (une
seule composante de Fourier). Nous avons là encore une fois une manifestation du phénomène de
réduction du paquet d’ondes. L’acte de mesure change l’état d’un système et donc la fonction
d’onde qui le représente. De plus, si ( ) est connue en tout point de l’espace, ( ) l’est
également. Une seule fonction détermine la probabilité d’une mesure de la position et de la quantité
de mouvement. Ces deux mesures sont intimement liées. Plus tard, nous montrerons que ( )
détermine en fait toutes les mesures susceptibles d’être faites sur un système. Comme = ~ nous
pouvons écrire :
¥ Interprétation de ( ) : la probabilité ( ) de trouver la particule avec une quantité
¯
¯2
de mouvement entre et + est ( ) = ¯ ( )¯ où14
Z +∞
√
( ) =
(4.75)
( )−~
2~
−∞
En effet, nous devons avoir que la probabilité totale de trouver la particule avec une certaine
quantité de mouvement est l’unité, c’est-à-dire que
Z +∞
¯
¯2
¯ ( )¯ = 1
(4.76)
−∞
Vérifions que cette condition est satisfaite (nous supprimons ici l’indice pour alléger la notation) :
¯
¯2
R +∞
R +∞
∗
¯
¯ =
h () ()
−∞ ()
i hR
i
R−∞
R
+∞
+∞
+∞ 0
∗
~
0 )−0 ~
√
= −∞ −∞ √
()
(
−∞
2~
2~
i
hR
R +∞ R +∞
+∞ (−0 )~
∗
0
0
(4.77)
= −∞ −∞ ()( ) −∞ 2~
R +∞ R +∞
= −∞ −∞ 0 ∗ ()(0 )( − 0 )
R +∞
= −∞ |()|2
1 4 Puisque
( )
=
+∞
−∞
=
=
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
=
−∞
√
( )
2
( )
√
√
2}
}
√
( )
2}
√
( )}
2}
¯
¯2
§4.7 Définition de la densité de probabilité ¯()¯
113
Ainsi, si () est normalisée, () l’est automatiquement avec notre définition donnée par
l’éq. (4.75). L’éq. (4.77) est un cas particulier de l’égalité de Bessel-Parseval :
Z +∞
Z +∞
∗
1 () 2 () =
1∗ () 2 ()
(4.78)
−∞
−∞
où 1 et 2 sont les transformées de Fourier de 1 et 2 . Notez que dans l’éq. (4.77), nous avons
utilisé le delta de Dirac. La transformation inverse est donnée par
Z +∞
√
( ) =
( )~
(4.79)
2~
−∞
¥ Delta de Dirac. Puisque nous utiliserons souvent la “fonction15 ” delta, il vaut la peine de
rappeler certaines de ses propriétés16 . La fonction delta de Dirac est la fonction qui satisfait
() = 0 pour 6= 0 et
Z +∞
Z +∞
() = 1
et
()() = ( = 0)
(4.80)
−∞
−∞
de même
Z
+∞
−∞
Z
()( − 0 ) = (0 )
0
()( − ) =
½
(4.81)
(0 ) si 0 ∈ [ ]
0
autrement
(4.82)
On peut donner plusieurs représentations de la fonction Delta. Nous utiliserons fréquemment
les représentations suivantes
R +∞ (−0 ) R +∞ (−0 )~
= −∞ 2~
( − 0 ) = −∞ 2
R +∞ (−0 )
0
(4.83)
( − ) = −∞ 2
R +∞ (−0 )~
0
( − ) = −∞ 2~
En trois dimensions (r) =
R
3 k
(k)k·r
(2)32
←→ (k) =
R
3 r0
(2)32
0
(r0 )−k·r
(r − r0 ) = ( − 0 )( − 0 )( − 0 )
Z
3 k k·(r−r0 )
0
(r − r ) =
(2)3
Z
3 r −(k−k0 )·r
0
(k − k ) =
(2)3
Pour prouver l’éq. (4.83), on peut procéder de la façon suivante :
Z +∞
Z +∞
√ ()
√ − ()
() =
et
() =
2
2
−∞
−∞
(4.84)
(4.85)
(4.86)
(4.87)
1 5 Notez que le delta de Dirac n’est pas une fonction mais on a parfois l’habitude (tout au moins en physique !) de faire cet
abus de langage.
1 6 Pour un excellent rappel de la transformée de Fourier ainsi que de la fonction delta, voir les appendices I et II à la fin du
tome II du livre Mécanique Quantique de C. Cohen-Tannoudji, B.Diu et F. Laloë.
114
Chap.4. Concepts fondamentaux de la mécanique quantique
En remplaçant () dans la première équation, par sa définition, nous avons
R +∞
() = −∞ √
()
2
hR
i
R +∞
0
0
+∞
= −∞ √2 −∞ √2 − (0 )
R +∞
R +∞ (−0 )
= −∞ 0 (0 ) −∞ 2
R +∞ 0
0
0
= −∞ ( )( − )
R +∞ (−0 )
0
⇒ ( − ) = −∞ 2
(4.88)
On peut procéder de la même façon pour ( − 0 )
¥ Quelques propriétés du delta de Dirac. On a
Z
+∞
−∞
() = (−)
1
()
() =
||
() = 0
(4.90)
( − 0 ) = 0 ( − 0 )
(4.92)
() ( − 0 ) = (0 ) ( − 0 )
( − ) ( − ) = ( − )
(4.89)
(4.91)
(4.93)
(4.94)
¥ Fonction saut (ou fonction de Heaviside). On utilisera souvent la “fonction” saut qui
est définie par
½
0 si 0
Θ () =
(4.95)
1
≥ 0
Cette fonction est reliée au delta de Dirac par
Θ () = () ­ Θ () =
Z
−∞
¡ ¢
0 0
(4.96)
4.8 Le concept d’état quantique et la phase de la fonction d’onde
Nous avons donné à la fonction d’onde une interprétation probabiliste et postulé qu’elle contient
toute l’information qu’il nous est possible de connaître sur un système physique. De plus, nous avons
expliqué que les propriétés physiques d’un système (position, quantité de mouvement, spin, etc),
n’existent pas dans un état bien défini. Ces propriétés doivent être vues comme des potentialités
du systèmes. La fonction d’onde associe à chacune de ces potentialités une certaine probabilité. Le
sens de la notion de probabilité est que lorsque le système interagit avec un appareil de mesure,
il y a une certaine probabilité pour que l’on mesure une de ces potentialités plutôt qu’une autre.
Par exemple, si on sait qu’un système ne peut avoir que trois couleurs, rouge, bleue ou jaune, et
que la probabilité associée à chacune de ces couleurs est 13 alors lorsque nous faisons une mesure
de la couleur sur un ensemble de systèmes, nous trouvons après un grand nombre de mesures, que
les trois couleurs apparaissent également. Cependant, il serait faux de dire qu’un système qui s’est
révélé de couleur rouge lors de la mesure était effectivement rouge avant la mesure. En mécanique
quantique, la couleur serait indéterminée avant la mesure c’est-à-dire que le système n’aurait pas
une couleur définie.
En physique classique, il est possible de mettre deux systèmes physiques dans le même état en
s’assurant que ces deux systèmes ont exactement les mêmes valeurs des variables physiques qui
§4.9 La fréquence de l’onde
115
les décrivent. Les deux systèmes évoluent alors de la même façon dans le temps. En mécanique
quantique, il est impossible de définir exactement et simultanément toutes les variables physiques
d’un système (par exemple, on ne peut pas déterminer simultanément la position et la quantité de
mouvement du système comme nous le verrons dans ce chapitre) et donc il est impossible de faire
en sorte que deux systèmes physiques se comportent exactement de la même façon dans tous les
processus ultérieurs auxquels ils seront soumis. Le mieux que l’on puisse faire est d’ajuster
les deux systèmes pour qu’ils aient la même probabilité de développer leurs diverses
potentialités. Pour arriver à cela, nous devons considérer deux systèmes ayant la même fonction
d’onde ou des fonctions
différents par un facteur de phase constant, par exemple et
¯ d’onde
¯2
2
¯
¯
donnent la même probabilité ( )). Lorsque cette condition est
(en effet || et
atteinte, on dit que les deux systèmes sont dans le même état quantique car il nous est impossible
de les distinguer physiquement l’un de l’autre. La fonction d’onde n’est ainsi définie qu’à un
facteur de phase près.
Nous avons associé le concept d’état quantique à un système individuel (une particule, par
exemple)17 bien que la fonction d’onde ne détermine pas le résultat d’une mesure sur un système
individuel. Rappelez-vous l’expérience des fentes de Young. Il n’y a aucun moyen de savoir où
un électron en particulier va frapper l’écran même si nous connaissons la fonction d’onde de cet
électron. C’est seulement après l’arrivée d’un grand nombre d’électrons qu’on obtient un patron
statistique de positions qui est caractéristique de la fonction d’onde. Ainsi, même si la fonction
d’onde est associée à un électron, c’est seulement après une mesure sur un ensemble de systèmes,
tous dans le même état quantique, qu’on discerne la nature ondulatoire de la matière.
L’équation de Schrödinger contient une dérivée première dans le temps de sorte que si la fonction
d’onde est connue au temps 0 il est possible de la déterminer complètement à tout instant ultérieur.
La fonction d’onde, et donc la probabilité, évoluent de façon tout à fait déterministe.
Pour citer Born : le mouvement d’une particule est un processus aléatoire, mais la probabilité
elle-même se propage selon les lois de la causalité. Une autre façon de dire la même chose est de
noter qu’en mécanique classique, une connaissance de l’état du système au temps nous permet
de prédire son comportement ultérieur. En mécanique quantique, le principe d’indétermination,
comme nous le verrons, nous empêche de connaître exactement le système au temps il nous est
donc impossible de prévoir avec certitude son comportement ultérieur.
4.9 La fréquence de l’onde
Nous montrerons au chapitre suivant que lorsque le potentiel ne dépend pas du temps, il est
possible de trouver des états stationnaires (solutions de l’équation de Schrödinger) de la forme
Ψ ( ) = () − où } = représente les différentes énergies possibles de l’électron
dans le potentiel (les états liés). Il est important de remarquer que les fréquences sont, en principe, inobservables expérimentalement. Seules les différences de fréquence (ou d’énergie) −
correspondant à des transitions entre états quantiques sont des quantités observables. Ce résultat quantique est relié au fait qu’en mécanique classique, le zéro d’énergie est arbitraire. On peut
le choisir à notre gré. En mécanique quantique comme en mécanique classique, le choix du zéro
d’énergie n’apparaît jamais dans les quantités physiques mesurables.
Pour le champ électromagnétique, au contraire, la fréquence absolue est une quantité mesurable
physiquement. La fonction d’onde quantique Ψ ( ) se comporte donc très différemment des
1 7 Cette
position est controversée.
116
Chap.4. Concepts fondamentaux de la mécanique quantique
champs classiques à cet égard. Il faut donc faire attention lorsqu’on établit des analogies entre la
fonction d’onde et le champ électromagnétique.
4.10 Principe d’indétermination d’Heisenberg
Dans cette section, nous introduisons le principe d’indétermination d’Heisenberg et discutons
de son interprétation. Une fois vu le formalisme mathématique de la théorie au prochain chapitre,
nous pourrons en donner un énoncé plus mathématique. Le principe d’indétermination est aussi,
et le plus souvent, appelé Principe d’incertitude d’Heisenberg. Nous utiliserons les deux noms.
Indétermination, toutefois, est plus juste que Incertitude comme vous le comprendrez à la lecture
de cette section.
Rappelons tout d’abord ceci : nous avons montré que, pour décrire le monde microscopique, nous
devons abandonner la notion de trajectoire d’une particule. Il semble en effet que le comportement
individuel d’une particule microscopique comme l’électron soit imprévisible. Nous avons cependant
constaté que lorsqu’une mesure est faite sur un très grand nombre d’électrons, le comportement
ondulatoire de l’électron est manifeste. Pour expliquer ce phénomène, nous avons associé à chaque
électron une fonction d’onde () Cette onde est diffractée lors de son passage à travers les fentes
et tout ce que nous pouvons dire de l’électron c’est qu’il aura une probabilité |()|2 de frapper
l’écran entre et + Nous ne pouvons faire que des prédictions de type probabiliste
sur le comportement de l’électron ou d’une particule en général.
Construisons un paquet gaussien ayant une certaine largeur pour décrire un particule localisée
dans une région de l’espace. La fonction |()|2 a bien sûr elle aussi une certaine largeur, disons ∆
Comme |()|2 est une fonction de probabilité, cette largeur veut dire que si nous faisons un très
grand nombre d’expériences sur des électrons qui sont tous décrits par le paquet d’ondes (), nous
allons observer en moyenne une certaine position, disons 0 , plusieurs fois des positions comprises
entre 0 − ∆2 et 0 + ∆2 et beaucoup moins souvent des positions telles que | − 0 | ∆2
Nous dirons donc que l’incertitude sur la position d’un électron est ∆
¯2
¯
D’autre part, nous savons que ¯()¯ donne la probabilité de mesurer la quantité de mouvement
de la particule. Comme () est connu, nous pouvons facilement calculer cette probabilité et
montrer qu’elle correspond également à une fonction ayant une certaine largeur ∆ Encore une
fois, cette largeur signifie que si nous mesurons la quantité de mouvement de la particule sur un
grand nombre de particules, il y a une grande probabilité pour que les résultats obtenus soient
compris entre 0 − ∆2 et 0 + ∆2 où 0 correspond à la valeur moyenne de la quantité de
mouvement.
Toutefois, nous avons vu que les largeurs des fonctions () et () sont reliées par la relation
∆∆ & 1 Comme = ~ les largeurs des fonctions () et () sont donc aussi reliées par la
¯
¯2
relation ∆∆ & ~ et il s’ensuit que les fonctions de probabilité |()|2 et ¯()¯ sont reliées par
la relation ∆∆ & 12 Nous prenons ici le signe & pour bien indiquer que la grandeur du produit
est une quantité de l’ordre de ~ et qu’elle dépend de notre définition de la largeur des fonctions.
Si , donc, nous décidons de minimiser notre incertitude, ∆ sur la position en prenant un paquet
d’ondes plus localisé dans l’espace, il s’ensuit que nous aurons une plus grande incertitude, ∆ sur
sa quantité de mouvement.
¯
¯2
Remarque 2 Produit des largeurs pour |()|2 et ¯()¯ . Considérons un paquet d’ondes
−2 22 dont la largeur est ∆ = . La largeur de la fonction | ()|2 est alors
gaussien
0
√() ∼
2 2
∆ = 2. De même, la transformée de Fourier de () est () ∼ − 2 et la largeur de
§4.10 Principe d’indétermination d’Heisenberg
117
¯
¯2
√
2 2
cette fonction est ∆0 = 1 La largeur de la fonction ¯()¯ ∼ − est ∆ = 1 2. Le
produit ∆0 ∆0 = 1, mais ∆∆ = 12.
Nous pouvons évidemment répéter notre raisonnement pour les paquets d’ondes ayant une certaine durée dans le temps (un pulse) donnée par () et sa transformée de Fourier en fréquences
() Nous avons alors une relation d’indétermination temps-fréquence de la forme ∆∆ & 12
ou, comme = ~ une relation temps-énergie ∆∆ & ~2 Cette relation, toutefois, est beaucoup plus difficile à interpréter physiquement et elle fera l’objet d’une section à part dans le chapitre
suivant. Patience donc !
Nous allons donner un énoncé du principe d’indétermination et tenter de l’éclaircir avec quelques
remarques.
¥ Principe d’indétermination d’Heisenberg. Si une mesure de la position est faite avec
une précision ∆ et si une mesure “simultanée” de la quantité de mouvement est faite avec
une précision ∆ alors le produit des deux incertitudes ne peut jamais être plus petit qu’un
nombre de l’ordre de ~ En d’autres mots
∆∆ & ~2
(4.97)
De même, si l’énergie d’un système est mesurée avec une précision ∆ alors le temps caractéristique de l’évolution du système, ∆ doit satisfaire
∆∆ & ~2
(4.98)
Et de façon plus générale, si ∆ est l’incertitude sur la mesure d’une coordonnée et ∆
l’incertitude sur la mesure de sa quantité de mouvement conjuguée, alors
∆∆ & ~2
(4.99)
Remarques sur le principe d’indétermination d’Heisenberg :
1. Simultanéité de la mesure : le mot “simultanée” dans l’énoncé du principe d’indétermination est important. En effet, supposons que nous mesurions à l’instant la position de la
particule et que nous trouvions une valeur à ∆ près. Il est évident qu’à cet instant nous
pouvons affirmer : “la position de cette particule est à ∆ près”. Ceci signifie que sa fonction d’onde à cet instant précis, immédiatement après la mesure, est localisée au voisinage
de dans une région ∆ ; elle n’a donc aucune raison d’avoir le moindre rapport avec la
fonction d’onde avant la mesure. On dit habituellement que par la mesure, on a réduit le
paquet d’ondes. Si on faisait à 0 une autre mesure de la position ou une mesure de la
quantité de mouvement, on la ferait nécessairement sur le paquet d’ondes réduit et non sur le
paquet d’onde initial. C’est pourquoi il faut insister pour que notre appareil de mesure fasse
simultanément ces deux mesure. En pratique, voici ce que l’on entend par mesure
simultanée. On prépare un ensemble de 2 systèmes tous dans le même état quantique.
Sur de ces systèmes on fait une mesure de la position. Sur les autres, on fait une mesure
de la quantité de mouvement. De cette façon, la mesure de l’impulsion se fait sur le “même”
système que celle de la position car toutes les particules sont initialement dans le même état
quantique (tel que défini au chapitre précédent).
118
Chap.4. Concepts fondamentaux de la mécanique quantique
2. Mesures successives : dans les exemples qui suivent pour l’application du principe d’indétermination, nous ne suivons pas toujours la procédure décrite en #1. Nos mesures sont
quelques fois successives et non simultanées. Par exemple, dans l’une de ces expériences
(microscope d’Heisenberg), nous faisons passer l’électron par une fente pour déterminer sa
position et ensuite nous mesurons sa quantité de mouvement en le bombardant avec des photons. Il est important de comprendre que la mesure de la position, dans ce cas, a déjà réduit le
paquet d’ondes initial et la mesure de la quantité de mouvement se fait sur le paquet d’ondes
réduit. Pour être plus spécifique, considérons un paquet d’ondes Ψ0 () avec une très petite
incertitude ∆0 sur la quantité de mouvement et donc une grande incertitude ∆0 sur la
position de l’électron. Supposons que nous fassions une mesure très précise de la position de
l’électron (en le faisant passer à travers une fente très mince). Avec un grand nombre d’électrons (tous initialement dans le même état Ψ0 ())cette mesure nous permet, par exemple,
de mesurer la position de l’électron avec l’incertitude ∆1 où ∆1 ∆0 . Dans la langage
de la mécanique quantique, cette mesure de la position crée un nouvel état quantique Ψ1 ()
avec une dispersion donnée par ∆1 et non ∆0 Maintenant, nous faisons une mesure de la
quantité de mouvement après le passage de l’électron dans la fente. Cette mesure se fait sur
Ψ1 () et non sur Ψ0 () qui n’existe plus. La dispersion en quantité de mouvement de Ψ1 ()
est gouvernée par ∆1 ∆1 ≥ }2 Puisque ∆1 ∆0 , il s’ensuit que ∆1 ∆0 C’est
donc ∆1 ∆1 ≥ }2 que nous testons dans notre expérience et non ∆0 ∆0 ≥ }2 Même
si la mesure initiale de la position est arrangée pour ne pas changer la valeur moyenne de la
quantité de mouvement, elle change tout de même la dispersion en impulsion.
3. Nombre d’onde et quantité de mouvement : la relation ∆∆ & 1 est une propriété
générale des ondes et n’a rien à voir avec la mécanique quantique. Le principe d’indétermination est obtenu à cause de l’interprétation que nous donnons à la fonction d’onde et parce que
la relation de de Broglie = } établit une relation entre le nombre d’onde et la quantité
de mouvement.
4. Le P.I comme déduction logique : la discussion qui précède notre énoncé dit ceci : les
expériences faites sur les particules microscopiques nous forcent à abandonner la description
Newtonienne du mouvement et à décrire de façon statistique le comportement des particules.
Cette description statistique passe par l’utilisation de la fonction d’onde dont le module
carré donne la probabilité de présence de la particule en un point de l’espace. Maintenant,
à partir du moment ou nous utilisons une fonction mathématique comme () pour décrire
la particule sous forme d’un paquet d’ondes, nous devons accepter les conséquences qui en
découlent. L’une d’elle est qu’une particule décrite par un paquet d’ondes n’a pas de position
bien définie (à moins que le paquet d’ondes ne soit une fonction delta de Dirac), ni d’impulsion
bien définie. Comment concevoir cela ? Pour utiliser le langage de Bohm, nous pouvons dire
qu’il y a une infinité de potentialités pour les valeurs de ces variables. Seule une mesure
physique peut “actualiser” l’une de ces potentialités. Une autre conséquence est que la largeur
des paquets d’onde en et en sont reliées mathématiquement par la relation ∆∆ & ~2 Il
est donc impossible de concevoir une particule qui serait simultanément localisée en position
et en impulsion au-delà de la limite fixée par ∆∆ & ~2 (L’idée qu’une particule puisse
avoir une position et une quantité de mouvement bien définies est équivalente à postuler
l’existence de variables cachées, idée qui est en désaccord avec la théorie quantique.
5. Vérification expérimentale du P.I. : comme nous venons de le voir, le principe d’indétermination est inhérent à la structure même de la matière. Cependant, cette conclusion est
obtenue par une déduction logique sur l’interprétation que nous faisons de la fonction d’onde
et sur les propriétés des transformées de Fourier. Elle découle de la nature ondulatoire de la
§4.10 Principe d’indétermination d’Heisenberg
119
particule quantique. Pour être complet, il faut aussi voir ce qui arrive à l’aspect corpusculaire
de la particule lorsqu’on essaie de la détecter. Il est donc nécessaire de construire une théorie
de la mesure et de montrer que cette théorie conduit aux mêmes conclusions. Autrement dit,
il nous faut montrer que si l’on essaie de mesurer expérimentalement quantité de mouvement
et position, on ne pourra le faire qu’à l’intérieur des limites imposées par le principe d’indétermination. Nous allons, dans la prochaine section, donner plusieurs exemples de processus
de mesure et montrer que chaque fois, le principe d’indétermination est respecté. En effet,
dans chaque processus de mesure, il est nécessaire d’avoir un système appelé l’appareil de
mesure et un autre système appelé système observé. L’appareil de mesure doit interagir avec
le système observé. En mécanique classique, on suppose toujours que la perturbation apportée par l’appareil de mesure sur la particule mesurée peut être négligée. Il n’en va pas de
même en physique quantique. Pour observer un électron par exemple, nous devons l’illuminer
en envoyant sur lui un faisceau de photons. Les photons sont diffusés par l’électron et dans
le processus, ils lui transmettent une quantité de mouvement. On peut réduire l’intensité du
faisceau jusqu’à ce qu’il n’y ait qu’un photon qui frappe l’électron, mais il en faut au moins un
si on veut voir quelque chose ! Comme le transfert de quantité de mouvement entre le photon
et l’électron est imprévisible, la perturbation apportée par le photon est totalement aléatoire.
On ne peut pas espérer la corriger. Ainsi, en voulant définir la position de l’électron, nous
avons introduit, d’une façon tout à fait imprévisible, une certaine incertitude sur sa position.
Il est impossible de concevoir un appareil de mesure qui nous permettrait de mesurer simultanément la position et l’impulsion d’une particule. Nous trouvons donc, expérimentalement,
que notre déduction logique (discussion du paragraphe précédent) est vérifiée18 .
6. Unité de la théorie quantique : le P.I. a été déduit de trois choses : (1) la nature ondulatoire de la matière ; (2) l’indivisibilité des transferts d’énergie ou de quantité de mouvement ;
(3) l’absence de déterminisme des processus quantiques. Nos expériences de pensée montrent
qu’à moins qu’il n’y ait dans l’acte de mesure le transfert imprévisible d’un quantum d’énergie
(quantité indivisible et non nulle) ou de quantité de mouvement d’une particule quantique
(par ex. un photon) ayant des propriétés ondulatoire et corpusculaire, nous aurions pu mesurer l’impulsion et la position avec une précision supérieure à celle indiquée par le P.I. Les trois
ingrédients ci-haut mentionnés sont donc essentiels pour vérifier notre déduction logique. Ils
fonctionnent “ensemble”.
7. Limite classique : la limite classique est celle ou ∆ et ∆ sont tous les deux beaucoup
plus petits que la précision des instruments de mesure (ou que les ordres de grandeurs des
distances et impulsions caractéristiques du phénomène physique étudié), même s’ils satisfont
∆∆ & ~2. Étant donnée la valeur si faible de }, il est facile de se convaincre que ceci est de
loin le cas le plus général lors d’observations macroscopiques. Remarquez qu’il nous arrivera
souvent d’utiliser la terminologie “limite classique” pour désigner la limite mathématique
} → 0 Le sens de cette terminologie est clair, il s’agit d’une limite mathématique sur des
expression où } apparaît comme un paramètre. La limite des expressions mathématiques de
grandeurs physiques quand } → 0 redonnera les formules de la mécaniques classiques.
8. Ordre de grandeur : les relations d’incertitude sont, de façon rigoureuse, exprimées par
l’inégalité ∆∆ & ~2. La limite inférieure n’est atteinte que si la fonction d’onde est une
1 8 Selon l’interprétation de Copenhague (Chapitre VIII), notre connaissance de la réalité physique se limite aux mesures que
nous pouvons faire sur un système physique. Des questions comme : quel est l’état d’un système avant la mesure, quelle position
ou quantité de mouvement avait la particule avant la mesure sont considérées comme non physiques ! Comme tout se limite à la
mesure, des concepts comme la position ou la quantité de mouvement n’ont de sens physiques que si nous définissons comment
nous les mesurons (on parle alors de définition opératoire).
120
Chap.4. Concepts fondamentaux de la mécanique quantique
gaussienne. Cependant, il est particulièrement utile en mécanique quantique, par exemples
pour le calcul des ordres de grandeurs, de conserver en tête que quelle que soit la forme de
la fonction d’onde on aura, pour des systèmes quantiques de faible énergie,
∆∆ ∼ ~ ou
(4.100)
Ce qui nous importe, c’est l’ordre de grandeur.
9. Indétermination versus incertitude : comme vous le comprenez maintenant, le mot incertitude n’est pas très juste car il implique que l’état du système est défini avant la mesure
et que cette dernière entraine une incertitude. Ce n’est pas le cas. L’état du système avant la
mesure est plutôt indéterminé.
4.11 Applications du principe d’indétermination d’Heisenberg
4.11.1 Contraintes imposées par la relation d’incertitude
Considérons un grain de poussière dont le diamètre serait de l’ordre de 1 et la masse '
10−15 Kg, animé d’une vitesse = 10−3 m/sec. Son impulsion vaut alors : = ' 10−18 Kgm/sec. Si l’on mesure sa position à 001 près, par exemple, l’incertitude ∆ sur l’impulsion doit
vérifier :
}
' 10−26 Kg-m/sec.
(4.101)
∆ '
∆
Nous voyons que la relation d’indétermination n’introduit pratiquement aucune restriction dans
ce cas car, en pratique, un appareil de mesure est incapable d’atteindre cette précision relative de
10−8 sur l’impulsion.
Quantiquement, on décrira le grain de poussière par un paquet d’ondes dont la vitesse de groupe
est = 10−3 m/sec et l’impulsion moyenne = 10−18 Kg-m/sec. Mais on peut alors prendre pour
ce paquet d’ondes une extension spatiale ∆ et une dispersion en impulsion, ∆, tellement petites
qu’elles sont totalement inappréciables. Le maximum du paquet d’ondes représente alors la position
du grain de poussière, et son mouvement est identique à celui du corpuscule classique.
Considérons maintenant un électron atomique. Le modèle de Bohr le décrit comme une particule
classique. Les orbites permises sont définies par des règles de quantification posées à priori : par
exemple le rayon d’une orbite circulaire et l’impulsion = de l’électron qui la parcourt doivent
vérifier
= = = }
(4.102)
où est un nombre entier.
Pour que l’on puisse ainsi parler de trajectoire de l’électron en termes classiques, il faudrait que
les incertitudes sur sa position et son impulsion soient négligeables devant et respectivement,
c’est-à-dire ∆ ¿ et ∆ ¿ ce qui entraînerait
∆ ∆
¿ 1
(4.103)
}
∆ ∆
&
(4.104)
Or la relation d’incertitude impose que
§4.11 Applications du principe d’indétermination d’Heisenberg
121
Si on remplace dans cette expression par } on trouve que
∆ ∆
1
&
(4.105)
On voit donc que cette équation est incompatible avec l’éq. (4.103), sauf si À 1 : la relation
d’indétermination nous fait donc rejeter l’image semi-classique des orbites de Bohr.
4.11.2 Explication de l’élargissement du paquet d’ondes
Note : comme il s’agit de calcul d’ordre de grandeur, on prend souvent ∆∆ ∼ } dans les
exemples suivants.
En utilisant le principe d’indétermination d’Heisenberg, nous pouvons maintenant comprendre
pourquoi le paquet d’ondes doit s’élargir en se propageant. Nous avons vu que plus le paquet
d’ondes |( = 0)|2 est étroit initialement, c’est-à-dire plus ∆(0) est petit, plus vite il s’élargit
dans le temps. En fait, pour des temps assez grands (avec = ∆(0)),
r
}2 2
~
(4.106)
∆() = ∆(0) 1 + 2 4 ∼
∆(0)
Ainsi, plus on essait de localiser la particule, plus il nous faut combiner des ondes planes ayant des
¯
¯2
vecteurs d’onde différents et donc plus le paquet d’ondes ¯( = 0)¯ doit être large. La largeur
du paquet d’ondes en nous donne l’incertitude sur la quantité de mouvement de la particule. En
utilisant le principe d’indétermination, on peut estimer cette incertitude comme étant
∆ ∼
~
∆
∼
∆(0)
(4.107)
Que veut dire cette incertitude ? Elle signifie que si on fait une mesure sur un grand nombre
d’électrons qui sont tous initialement décrits par la fonction d’onde ( = 0) alors on trouve une
vitesse moyenne qui est la vitesse de groupe, du paquet d’ondes ( ) Cependant il y a aussi de
grandes chances que l’on mesure une valeur de la vitesse entre ± ∆ Autrement dit, la valeur de
la vitesse des électrons est incertaine et peut fluctuer autour de la vitesse moyenne Donc, si la
vitesse est incertaine, alors la distance que peut parcourir une particule est aussi incertaine. Après
un temps les particules qui vont à la vitesse moyenne auront parcouru la distance celles qui
vont à la vitesse ± ∆ auront parcouru la distance ( ± ∆) L’écart entre les particules les
plus rapides et les plus lentes s’accroît avec le temps. Ainsi, si la largeur de la fonction à = 0 est
∆(0) elle devient
~
( + ∆) − ( − ∆)
∼ ∆ ∼
∆( ) ∼
=
2
∆(0)
(4.108)
au temps Ce résultat, obtenu avec la relation d’indétermination, est bien le même que celui
donné par l’éq. (4.106).
En d’autres mots, l’élargissement du paquet d’ondes vient du fait que l’on ne connaît pas la vitesse
exacte de la particule au temps = 0 Notre incertitude sur la position croît donc nécessairement
avec le temps.
Remarquez que nous n’avons pas utilisé le symbole ∆() dans l’ éq. (4.107). En effet, si la
particule est libre (aucune force n’agit sur elle), sa vitesse ne peut pas changer au cours du temps.
¯2
¯
La fonction ¯( )¯ qui représente la probabilité de mesurer une certaine quantité de mouvement doit aussi être invariante dans le temps (cela sera démontré au chapitre suivant). Il s’ensuit
naturellement que l’incertitude ∆ ne dépend pas du temps.
122
Chap.4. Concepts fondamentaux de la mécanique quantique
4.11.3 Onde plane
Une onde plane () ∼ ~ est une onde dont la quantité de mouvement est exactement
définie. Sa transformée de Fourier est la fonction delta : () ∼ () ce qui veut dire, en d’autres
mots, que ∆ = 0 Nous avons donc, d’après le principe d’indétermination, que ∆ → ∞ En effet,
la fonction |()|2 a une largeur infinie. Ainsi, si on essaie de définir exactement la quantité de
mouvement d’une particule, on perd toute information sur sa position. La particule a une égale
probabilité d’être détectée en n’importe quel point de l’espace.
De même, si la fréquence de l’onde plane est bien définie, alors () ∼ − ∼ −~ nous
connaissons parfaitement son énergie. Sa transformée de Fourier est la fonction () ∼ () et
a une largeur nulle de sorte que ∆ = 0 ( = ~). En utilisant le principe d’indétermination,
nous trouvons ∆ → ∞ ce qui est une autre façon de dire que la largeur en temps de la fonction
|()|2 est infinie. On peut dire également que pour être certain que la fréquence de l’onde soit bien
définie, il faut observer l’onde pendant un temps infini (d’où ∆ → ∞).
4.11.4 Stabilité des atomes
Si une particule est confinée dans une boîte (unidimensionnelle) de taille , alors l’incertitude
sur sa quantité de mouvement est de l’ordre de
∆ ∼
~
(4.109)
Si nous sommes incertains de la quantité de mouvement, nous le somme également de l’énergie de
la particule. Si celle-ci est libre (sauf pour la force qui l’empêche de sortir de la boîte) alors nous
pouvons considérer que l’énergie cinétique est de l’ordre de
∼
(∆)2
~2
∼
2
22
(4.110)
Ainsi, plus la boîte est petite, plus la quantité de mouvement de la particule, et donc la pression
que celle-ci exerce sur la boîte, est grande. S’il n’y a rien pour empêcher la particule de se déplacer
(par exemple pas de parois pour exercer une pression sur la particule), la particule ne resterait
évidemment pas en place et la localisation serait détruite. Il n’y a aucun moyen de forcer un
électron à occuper une position bien définie et en même temps à rester au repos.
Nous pouvons utiliser cette image pour comprendre qualitativement pourquoi l’électron ne
tombe pas sur le noyau dans un atome. Considérons un atome à une dimension ( !) Selon le principe d’indétermination, un électron localisé dans une région de taille ∆ a une énergie cinétique
2
∼
= ~2 2 (∆) car sa quantité de mouvement est de l’ordre de ∼ ~∆ Cette quantité de
mouvement crée une pression qui tend à s’opposer à la localisation de l’électron. Dans un atome,
la localisation est assurée par la force d’attraction entre le noyau et l’électron. La position d’équilibre est atteinte lorsque les deux forces se contre-balancent ou, ce qui revient au même, lorsque
l’énergie totale est minimale. Si nous prenons ∆ comme position d’équilibre, alors l’énergie totale
(cinétique plus potentielle) est
2
~2
(4.111)
−
∼
2 (∆)2 40 ∆
Trouvons le minimum de cette énergie en fonction de ∆
~2
2
=−
+
= 0
(∆)
(∆)3 40 (∆)2
(4.112)
§4.11 Applications du principe d’indétermination d’Heisenberg
123
40 ~2
(4.113)
2
ce qui est juste le rayon du premier niveau de l’atome de Bohr ! Il faut bien dire cependant que
notre argument n’est que de nature qualitative car nous devrions donner une traitement en trois
dimensions.
⇒ ∆ ∼
4.11.5 Mesure de la position d’une particule par un diaphragme
Considérez un faisceau d’électrons monoénergétique se déplacant selon l’axe Nous voulons
mesurer la position selon d’un électron dans ce faisceau. Pour ce faire, nous faisons passer le
faisceau à travers un fente de largeur . En principe, nous pouvons connaître la position selon
d’un électron avec une incertitude ∆ = D’un autre côté, l’électron est représenté par une
onde de matière de longueur d’onde = Lorsque cette onde traverse la fente, elle subit une
diffraction et le faisceau diverge donc d’un angle qui est de l’ordre de
sin ≈
=
∆
(4.114)
Cette divergence du faisceau implique une dispersion de la quantité de mouvement ∆ = sin
dans la direction . Nous avons donc que
∆∆ ∼
(4.115)
La composante selon de la quantité de mouvement (que l’on a supposée bien connue et égale à
zéro avant la mesure) a été déplacée, et cela de façon incontrollable, d’une quantité de l’ordre de
∆ durant le processus de mesure, c’est-à-dire lors de la traversée de la fente.
Il est important de réaliser que la quantité de mouvement transférée du diaphragme à l’électron
durant la traversée de la fente ne peut pas être connue à mieux que ∆ En effet, le diaphragme
est lui-même un objet quantique sujet au principe d’indétermination. Pour obtenir un incertitude
sur la position de l’électron qui soit ∆ il faut que la position du diaphragme ne bouge pas trop
et que sa position soit connue par une incertitude ¿ ∆ Cela implique que l’incertitude sur la
quantité de mouvement du diaphragme est
≈
}
À ∆
(4.116)
La grande masse du diaphragme fait qu’il est possible de le garder presque au repos durant la
mesure de sorte que celle-ci ne soit pas trop affectée par son mouvement. Il n’est donc pas possible
de déterminer la quantité de mouvement du diaphragme avec une précision plus grande que et
donc, encore moins, avec une précision plus grande que ∆ Nous étions donc justifiés de considérer
∆ dans l’eq. (4.115).
4.11.6 Le microscope de Bohr-Heisenberg
L’utilisation d’un diaphragme est bien sûr la méthode la plus simple pour mesurer la position
d’une particule. Une autre méthode moins directe mais tout aussi valide consiste à illuminer la
particule avec une source lumineuse et à l’observer avec un microscope. Pour un électron, évidemment, il s’agit d’une expérience de pensée qui, à l’origine a été proposée par Bohr et Heisenberg
d’où le nom de microscope de Bohr-Heisenberg.
Supposons que nous voulions mesurer, le plus précisément possible, la position d’une particule
ponctuelle comme l’électron. Pour une meilleure précision, nous utilisons un microscope pour voir
124
Chap.4. Concepts fondamentaux de la mécanique quantique
l’électron (voir le schéma de la fig. 4.7). Pour voir l’électron, nous devons l’illuminer puisque c’est
en détectant le photon diffusé que nous voyons l’électron. Déjà, nous voyons que pour mesurer la
position d’un électron, nous devons le perturber puisque la diffusion d’un seul photon sur l’électron
(effet Compton) provoquera un effet de recul qu’il nous est impossible de prédire car le transfert de
quantité de mouvement entre photon et électron est aléatoire. S’il nous est impossible de prédire
ce transfert, nous ne pouvons pas espérer le corriger par avance.
Pour minimiser l’effet de l’illumination, nous pouvons essayer de réduire au minimum l’intensité
de la source. La plus petite perturbation possible est celle où seulement un photon frappe l’électron
et entre ensuite dans l’objectif de notre microscope. La grandeur de la quantité de mouvement du
photon entrant dans cet objectif est = Cependant, comme l’objectif a une certaine ouverture
angulaire 20 , le photon qui est entré peut être venu de n’importe où à l’intérieur d’un angle 20
On en déduit donc que la composante selon de l’impulsion du photon peut varier entre sin 0 et
− sin 0 et donc
∆ ≈ sin 0
µ ¶
sin 0
≈
µ ¶
≈
(4.117)
Puisque la quantité de mouvement doit être conservée, il s’ensuit que l’électron doit recevoir une
quantité de mouvement dans la direction des et donc que la grandeur de cette quantité de
mouvement doit être aussi de l’ordre de ∆ Remarquez que l’on peut utiliser une longueur
d’onde plus grande pour réduire ∆ ou encore diminuer l’ouverture angulaire du microscope.
Comment maintenant déterminer la position de l’électron ? Rappelez-vous que l’image d’un point
par une fente circulaire n’est pas un point mais un patron de diffraction constitué par un disque
central clair et une alternance de disques sombres et clairs. Si est le rayon de la fente, l’ouverture
angulaire correspondant au premier minimum de diffraction est sin ≈ qui est en fait le
pouvoir de résolution de la fente.19 La lentille du microscope est aussi une ouverture circulaire et
l’image d’un point n’est pas un point mais un patron de diffraction. En général, de sorte
que les effets de diffraction sont négligeables. Dans cette expérience de pensée, nous devons toutefois
en tenir compte. L’image de l’électron aura donc une largeur ∆ correspondant à la demi-largeur
du maximum central soit ∆ ≈ sin où est la distance entre l’électron et le centre de la lentille
(voir le schéma). Avec sin 0 ≈ l’ouverture angulaire de la lentille, on arrive facilement à
∆ ≈ sin
≈
≈
sin 0
(4.118)
1 9 Le pouvoir de résolution d’une fente circulaire (ou d’une lentille) est l’angle minimal d’incidence entre deux ondes planes
provenant de deux sources distantes qui permet de distinguer ces deux sources. L’image de chaque source par la lentille est un
patron de diffraction, et pour pouvoir les distinguer, il faut que le maximum central du patron d’une source coïncide avec le
premier minimum du patron de l’autre source, autrement dit c’est l’angle qui correspond à l’ouverture angulaire du maximum
principal. Cette séparation angulaire est donnée par sin ∼
= où est le rayon de la lentille.
§4.11 Applications du principe d’indétermination d’Heisenberg
125
p h o to n d if f u s é
é le c t r o n
re c u l
R
x
’
S o u rce
lu m in e u s e
d
o e il
2x
’
d
FIGURE 4.7. Schéma pour l’expérience de pensée du microscope de Bohr-Heisenberg.
126
Chap.4. Concepts fondamentaux de la mécanique quantique
Pour réduire cette incertitude, on peut utiliser une lumière de longueur d’onde plus petite ou un
microscope avec une ouverture angulaire plus grande (l’inverse de ce qu’il faut faire pour diminuer
∆ )
En multipliant ces deux incertitudes, nous avons
µ
¶µ ¶
∼
(4.119)
sin 0 ∼
∆∆ =
=
0
sin
soit une quantité de l’ordre de comme prévu par le principe d’indétermination, et qui ne dépend
pas des caractéristiques de l’appareil de mesure ! Cette expérience est une expérience idéale. En pratique, le résultat serait pire. Il démontre en tout cas qu’il est impossible de mesurer simultanément
position et impulsion avec une précision arbitraire.
En physique classique, on pourrait réduire arbitrairement l’intensité lumineuse et diminuer le
transfert d’impulsion tout en prenant une longueur d’onde suffisamment petite pour faire tendre
∆ vers zéro. On aurait ainsi une précision arbitraire sur la position et la quantité de mouvement.
En mécanique quantique, le photon est la plus petite unité de quantité de mouvement et il est
indivisible. Il y a donc un minimum de perturbation que l’on cause en faisant une mesure et, en
plus, cette perturbation n’est pas contrôlable.
4.11.7 Tentative de déterminer par quelle fente passe l’électron dans l’expérience de
Young
Pour montrer si l’électron se comporte comme une particule ou comme une onde, nous pourrions
être tenté de faire l’expérience suivante (voir fig. 4.8). Considérons un faisceau d’électrons (tous
dans le même état), incident sur un écran percé de deux fentes (expériences de Young mais avec
des électrons). L’intensité de faisceau est telle que les électrons passent un à la fois dans le système
des deux fentes. Nous voulons, pour montrer que l’électron est une particule, essayer de déterminer
par quelle fente il passe. Pour faire cela, nous décidons d’illuminer les deux fentes avec assez de
lumière pour qu’un photon au moins frappe l’électron passant dans le système et nous révèle par
quelle fente il passe. Nous observons les deux fentes avec un microscope de Bohr-Heisenberg (décrit
à la section précédente). Si les fentes sont séparées par une distance nous devons utiliser une
lumière de longueur d’onde . pour pouvoir distinguer une fente de l’autre dans le patron
de diffraction de l’image des deux fentes (à travers la lentille). Cependant, un photon frappant
l’électron peut lui transférer une quantité de mouvement de l’ordre de ∆́ ∼
= (en utilisant les
éqs. (4.117),(4.118)). Cette quantité de mouvement change l’angle de diffusion de l’électron après
son passage à travers la fente et le rend incertain par une quantité
∆ ≈
∆́
́
=
=
́
́
(4.120)
D’un autre côté, la séparation entre deux maxima d’interférence électronique (sur l’écran) est
∆ = ́ c’est-à-dire une séparation angulaire de
́ ≈ ∆ = ́
(4.121)
Nous voyons que l’incertitude ∆ causée par notre mesure est du même ordre que ́ cette impulsion additionnelle détruit complètement le patron d’interférence. Ainsi, si une mesure est assez
précise pour déterminer par quelle fente passe l’électron, il n’y a plus de trace du patron d’interférence sur l’écran.
§4.11 Applications du principe d’indétermination d’Heisenberg
127
y
S o u rc e
lu m in e u se
x
d /a
a
é
d
le n tille
(d a n s le p la n y z )
FIGURE 4.8. Schéma pour l’expérience visant à déterminer par quelle fente passe l’électron (notez que la
séparation entre les maxima d’interférence est grandement exagérée).
128
Chap.4. Concepts fondamentaux de la mécanique quantique
4.11.8 Temps de vie d’un état excité
Une fois excité, un atome peut émettre un photon à n’importe quel moment. En moyenne, un
atome excité a un temps de vie de 10−8 sec (temps qu’il met pour émettre le photon et retourner à
son état fondamental). Ce temps de vie est le temps caractéristique de l’évolution du système. C’est
le temps pendant lequel il faut patienter pour observer un changement notable dans l’évolution du
système.
On peut facilement calculer l’incertitude sur la fréquence du photon émis comme étant
∆ &
1
2∆
(4.122)
soit ∆ ∼ 107 sec−1 Si on compare cette incertitude a la fréquence correspondant, disons, à la raie
à = 5890 Å du sodium, on obtient
107 sec−1
∆
=
∼ 10−8
51 × 1014 sec−1
(4.123)
Autrement dit, la largeur des raies due au principe d’indétermination (c’est-à-dire la largeur naturelle) est très petite. En pratique, la largeur des raies spectrales est surtout due aux effets de
collisions entre les atomes et à l’effet Doppler qui introduisent un autre temps de vie.
4.11.9 Particule libre
Considérons le cas d’une particule libre. L’onde plane (−) représente une particule avec une
quantité de mouvement bien définie = } et une énergie = }. En superposer les ondes planes,
on peut former un paquet d’ondes qui localise mieux la particule dans l’espace. Soit un paquet
d’ondes de largeur ∆ et de vitesse de groupe . Le paquet d’ondes voyage à vitesse selon l’axe
des mais l’instant auquel il passe un point donné de l’axe n’est pas bien déterminé. L’incertitude
sur cet instant est de l’ordre de
∆
∆ ≈
(4.124)
Le paquet d’ondes a une certaine largeur en impulsion qui se traduit par une certaine incertitude
sur l’énergie de la particule qu’il représente. Cette incertitude vaut
∆ ≈
∆ = ∆
(4.125)
En combinant ces deux équations, nous obtenons
∆∆ ≈ ∆∆
(4.126)
En appliquant le principe d’indétermination, cela donne finalement
∆∆ ≥ }
(4.127)
4.11.10 Largeur de bande
Le signal d’une station de télévision contient des pulses de largeur ∆ ∼ 10−6 sec. La transformée
de Fourier en fréquence sera non nulle dans un domaine de fréquences (une largeur de bande) de
l’ordre de ∆ ∼ 110−6 sec=106 Hz. Pourrait-on transmettre un tel signal de télévision sur la
bande AM ? On voit que non car alors toute la bande (de ' 05 × 106 Hz à ' 15 × 106 Hz)
ne pourrait accommoder qu’un seul canal de télévision. Les fréquences utilisés pour la télévision
( ' 108 Hz) permettent d’accommoder plusieurs canaux.
§4.12 Expériences et considérations modernes sur les principes d’indétermination et de complémentarité129
4.11.11 Énergie du point zéro d’un oscillateur harmonique
L’énergie totale d’un oscillateur harmonique est donnée par
1
2
+ 2
(4.128)
2 2
où est la constante de rappel. En physique classique, l’énergie minimale de l’oscillateur est
= 0 qui correspond à son état de repos (aucun mouvement). C’est aussi le résultat que nous
avions obtenu avec le postulat de Planck = avec = 0 Nous pouvons maintenant montrer,
avec le principe d’incertitude, que ce résultat n’est pas correct. L’oscillateur harmonique, même
dans son état fondamental, n’est pas au repos !
Nous pouvons considérer le potentiel 2 2 comme une force tendant à localiser l’oscillateur
dans une région ∆. Comme dans notre exemple de la boîte, cette localisation fait en sorte que la
quantité de mouvement de l’oscillateur est incertaine par une quantité20
=
~
2∆
L’énergie totale de l’oscillateur est elle aussi incertaine, et ∼
= ∆ soit
∆ ≈
(4.129)
≈
(∆)2 1
+ (∆)2
2
2
(4.130)
≈
~2
(∆)2 1
+
2
2 4 (∆)2
(4.131)
ou
Si on localise l’oscillateur, on diminue son énergie potentielle, mais on augmente du même coup
son énergie cinétique. L’oscillateur laissé à lui-même trouvera un équilibre correspondant à un
minimum de l’énergie totale
(∆)
~2
~√
≈
−
= 0 ⇒ (∆)2 =
(4.132)
3
(∆)
2
4 (∆)
En posant cette quantité dans l’éq. (4.131), nous obtenons
1
=
2
(4.133)
q
1
où = 2
est la fréquence de l’oscillateur. Comme nous le verrons en résolvant l’équation de
Schrödinger pour l’oscillateur harmonique, les niveaux d’énergie sont donnés par = ( + 12)
Donc, même en l’absence d’excitation, ( = 0) l’oscillateur a une énergie minimale appelée énergie
du point zéro et un mouvement correspondant.
4.12 Expériences et considérations modernes sur les principes
d’indétermination et de complémentarité
(Section facultative) Si le temps le permet, nous étudierons les points suivants :
1. L’expérience de Pfleegor-Mandel (1967).
2. Mesures quantiques non destructives (QND ou "Quantum Non-Demolition measurements).
3. Le principe de complémentarité et la notion d’information.
2 0 Nous
utilisons ici ∆∆ ≥ ~2
130
Chap.4. Concepts fondamentaux de la mécanique quantique
4.13 Questions et problèmes
4.13.1 L’expérience des fentes de Young
1. Supposons que dans l’expérience des fentes de Young (avec des photons), on place une phototube à la place de l’écran. Le phototube peut se déplacer parallèlement aux fentes et donc
mesurer l’intensité sur l’écran. On suppose que chaque fente est extrêmement étroite de sorte
que le patron de diffraction dû à une fente est très large. Ainsi, le phototube enregistre une
intensité à peu près constante sur tout l’écran lorsqu’il n’y a qu’une fente d’ouverte. Si le
nombre de photons arrivant sur les deux fentes, par unité de temps est alors le détecteur
enregistrera photons ( est la probabilité que le photon atteigne le détecteur si une
fente seulement est ouverte.) Si on ouvre maintenant la deuxième fente, est-ce que le nombre
de photon arrivant au détecteur sera donné par 2 ? Sinon, quelle est la valeur maximale
de l’intensité que peut enregistrer le phototube ? Quelle est la valeur moyenne de l’intensité
enregistrée sur tout l’écran ? Est-ce logique ? Commentez.
4.13.2 Le principe de complémentarité de Bohr
1. En vous appuyant sur le principe de complémentarité de Bohr, dites pourquoi les aspects
corpusculaire et ondulatoire de la matière (ou de la radiation) ne sont pas contradictoires.
2. Peut-on dire que la particule co-existe avec l’onde de matière qui lui est associée ? Pourquoi ?
3. Dans quel état se trouve l’électron lors de sa transition entre deux niveaux d’énergie atomiques ?
4. Pourquoi, dans notre expérience de tous les jours, les phénomènes physiques nous apparaissentils comme continus et prévisibles ?
5. Selon la physique quantique, pourquoi l’électron de tombe-t-il pas sur le noyau atomique ?
6. Expliquez pourquoi on ne peut considérer l’électron ni entièrement comme une particule, ni
entièrement comme un onde. Donnez au moins deux raisons dans chaque cas (vous pouvez
utiliser l’expérience des fentes de Young, la propagation d’un paquet d’ondes, etc. pour illustrer votre propos). Comment la mécanique quantique se sort-elle de ce problème et comment
interprète-t-elle l’onde associée à la particule ?
4.13.3 La fonction d’onde et son interprétation
1. Lorsqu’on joue aux dés, on ne peut pas prédire avec certitude la combinaison de chiffres que
l’on va obtenir. On dit que le processus est aléatoire. Voyez-vous une différence fondamentale
entre cet indéterminisme et celui de la mécanique quantique ? Commentez.
2. Une particule contrainte à se mouvoir sur l’axe des a une probabilité 15 d’être dans
l’intervalle (− − − + ) et une probabilité 45 d’être dans l’intervalle ( − + ) avec
.
(a) Représentez graphiquement la fonction d’onde qui décrit cette situation.
(b) Appelons − () la fonction d’onde normalisée pour l’intervalle de gauche et + () la
fonction d’onde normalisée pour l’intervalle de droite. Quelle est la fonction d’onde normalisée, (), pour la particule ?
§4.13 Questions et problèmes
131
(c) Quelle est la densité de probabilité () pour la particule (considérez toujours que
) ? Que donne l’intégrale sur tout l’axe des de () ?
3. Une particule a la fonction d’onde
2
2
2
( ) = − − −
(4.134)
où sont des constantes. La probabilité que la particule soit trouvée dans un volume
infinitésimal centré autour du point 0 0 0 est donnée par
|(0 0 0 )|2 0 0 0
(4.135)
À quelle valeur de 0 a-t-on le plus de probabilité de trouver la particule ? Peut-on trouver
des valeurs de 0 où la probabilité de trouver la particule est nulle ?
4. Une particule dans le vide est initialement décrite par un paquet d’ondes
() =
³ ´14
2 2
−
(4.136)
(a) Quelle est la probabilité qu’une mesure de sa quantité de mouvement donne une valeur
entre et + ?
(b) Quelle est la valeur moyenne de l’énergie ? Pouvez-vous retrouver qualitativement ce
résultat en utilisant la largeur du paquet d’ondes et le principe d’incertitude ?
5. Soit la fonction d’onde normalisée d’une particule dans une boîte :
( q
¡ ¢ −}
2
cos
si − 2 ≤ ≤ 2 ;
( ) =
0
si || 2
(4.137)
où = 2 }2 22 Calculez la probabilité pour que la particule soit trouvée, lors d’une
mesure de sa position, entre les points = 0 et = 3
6. Rappelez quelle est l’interprétation de la fonction d’onde Ψ( ) ainsi que la raison fondamentale pour laquelle la physique quantique se borne à faire des prédictions de nature probabiliste.
7. Montrez que la transformée de Fourier de la fonction Ψ() =
√
donnée par Ψ() = 2~ 1 () 2 ().
R +∞
−∞
1 () 2 ( − ) est
8. Une particule peut se trouver dans l’un ou l’autre de deux états différents et incompatibles
que nous nommerons et . Si la particule est dans l’état , sa fonction d’onde est ().
Dans l’état , elle est (). Considérez une particule dont la fonction d’onde serait donnée
par Ψ() = ()+ ().
(a) Quel est le sens physique, selon Born, de la fonction d’onde Ψ() ?
(b) Quelle condition relie () et () ?
(c) Quel est l’état de la particule dans la fonction d’onde Ψ() ? Commentez votre réponse.
132
Chap.4. Concepts fondamentaux de la mécanique quantique
4.13.4 Les paquets d’ondes
1. Considérez la fonction d’onde donnée par
() = −||
(4.138)
où 0
(a) Normalisez cette fonction d’onde.
(b) Quelle est la probabilité d’observer la particule entre les positions = 0 et = 0 ?
(c) Calculez la fonction () normalisée.
(d) Quelle est la probabilité de mesurer une quantité de mouvement comprise entre = 0
et = 0 ?
(e) Définissez un ∆ et un ∆ pour ce paquet d’ondes et vérifiez que le principe d’indétermination d’Heisenberg est respecté.
(f) Représentez graphiquement les densité de probabilités () ( = 0) en fonction de
et () ( = 0) en fonction de }.
(g) Si () représente la fonction d’onde d’une particule libre de masse à l’instant = 0,
quelle est l’expression mathématique de ( ) à l’instant 0 ? (Notez bien : vous
n’avez pas à faire l’intégrale mais seulement à l’écrire).
2. Soit la transformée de Fourier (ce problème est identique au #2 sauf pour le terme 0 )
() =
1
2 + ( − 0 )2
(4.139)
avec 0d’une certaine fonction ()Calculez ()et faites un graphique des deux fonctions |()|2 et |()|2 En utilisant une définition raisonnable de la largeur de la fonction
de ces fonctions, montrez que le produit ∆∆ défini à partir de ces deux fonctions (|()|2
et |()|2 ) est indépendant de
3. La relation de dispersion dans un guide d’onde est donnée par
= p
2
− 20
(4.140)
Quelle est la vitesse de groupe de ces ondes ?
4. Pour les ondes de surface (eau peu profonde), la relation de dispersion est
=
µ
Calculez les vitesse de phase et de groupe.
2
3
¶12
(4.141)
§4.13 Questions et problèmes
133
5. Considérez une particule libre décrite à l’instant = 0 par le paquet d’ondes
( = 0) =
Z
+∞
−∞
i
h −(})2 2
√
[ sin (})] }
2}
(4.142)
où est une constante, et sur lequel nous nous apprêtons à faire une mesure de la quantité
de mouvement.
(a) Quelle est la quantité de mouvement de la particule de la particule avant la mesure ?
Expliquez votre réponse.
(b) Quelles valeurs de la quantité de mouvement, de la particule ne seront jamais mesurées ?
(c) Si une mesure de la quantité de mouvement donne la valeur 0 quelle est la fonction
d’onde juste après la mesure ?
(d) Donnez deux raisons qui font que l’on ne peut pas identifier directement ce paquet
d’ondes avec la particule qu’il représente. Quel est alors le sens à donner à () ?
6. Il est tentant de penser qu’une particule n’est qu’un paquet d’ondes localisé dans l’espace.
Donnez deux raisons qui nous empêchent de faire cette affirmation.
4.13.5 Le principe d’indétermination d’Heisenberg
1. Supposez que l’incertitude sur la position d’une particule dans une certaine direction soit
de l’ordre de sa longueur d’onde de de Broglie. Montrez alors que l’incertitude minimale sur
sa quantité de mouvement dans la même direction est de l’ordre de sa quantité de mouvement.
2. Dans Quantum Land, un univers étrange où la constante de Planck } = 104 erg-s, on
cultive des melons avec une pelure très dure. Ces melons ont un diamètre d’environ 20 cm et
contiennent des graines d’une masse de 01 g.
(a) Expliquez (chiffres à l’appui !) pourquoi il faut être très prudents lorsqu’on découpe
des melons dans Quantum Land.
(b) Quel est approximativement la vitesse de recul d’un de ces melons qui a été frappé par
un photon de 628 nm (dans le visible) ?
3. Est-il correct de considérer que le principe d’indétermination d’Heisenberg nous force à dire
que l’électron est une particule qui a une position et une quantité de mouvement bien définies
mais qu’il nous est impossible de les connaître de façon exacte puisque la mesure introduit
toujours une certaine incertitude ? Commentez votre réponse.
134
Chap.4. Concepts fondamentaux de la mécanique quantique
4. Montrez que pour une particule libre, la relation d’indétermination peut s’écrire ∆∆ ≥
2 4, où ∆ est l’incertitude sur la position de l’onde et ∆ l’incertitude simultanée sur sa
longueur d’onde.
5. Le temps de vie d’un état excité d’un noyau atomique est de l’ordre de 10−12 s. Quelle est
l’incertitude sur l’énergie du photon émis lors de la désexcitation du noyau ?
6. Un faisceau d’électrons d’énergie 50 eV se dirige dans la direction des positifs et passe à
travers une fente parallèle à l’axe et de largeur = 80 m. Le patron de diffraction est
enregistré sur un écran se trouvant à une distance = 20 m de la fente.
(a) Quelle est la longueur d’onde des électrons ?
(b) Combien de temps faut-il aux électrons pour parcourir la distance entre les fentes et
l’écran ?
(c) Utilisez la largeur du maximum central de diffraction sur l’écran pour calculer l’incertitude dans la composante de la quantité de mouvement des électrons qui ont tout juste
traversés la fente.
(d) Utilisez votre résultat précédent et le principe d’indétermination d’Heisenberg pour estimer l’incertitude minimale sur la coordonnée d’un électron qui a tout juste passé la
fente. Comparez votre résultat avec la largeur de la fente.
7. Le rayon d’un noyau atomique est de l’ordre de = 10 × 10−15 m.
(a) Estimez l’incertitude minimale sur la quantité de mouvement d’un électron qui serait
confiné dans le noyau.
(b) Considérez que cette incertitude minimale donne une estimation de la grandeur de la
quantité de mouvement de l’électron. Obtenez alors une estimation de l’énergie cinétique
relativiste d’un électron qui serait confiné dans le noyau.
(c) Comparez l’énergie que vous venez de calculer à la valeur absolue de l’énergie coulombienne d’un électron et d’un proton séparés par une distance 10 × 10−15 m. Sur la base
de votre résultat, pourrait-il y avoir des électrons dans le noyau ?
8. Dans un tube cathodique d’un écran de télévision, le voltage d’accélération est = 120 kV.
Le faisceau d’électrons passe à travers une ouverture d’un diamètre de = 050 mm pour
aller frapper l’écran situé à une distance de = 0300 m de cette ouverture.
(a) Quelle est l’incertitude sur la position du faisceau lorsqu’il frappe l’écran ? (Vous pouvez
utiliser les formules non relativistes pour le mouvement de l’électron).
(b) Est-ce que cette incertitude sur la position du faisceau affecte de façon significative la
clarté de l’image ?
9. Une particule instable produite dans une collision à grande énergie a une masse qui est 5 fois
celle du proton et une incertitude sur cette masse qui est égale à 2% de sa masse. En utilisant
la relation = 2 estimez le temps de vie de cette particule.
§4.13 Questions et problèmes
135
10. Un certain atome a un niveau d’énergie à 28 eV au-dessus de son état fondamental. Lorsqu’excité à ce niveau, un électron y reste en moyenne = 2 × 10−6 sec avant d’émettre un
photon et de retourner au niveau fondamental.
(a) Quelle est l’énergie et la longueur d’onde du photon émis ?
(b) Quelle est la plus petite incertitude sur l’énergie du photon ?
(c) Montrez que |∆| = |∆| lorsque |∆| est petit. Utilisez cette relation pour
calculer la valeur de la plus petite incertitude sur la longueur d’onde du photon.
11. Montrez
(a) que la vitesse de phase de l’onde de de Broglie d’un électron relativiste est plus grande
que la vitesse de la lumière, .
(b) que la vitesse de groupe est la vitesse matérielle.
(c) que la vitesse de groupe multipliée par la vitesse de phase est égale à 2 .
12. Un garçon au sommet d’une échelle de hauteur laisse tomber des billes de masse de
façon à frapper une fente dans le plancher. Pour viser, il utilise un équipement lui donnant
la plus grande précision possible. Montrez que les billes vont manquer la fente d’une distance
moyenne de l’ordre de
µ ¶12 µ ¶14
~
(4.143)
où est l’accélération due à la gravité.
13. En utilisant le principe d’indétermination, estimez l’énergie du fondamental dans un potentiel
donné par
(4.144)
() = 4
14. Une lumière monochromatique de longueur d’onde 6000 Å passe à travers une fente qui s’ouvre
pendant 10−9 sec puis se referme. Quel sera l’étalement en longueur d’onde du paquet d’ondes
résultant ?
15. La force nucléaire agit entre les nucléons, c’est-à-dire les particules du noyau atomique. Le
physicien Yukawa a proposé que cette force nucléaire vient de l’échange d’une particule, le
méson pi ou pion. Le processus est le suivant : un nucléon émet un pion qui est ensuite absorbé
par un autre nucléon. Cependant, nous avons vu en cours qu’il est impossible pour une particule d’émettre ou d’absorber une autre particule tout en conservant l’énergie et la quantité de
mouvement. Le principe d’incertitude d’Heisenberg permet toutefois la “non-conservation”
de l’énergie si elle ne dure pas plus longtemps que ∆ ∼ ~∆ (on parle alors de processus
virtuel). Sachant que la force nucléaire a un domaine d’action de l’ordre de 14 × 10−15 m
et en prenant ' pour la vitesse du méson, estimez la masse au repos minimale du pion.
Expliquez ensuite pourquoi il faut que le temps que dure le processus ne soit pas plus long
que ~∆.
136
Chap.4. Concepts fondamentaux de la mécanique quantique
16. Considérez l’expérience de pensée suivante destinée à prendre en faute le principe d’incertitude. On envoie un faisceau d’électrons sur un système de deux fentes circulaires de rayon et
séparées par une distance (voir schéma). On suppose que les deux trous sont en droite ligne
avec le faisceau incident, alignés suivant l’axe Certains électrons passant par le premier
trou seront assez défléchis pour ne pas pouvoir entrer par le second, mais d’autres seront
capables de passer par les deux trous.
Pour mettre en faute le principe d’incertitude, on raisonne de la façon suivante : on considère
un électron qui a passé par les deux trous. Après le second trou, l’incertitude sur sa position
latérale est de l’ordre de ∆ ∼
= . Le momentum de l’électron est le même que dans
le faisceau incident car les électrons ne peuvent perdre ou gagner de l’énergie dans cette
expérience. Puisque l’on sait que l’électron a passé par les deux trous, l’incertitude dans
la direction du momentum doit être plus petite, ou égale à, ∆ ∼
= . Cela implique que
l’incertitude dans le momentum latéral est ∆ ∼
= . Nous avons donc :
∆∆ ∼
=
(4.145)
En prenant aussi grand que possible et aussi petit que possible, on peut rendre le produit
∆∆ aussi petit que possible et donc violer le principe d’incertitude d’Heisenberg.
Trouvez l’erreur dans l’argumentation précédente et donnez le bon produit ∆∆ . Expliquez
bien votre démarche.
17. Considérez un faisceau d’électrons de vitesse passant à travers une fente de largeur 2 et
incident sur un écran situé à une distance de la fente. Si vous pouvez faire varier la largeur
de la fente, quelle serait la largeur minimale qu’il vous serait possible d’obtenir pour le
faisceau qui frappe l’écran ?
18. Calculez l’énergie minimale possible dans un potentiel triangulaire soit () = pour
≥ 0 et () = ∞ pour 0. Pourquoi ce résultat est-il différent de celui obtenu en
utilisant la règle de quantification de Wilson-Sommerfeld ?
19. Supposons que nous essayons de mesurer une fréquence inconnue en écoutant les battements
entre et une fréquence connue et controllable 0 La fréquence des battements est | − 0 |.
Si on n’entend aucun battement, on en conclut que = 0 .
(a) Combien de temps devons nous écouter pour n’entendre aucun battement ?
(b) Si, durant un temps d’écoute de une seconde, nous n’entendons aucun battement, avec
quelle précision connaissons-nous la fréquence ?
(c) Si, durant un temps d’écoute de dix secondes, nous n’entendons aucun battement, avec
quelle précision connaissons-nous la fréquence ?
20. Supposons que, dans l’expérience de Young, nous couvrons l’une des fentes par une mince pellicule d’un matériel transparent et fluorescent qui émet un photon chaque fois qu’un électron
le traverse. On envoie un électron à la fois sur les deux fentes et si on observe un flash, on sait
par quelle fente passe l’électron. Peut-on alors observer le patron d’interférence ? Expliquez.
CHAPITRE 5
Formalisme mathématique de la mécanique quantique
Dans les deux chapitres précédents, nous avons démontré la nécessité d’introduire le concept
de fonction d’onde pour décrire le comportement des particules microscopiques. Dans le cas où la
particule n’était soumise à aucune force, nous avons facilement pu écrire une fonction acceptable.
Dans le cas où la particule est soumise à un potentiel ( ) et donc à une force, nous ne savons pas
encore comment trouver cette fonction d’onde. Pour trouver la fonction d’onde dans le cas général
d’une particule soumise à un potentiel, il nous faut écrire l’équation différentielle qui gouverne
la propagation de l’onde. Pour ( ) et dans le cas non relativiste, l’équation en question fut
trouvée par Schrödinger en 1926 et porte le nom d’équation de Schrödinger. Comme il s’agit d’une
équation quantique, il est impossible de la déduire de la physique classique. En utilisant le principe
de correspondance de Bohr, on sait que l’équation de Schrödinger doit reproduire les résultats de
la physique classique dans une certaine limite. Nous allons donc essayer de construire une équation
capable de reproduire les résultats classiques tout en satisfaisant les postulats de de Broglie.
Une fois connue l’équation gouvernant la fonction d’onde ( ) nous allons introduire la notion
d’opérateur et montrer comment extraire l’information physique de cette fonction d’onde qui est,
rappelons-le, un outil de calcul. Cette information sera nécessairement de nature probabiliste. Ce
cours est un cours d’introduction et nous tentons de garder le formalisme à un niveau relativement
simple. Nous préférons mettre l’accent sur l’interprétation des résultats de la théorie, sur leur
signification. Le cours de Mécanique quantique II développera en beaucoup plus de détails le
formalisme mathématique de la théorie.
5.1 Equation de Schrödinger dépendante du temps
L’équation pour la fonction d’onde ( ) doit nécessairement :
1. Respecter les relations de de Broglie = et =
2. Satisfaire l’équation = 2 2 + pour l’énergie totale d’une particule dans un potentiel
3. Être linéaire. C’est-à-dire que si 1 ( ) et 2 ( ) sont deux solutions de l’équation d’onde,
alors 1 1 ( ) + 2 2 ( ) doit aussi être une solution (1 et 2 sont des constantes quel-
138
Chap.5. Formalisme mathématique de la mécanique quantique
conques). Cette condition de linéarité est importante car elle permet d’additionner des fonctions d’onde et de produire ainsi les effets d’interférence constructive ou destructive caractéristiques de tout phénomène ondulatoire.
4. Être une équation différentielle du premier ordre en temps de sorte que la donnée de la
fonction d’onde ( 0 ) définit entièrement son évolution future.
5. Le potentiel est en général une fonction de et Le cas spécial où = 0 est une constante
correspond au cas de la particule libre car alors la force sur la particule ( = − ) est
nulle. Dans ce cas, nous savons des lois de Newton que la quantité de mouvement et l’énergie
de la particule sont des constantes. Il faut donc que l’équation d’onde ait comme solution
l’onde plane progressive.
6. Les prédictions obtenues par l’équation doivent coïncider avec celles de la théorie classique
dans la limite où celle-ci est valide.
En utilisant les relations de de Broglie, nous pouvons écrire l’énergie totale de la particule comme
= ~ =
~2 2
+ ( )
2
(5.1)
Pour satisfaire la condition de linéarité, il faut que tout terme dans l’équation d’onde soit linéaire
en L’équation d’onde peut donc inclure des termes comme 2 2 etc., soit une dérivée
de mais aucun terme proportionnel à 0 , 2 3 etc. Considérons l’effet de différentes dérivées sur
l’onde plane progressive sin( − ) pour la particule libre (potentiel 0 constant). Pour obtenir
le terme ~ de l’éq. (5.1), nous pouvons dériver l’onde plane par rapport au temps
sin( − ) = − cos( − )
(5.2)
alors que pour obtenir le terme en 2 de l’éq. (5.1), nous devons dériver deux fois par rapport à
2
sin( − ) = − 2 sin( − )
2
(5.3)
Pour reproduire l’éq. (5.1), nous tentons donc l’équation linéaire
( )
2 ( )
+ 0 ( ) =
2
(5.4)
où les constantes sont à déterminer. Avec ( ) = sin( − ) dans l’éq. (5.4), nous avons
−2 sin( − ) + 0 sin( − ) = − cos( − )
(5.5)
Bien que nous puissions faire varier les constantes et il n’y a aucun moyen de satisfaire cette
équation pour toutes les valeurs des variables indépendantes et Notre problème vient du fait
que la dérivée change les sinus en cosinus et vice versa. Essayons donc de prendre comme solution
pour la particule libre
( ) = cos( − ) + sin( − )
(5.6)
où est une constante à déterminer. En substituant dans l’éq. (5.4), nous obtenons
¤
£
¤
£
−2 + 0 + cos( − ) + −2 + 0 − sin( − ) = 0
(5.7)
§5.1 Equation de Schrödinger dépendante du temps
139
Pour satisfaire cette équation, il faut que les coefficients du cosinus et du sinus soient nuls
−2 + 0 = −
(5.8)
2
− + 0 =
En soustrayant ces deux équations, nous obtenons facilement que = ± En portant ce résultat
dans la première équation, nous trouvons
− 2 + 0 = ∓
(5.9)
Les constantes et doivent satisfaire les trois équations données par les éqs. (5.8) et (5.1)
(avec ( ) = 0 ) soit
~2 2
+ 0 = ~
(5.10)
2
En comparant (5.9) et (5.1), nous avons
=−
~2
2
(5.11)
et
∓ = ~ ⇒ = ±~
(5.12)
Il y a donc deux choix possibles pour On peut montrer qu’il n’y a aucune différence significative
à choisir l’un ou l’autre. Suivant l’usage, nous prenons = +~ L’équation différentielle cherchée
est donc, pour la particule libre
~
~2 2 ( )
( )
=−
+ 0 ( )
2 2
(5.13)
Il semble raisonnable de penser que même lorsque le potentiel dépend de et l’équation
différentielle doit avoir la même forme. Nous ne pouvons cependant pas prouver cela. Nous allons
donc postuler que
¥ Équation de Schrödinger en une dimension
~
~2 2 ( )
( )
=−
+ ( )( )
2 2
(5.14)
L’éq. (5.14) est l’équation obtenue par Schrödinger Elle permet de trouver l’onde de matière dans
le cas général où une force est présente et où, donc, la longueur d’onde varie avec la position. Cette
équation a été amplement justifiée par les résultats qu’elle prédit dans de nombreuses situations
physiques. En trois dimensions, l’équation de Schrödinger devient
~
~2 2
(r )
=−
∇ (r ) + (r )(r )
2
(5.15)
L’éq. (5.15) n’est valide que dans le cas d’une particule dont la vitesse n’est pas relativiste.
Cette limitation vient du fait que nous avons utilisé = 2 2 + comme expression pour
l’énergie totale. En 1928, Dirac a obtenu une équation relativiste en utilisant essentiellement les
140
Chap.5. Formalisme mathématique de la mécanique quantique
même postulats que ceux énumérés ci-haut,
p mais en remplaçant l’expression pour l’énergie totale
par son équivalent relativiste soit = 2 2 + 20 4 + La présence de la racine carrée dans
cette équation complique passablement le traitement quantique. L’équation de Dirac sera traitée
dans un cours plus avancé de mécanique quantique.
Remarquez que pour le cas d’une particule libre, notre solution conduit à
( ) = cos( − ) + sin( − ) = (−)
(5.16)
En effet, nous avons explicitement démontré que ni cos( − ) ni sin( − )) ne peuvent être
solutions de l’équation. La fonction d’onde doit donc être complexe. Plus précisément, cela vient
du fait que l’équation de Schrödinger contient le nombre imaginaire dans la dérivée première par
rapport au temps. Considérons, le cas général et décomposons la fonction d’onde en ses parties
réelle et imaginaire
(5.17)
= +
Portons cette expression dans l’équation de Schrödinger. Nous obtenons alors en égalant les parties
réelles et imaginaires (le potentiel est réel) les deux équations
~
~
~2 2
+
2 2
~2 2
= +
−
2 2
= −
(5.18)
(5.19)
Ces équations montrent bien que les parties réelle et imaginaire de la fonction d’onde ne sont pas
par elles-mêmes des solutions de l’équation de Schrödinger. D’ailleurs, dans la définition
de la probabilité ||2 = 2 + 2 les deux parties sont également importantes.
5.2 Conservation de la norme et courant de probabilité
Nous avons décidé d’interpréter la fonction d’onde ( ) comme une amplitude de probabilité
de sorte que la probabilité de trouver la particule quelque part dans l’espace doit être l’unité et
cela, évidemment, pour n’importe quel temps (la fonction d’onde est normalisée) :
Z +∞
Z +∞
( ) =
|( )|2 = 1
(5.20)
−∞
−∞
Nous pouvons maintenant montrer que si ( ) est solution de l’équation de Schrödinger, alors
cette condition est automatiquement satisfaite. S’il n’en était pas ainsi, nousqne pourrions tout
R +∞
2
simplement pas utiliser |( )|2 comme densité de probabilité. La quantité
−∞ |( )|
s’appelle la norme de () Dire que la probabilité totale est conservée revient à dire que la norme
de () est conservée par l’équation de Schrödinger. Écrivons1 ,
= ∗ + ∗
En utilisant l’éq. (5.14), nous avons
∙
¸
¸
∙
1
~2 2
1 ∗
~2 2
∗
=− −
+ + −
+
~
2 2
~
2 2
1 Nous
laissons parfois, selon le contexte, les indices ( ) implicites pour alléger la notation.
(5.21)
§5.2 Conservation de la norme et courant de probabilité
d’où
~
=
2
141
∙ 2 ∗
¸
2
∗
−
2
2
(5.22)
Comme
2
2 ∗
∗
−
=
2
2
µ
¶
∗
∗
−
(5.23)
on a facilement que
Z
+∞
−∞
µ
¶
∗
∗
−
=
−∞
µ
¶¯+∞
¯
~
∗
∗ ¯
=
−
2
¯−∞
= 0
~
2
Z
+∞
(5.24)
Pour tout choix raisonnable de la fonction d’onde, et pour → 0 lorsque → ±∞ de sorte
que nous obtenons que la probabilité est effectivement conservée dans le temps par l’équation de
Schrödinger. Nous utiliserons souvent le fait que la fonction d’onde doive s’annuler à l’infini. S’il n’en
était pas ainsi, la fonction d’onde ne serait pas normalisable et donc pas acceptable physiquement.
L’éq. (5.22) est également vraie sans les signes d’intégration
µ
¶
~
∗
∗
=−
−
(5.25)
2
En définissant
~
=
2
µ
¶
∗
∗
−
(5.26)
nous pouvons donc écrire (5.25) sous la forme
( ) ( )
+
= 0
(5.27)
Cette équation est analogue à l’équation de continuité en hydrodynamique ( serait la densité du
fluide et la densité de courant). L’interprétation de cette équation en hydrodynamique est qu’un
changement dans la quantité de matière d’un élément de volume doit être contrebalancé par le
flot d’un courant de matière à travers cet élément de volume. De la même façon, nous pouvons
considérer que le changement dans la probabilité doit être contrebalancé par le flot d’un courant
de probabilité ( ) (Pour être plus précis : comme ( ) est une densité de probabilité,
( ) est une densité de courant de probabilité.) En trois dimensions, l’équation de continuité
devient
(r )
+ ∇ · J(r ) = 0
(5.28)
où la densité de courant de probabilité est maintenant une quantité vectorielle donnée par
J(r ) =
~
( ∗ (r )∇(r ) − (r )∇ ∗ (r ))
2
(5.29)
Les physiciens qui aiment les images considèrent que la probabilité se déploie dans l’espace plus ou
moins comme un fluide.
142
Chap.5. Formalisme mathématique de la mécanique quantique
Exemple 3 Courant de probabilité d’une onde plane : pour l’onde plane, la fonction d’onde
est
(5.30)
(r ) = p·r}
de sorte que la densité de courant de probabilité est donnée par
J(r ) =
p
||2 = v ||2
(5.31)
où v est la vitesse de la particule (et non la vitesse de phase de l’onde plane).
5.3 Equation de Schrödinger indépendante du temps
Pour nombre de problèmes importants en mécanique quantique, le potentiel n’est pas une
fonction explicite du temps. L’équation de Schrödinger, qui est une équation aux dérivées partielles, peut alors être considérablement simplifiée en utilisant la technique de séparation des
variables. Considérons
~
~2 2
( ) = −
( ) + ()( )
2 2
(5.32)
où = () uniquement. Nous savons que cette équation admet une solution sous la forme d’un
produit d’une fonction de et d’une fonction de
( ) = ()()
(5.33)
En substituant l’éq. (5.33) dans l’éq. (5.32), nous obtenons
~2 2
()() = −
()() + ()()()
2 2
~2 2
() + () ()()
~() () = −()
2
∙2
¸
1
~2 2
1
() =
−
() + ()()
~
()
()
2 2
~
(5.34)
Dans la seconde ligne, nous avons remplacé les dérivées partielles par des dérivées totales puisque
() et () ne sont fonctions que d’une seule variable. Remarquez que le membre de gauche de
l’éq. (5.34) ne dépend que de la variable alors que le membre de droite ne dépend que Il s’ensuit
que leur valeur commune doit être une constante que nous appellerons Nous avons maintenant
deux équations données par
(5.35)
~ () = ()
et
~2 2
−
() + ()() = ()
(5.36)
2 2
L’éq. (5.35) a pour solution
() = −~
(5.37)
C’est une fonction oscillant dans le temps avec la fréquence = ~ Selon le postulat de de
Broglie, la fréquence de l’onde associée à la particule doit être reliée à son énergie totale de
§5.3 Equation de Schrödinger indépendante du temps
143
sorte que = ~ = La constante entrant dans les éqs. (5.35) et (5.36) est donc l’énergie
totale de la particule et
(5.38)
( ) = ()() = ()−~
La fonction (), elle, est solution de l’équation
¥ Équation de Schrödinger indépendante du temps
−
~2 2
() + ()() = ()
2 2
(5.39)
L’équation de Schrödinger indépendante du temps est plus simple que l’équation de Schrödinger
totale car elle ne contient qu’une seule variable Ce n’est plus une équation aux dérivées partielles. De plus, elle ne contient pas le terme imaginaire de sorte que ses solutions ne sont pas
nécessairement complexes.
Il faut faire attention de ne pas confondre () qui est indépendante du temps avec ( ) Pour
éviter toute erreur, convenons pour le moment d’utiliser des lettres majuscules pour la fonction
d’onde qui dépend du temps et des lettres minuscules pour les autres. Nous écrirons
Ψ( ) = ()−~
(5.40)
L’équation de Schrödinger, (5.39), possède plusieurs solutions (), chacune correspondant à
une valeur donnée de Notre tâche ne consiste pas à trouver toutes les solutions mathématiques
de cette équation, mais plutôt à trouver toutes les solutions acceptables physiquement ! En effet,
comme la fonction d’onde définit entièrement l’état de la particule et que toutes les autres propriétés
du systèmes sont obtenues en faisant certaines opérations sur la fonction d’onde (par exemple en
prenant la dérivée de la fonction d’onde), celle-ci et sa dérivée doivent satisfaire un certain nombre
de conditions si nous ne voulons pas que les quantités physiques qui en sont dérivées aient des
comportement inacceptables).
¥ Condition imposées à la fonction d’onde : Sauf pour certains cas particuliers, la fonction
d’onde et sa dérivée doivent satisfaire aux conditions suivantes :
— () doit être normalisable car ( ) = |Ψ( )|2 = |()|2
— () et () doivent être partout bornées.
— () et () doivent être univoques2 .
— () et () doivent être continues.
Si () et () n’étaient pas finies ou univoques, alors il serait de même pour Ψ( ) =
= −~ ()
−~ () et pour Ψ()
. Comme nous le verrons un peu plus loin, les formules générales pour calculer les valeurs moyenne de la position ou de la quantité de mouvement contiennent
les quantités Ψ( ) et Ψ()
Si ces quantités ne sont pas finies ou univoques, alors nous ne serons
pas assurés d’obtenir des valeurs bornées et bien définies pour des quantités physiques comme la
position ou la quantité de mouvement. Cela serait complètement non physique car ces quantités
doivent se comporter de façon raisonnable. Dans certains cas très rares, nous rencontrerons un ()
2 Univoques
dans le sens où, pour une valeur donnée de , il n’y a qu’une seule valeur des fonctions () et ()
144
Chap.5. Formalisme mathématique de la mécanique quantique
qui divergera en un point. Dans ce cas, toutefois, cette divergence doit être suffisamment lente pour
permettre à l’intégrale de ∗ ()() sur une petite région entourant ce point d’être finie.
Pour que ()
soit partout bornée, il est nécessaire que () soit continue. En effet, si () est
discontinue en un point, alors sa dérivée première est infinie en ce point. Si on écrit l’équation de
Schrödinger sous la forme
2
2
() = 2 [ () − ] ()
(5.41)
2
~
on voit que pour () et () bornés, 2 ()2 est bornée. Si 2 ()2 est partout bornée,
alors () est partout continue. Une discontinuité dans la première dérivée de la fonction
d’onde entrainerait nécessairement une dérivée seconde infinie en ce point. Dans certains exemples,
comme celui d’une particule dans une boîte (voir plus loin), on approxime l’effet des parois de la
boîte par un potentiel infini. Dans ce cas, 2 ()2 devient infini sur les parois de la boîte ce qui
implique une discontinuité dans la dérivée première en ce point. Évidemment, cette discontinuité
est due à notre approximation. En réalité, le potentiel n’est jamais infini.
Le fait d’imposer certaines restrictions pour qu’une solution de l’équation de Schrödinger indépendante du temps soit acceptable est très important. En effet, une équation différentielle admet
plusieurs solutions et c’est seulement lorsqu’on retient, parmi toutes ces solutions, celles qui se
conforment à nos restrictions que l’on obtient la quantification de l’énergie en mécanique quantique.
5.4 Un cas simple : le puits de potentiel infini
Nous allons bientôt aborder l’étude des opérateurs de position, de quantité de mouvement, et
d’énergie. D’un point de vue pédagogique, il est intéressant de voir comment ces opérateurs agissent
sur des fonctions d’onde précise. Jusqu’à maintenant, nous n’avons obtenu que la fonction d’onde
de la particule libre. Un cas plus intéressant et assez facile à résoudre est celui d’une particule dans
une boîte. Dans ce cas simple, mais d’une extrême importance, l’équation de Schrödinger ne donne
que des états liés c’est à dire des états où la particule est restreinte à n’occuper qu’une certaine
région de l’espace. Toutes les énergies possibles sont quantifiées.
Le puits de potentiel infini est défini mathématiquement par
() =
½
0 −2 ≤ ≤ 2
∞ autrement
(5.42)
Une règle de base à retenir est que chaque fois que la particule classique a une énergie telle que son
mouvement est limité à une certaine région de l’espace, alors la particule quantique correspondante
a des états d’énergie quantifiée. Si la particule classique n’est pas restreinte à une région finie de
l’espace alors son énergie totale peut prendre n’importe quelle valeur.
Comme le potentiel est infini en dehors du puits, la fonction d’onde est partout nulle dans cette
région. Nous avons donc à résoudre l’équation de Schrödinger à l’intérieur du puits seulement.
Comme l’équation est du second ordre, il doit y avoir deux solutions linéairement indépendantes3 .
On trouve facilement que
() = + −
3 Il
=
√
2~
n’est pas certain que les deux solutions soient acceptables physiquement.
(5.43)
§5.4 Un cas simple : le puits de potentiel infini
145
La fonction d’onde doit être continue en = ±2 et donc
( = ±2) = 0
(5.44)
La dérivée de la fonction d’onde n’est pas continue en = ±2 parce que le potentiel est infini
en ces points. En portant (5.44) dans (5.43), nous trouvons
¶
= 0
( + ) cos
2
µ ¶
( − ) sin
= 0
2
µ
(5.45)
(5.46)
Il n’y a que deux façons de satisfaire ce système d’équations ce qui donne lieu à deux types de
solutions. La première façon consiste à prendre
= et = (2 + 1)
= 0 1 2
(5.47)
et la deuxième
= − et = 2
= 1 2
(5.48)
( = 0 n’est pas une solution dans le deuxième cas car la fonction d’onde serait nulle partout.) Il
est plus simple de réécrire ces deux solutions comme
() =
½
2 cos( ) = 1 3 5
2 sin( ) = 2 4 6
(5.49)
avec = . La normalisation des fonctions permet de trouver le coefficient :
Z
+2
−2
() () = 1 ⇒ =
r
1
2
(5.50)
La solution finale est donc
⎧ q
¡
¢
2
⎨
cos
= 1 3 5
q
() =
¡
¢
2
⎩
= 2 4 6
sin
pour || ≤ 2 et () = 0 autrement. Comme =
donnée par
=
(5.51)
√
2~ l’énergie de chaque état est
~2 2 2
~2 2
=
2
22
(5.52)
Les solutions pour les premiers niveaux d’énergie sont représentées sur la fig. 5.1. Nous allons
maintenant faire un certain nombres de commentaires sur ce problème.
146
Chap.5. Formalisme mathématique de la mécanique quantique
ψ(x)
|ψ(x)|2
4
4
3
3
2
2
1
1
-0.6
-0.4
-0.2
0
x
0.2
0.4
0.6
-0.6
-0.4
-0.2
0
x
0.2
0.4
0.6
FIGURE 5.1. Fonctions d’onde et densité de probabilité pour les quatre premiers niveaux de puits infini.
¥ Chaque mode propre ou état quantique est défini par la donnée du nombre quantique . Il
n’y a qu’un degré de liberté ici donc un seul nombre quantique4 .
¥ Le nombre de noeuds dans un état est donné par − 1 (la fonction d’onde est obligée de
s’annuler en = ±2 mais nous ne considérerons pas ces points comme des noeuds). Il n’y a
donc pas de noeud dans l’état fondamental.
¥ L’énergie des modes augmente avec le nombre quantique comme 2 . Cela est normal car,
plus la fonction d’onde oscille, plus l’énergie cinétique correspondante est importante, l’énergie
cinétique étant reliée à la dérivée seconde de la fonction. Dans la limite des grands nombres
quantique la différence d’énergie entre deux niveaux est
+1 −
( + 1)2 − 2
2
∆
=
=
≈
2
(5.53)
et donc
∆
= 0
(5.54)
Dans la limite des grands nombre quantique, la quantification de l’énergie devient indiscernable
et nous avons l’impression d’un continuum d’énergie au lieu de niveaux d’énergie quantifiée.
C’est encore une fois l’expression du principe de correspondance de Bohr. Notez aussi que plus
est grand, plus la fonction d’onde possède de noeuds et donc plus elle oscille rapidement. Dans
la limite → ∞ la fonction oscille si rapidement que la densité de probabilité correspondante
est indiscernable d’une constante. La particule a donc un égale probabilité de se trouver
n’importe où dans le puits de potentiel, ce qu’aurait prédit la mécanique classique.
¥ Puisque l’on a choisi notre puits de potentiel symétrique par rapport à = 0 nous pouvons
choisir les fonctions d’onde comme étant paires ou impaires
lim
→∞
() = (−)
= 1 3 5
(5.55)
et les fonctions d’onde impaires
() = − (−)
4 Nous
= 2 4 6
(5.56)
ne tenons pas compte du spin qui est un degré de liberté interne que nous aborderons dans un prochain chapitre.
§5.4 Un cas simple : le puits de potentiel infini
147
Les densités de probabilités correspondantes sont toutes des fonctions paires cependant.
¥ L’énergie la plus basse dans le puits n’est pas nulle, en accord avec le principe d’incertitude.
En effet, si nous prenons ∆ = 2 ⇒ ∆ ≥ ~2∆ ∼ ~ nous trouvons
∆ ≥
~2
(∆ )2
∼
2
22
(5.57)
alors que l’énergie du niveau = 1 est donnée par
1 =
~2 2
22
(5.58)
Le principe d’incertitude est donc satisfait. L’énergie du point zéro dans le puits est inversement
proportionnelle à la masse de la particule.
¥ Courant de probabilité dans un état stationnaire du puits infini : dans un état stationnaire
du puits infini, ( ) = () } où () est une fonction d’onde réelle. On voit alors
immédiatement que la densité de courant de probabilité J( ) = 0 Les états propres sont des
états stationnaires. Il n’y a pas d’évolution des quantités physiques dans ces états.
¥ Orthonormalisation et bases de fonctions Le puits de potentiel infini possède une infinité discrète d’états liés représentés par les fonctions d’onde () réelles qui sont solutions de
l’équation aux valeurs propres () = (). Dans le cours de Mécanique quantique II,
on montrera que le hamiltonien étant un opérateur hermitique, les fonctions { ()} possèdent
les propriétés suivantes :
¥ Elles sont orthonormées (si nous les avons d’abord normalisées)
Z
+2
−2
∗ () 0 () = 0
(5.59)
¥ Elles satisfont à la relation de fermeture
X
¡ ¢
¡
¢
() ∗ 0 = − 0
(5.60)
¥ Il est possible de développer n’importe quelle fonction d’onde (définie dans le puits) sur la base
des fonctions () Mathématiquement, cela signifie qu’on peut écrire une fonction d’onde
quelconque () comme
Z
¢
¡ ¢ ¡
() =
0 − 0 0
(5.61)
"
#
Z
¡ ¢
¡ ¢ X
() ∗ 0 0
(5.62)
=
0
=
X
=
=
X
Z
()
∙Z
()
¡ ¢ ¡ ¢
0 ∗ 0 0
¡ ¢ ¡ ¢
0 ∗ 0 0
¸
(5.63)
(5.64)
(5.65)
148
Chap.5. Formalisme mathématique de la mécanique quantique
où est le coefficient de la décomposition. On dit que l’ensemble { ()} forme un base de
l’espace des fonctions d’onde. Dans le cas du puits infini, cette base est discrète et { ()}
constitue le spectre de l’opérateur Dans le cas de l’atome d’hydrogène, au contraire, le
spectre est formée d’une infinité d’états discrets ainsi que d’un continuum d’états (les états
pour lesquels l’énergie de l’électron est positive).
¥ Le développement temporel est donné simplement par
X
() − }
(5.66)
( ) =
avec les énergies données par l’éq. (5.52). (Nous prouverons ce résultat lorsque nous discuterons du postulat VI un peu plus loin dans ce chapitre). Nous pouvons donc étudier le
mouvement dans le temps et dans l’espace d’un paquet d’ondes quelconque dans le puits de
potentiel.
5.5 Calcul des valeurs moyennes
Par définition, la valeur moyenne de la position est5
Z +∞
hi =
()
(5.67)
−∞
Comme () = ∗ ()() et que la fonction d’onde () est supposée normalisée,
hi =
Z
+∞
∗ ()()
(5.68)
−∞
Nous avons inséré le entre les deux fonctions d’onde pour des raisons qui deviendront évidentes
plus tard. La valeur moyenne de n’importe quelle fonction de s’écrit
Z +∞
∗ () ()()
(5.69)
h ()i =
−∞
La généralisation à des fonctions de et est immédiate :
Z
h (r)i = ∗ (r) (r)(r) r
(5.70)
On peut définir de la même façon la valeur moyenne de la quantité de mouvement. Puisque ()
est normalisée, il s’ensuit que () l’est également et donc
hi =
Z
+∞
() =
−∞
Z
+∞
∗
()()
Pour une fonction générale de la quantité de mouvement et en trois dimensions,
Z +∞
∗
h (p)i =
(p) (p)(p) p
−∞
5 Ici
la variable est partout implicite.
(5.71)
−∞
(5.72)
§5.6 Opérateurs X et P
149
5.6 Opérateurs X et P
Jusqu’à maintenant nous avons utilisé la fonction de probabilité () pour définir la valeur
moyenne d’une fonction de Comme () est reliée à () il est parfois plus utile de savoir
calculer la valeur moyenne d’une fonction de directement de () plutôt que de () Pour ce
faire, nous écrivons
Z
+∞
hi =
∗
()()
(5.73)
−∞
et remplaçons la fonction () par sa transformée de Fourier,
1
hi = √
2~
Z
+∞
∗
()
−∞
Z
+∞
()−~
(5.74)
−∞
En utilisant le fait que
−~
¸
∙
Z +∞
Z +∞
1
−~
∗
hi = √
()
()
~
2~ −∞
−∞
−~ = ~
nous avons
(5.75)
(5.76)
Nous pouvons maintenant intégrer par parties la dernière intégrale et utiliser le fait que (±∞) = 0
pour obtenir
¸
∙
Z +∞
Z +∞
1
∗
−~
hi = − √
(5.77)
~ ()
()
2~ −∞
−∞
soit en réarrangeant l’ordre des intégrales
¸ Z +∞
∙
Z +∞
∗
√
hi =
−~ ()
()−~
2~
−∞
−∞
d’où
hi =
Z
hi =
Z
Donc finalement,
+∞
−∞
+∞
−∞
(5.78)
¸
∙
() −~ ()
(5.79)
¸
∙
()
() −~
(5.80)
∗
∗
et nous avons une formule nous permettant de calculer la valeur moyenne de à partir de la fonction
d’onde () Remarquez que cette formule ressemble beaucoup à l’éq. (5.68) sauf que le a été
remplacé par l’opérateur −~
. Ainsi, pour obtenir la valeur moyenne de à partir de () nous
sur la fonction d’onde () puis multiplier le résultat
devons d’abord faire agir l’opérateur −~
∗
par () et intégrer. L’opérateur −~ n’agit que sur la fonction à sa droite. C’est pourquoi
nous le mettons en sandwich entre ∗ () et () À partir de maintenant, nous identifions −~
6
comme opérateur quantité de mouvement que nous notons
↔ −~
(5.81)
6 On utilise le même symbole que la probabilité, mais selon le contexte, on pourra toujours distinguer facilement entre ces
deux quantités.
150
Chap.5. Formalisme mathématique de la mécanique quantique
En utilisant le même raisonnement, on peut facilement montrer que la valeur moyenne de la
position peut s’écrire en fonction de () de la façon suivante
∙
¸
Z +∞
∗
hi =
() ~
()
(5.82)
−∞
Donc chaque fois que nous voulons obtenir la valeur moyenne de à partir de () nous de∗
que nous identifions à partir de
vons mettre en sandwich, entre () et () l’opérateur ~
maintenant comme l’opérateur position et que nous notons
↔ ~
(5.83)
Selon le problème qui nous intéresse, il est parfois utile de travailler soit avec () soit avec
() Lorsqu’on travaille avec () on dit que l’on travaille dans la représentation alors qu’avec
() on travaille dans la représentation . Il faut bien faire attention à la forme des opérateurs
dans chacune de ces représentations. Dans la représentation la position est représentée par un
simple nombre . Cependant, on peut aussi considérer comme un opérateur dont l’action sur la
fonction d’onde () est simplement de multiplier cette fonction d’onde par On a alors
() = ()
(5.84)
(5.85)
() = −~ ()
Dans la représentation la quantité de mouvement est représentée par un simple nombre
Cependant, on peut aussi considérer comme un opérateur dont l’action sur la fonction d’onde
() est de la multiplier par On a alors
(5.86)
() = ()
(5.87)
() = ~ ()
Remarquez le terme opérateur colle assez bien à la philosophie de la mécanique quantique. Nous
avons postulé que la fonction d’onde () contient toute l’information pouvant être connue d’un
système. Pour obtenir cette information nous devons interagir avec le système c’est-à-dire effectuer
sur sa fonction d’onde une certaine opération. Autrement dit, les informations physiques ne nous
sont accessibles qu’à travers les opérateurs. Chaque quantité physique aura ainsi son opérateur.
Pour être cohérent avec cette interprétation, nous écrirons maintenant les valeurs moyennes de la
position et de la quantité de mouvement comme hi plutôt que hi et h i plutôt que hi
Dans la représentation les valeurs moyennes des opérateurs et sont données par
hi =
h i =
Z
hi =
∗
()() =
−∞
Z +∞
Dans la représentation
h i =
+∞
∗ () () =
−∞
Z
+∞
−∞
Z +∞
−∞
Z
+∞
−∞
Z +∞
−∞
∗
() () =
∗
()() =
Z
∗ ()()
¸
∙
()
∗ () −~
+∞
−∞
Z +∞
−∞
∗
()()
¸
∙
∗
() ~
()
(5.88)
(5.89)
(5.90)
(5.91)
§5.7 Opérateurs linéaires et commutateur
151
5.7 Opérateurs linéaires et commutateur
Les opérateurs que nous avons introduit jusqu’à maintenant sont des opérateurs linéaires. Par
définition, un opérateur est linéaire si
1. ( 1 + 2 ) = 1 + 2
2. ( 1 ) = 1 où est une constante quelconque.
Nous pouvons multiplier un opérateur par lui-même ou par un autre opérateur :
2 () = 2 ()
µ
¶µ
¶
2
2
−~
() =
−~
() = −~2 2 ()
2 () = 2 ()
(5.92)
(5.93)
(5.94)
Ces exemples sont des cas simples. Que faire cependant si on a () ? Il faut dans ce cas
faire bien attention à l’ordre des opérations. () doit être interprété de la façon suivante : on
applique d’abord l’opérateur sur la fonction d’onde () ce qui nous donne une fonction d’onde
modifiée 0 () On applique ensuite sur cette fonction d’onde modifiée 0 () Ainsi,
µ
¶
()
() = −~
() = −~
(5.95)
Remarquez cependant ce qu’on obtient si on considère l’ordre inverse :
µ
¶
()
() = −~
(()) = −~() − ~
(5.96)
On obtient un résultat très différent. On dit que les opérateurs et ne commutent pas.
On définit la différence entre ces deux résultats comme le commutateur de avec :
[ ] () ≡ () − ()
= ( − ) ()
(5.97)
= ~()
Si nous convenons de nous rappeler qu’un opérateur agit toujours sur une fonction d’onde,
on peut omettre la fonction d’onde et écrire que
[ ] = ~
(5.98)
Ce résultat est très important ! Il exprime le fait qu’une mesure de la position puis de la quantité
de mouvement donne un résultat différent d’une mesure de la quantité de mouvement suivie d’une
mesure de la position. C’est une autre façon d’écrire le principe d’indétermination d’Heisenberg.
On voit que le principe d’indétermination est, grâce au formalisme que nous adoptons (le langage
des opérateurs ou des matrices), automatiquement pris en compte.
5.8 Opérateurs hermitiques
Les opérateurs hermitiques jouent un rôle très important en mécanique quantique. On montrera
en Mécanique quantique II que tout opérateur représentant un quantité physique doit être hermitique. On appelle ces opérateurs des observables. Par définition, un opérateur hermitique doit
152
Chap.5. Formalisme mathématique de la mécanique quantique
satisfaire la condition suivante :
Z
+∞
−∞
∗1 ( 2 )
=
Z
+∞
−∞
(∗ ∗1 ) 2
=
Z
+∞
−∞
( 1 )∗ 2
(5.99)
où 1 et 2 sont des fonctions d’onde quelconques. Les parenthèses dans l’éq. (5.99) sont très
importantes. Dans l’expression de gauche, n’agit que sur 2 alors que dans l’expression de
droite, ∗ n’agit que sur ∗1 . Sans les parenthèses, ∗ dans l’expression de droite agirait sur toute
quantité à sa droite donc sur ∗1 ainsi que sur 2 . Soyez donc très attentifs à la notation.
L’éq. (5.99) montre que, pour un opérateur hermitique, on obtient la même expression en
faisant agir l’opérateur à droite (sur 2 ) ou à gauche (sur ∗1 ). Lorsque l’opérateur agit à gauche
, il faut toutefois prendre son conjugué complexe. Dans le cas particulier où 1 = 2 nous avons
que
Z +∞
Z +∞
∗
1 ( 1 ) = hi =
(∗ ∗1 ) 1 = hi∗
(5.100)
−∞
−∞
Il s’ensuit qu’un opérateur hermitique a nécessairement une valeur moyenne réelle. Il faut qu’il en
soit ainsi si l’opérateur doit représenter une quantité physique. En effet, nous verrons vers la fin
de ce chapitre que c’est la valeur moyenne d’une observable qui correspond à la quantité classique.
Par exemple, hi, en mécanique quantique, joue le rôle de la position en mécanique classique. Il
faut donc que hi soit toujours réelle.
Vous pouvez facilement vérifier que les opérateurs et sont des opérateurs hermitiques.
5.9 Opérateur adjoint ou conjugué hermitique
Nous avons vu dans la section précédente qu’en général, un opérateur non hermitique a une
valeur moyenne complexe. Il arrive cependant que l’on veuille travailler avec des opérateurs non
hermitiques. En fait, ils occupent une place très importante en mécanique quantique. Considérons
donc un opérateur . Nous allons lui associer un autre opérateur qu’on appellera son conjugué
hermitique ou adjoint et qui sera noté † Par définition, † est l’opérateur tel que
Z
+∞
−∞
ou
Z
+∞
−∞
Si 1 = 2 ,
Z
+∞
−∞
∗1
Z
³
´
†
2 =
∗1 ( 2 )
+∞
−∞
=
∗ ()† () =
Z
+∞
−∞
Z
+∞
(∗ ∗1 ) 2
(5.101)
³
´∗
† 1 2
(5.102)
( ∗ ∗ ()) ()
(5.103)
−∞
On voit tout de suite que si † = alors est hermitique. Un opérateur hermitique est donc un
opérateur qui est égal à son adjoint.
§5.10 Expression formelle du principe d’indétermination d’Heisenberg
153
Exemple 4 Cherchons le conjugué hermitique † de l’opérateur . On écrit (puisque = −}
∗ =
)
+}
Z
+∞
−∞
∗1
Z +∞
³
´
†
2 =
( ∗ ∗1 ) 2
−∞
¶
Z +∞ µ
∗
=
+} 1 2
−∞
Z +∞
+∞
∗
∗1 2
= } 1 2 |−∞ − }
−∞
¶
Z +∞ µ
2
=
∗1 −}
−∞
(5.104)
On voit donc que † = . L’opérateur est hermitique. Qu’en est-il de l’opérateur =
? On
a
Z +∞
Z +∞
³
´
∗
†
1 2 =
(∗ ∗1 ) 2
(5.105)
−∞
−∞
¶
Z +∞ µ
∗
2
=
1
−∞
Z +∞
= ∗1 2 |+∞
−
∗1 2
−∞
−∞
¶
Z +∞ µ
=
2
∗1 −
−∞
6= . L’opérateur
On voit donc que l’opérateur † = −
n’est donc pas hermitique.
5.10 Expression formelle du principe d’indétermination d’Heisenberg
Nous avons déjà vu que dans toute mesure d’une propriété physique sur un grand nombre de
systèmes, la valeur observée de la variable correspondant à cette propriété fluctue d’une mesure à
l’autre. Il est très utile d’avoir une mesure de ces fluctuations. En physique classique, une mesure
souvent considérée est celle donnée par la variance : ( − )2 où, pour faire la distinction avec la
mécanique quantique, nous désignons la valeur moyenne par une barre. Il est clair que s’il n’y a
pas de fluctuations, alors = et la variance est nulle. Puisque l’écart quadratique moyen (qui
est la racine carrée de la variance) est toujours positif, tout écart positif ou négatif de la variable
de sa valeur moyenne donnera un écart quadratique moyen non nul. L’écart quadratique moyen
définit la façon générale dont la variable s’écarte de sa valeur moyenne, il ne nous permet pas de
calculer la fonction de probabilité () On peut toutefois l’associer à l’incertitude sur la variable
car il nous renseigne sur la façon dont fluctue d’une mesure à une autre. Nous écrivons donc
(∆)2 = ( − )2
(5.106)
où ∆ l’écart quadratique moyen, définit l’incertitude sur la variable Cette définition de ∆
a le mérite d’être bien pratique. Dans la plupart des calculs, les quantités ∆ et ∆ représentent
une bonne mesure de l’incertitude sur la position et sur la quantité de mouvement. Il peut arriver,
cependant, que l’écart quadratique moyen diffère sensiblement de ce qui semblerait être l’incertitude
154
Chap.5. Formalisme mathématique de la mécanique quantique
naturelle. L’impulsion carrée de largeur est un exemple de ce type d’accident car dans ce cas
l’écart quadratique moyen en est infini alors qu’une estimation plus sommaire donne 2}
(vérifiez cela pour vous-mêmes).
En mécanique quantique,
on peut facilement calculer ∆ si on connaît () Définissons (∆)2 =
q
­ 2®
− hi2 (et ∆ = h 2 i − hi2 ) alors
­ ®
(5.107)
(∆)2 = 2 − hi2
Z +∞
=
∗ () ( − hi)2 ()
−∞
De même, on peut définir l’incertitude ∆ sur la quantité de mouvement :
­ ®
(∆ )2 = 2 − h i2
Z +∞
=
∗ () ( − h i)2 ()
(5.108)
−∞
Nous savons que les variables et ne peuvent pas être mesurées simultanément et qu’il y a une
valeur minimale sur le produit des incertitudes de ces deux variables. Nous énonçons maintenant
un théorème important reliant ces deux incertitudes :
¥ Principe d’indétermination d’Heisenberg : si deux opérateurs et sont des observables, alors
1
(∆)2 (∆)2 ≥ |h[ ]i|2
(5.109)
4
Chaque fois que deux opérateurs hermitiques ne commutent pas, les observables physiques
qu’ils décrivent ne peuvent pas être mesurées simultanément. Si les deux opérateurs commutent, on peut montrer qu’il est possible de déterminer exactement les observables physiques
correspondantes. Pour et |h[ ]i|2 = |~|2 = ~2 de sorte que
∆ ∆ ≥
~
2
(5.110)
Preuve. Considérons une fonction d’onde () telle que
() = ( + ) ()
(5.111)
et donc
∗ () = (∗ − ∗ ) ∗ ()
où et sont deux observables (opérateurs hermiques) conjuguées tels que [ ] = } et est
un paramètre réel quelconque. Quelque soit on doit avoir que
Z +∞
|()|2 ≥ 0
(5.112)
et donc
−∞
Z
+∞
∗
()() =
−∞
=
Z
+∞
−∞
Z +∞
−∞
+∞
=
Z
−∞
[(∗ − ∗ ) ∗ ()] ( + ) ()
∗ () ( − ) ( + ) ()
¤
£
∗ () 2 + [ ] + 2 2 ()
(5.113)
§5.10 Expression formelle du principe d’indétermination d’Heisenberg
soit
Z
+∞
−∞
soit
£
¤
∗ () 2 + [ ] + 2 2 () ≥ 0
ou,
­ ®
­ 2®
+ h[ ]i + 2 2 ≥ 0
155
(5.114)
(5.115)
­ 2®
­ ®
− } + 2 2 ≥ 0
­ ®
­ ®
Considérons la fonction () = 2 + h[ ]i+2 2 . S’il existe deux racines réelles distinctes
telles que () = 0 alors une partie de la fonction () est nécessairement négative et la condition
() ≥ 0 pour tout réel n’est pas respectée. Il faut donc qu’il y ait deux racines complexes
conjuguées l’une de l’autre pour que () ≥ 0 (pour un polynôme du deuxième degré, les racines
complexes apparaissent nécessairement par paires). Si la partie imaginaire de ces racines est nulle,
alors les deux racines réelles sont identiques. Comme les racines sont données par
p
} ± }2 − 4 h2 i h 2 i
(5.116)
=
2 h 2 i
il faut donc que
soit
­ ®­ ®
}2 − 4 2 2 ≤ 0
­ 2 ® ­ 2 ® }2
≥
4
Maintenant, considérons plutôt les deux observables
0 = − h i
0
= − hi
(5.117)
(5.118)
(5.119)
(5.120)
Comme ces deux observables sont également conjuguées au sens où [0 0 ] = }, nous pourrions
recommencer la preuve et obtenir
­ 02 ® ­ 02 ® }2
(5.121)
≥
4
Or, 0 = ∆ et 0 = ∆ donc
∆ ∆ ≥
~
2
(5.122)
Exemple 5 Puits de potentiel infini. Chaque état est un état stationnaire dans lequel on
peut vérifier que
(5.123)
hi = h i = 0
L’indice indique que la moyenne est prise dans l’état Vous pouvez vérifier que dans l’état
= 1 par exemple,
­ 2®
1 =
­ 2®
1 =
2 − 6 2
≈ 00327 2
12 2
~2 2
2
(5.124)
(5.125)
156
Chap.5. Formalisme mathématique de la mécanique quantique
et donc
q
h 2 i1 − hi21 = 0181
q
~
=
h 2 i1 − h i21 =
(∆)1 =
(5.126)
(∆ )1
(5.127)
~
(5.128)
2
Nous retrouvons donc encore une fois que le principe d’incertitude est satisfait mais cette fois-ci
en prenant comme incertitude l’écart quadratique moyen au lieu de 2
(∆ )1 (∆ )1 = 0181~
5.11
Hamiltonien
Nous avons obtenu plus haut l’équation de Schrödinger dans le cas où une particule est soumise
à une force dérivant d’un potentiel ( )
~
~2 2 ( )
( )
=−
+ ( )( )
2 2
(5.129)
Dans le cas général (par exemple s’il y a un champ magnétique), l’équation de Schrödinger est plus
compliquée. Cependant, elle peut toujours être mise sous la forme
=
(5.130)
où est un opérateur agissant sur que nous appellerons le hamitonien du système. Si nous
reprenons notre preuve que l’équation de Schrödinger conserve la norme de la fonction d’onde,
nous pouvons facilement montrer que doit être un opérateur hermitique. En effet ( ici, est la
densité de probabilité et non l’opérateur quantité de mouvement),
¶
Z µ ∗
Z
( )
=
+ ∗
= 0
(5.131)
~
et
−~
de sorte que
∗
= ∗ ∗
(5.132)
Z
( )
=
( ∗ ∗ − ∗ )
(5.133)
~
R
()
= 0, il faut que ( ∗ ∗ − ∗ ) = 0 c’est-à-dire qu’il faut que l’opérateur
Pour que
soit hermitique. Le hamiltonien du système est donc un opérateur hermitique. Remarquez que
la réciproque est aussi vraie : si est hermitique, alors la probabilité totale est conservée dans le
temps.
Nous voyons des éqs. (5.129) et (5.130) que l’hamiltonien pour une particule dans un potentiel
s’écrit
2
~2 2
+
(5.134)
+ =
=−
2
2
2
Le hamiltonien est donc l’opérateur qui donne l’énergie totale du système. Sa valeur moyenne, dans
la représentation est
À
¿ 2
Z +∞
∗
hi =
+
(5.135)
()() =
2
−∞
§5.12 Evolution d’une valeur moyenne dans le temps
157
Pour obtenir le hamiltonien d’un système, nous remplaçons, dans l’énergie classique, par l’opé
Par exemple, pour une particule libre, = 2 2 de
rateur et par l’opérateur = −~
2
sorte que son hamiltonien s’écrit = 2 Nous savons que la fonction d’onde d’une particule
libre est donnée par une onde plane ( ) = (−) de sorte que
( ) = (−)
2 (−)
=
2
~2 2 (−)
= −
2 2
~2 2 (−)
=
2
(5.136)
En utilisant l’éq. (5.130), il est clair que l’on peut aussi écrire l’opérateur d’énergie totale sous
la forme
(5.137)
= ~
On a alors
( ) = (−)
= ~ (−)
= ~(−)
(5.138)
2 2
et nous savons, d’après les relations de de Broglie, que = ~ = ~2
pour la particule libre.
Nous avons vu, jusqu’à présent, les opérateurs et Écrivons l’énergie totale d’une particule
en mécanique classique
2
+ ( )
(5.139)
=
2
et remplaçons l’énergie par l’opérateur d’énergie totale ainsi que et par les opérateurs
et Nous trouvons
2
+ ( )
(5.140)
~ =
2
Si nous faisons agir ces opérateurs sur une fonction d’onde nous obtenons
( )
( )
~
~
2
( ) + ( )( )
2
~2 2
= −
( ) + ( )( )
2 2
=
(5.141)
qui est l’équation de Schrödinger. Nous voyons donc que postuler les associations ↔ ~
↔ −~ équivaut à postuler l’équation de Schrödinger.
5.12 Evolution d’une valeur moyenne dans le temps
Avec l’aide de l’équation de Schrödinger, nous pouvons trouver comment la valeur moyenne d’un
opérateur quelconque varie dans le temps. En effet
158
Chap.5. Formalisme mathématique de la mécanique quantique
hi =
Z µ
∗
+ ∗
¶
+
Z
∗
(5.142)
(Remarquez que est différent de zéro seulement si l’opérateur dépend explicitement du
temps. Les opérateurs et ne dépendent pas du temps donc = 0 mais on p eut
former la combinaison = + qui, elle, donne = Notez que est hermitique
si est hermitique.) En utilisant
∗
1
~
1
= − ∗ ∗
~
=
(5.143)
(5.144)
nous obtenons
hi =
=
=
=
c’est-à-dire
Z
~
Z
~
Z
~
Z
~
Z
(( ) − ()) + ∗
Z
³
´
( ∗ ) † − ∗ () + ∗
Z
( ∗ − ∗ ) + ∗
Z
∗ [ ] + ∗
∗ ∗
∗
hi = h[ ]i +
~
¿
À
(5.145)
(5.146)
Lorsque l’on connaît le commutateur de n’importe quel opérateur avec on peut toujours obtenir
le taux de changement de la valeur moyenne de cet opérateur dans le temps. Ce changement peut
provenir d’un changement dans la fonction d’onde et/ou d’un changement dû à la dépendance
­ ®
hi et
explicite en temps de l’opérateur Il est très important de ne pas confondre
5.13 Le théorème d’Ehrenfest et la limite classique
En physique classique, les variables de position et de quantité de mouvement obéissent aux
équations de mouvement de Newton qui peuvent être écrites sous la forme
=−
et
=
(5.147)
En mécanique quantique, nous ne pouvons pas définir les dérivées de et comme en mécanique
classique, parce que la notion de trajectoire continue n’existe pas ! Ce qu’on peut faire qui se
rapproche le plus possible de la mécanique classique c’est de considérer les dérivées temporelle
des valeurs moyennes des opérateurs de position et de quantité de mouvement. Dans la limite
classique, lorsque la largeur d’un paquet d’ondes représentant une particule peut être négligée, ces
dérivées doivent s’approcher des valeurs classiques prédites par l’équation de Newton (c’est une
autre application du principe de correspondance de Bohr).
§5.13 Le théorème d’Ehrenfest et la limite classique
159
Ehrenfest fut le premier à montrer que l’équation de Schrödinger conduit à l’équation de Newton,
en moyenne. Montrons cela en écrivant d’abord la valeur moyenne de l’éq. (5.147) pour les
opérateurs :
¿
À
¶
µ
Z
h i
= −
= − ∗
(5.148)
¿ À Z
µ ¶
hi
∗
=
=
(5.149)
La première équation nous dit que la dérivée temporelle de la valeur moyenne de la quantité de
mouvement est égale à la valeur moyenne de la force sur la particule. La deuxième équation nous
dit que la dérivée temporelle de la valeur moyenne de la position est égale à la valeur moyenne de
la vitesse de la particule.
Obtenons maintenant l’équation quantique en utilisant l’éq. (5.146) avec l’hamiltonien =
2 2 +
¿
À
h i =
h[ ]i +
(5.150)
~
=
h[ ]i
~Z
=
∗ ( − )
~
¶
¶
µ
µ
Z
Z
∗
∗
−
=
¶
µ
Z
= − ∗
À
¿
= −
Nous obtenons une équation qui est identique à l’éq. (5.148).
Pour la position, le résultat quantique pour la dérivée temporelle de la valeur moyenne donne
¿
À
hi =
h[ ]i +
~
h[ ]i
=
~ ¿∙
¸À
2
+ h[ () ]i
(5.151)
=
~
2
~
¿∙ 2
¸À
=
~
2
h [ ] + [ ] i
=
2~
¿ À
=
où nous avons utilisé [ ] = ~ Cette équation est identique à l’éq. (5.149).
Nous avons donc montré que l’équation quantique pour la dérivée temporelle de la
valeur moyenne des opérateurs et reproduit en moyenne les équations de Newton
160
Chap.5. Formalisme mathématique de la mécanique quantique
pour et Cela constitue le théorème d’Ehrenfest. Nous pouvons donc faire la correspondance
suivante entre mécanique classique et mécanique quantique :
() ↔ hi ()
et
() ↔ h i ()
(5.152)
Les opérateurs et ne dépendent pas du temps en mécanique quantique. Leur valeur moyenne
peut dépendre du temps cependant puisque la fonction d’onde ( ) est une fonction du temps.
C’est pourquoi nous écrivons hi () et non h()i
Le théorème d’Ehrenfest donne donc que
2
2 hi =
¿
À
=−
¿
À
(5.153)
c’est-à-dire que l’équation de Newton est satisfaite en moyenne (la valeur moyenne de l’accélération
est proportionnelle à la valeur moyenne de la force sur la particule). Considérons que notre particule
est décrite par un paquet d’ondes dont le centre est donné en tout temps par hi () Pour retrouver
la limite classique (la loi de Newton), nous aimerions que le centre du paquet d’ondes se déplace
selon l’équation de Newton, c’est-à-dire que nous aimerions retrouver l’équation
¯
() ¯¯
2
2 hi = −
¯=hi
(5.154)
qui dit que l’accélération de la particule (centre du paquet d’ondes) est proportionnelle à la force
qui s’exerce sur le centre du paquet d’ondes (en = hi). On voit bien que l’équation quantique
(éq. (5.153)) ne correspond pas tout à fait à l’équation de Newton (éq. (5.147)). Pour décrire la
limite classique, nous devons supposer certaines restrictions sur la forme du paquet d’ondes.
Tout d’abord, une particule quantique est décrite par le paquet d’ondes en entier et non seulement
par son centre. Cependant, si l’extension du paquet d’ondes est faible devant les autres longueurs
du problèmes (les variations du potentiel, par exemple), alors on pourra assimiler le paquet d’ondes
à son centre
ψ(x)
V(x)
x=<X>
FIGURE 5.2. Fonction d’onde variant rapidement par rapport à la fonction potentiel.
§5.14 Postulats de la mécanique quantique
­ ®
Ensuite, considérons le terme
dans l’éq. (5.153). Explicitement, ce terme s’écrit
À
¶
µ
¿
Z
∗
=
Ψ ( )
Ψ( )
¶
µ
Z
2
=
|Ψ( )|
161
(5.155)
Supposons maintenant le paquet d’ondes très étroit. Par cela, nous voulons dire que |Ψ( )|2 ne
prend des valeurs notables que dans un domaine de dimensions très petites devant les distances sur
lesquelles le potentiel () varie de manière appréciable comme sur la fig. 5.2. Dans un domaine
­ ®
centré autour de hi la force − () ne varie pratiquement pas ; on peut donc remplacer
¡ ¢
et
on
a
alors
(puisque
la
fonction
d’onde
est
normalisée)
dans l’éq. (5.155) par
=hi
¿
À µ
¶
¶
µ
Z
'
(5.156)
|Ψ( )|2 =
=hi
=hi
Ce qui nous permet de retrouver l’équation de Newton ! Mais attention, il y a aussi une autre
condition à satisfaire !
Si le paquet d’ondes est très étroit, sa dispersion en impulsion sera très grande et donc la vitesse
de la particule ne sera pas bien définie. Pour des systèmes macroscopiques (très petites longueurs
d’onde), il est possible de construire des paquets d’ondes suffisamment étroits et ayant une bonne
définition de l’impulsion. Dans ce cas, le mouvement du paquet d’ondes est pratiquement celui d’un
corpuscule classique de masse plongé dans le potentiel ()
5.14 Postulats de la mécanique quantique
L’ensemble des expériences que nous avons décrites dans les premiers chapitres et qui ont remises
en question la mécanique classique nous a forcé à introduire de nouveaux concepts physiques. La
mécanique quantique ainsi créée se base sur un certains nombres de postulats dont l’expérience
confirme la validité. Nous donnons ici certains de ces postulats.
5.14.1 Postulat I
Au concept classique de trajectoire, la mécanique quantique substitue celui d’état dépendant
du temps L’état quantique d’un corpuscule comme l’électron est caractérisé par une fonction
d’onde (r ) qui contient toutes les informations qu’il est possible d’obtenir sur le corpuscule.
Nous admettrons donc que
À un instant fixé, l’état d’un système physique est défini par la donnée d’une fonction
d’onde ( ) (ou, plus généralement, par la donnée d’un ket |i dans l’espace des états
).
(r ) doit être interprétée comme une amplitude de probabilité de présence. Étant donné que
les positions possibles de la particule forment un continuum, la probabilité pour que la particule soit trouvée, à l’instant dans un élément de volume r situé au point r est donnée par
(r )r = |(r )|2 r Remarquez la grande différence entre la notion d’état classique et la notion d’état quantique. L’état d’une particule classique est déterminé, à l’instant par la donnée
de six paramètres caractérisant sa position et sa vitesse à l’instant : ; L’état d’une
particule quantique est déterminé par une infinité de paramètres : les valeurs aux divers points de
l’espace de la fonction d’onde (r ) qui lui est associée.
162
Chap.5. Formalisme mathématique de la mécanique quantique
5.14.2 Postulat II
Nous avons déjà utilisé un opérateur différentiel (l’hamiltonien) relié à l’énergie totale d’une
particule dans un potentiel. Les fonctions propres () de sont les fonctions qui satisfont
() = ()
(5.157)
les étant les valeurs propres de l’énergie. Cela, cependant, n’est qu’un cas particulier du deuxième
postulat :
Toute grandeur physique mesurable est décrite par un opérateur . Cet opérateur est
une observable.
Par exemple, l’opérateur pour la quantité de mouvement p est P L’opérateur pour la position r
est R Il y a aussi un opérateur pour le moment cinétique L, noté , L etc. Tout opérateur physique
doit être hermitique. Pour chacun de ces opérateurs, on doit résoudre une équation aux valeurs
propres
(5.158)
() = ()
où les () sont les fonctions propres de l’opérateur et les les valeurs propres de
Le postulat II spécifie que ces fonctions propres doivent former une base c’est-à-dire que l’on
peut toujours décomposer toute fonction () de l’espace des fonctions d’onde F sur cette base.
Chaque observable a son ensemble de fonctions propres. Encore une fois, nous simplifions
la discussion en ignorant les cas où les valeurs propres sont dégénérées, c’est-à-dire les cas où il
correspond à une valeur propre plusieurs fonctions propres différentes. Cette généralisation sera
faite dans le cours de mécanique quantique II.
5.14.3 Postulat III
Le postulat III stipule que
La mesure d’une grandeur physique ne peut donner comme résultat qu’une des valeurs
propres de l’observable correspondante.
Cette restriction est très importante. Considérons, par exemple, l’opérateur pour l’énergie
totale d’un oscillateur harmonique de pulsation et de masse . Nous savons que son équation
aux valeurs propres s’écrit
µ 2
¶
1
2 2
+ ()
(5.159)
() =
2 2
= ()
µ
¶
1
=
+
~ ()
2
Le postulat III signifie que si l’on fait une mesure de l’énergie sur un système physique décrit par
une fonction d’onde ( ) tout à fait générale,
X
()
(5.160)
( ) =
¡
¢
où les sont des coefficients quelconques, alors on ne peut trouver que les valeurs + 12 ~ pour
l’énergie. On pourra donc trouver les valeurs 12 ~ 32 ~ 52 ~ etc, mais jamais on ne mesurera la
valeur, 58 ~ par exemple.
§5.14 Postulats de la mécanique quantique
163
Il y a évidemment des systèmes physique pour lesquels l’énergie n’est pas quantifiée. Dans ce
cas, lorsqu’on résout l’équation aux valeurs propres, on trouve que les valeurs propres forment un
continuum de valeurs possibles. Une mesure de l’énergie peut alors donner n’importe quelle valeur
dans ce continuum.
5.14.4 Postulat IV
Considérons encore une fois l’opérateur dont nous connaissons les fonctions propres () Le
postulat III dit que si l’on fait une mesure de l’énergie, on ne peut trouver que les valeurs propres
Cette information est très importante, mais nous voulons aussi savoir quelle est la probabilité
de trouver chacune de ces valeurs. Le postulat IV répond à cette question7 . Si nous supposons
qu’un système quantique est décrit par une fonction d’onde Φ( ) normalisée alors
Lors d’une mesure de l’observable la probabilité de trouver la valeur propre est
donnée par
¯R
¯2
¯ +∞ ∗
¯
2
()
Φ(
)
¯
¯
−∞
|( Φ)|
( ) =
= R +∞
(5.161)
(Φ Φ)
Φ∗ ( ) Φ( )
−∞
Nous avons défini ici le produit scalaire de deux fonctions d’onde :
Z +∞
∗ () Φ( )
( Φ) ≡
(5.162)
−∞
Voyons sur un exemple comment appliquer ce postulat. Considérons l’oscillateur harmonique.
L’opérateur est et nous avons dénoté ses fonctions propres par () Supposons que le système
soit dans un état défini au temps = 0 par la fonction d’onde
Φ( 0 ) = 1 1 () + 2 2 ()
Tout d’abord, remarquons que cette fonction n’est pas nécessairement normalisée. En effet8
Z +∞
Z +∞
∗
Φ ( 0 )Φ( 0 ) =
|1 1 () + 2 2 ()|2
(5.163)
−∞
−∞
Z +∞ n
o
|1 |2 |1 ()|2 + |2 |2 |2 ()|2
=
−∞
Z +∞
+
{∗1 2 ∗1 ()2 () + 1 ∗2 1 ()∗2 ()}
−∞
Z +∞ n
o
|1 |2 |1 ()|2 + |2 |2 |2 ()|2
=
=
−∞
|1 |2 + |2 |2
Nous avons utilisé la propriété d’orthonormalité des fonctions () ce qui fait que les termes
croisés sont nuls. Le carré de la norme de Φ( 0 ) est donc donné par
(Φ Φ) = |1 |2 + |2 |2
(5.164)
7 Nous nous devons ici de simplifier un peu ce postulat. Nous nous restreignons à des opérateurs dont les fonctions propres
ne sont pas dégénérées.
8 Les fonctions propres de l’oscillateur harmonique sont réelles, mais pour être plus général, nous écrivons les formules comme
si elles étaient complexes.
164
Chap.5. Formalisme mathématique de la mécanique quantique
Cet état est la combinaison de deux états propres d’énergie 1 et 2 Si nous faisons une mesure de
l’énergie, le postulat III dit que nous ne pouvons trouver que les valeurs 1 et 2 . La probabilité
de trouver la valeur lors d’une mesure faite sur un grand nombre de systèmes quantiques tous
initialement dans l’état décrit par Φ( 0 ) est, selon le postulat IV :
|1 |2
|1 |2 + |2 |2
(1 ) =
(5.165)
|2 |2
|1 |2 + |2 |2
(2 ) =
(5.166)
Si l’état est normalisé, alors |1 |2 + |2 |2 = 1 et on a simplement
(1 ) = |1 |2
(5.167)
(2 ) = |2 |
(5.168)
(1 ) + (2 ) = 1
(5.169)
2
On vérifie facilement que, bien sûr,
puisqu’il n’y a que deux résultats possibles de la mesure de l’énergie.
Revenons au cas général. Nous avons affaire à un système décrit par la fonction d’onde Φ( )
et nous voulons faire sur ce système une mesure de l’opérateur Nous commençons par résoudre
l’équation aux valeurs propres pour , c’est-à-dire à résoudre
() = ()
(5.170)
Nous connaissons donc les fonctions propres et les valeurs propres de (elles sont complètement
indépendantes( de la fonction d’onde Φ( ))). Pour pouvoir faire des prédictions de mesure, nous
devons décomposer la fonction d’onde Φ( ) sur les fonctions propres de (sur les fonctions
propres de l’opérateur auquel on à affaire). La forme générale de cette décomposition est donnée
par
X
() ()
Φ( ) =
Les coefficients peuvent dépendre du temps, mais pas les fonctions propres qui ne dépendent que
de Le carré de la norme de Φ( ) est facile à calculer en utilisant la propriété d’orthonormalité
des fonctions propres. On trouve
X
| ()|2
(5.171)
(Φ Φ) =
Si on fait une mesure de l’observable A sur le système dans l’état Φ alors on ne pourra trouver
que les valeurs avec les probabilités :
| ()|2
( ) = P
2
| ()|
Si nous normalisons au préalable la fonction d’onde, alors
trouver la valeur propre est simplement
( ) = | ()|2
(5.172)
P
2
| ()|
= 1 et la probabilité de
(5.173)
§5.14 Postulats de la mécanique quantique
165
Remarquez que ( ) représente une probabilité et non une densité de probabilité. Lorsqu’on
mesure un opérateur comme (la position), on peut obtenir un continuum de valeurs possibles.
On parle alors de densité de probabilité ou de probabilité d’obtenir un résultat entre et +
Dans le cas d’un opérateur comme nous avons supposé que ses valeurs propres étaient discrètes.
Le postulat IV se généralise facilement aux opérateurs comme et dont les valeurs propres
forment un continuum. Cependant, les fonctions propres de ces opérateurs sont un peu spéciales
(encore le fameux problème de normalisation dont nous avons discuté auparavant) et nous ne les
aborderons pas ici.
5.14.5 Postulat V
Le postulat V est assez spécial ! Il concerne la fameuse réduction du paquet d’ondes qui se produit
immédiatement après une mesure (nous ignorons ici la possibilité que le spectre de valeurs propres
soit dégénéré).
Si la mesure de la grandeur physique sur le système dans l’état Φ( ) donne le
résultat alors le système immédiatement après la mesure est dans l’état (), état
propre de avec la valeur propre
P
Ainsi, si le système est initialement décrit par la fonction d’onde Φ( ) = () () et
qu’en faisant une mesure de l’observable on trouve le résultat alors la fonction change
radicalement après la mesure. Elle passe instantanément de Φ( ) (qui est une combinaison linéaire
()) à l’état () qui est une fonction propre de avec la valeur propre . Comme
d’états P
Φ( ) = () () représente un paquet d’ondes, on dit qu’il y a réduction du paquet d’ondes
lors de la mesure. La mesure perturbe fondamentalement le système observé ! !
5.14.6 Postulat VI
Nous avons déjà introduit le sixième postulat sans le mentionner explicitement. Il postule que
L’évolution dans le temps de l’état quantique décrit par la fonction d’onde Φ( ) est
régie par l’équation de Schrödinger :
~
Φ( )
= ()Φ( )
(5.174)
où () est l’observable associée à l’énergie totale du système.
() est appelé l’opérateur hamiltonien du système car on l’obtient à partir de la fonction de
Hamilton classique que vous avez étudiée dans le cours de Mécanique classique. Soit () =
() de sorte que les () sont les fonctions propres de l’Hamiltonien. On peut écrire
X
Φ( ) =
() ()
(5.175)
Portons cette solution dans l’équation de Schrödinger. Si l’Hamiltonien ne dépend pas du
temps, on trouve
~
X
()
()
=
X
() ()
=
X
() ()
(5.176)
166
Chap.5. Formalisme mathématique de la mécanique quantique
Multiplions par ∗ () et intégrons. On a
Z
X
X () Z
∗
() ∗ () ()
~
() () =
X
X ()
=
()
~
}
()
(5.177)
= ()
La solution de cette équation est
() = (0) − }
(5.178)
On trouve le résultat très important suivant : si l’hamiltonien ne dépend pas du temps, la fonction
d’onde Φ( ) peut s’écrire sous la forme
X
Φ( ) =
(0) − ~ ()
(5.179)
où les (0) sont des constantes complexes quelconques, indépendantes du temps. L’éq. (5.179)
décrit une superposition linéaire d’états. Si un seul des coefficients est non nul, par exemple si
Φ( ) = − ~ ()
(5.180)
alors nous avons là une solution stationnaire de l’équation de Schrödinger : elle conduit à une
densité de probabilité |Φ( )|2 qui est indépendante du temps. Dans une fonction stationnaire, il
apparaît une seule fréquence, = ~ D’après la relation de Planck-Einstein, = ~, un état
stationnaire est un état d’énergie bien définie. On peut conclure de l’éq. (5.179) qu’une évolution
physique dans le temps n’est possible que si l’état initial de la particule (son énergie) n’est pas
connue avec certitude c’est-à-dire si l’état initial est une superposition d’états.
Remarque 6 Conservation de l’énergie. Si l’Hamiltonien ne dépend pas du temps, alors
l’équation d’évolution d’une valeur moyenne dans le temps nous donne facilement que hi est
une constante dans le temps. L’énergie moyenne est donc conservéeP
si l’hamiltonien ne dépend
pas du temps. De plus, dans un état superposition tel que Φ( ) = (0) − ~ (), la
probabilité de mesurer l’énergie est donnée par ( ) = | (0)|2 Elle ne dépend pas du temps.
Ainsi, même si l’énergie de l’état n’est pas bien définie, les probabilités associées aux énergies
sont, elles, très bien définies et indépendantes du temps. En ce sens, l’énergie est “conservée” en
mécanique quantique. (Remarquez que si l’on considère un processus quantique comme la collision
entre deux particules (effet Compton) d’énergie et de quantité de mouvement bien définies alors
l’énergie et la quantité de mouvement sont conservées en tout temps en mécanique quantique comme
en mécanique classique).
5.15 Application : superposition linéaire d’états du puits infini
Pour voir un peu comment utiliser la mécanique quantique, nous allons considérer l’exemple
simple d’une particule dans un puits de potentiel infini et de largeur . Nous avons vu que les états
stationnaires de la particule correspondent aux énergies
=
2 2 ~2
22
= 1 2 3
(5.181)
§5.15 Application : superposition linéaire d’états du puits infini
167
Chacune des fonctions d’onde () données par l’éq. 5.51) représente un état stationnaire ne
conduisant à aucune évolution dans le temps des propriétés physiques. En effet, si le système est
décrit à l’instant = 0 par
(5.182)
Ψ( = 0) = ()
nous savons, puisque le hamiltonien ne dépend pas du temps, que la fonction d’onde au temps
est donnée par
(5.183)
Ψ( ) = − ~ ()
et que les valeurs moyennes hi h i et hi sont indépendants du temps dans ces états. Quant à
l’énergie, hi = et la dispersion, ∆ = 0 puisque l’énergie est exactement définie dans un tel
état.
Pour décrire un système ayant une évolution dans le temps, nous devons considérer une superposition linéaire d’états du puits quantique. Prenons seulement deux états pour simplifier la
discussion. Soit
Φ( ) =
=
=
i
1 h
√ −1 ~ 1 () + −2 ~ 2 ()
2
i
1 −1 ~ h
√
1 () + −(2 −1 )~ 2 ()
2
¤
1 −1 ~ £
√
1 () + −21 2 ()
2
(5.184)
Comme la fonction d’onde est définie à une facteur de phase global près, il est tout à fait équivalent
de prendre
¤
1 £
Φ( ) = √ 1 () + −21 2 ()
(5.185)
2
√
Vous pouvez vous assurer que le facteur 1 2 est nécessaire pour la normalisation de l’état Φ( )
Nous avons défini la pulsation
3 2 ~
2 − 1
21 =
=
(5.186)
~
22
La fig. 5.3 montre l’évolution de la densité de probabilité |Φ( )|2 donnée par
1
1
|Φ( )|2 = 21 () + 22 () + 1 ()2 () cos ( 21 )
2
2
(5.187)
au cours d’un cycle d’oscillation. À l’instant = 0par exemple, la fonction d’onde est donnée par
1
Φ( = 0) = √ [1 () + 2 ()]
2
(5.188)
Elle est une superposition linéaire des états 1 () et 2 () avec des coefficients égaux de sorte que
la probabilité de trouver le système dans l’état = 1 ou = 2 est la même. Cela reste vrai pour
tout temps dans ce cas.
La variation dans le temps de la densité de probabilité est due au terme d’interférence en
1 ()2 () Une seule fréquence apparaît, 21 = (2 − 1 ) ~, puisque l’état initial, Φ( ) ne
fait intervenir que les deux états 1 et 2 Si on avait inclue un troisième état, disons 3 dans
Φ( ) il serait apparue deux autres fréquences : 31 = (3 − 1 ) ~ et 32 = (3 − 2 ) ~. Ces
fréquences sont appelées les fréquences de Bohr.
168
Chap.5. Formalisme mathématique de la mécanique quantique
t=T/6
t=0
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
-0.4
-0.2
x
-0.2
0
0.2
0.4
-0.4
-0.2
x
-0.2
0.4
0
0.2
0.4
0.2
0.4
x
t=2t/3
-0.4
0.2
t=T/2
t=T/3
-0.4
0
x
t=5t/6
0
0.2
0.4
x
-0.4
-0.2
0
x
FIGURE 5.3. Évolution dans le temps de la densité de probabilité pour la fonction d’onde Φ ( )
Nous pouvons calculer la variation de la position moyenne de la particule en fonction du temps
dans l’état Φ( ) :
hi () =
Z
2
Φ∗ ( )Φ( )
(5.189)
−2
= −
16
cos ( 21 )
9 2
La figure 5.4 illustre la variation au cours du temps de cette valeur moyenne. En tiretés, on a
représenté la position d’une particule classique effectuant un mouvement de même période. Cette
particule n’étant soumise à aucune force sauf sur les parois, sa position varie linéairement avec
entre −2 et 2. La mécanique quantique prévoit que le centre du paquet d’ondes fait demitour avant d’atteindre la paroi, ce qui s’explique par l’action du potentiel sur les pieds du paquet
d’ondes. En combinant plusieurs composantes () (avec des amplitudes judicieusement choisies),
on pourrait former un paquet d’ondes évoluant beaucoup plus comme la particule classique.
§5.16 La relation d’indétermination ∆∆ ≥ }2
169
0.4
<X>(t)
0.2
0
-0.2
-0.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t/T
FIGURE 5.4. Évolution de la valeur moyenne de la position au cours d’une période du mouvement. La ligne
en pointillés donne le mouvement classique.
Notons que si l’on fait une mesure de l’énergie de la particule dans l’état Φ( ) on ne peut
trouver que les valeurs 1 ou 2 Par contre, si on fait un grand nombre de mesures de l’énergie
et que l’on calcule la valeur moyenne, on trouve
hi = (1 ) 1 + (2 ) 2
1
1
1 + 2
=
2
2
5
1
=
2
­ ®
Pour 2
­ 2®
= (1 ) 12 + (2 ) 22
1 2 1 2
+
=
2 1 2 2
17 2
=
2 1
La dispersion en énergie est donc donnée par
q
3
∆ = h 2 i − hi2 = 1
2
(5.190)
(5.191)
(5.192)
Elle est donc relativement important par rapport à la valeur moyenne de l’énergie.
5.16 La relation d’indétermination ∆∆ ≥ }2
L’exemple précédent nous montre que la superposition linéaire évolue de manière appréciable au
bout d’un temps de l’ordre de
1
~
∆ '
=
(5.193)
21
31
170
Chap.5. Formalisme mathématique de la mécanique quantique
On peut facilement vérifier que la relation d’incertitude temps-énergie est satisfaite. En effet,
3
~
~
∆∆ ' 1 ×
=
2
31
2
(5.194)
Ce résultat nous permet maintenant de commenter sur le sens à donner à la relation d’indétermination temps-énergie comme nous avions promis de le faire au chapitre précédent.
Dans la mécanique quantique non-relativiste que nous discutons dans ce cours, la relation d’indétermination temps-énergie ne dérive pas de la relation d’indétermination position-impulsion. En
effet, l’équation de Schrödinger et le formalisme des opérateurs que nous venons de décrire font
une distinction importante entre le temps et les autres variables du systèmes. Position, impulsion
et énergie sont des variables dynamiques du systèmes. On peut les mesurer à n’importe quel instant. Mais le temps, lui, n’est pas une variable dynamique. On ne mesure jamais le “temps” d’une
particule comme on le fait avec la position et la quantité de mouvement ! Le temps est la variable
indépendante du système de laquelle dépendent les quantités dynamiques comme l’énergie et la
position. Ainsi, le ∆ dans la relation d’indétermination n’est pas l’écart quadratique moyen d’un
ensemble de mesures du temps ! ∆ comme l’exemple de la section précédente le montre est plutôt
relié au temps requis par le sytème pour changer de façon substentielle. Essayons maintenant de
donner un sens plus précis à ∆
Nous avons montré dans ce chapitre que l’équation d’évolution de la valeur moyenne d’un opérateur est donnée par
¿
À
hi = h[ ]i +
(5.195)
~
et que la relation générale pour le principe d’indétermination de deux variables quelconques est
(∆)2 (∆)2 ≥
1
|h[ ]i|2
4
(5.196)
Supposons que nous prenions = et = dans cette dernière relation et que ne dépende
pas explicitement du temps. Nous aurions alors
1
|h[ ]i|2
4
¯2
¯
¯
¯1
¯
= ¯ h[ ]i¯¯
2
¯
¯
¯ 1 } hi ¯2
¯
¯
= ¯
2 ¯
¯
µ ¶2 ¯
} ¯¯ hi ¯¯2
=
2 ¯ ¯
(∆)2 (∆)2 ≥
Plus simplement
¯
¯
} ¯¯ hi ¯¯
∆ ∆ ≥ ¯
2 ¯
(5.197)
(5.198)
Notons ∆ = ∆ l’écart quadratique moyen pour l’énergie et definissons
Nous avons alors
∆
¯
∆ = ¯¯
hi ¯
¯ ¯
∆ ∆ ≥
}
2
(5.199)
(5.200)
§5.16 La relation d’indétermination ∆∆ ≥ }2
171
qui est la relation d’indétermination temps-énergie avec un sens bien précis pour ∆ : puisque
¯
¯
¯ hi ¯
¯ ∆
¯
∆ = ¯
¯
(5.201)
∆ représente le temps requis pour que la valeur moyenne de change par un écart quadratique
moyen. ∆ dépend donc beaucoup de l’observable que nous désirons observer. Le changement peut
être très rapide pour une observable et lent pour une autre. Cependant, si ∆ est petit, le temps de
changement de n’importe quelle observable doit être lent et inversement si le temps de changement
de n’importe quelle observable est rapide alors l’incertitude sur l’énergie du système doit être
grande. Donnons quelques exemples
¥ Exemple #2 : Combien de temps faut-il à un paquet d’ondes d’une particule libre pour passer
par un point bien précis ? Encore une fois, nous pouvons définir les incertitudes qualitativement
en prenant ∆ = ∆ = ∆ et = 2 2 → ∆ = ∆ de sorte que
∆∆ =
}
∆ ∆
= ∆∆ ≥
2
(5.202)
Essayez de faire le problème exactement !
¥ Exemple #3 : La particule ∆ dure environ 10−23 seconde avant de se désintégrer. Si vous
faites un histogramme de toutes les mesures de sa masse, vous obtenez une courbe en forme
de cloche centrée à environ 1232 MeV/ 2 avec une largeur d’environ 115 MeV/ 2 Pourquoi
l’énergie de masse au repos ( 0 2 ) varie-t-elle d’une mesure à un autre ? Est-ce une erreur
expérimentale ? La réponse est non car
∆∆ =
µ
¶
¡
¢
115
MeV 10−23 sec = 6 × 10−22 MeV sec,
2
(5.203)
alors que }2 = 3 × 10−22 MeV sec. La largeur de la distribution de masses est donc presqu’aussi petite que ne le permet la relation d’indétermination ! En fait, une particule avec un
temps de vie aussi petit n’a tout simplement pas une masse bien définie. Pour être bien honnête, cependant, un précision s’impose ! Il est impossible de mesurer 10−23 sec en pratique de
sorte que le temps de vie de la particule est en fait inféré de la largeur de la distribution de
masses de l’histogramme en utilisant le principe d’indétermination au départ.
Ces exemples montrent la diversité de sens attachés à ∆ Dans le premier cas, c’est une période
d’oscillation. Dans le second, le temps pour passer un point et dans le troisième, un temps de vie.
Dans tous les cas, cependant, ∆ est le temps requis pour que le système change substantiellement.
On se sert souvent du principe d’indétermination pour dire que l’énergie n’est pas strictement
conservée en mécanique quantique et qu’il est possible d’emprunter une énergie ∆ en autant qu’on
la rende en un temps ∆ ≈ }2∆ Plus grand est l’emprunt, plus petit est le temps pour rendre
l’énergie ! En fait, cette façon de voir est fausse. L’énergie est conservée en mécanique quantique
tout comme en mécanique classique. Nous n’avons pas eu besoin de faire d’hypothèse de ce genre
pout dériver l’éq. (5.201). Le principe d’indétermination temps-énergie est assez robuste, de sorte
qu’il est possible de l’interpréter de façon pas trop catholique sans pour autant obtenir des résultats
entièrement faux... Les physiciens ne s’en privent pas !
172
Chap.5. Formalisme mathématique de la mécanique quantique
5.17 Les sauts quantiques
Si on résout l’équation de Schrödinger indépendante du temps pour l’atome à un électron, on
trouve des états stationnaires (r) d’énergie où et sont des nombres quantiques.
Nous savons que, contrairement aux prédictions de l’électromagnétisme classique, l’électron en
mécanique quantique n’émet pas de radiation électromagnétique lorsqu’il est dans un état propre
de c’est-à-dire sur une des orbite atomique, et cela même si son accélération est non nulle
dans cet état. Avec la théorie de Schrödinger, on peut comprendre mieux comment expliquer cette
apparente contradiction entre mécanique classique et mécanique quantique.
En mécanique¯ quantique,
¯2 en effet, la densité de charge d’un l’électron dans l’état est donnée
¯
par (r) = − (r)¯ . Comme la densité de charge est indépendante du temps, il n’y a pas
de radiation électromagnétique dans cet état. En fait, même en physique classique, il n’y a pas
émission de radiation si une densité de charge est constante. On comprend donc mieux le résultat
de la physique quantique lorsqu’on considère l’électron comme un onde de probabilité plutôt que
comme une particule localisée.
Si l’électron dans l’état peut absorber de l’énergie d’un autre système (par exemple d’un champ
électromagnétique extérieur), alors sa fonction d’onde varie graduellement de son état initial à
un autre état 0 correspondant à une plus grande énergie. Lorsque ce processus a lieu, il y a une
certaine probabilité que l’électron puisse être trouvée dans l’un ou l’autre des états et 0 La
fonction d’onde de l’électron à la veille de faire une transition entre ces deux états serait une
superposition des deux états stationnaires et 0 avec des coefficients dépendants du temps (ce
calcul sera fait dans le cours de Mécanique Quantique III). Lorsque l’électron se trouve dans un
tel état, sa densité de charge oscille dans le temps et alors il y a alors absorption de radiation (ou
émission si l’électron descend de niveau). La mécanique classique prévoit aussi une émission de
radiation lorsque la densité de charge fluctue dans le temps. Lorsque le champ électromagnétique
extérieur est appliqué sur l’atome, la fonction d’onde électronique évolue continûment entre les
états et 0 On pourrait penser que cette continuité dans l’évolution de la fonction d’onde donne
une description continue et déterministe de la transition entre niveaux, contrairement à ce que
nous avons mentionné lors de notre étude du modèle de Bohr où la transition entre niveaux était
un processus indivisible, discontinu et imprévisible. En fait, il n’en est rien !
Lorsqu’un atome est exposé à un champ électromagnétique, la fonction d’onde électronique évolue
continûment d’un niveau à un autre (lorsque l’électron acquiert de l’énergie du champ). Expérimentalement, cependant, nous savons qu’il y a des cas où, après un temps très court d’exposition,
un photon entier a été transféré à l’atome. Si l’électron a absorbé ce photon, cela veut dire qu’il a
nécessairement fait une transition à un niveau supérieur puisque l’énergie doit être conservée. La
fonction d’onde, elle, évolue continûment et seule une petite fraction d’elle même a pu atteindre le
niveau supérieur. Le photon a donc été absorbé avant que la fonction d’onde n’ait eu le temps de
changer complètement d’une fonction d’onde du niveau à une autre du niveau 0
Il faut toujours se souvenir que la fonction d’onde ne donne que la probabilité de trouver l’électron
sur un niveau. La probabilité évolue continûment, mais les processus quantiques individuels, eux,
sont essentiellement discontinus et imprévisibles.
Dès qu’un système initialement dans l’état = 1 contient une partie de la fonction d’onde d’un
autre niveau i.e. = ()1 + ()2 il y a une probabilité pour que le système soit trouvé dans
l’état 2 même si () est très faible. Avec le temps, et si () augmente, la probabilité de trouver le
système dans le second niveau est de plus en plus grande. Cependant, dès que () est non nulle, le
processus de saut quantique peut avoir lieu. Expérimentalement, nous observons un spectre discret
§5.18 Superposition linéaire et mélange statistique
173
d’énergie pour l’atome, ce qui implique que même si la fonction d’onde évolue continûment, le saut
entre niveau d’énergie est toujours discret.
La connexion entre la fonction d’onde et l’événement physique est seulement statistique. L’absence de déterminisme ainsi que l’indivisibilité des processus quantiques demeurent, même dans la
mécanique quantique de Schrödinger, un fait que Schrödinger lui-même avait beaucoup de mal à
accepter comme le montre cette remarque de Schrödinger à Bohr :
“Vous devez sûrement comprendre, Bohr, que l’idée même de sauts quantiques mène à
un non-sens... Si nous devons continuer à devoir accepter cette maudite idée de sauts
quantiques, alors je suis désolé d’avoir jamais été mêlé à la théorie quantique.”
5.18 Superposition linéaire et mélange statistique
Considérons un système physique dans un état Φ() défini par
Φ() = 1 1 () + 2 2 ()
(5.204)
où les fonctions 1 () et 2 () sont des fonctions que nous supposerons normées et orthogonales.
La fonction d’onde Φ() est une superposition linéaire des états 1 () et 2 () Prenons Φ()
comme normalisée de sorte que |1 |2 + |2 |2 = 1. On dit parfois que, lorsque le système est dans
l’état Φ() on a une probabilité |1 |2 de le trouver dans l’état 1 () et une probabilité |2 |2 de le
trouver dans l’état 2 () Cette façon de dire n’est pas très précise et peut induire en erreur. En
effet, elle pourrait laisser croire que Φ() est un mélange statistique des états 1 () et 2 () Par
mélange statistique, on veut dire que si l’on considère un grand nombre de systèmes identiques,
tous dans l’état Φ() on pourrait s’imaginer qu’il y a équivalence totale entre cet ensemble de
systèmes tous dans l’état Φ() et un autre ensemble comportant |1 |2 systèmes dans l’état 1 ()
et |2 |2 systèmes dans l’état 2 () Une telle interprétation de l’état Φ() est totalement fausse
et conduit à des prévisions physiques inexactes.
Pour voir cela, supposons que le système soit décrit par un hamiltonien et que nous voulions
mesurer l’énergie du système dans l’état Φ() Les fonctions propres de sont les fonctions ()
correspondant aux énergies propres Si on considérait le système comme un mélange statistique,
alors la probabilité de mesurer l’énergie serait donnée par
( )|́ = |1 |2 1 ( ) + |2 |2 2 ( )
= |1 |2 |( 1 )|2 + |2 |2 |( 2 )|2
(5.205)
Autrement dit, ( ) est la probabilité, 1 ( ) de trouver le système Φ() dans l’état 1 ()
multipliée par la probabilité de trouver l’énergie si le système est dans l’état 1 () plus la
probabilité de trouver le système Φ() dans l’état 2 () 2 ( ) multipliée par la probabilité de
trouver l’énergie si le système est dans l’état 2 () ( ) = |( )|2 selon le postulat IV.
La réponse donnée par (5.205) n’est pas en accord avec la mécanique quantique. En effet, selon
le postulat IV, la probabilité ( ) est donnée par
174
Chap.5. Formalisme mathématique de la mécanique quantique
( ) = |( Φ)|2
(5.206)
2
= |( 1 1 + 2 2 )|
= |1 ( 1 ) + 2 ( 2 )|2
+
= |1 |2 |( 1 )|2 + |2 |2 |( 2 )|2
2∗1 2 ( 1 )∗ ( 2 ) + 2∗2 1 ( 2 )∗ ( 1 )
= |1 |2 |( 1 )|2 + |2 |2 |( 2 )|2
+2< [∗1 2 ( 1 )∗ ( 2 )]
Autrement dit, il faut d’abord faire la somme des amplitudes de probabilité et ensuite prendre le
carré des amplitudes pour obtenir la probabilité. De cette façon, il apparaît un terme d’interférence,
2< [∗1 2 ( 1 )∗ ( 2 )] qui est complètement absent lorsqu’on considère le système comme un
mélange statistique soit lorsqu’on fait toute de suite la somme des probabilités. Nous voyons donc
sur cet exemple l’importance du concept d’amplitude de probabilité.
§5.19 Questions et problèmes
175
5.19 Questions et problèmes
5.19.1 L’équation de Schrödinger
1. Comment apparaît la quantification de l’énergie dans l’équation de Schrödinger ? Est-elle
obligatoire ? Si dans un potentiel donné la particule n’est pas liée, doit-on en déduire que le
potentiel n’a pas d’effet sur elle ?
2. Pourquoi l’équation de Schrödinger doit-elle être linéaire ?
3. Où réside l’absence de causalité dans la mécanique quantique : dans la fonction d’onde ellemême ou dans l’équation de Schrödinger qui la gouverne ? Expliquez votre réponse.
4. Peut-on obtenir l’équation de Schrödinger des équations de la physique classique ? Sinon, sur
quoi se base-t-on pour obtenir cette équation ?
5. Écrivez l’équation de Schrödinger dépendante du temps pour la fonction d’onde ()
6. Prouvez les théorèmes suivants :
(a) La fonction d’onde () solution de l’équation de Schrödinger indépendante du temps
peut toujours être prise comme réelle (contrairement à la fonction d’onde totale, Ψ ( )
qui est complexe).
(b) Si le potentiel () est une fonction paire ( () = (−)), alors () solution de
l’équation de Schrödinger indépendante du temps pour ce potentiel, peut toujours être
prise comme étant soit paire soit impaire.
(c) L’énergie propre doit être plus grande que le minimum de la fonction potentielle ()
pour qu’une solution de l’équation de Schrödinger indépendante du temps (avec cette
énergie) soit normalisable.
5.19.2 Calcul de valeurs moyennes
1. Une particule dans un puits de potentiel carré infini a la fonction d’onde suivante à l’instant
=0:
Ψ ( 0) = ( − )
(5.207)
(a) Normalisez cette solution et représentez-la graphiquement. À quelle fonction propre du
puits infini cette fonction d’onde ressemble-t-elle le plus ? En vous appuyant sur cette
observation, estimez la valeur moyenne de l’énergie de la particule dans cet état.
(b) Calculez les valeurs moyennes hi h i hi à l’instant = 0.
176
Chap.5. Formalisme mathématique de la mécanique quantique
(c) Écrivez la solution Ψ ( ) en terme d’une somme sur les fonctions propres du puits
infini. Donnez la formule qui permet de calculer les coefficients de ce développement.
Vous n’avez pas à calculer explicitement ces coefficients.
2. Montrez que, pour toute fonction d’onde solution du puits infini, la valeur moyenne de l’énergie totale est constante dans le temps (ce qui est une manifestation de la conservation de
l’énergie en mécanique quantique).
(a) Soit les énergies propres du puits infini et () les fonctions propres correspondantes. Montrez que si la particule est dans un état quantique quelconque ()
alors, dans cet état, hi ≥ 1 où 1 est l’énergie de l’état fondamental.
3. Considérez les fonction d’ondes d’une particule dans une boîte unidimensionnelle avec des
côtés à = ± Sans faire d’intégrales, montrez que la valeur moyenne de l’opérateur
2 3 + 3 3 + 3 2
(5.208)
est nulle pour toutes les fonctions d’onde.
4. Considérez un oscillateur harmonique de fréquence angulaire et de masse .
(a) Écrivez l’équation de Schrödinger pour cet oscillateur harmonique.
(b) Vérifiez par substitution directe dans l’équation de Schrödinger que les fonctions suivantes sont solutions de cette équation. Donnez les valeurs des énergies 0 et 1 . Les
constantes 0 et 1 servent à normaliser chaque solution.
2 2}
Ψ0 ( ) = 0 −
−0 }
−2 2}
Ψ1 ( ) = 1
−1 }
(5.209)
(5.210)
(c) Normalisez les fonctions d’onde Ψ0 ( ) et Ψ1 ( ) pour trouver la valeur des constantes
0 et 1 . L’identité suivante est très utile pour ce genre de calcul :
r
Z +∞
−2
(5.211)
=
−∞
De plus, lorsqu’on a à faire l’intégrale d’une gaussienne multipliée par une fonction de
2 , le truc suivant est également utile
r
Z +∞
Z +∞
2 −2
−2
(5.212)
= −
= −
−∞
−∞
p
(d) Écrivez les densités de probabilité 0 () et 1 () où =
} . Sur un graphique, représentez le potentiel harmonique () } ainsi que les fonctions 0 () Λ et 1 () Λ
¡ ¢12 ¡ ¢12
avec Λ = 1
. Pour représenter
}
¢les fonctions () Λ considérez que le zéro
¡
de l’axe des ordonnées se trouve à + 12 }. Vérifiez que les intersections entre l’axe
des ordonnées (ainsi décalé) et le potentiel harmonique donnent les valeurs ± correspondant au mouvement classique.
§5.19 Questions et problèmes
177
­ ® ­ ®
­ ®
(e) Calculez les valeurs moyennes hi h i 2 2 hi 2 dans le niveau = 0 de
l’oscillateur harmonique.
(Pour simplifier certains calculs, vous pouvez utiliser le fait que
¡
¢
Ψ ( ) = + 12 }Ψ ( ) Utilisez également la symétrie des fonctions d’onde).
(f) Vérifiez que la relations d’indétermination d’Heisenberg est respectée dans le niveau
= 0.
(g) Calculez ∆ dans l’état = 0. Interprétion physique ?
5. Montrez que si la valeur moyenne de l’opérateur quantité de mouvement, , dans l’état ()
normalisé est donnée par , alors sa valeur moyenne dans l’état () = 0 ~ () est donnée
par + 0 .
5.19.3 Courant de probabilité
1. Calculez le courant de probabilité dans le cas d’une particule libre dont la fonction d’onde
est donnée par Ψ( ) = (−) Interprétez physiquement votre résultat.
2. Calculez la valeur moyenne h i ainsi que le courant de probabilité (interprétez physiquement)
pour la fonction d’onde
() = () ()}
(5.213)
où () et () sont des fonctions réelles de
3. La fonction d’onde d’une particule est donnée par
() = + −
(5.214)
Calculez le courant de probabilité associé à cette fonction d’onde.
5.19.4 Les opérateurs
1. Quel sens physique peut-on donner au fait que les opérateurs et ne commutent pas ?
Étant donné la signification physique de la notion de fonction propre, croyez-vous qu’il soit
possible de trouver une base de fonctions propres communes à ces deux opérateurs ?
2. Montrez que dans un état décrit par une fonction d’onde réelle, h i = 0
3. Montrez que h + i est un nombre réel.
4. En utilisant seulement la définition [ ] = − où et sont des opérateurs
quelconques, montrez que
¤
£
(a) 2 = [ ] + [ ]
178
Chap.5. Formalisme mathématique de la mécanique quantique
£
¤
(b) 2 = [ ] + [ ]
¤
¤ £
£
(c) Utilisez les formules précédentes pour calculez les commutateurs 2 et 2
(d) Montrez que [ ] = } −1
5. En partant de la définition du conjugué hermitique, montrez que
¡
¢
(a) ()† = † †
(b) ( − )† = † † − † †
(c) ()† = − (de sorte que est un opérateur anti-hermitique).
6. En utilisant les relations obtenus au numéro précédent, montrez que
(a) ()† = −† .
(b) si et sont des opérateurs hermitiques, [ ]† = − [ ]
(c) = ( − † )2 est anti-hermitique ( étant un opérateur quelconque).
7. Si et sont des opérateurs hermitiques, le ou lesquels des trois opérateurs suivants sont
hermitiques : − 2 ? Quelle relation doit-il exister entre et pour que le
produit soit lui-même un opérateur hermitique ?
8. Montrez que
(a) est un opérateur hermitique.
P
(b) ( ) = est un opérateur hermitique si tous les coefficients sont réels.
9. Montrez que dans un état propre () de l’observable il ne peut pas y avoir de fluctuations quantiques de
10. Dites, parmi les opérateurs suivants, lesquels sont linéaires.
(a) 1 () = 3 () ;
() ;
(b) 2 () =
(c) 3 () = ∗ () ;
(d) 4 () = () ;
i
h
+ ;
(e) 5 () = ()
R
(f) 6 () = −∞ (0 ) 0 0
11. En utilisant les définitions du problème précédent, calculez les commutateurs :
(a) [2 6 ] ;
§5.19 Questions et problèmes
179
(b) [1 2 ]
12. Opérateurs d’échelle. Considérez l’opérateur suivant :
∙r
¸
1
√
√
+
=
~
2
~
(5.215)
(a) Donnez son adjoint † . Cet opérateur est-il hermitique ?
(b) L’action des opérateurs et † sur les fonctions d’ondes () de l’oscillateur harmonique est très intéressante. Vérifiez que
¡ 4 ¢14 ¡ ¢34
}
† 0 () = 1 ()
(5.216)
1 () = 0 ()
(5.217)
Les fonctions 0 () 1 () sont données par
µ ¶14 ³
´14 −2 2}
1
0 () =
}
µ ¶14 ³
´34 −2 2}
4
1 () =
}
(5.218)
(5.219)
et correspondent aux niveaux d’énergie = 0 et = 1 de l’oscillateur. On voit que
l’opérateur fait descendre d’un niveau alors que † fait monter d’un niveau d’énergie.
Autrement dit, détruit un quantum d’énergie alors que † en crée un. Ces opérateurs
sont appelés opérateurs d’échelle ou opérateur d’annihilation et de création de quanta
d’énergie.
13. Considérez les 4 opérateurs suivants
()
() = 8
(5.220)
() =
3
(5.221)
2
() = () − 3 () − 4
1
()
() =
3
(5.222)
(5.223)
(a) Lesquels de ces opérateurs sont linéaires ?
(b) Calculez 2 () et 2 ().
14. Soit deux opérateurs et dont les équations aux valeurs propres s’écrivent
() = ()
(5.224)
() = ()
(5.225)
pour toutes les valeurs propres et de et . L’ensemble des fonctions { ()} forme
une base. Montrez que [ ] = 0. Attention ! Cette relation doit être vérifiée pour toute
fonction d’onde ()
180
Chap.5. Formalisme mathématique de la mécanique quantique
5.19.5 Théorème d’Ehrenfest
1. À partir de l’équation d’évolution d’une valeur moyenne hi
¿
À
hi = h[ ]i +
}
(5.226)
montrez que pour un paquet d’ondes se propageant en une dimension dans un potentiel (),
­ 2®
= h i + h i
(5.227)
2. À partir du théorème d’Ehrenfest et du principe d’indétermination d’Heisenberg :
(a) Expliquez pourquoi un état propre d’énergie d’un oscillateur harmonique ne peut pas
représenter le mouvement classique de cet oscillateur.
(b) Quelle représentation classique peut-on faire d’un état propre d’énergie d’un oscillateur
harmonique ?
3. Produit scalaire. Soit les fonctions d’onde complexes
() et () et les constantes
R
pouvant être complexes. Écrivez au long (avec ) les produits scalaires suivants :
(a) ( )
(b) ( )
(c) ( 1 + 2 )
(d) (1 + 2 )
4. Soit les fonctions { ()} qui constituent une base discrète de l’espace des fonctions d’onde.
(a) Écrivez la relation de fermeture de cette base.
(b) Écrivez la relation d’orthonormalité de cette base.
(c) Écrivez le développement des fonctions d’onde quelconques () et () sur cette base.
(d) Exprimez le produit scalaire ( ) en termes des composantes de ces fonctions d’onde
(utilisez votre résultat précédent).
5. Soit une observable . Ses vecteurs propres sont donnés par les solutions de l’équation aux
valeurs propres () = (). Ses valeurs propres sont discrètes et non dégénérées.
Y
(a) Montrez que l’opérateur nul est donné par
( − ).
§5.19 Questions et problèmes
181
(b) Que représente l’opérateur
Y (− )
6=
−
où le produit est sur tous les excluant le cas = .
(Truc : essayez d’appliquer cet opérateur sur une fonction d’onde quelconque () que
vous aurez préalablement décomposée sur les fonctions propres de .
5.19.6 Postulats de la mécanique quantique
1. Considérez la fonction d’onde suivante pour une particule libre se déplaçant dans l’espace en
une dimension
(5.228)
() = } + √ −}
2
(a) Est-ce que cette fonction d’onde est une fonction propre pour l’hamiltonien de la particule libre ?
(b) Est-ce une fonction propre pour l’opérateur quantité de mouvement en une dimension ?
2. Considérez les deux fonctions d’onde suivantes pour une particule libre
1 () = }
³ ´
2 () = cos
}
(5.229)
(5.230)
Comment ces deux états physiques diffèrent-ils par rapport à
(a) Une mesure de la quantité de mouvement ?
(b) Une mesure de l’énergie ?
3. Particule dans une boîte. Les fonctions propres normalisées pour une particule dans une
boîte de largeur sont données par
⎧ q
¡ ¢
2
⎨
cos
= 1 3 5
q
(5.231)
() =
¢
¡
2
⎩
=
2
4
6
sin
La solution générale (dépendante du temps) est, elle, donnée par
X
Ψ( ) =
()− ~
(5.232)
2 2 2
~
avec les énergies = 2
2 Les sont des constantes de normalisation. Considérez l’état
donné par la superposition linéaire Ψ( ) = 1 1 ()−1 ~ + 2 2 ()−2 ~ Répondez
aux questions suivantes en utilisant les relations d’orthonormalisation des fonctions d’onde
R +2 ∗
−2 () () = et l’équation aux valeurs propres () = () pour vous
éviter des calculs fastidieux.
(a) Normalisez cette fonction d’onde Ψ( )
182
Chap.5. Formalisme mathématique de la mécanique quantique
(b) Si on mesure l’énergie de la particule dans l’état Ψ( ), quelles valeurs peut-on obtenir
et avec quelles probabilités ?
(c) Calculez la valeur moyenne de l’énergie dans l’état Ψ( ).
(d) Si la particule dans l’état Ψ( ) est un électron, on peut alors définir une densité de
charge ( ) = − |Ψ( )|2 . Donnez la fréquence à laquelle oscille cette densité de
charge.
(e) Quantiquement, l’émission de radiation ne peut se faire que par émission de photons.
Pourtant, Ψ( ) semble évoluer continûment ! Comment s’applique le concept de saut
quantique ici ?
4. Vérifiez que
(a) les fonctions d’onde d’une particule dans une boîte sont normalisées
(b) le principe d’incertitude est satisfait dans l’état fondamental.
5. Oscillateur harmonique. L’équation de Schrödinger indépendante du temps pour l’oscillateur harmonique s’écrit
−
}2 2
1
() + 2 2 () = ()
2
2
2
(5.233)
Les solutions de cette équation sont les fonctions propres () réelles et normalisées dont
l’énergie est = ( + 12)} avec = 0 1 2 On suppose qu’une particule est au temps
= 0 dans l’état Ψ( 0) normalisé donné par
Ψ( 0) = 0 () + 1 () + 2 ()
où sont des coefficients réels. L’état 0 () normalisé est donné par 0 () =
(5.234)
¡ 1 ¢14 ¡ ¢14
}
(a) Écrivez les relations de fermeture et d’orthonormalité pour la base discrète des ()
(b) Quelle est la relation entre les coefficients et imposée par la condition de normalisation de Ψ( 0) ?
(c) Nous avons vu en cours que l’onde plane dans une boîte de longueur , () = √1 }
est une fonction propre de l’opérateur de quantité de mouvement avec la valeur propre
. Cela veut dire que l’on peut écrire l’équation
() = ()
(5.235)
L’interprétation physique de ce résultat est que lors d’une mesure de la quantité de
mouvement de la particule dans cet état quantique, on trouvera à coup sûr la valeur .
Montrez que l’état 0 () n’est pas un état propre de l’opérateur quantité de mouvement.
2 2}
−
.
§5.19 Questions et problèmes
183
(d) Même si l’état 0 () n’est pas un état propre de , cela ne veut pas dire que l’on ne
peut pas y mesurer la quantité de mouvement de la particule mais plutôt qu’une mesure
de la quantité de mouvement peut donner plusieurs valeurs possibles. Calculez () la
densité de probabilité pour la quantité de mouvement dans l’état 0 ().
(e) Si on fait une mesure de l’énergie sur un ensemble de systèmes tous dans l’état décrit par
Ψ( 0) quels résultats peut-on obtenir et quelle est la probabilité de chaque résultat ?
(f) Quel est l’état normalisé de la particule immédiatement après la mesure de l’énergie si
le résultat trouvé est = 2 ?
(g) Si, au lieu de mesurer l’énergie, on mesure la position de la particule dans l’état Ψ( 0).
Quelle est alors la probabilité de la trouver entre les points = 0 et = 0 0 ?
­ ®
(h) Calculez les valeurs moyennes hi et 2 dans l’état Ψ( 0) . Exprimez votre résultat
en termes de } et des coefficients . Utilisez l’équation aux valeurs propres pour
et les propriétés d’orthonormalisation des fonctions d’onde. Cela simplifiera grandement
vos calculs.
(i) Déterminez Ψ ( )
(j) Calculez la valeur moyenne hi () dans l’état Ψ( ) en simplifiant le plus possible votre
résultat. Notez que si vous utilisez judicieusement les propriétés des fonctions () de
l’oscillateur harmonique, le calcul est assez court. Exprimez votre résultat en terme de
et les ()Vous n’avez pas à faire les intégrales découlant de ce calcul.
(k) Montrez que la relation d’indétermination temps-énergie d’Heisenberg est satisfaite pour
une particule dans l’état donné par Ψ( ) Expliquez clairement ce que vous prenez pour
l’incertitude sur l’énergie et sur le temps.
R
6. Écrivez l’équation aux valeurs propres pour l’opérateur 6 définit tel que 6 () = −∞ (0 ) 0 0
et trouver le spectre de valeurs propres de cet opérateur. Cet opérateur est-il linéaire ?
7. Soit deux opérateurs et dont les équations aux valeurs propres s’écrivent
() = ()
(5.236)
() = ()
(5.237)
L’ensemble des fonctions () forme une base. Montrez que le commutateur [ ] = 0.
8. En mécanique classique, on spécifie l’état d’une particule par la donnée de sa position, , et
de sa quantité de mouvement, . Une variable dynamique B (comme l’énergie potentielle, le
moment cinétique, etc.) a alors une valeur B(x p) qui est fonction de et . Autrement dit,
si on mesure la variable dynamique B on trouvera à coup sûr la valeur B(x p) Comment la
mécanique quantique décrit-elle cette situation, c’est-à-dire :
184
Chap.5. Formalisme mathématique de la mécanique quantique
(a) Comment est décrit l’état d’une particule quantique ?
(b) Selon le postulat II, la variable dynamique B de la mécanique classique devient l’opérateur . Quelle condition cet opérateur doit-il satisfaire pour décrire une grandeur
physique ? Expliquez-en la raison en quelques mots.
(c) Quelles sont les valeurs possibles qu’une mesure de peut donner ?
(d) Comment est calculée la probabilité de chacune de ces valeurs pour un état initial quelconque ? (Soyez précis, donnez une réponse mathématique). On supposera que le spectre
de valeurs propres de est non dégénéré.
(e) Quel est l’état du système quantique après qu’une mesure ait donné une des valeurs
possibles de ?
9. Une particule est dans l’état fondamental (normalisé),
r
³ ´
2
cos
() =
(5.238)
d’une boîte de longueur Soudain, la boîte double symétriquement sa taille, tout en laissant
la fonction d’onde () inchangée. Montrez que la probabilité de trouver la particule dans
¡ 8 ¢2
l’état fondamental de la boîte dilatée est donnée par 0 = 3
L’identité suivante peut
vous être utile :
Z
1
1
(5.239)
cos(2) cos() = sin() + sin(3)
2
6
10. Une particule est localisée dans la moitié gauche d’une boîte (unidimensionnelle) de longueur
et dont les côtés sont situés en = ±2 Sa fonction d’onde est
( q
2
si − 2 0;
(5.240)
() =
0
si 0 2
(a) La particule restera-t-elle localisée à des instants ultérieurs ?
(b) Calculez la probabilité qu’une mesure de l’énergie donne l’énergie de l’état fondamental ;
l’énergie du premier état excité.
11. Une particule libre (espace à une dimension) est dans l’état
() = cos(0 )
Une mesure idéale (une mesure qui change le moins possible l’état du système) de l’énergie
de cet état donne la valeur
}2 02
=
2
Quel est l’état du système immédiatement après la mesure ? Justifiez votre réponse. Attention ! Ce petit problème est plus corsé qu’il en a l’air !
§5.19 Questions et problèmes
185
12. Nous ne pouvons pas décrire l’évolution dans le temps de la fonction d’onde lors de la mesure en utilisant l’équation de Schrödinger ? Pourquoi ? Quel concept doit-on introduire pour
décrire l’effet de la mesure ?
13. On considère deux états propres normalisés et orthogonaux, 1 () et 2 () correspondant
respectivement aux valeurs propres 1 et 2 d’un Hamiltonien . On construit l’état () =
[1 () − 2 ()] où est une constante (réelle) de normalisation.
(a) Calculez la valeur de la constante
­ ®
(b) Calculez les valeurs moyennes hi 2 et l’écart quadratique moyen ∆.
14. Une boîte unidimensionnelle qui contient un électron subit une perturbation infinitésimale
après laquelle elle émet un photon d’énergie = 31 où 1 représente l’énergie de l’état
fondamental de l’électron dans la boîte. Un étudiant conclut que l’électron était initialement
dans l’état 2 () correspondant au deuxième niveau d’énergie de la boîte. Cet étudiant a-t-il
raison ? Expliquez votre réponse.
15. Un étudiant tient le raisonnement suivant : “si une particule est dans un état propre d’une
boîte unidimensionnelle de largeur , alors on connaît exactement son énergie. Puisque l’énergie est entièrement cinétique dans la boîte, alors on connaît exactement la quantité de mouvement de la particule ce qui implique que ∆ = 0. Comme l’incertitude sur la position de la
particule est de l’ordre de alors ∆ = . La relation d’indétermination d’Heisenberg n’est
donc pas respectée pour une particule dans une boîte”. Trouvez l’erreur dans le raisonnement
de l’étudiant.
186
Chap.5. Formalisme mathématique de la mécanique quantique
CHAPITRE 6
Potentiels carrés en une dimension et oscillateur
harmonique
6.1 Introduction
Au chapitre précédent, nous avons montré que dans le cas où le potentiel dans l’équation de
Schrödinger
~2 2
Ψ ( ) + ( ) Ψ ( )
(6.1)
~ Ψ ( ) = −
2 2
est indépendant du temps, Ψ ( ) peut se mettre sous la forme
Ψ ( ) = ()−~
(6.2)
La fonction () est solution de l’équation de Schrödinger indépendante du temps
−
~2 2
() + ()() = ()
2 2
(6.3)
équation qui n’admet des solutions physiquement acceptables que pour certaines valeurs de l’énergie
Nous allons maintenant aborder un certain nombre de problèmes à une dimension pour lesquels
il est possible de trouver une solution exacte de l’éq. (6.3). Ces problèmes ont l’avantage de ne
pas être trop compliqués sur le plan mathématique tout en permettant la mise en évidence des
aspects ondulatoires du comportement d’un corpuscule matériel : réflexion à une discontinuité du
potentiel, effet tunnel, résonance de transmission, Ces potentiels seront de forme carrée comme
celui représenté sur la fig. 6.1(a). De tels potentiels ne sont pas rigoureusement physiques puisque la
force s’exerçant sur la particule = − () (voir fig. 6.1(c)) est infinie lors d’un changement
brusque du potentiel. Nous utilisons ces potentiels pour schématiser une énergie potentielle () qui
aurait l’allure représentée sur la fig. 6.1(b). Lorsque les intervalles sur lesquels se fait la variation du
potentiel sont très petits devant toutes les longueurs intervenant dans le problème1 (en particulier
la longueur d’onde associée à la particule), on peut remplacer le véritable potentiel par le potentiel
carré de la fig. 6.1(a).
1 Ce qui est tout le contraire de la limite classique considérée au chapitre précédent pour obtenir l’équation de Newton à
partir de l’équation de Schrödinger.
188
Chap.6. Potentiels carrés en une dimension et oscillateur harmonique
Potentiel carré
(a)
x
Potentiel réel
(b)
x
Force
(c)
x
FIGURE 6.1. (a) Potentiel carré schématisant un potentiel réel (b) pour lequel la force a l’allure indiquée
en (c).
On imagine facilement le comportement de la particule classique dans un potentiel comme celui
de la fig. 6.1. Si on fixe l’énergie totale, = + de la particule, les domaines de l’axe où
lui sont interdits car son énergie cinétique serait alors négative. Comme illustré sur la fig.
6.1(c), il n’y a une force sur la particule que lorsqu’il y a un changement dans le potentiel. Cette
force peut accélérer ou ralentir la particule et donc augmenter ou diminuer son énergie cinétique.
L’énergie totale, elle, est fixée au départ.
Nous notons par () les solutions d’énergie de l’éq. (6.3) c’est-à-dire
−
~2 2
() + () () = ()
2 2
(6.4)
La fonction d’onde totale
Ψ ( ) = ()− ~
représente un état stationnaire car la densité de probabilité correspondante
¯
¯2
¯
¯
( ) = ¯ ()− ~ ¯ = | ()|2
(6.5)
(6.6)
est indépendante du temps. Il en va évidemment de même pour toutes les grandeurs physiques
(comme hi h i, etc.) de même que pour la densité de courant de probabilité
∙
¸
∗
~
∗
Ψ ( ) Ψ( ) − Ψ( ) Ψ ( )
(6.7)
( ) =
2
∙
¸
~
∗ () () − () ∗ ()
=
2
Il est souvent utile de faire une analogie avec l’optique pour comprendre plus intuitivement le
comportement de l’onde matérielle. Pour ce faire, nous réécrivons l’éq. (6.3) sous la forme
2
2
() + 2 [ − ] () = 0
2
~
(6.8)
§6.2 Cas de la particule libre
189
en considérant pour le moment un potentiel constant. Il existe en optique une équation tout à fait
analogue. Considérons un milieu transparent dont l’indice de réfraction ne dépend ni de r ni
du temps. Ce milieu peut être le siège d’ondes électromagnétiques dont le champ électrique est de
e ()− où b
e est un vecteur unitaire perpendiculaire à l’axe Le champ
la forme E (r ) = b
2
électrique () doit alors satisfaire
2
2 2
()
+
() = 0
2
2
(6.9)
Les éqs. (6.8) et (6.9) deviennent identiques si on pose :
2 =
2 2
[ − ]
~2 2
(6.10)
L’analogie entre les deux éqs. (6.8) et (6.9) permet d’associer à un problème de mécanique quantique un problème d’optique, celui de la propagation d’une onde électromagnétique de fréquence
dans un milieu dont l’indice subit des discontinuités du même type. L’analogie est
() =
1 p
22 [ − ()]
~
(6.11)
Dans une région où l’analogie est avec une onde lumineuse dans un milieu transparent dont
l’indice est réel. L’onde est alors de la forme Lorsque l’indice est imaginaire pur (car
2 est négatif) et la solution a la forme d’une onde évanescente − . C’est l’analogue d’une onde
évanescente comme celle qui apparaît dans le phénomène de réflexion totale interne. Notez bien
que la signification physique de l’onde en mécanique quantique est fondamentalement différente de
celle de l’optique ondulatoire. Il ne faut pas pousser trop loin l’analogie !
6.2 Cas de la particule libre
Le cas de la particule libre est le plus simple que l’on puisse imaginer. Le potentiel () = 0 est
constant partout. Sans perte de généralité, nous pouvons choisir 0 = 0 et l’équation de Schrödinger
indépendante du temps devient
µ
¶
2
2
() +
() = 0
(6.12)
2
~2
Cette équation est une équation différentielle linéaire homogène du second ordre. Nous pouvons
chercher sa solution sous la forme
(6.13)
() =
En portant cette solution dans l’éq.(6.12), nous obtenons l’équation caractéristique
¶
µ
2
2
+
= 0
~2
dont les racines sont
sµ
¶
2
~2 2
= ±
≡
±
⇒
=
~2
2
(6.14)
(6.15)
2 Rappelons que la composante du champ électrique le long de l’interface entre deux milieux doit être continue alors que
= 4 où est la densité surfacique de charge et n
la normale à l’interface.
(D2 − D1 ) · n
190
Chap.6. Potentiels carrés en une dimension et oscillateur harmonique
Nous avons donc deux solutions, 1 () = et 2 () = − . Comme elles sont linéairement
indépendantes ( − = 2 6= pour toutes les valeurs de ), la solution générale de
l’équation différentielle est
(6.16)
() = + −
où et sont deux constantes arbitraires pouvant être complexes. Si nous introduisons le temps,
nous obtenons, en utilisant l’éq. (6.5),
Ψ( ) = ()−~ = (−) + −(+)
(6.17)
La solution particulière = 0 représente une onde plane se propageant vers la droite, et celle
donnée par = 0 une onde plane se propageant vers la gauche. Dans le cas où || = || on a la
somme de deux ondes se propageant en directions opposées et formant une onde stationnaire. Il y
a, bien sûr, une infinité d’autres solutions possibles.
Donnons maintenant une interprétation physique de la solution (6.17). Considérons le cas = 0
avec
(6.18)
Ψ( ) = (−)
Cette fonction d’onde représente une particule se propageant vers la droite dans un faisceau de
particules de longueur infinie. La coordonnée de la particule est complètement inconnue car la
probabilité de trouver la particule en vaut ||2 et est donc la même en tous les points du faisceau.
On a ∆ → ∞ ce qui implique, selon le principe d’incertitude, que la quantité de mouvement de
la particule est, elle, exactement définie car ∆ = 0. Cela est évident de (6.18) puisque Ψ( ) ne
contient qu’une seule longueur d’onde. Il n’y a aucune dispersion de la quantité de mouvement dans
cet état. L’énergie de la particule est aussi très bien définie et vaut = ~2 2 2 En fait, puisque
le faisceau a une longueur infinie, nous possédons un temps infini pour faire la mesure de son énergie
et donc selon le principe d’incertitude ∆ = 0 Physiquement, l’état (6.18) pourrait représenter
un proton se propageant dans un faisceau de protons monoénergétiques émergeant d’un cyclotron.
Un tel faisceau pourrait être utilisé pour des expériences de collisions sur différentes cibles.
Remarquez que si nous essayons de normaliser la fonction (6.18) nous avons un problème puisque
l’intégrale
Z +∞
Z +∞
Ψ∗ ( )Ψ( ) = ||2
(6.19)
−∞
−∞
diverge. Cela était prévisible puisque l’éq. (6.18) représente un état dans lequel la particule peut
être trouvée n’importe où dans l’espace avec une égale probabilité. Un tel état n’est évidemment
pas réaliste. En principe, nous savons que la particule se trouve quelque part entre certaines bornes,
disons −2 et +2 ou nous avons un faisceau de longueur finie. Nous pouvons considérer que la
fonction Ψ( ) = 0 en dehors de ces limites, de sorte que
Z
+2
−2
1
Ψ∗ ( )Ψ( ) = ||2 = 1 ⇒ || = √
(6.20)
On peut ainsi normaliser la fonction ainsi et prendre la limite → ∞ à la fin du calcul. Les
quantités physiques devront alors être indépendantes de Dans le présent chapitre, nous verrons
que le facteur disparaîtra des quantités physiques comme les coefficients de transmission et de
réflexion, sans qu’on ait à prendre la limite → ∞ En conclusion, nous considérons donc, à partir
de maintenant, l’onde plane comme une solution physique acceptable tout en nous souvenant que
nous devons tenir compte du problème de sa normalisation dans certains calculs.
§6.3 La marche de potentiel
191
Nous pouvons combiner des solutions de la forme de l’éq. (6.18) pour former un paquet d’ondes
comme
Z
(6.21)
Ψ( ) = ()(−())
Si ce paquet d’ondes est suffisamment étroit, nous pouvons associer hi () au mouvement de la
particule classique. Nous avons déjà montré au chapitre 4 que, pour un paquet d’ondes gaussien,
le déplacement se fait à la vitesse de groupe = ~0 où 0 correspond au maximum de ()
Dans un état (6.21), ∆ 6= 0 et ∆ 6= 0 c’est-à-dire que même si on peut définir une quantité de
mouvement moyenne h i et une énergie moyenne hi la quantité de mouvement et l’énergie ne
sont pas des quantités bien définies. Une mesure de l’énergie donne des valeurs fluctuant autour
de la valeur moyenne. Dans la limite classique, ces fluctuations sont négligeables par rapport aux
valeurs moyennes et le paquet d’ondes a presque un comportement de particule. Il est évidemment
beaucoup plus compliqué mathématiquement de travailler avec des paquet d’ondes qu’avec des
solutions comme (6.18) de sorte que nous allons nous contenter de ces dernières dans ce chapitre.
Pour étudier le comportement des paquets d’onde, il faut avoir recours à des solutions numériques.
Nous avons suffisamment répété que l’onde plane n’était pas normalisable et donc ne pouvait être
considérée comme une solution physiquement acceptable pour une particule. Dans la pratique, les
expériences de diffusion, qui peuvent être décrites par des ondes planes, ne sont pas faites avec une
seule particule, mais avec un faisceau de particules. Les particules sont généralement assez éloignées
les unes des autres dans le faisceau et il est donc naturel de supposer qu’elles sont statistiquement
indépendantes les unes des autres. Dans ce cas, leurs probabilités de présence s’additionnent et
nous devons interpréter la quantité |Ψ( )|2 comme étant non pas la densité de probabilité d’une
particule donnée mais comme étant la densité de probabilité d’une particule quelconque du faisceau.
On peut normaliser la fonction d’onde Ψ( ) en demandant que l’amplitude de l’onde incidente
soit telle que le courant de probabilité qui lui est associée soit égal à la valeur moyenne (dans le
temps) du courant physique mesuré expérimentalement.
Remarque 7 Fichier Mathematica. Les fichiers Mathematica qui illustrent les différents cas
traités dans ce chapitre sont disponibles sur mon site WEB :
http ://www.physique.usherbrooke.ca/~rcote/phq330.htm. Je vous invite à les télécharger et à modifier les paramètres pour explorer différentes solutions.
6.3 La marche de potentiel
Considérons le potentiel en forme de marche illustré sur la fig. 6.2.
Mathématiquement, ce potentiel est défini par
½
0 si 0
() =
0 si 0
(6.22)
On peut imaginer que () est le potentiel subit par une particule chargée se propageant le long
de l’axe d’un système de deux électrodes séparées par un faible gap et tenues à des potentiels
différents. Une autre possibilité est le potentiel vu par un électron à l’intérieur d’un métal lorsqu’il
s’approche de la surface de celui-ci.
Imaginons une particule classique d’énergie venant de la gauche et se dirigeant vers la marche
de potentiel. Si l’énergie cinétique de la particule est plus élevée que 0 nous nous attendons
à ce que la particule continue sa course vers la droite avec une énergie cinétique réduite et donc
une vitesse réduite. En effet, le saut dans le potentiel donne lieu à une force = − qui
192
Chap.6. Potentiels carrés en une dimension et oscillateur harmonique
V(x)
V0
I
II
x
x
V(x)
V0
I
II
x
FIGURE 6.2. Marche de potentiel en (a) approximant le potentiel plus réaliste en (c). (b) Deux électrodes
séparées par une différence de potentiel.
§6.3 La marche de potentiel
193
freine la particule. Si 0 la force est suffisante pour faire rebrousser chemin à la particule qui
conserve toutefois la même vitesse. La particule classique ne va jamais dans la région des positifs
si 0 .
Quelles sont maintenant les prédictions de la mécanique quantique ? Pour trouver la réponse,
nous devons résoudre l’équation de Schrödinger indépendante du temps en fonction de l’énergie
totale Identifions la région des négatifs comme la région I et celle des positifs comme la
région II et considérons les deux cas possibles :
6.3.1 Cas 0
Comme = 0 dans la région I, la solution nous est déjà connue, elle est donnée par
1 () = 1 + −1
1 =
√
2~
(6.23)
Dans la région II, on a
2
2
() + 2 ( − 0 ) 2 () = 0
2 2
~
(6.24)
C’est encore une équation différentielle linéaire homogène du second ordre. Nous pouvons chercher
sa solution sous la forme
() = 2
(6.25)
En portant cette solution dans l’équation, nous obtenons l’équation caractéristique
22 +
dont les racines sont
2
( − 0 ) = 0
~2
r
2 = ±
2
(0 − )
~2
(6.26)
(6.27)
Nous avons donc deux solutions, () = 2 et () = −2 de l’équation différentielle. Comme
ces solutions sont linéairement indépendantes, la solution générale de l’équation différentielle dans
la région II où 0 est
2 () = 2 + −2
2 =
p
2 (0 − )}
(6.28)
Il nous faut maintenant choisir les constantes de façon à ce que notre solution soit
physiquement acceptable. Nous allons d’abord considérer que la particule vient de la gauche et
se dirige vers la marche de potentiel. Dans la région I, nous n’imposons donc pas que la fonction
d’onde s’annule à → −∞ car la particule est quelque part dans un faisceau incident sur la marche.
Considérons maintenant les conditions de frontières :
¥ En → +∞ le terme 2 diverge et n’est donc pas acceptable. Il faut que = 0
¥ La fonction d’onde doit être continue en = 0 d’où
1 ( = 0) = 2 ( = 0) ⇒ + =
(6.29)
194
Chap.6. Potentiels carrés en une dimension et oscillateur harmonique
¥ La dérivée de la fonction d’onde doit également être continue3 en = 0
¯
¯
1 () ¯¯
2 () ¯¯
=
⇒ − = 2
¯
¯
=0
=0
1
En combinant les éqs. (6.29) et (6.31), nous trouvons facilement
µ
¶
2
=
1+
≡
2
1
2
µ
¶
1 − 2 ≡ −
=
2
1
2
(6.31)
(6.32)
(6.33)
où et sont respectivement le module et la phase du nombre complexe (1 + 2 1 ), soit
¯
¯ s
µ ¶2 r
¯
¯
0
2
2¯
¯
= 1+
= ¯1 +
(6.34)
=
¯
1
1
r
0 −
2
(6.35)
tan() =
=
1
Nous avons donc déterminé et en fonction de et nous
½
cos (1 + ) si
() =
−2
si
½ 2 2
2
cos (1 + )
|()|2 =
2 −22
pouvons écrire la solution finale
≤ 0;
≥ 0
si ≤ 0;
si ≥ 0
(6.36)
(6.37)
R
La constante restante est déterminée par la condition de normalisation |()|2 = 1 Les
quantités physiques qui nous intéressent ne dépendent pas de comme nous allons le voir et donc
nous n’avons pas à déterminer cette constante. La solution (6.36) exprime le fait qu’une onde plane
incidente sur la marche de potentiel (le terme ) est en partie réfléchie (terme ) et en partie
transmise (terme ). Comme 0 dans la région II, l’onde n’est plus une onde plane mais une
onde évanescente qui tend rapidement vers zéro lorsque augmente.
Remarque 8 Mise en graphique des solutions. Pour visualiser les différentes solutions que
nous trouvons dans ce chapitre, il est très utile de les mettre en graphique. Dans ce cas, on essait
toujours de travailler avec des nombres qui ne sont ni trop grands ni trop petits. Pour des systèmes
microscopiques, les dimensions sont de l’ordre de l’Angström et les énergies de l’ordre de quelques
électron-volts. Il est donc pratique de prendre 0 = 1̊ comme unité de longueur et la quantité
0 = }2 220 = 6 104 3 × 10−19 J=3 82 eV comme unité d’énergie. Par exemple, pour faire le
graphique de la solution de l’éq.
q (6.36), on√prendra = 0 et = 0 , = 0 . On aura donc
1 → 1 0 avec 1 0 =
= . On fait la même chose pour 2 → 2 0 avec
} 2 220
q
√
0 −)
0 − . Les quantités seront de l’ordre de l’unité.
2 0 = }(
2 22 =
0
3 En dépit du fait que le potentiel est discontinu en = 0 la dérivée de la fonction d’onde est continue en = 0 car, en
intégrant l’équation de Schrödinger, nous avons
+
2
−
=
[ () − ] ()
(6.30)
2
=
=−
− }
= 0
§6.3 La marche de potentiel
195
La fig. 6.3 montre l’évolution de la densité de probabilité () = | ()|2 avec l’énergie de la
particule incidente. Remarquons les points suivants :
¥ Pénétration sous la marche. Dans la région II, la densité de probabilité est donnée par
Ψ∗2 ( )Ψ2 ( ) = ∗ −22
(6.38)
Cette fonction décroît rapidement avec mais il y a toutefois une probabilité finie de trouver
la particule dans la région des positifs, même si son énergie totale est plus petite que l’énergie
potentielle, un résultat qui est contraire aux prédictions de la mécanique classique. Ce phénomène de pénétration de la marche de potentiel est un résultat complètement quantique dû au
comportement ondulatoire de la particule. Comme le coefficient de réflexion est = 1 (voir
plus bas), la particule ne reste pas dans la région interdite. Au contraire, elle est complètement
réfléchie. La pénétration de la région interdite est de l’ordre de
~
(6.39)
∆ ∼ 12 ∼ p
2 (0 − )
Considérons une expérience capable de détecter la particule dans la région 0 Puisque
∆ ∼ 12 le principe d’incertitude impose ∆ ∼ ~∆ ∼ ~2 L’énergie de la particule
détectée sera donc incertaine par ∆ ∼ (∆ )2 2 ∼ 0 − , ce qui implique qu’une fois
détectée, nous ne pourrons plus être certain que la particule était sous la marche de potentiel ! Il
n’y a donc pas moyen de détecter la particule lorsqu’elle se trouve sous la marche de potentiel.
C’est un autre exemple du fait que l’on ne peut pas mettre simultanément en évidence les
comportements ondulatoire et corpusculaire de la particule (puisque le fait de détecter la
particule met en évidence son comportement corpusculaire alors que le fait qu’elle se trouve
sous la marche de potentiel vient de son comportement ondulatoire). Pour exploiter l’effet de
pénétration de la zone interdite, nous devons considérer non pas la marche de potentiel, mais
la barrière de potentiel, ce qui sera fait plus loin dans ce chapitre. Dans la limite classique,
le produit de par (0 − ) est si grand que ∆ est infiniment petit et la pénétration est
négligeable.
¥ Déphasage. Le rapport des coefficients et est complexe ce qui signale qu’un déphasage apparaît lors de la réflexion. Le déphasage fait en sorte que la densité de probabilité
correspondante n’est pas maximale en = 0 mais légèrement avant soit en = −1 =
− 11 arctan(2 1 ) Ce déphasage est dû au retard que prend la particule en pénétrant sous la
marche de potentiel. À faible énergie ( 0 ), le déphasage tend vers = 2 alors que
pour = 0 le déphasage est nul comme le montre la fig. 6.3. L’onde incidente a un retard de
phase de et l’onde réfléchie est en avance de de sorte que le déphasage total entre l’onde
incidente et l’onde réfléchie est de 2 Dans la limite 0 qui correspond à une réflexion
dure, le déphasage est bien de comme on s’y attendait. En optique, une onde évanescente
apparaît dans le phénomène de réflexion totale interne lorsqu’un rayon lumineux est incident
à un angle plus grand que l’angle critique sur un interface verre-air. Dans ce cas précis, l’indice
de réfraction est réel dans le verre, mais imaginaire pur dans l’air de sorte qu’il apparaît une
onde évanescente dans l’air.
¥ Coefficient de réflexion = 1. On peut calculer les densités de courant de probabilité
pour les ondes incidente, transmise et réfléchie. On trouve
}1
1
||2 = 2 ||2 }1
4
= 0
}1
1
||2 = − 2 ||2 }1
= −
4
=
(6.40)
(6.41)
(6.42)
196
Chap.6. Potentiels carrés en une dimension et oscillateur harmonique
5
5
E/V 0=0.50
4
4
3
3
|ψ(x)|2
|ψ(x)|2
E/V 0=0.25
2
1
1
0
-10
2
-5
0
-10
0
-5
0
x/a0
x/a0
5
5
E/V 0=1.00
4
3
3
2
4
|ψ(x)|
|ψ(x)|
2
E/V 0=0.75
2
2
1
0
-10
1
-5
0
-10
0
-5
x/a0
0
x/a0
1.4
déphasage
α (en radians)
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
E/V 0
FIGURE 6.3. Marche de potentiel avec 0 . Densité de probabilités pour différentes valeurs du rapport
0 . Déphasage (en radians). On a choisi 0 = 1.
§6.3 La marche de potentiel
197
Une quantité physique importante est la probabilité que la particule soit réfléchie par la marche
de potentiel ou, autrement dit, le coefficient de réflexion qui est défini comme le module du
rapport du courant de probabilité réfléchi, sur le courant de probabilité incident, .
Dans le cas simple de l’onde plane
¯
¯
| | ¯¯ ∗ ¯¯
(6.43)
= ¯ ∗ ¯ = 1
=
| |
La particule est donc complètement réfléchie par la marche de potentiel lorsque 0 tout
comme dans la situation classique. Dans la région I, la solution dépendante du temps est
Ψ1 ( ) = 1 ()−~ = cos(1 + )−~
(6.44)
qui est une onde stationnaire car la position de ses noeuds ne dépend pas du temps. Elle
résulte de la superposition de l’onde incidente et de l’onde réfléchie qui sont toutes deux
d’égale amplitude.
Exemple 9 Longueur de pénétration sous la marche pour une particule macroscopique.
Estimons la longueur de pénétration d’une petite particule de poussière, de rayon = 10−6 m, de
densité = 104 Kg/m3 et de vitesse = 10−2 m/s incidente sur une marche de potentiel d’énergie
égale à deux fois l’énergie cinétique de la poussière dans la région à gauche de la marche de potentiel.
La masse de la particule est = 43 3 ' 4 × 10−14 Kg. Son énergie cinétique avant de frapper la
marche est
1
(6.45)
= 2 ' 2 × 10−18 J
2
La hauteur de la marche de potentiel est
0 = 2
(6.46)
0 − = 2 − =
(6.47)
et donc
La longueur de pénétration de la poussière, sous la marche de potentiel, est donc
}
' 2 × 10−19 m.
∆ = p
2 (0 − )
(6.48)
Évidemment, cette longueur est beaucoup trop petite pour être détectée dans une expérience.
Exemple 10 Longueur de pénétration sous la marche pour une particule microscopique. Considérons un électron de conduction se propageant dans un morceau de cuivre et estimons la longueur de pénétration hors du métal.
Nous pouvons approximer le potentiel subit par l’électron dans le cuivre comme étant celui d’un
puits carré. À l’intérieur du cuivre, le potentiel est nul alors qu’à l’extérieur, il est fixé à une valeur
constante 0 . Évidemment, l’énergie de l’électron est telle que 0 de sorte que l’électron est
prisonnier du métal. L’effet photoélectrique peut nous indiquer l’énergie nécessaire pour enlever un
électron au métal (le travail de sortie). Pour le cuivre, 0 − = 4eV Nous pouvons alors estimer
la longueur de pénétration de l’électron hors du métal. Celle-ci est donnée par
}
' 1 × 10−10 m.
∆ = p
2 (0 − )
(6.49)
Cette distance est de l’ordre des dimensions atomiques et donc peut avoir des conséquences mesurables.
198
Chap.6. Potentiels carrés en une dimension et oscillateur harmonique
6.3.2 Cas 0
En mécanique classique, une particule dont l’énergie est plus grande que 0 serait freinée par la
force en = 0 mais continuerait sa course avec
Sa quantité de
p une vitesse réduite vers la droite. √
mouvement dans la région 0 serait = 2( − 0 ) comparativement à = 2 dans la
région 0
En physique quantique, le comportement de la particule est plus compliqué. En effet, lorsque
n’est pas beaucoup plus grande que 0 il y a une probabilité importante pour que la particule soit
réfléchie par la marche de potentiel, un autre comportement tout à fait quantique. Écrivons encore
une fois la solution de l’équation de Schrödinger indépendante du temps dans les régions I et II :
√
1 = 2~
(6.50)
1 () = 1 + −1
et
2 () = 2 + −2
2 =
p
2( − 0 )~
(6.51)
La solution est oscillante dans les deux régions puisque 0 , mais il y a changement dans
le vecteur d’onde car la quantité de mouvement varie en passant de la région I à la région II.
Appliquons les conditions de frontières sur la fonction d’onde :
¥ Nous supposons que l’onde vient de la gauche. Il y aura donc réflexion partielle en = 0 de
sorte que nous devons garder le coefficient L’onde est en partie transmise dans la région II,
mais comme il n’y a pas de discontinuité en → ∞ il ne peut y avoir d’onde réfléchie dans
la région II. Nous devons donc prendre = 0.
¥ La continuité de la fonction d’onde en = 0 donne
+ =
(6.52)
¥ La continuité de la dérivée de la fonction d’onde en = 0 donne
( − ) 1 = 2
Nous trouvons facilement
µ
¶
1 − 2
=
1 + 2
µ
¶
21
=
1 + 2
(6.53)
(6.54)
(6.55)
de sorte que finalement :
⎧
³
´
⎨ 1 + 1 −2 −1 si 0;
´ 1 +2
³
() =
⎩ 21 2
si ≥ 0
1 +2
(6.56)
Encore une fois, la constante sert à normaliser la fonction d’onde. La densité de probabilité est
donnée par
∙
¸
⎧
´2
´
³
³
⎪
⎨ ||2 1 + 1 −2 + 2 1 −2 cos(21 ) si 0;
1 +2
1 +2
(6.57)
() = | ()|2 =
³
´2
⎪
⎩ ||2 21
si
≥
0
1 +2
et est représentée sur la fig. 6.4.
Remarquons les points suivants :
§6.3 La marche de potentiel
199
2
2
E/V 0=2.0
E/V 0=1.5
1.5
|ψ(x)|2
|ψ(x)|2
1.5
1
0.5
0.5
0
-10
1
-5
0
-10
0
-5
0
x/a0
x/a0
2
2
E/V 0=3.0
E/V 0=8.0
|ψ(x)|
|ψ(x)|
2
1.5
2
1.5
1
0.5
0
-10
1
0.5
-5
0
x/a0
0
-10
-5
0
x/a0
FIGURE 6.4. Densité de probabilité en fonction du rapport 0 pour la marche de potentiel avec 0 .
On a pris 0 = 1.
200
Chap.6. Potentiels carrés en une dimension et oscillateur harmonique
¥ Onde stationnaire non pure. De l’éq. (6.56), nous voyons que l’amplitude de l’onde réfléchie est plus petite que celle de l’onde incidente. Il n’y a donc pas formation d’une onde
stationnaire pure dans la région I. Le résultat est plutôt quelque chose d’intermédiaire entre
l’onde stationnaire pure et l’onde progressive. La densité de probabilité oscille comme celle de
l’onde stationnaire pure du cas 0 sauf qu’elle a une valeur minimale qui n’est pas nulle.
Les valeurs minimale et maximale sont données par 422 ||2 (1 + 2 )2 et 412 ||2 (1 + 2 )2
respectivement. Remarquez qu’il n’y a pas de déphasage ici. La densité de probabilité est maximale en = 0 Dans la région II, la densité de probabilité est constante, ce qui est typique
d’une onde progressive. Aussi, l’onde oscille plus rapidement dans la région I car son énergie
cinétique y est plus grande. (L’énergie totale est, bien sûr, constante.) En optique, la situation
serait analogue à une onde lumineuse se propageant dans un milieu d’indice 1 et incidente
sur un milieu d’indice 2 1 On sait que dans ce cas, la réflexion se fait sans déphasage.
¥ Coefficient de réflexion. Calculons maintenant le coefficient de réflexion. Le rapport des
courants réfléchi et incident donne4 (à vous de faire le calcul plus en détails !)
=
=
µ
1 − 2
1 + 2
¶2
=
Ã
!2
p
1 − 0
p
1 + 1 − 0
1−
(6.58)
alors que le coefficient de transmission, défini comme le rapport du courant transmis sur le
courant incident, est
41 2
2 ∗
=
=
=
(6.59)
∗
1
(1 + 2 )2
où 1 et 2 représentent la vitesse de la particule dans les régions I et II. On vérifie facilement
que
+ = 1
(6.60)
Ces coefficients sont représentés sur la fig. 6.5. Lorsque la particule est incidente sur la discontinuité du potentiel, il y a une certaine probabilité pour qu’elle soit réfléchie et une autre pour
qu’elle soit transmise (la particule ne se divise pas en deux !). Comme la particule ne disparaît
pas, la somme de ces deux probabilités doit donner l’unité. Lorsque 0 la particule est
entièrement réfléchie par la marche de potentiel et = 1 Si 0 la particule a une certaine probabilité d’être transmise et 1. Lorsque l’énergie augmente par rapport à 0
l’influence de la marche de potentiel sur le mouvement de la particule diminue et la probabilité
de réflexion chute.
¥ Réciprocité. Si on échange 1 et 2 dans la formule (6.58), on obtient exactement la même
valeur du coefficient de réflexion5 . Pour vous en convaincre, faites la transposition 1 ↔ 2
dans (6.56). En termes physiques, cela veut dire que l’on obtient les mêmes valeurs de et si
la particule provient de la droite et se dirige vers les négatifs. Les phénomènes de réflexion et
de transmission ne sont pas dus au fait que le potentiel augmente d’une région vers un autre,
mais plutôt au fait qu’il y a un discontinuité dans le potentiel. Cette propriété de réciprocité
(invariance dans le changement 1 ↔ 2 ) est une propriété générale des ondes.
4 Dans cette équation, } n’apparaît pas. Est-ce que cela implique que dans la limite classique (} = 0), on pourraît avoir une
réflexion partielle ? Non car ici, on a pris un potentiel idéal () qui varie abruptement. Pour avoir la limite classique, il faut
que la longueur d’onde de la particule soit très petite par rapport à la distance sur laquelle le potentiel varie c’est-à-dire que
¿ ∆ Comme pour le potentiel idéal, ∆ = 0 nous ne pouvons pas trouver de limite classique. Si on élargit le potentiel
juste un peu, cependant, on pourra trouver une longueur d’onde qui satisfasse ¿ ∆ Mais alors, la longueur d’onde étant
très petite, l’énergie de la particule sera très grande et dans ce cas, le réflection est négligeable.
5 Pour les fonctions d’onde, cependant, il y aura un déphasage si l’onde vient de la droite.
§6.3 La marche de potentiel
201
Coefficients R et T
2.0
R
T
1.5
1.0
0.5
0.0
0
0.5
1
1.5
2
E/V 0
FIGURE 6.5. Coefficient de réflexion et de transmission pour la marche de potentiel.
Exemple 11 Réflexion des neutrons par les noyaux atomiques. Lorsqu’un neutron entre
dans un noyau atomique, il fait face à une énergie potentielle qui décroît brusquement. À l’extérieur
du noyau, l’énergie potentielle est = 0 alors qu’à l’intérieur, elle chute à = −50 MeV.
Considérons un neutron incident sur un noyau avec une énergie cinétique = 5 MeV typique
d’un neutron émis par fission nucléaire et estimons la probabilité pour que le neutron soit réfléchi
à la surface du noyau et donc qu’il ne puisse pas pénétrer dans le noyau pour induire une autre
fission nucléaire. On considère le changement dans le potentiel comme pouvant être représenté
par une marche de potentiel. Pour estimer le coefficient de réflexion, nous allons approximer le
changement de potentiel par celui d’une marche de potentiel. La situation est représentée sur la
figure ci-dessous. Par le théorème de réciprocité (et puisque nous pouvons choisir le zéro d’énergie
à notre guise), nous pouvons considérer plutôt la situation de la figure en (b) qui donne le même
coefficient de réflexion et qui a l’avantage de correspondre à la situation décrite dans les notes de
cours.
202
Chap.6. Potentiels carrés en une dimension et oscillateur harmonique
E=K=5MeV
E=0
(a)
V=-50MeV
E=55MeV
V=50MeV
E=0
(b)
FIGURE 6.6. Marche de potentiel pour la réflexion du neutron.
Le coefficient de réflexion est alors donné par
Ã
!2
p
1 − 1 − 0
p
=
1 + 1 − 0
Ã
!2
p
1 − 1 − 5055
p
' 029
=
1 + 1 − 5055
(6.61)
Les neutrons ont donc une assez grande probabilité d’être réfléchis et donc de ne pas pouvoir induire
une fission.
6.4 La barrière de potentiel
Nous allons maintenant exploiter l’effet de pénétration de la région interdite en considérant la
barrière de potentiel définie par
½
0 0
() =
(6.62)
0 0 ou
et représenté sur la fig. 6.7. Nous supposons encore que la particule est incidente de la gauche.
V(x)
I
V0
III
II
0
a
x
FIGURE 6.7. Barrière de potentiel.
Selon la mécanique classique, une particule d’énergie 0 serait réfléchie par la barrière
alors qu’avec l’énergie 0 elle continuerait sa course avec une vitesse moindre. En mécanique
quantique, au contraire, la particule a une certaine probabilité d’être transmise dans la région
lorsque 0 !
§6.4 La barrière de potentiel
203
Nous avons trois régions distinctes dans lesquelles nous devons résoudre d’équation de Schrödinger
2
2
() + 2 ( − 0 ) () = 0
(6.63)
2
~
Dans les régions I et III et pour 0 ou 0
√
1 () = 1 + −1
1 = 2~
(6.64)
3 () = 1 + −1
(6.65)
Dans la région II, nous avons pour 0
2 () = 2 + −2
p
2( − 0 )~
(6.66)
p
2(0 − )~ = 2
(6.67)
2 =
alors que pour 0 la solution est
2 () = 2 + −2
2 =
Nous pouvons donc obtenir la solution 0 à partir de la solution pour 0 en remplaçant
simplement 2 par 2 dans notre solution et donc dans l’expression des coefficients de réflexion et
de transmission.
6.4.1 Cas 0
¥ La particule est incidente de la gauche et il n’y a pas de réflexion à → +∞ donc
= 0
(6.68)
¥ Continuité de la fonction d’onde en = 0 et = donnent
+ = +
2
−2
+
1
=
(6.69)
(6.70)
¥ Continuité de la dérivée de la fonction d’onde en = 0 et =
2
2
( − )1 = ( − )2
−2
− 2
1
= 1
(6.71)
(6.72)
Écrivons les équations précédentes sous forme matricielle. Pour les éqs. (6.69) et (6.71), nous
avons
µ
¶
µ
¶
= 2
(6.73)
1
avec
¶
¶
µ
µ
1
1
1
1
2 =
(6.74)
1 =
1 −1
2 −2
Pour les éqs. (6.70) et (6.72), nous avons
µ
¶
µ
¶
= 4
3
avec
3 =
µ
2
−2
2 2 −2 −2
¶
4 =
(6.75)
µ
1
0
1
0
1
¶
(6.76)
204
Chap.6. Potentiels carrés en une dimension et oscillateur harmonique
Il y a cinq inconnues et quatre équations pour les déterminer. Il restera donc un
coefficient, disons , qui servira pour la normalisation de la fonction d’onde. Tout comme pour la
marche de potentiel, l’énergie n’est pas quantifiée car la particule classique correspondante n’est
pas restreinte à une région bornée de l’espace.
En général, nous ne cherchons pas à écrire la fonction d’onde dans toutes les régions mais plutôt
à calculer le coefficient de réflexion ou de transmission de la barrière. Le coefficient de transmission
est donné par :
∗
(6.77)
= ∗
=
Avec notre système d’équations matricielles, nous écrivons
µ
¶
µ
¶
µ
¶
−1
1
= 2
= 2 3 4
(6.78)
d’où
µ
¶
=
1−1 2 3−1 4
µ
¶
≡
µ
¶
(6.79)
On a, puisque = 0,
= 11 ⇒ ∗ = |11 |2 ∗
(6.80)
Le cofficient de transmission est donc donné par
=
1
∗
=
∗
|11 |2
(6.81)
L’intérêt d’écrire la solution sous cette forme est que l’on peut traiter un nombre arbitraire d’interfaces. Chaque interface donne une matrice “de transmission” . Vous avez sans doute utilisé
cette technique dans le cours d’optique. En utilisant un logiciel de calcul symbolique (Mathematica
ou Maple ou autre), on peut effectuer le produit des matrices très facilement. Évidemment, avec
beaucoup d’interfaces, il vaut mieux programmer ces équations et résoudre numériquement. Dans
le cas présent, on obtient avec un peu de patience
=
=
=
∗
= ∗
412 22
412 22 + (12 − 22 )2 sin2 (2 )
1
∙q
¸
02
22
2
1 + 4(−0 ) sin
~2 ( − 0 )
(6.82)
Comme discuté à la section précédente, exprimons cette formule en terme des unités réduites :
0 0 . La largeur de la barrière est = 0 .
1
=
1+
02
4(−0 )
i
h p
sin2 ( − 0 )
(6.83)
La fig. 6.8 illustre le comportement de en fonction de l’énergie et en fonction de la largeur de
la barrière = 0 (pour une valeur constante de l’énergie 0 = 14 dans ce dernier cas). On
a pris 0 = 1.
205
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
T
T
§6.4 La barrière de potentiel
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0
0
1
2
E/V 0
3
4
0.0
5
10
15
a/a0
FIGURE 6.8. Variation du coefficient de transmission pour la barrière de potentiel en fonction de l’énergie
(à gauche) et en fonction de la largeur de la barrière (à droite).
— Résonances de transmission. Lorsque = 1, la barrière devient effectivement “transparente” pour les électrons. On remarque que, chaque fois que
µ ¶
2
= 1 2
(6.84)
2 = ⇒ =
2
c’est-à-dire chaque fois que la largeur de la barrière est un multiple entier de la demi-longueur
d’onde dans la région II, il y a résonance de transmission. La même chose se produit
lorsque l’énergie est telle (pour un donné) que 2 = c’est-à-dire chaque fois que
r
22
2 2 }2
(
−
)
=
⇒
=
+
(6.85)
0
0
~2
22
2 2 2
}
(On se souviendra que 2
2 donne les énergies quantifiées dans un puits infini).
¥ Absence d’onde réfléchie à la résonance. On peut vérifier qu’à la résonance, le coefficient
= 0 de sorte qu’il n’y a pas d’onde réfléchie en 0 Si on résoud pour tous les coefficients,
on peut montrer que la solution dans la région II, lorsque 2 = s’écrit (avec = 2 1 )
2 () = 2 + −2
µ
¶
µ
¶
1
1
1
1
2
=
+
1+
1−
−2
2
2
( cos(2 ) + sin(2 ))
=
(6.86)
soit une onde stationnaire mais non pure. La densité de probabilité correspondante est
¯ ¯2
¯¯ £
¢
¤
¡
2
|2 ()| = ¯¯ ¯¯ 1 + 2 − 1 cos2 (2 )
(6.87)
Les résonances de transmission proviennent d’une interférence destructive entre les ondes réfléchies (à gauche) en = 0 et en = . Il se crée, dans la région, II un système d’ondes
stationnaires lorsque 2 = (l’analogue en optique est un interféromètre de Fabry-Pérot).
206
Chap.6. Potentiels carrés en une dimension et oscillateur harmonique
Si on reprenait le calcul avec un paquet d’ondes venant de la gauche, on verrait que celui-ci
passerait un certain temps au-dessus de la barrière avant d’être entièrement transmis dans la
région III.
La fig. 6.9 illustre le comportement de la densité de probabilité pour différentes valeurs du rapport
0 . On a choisi 0 = 5 et 0 = 1. Deux résonances de transmission sont capturées dans le
régime où 0 .
6.4.2 Cas 0
Comme nous l’avons indiqué précédemment, nous n’avons pas à reprendre tous nos calculs pour
résoudre ce nouveau cas. Nos solutions (6.64),(6.65) restent valables
p pour les régions I et III alors
6
que pour la région II nous n’avons qu’à remplacer 2 par 2 = 2 (0 − )~ et 2 par −2
dans (6.66). Par exemple,
sin (2 ) =
2 − −2
2 − −2
→
= − sinh (2 )
2
2
(6.88)
Le coefficient de transmission devient (voir fig. 6.8)
=
=
412 22
¡
¢2
412 22 + 12 + 22 sinh2 (2 )
1
∙q
¸
2
0
2
22
1 + 4(0 −) sinh
(0 − )
}2
(6.89)
¥ Effet tunnel. Le résultat de l’éq. (6.89) nous indique que la particule a une probabilité non
nulle de franchir la barrière de potentiel même si son énergie 0 un résultat tout à
fait contraire à la physique classique. C’est ce qu’on appelle l’effet tunnel. Sous la barrière de
potentiel, l’onde est évanescente, elle va comme −2 avec une portée de l’ordre de 12 Pour
pouvoir observer l’effet tunnel, il faut que la portée de l’onde soit plus grande que la largeur
de la barrière. On doit donc avoir 12 & La fig. 6.9 illustre le comportement de la densité
de probabilité dans les régions I,II et III.
¥ Déphasage et onde stationnaire non pure. Dans la région I, l’onde réfléchie n’a pas la
même amplitude que l’onde incidente de sorte que la densité de probabilité est typique d’une
onde stationnaire non pure. De plus le maximum de la probabilité n’apparaît pas à = 0 Il
y a déphasage entre les deux ondes tout comme dans le cas de la marche de potentiel pour
0
¥ Onde évanescente. Dans la région II, l’onde est évanescente.
¥ Probabilité constante à droite. Dans la région III, il n’y a qu’une onde transmise de la
forme 1 et donc la densité de probabilité est une constante. Sur la fig. 6.9, la probabilité
dans cette région vaut 1 car nous avons pris = 1 pour le calcul des coefficients.
¥ Impossibilité d’observer la particule sous la barrière. Comme dans le cas de la marche
de potentiel, il n’est pas possible d’observer la particule dans la région II. Pour être certain
que la particule soit dans cette région, on devrait avoir ∆ ⇒ ∆ ~ ⇒ ∆
~2 22 Il faut que cette incertitude sur l’énergie de la particule soit plus petite que 0 −
On devrait donc avoir 0 − ∆ ~2 22 ⇒ 0 − ~2 22 ⇒ ~2 22 2
6 On
a alors que → −2 1 ∗ → −1 avec = 2 et cos (2 ) → cosh (2 )
§6.4 La barrière de potentiel
207
2
E/V 0=0.3
|ψ(x)|
|ψ(x)|
2
E/V 0=0.1
-5
0
5
-5
x/a0
0
5
x/a0
2
E/V 0=0.9
|ψ(x)|
|ψ(x)|
2
E/V 0=0.7
-5
0
5
-5
x/a0
0
5
x/a0
2
E/V 0=1.3947
|ψ(x)|
|ψ(x)|
2
E/V 0=1.1
-5
0
5
-5
x/a0
0
5
x/a0
2
E/V 0=2.579
|ψ(x)|
|ψ(x)|
2
E/V 0=2
-5
0
x/a0
5
-5
0
5
x/a0
FIGURE 6.9. Évolution de la densité de probabilité en fonction du rapport 0 . Les fonctions ne sont pas
normalisées de sorte que l’axe des ordonnées n’est pas gradué. Il part toutefois à 0.
208
Chap.6. Potentiels carrés en une dimension et oscillateur harmonique
~2 22 ⇒ 2 1 En d’autres termes, la largeur de la barrière doit être plus grande
que la portée de l’onde. Mais si tel est le cas, À 12 alors on a une marche de potentiel
et donc ∆ ∼ 12 (et non ∆ ∼ ). On trouve donc que ∆ ~2 22 2 (et non
∆ ~2 22 ), ce qui implique que ∆ ( − 0 ).
¥ Expression simplifée du coefficient tunnel. Il est souvent utile d’avoir une expression
simplifiée pour . Considérons la limite 2 1 dans l’éq. (6.89) c’est-à-dire le cas où la
largeur de la barrière est grande et que l’effet tunnel est faible. Nous pouvons alors prendre
sinh (2 ) ≈ 2 2 devient donc
1
∙ q
¸
02
22
1 + 16(0 −) exp 2
} 2 (0 − )
µ ¶µ
¶
≈ 16
1−
−2
0
0
≈
(6.90)
(6.91)
q
2
où = 2
}2 (0 − )La probabilité tunnel diminue exponentiellement avec la largeur de
la barrière.
Exemple 12 Exemples d’effet tunnel. Nous discuterons en classe de plusieurs exemples où
l’effet tunnel est important : Effet Ramsauer-Townsed, émission de particules par les noyaux
radioactifs, microscope à effet de champ, microscope à effet tunnel, oscillations dans la molécule
d’ammoniaque, formation des bandes dans un solide, etc.
6.5 Le puits de potentiel carré
Nous abordons maintenant un un problème plus compliqué, celui du puits de potentiel carré
défini par
½
0 || ≤ 2
(6.92)
() =
0 autrement
et représenté sur la fig. 6.10
V(x)
V0
3
1
2
-a/2
0
+a/2
FIGURE 6.10. Puits de potentiel carré.
Classiquement nous aurions des états liés pour toutes les énergies ≤ 0 et des états nonliés autrement. En mécanique quantique, le puits de potentiel ne peut soutenir qu’un nombre fini
d’états liés comme nous le verrons.
§6.5 Le puits de potentiel carré
209
La solution de ce problème est analogue à celle du puits de potentiel infini. Nous allons mettre
en évidence deux classes de solutions. Nous ne traiterons ici que le cas 0 Dans le cas 0
il apparaît des résonances de diffusion, tout comme pour la barrière de potentiel (la barrière de
potentiel est comme un puits inversé, il y a donc des similarités entre les deux problèmes).
Pour 0 : nous prenons comme solution dans la région I7
√
1 () = cos(1 ) + sin (1 )
1 = 2~
(6.93)
dans la région II
2 () = 2 + −2
2 =
et dans la région III
p
2 (0 − )~
(6.94)
3 () = 2 + −2
(6.95)
Les conditions de frontières imposent que
¥ (±∞) → 0 donc = = 0
¥ La continuité de la fonction d’onde en = ±2 donne
cos (1 2) + sin (1 2) = −2 2
−2 2
cos (1 2) − sin (1 2) =
(6.96)
(6.97)
¥ La continuité de la dérivée de la fonction d’onde en = ±2 donne
−1 sin (1 2) + 1 cos (1 2) = −2 −2 2
−2 2
1 sin (1 2) + 1 cos (1 2) = 2
(6.98)
(6.99)
Il y a 4 équations pour et . Cependant, aussi est une inconnue car l’énergie est
quantifiée dans le puits. Les quatre équations permettent de déterminer et et laissent
une constante libre (ou une autre) pour la normalisation.
Écrivons les éqs. (6.96)-(6.97), (6.96)+(6.97), (6.98)+(6.99), (6.98)-(6.99)
2 sin (1 2) = ( − ) −2 2
−2 2
2 cos (1 2) = ( + )
(6.100)
(6.101)
−2 2
(6.102)
−2 2
(6.103)
21 cos (1 2) = 2 ( − )
21 sin (1 2) = 2 ( + )
Divisons (6.103) par (6.101) et (6.102) par (6.100),
1 tan (1 2) = 2
1 cot (1 2) = −2
si + 6= 0 6= 0
si − 6= 0 6= 0
(6.104)
(6.105)
Il est impossible de satisfaire simultanément les équations (6.104) et (6.105). En effet, si on additionne ces deux équations et que l’on multiplie ensuite par tan (1 2), on obtient
tan2 (1 2) + 1 = 0
ce qui est impossible. Nous sommes donc forcés de considérer deux types de solutions :
7 Précédemment, nous prenions () = + − = ( + ) cos() + ( − ) sin () Si nous redéfinissons les
coefficients, nous obtenons la forme équivalente 0 cos () + 0 sin ()
210
Chap.6. Potentiels carrés en une dimension et oscillateur harmonique
TYPE I + 6= 0 6= 0 mais = 0 − = 0 Les équations (6.100) et (6.102) sont
satisfaites. De (6.101) avec = nous obtenons
= 2 2 cos (1 2)
(6.106)
et (6.103) divisé par (6.101) donne
1 tan (1 2) = 2
(6.107)
TYPE II − 6= 0 6= 0 mais = 0 + = 0 Les équations (6.101) et (6.103) sont
satisfaites. De (6.100) avec = − nous obtenons
= −2 2 sin (1 2)
(6.108)
et (6.102) divisé par (6.100) donne
1 cot (1 2) = −2
(6.109)
Considérons tout d’abord les solutions de type I.
1 tan (1 2) = 2 ⇒
et donc
r
2
tan
2~2
Ãr
(6.110)
!
(6.111)
2
2~2
Définissons la variable sans unités
de sorte que
1
2
tan (1 2) =
2
2
e≡
r
³ ´
e tan
e =
=
r
(0 − ) 2
2~2
2
2~2
(6.112)
r
2 0
e2
−
(6.113)
2~2
Cette équation transcendante doit être résolue graphiquement.
Sur la fig. 6.11 (à gauche), nous
q
³ ´
³ ´
³ ´
2
0
e 2 Les solutions du système
e =
e tan
e et
e =
−
traçons les fonctions
2~ 2
d’équations correspondent aux points d’intersection de ces deux fonctions. On voit tout de suite
que si
r
2 0
(6.114)
2~2
il n’y a qu’une seule solution de type I, c’est-à-dire un seul état lié de ce type dans le puits.
Remarquez que peu importe la valeur de 0 il y a toujours au moins une solution.
Pour le type II
1
2
cot (1 2) =
(6.115)
−1 cot (1 2) = 2 ⇒ −
2
2
et donc
Ãr
! r
r
2
2
(0 − ) 2
−
cot
(6.116)
=
2
2
2~
2~
2~2
de sorte que
³ ´
e cot
e =
−
r
2 0
e2
−
2~2
(6.117)
§6.5 Le puits de potentiel carré
211
10.0
10.0
8.0
8.0
p(e)
q(e)
6.0
4.0
4.0
2.0
2.0
0.0
0.0
-2.0
-2.0
-4.0
-4.0
-6.0
-6.0
-8.0
-8.0
-10.0
0
-10.0
0
2
4
q(e)
t(e)
6.0
6
8
e
2
4
6
8
e
FIGURE 6.11. Solution graphique pour le puits de potentiel carré. À gauche, solutions paires. À droite,
solutions impaires.
C’est encore une équation transcendante.
Sur la fig. 6.11 (à droite), nous traçons les fonctions
³ ´
³ ´
³ ´ q 2
0
e 2 On voit tout de suite que si
e = −
e cot
e et
e =
−
2
2~
≡
r
2 0
2
2~
2
(6.118)
il n’y a pas de solution de type II. Pour 2 32 il y a une solution, etc.
Les éqs. (6.113) et (6.117) nous permettent de trouver les énergies pour lesquelles il y a une
solution du système d’équations. Les coefficients sont déterminés par les équations restantes. La
solution de type I correspond aux fonctions d’onde paires et celles de type II aux fonctions d’onde
impaires puisque
TYPE I
TYPE II
⎧
⎨ cos (1 )
cos (1 2) 2 2 2
() =
⎩
cos (1 2) 2 2 −2
⎧
⎨ sin (1 )
− sin (1 2) 2 2 2
() =
⎩
sin (1 2) 2 2 −2
région I
région II
région III
(6.119)
région I
région II
région III
(6.120)
Les énergies doivent être déterminées numériquement. Elles fixent q
1 et 2 Les coefficients
2 0
augmente, il y
et sont obtenus en normalisant les fonctions d’onde. Lorsque ≡
2~2
a d’abord un état lié dont la fonction d’onde est paire. Puis, pour 2 apparaît en plus un
premier état impair, ensuite pour un second état pair Le nombre d’états liés est fixé par
la hauteur et la largeur du puits soit par le paramètre Par exemple, si = 4 il n’y a que trois
états liés d’énergie 1 = 00980 2 = 03830 3 = 08080 Il y a toujours au moins un état lié
dans le puits et cet état est de symétrie paire. (Sur la fig.6.12, 0 = 64).
Les fonctions d’onde des premiers états liés du puits carré sont différentes de celles du puits
infini. Le nombre de noeuds augmente avec le nombre quantique mais contrairement au puits
212
Chap.6. Potentiels carrés en une dimension et oscillateur harmonique
60
50
ψ(x)
40
30
20
10
0
-1
0
1
x/a0
FIGURE 6.12. Les trois états liés dans le puits de potentiel carré avec 0 = 64 et = 1 Notez que les
fonctions d’onde n’ont pas été normalisées. Chaque fonction est placée à la valeur de son énergie propre
soit : 1 = 627356 2 = 244941 3 = 51701Les fonctions ont été obtenues avec Mathematica (fichier
potentielcarre.nb).
infini, le nombre de noeuds est ici de − 1 pour l’état car la fonction d’onde ne s’annule pas en
= ±2 En effet, la particule peut pénétrer dans les régions interdites par effet tunnel.
Notez que lorsque le potentiel est plus profond ou plus large, il y a plus d’états liés. Il y a toujours
un état lié pour un potentiel attractif en une dimension. Cela n’est plus vrai en trois dimensions.
Remarque 13 Résolution numérique de l’équation de Schrödinger. Le fichier Mathematica potentielcarre.nb (disponible sur mon site WEB) vous montre comment résoudre l’équation de
Schrödinger pour le potentiel carré et trouver les énergies propres. Dans ce fichier, nous prenons
= 0 = 0 0 = 0 0 et = 0 de sorte que
−
}2 2
() + () () = ()
2 2
(6.121)
devient
−
}2 2
() + () () = ()
220 2
2
() − () () = − ()
2
(6.122)
(6.123)
Nous discuterons de la résolution numérique en classe si le temps le permet.
6.6 Oscillateur harmonique
Comme dernier exemple de potentiel en une dimension, nous considérons l’oscillateur harmonique. Contrairement aux exemples traités précédemment, l’équation différentielle que l’on doit
§6.6 Oscillateur harmonique
213
résoudre est passablement plus difficile. Une raison d’étudier ce problème est d’apprendre à traiter
de telles équations.
L’équation aux valeurs propre pour l’oscillateur harmonique s’écrit
−
1
}2 2
() + 2 2 () = ()
2
2
2
(6.124)
Pour rendre cette équation sans dimension, nous définissons
=
et faisons le changement de variables
=
2
}
r
(6.125)
}
(6.126)
L’équation initiale devient alors
¡
¢
2
() + − 2 () = 0
2
(6.127)
Nous devons trouver les solutions de cette équation pour lesquelles la fonction () et sa dérivée
sont continues et finies pour toute valeur de . Nous allons voir que la contrainte majeure est la
dernière condition. Commençons par examiner le comportement de () à l’infini.
D’abord, remarquons que pour toute valeur propre le terme impliquant dans cette équation
devient négligeable lorsque 2 → ∞ Nous devons donc exiger que () satisfasse asymptotiquement l’équation
2
() − 2 () = 0
lorsque 2 → ∞
(6.128)
2
La solution générale de cette équation, valable dans la limite 2 → ∞ (vérifiez par substitution)
est
2
2
(6.129)
() = − 2 + + 2
2
où et sont des constantes arbitraires. Il est clair que nous devons rejeter la solution + 2
car elle diverge et n’est donc pas acceptable physiquement. Nous avons donc trouvé que dans la
limite asymptotique, la forme des fonctions d’onde doit être
() ∼ −
2 2
lorsque
|| → ∞
(6.130)
Pour tenir compte explicitement de cela dans l’équation différentielle initiale, nous introduisons
maintenant une nouvelle fonction () telle que
() = () −
2 2
(6.131)
Cette solution doit être valable pour tout (il ne s’agit plus d’une approximation). La fonction
2
() doit varier plus lentement que − 2 dans la limite 2 → ∞ pour être négligeable dans cette
limite.
Notre équation différentielle originale devient avec cette transformation
2 ()
()
+ ( − 1) () = 0
− 2
2
(6.132)
214
Chap.6. Potentiels carrés en une dimension et oscillateur harmonique
Il semble que nous n’ayons pas vraiment simplifié notre équation de départ mais en fait ce n’est
pas le cas ! L’éq. (6.132) admet une solution en série, comme nous allons le montrer maintenant.
Écrivons pour () :
∞
X
(6.133)
() =
=0
et insérons ce développement dans l’éq. (6.132). Nous obtenons
∞
X
=0
soit
∞
X
=0
( − 1) −2 − 2
∞
X
=0
−1 + ( − 1)
+2 ( + 2) ( + 1) − 2
∞
X
=0
∞
X
= 0
(6.134)
=0
+ ( − 1)
∞
X
= 0
(6.135)
=0
Cette équation doit être satisfaite pour toutes les valeurs de ce qui implique que les coefficients
combinés qui multiplient chaque puissance de doivent s’annuler. Mathématiquement :
+2 ( + 2) ( + 1) − 2 + ( − 1) = 0
(6.136)
Pour = 0 1 2 nous obtenons
22 + ( − 1) 0 = 0
(6.137)
124 − 42 + ( − 1) 2 = 0
(6.139)
63 − 21 + ( − 1) 1 = 0
(6.138)
etc. Notez que les coefficients pairs ne se couplent pas aux coefficients impairs. Il existe donc une
relation de récurrence entre les coefficients
+2 =
− ( − 1 − 2)
( + 1) ( + 2)
(6.140)
Cette relation nous apprend que les coefficients impairs sont reliés entre eux et de même pour les
coefficients pairs. Les séries paires et impaires peuvent donc être générées séparément car elles ne se
mêlent pas. Ce n’est pas surprenant, nous savions déjà que les solutions de l’oscillateur harmonique
étaient soit paires, soit impaires car l’hamiltonien est invariant sous réflexion. Nous pouvons donc
écrire () sous la forme
¢ ¡
¢
¡
(6.141)
() = 0 + 2 2 + 4 4 + + 1 + 3 3 + 5 5 +
soit
ou encore
¶
¶
µ
µ
2 2 4 4
3 3 5 5
() = 0 1 + + + + 1 + + +
0
0
1
1
¶
¶
µ
µ
2 2 4 2 4
3 3 5 3 5
+ + 1 + +
+
() = 0 1 + +
0
2 0
1
3 1
(6.142)
(6.143)
Il y a donc seulement deux coefficients indépendants 0 et 1 les autres étant fixés par la relation
de récurrence.
Retournons maintenant à notre relation de récurrence. Pour une valeur quelconque de l’énergie
le numérateur ne s’annule pas et tous les coefficients sont non nuls. Il s’ensuit que les séries
§6.6 Oscillateur harmonique
215
paires ou impaires contiennent alors un nombre infini de termes. Nous allons montrer maintenant
que, dans ce cas, la solution obtenue pour () n’est pas acceptable.
D’abord, dans la limite des grands la relation de récurrence donne
2
+2
'
(6.144)
2
Comparons avec le développement en série de la fonction (qui ne contient que des termes pairs) :
2
= 1 + 2 +
+2
4 6
+
+ +
+
+
2!
3!
(2)! (2 + 1)!
(6.145)
Pour les grands le rapport de deux coefficients consécutifs donne
1
1
2
1 (2 + 1)!
=
'
=
1 (2)!
2 + 1
2
(6.146)
Ce rapport est le même que celui des séries paire ou impaire de () Cela implique que les termes
2
en grande puissance de dans la série pour peuvent différer des termes de grandes puissances
dans la série paire pour () seulement par une constante multiplicative puisque le rapport
2
des coefficients est le même. De même, les termes de grande puissance dans ne peuvent différer
des termes de grandes puissances dans la série impaire de () que par fois une constante
0 Pour → ∞ les termes de faible puissance en ne sont pas importants pour déterminer le
comportement asymptotique, nous avons donc que
2
2
lim () = 0 + 1 0
2 →∞
(6.147)
et donc dans cette limite
lim () = −
2 →∞
soit
2 2
³
´
2
2
0 + 1 0
´
³
2
2
lim () = 0 2 + 1 0 2
2 →∞
(6.148)
(6.149)
On obtient donc une solution qui diverge et qui n’est, pour cette raison, pas acceptable.
Des solutions acceptables peuvent être trouvées, mais il faut pour cela que prenne certaines valeurs bien précises (nous voyons déjà comment apparaît la quantification de l’énergie de l’oscillateur
harmonique). Écrivons = 2 + 1. La relation de récurrence devient
+2 =
−2 ( − )
( + 1) ( + 2)
(6.150)
Considérons deux exemples
1. Si = 0, on a 2 = 0 et donc tous les autres coefficients avec pair sont nuls. Si 1 6= 0,
alors tous les coefficients impairs ne seront pas nuls. On vient tout juste de montrer qu’il faut
éviter cela de sorte que notre solution, pour = 0 doit être de prendre 0 6= 0 et 1 = 0. On
a donc 0 () = 0 .
2. Si = 1, on a 3 = 0 et tous les autres coefficients impairs. Mais, on voit que, si 0 6= 0,
alors tous les coefficients pairs sont non nuls, situation qui n’est pas acceptable. Il faut donc
prendre pour solution 1 6= 0 et 0 = 0 La solution est 1 () = 1 .
216
Chap.6. Potentiels carrés en une dimension et oscillateur harmonique
En continuant ainsi, on verrait facilement qu’il y a deux types de solutions.
= 1 3 5
avec 0 = 0
(6.151)
= 0 2 4
avec 1 = 0
(6.152)
Lorsque = la série (paire ou impaire) se termine au ǹ terme, tous les autres coefficients
étant alors nuls. Nous obtenons ainsi des solutions pour () qui sont des polynômes en d’ordre
Plus spécifiquement :
0 () = 0
1 () = 1
¡
¢
2 () = 0 ¡1 − 2 2 ¢
3 () = 1 ¡ − 23 3
¢
4 () = 0 ¡1 − 4 2 + 43 4 ¢
4 5
5 () = 1 − 43 3 + 15
(6.153)
Ces polynômes sont appelés polynômes d’Hermite et sont notés () L’équation différentielle
qu’ils satisfont (éq. (6.132)) est l’équation différentielle d’Hermite. Remarquez que nous pourrions
choisir 0 et 1 de façon à n’avoir que des coefficients entiers. Notre solution finale est donc de la
forme
2
() = − 2 ()
(6.154)
(0 et 1 peuvent être absorbés dans coefficients de normalisation ) Cette solution a un comportement acceptable à l’infini car un polynôme de degré fini est complètement dominé par l’expo2
nentielle − 2 Le fait d’imposer aux fonctions d’onde de s’annuler à l’infini nous a donc conduit
à la condition = 2 + 1 En utilisant l’éq. (6.125), nous pouvons réécrire cette condition comme
2
= 2 + 1
}
(6.155)
= ( + 12) }
(6.156)
soit
forme qui nous est plus familière ! Nous avons finalement démontré la quantification de l’énergie
de l’oscillateur harmonique, problème qui a servi de point de départ à notre cours !
Les fonctions d’onde normalisées des trois premiers niveaux sont données par
¸
∙
³ ´14
1 2
0 () =
(6.157)
exp −
}
2 }
∙ ³
∙
¸
¸
4 ´3 14
1 2
exp −
1 () =
(6.158)
}
2 }
∙
¸
h³ ´i14 h
i
1 2
2
− 1 exp −
2
(6.159)
2 () =
4}
}
2 }
Pour un niveau quelconque :
() =
avec =
µ
2
¶14
2 2
1
√
− 2 ()
2 !
p
} Elles sont représentées sur la fig. 6.13.
(6.160)
217
ψ(x)
|ψ(x)|2
§6.6 Oscillateur harmonique
-5
0
-5
5
0
5
x/a0
x/a0
FIGURE 6.13. Fonctions d’onde et densités de probabilité correspondantes pour les quatre premiers niveaux
de l’oscillateur harmonique.
Remarque 14 Pour représenter ces fonctions sur la fig. 6.13, nous avons utilisé encore une fois
0 = 1̊ comme unité de distance de sorte que
r
r
20
1
∆
=
=
}
2
où on a défini ∆ = }0 avec 0 = }2 220 . On a donc
!
Ãr
µ ¶14
∆
1
∆
1
2
√
() = √
−∆ 4
0 2
2
2 !
(6.161)
Pour la fig. 6.13, nous avons pris }0 = 1. Pour le potentiel () = 12 2 2 devient () 0 =
() = 14 ∆2 2 .
L’ensemble des fonctions d’onde () forme une base de sorte que l’on peut décomposer toute
fonction d’onde sur les fonctions () Plus précisément, ces fonctions satisfont aux relations
d’orthonormalité et à la relation de fermeture
Z +∞
∗ () () =
(6.162)
−∞
X
¡
¢
()∗ (0 ) = − 0
S () est une fonction d’onde quelconque, ces conditions nous permettent d’écrire
X
()
() =
(6.163)
(6.164)
Le développement temporel, d’après le sixième postulat de la mécanique quantique, est donné par
X
( ) =
()− }
(6.165)
218
Chap.6. Potentiels carrés en une dimension et oscillateur harmonique
¥ Opérateurs de création et d’annihilation de quanta d’énergie : considérons l’opérateur
∙r
¸
1
+√
= √
(6.166)
}
2
}
En utilisant le fait que et sont hermitiques, on montre facilement que le conjugué hermitique (cette notion sera définie dans le cours de Mécanique quantique II) de est
¸
∙r
1
†
−√
(6.167)
=√
}
2
}
de sorte que n’est pas un opérateur hermitique. Bien que non hermitiques, les opérateurs
et † sont toutefois fort utiles. On peut montrer (voir problème à la fin de ce chapitre) que
† 0 () = 1 ()
(6.168)
1 () = 0 ()
(6.169)
Les fonctions () sont définies par l’éq. (6.160) est correspondent à la partie spatiale de la
fonction d’onde de chaque mode propre. On voit sur les éqs. (6.168) et (6.169) que l’opérateur
fait descendre d’un niveau d’énergie alors que l’opérateur † fait monter d’un niveau d’énergie.
Ces opérateurs sont appelés opérateurs d’échelle pour cette raison. On peut aussi considérer ces
opérateurs comme des opérateurs de création et d’annihilation de quanta d’énergie. En effet, les
niveaux d’énergie de l’oscillateur harmonique sont également espacés et donnés par la relation
= ( + 12) } Un oscillateur dans l’état est considéré comme un oscillateur ayant
quanta d’énergie }. Pour passer au niveau d’énergie immédiatement inférieur, l’oscillateur
doit perdre un quantum d’énergie. C’est ce que fait l’opérateur : il enlève (annihile) un
quantum d’énergie à l’oscillateur harmonique. L’opérateur conjugué fait tout juste le contraire,
il ajoute (crée) un quantum d’énergie.
¥ Principe d’indétermination d’Heisenberg : nous avons déjà mentionné que, pour tous
les états propres de l’oscillateur harmonique, hi = h i = 0 En utilisant les fonctions
d’onde
pour les trois premiers niveaux, calculer les valeurs moyennes
®
­ précédemment
­ ®données
de 2 et 2 . Vous trouverez les résultats
¶
µ
­ 2®
}
1
(6.170)
= +
2
et
Donc,
­ 2®
=
(∆)
(∆ )
¶
µ
1
}
+
2
sµ
¶
}
1
+
=
2
sµ
¶
1
}
=
+
2
Le principe d’incertitude est respecté pour chaque état puisque
¶
µ
1
}
(∆) (∆ ) = +
2
(6.171)
(6.172)
(6.173)
(6.174)
§6.6 Oscillateur harmonique
219
La borne inférence 12 } est atteinte dans l’état fondamental (lorsque la fonction d’onde est une
gaussienne). Il est aussi intéressant de calculer la valeur moyenne des énergies potentielle et
cinétique dans chaque état.
h ()i =
¿ 2À
=
2
µ
¶
­ 2®
1
1
1
2
=
+
} =
2
2
2
2
µ
¶
1
1
+
} =
2
2
2
(6.175)
(6.176)
La valeur moyenne de l’énergie cinétique est égale à la valeur moyenne de l’énergie potentielle,
en accord avec le théorème du viriel. Pour un oscillateur harmonique, () = 12 2 2 On a
alors
¿
¿
À
À
2
(6.177)
= hi =
=hi
Autrement dit, le mouvement du centre du paquet d’ondes obéit rigoureusement aux lois de la
mécanique classique !
¥ Principe de correspondance de Bohr : l’énergie totale de la particule dans un oscillateur
harmonique est donnée par
1
1
(6.178)
= 2 + 2 2
2
2
Les fonctions propres représentent des états d’énergie totale bien définie, . En mécanique
classique, l’amplitude du mouvement correspondant est donné par (il suffit de prendre = 0)
2
2
s ¡
¢
4 + 12
=
∆
=
r
(6.179)
(6.180)
Pour l’énergie cinétique de la particule serait négative. Le mouvement de la particule classique est donc confiné à la région || ≤ On voit bien sur la fig. 6.13 que le
comportement de la particule quantique est tout autre. En effet, il y a une probabilité finie
pour que la particule se retrouve dans les régions interdites classiquement ! En fait, il n’y a
pas de limite bien définie pour la particule quantique bien que la probabilité d’être dans la
région interdite diminue rapidement avec Il est instructif de comparer le comportement de
la probabilité quantique avec celui de la probabilité classique. On peut définir une probabilité
classique en observant que la probabilité de trouver la particule dans un élément de l’axe des
est proportionnelle au temps que la particule passe dans cet élément. Ce temps est évidemment inversement proportionnel à la vitesse de la particule lorsqu’elle passe dans cet élément,
c’est-à-dire que
2
(6.181)
classique =
où est une constante de normalisation La vitesse en fonction de la position pour un état
d’énergie donnée est
r r
2
2 2
=
(6.182)
−
2
220
Chap.6. Potentiels carrés en une dimension et oscillateur harmonique
de sorte que la probabilité classique devient
classique =
=
=
=
2
q q
2
−
2 2
2
2
q q
2
−
q
(6.183)
} 2 2 220 2
4}2
2
q
20
−
} 2 2 2
420
1
1
q¡
¢
20
+ 12 ∆ − 14 ∆2 2
(6.184)
Sur la fig. 6.14 nous comparons cette probabilité classique avec la probabilité quantique correspondante. (On a choisi = 20). Nous voyons que la probabilité classique est infinie aux
points correspondants à l’amplitude maximale du mouvement (lorsque la particule rebrousse
chemin, sa vitesse est nulle) et minimale proche de l’équilibre puisque sa vitesse est maximale
à cet endroit. Dans l’état fondamental, la probabilité quantique est évidemment très différente
du résultat classique comme le montre la fig. 6.13. Pour de grandes valeurs de , la probabilité quantique redonne le résultat classique comme on le voit sur la fig. 6.14, résultat qui est
conforme au principe de correspondance de Bohr.
n=20
Probabilité
Probabilité
n=0
-5
0
x/a0
5
-10
-5
0
5
10
x/a0
FIGURE 6.14. Comparaison entre les densités de probabilité classique et quantique pour les niveaux 0 et 20
de l’oscillateur harmonique.
¥ Interprétation physique des états stationnaires de l’oscillateur harmonique : en
utilisant les propriétés de symétrie des fonctions d’onde, on montre facilement que, pour
quelconque
(6.185)
hi = h i = 0
Ce résultat est évident puisque, pour une position d’équilibre en = 0 les positions + || et
− || ont même probabilité. Il en va de même des quantités de mouvement + || et − ||. On
arrive toutefois au résultat curieux que rien ne bouge dans un état propre de l’oscillateur harmonique ! En tout cas, la valeur moyenne hi dans un de ces états ne se comporte pas du tout
§6.7 Autres applications physiques
221
comme la variable classique () correspondante. Il faut donc admettre que ces états propres
n’ont aucun équivalent en mécanique classique. Comment comprendre alors leur signification ?
Imaginons une particule classique avec une oscillation donnée par
() = cos ( − )
(6.186)
où l’amplitude est reliée à l’énergie par = 12 2 2 . Imaginons ensuite un ensemble de tels
oscillateurs harmoniques avec même énergie, mais des phases différentes également réparties
dans l’intervalle 0 à 2. Pour un tel ensemble d’oscillateurs, la valeur moyenne de et de
est effectivement nulle
Z 2
1
() =
cos ( − ) = 0
(6.187)
2 0
Z 2
1
() = −
sin ( − ) = 0
(6.188)
2 0
Ainsi, dans un état propre de l’oscillateur harmonique, l’énergie est bien définie, mais la phase
du mouvement ne l’est pas.
6.7 Autres applications physiques
Les potentiels physiques étudiés dans ce chapitre ont beaucoup d’applications physiques. Si le
temps le permet, nous traiterons des applications suivantes :
1. Microscope à effet tunnel.
2. Origine physique de la liaison chimique covalente.
3. Origine physique de la formation des bandes dans un solide.
4. Les systèmes physiques à zéro, une et deux dimensions.
5. Tracé qualitatif des fonctions d’onde.
6.8 Problèmes pour le chapitre VI
1. Lorsqu’il y a une discontinuité dans le potentiel (), le flux de probabilité se divise en flux
réfléchi et flux transmis. Qu’arrive-t-il à la particule associée à l’onde incidente ? Se divise-telle aussi en deux parties ?
2. Une particule incidente sur une barrière de potentiel a une énergie totale plus petite que la
hauteur de la barrière. Est-ce que la réflexion implique seulement la première discontinuité
dans le potentiel rencontrée par la particule ou les deux discontinuités ? Si la seconde discontinuité dans le potentiel est enlevée (on passe alors d’une barrière à une marche de potentiel),
qu’est-ce que cela changerait au coefficient de réflexion ?
3. Dans l’état = 3 d’une particule dans une boîte, la densité de probabilité a deux noeuds. Si
la probabilité pour la particule de se trouver en ces points est ainsi nulle, comment fait-elle
pour traverser ces points ?
222
Chap.6. Potentiels carrés en une dimension et oscillateur harmonique
4. Expliquez comment la quantification de l’énergie apparaît en mécanique quantique.
5. Pourquoi l’équation de Schrödinger n’est-elle pas valable pour des particules relativistes.
6. Réflexion sur un mur en mouvement. Considérez la réflexion d’une particule de quantité
de mouvement 1 = 1 = }1 par un mur (un potentiel infini) qui se déplace lui-même
avec une vitesse uniforme 0 vers la droite de sorte que sa position au temps est donnée par
0 = 0
(a) En mécanique classique, quelle serait la vitesse de la particule réfléchie par le mur ?
(b) Écrivez la solution générale Ψ ( ) qui résoud l’équation de Schrödinger dans tout l’espace à gauche et à droite du mur, à tout instant . Cette solution est-elle valable dans
le cas où 1 ≤ 0 ?
(c) Appliquez les conditions de frontières et trouvez la relation reliant les vitesses 1 et 2
(vitesse de la particule réfléchie).
(d) Considérez les cas 1 20 et 0 1 20 (le cas 1 ≤ 0 a été discuté en (a)) et
discutez les résultats physiques.
7. Particle dans une boîte (cas 3D). Supposez qu’une particule soit confinée dans une boîte
cubique dont la longueur de chaque côté est Prenez ∈ [0 ] avec =
(a) Écrivez l’équation de Schrödinger indépendante du temps pour la particule.
(b) En utilisant la méthode de séparation montrez que l’équation de Schrödinger se réduit
aux trois équations :
}2 2 ()
2 2
}2 2 ()
−
2 2
}2 2 ()
−
2 2
−
= 1 ()
(6.189)
= 2 ()
= 3 ()
où l’énergie totale est donnée par = 1 + 2 + 3 .
(c) En imposant les conditions aux frontières, montrez que la fonction d’onde pour les
différents états quantiques du système est donnée par
µ ¶32
³ ´
³ ´
³ ´
2
sin
( ) =
sin
sin
(6.190)
avec = 1 2 3 et que l’énergie totale est alors
=
¢
}2 2 ¡ 2
2
2
+
+
22
(6.191)
§6.8 Problèmes pour le chapitre VI
223
(d) Calculez la dégénérescence (le nombre d’états quantiques différents ayant une énergie
donnée) de l’état fondamental ainsi que du premier et deuxième niveaux excités.
8. Double puits de potentiel. Considérez le potentiel donné par
V(x)
V0
-a/2
-a/4
+a/4
+a/2
FIGURE 6.15. Schéma pour le problème #6.
⎧
⎨ ∞ si || 2;
() =
0 si 4 || 2;
⎩
0 si || 4
(6.192)
Montrer que pour que ce potentiel ait au moins un état lié d’énergie plus petite que 0 , il faut
2 2
que 0 4~
. Pour résoudre, il faut écrire la fonction d’onde dans les différentes régions et
22
appliquer les conditions de frontières. Vous pouvez simplifier considérablement le problème
en utilisant le fait que le premier état lié (s’il existe) est de symétrie paire (−) = ()
(Seulement l’état d’énergie la plus basse nous intéresse ici.)
9. Double barrière de potentiel. Dans ce problème, je vous demande de calculer le coefficient de transmission de la double barrière de potentiel. Il s’agit d’un système constitué
de deux barrières de hauteur 0 et de largeur séparées par une distance comme indiqué
dans la fig. 6.16. Vous pouvez poser 0 = 1 et = 2 mais il sera intéressant de voir comment le coefficient de transmission varie avec l’énergie de l’électron incident ainsi qu’avec
la séparation entre les barrières. Résoudre ce problème analytiquement ne présente pas de
difficulté. Cela est toutefois très long est vous n’apprendrez rien de bien intéressant du point
de vue mathématique. Je vous demande donc de résoudre ce problème de façon numérique
en utilisant Mathematica. Vous devez m’envoyer par courriel ([email protected])
le fichier mathematica qui contient (a) votre code (b) dans ce code il doit y avoir une ligne
qui permette d’évaluer le graphique de ln( ( )) vs en changeant (c) un graphique du
log du coefficient de transmission en fonction de pour = 3 (ce graphique doit contenir au
moins une résonance de transmission). Vous n’avez pas à résoudre pour la fonction d’onde.
Utilisez la forme suivante : nomdefamille.nb pour le fichier à soumettre.
Pour vous aider, vous trouverez sur mon site web à http ://www.physique.usherb.ca/~rcote/phq330.htm
un fichier barriere.nb qui résoud un problème similaire pour la barrière de potentiel. Cela vous
permettra de vous familiariser avec la syntaxe du logiciel.
Nous supposons ici que la particule vient de la gauche.
224
Chap.6. Potentiels carrés en une dimension et oscillateur harmonique
V
V0
1
3
2
0
a
4
a+b
5
2a+b
x
FIGURE 6.16. Schéma pour le problème #7.
(a) Ecrivez la solution générale de l’équation de Schrödinger dans chacune des 5 régions
identifiées sur la figure.
(b) Appliquez les conditions de frontières et écrivez clairement les équations qui déterminent
les coefficients. Dites combien il y a d’inconnues dans ce problème et combien il y a
d’équations pour les déterminer. L’énergie est-elle quantifiée ? Est-ce que les conditions
de frontières sont suffisantes pour déterminer tous les coefficients ?
(c) Écrivez ce système d’équations en utilisant les matrices de transfert comme expliqué en
classe.
(d) Calculez le coefficient de transmission de la barrière.
10. Résonances de diffusion au-dessus d’un
de largeur défini par :
⎧
⎨ 0
0
() =
⎩
0
puits de potentiel. Soit le puits de potentiel
si 0;
si 0 ≤ ≤ ;
si
On cherche à résoudre pour 0 . En utilisant les
⎧
⎨ 1 + −1
() =
2 + −2
⎩
1
avec 2 =
(6.193)
solutions de départ :
si 0;
si 0 ≤ ≤ ;
si
(6.194)
p
√
2} et 1 = 2 ( − 0 )},
(a) Calculez explicitement les coefficients tous les coefficients en fonction de
en appliquant les conditions de continuité de la fonction d’onde. (Résolvez sans utiliser
la méthode des matrices de transmission).
(b) Calculez les coefficients de réflexion et de transmission du puits carré (en fonction de ,
0 et ) pour une onde venant de la gauche.
§6.8 Problèmes pour le chapitre VI
225
(c) Donnez les énergies pour lesquelles on a des résonances de transmission.
(d) Quelle est l’équation de la courbe où se trouvent les minima de transmission ?
(e) Comment doit-on changer et 0 pour la formule du coefficient de transmission calculée
ici nous donne le coefficient de transmission pour la barrière de potentiel avec 0 ?
11. Puits semi-infini. Considérez le puits de potentiel défini par :
⎧
⎨ ∞ si 0;
0 si 0 ≤ ≤ ;
() =
⎩
0 si
(6.195)
(a) Écrivez l’équation de Schrödinger indépendante du temps dans les trois régions et donnez
la solution () appropriée à chaque cas. Considérez que l’énergie de la particule 0 .
(b) Imposez les bonnes conditions de frontières et de continuité à la fonction d’onde.
(c) Montrez que les énergies possibles (toujours dans le cas 0 ) sont données par les
solutions de l’équation :
cot() = −
(6.196)
√
p
où = 2 (0 − ) 2 } et = 22 }.
(d) Quelle est la condition pour qu’il y ait au moins un état lié dans ce puits ?
12. Oscillateur harmonique en trois dimensions. Considérez un oscillateur harmonique dont
l’énergie potentielle est donnée par
( ) =
2 2
( + 2 + 2 )
2
(6.197)
où est la fréquence d’oscillation et la masse de la particule.
(a) Écrivez l’équation de Schrödinger indépendante du temps d’une particule dans ce
potentiel.
(b) Utilisez la technique de séparation de variables avec une solution de la forme ( ) =
() ()() et montrez que l’on peut obtenir trois équations indépendantes pour les
trois fonctions . Vous devez aussi obtenir trois nombres quantiques .
Donnez les valeurs que peuvent prendre ces trois nombres quantiques.
(c) Exprimez l’énergie totale de l’oscillateur en fonction de ces trois nombres quantiques.
(d) Que vaut l’énergie du point zéro pour l’oscillateur en trois dimensions ?
226
Chap.6. Potentiels carrés en une dimension et oscillateur harmonique
(e) Calculez la dégénérescence des trois premiers niveaux d’énergie.
13. Fil quantique. Considérez une particule quantique de masse confinée dans une boîte
rectangulaire de largeur et de hauteur , mais de longueur infinie (un “fil quantique”) tel
qu’illustré sur la figure suivante. Écrivez l’équation de Schrödinger indépendante du temps
pour ce système (quel est le potentiel ( ) ?). Résolvez l’équation de Schrödinger pour
trouver les énergies possibles ainsi que les fonctions d’onde correspondantes. Pour vous simplifier la vie, considérez que les parois de la boîtes sont en = 0 = et = 0 = .
a
a
FIGURE 6.17. Schéma pour le problème #12.
14. Calculez le coefficient de transmission d’une barrière de potentiel rectangulaire (largeur et
hauteur ) dans le cas très spécial où = . Le vecteur d’onde de la particule incidente est
. Procédez de la façon suivante :
V
E
I
II
0
III
L
x
FIGURE 6.18. Schéma pour le problème #13.
(a) En utilisant directement l’équation de Schrödinger indépendante du temps, montrez
que la forme de la fonction d’onde à l’intérieur de la barrière (la région II) est
() = +
où et sont des nombres complexes.
(b) Écrivez les différentes conditions de frontières et obtenez une expression pour le coefficient de transmission. Vérifiez explicitement que votre coefficient a la bon comportement
§6.8 Problèmes pour le chapitre VI
227
lorsque = 0 ou → ∞.
(c) Pour quelle valeur de le coefficient de transmission est-il égal à 12
15. Double puits de fonctions delta. Considérez le double-puits de potentiel donné par
() = − [ ( + ) + ( − )]
(6.198)
où 0. Je vous demande de trouver les états liés dans ce puits de potentiel ( 0). Le
problème du puits de potentiel en fonction delta () = − () est traité dans nombre
de bouquins de mécanique quantique. Ce serait une bonne idée d’en consulter un avant de
commencer ce problème !
(a) Faites un graphique de ce potentiel et indiquez les trois régions à traiter séparément.
Donnez la forme de la solution dans chacune des trois régions. Utilisez les coefficients
Le coefficient du terme sera le .
(b) Indiquez les conditions de frontières que doit respecter la fonction d’onde à chacune
des interfaces. Notez que, comme le potentiel est infini, la dérivée de la fonction d’onde
n’est pas continue aux interfaces. Utilisez le fait que le potentiel est une fonction delta
pour donner la condition que doit satisfaire la dérivée de la fonction d’onde à chacune
des interfaces. (Truc : intégrez l’équation de Schrödinger dans un domaine infinitésimal
incluant la fonction delta).
(c) Donnez l’expression des coefficients en fonction de . Vous n’avez pas à
normaliser la fonction d’onde.
(d) Donnez les équations transcendantes qui déterminent les énergies possibles pour les états
liés.
(e) Prouvez (graphiquement) qu’il y a toujours au moins un état lié dans ce potentiel. Est-ce
qu’il y a toujours un second état lié ? Sinon, quelle est la condition sur pour qu’un
second état lié soit possible ?
(f) À quoi ressemble les fonctions d’onde des deux états liés ?
16. Potentiel en sec ()Considérez le potentiel suivant :
}2 2
sec 2 ()
(6.199)
où est une constante positive et sec est la sécante hyperbolique. Montrez que ce potentiel
admet l’état lié suivant : () = sec () et trouvez son énergie. Normalisez cette fonction
d’onde. Représentez graphiquement le potentiel et l’état lié.
17. Calculez les éléments de la matrice de diffusion définie au problème précédent,pour le
potentiel
⎧
⎨ 0 −;
− ;
() =
(6.200)
⎩ 0
0
() = −
228
Chap.6. Potentiels carrés en une dimension et oscillateur harmonique
18. Les éléments de la matrice de diffusion sont des fonctions de Montrez que
∗
() ;
11 (−) = 11
(6.201)
∗
22
() ;
∗
21 ()
(6.202)
22 (−) =
12 (−) =
(6.203)
Autrement dit, montrez que (−) = † ()
19. Considérez une particule se déplaçant dans le potentiel () = || où est une constante.
En utilisant des arguments qualitatifs comme ceux que l’on a utilisés au chapitre 6, faites
une esquisse de la fonction d’onde, (), et de la densité de probabilité () qui lui est associée, pour les premier et dixième niveaux d’énergie. Comparez avec la densité de probabilité
classique.
20. Oscillateur harmonique chargé. Considérez une particule chargée dans un potentiel harmonique et dont l’hamiltonien ainsi que la fonction d’onde dans l’état fondamental sont
donnés par
1
2
+ 2
=
2 2
et
√
2 2} − 2
Ψ( ) = −
(6.204)
où est une constante de normalisation. Nous avons vu que, dans ce cas, l’énergie est
quantifiée. Quelles sont les valeurs possibles pour l’énergie de la particule ? Si la particule
chargée subit en plus l’effet d’un champ électrique extérieur, , son hamiltonien devient
=
1
2
+ 2 − .
2 2
(6.205)
Quelles sont alors les valeurs possibles de l’énergie de la particule et que devient la fonction
d’onde du fondamental donnée ci-haut ? (Notez bien : ce problème ne demande pas beaucoup
de calcul, seulement un peu d’intuition !).
21. Rotateur rigide. Une particule de masse est fixée à une tige rigide de masse négligeable
et de longueur . Cette tige peut tourner librement dans le plan perpendiculaire à l’axe .
Sa position est donnée par () = .
(a) Écrivez l’énergie cinétique de rotation de la particule en fonction du moment cinétique
. Le moment d’inertie est = 2
(b) Écrivez l’équation de Schrödinger pour ce problème
(c) En appliquant la technique de séparation de variables, montrez que l’on obtient les deux
équations :
−~ 2 2 Φ()
2
2
()
=
Φ()
= −
~ ()
où est une constante de séparation qui est l’énergie totale du système.
(6.206)
§6.8 Problèmes pour le chapitre VI
229
(d) Résolvez ces deux équations (n’oubliez pas de normaliser la fonction d’onde !) et montrez
que l’énergie du rotateur rigide est quantifiée selon
=
~2 2
; || = 0 1 2
2
(6.207)
(e) Expliquez pourquoi l’énergie du point zéro est nulle pour le rotateur rigide. Ce modèle
pourrait-il être un modèle réaliste d’un système microscopique ?
22. Puits de potentiel triangulaire. Considérez une masse rebondissant élastiquement
sur un plancher parfaitement plat. En utilisant la condition de quantification de WilsonSommerfeld, nous avons déjà démontré au chapitre 4 que les niveaux d’énergie de ce mouvement sont quantifiés. Tentons maintenant de le prouver avec l’équation de Schrödinger.
Écrivez d’abord la fonction potentiel pour ce mouvement puis l’équation de Schrödinger correspondante. En utilisant des arguments qualitatifs (comme ceux discutés au chapitre 6),
faites un schéma de la fonction d’onde dans le niveau fondamental et dans le 10ième niveau.
Utilisez Mathematica pour trouver les fonctions d’onde et énergies de ce système et vérifiez
vos prédictions qualitatives.
230
Chap.6. Potentiels carrés en une dimension et oscillateur harmonique
CHAPITRE 7
Atome d’hydrogène et spin de l’électron
Dans ce dernier chapitre de notre cours, nous montrons comment la mécanique quantique (et
en particulier l’équation de Schrödinger) permet de décrire l’atome d’hydrogène et de résoudre les
contradictions du modèle de Bohr introduit au chapitre 3. Comme dans les problèmes de potentiels
carrés discutés au chapitre 6, la quantification de l’énergie va apparaître naturellement à cause des
conditions de frontières imposées à la fonction d’onde. La notion d’orbites biens définies (modèle
planétaire) sera remplacée par celle d’orbitales soit de probabilité de présence de l’électron dans
une région donnée de l’espace.
Par manque de temps, nous n’entrerons pas dans les détails de la résolution des équations
différentielles qui vont apparaître dans ce chapitre. Leur résolution sera discutée en profondeur
dans le cours de Mécanique quantique II. Notre but est plutôt de faire un survol du problème de
l’atome d’hydrogène et d’introduire, en passant, la quantification du moment cinétique ainsi que
le spin de l’électron.
7.1 Séparation des variables
L’équation de Schrödinger pour une particule dans un potentiel (r) tridimensionnel s’écrit (0
est la masse de la particule)
}
}2 2
Ψ (r )
=−
∇ Ψ (r ) + (r ) Ψ (r )
20
(7.1)
où ∇2 est le Laplacien. La fonction d’onde solution de cette équation doit être normalisée comme
suit :
Z
(7.2)
3 r |Ψ (r )|2 = 1
Si le potentiel est indépendant du temps, on peut utiliser la méthode de séparation des variables
pour écrire les solutions sous forme d’états stationnaires de la forme
Ψ (r ) = (r) − }
(7.3)
232
Chap.7. Atome d’hydrogène et spin de l’électron
l’indice dénombrant les différents états. Nous verrons plus loin que l’indice doit être remplacé
par 4 indices dans le cas de l’atome d’hydrogène. Une fois la séparation des variables achevée, la
partie spatiale doit satisfaire l’équation de Schrödinger indépendante du temps
−
}2 2
∇ (r) + (r) (r) = (r)
20
(7.4)
Dans plusieurs problèmes importants en pratique, la force est centrale de sorte que le potentiel n’est fonction que de la distance à l’origine et non de l’orientation. Il est donc naturel, dans
ce cas, de travailler en coordonnées sphériques. Dans ces coordonnées, le Laplacien prend la forme
µ
¶
µ
¶
µ 2 ¶
1
1
1
2
2
+ 2
sin
+ 2 2
(7.5)
∇ = 2
sin
sin 2
Il nous faut donc résoudre l’équation de Schrödinger indépendante du temps
µ
¶
µ
¶
∙
µ 2 ¶¸
1
1
1
}2
2
+ 2
sin
+ 2 2
( )
−
2
20
sin
sin 2
+ () ( ) = ( )
(7.6)
Nous utilisons encore la méthode de séparation des variables (dans le cas présent il s’agit de
et ), pour chercher une solution de la forme
( ) = () ( )
(7.7)
Portons la solution (7.7) dans l’éq. (7.6), divisons de chaque côté par et multiplions par
−20 2 }2 Nous trouvons
∙
1
()
µ
¶
¸
20 2
2 ()
−
[ () − ]
}2
∙
µ
¶
¶¸
µ 2
1
( )
( )
1
1
sin
+
= 0
+
( ) sin
2
sin2
Le terme entre les premiers crochets ne dépend que de alors que celui entre les deuxièmes ne
dépend que de et de . Il faut donc que chaque terme soit égal à une constante. Nous écrivons
cette constante de séparation comme ( + 1), pouvant être n’importe quel nombre complexe. Il
n’y a donc pas perte de généralité. La raison de ce choix va apparaître plus clairement par la suite.
Écrivons donc
µ
¶
20 2
1
2 ()
−
[ () − ] = ( + 1)
(7.8)
()
}2
et
∙
µ
¶
¶¸
µ 2
1
1
( )
1
( )
sin
+
= − ( + 1)
( ) sin
2
sin2
(7.9)
7.2 Équation angulaire
L’éq. (7.9) détermine la dépendance angulaire de la fonction d’onde. En multipliant par sin2 ,
elle devient
µ
¶
( )
2 ( )
sin
sin
+
= − ( + 1) sin2 ( )
(7.10)
2
§7.2 Équation angulaire
233
Cette équation apparaît dans la résolution de l’équation de Laplace en électrodynamique. Elle a
donc été très étudiée. Pour la résoudre, tentons encore une fois de séparer les variables en écrivant
( ) = Θ () Φ ()
(7.11)
En portant cette solution dans l’éq. (7.10), nous obtenons
½
∙
µ
¶¸
¾
Θ ()
1 2 Φ ()
1
2
sin
sin
+ ( + 1) sin +
= 0
Θ ()
Φ () 2
(7.12)
Le premier terme ne dépend que de et le second que de On peut donc les égaler chacun à une
constante que nous appellerons 2 où est pour l’instant un nombre complexe quelconque. Nous
obtenons les deux équations
µ
¶
£
¤
Θ ()
sin
+ ( + 1) sin2 Θ () = 2 Θ ()
(7.13)
sin
et
2 Φ ()
= −2 Φ ()
2
(7.14)
La seconde équation vous est déjà familière puisqu’elle apparaissait dans la résolution du problème
du rotateur rigide. Ses solutions sont données par
Φ () =
(7.15)
En permettant à d’être positif ou négatif, on a deux solutions linéairement indépendantes comme
il se doit pour une équation différentielle du second ordre. Toute constante multiplicative peut être
absorbée dans la normalisation de la fonction d’onde totale à la fin de notre calcul. Le domaine de
la varable doit être limité à l’intervalle [0 2] Comme = 0 et = 2 sont équivalents, nous
devons imposer la condition d’univocité
Φ ( + 2) = Φ ()
(7.16)
= 0 ±1 ±2
(7.17)
Il en ressort que doit être un entier
La résolution de l’équation en est beaucoup plus difficile. La solution1 est
Θ () = (cos )
(7.18)
où () est la fonction de Legendre associée qui est définie par
¡
¢||2
() = 1 − 2
µ
¶|| "
1
2 !
µ
¶
¡
#
¢
2 − 1
(7.19)
1 On donne ici une seule solution. Comme l’équation différentielle est du second ordre, il devrait y avoir une autre solution
linéairement indépendante. En fait, il en existe bien une, mais elle diverge à = 0 et/ou = de sorte qu’elle n’est pas
physiquement acceptable. [Voir Griffiths, page 128 pour la seconde solution].
234
Chap.7. Atome d’hydrogène et spin de l’électron
Les premiers polynômes de Legendre sont donnés par
11 (cos ) = sin
(7.20)
10 (cos )
22 (cos )
21 (cos )
= cos
(7.21)
2
(7.22)
= 3 sin
= 3 sin cos
¢
1¡
3 cos2 − 1
20 (cos ) =
2
(7.23)
(7.24)
¥ Nombres quantiques pour la partie angulaire. Remarquez que doit être un entier non
négatif pour que l’éq. (7.19) ait un sens. De plus, si || alors () = 0 On voit donc
que, pour un donné, il n’y a que (2 + 1) valeurs possibles de soit
= 0 1 2 3
= − − + 1 − 1
(7.25)
Pour l’équation angulaire, nous avons donc une solution de la forme
( ) = (cos )
(7.26)
( est une constante de normalisation) alors que la solution totale de l’équation de Schrödinger
est () ( ). En coordonnées sphériques, l’élément de volume est 3 r = 2 sin .
On a l’habitude de normaliser séparement la solution radiale et la solution angulaire de la
façon suivante
Z
2 3
| (r)| r =
∙Z
∞
2 2
| ()|
0
¸ ∙Z
2
0
Z
0
| ( )|2 sin
¸
= 1
(7.27)
avec
Z
2
0
Z
0
Z
| ()|2 2 = 1
(7.28)
| ( )|2 sin = 1
(7.29)
0
∞
Les fonctions angulaires ainsi normalisées sont appelées les harmoniques sphériques. La
normalisation donne
s
(2 + 1) ( − ||)!
(cos )
(7.30)
( ) =
4 ( + ||)!
avec = (−1) pour ≥ 0 et = 1 pour ≤ 0 Ces fonctions sont orthonormées
Z
0
2
Z
0
0
sin [ ( )]∗
( ) = 0 0
0
(7.31)
§7.3 Équation radiale
235
Voici les premières harmoniques sphériques. Vous trouverez ces fonctions dans n’importe quelle
table d’intégrales.
00
10
=
=
µ
µ
2±1
2±2
3
4
µ
¶12
¶12
(7.32)
cos
¶
3 12
sin ±
8
¶
µ
¢
5 12 ¡
3 cos2 − 1
=
16
µ ¶12
15
= ∓
sin cos ±
8
¶
µ
15 12 2 ±2
=
sin
32
1±1 = ∓
20
1
4
(7.33)
(7.34)
(7.35)
(7.36)
(7.37)
7.3 Équation radiale
La partie angulaire est la même pour n’importe quel potentiel possédant la symétrie sphérique.
Notre traitement jusqu’à maintenant a donc été tout à fait général. La dépendance radiale du
potentiel n’affecte que la partie radiale de la fonction d’onde () qui est déterminée par l’équation
µ
¶
20 2
2 ()
[ () − ] () = ( + 1) ()
(7.38)
−
}2
Cette équation se simplifie si on fait le changement de variable
On obtient alors
() = ()
(7.39)
¸
∙
}2 ( + 1)
}2 2
() = ()
+ () +
−
20 2
20 2
(7.40)
Cette équation est appelée l’équation radiale. Elle est identique dans sa forme à l’équation de
Schrödinger indépendante du temps pour un potentiel à une dimension excepté que le potentiel
effectif (la fonction entre les crochets)
() = () +
}2 ( + 1)
20 2
(7.41)
£
¤
contient un terme supplémentaire, le terme centrifuge 2 20 ( + 1) 2 Ce terme tend à
projeter la particule vers l’extérieur (loin de l’origine) tout comme le fait la force centrifuge en
mécanique classique. L’équation de normalisation éq. (7.28) devient
Z ∞
| ()|2 = 1
(7.42)
0
236
Chap.7. Atome d’hydrogène et spin de l’électron
Jusqu’à présent, notre analyse s’applique à n’importe quel potentiel central et non seulement
au potentiel en 1 de l’atome d’hydrogène. Nous possédons donc le formalisme nécessaire pour
résoudre un grand nombre de problèmes. Toutefois, même pour les potentiels les plus simples, le
traitement mathématique est souvent assez lourd. Un cas particulièrement intéressant est celui de
l’électron libre mais confiné sous une hémisphère. Le potentiel est nul sous l’hémisphère et infini
en dehors. Ce potentiel modélise assez bien le confinement dans les points quantiques. Même pour
un potentiel aussi simple, l’analyse fait intervenir des fonctions de Bessel et de Neumann !
7.4 Équation radiale pour l’atome à un électron
L’atome d’hydrogène est le système atomique le plus simple. Historiquement, c’est un cas important car c’est le premier système que Schrödinger a utilisé pour tester sa théorie. Les valeurs des
énergies prédites par l’équation de Schrödinger sont identiques à celles du modèle de Bohr et donc à
celles observées expérimentalement. Mais, l’équation de Schrödinger nous permet d’aller beaucoup
plus loin que le modèle de Bohr. En effet, elle nous donne accès aux fonctions d’onde à partir
desquelles on peut déduire (1) les densités de probabilité, (2) les valeurs du moment cinétique de
l’électron (valeurs incorrectement prédites par le modèle de Bohr), (3) les taux de transition entre
les états excités et l’état fondamental lorsqu’une perturbation est appliquée à l’atome. Ces taux
sont des quantités mesurables qu’il est absolument impossible de calculer dans le modèle de Bohr.
De plus, l’étude de l’atome d’hydrogène fournit les bases nécessaires à la compréhension des atomes
à plusieurs électrons ainsi que des molécules. Remarquez que le traitement de l’atome d’hydrogène
s’applique facilement à tout atome à un électron comme He+ , Li++ , l’atome de positronimum, etc.
L’atome d’hydrogène consiste essentiellement en un proton et un électron. Comme le proton
est beaucoup plus lourd que l’électron, nous pouvons considérer qu’il ne bouge pas et le mettre à
l’origine. Le problème à deux corps se réduit alors, dans cette approximation, à un problème à un
corps. Une meilleure façon de faire, et qui est exacte, est de séparer le mouvement du centre de
masse du mouvement relatif. Le mouvement du centre de masse n’est pas quantifié (puisque rien ne
force le centre de masse à être dans une région restreinte de l’espace). On peut donc le considérer
au repos. Il reste alors le problème d’une particule de masse réduite = 0 (0 + ) ( est la
masse du noyau) tournant autour d’un centre fixe. Cette particule fictive obéit à l’équation radiale
∙
¸
}2 2 ()
2 1 }2 ( + 1)
+
−
+
−
() =
(7.43)
2 2
40 2 2
où le potentiel est celui de l’interaction d’un seul électron avec un noyau comportant protons
(pour le cas général de l’atome à un électron)
−2
(7.44)
40
L’atome d’hydrogène possède des états liés avec une énergie quantifiée et négative ainsi qu’un
continuum d’états de diffusion. Nous allons nous occuper uniquement des états liés.
La résolution de l’éq. (7.43) se fait par développement en série de la fonction () comme dans
le cas de l’oscillateur harmonique. Puisque ce problème sera résolu en détails dans le cours de
Mécanique quantique II, nous allons nous concentrer ici sur ses solutions et nous épargner ce
calcul fastidieux ! On trouve que l’équation possède des solutions acceptables physiquement (elle
ne diverge pas) seulement si la constante (l’énergie totale) a les valeurs suivantes
() =
= −
2 4
(40 )2 2}2 2
(7.45)
§7.5 Énergies et fonctions d’onde de l’atome d’hydrogène
237
Dans cette expression, le nombre quantique est un entier qui ne peut prendre que les valeurs
= + 1 + 2 + 3
(7.46)
Les solutions pour () prennent la forme
() = −0
µ
0
¶
µ
0
¶
(7.47)
où le paramètre
0 =
40 }2
2
(7.48)
est le rayon de Bohr. Pour l’atome d’hydrogène, il vaut 0 = 0529× 10−10 m. Les fonctions ()
sont des polynômes (polynômes de Laguerre) en avec différentes formes pour différentes valeurs
de et . Pour identifier de façon non ambigüe la fonction () on doit donc spécifier les deux
nombres quantiques et . L’énergie, cependant, ne dépend que du nombre quantique tant que le
potentiel reste en 1 Dans le cas des atomes à plusieurs électrons, le potentiel vu par les électrons
des couches externes est écranté par les électrons proches du noyau de sorte que le potentiel n’est
plus en 1. Dans ce cas, l’énergie dépend de et de .
7.5 Énergies et fonctions d’onde de l’atome d’hydrogène
Une des prédictions les plus importantes de la théorie de Schrödinger est les valeurs possibles
des énergies permises. Pour l’atome d’hydrogène,
= −
136
eV.
2
(7.49)
Ces valeurs sont en très bon accord avec les valeurs expérimentales et sont indentiques à celles
prédites par le modèle de Bohr. On peut dire que ce résultat de Schrödinger a donné la première
vérification convaincante de la validité de la nouvelle théorie quantique.
La fonction d’onde totale pour l’atome d’hydrogène prend la forme
(r) = () ( )
(7.50)
Elle contient trois nombres quantiques puisque l’équation différentielle initiale contenait trois variables indépendantes (trois degrés de liberté2 ). On peut réécrire les valeurs possibles des trois
nombres quantiques de la façon suivante
= 1 2 3
(7.51)
= 0 1 2 − 1
(7.52)
= − − + 1 0 − 1
(7.53)
Comme détermine l’énergie de l’atome, on le nomme le nombre quantique principal. Nous
allons voir plus loin que le nombre quantique détermine le module du moment cinétique de
l’électron. On l’appelle le nombre quantique azimutal. Finalement, lorsque l’atome est plongé dans
2 À ces degrés de liberté s’ajoutera celui du spin de l’électron. Il faudra donc 4 nombres quantiques pour spécifier l’état de
l’électron.
238
Chap.7. Atome d’hydrogène et spin de l’électron
un champ magnétique, l’énergie dépend alors du nombre quantique appelé nombre quantique
magnétique.
Chaque niveau d’énergie est dégénéré car plusieurs fonctions d’onde correspondent à la même
énergie. Différentes fonctions d’ondes correspondent à différents comportements de l’électron. La
dégénérescence est due à certaines propriétés du potentiel. Dans le cas présent, le potentiel est de
symmétrie sphérique et l’énergie est indépendante de l’orientation de l’atome dans l’espace d’où la
dégénérescence en (cette dégénérescence est brisée avec l’application d’un champ magnétique).
La dégénérescence en est le résultat de la forme du potentiel (interaction coulombienne en 1).
Dans le cas des alcalins, par exemple, plusieurs propriétés de ces atomes peuvent être obtenues en
considérant le mouvement d’un seul électron de valence dans un potentiel de symmétrie sphérique
mais qui n’est pas en 1 car les électrons des couches près du noyau font un effet d’écran. L’énergie
dépend alors de . Vous pouvez facilement vous convaincre que chaque niveau d’énergie est dégénéré
2 fois (faites le calcul !).
La solution complète pour la fonction d’onde de l’atome d’hydrogène est finalement
(r) =
sµ
2
0
¶3
( − − 1)! −0
2 [( + )!]3
µ
2
0
¶
2+1
−−1
µ
2
0
¶
( )
(7.54)
où sont les polynômes de Laguerre que vous pouvez trouver dans n’importe quelle table d’intégrales ou logiciel de calcul symbolique comme Maple ou Mathematica. Ces fonctions d’onde sont
orthonormées c’est-à-dire que
Z
∗ (r) 0 0 0 (r) 2 sin = 0 0 0
(7.55)
À titre d’exemple, nous donnons ici les fonctions d’onde normalisées3 pour les niveaux = 1 et 2.
µ
100 (r) =
1
√
200 (r) =
1
√
4 2
210 (r) =
21±1 (r) =
0
µ
¶32
−
¶32 µ
¶
−2
2−
0
µ ¶32 µ ¶
−2
1
√
cos
0
4 2 0
µ ¶32 µ ¶
−2
1
√
sin ±
0
8 0
0
(7.56)
(7.57)
(7.58)
(7.59)
¯
¯2
La densité de probabilité pour chaque état quantique est donnée par ¯ (r)¯ Ces fonctions
d’onde étant tridimensionnelles, visualiser leur forme n’est pas évident. Pour le faire, nous procédons
en deux étapes. D’abord, nous définissons une densité radiale de probabilité, () comme
étant la probabilité de trouver l’électron entre et + Évidemment, il suffit d’intégrer sur tous
les angles solides :
3 Voyez
le Eisberg et Resnick, chapitre 7 pour un tableau plus complet de ces fonctions d’onde.
§7.6 Dépendance angulaire des densités de probabilité
() =
Z
+
=
2
| ()|
Z
2
239
+
Z
Ω | ( )|2
2 | ()|2
() = | ()|2 2
(7.60)
(7.61)
(7.62)
Nous avons utilisé ici le fait que les harmoniques sphériques sont normalisées. Ensuite, nous regardons le comportement angulaire de la probabilité pour un donné.
La fig. (7.1) montre quelques densités radiales de probabilité pour les niveaux = 1 2 3 pour
en unités de 0 . Pour des valeurs données de et , la probabilité n’a des valeurs appréciables que
dans un certain intervalle de . De plus, cet intervalle ne dépend pas beaucoup de . Cet intervalle
de valeurs de définit donc une coquille dont la distance au noyau dépend principalement du
nombre quantique . Ces coquilles sont l’analogue des orbites de Bohr ! On peut écrire cela
de façon plus mathématique en calculant la valeur moyenne de pour chaque couple . On trouve
½
∙
¸¾
Z ∞
1
( + 1)
2 0
1+
1−
(7.63)
() =
hi =
2
2
0
alors que dans le modèle de Bohr
2 0
(7.64)
Les rayons des coquilles données par la mécanique quantique sont approximativement de la même
grandeur que les rayons des orbites de Bohr. Ces rayons augmentent rapidement avec .
La fig. (7.1) montre que la densité radiale de probabilité dépend de . Pour un donné, la
fonction a un seul maximum seulement lorsque prend sa valeur maximale − 1 Autrement, il y
a des maxima secondaires. Une inspection plus approfondie de cette figure montre que la densité
radiale de probabilité est importante près de = 0 seulement pour = 0 Il y a donc une probabilité
non nulle de trouver l’électron sur le noyau dans les états où le moment cinétique est nul.4 C’est
ce qui permet à l’électron et à son anti-particule (le positron) dans l’atome de positronium de se
recombiner.
=
7.6 Dépendance angulaire des densités de probabilité
Nous étudions maintenant la dépendance angulaire des densités de probabilité. Celle-ci est donnée
par les harmoniques sphériques | ( )|2 La dépendance en disparaît lorsqu’on prend le
module carré de sorte qu’il ne reste qu’une dépendance en . La dépendance angulaire dépend
toutefois des deux nombres quantiques et .
La meilleure façon de représenter le facteur | ( )|2 est d’utiliser un diagramme polaire (2D)
ou un graphique de révolution (3D) obtenu par la rotation de ce diagramme polaire autour d’un
axe quelconque. L’origine du diagramme est au point = 0 (le noyau) et l’angle est mesuré à
partir de l’axe (dont la direction est, évidemment, arbitraire). L’interprétation de ces graphiques
est la suivante : la distance de l’origine à la courbe, mesurée aux angles , est égale à la
4 En inspectant les fonctions d’onde, vous verrez que pour le comportement est en de sorte que la densité de
0
2
probabilité ∼ 2 . Cette densité n’est donc importante que pour = 0.
240
Chap.7. Atome d’hydrogène et spin de l’électron
0.2
0.6
P 2,1(r)
P 1,0(r)
0.5
0.15
0.4
0.1
0.3
0.2
0.05
0.1
0
0
2
4
6
8
10
0
0
5
10
15
r/a0
r/a0
0.2
0.12
P 2,0(r)
P 3,1(r)
0.1
0.15
0.08
0.1
0.06
0.04
0.05
0.02
0
0
5
10
15
0
0
5
10
r/a0
15
20
25
r/a0
0.002
0.03
P 3,2(r)
P 3,0(r)
0.025
0.0015
0.02
0.001
0.015
0.01
0.0005
0.005
0
0
5
10
15
r/a0
20
25
0
0
5
10
15
20
25
r/a0
FIGURE 7.1. Quelques densités de probabilité radiales pour l’atome d’hydrogène.
§7.6 Dépendance angulaire des densités de probabilité
241
FIGURE 7.2. Dépendance angulaire de la densité de probabilité. De haut en bas et de gauche à droite :
( ) =(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2) et (3,0),(3,1),(3,2),(3,3).
valeur de | ( )|2 pour cet angle. Ainsi, plus la distance à l’origine est grande, plus la valeur
de la fonction est importante. Lorsque la fonction s’étire dans une direction , cela indique que la
probabilité angulaire est plus importante dans cette direction. La fig. (7.2) représente ces fonctions
¯
¯2
avec des graphiques de révolution autour de l’axe . [Notez que | ( )|2 = ¯− ( )¯ On
peut donc discuter seulement du cas des positifs]5 .
Remarquez la façon dont la fonction s’écarte de l’axe lorsque la valeur de augmente pour une
valeur donnée de . Le nombre de lobes (du graphique polaire obtenu en prenant un section plane)
diminue aussi avec pour un donné. Exception faite de l’état = = 0 qui est de symmétrie
sphérique, la concentration de probabilité dans le plan perpendiculaire à l’axe devient de plus
en plus prononcé pour = lorsque augmente. Cela est un peu difficile à voir sur la fig. (7.2).
Voyez plutôt la fig. (7.3).
Sauf pour l’état = 1, = = 0 (l’état fondamental), il n’est pas possible d’observer aucune des densités de probabilité pour un état donné. La raison en est que, en l’absence de toute
5 Ces jolis graphiques ont été obtenus très facilement avec Mathematica qui connaît, bien sûr, les harmoniques sphériques.
Vous pouvez télécharger le fichier harmoniquespherique.nb sur mon site WEB.
242
Chap.7. Atome d’hydrogène et spin de l’électron
FIGURE 7.3. Dépendance angulaire de la densit é de probabilité pour () = (1 1) et (10 10)
perturbation extérieure, les états d’un même niveau sont dégénérés. On ne peut donc pas séparer expérimentalement les différents patrons correspondant aux différents états. L’électron est,
en quelque sorte, simultanément dans tous les états dégénérés d’un même niveau. Lorsqu’on fait
la moyenne des densités de probabilité pour un niveau donné, on obtient toujours un patron de
symmétrie sphérique. Cela est cohérent avec le fait que l’axe des est complètement arbitraire. Il
n’y a aucune direction privilégiée pour l’atome en l’absence de champ extérieur.
Remarque 15 Combinaison linéaire d’orbitales. Vous remarquerez qu’aucune des orbitales
étudiées jusqu’à présent ne ressemble aux orbitales que vous avez rencontrées dans votre
cours de chimie du collège. En fait, ces orbitales ne correspondent pas à des orbitales avec et
uniques mais bien à une combinaison linéaire des orbitales présentées ici. Si le temps le permet,
nous discuterons en cours de l’origine de ces orbitales hybrides et de leur utilité dans la description
de la formation des molécules.
7.7 Quantification du moment cinétique orbital
Dans un cours standard de mécanique quantique, nous aurions d’abord étudié la quantification du
moment cinétique orbital puis l’atome d’hydrogène. Nous avons procédé autrement pour gagner du
temps. Nous montrons maintenant que les harmoniques sphériques discutées à la section précédente
sont en fait les solutions de l’équation aux valeurs propres pour le moment cinétique orbital.
Le moment cinétique orbital d’une particule par rapport à l’origine est une quantité vectorielle
définie par
L = r × p
(7.65)
où r est la position de la particule par rapport à l’origine et p la quantité de mouvement linéaire.
En coordonnées cartésiennes,
L = −
L = −
L = −
(7.66)
(7.67)
(7.68)
En mécanique quantique, le moment cinétique devient un opérateur vectoriel. Les composantes
de cet opérateur sont obtenues en remplacant r par l’opérateur position R et p par l’opérateur
§7.7 Quantification du moment cinétique orbital
243
quantité de mouvement P. On a donc L = R × P ce qui donne en représentation r
µ
¶
= −}
−
¶
µ
−
= −}
¶
µ
= −}
−
(7.69)
(7.70)
(7.71)
Dans le traitement de l’atome d’hydrogène, nous utilisons les coordonnées sphériques. Il nous faut
donc transformer les composantes de l’opérateur moment cinétique dans ces coordonnées. Avec un
peu d’algèbre, nous obtenons
µ
¶
= } sin
+ cot cos
(7.72)
¶
µ
+ cot sin
(7.73)
= } − cos
(7.74)
= −}
Nous allons aussi avoir besoin de l’opérateur 2 = 2 + 2 + 2 qui est donné par
µ
¶
∙
¸
1 2
1
2
2
sin
+
= −}
sin
sin2 2
(7.75)
Prenez un moment pour comparer l’expression de 2 avec l’équation angulaire (éq. (7.9)) obtenue
précédemment soit
µ
¶
¶
µ 2
( )
1
1
( )
sin
+
= − ( + 1) ( )
(7.76)
sin
2
sin2
où les solutions ( ) → ( ) sont les harmoniques sphériques.
¥ Quantification du moment cinétique : L’éq. (7.76) peut se réécrire comme
2 ( ) = ( + 1) }2 ( )
(7.77)
De plus,
= }
Φ () = −}
(7.78)
= }Φ ()
( )
= } ( )
(7.79)
Ces deux équations sont les équations différentielles permettant d’obtenir les fonctions et
valeurs propres de 2 . Mais, il n’existe pas de relation similaire pour et . En effet
( ) 6= cte × ( )
( )
6=
cte × ( )
(7.80)
(7.81)
244
Chap.7. Atome d’hydrogène et spin de l’électron
Ces relations sont extrêmement importantes. En mécanique classique, la mesure d’une grandeur physique peut en général donner un continuum de valeurs possibles. Ce n’est plus le cas en
mécanique quantique. Le postulat III stipule que la mesure d’une grandeur physique A ne peut
donner comme résultat qu’une des valeurs propres de l’observable correspondante. Les éqs. (7.77)
et (7.78) nous montrent que les harmoniques sphériques ( ) sont les fonctions propres des
opérateurs 2 et . Si on fait une mesure du module carré du moment cinétique sur n’importe
quel système physique (pas seulement l’atome d’hydrogène), on obtiendra que les valeurs discrètes
( + 1) }2 avec = 0 1 2 3 De même, si on fait une mesure du la composante du moment
cinétique, on n’obtiendra que les valeurs discrètes } avec = − − + 1 0 − 1 . Le
moment cinétique et sa composante sont quantifiés ! Comme 2 et n’agissent que sur les coordonnées angulaires, si un particule est dans un état (r) = ()× ( ) alors la composantes
selon de son moment cinétique aura exactement la valeur } et le module carré de son moment
cinétique aura la valeur ( + 1) }2 . Autrement dit et 2 sont très précisément déterminés dans
l’état (r) tout comme, dans un état d’énergie propre () de l’oscillateur harmonique par
exemple, la valeur de l’énergie est très exactement donnée par = ( + 12) }.
Les fonctions propres de l’atome d’hydrogène (r) = () ( ) sont des fonctions
pour lesquelles l’énergie, et 2 sont très bien définies. Vous pouvez facilement montrer en
utilisant les éqs. (7.77) et (7.78) que
Z
Z
2
Ω∗ ( ) ( ) = }
(7.82)
h i =
q
(∆ ) =
h2 i − h i2 = 0
(7.83)
et
¡
­ 2®
=
∆2
¢
Z
2
Z
Ω∗ ( ) 2 ( ) = ( + 1) }2
rD
E
(2 )2 − h2 i2 = 0
=
(7.84)
(7.85)
On dit qu’il n’y a pas de fluctuations quantiques de et 2 dans ces états.
Il peut vous sembler bizarre que (r) décrive un état dans lequel 2 et sont bien définis
mais pas et . En fait, ça l’est ! Du point de vue de la mécanique classique, cette situation n’est
pas explicable. En mécanique classique est un vecteur et rien n’empêche de définir simultanément
ses trois composantes. En mécanique quantique, c’est encore le principe d’indétermination qui entre
en jeux. En effet, les composantes du moment cinétique sont des variables incompatibles. Vous
pouvez facilement le vérifier en calculant le commutateur
[ ] = ~
(7.86)
Les composantes du moment cinétique ne commutent pas entre elles ! Cela est tout à fait nouveau.
Il nous est impossible de mesurer simultanément ces trois composantes.
Plusieurs propriétés du moment cinétique orbital peuvent être représentées classiquement par
un modèle vectoriel. Considérer les états correspondant à un p
donné. Pour chacun de ces états,
le module du vecteur moment cinétique est donné par |L| = ( + 1)}. La composante du
moment cinétique peut prendre les valeurs } = = − − + 1 0 − 1 . Aucune de
§7.7 Quantification du moment cinétique orbital
245
FIGURE 7.4. Illustration de la quantification de la projection du moment cinétique en mécanique quantique.
(Figure tirée du Young, page 1187.)
ces valeurs n’est égale à |L| de sorte qu’il y a toujours un angle entre le vecteur L et l’axe des
. Les différentes valeurs de correspondent aux différentes projections du moment cinétique sur
l’axe . Non seulement le module de L est-il quantifié, mais aussi les projections de L sur l’axe des
! On dit parfois qu’il y a quantification de l’espace pour parler de la quantification du moment
cinétique. La fig. 7.4 illustre la quantification de la projection selon du moment cinétique.
Dans un état propre de 2 et , on trouve h i = h i = 0. Cela nous indique que les
composantes et du moment cinétique fluctuent sans cesse. On peut imaginer que, dans un
état propre, le vecteur L peut se trouver n’importe où sur un des cônes de la fig. (7.4) de sorte
que son module et sa projection sont fixés, mais pas les projections sur les axes et qui sont
indéterminées. Dans la limite classique, devient très grand et l’angle entre une projection et la
suivante est de plus en plus petit. La quantification devient alors trop petite pour être mesurable.
¥ Application à l’atome d’hydrogène
Considérez à nouveau les fonctions d’onde (r) de l’atome d’hydrogène. Prenons le cas
p
= (avec 6= 0). Dans ce cas = } et est à peu près égal à ( + 1)} mais pas tout à
fait. Le moment cinétique pointe presque dans la direction de l’axe des . Pour l’atome de Bohr,
cela voudrait dire que l’orbite de l’électron est presque dans le plan perpendiculaire à l’axe des .
Lorsque augmente, l’orbite est de plus en plus dans le plan perpendiculaire à l’axe des . Une
inspection de la fig. (7.3) montre que cela est bien le cas.
Pour = 0, nous avons = 0 et le moment cinétique orbital doit être perpendiculaire à l’axe
des . Dans l’atome de Bohr, cela voudrait dire que le plan de l’orbite contient l’axe des . Une
indication de ce comportement est donnée à la fig. (7.2) [regardez le cas = 3 = 0].
Bien qu’il y ait plusieurs points communs entre l’atome de Bohr et celui de Schrödinger, il y a
des différences majeures. Dans les deux modèles, l’état fondamental correspond au nombre quantique = 1 et les énergies propres sont les mêmes. Dans le modèlepde Bohr, cependant, le moment
cinétique pour = 1 vaut = } alors qu’avec Schrödinger = ( + 1)} = 0. Les expériences
ont toutes confirmées que Schrödinger avait raison. Le moment cinétique est nul dans l’état fondamental, le mouvement est entièrement radial. Si on essayait de modifier le modèle de Bohr pour
246
Chap.7. Atome d’hydrogène et spin de l’électron
permettre au moment cinétique d’être zéro, l’orbite d’un tel état serait une oscillation radiale dans
laquelle l’électron passerait directement au travers du noyau. La direction de l’oscillation dans l’espace serait arbitraire ce qui correspondrait, dans un sens, à un fonction de probabilité ayant une
symétrie sphérique. Il est toutefois difficile (et dangereux !) de tenter de décrire l’état fondamental
d’un système quantique par une analogie classique.
7.8 L’expérience de Stern et Gerlach et le spin de l’électron
L’expérience de Stern6 et Gerlach (1922) avait pour but d’étudier la déviation d’un jet d’atomes
neutres et paramagnétiques dans un champ magnétique fortement inhomogène. La fig. 7.5 donne
un schéma du dispositif expérimental. Des atomes d’argent, contenus dans une enceinte chauffée à
haute température s’en échappent par un orifice étroit et se propagent ensuite en ligne droite dans le
vide poussé qui règne à l’intérieur de tout l’appareil. Une fente sert de collimateur pour sélectionner
uniquement les atomes dont la vitesse est parallèle à une direction déterminée (axe sur la figure).
Le jet atomique traverse ensuite l’entrefer d’un électroaimant avant de se condenser sur une plaque.
Pour les fins de notre étude, nous approximerons le champ magnétique dans l’entrefer de l’aimant
comme dirigé principalement selon et variant fortement avec . Rappelez-vous qu’un atome
paramagnétique est un atome qui possède un moment magnétique permanent μ (Le moment
magnétique total est une somme sur les moments magnétiques, de toutes origines, de tous les
électrons de l’atome). Ce moment magnétique est relié au moment cinétique de l’atome par une
relation du type
(7.87)
μ = J
où J est le moment cinétique total.
Dans l’expérience de Stern et Gerlach, le faisceau était constitué d’atomes d’argent. Les atomes
d’argent7 étant neutres, ils ne subissent pas de force de Laplace. Dans un champ magnétique B
le moment magnétique exécute une précession autour de la direction du champ magnétique (la
précession de Larmor). Si l’atome se déplace dans un champ B uniforme, son énergie magnétique
= −μ · B est constante et indépendante de la position du centre de masse de l’atome. L’atome
exécute alors un mouvement en ligne droite. Au contraire, si B n’est pas uniforme dans l’espace,
comme dans l’expérience de Stern et Gerlach, alors le centre de masse de l’atome est sujet (en plus
du moment de force) à une force F = ∇ (μ · B) = −∇ L’atome est donc défléchi par le champ
magnétique si celui-ci est inhomogène.
En plus du mouvement du centre de masse, l’atome exécute donc aussi un mouvement de précession. Si le champ magnétique est selon alors la composante de μ reste constante dans le
temps alors que les composantes et ont des valeurs moyennes nulles. Dans l’expérience, tout
se passait comme si les atomes étaient sujets à une force F = ∇ (μ · B) moyennée sur plusieurs
cycles d’oscillations (du mouvement de précession) c’est-à-dire à une force ∇ . Dans les conditions de l’expérience de Stern et Gerlach, cette force est approximativement et dirigée
selon (voir fig. 7.5).
Considérons donc un faisceau d’atomes paramagnétiques passant à travers l’entrefer d’un aimant
(où règne un champ magnétique non uniforme variant selon ). Les atomes subissent une certaine
6 Otto
STERN, physicien américain d’origine allemande (1888-1969). Prix Nobel 1943.
atomes doivent être suffisamment lourds pour que l’on puisse construire un paquet d’ondes bien localisé dans l’espace
et traiter le mouvement en terme de trajectoire quasi-classique. Cela ne serait pas possible avec un faisceau d’électrons.
7 Les
§7.8 L’expérience de Stern et Gerlach et le spin de l’électron
247
FIGURE 7.5. Schéma du dispositif expérimental de l’expérience de Stern et Gerlach. (Figure tirée du Alonso
et Finn, page 606.)
déflection selon due à la force (que nous supposerons constante). Si est la distance
traversée par les atomes dans le champ magnétique et l’énergie cinétique des atomes dans le
faisceau incident, alors un calcul simple donne que les atomes du faisceau sont déviés d’un angle
La déviation du faisceau est donc proportionnelle à la composante de μ selon la
≈ 2
direction du champ magnétique B. À l’entrée de l’entrefer, les moments magnétiques des différents
atomes du jet sont répartis de façon isotrope c’est-à-dire que toutes les valeurs de comprises
entre + | | et − | | sont réalisées. On s’attend donc à ce que le jet vienne former sur la plaque P
un spot allongé dans la direction de et symétrique par rapport à la direction initiale du faisceau.
Contrairement aux prédictions de la mécanique classique, Stern et Gerlach observèrent la formation de deux spots comme indiquée sur la fig. 7.5. Avec une variation du champ magnétique
(et donc de ), la distance entre les spots varie mais pas le nombre de spots. Il est clair que
chaque spot correspond à une valeur précise de Conséquemment, est une quantité quantifiée
qui ne peut prendre qu’un certain nombre de valeurs (2 dans le cas présent). Comme est relié
à il s’ensuit que est également quantifié. Nous devons donc rejeter l’image classique du
moment magnétique qui voit celui-ci comme un vecteur dont l’orientation peut prendre n’importe
quelle valeur dans l’espace.
Voyons maintenant ce qu’il en est du moment magnétique des atomes d’argent. Si on ne tient
compte que du moment cinétique orbital, alors l’atome d’argent devrait avoir un moment magnétique nul ! En effet, l’électron externe a un moment cinétique orbital nul (configuration des 47
électrons : [Kr]4d10 5s1 ). De plus, la somme des moments cinétiques orbitaux de l’ensemble des
autres électrons internes est également nul. Pour expliquer l’expérience, il faut donc que l’électron
possède un autre moment cinétique, non relié à son mouvement. Nous appellerons ce moment cinétique le moment cinétique de spin de l’électron. Ce moment cinétique donne lieu à un moment
magnétique de spin. On peut montrer que pour l’atome d’argent dans son état fondamental, la
somme des moments magnétique de spin de l’ensemble des électrons internes est nulle. Le moment
magnétique de l’atome est donc dû à l’électron externe. C’est cet électron qui est responsable du
moment magnétique de l’atome.
248
Chap.7. Atome d’hydrogène et spin de l’électron
L’expérience de Stern et Gerlach a mis en évidence le spin de l’électron, une quantité qui n’a
aucun équivalent classique. R. Kronig de l’Université Columbia avait déjà envisagé que l’électron
pouvait tourner autour de son propre axe et donc avoir un moment magnétique. Compton (1921)
avait également suggéré que l’électron pouvait se comporter comme un petit gyroscope et être le plus
petit moment magnétique. L’hypothèse de Kronig, toutefois, fut rejetée par Pauli et Heisenberg
et il ne publia donc pas son idée. Ironiquement S.A. Goudsmit et G.E. Uhlenbeck suggérèrent
indépendamment l’idée du spin de l’électron après avoir lu les travaux de Dirac qui montraient
la nécessité d’introduire un nouveau nombre quantique pour l’électron. Goudsmit et Uhlenbeck
hésitèrent à publier leur idée mais heureusement ils travaillaient sous la direction de Ehrenfest.
Ehrenfest croyait que leur idée était soit totalement absurde soit très importante et, sans en parler
à ses étudiants, il envoya leur article pour publication !
7.9 Formalisme quantique pour le spin électronique
Pour expliquer les résultats expérimentaux, on introduit le moment cinétique de spin représenté
par le vecteur
b + y
b + b
z
(7.88)
S = x
de module
2 = 2 + 2 + 2
(7.89)
Le spin n’est pas relié aux coordonnées spatiales de l’électron contrairement au moment cinétique
orbital. Une représentation en terme de fonction d’onde de la variable de spin n’est donc pas
possible. Il faut considérer le spin comme une propriété intrinsèque de l’électron comme sa charge,
sa masse, etc.
Comme le spin est un moment cinétique, il doit obéir aux relations de commutation
[ ] = ~
(7.90)
[ ] = ~
(7.91)
[ ] = ~
(7.92)
Ces relations constituent les relations fondamentales de lesquelles toutes les autres propriétés du
spin découlent. À partir de ces relations, on peut facilement démontrer les relations de commutation :
¤ £
¤ £
¤
£
(7.93)
2 = 2 = 2 = 0
De même, en utilisant l’expression formelle du principe d’indétermination d’Heisenberg donnée au
chapitre 5, on a
1
(∆ ) (∆ ) ≥ } |h i|
(7.94)
2
Si on définit les deux opérateurs (leur sens sera expliqué plus bas) :
+ = +
(7.95)
− = −
(7.96)
[ ± ] = ±}±
£ 2
¤
± = 0
(7.97)
alors montre facilement que
(7.98)
§7.9 Formalisme quantique pour le spin électronique
249
2 = ∓ ± + 2 ± }
(7.99)
[+ − ] = 2}
¡ 2
¢
2 − 2 = + − + − +
(7.100)
(7.101)
Puisque 2 commute avec , on peut trouver une base de vecteurs propres commune à ces deux
opérateurs. On note |+; i et |−; i les états correspondant à l’orientation du spin électronique
suivant b
z responsable des deux spots dans l’expérience de Stern et Gerlach lorsque l’appareil est
b les deux états propres
orienté dans la direction +b
z. Si l’appareil était orienté dans la direction x
b , on aurait
seraient notés |+; i et |−; i alors que s’il était orienté dans la direction quelconque u
|+; ui et |−; ui. Il nous faut choisir une base pour faire nos calculs. On choisit ici l’axe des comme
axe de quantification de sorte que les équations aux valeurs propres s’écrivent :
2 |±; i = ( + 1) }2 |±; i
|±; i = } |±; i
= 12
= −12 +12
(7.102)
(7.103)
Évidemment, on pourrait choisir l’axe des comme axe de quantification et on aurait
2 |±; i = ( + 1) }2 |±; i
|±; i = } |±; i
= 12
= −12 +12
(7.104)
(7.105)
En notation de Dirac, on désigne un état quantique par un "ket". Le formalisme de Dirac sera
expliqué en détails dans le cours de Mécanique quantique II. Notre but ici est simplement de faire
une introduction rapide au spin électronique. Dans le cas d’un spin 12, la base est constituée des
deux kets |+; i et |−; i. Le "bras" h+; | et h−; | permettent de définir le produit scalaire entre
deux états quantiques. Ainsi, les relations d’orthonormalité pour un spin 12 s’écrivent
h+; |+; i = h−; |−; i = 1
(7.106)
h+; |−; i = h−; |+; i = 0
(7.107)
|+; i h+; | + |−; i h−; | =
(7.108)
La relation de fermeture s’écrit
où est l’opérateur identité. La relation de fermeture, comme on l’a expliqué au chapitre 5, permet
d’écrire n’importe quel état électronique de spin (n’importe quel ket |i) sur la base des états |+; i
et |−; i Par exemple :
|i = |i
|i = (|+; i h+; | + |−; i h−; |) |i
= |+; i h+; |i + |−; i h−; |i
= + |+; i + − |−; i
(7.109)
(7.110)
(7.111)
(7.112)
où + = h+; |i et − = h−; |i sont les composantes de l’état quantique |i dans les "directions"
|+; i et |−; i.
Soit un ensemble de kets {| i} avec = 1 2 formant une base orthonormée. Une équation de la
forme
|i = |i
(7.113)
250
Chap.7. Atome d’hydrogène et spin de l’électron
où |i est un ket quelconque, peut s’écrire sous forme matricielle de la façon suivante :
⎛
⎝
X
=12
X
X
X
| i h |⎠ |i = ⎝
=12
=12
⎛
⎞
=12
| i h |i =
X
=12
⎞
| i h |⎠ |i
| i h |i
h | | i h |i = h |i
X
(7.114)
(7.115)
(7.116)
=
(7.117)
=12
Si est l’opérateur et si la base {| i} est la base {|+; i |−; i}, alors la représentation
matricielle de l’opérateur est donnée par
µ
¶
µ
¶
} 1 0
h+; | |+; i h+; | |−; i
=
=
(7.118)
h−; | |+; i h−; | |−; i
2 0 −1
Les valeurs propres de la matrice sont bien ±}2 et les vecteurs propres sont donnés par (1 0)
et (0 1) soit |+; i et |−; i.
Comment faire pour trouver les représentations matricielles des opérateurs et . Pour cela,
on utilise les opérateurs + et − introduits plus haut.
Utilisons l’éq. (7.97) pour écrire
+ |−; i = + |−; i + }+ |−; i
1
= − }+ |−; i + }+ |−; i
2
1
}+ |−; i
=
2
(7.119)
On voit que le ket + |−; i est un vecteur propre de avec la valeur propre }2 ce qui implique
que + |−; i = |+; i. Pour déterminer la constante , on écrit
h+; | ∗ |+; i = h−; | − + |−; i
= h−; |
2
= }
2
− 2
(7.120)
− } |−; i
et donc
+ |−; i = } |+; i
(7.121)
+ |+; i = + |+; i + }+ |+; i
1
}+ |+; i + }+ |+; i
=
2
µ
¶
1
=
+ 1 }+ |+; i
2
(7.122)
Si l’on considère plutôt
§7.9 Formalisme quantique pour le spin électronique
251
Il semblerait encore une fois que + |+i soit un état propre de avec la valeur propre 3}2
Comme n’a pas d’état propre avec cette valeur propre, on a
+ |+; i = 0
(7.123)
On obtient ce résultat d’une autre façon en écrivant
h+; | − + |+; i = h+; | − + |+; i
= h+; |
2
= 0
− 2
(7.124)
− } |+; i
ce qui implique + |+; i = 0. En procédant de la même façon avec − , on trouve les relations
suivantes :
+ |+; i = 0 + |−; i = } |+; i
− |−; i = 0 − |+; i = } |−; i
(7.125)
(7.126)
La définition des opérateurs d’échelle nous permet d’écrire
=
=
+ + −
2
+ − −
2
La matrice dans la base {|+; i |−; i} s’écrit
µ
¶
h+; | |+; i h+; | |−; i
=
h−; | |+; i h−; | |−; i
µ
¶
1 h+; | + + − |+; i h+; | + + − |−; i
=
2 h−; | + + − |+; i h−; | + + − |−; i
µ
¶
} 0 1
=
2 1 0
(7.127)
(7.128)
(7.129)
(7.130)
(7.131)
On procède de la même façon pour et on a finalement dans la base {|+; i |−; i} :
µ
¶
µ
¶
µ
¶
} 0 1
}
} 1 0
0 −
=
=
(7.132)
=
2 1 0
2 + 0
2 0 −1
soit
S=
}
σ
2
(7.133)
où σ sont les matrices de Pauli.
Pour trouver les vecteurs propres de , on procède de la façon habituelle en écrivant l’équation
aux valeurs propres dans la base {|+; i |−; i}
µ
¶µ ¶
µ ¶
} 0 1
=
(7.134)
1
0
2
Les valeurs propres dont données par
}
det
2
µ
− 1
1 −
¶
= 0
(7.135)
252
Chap.7. Atome d’hydrogène et spin de l’électron
Elles valent }2 et −}2 Les vecteurs propres normalisés sont donnés par
|+; i =
|−; i =
1
√ [|+; i + |−; i]
2
1
√ [|+; i − |−; i]
2
(7.136)
(7.137)
Selon les postulats de la M.Q., cela implique qu’une mesure de l’opérateur ne peut donner que
les valeurs ±}2.
Pour , on trouve encore les valeurs propres }2 et −}2 avec les vecteurs propres normalisés
|+; i =
|−; i =
1
√ [|+; i + |−; i]
2
1
√ [|+; i − |−; i]
2
(7.138)
(7.139)
Ces résultats nous montre clairement que les états |±; i ne sont pas des états propres de et
! Ainsi, si un électron est dans un état |+; i, ses composantes de spin suivant et sont non
définies.
b donnée par les angles polaire
Si on oriente l’appareil de Stern-Gerlach dans la direction u
et azimuthal , alors une mesure de u ne peut donner que les valeurs ±}2. Pour trouver les
u et
états propres correspondants, il faut écrire la matrice correspondant à u . Puisque u = S·b
b = sin cos b
u
x + sin sin b
y + cos b
z, on a
µ
¶
}
cos
sin cos − sin sin
(7.140)
u =
− cos
2 sin cos + sin sin
Les vecteurs propres sont
µ ¶
µ ¶
−2
+2
|+; ui = cos
|+; i + sin
|−; i
2
2
µ ¶
µ ¶
−2
+2
|−; ui = − sin
|+; i + cos
|−; i
2
2
(7.141)
(7.142)
Le spin électronique est un système simple car il ne comporte que deux niveaux discrets. Un état
quelconque de spin peut s’écrire comme une combinaison linéaire des deux états de base soit
|i = |+; i + |−; i
(7.143)
avec la normalisation ||2 + ||2 = 1.
— Selon le postulat #1 de la M.Q., ce ket contient toute l’information disponible sur le spin de
l’électron.
— Selon le postulat #2, le spin est décrit par l’opérateur S qui est une observable.
— Selon le postulat #3, les valeurs possibles qu’une mesure de spin peut donner correspond aux
valeurs propres de l’observable soit à ±}2 pour .
— Selon le postulat #4, la probabilité de mesurer la valeur propre +}2 de est donnée par
|h+;|i|2
= ||2
h|i
2
=
(−; ) = |h−;|i|
h|i
(+; ) =
alors que la probabilité de mesurer la valeur propre −}2 est donnée
||2 .
par
— Selon le postulat #5, si une mesure de sur un électron dans l’état |i donne }2, alors
immédiatement après la mesure, la particule est dans l’état |+; i.
§7.9 Formalisme quantique pour le spin électronique
253
Pour mieux comprendre les particularités des opérateurs de spin, considérons les mesures suivantes.
b et en prenant seulement les électrons
Cas 16 A. On oriente un appareil de SG dans une direction u
détectés dans un des canaux |+; ui ou |−; ui, on peut préparer des électrons dans un état quantique
(de spin) bien déterminé.
Cas 17 B. On envoie un faisceau d’électrons de spin |i = |+; i sur un appareil de SG orienté
b = sin b
selon u
x + cos b
z. Dans ce cas, le SG mesure ±}2 avec les probabilités
µ ¶
|h+; u|i|2
2
b) =
= cos
(7.144)
(+}2; u
h|i
2
µ ¶
|h−; u|i|2
2
b) =
(−}2; u
= sin
(7.145)
h|i
2
b i soit dans le canal |−; u
b i. LorsChaque spin sortant du SG est détecté soit dans le "canal" |+; u
qu’un grand nombre d’électrons ont traversé le SG, l’intensité ce chaque tache est proportionnelle à
b ) Il est impossible de prédire le comportement d’un seul électron. (Remarquez que c’est
(±}2; u
2 est non qui apparaît dans cette formule. En effet, c’est lorsque le deuxième SG est orienté
b = −b
b ) = 0
selon u
z soit = que (+}2; u
Cas 18 C. On envoie un faisceau d’électrons de spin |i = |+; i sur un appareil de SG orienté
selon b
z et on mesure l’intensité du faisceau sortant dans le canal |−; i On trouve évidemment
zéro.
Cas 19 D. On refait l’expérience précédente mais cette fois en insérant sur le chemin du faisceau
b. On prend le faisceau sortant dans le canal |+; i et on l’envoie
|i = |+; i un SG orienté selon x
sur le deuxième SG orienté selon b
z. On mesure une intensité non nulle dans le canal |−; i du SG
orienté selon b
z Cette intensité est donnée par
1
(−}2) = |h−; |+; i h+; |+; i|2 =
4
(7.146)
On voit sur cet exemple que la première mesure a complètement modifié l’état de spin des électrons.
Cas 20 E. On refait l’expérience D mais cette fois en prenant le faisceau sortant du canal |−; i.
On trouve
1
(−}2) = |h−; |−; i h−; |+; i|2 =
(7.147)
4
On voit sur cet exemple que la première mesure a complètement modifié l’état de spin des électrons.
Cas 21 F. Si on refait E mais cette fois en prenant les deux canaux |+; i et |−; i et en les
faisant se recombiner avant de les envoyer sur le deuxième SG. Que mesure-t-on pour (−}2)?
La réponse classique serait de dire que (−}2) = (−}2) + (−}2) = 12. En effet, si on
considère que l’électron suit une trajectoire dans l’appareil de SG, alors il prend soit la trajectoire D,
soit la trajectoire E et le résultat obtenu devrait donc être celui où l’on additionne les probabilités.
Le résultat, toutefois, est tout autre. La M.Q. nous dit qu’il faut d’abord sommer les amplitudes de
probabilité pour chaque chemin, puis prendre le module carré de la somme obtenue de sorte que
(−}2) = |h−; |+; i h+; |+; i + h−; |−; i h−; |+; i|2
2
= |h−; |+; i|
= 0
(7.148)
254
Chap.7. Atome d’hydrogène et spin de l’électron
(Pour passer de la première à la deuxième ligne, on a utilisé la relation de fermeture.) On obtient
en fait le résultat C car puisqu’on n’a aucun moyen de déterminer si la trajectoire D ou E a été
choisie, la M.Q. nous dit que le quanton explore ces deux trajectoires à la fois.
Pour terminer cette section, calculons la valeur moyenne de l’opérateur de spin dans le dans
général où
bi
|i = |+; u
(7.149)
Après un grand nombre de mesures, on obtient
h i =
h i =
h i =
}
sin cos
2
}
sin sin
2
}
cos
2
(7.150)
(7.151)
(7.152)
Ces valeurs moyennes sont égales aux composantes qu’aurait un moment cinétique classique de
module }2 orienté suivant le vecteur u. Comme d’habitude, c’est la valeur moyenne de l’opérateur
de spin qui reproduit le résultat classique. Il faut toutefois se rappeler qu’une mesure du spin ne
donnera toujours que ±}2
7.10 Liaison covalente
Nous terminons ce chapitre en étudiant un exemple de liaison chimique entre atomes : la liaison
covalente. Nous adoptons ici l’approximation de l’orbitale moléculaire. On résoud d’abord le problème d’un électron en présence de deux protons soit l’ion 2+ et on montre comment le fait de
délocaliser l’électron permet d’abaisser l’énergie cinétique et donc former un lien entre les protons
des deux hydrogènes.
L’atome d’hydrogène possède un seul électron. Nous allons prendre 0 (r) = −0 comme
fonction d’onde de l’état fondamental avec 0 = }2 2 le rayon de Bohr, le facteur de normalisation et 0 l’énergie. Considérons l’ion moléculaire H+
2 . L’équation de Schrödinger pour l’électron
dans cet ion est
¶
µ
1
1
}2 2
2
∇ −
+
=
(7.153)
= −
2
|r − r | |r − r |
où r et r sont les positions des deux protons et la position de l’électron. Nous supposons
fixe la distance entre les deux protons et ne nous intéressons qu’au mouvement de l’électron. Si
l’électron est proche du proton A ou du proton B, on s’attend à ce que la fonction d’onde de
l’électron soit bien approximée par celle de l’atome isolée. Nous cherchons donc une solution pour
l’ion moléculaire qui soit une combinaison linéaire des orbitales de l’état fondamental des deux
atomes isolés soit
(r) = 0 (r − r ) + 0 (r − r )
≡ (r) + (r)
(7.154)
(7.155)
Ce problème est très semblable à celui d’un double puits de potentiel et peut se traiter avec les
méthodes du chapitre 6 ou en utilisant une approche simplifiée appelée méthode du couplage fort.
§7.11 Complément : orbitales hybrides, tableau périodique
255
√
La résultat est que l’on trouve deux solutions. La solution appelé état liant où = = 1 2 a
l’énergie + = 0 + avec
=−
Z
3 (r)
1
(r) 0
|r − r |
(7.156)
√
et la solution appelée état antiliant avec = − = 1 2 et − = 0 − . Dans l’état liant, la
densité électronique est plus grande entre les deux protons que dans l’état antiliant de sorte que,
dans l’état liant, la charge est, en quelque sorte, mise en commun dans la molécule et attire à elle
les deux protons. La délocalisation de l’électron sur les deux protons plutôt que sur un seul donne
lieu à un abaissement de l’énergie du système.
Chaque état de la molécule peut être occupé par deux électrons seulement. Dans l’état fondamental de la molécule de H2 nous considérons donc simplement (oubliant l’interaction entre électrons)
que les électrons occupent tous les deux l’état antiliant avec des spins opposés. C’est l’exemple
canonique de la liaison covalente saturée constituée par deux électrons de spins opposés, partagés
entre les deux atomes liés. L’état antiliant reste inoccupé. Son occupation correspondrait à un état
excité de la molécule.
7.11 Complément : orbitales hybrides, tableau périodique
Si le temps le permet, nous traiterons des sujets suivants :
1. Combinaison linéaires de fonctions d’onde : orbitales et
2. Orbitales hybrides 1 2 3
3. Tableau périodique.
256
Chap.7. Atome d’hydrogène et spin de l’électron
7.12 Questions et problèmes
1. Comparez le modèle atomique de Bohr au modèle atomique résultant de la solution de l’équation de Schrödinger. Considérez les trois points suivants : (1) énergie ; (2) description de l’état
de l’électron ; (3) moment cinétique.
2. Pourquoi trouve-t-on trois nombres quantiques (en excluant le spin) dans le traitement quantique de l’atome d’hydrogène ?
3. Moment cinétique. En mécanique classique, les trois composantes du moment cinétique
L = r × p sont données par
Lx = −
(7.157)
Ly = −
Lz = −
(a) Écrivez les opérateurs et en mécanique quantique. Est-ce qu’il y a un problème
de symétrisation dans ce cas ? Pourquoi ?
(b) Sachant que
[ ] = 0
(7.158)
[ ] = 0
[ ] = ~
montrez que [ ] = ~ (Procédez par permutation. Par exemple, si [ ] = ~
alors = + ~).
4. Densité de probabilité radiale. Calculez
(a) La position du maximum de la densité de probabilité radiale pour l’état = 2 = 1 de
l’atome d’hydrogène.
(b) La valeur moyenne de la coordonnée radiale. Pour = 2 = 1 on a les fonctions d’onde.
210 =
21±1 =
µ ¶32 µ ¶
−20
1
√
cos ()
0
4 2 0
µ ¶32 µ ¶
−20
1
√
sin () ±
0
8 0
(7.159)
5. Nous avons vu en cours que, même lorsque = ±, le moment cinétique L ne pointe pas
exactement dans la direction b
z. En effet, dans un état où et sont bien définis, les valeurs
moyennes des opérateurs sont nulles, mais pas les valeurs moyennes de 2 et 2 . On
dit alors qu’il y a des fluctuations quantiques de et Ces fluctuations contribuent au
moment cinétique total 2 = 2 + 2 + 2
§7.12 Questions et problèmes
257
(a) En vous servant de la définition de l’écart quadratique moyen d’un q
opérateur, montrez
que les fluctuations dans la composante normale de , soit ∆⊥ = (∆ )2 + (∆ )2
sont minimales lorsque = et donnez cette valeur minimale.
(b) Connaissant ainsi la grandeur de ⊥ de façon approximative (⊥ ≈ ∆⊥ ), donnez la
valeur minimale de l’angle entre le vecteur moment cinétique et l’axe des . Vérifiez que,
lorsque est grand (limite classique), cet angle devient nul.
6. Si l’atome d’hydrogène n’était pas au repos, mais en mouvement. Comment est-ce que sa
description quantique serait modifiée ?
7. Quelle est la raison fondamentale qui explique pourquoi l’atome d’hydrogène a la taille qu’il
a dans l’état fondamental ?
8. En utilisant la technique de séparation des variables, écrivez les équations permettant de
déterminer les niveaux d’énergie d’une particule dans un puits de potentiel infini ayant la
forme d’un cylindre. Le potentiel est nul à l’intérieur d’un cylindre de rayon et de hauteur
et infini à l’extérieur. Vous n’avez pas à résoudre ces équations.
9. Montrez que la somme des densité de probabilités des états du niveau 3 de l’atome d’hydrogène est sphériquement symétrique.
10. Calculez la valeur moyenne de l’énergie potentielle coulombienne dans l’état fondamental
de l’atome d’hydrogène et montrez que = h i 2 où est l’énergie totale. Montrez que
la valeur moyenne de l’énergie cinétique vaut = − h i 2 dans l’état fondamental. Ces
relations forment ce qu’on appelle le théorème du viriel.
11. On peut obtenir le rayon classique
=
2
40 2
(7.160)
de l’électron en suposant que la masse de l’électron est attribuable à l’énergie emmagasinée
dans son champ électrique via la relation = 2 Si le moment cinétique de l’électron en
rotation est }2, quelle est la vitesse d’un point de la sphère électronique situé à l’équateur ?
Ce modèle du spin a-t-il un sens ? En fait, le rayon de l’électron est beaucoup plus petit que
ce rayon classique ce qui ne fait qu’empirer les choses.
12. Déterminez les états propres et les valeurs propres des opérateurs et .
258
Chap.7. Atome d’hydrogène et spin de l’électron
CHAPITRE 8
État quantique, mesure, et interférences
8.1 Introduction
Dans ce chapitre, nous tenterons de mieux cerner la notion d’état quantique à travers l’acte
de mesure. Notre but est de jeter les bases du formalisme quantique qui permet de calculer la
probabilité des différents résultats de la mesure d’une quantité physique. Cela nous amènera à
introduire les notions de vecteur d’état, de base (orthogonalité et fermeture) ainsi que de montrer
la nécessité du concept d’amplitude de probabilité pour tenir compte des effets d’interférences dus
au comportement ondulatoire des particules quantiques.
Puisqu’il s’agit ici d’une introduction à un sujet qui sera approfondi dans le cours suivant de mécanique quantique, nous avons choisi de considérer l’état de polarisation d’un photon. Cet exemple
est particulièrement simple puisque deux vecteurs d’états seulement sont alors nécessaires. De plus,
nous n’avons pas à considérer des positions ou des quantités de mouvement, quantités physiques
qui nécessitent l’introduction de bases continues plutôt que discrètes, comme c’est le cas ici.
8.2 Description classique de l’onde électromagnétique
Avant de de considérer la description quantique de l’état de polarisation, il est utile de rappeler
ce qu’est la polarisation de la lumière et comment on génère les différents états de polarisation.
8.2.1 Polarisations linéaire et circulaire
Selon la théorie classique, une onde électromagnétique dans le vide est constituée d’un champ
électrique et d’un champ magnétique oscillant dans le temps et se propageant dans l’espace. Les
champs électrique et magnétique sont perpendiculaires entre eux et perpendiculaires à la direction
du mouvement. Nous considérons seulement le champ électrique dans notre description, le champ
magnétique étant toujours sous-entendu.
Dans une onde plane polarisée linéairement, le champ électrique oscille le long d’un axe fixe,
que nous appelons l’axe de polarisation, et dont la direction est donnée par le vecteur unitaire, e.
260
Chap.8. État quantique, mesure, et interférences
Si l’onde se propage dans la direction des elle s’écrit mathématiquement
E(r ) = e0 (−)
(8.1)
où 0 est l’amplitude de l’onde que nous considérons comme réelle.
Une onde polarisée circulairement est une onde dont le champ électrique est constant en
module, mais, en un point donné, tourne à une vitesse angulaire uniforme. Le sens de rotation
détermine s’il s’agit d’une polarisation droite ou gauche. Nous allons adopter la convention que, si
nous regardons vers la source (donc dans la direction −k) et que le vecteur polarisation tourne dans
le sens des aiguilles d’une montre, alors la polarisation est circulaire droite (se référer à la fig. ??).
L’onde circulaire peut être décrite comme la superposition de deux ondes polarisées linéairement
selon deux axes perpendiculaires avec une différence de phase de 2 Nous écrirons E+ pour l’onde
circulaire droite et E− pour l’onde circulaire gauche. Le champ électrique de ces ondes est donné
par
¶
µ
∓e + e
√
0 (−)
(8.2)
E± (r ) =
2
où e et e sont les vecteurs unitaires des axes et L’intensité est donnée par
± =
¯µ
¶¯
¯ ∓e + e ¯2
¯ = 02 = 0
√
¯
2
02 ¯¯
(8.3)
√
d’où la nécessité du facteur 1 2 dans l’éq. (8.2). Pour vérifier le sens de rotation, on choisit par
simplicité le point = 0 La partie réelle de l’onde est alors donnée par
0
< {E± (0 )} = √ (±e sin + e cos )
2
(8.4)
On voit bien qu’à = 0 le vecteur polarisation est selon l’axe et tourne dans le sens horaire
(antihoraire) pour l’onde circulaire droite (gauche).
Il sera utile de considérer un autre système d’axes 0 0 tourné1 d’un angle par rapport au
système (voir fig. 8.1). Il est facile de se convaincre que, par rapport au système d’axes 0 0
l’onde circulaire droite (gauche) est en avance (en retard) d’une phase . Dans ce repère, l’onde
donnée par l’éq. (8.2) devient
0
E± (r ) =
∙µ
∓e0 + e0
√
2
¶
±
¸
0 (−)
(8.6)
1 Lors d’une rotation antihoraire d’un angle le vecteur ( ) est tranformé en vecteur (0 0 ). L’équation, sous forme
matricielle, est
0
cos
sin
=
(8.5)
0
− sin cos
§8.2 Description classique de l’onde électromagnétique
ep
gauche
261
d r o it e
(a )
k
y’
y
(b )
x’
x
FIGURE 8.1. (a) Définition des polarisations circulaires droite et gauche ; (b) systèmes d’axes de référence
pour l’analyse de la polarisation.
8.2.2 Production des polarisations linéaire et circulaire
Il y a plusieurs façons de générer une onde polarisée linéairement. La plus simple est d’utiliser
un polariseur disponible dans le commerce. Lorsque de la lumière non polarisée est incidente sur
un polariseur, seule la composante des ondes pour laquelle le vecteur polarisation est selon l’axe
de transmission du polariseur est transmise. Toutes les autres composantes sont bloquées.
Une autre façon de produire une onde polarisée linéairement est d’utiliser un cristal de calcite
(appelé aussi spath d’Islande ou carbonate de calcium, CaCO3 .) Ce cristal fait subir à un rayon
lumineux une double réfraction. Un rayon qui pénètre dans le cristal se divise en deux rayons
réfractés à des angles différents. Une image observée à travers le cristal apparaît dédoublée. La
cause de ce phénomène est que l’indice de réfraction du cristal est différent pour deux composantes
perpendiculaires de la polarisation (une propriété appelée biréfringence). En utilisant un faisceau
lumineux incident étroit et en coupant et polissant convenablement le cristal, on peut faire en sorte
qu’un faisceau incident soit divisé en deux faisceaux sortants ayant des polarisations perpendiculaires. Pour simplifier les choses, nous pouvons dire qu’une onde de polarisation linéaire quelconque
(se propageant selon ) sera décomposée en une onde polarisée linéairement selon e et une onde
polarisée linéairement selon e . Le cristal a ainsi deux canaux de polarisation. En bloquant l’un de
ces canaux, on peut générer une onde polarisée linéairement dans une direction donnée. On dira
alors que le cristal agit comme un projecteur.
La polarisation circulaire, quant à elle, peut être obtenue en utilisant un lame quart d’onde Il
s’agit en fait d’un cristal de calcite, coupé de telle façon qu’un rayon incident (à incidence normale)
est décomposé en deux rayons qui ne sont pas réfractés à la sortie (ils continuent à ne former
qu’un seul rayon), mais qui se propagent avec des vitesses différentes dans le cristal. En choisissant
bien la longueur du cristal, on peut faire en sorte que la différence de phase soit telle qu’un onde
plane linéairement polarisée à ±45◦ par rapport à l’axe rapide de la lame quart d’onde en sorte
en une onde polarisée circulairement (droite ou gauche). Mathématiquement, nous pouvons écrire
que l’effet de la lame quart d’onde est d’introduire un facteur de phase − pour la composante e ,
262
Chap.8. État quantique, mesure, et interférences
de sorte que si à l’entrée de la lame
e =
alors à la sortie
µ
±e + e
√
2
¶
(8.7)
¶
∓e + e
√
(8.8)
e =
2
Donc, deux polarisations linéaires différant de 90◦ , chacune à 45◦ par rapport à l’axe rapide, sont
transformées en polarisations circulaires droite ou gauche. L’inverse est évidemment possible :
si l’onde incidente est circulairement polarisée à l’entrée de la lame, alors on obtient une onde
linéairement polarisée à la sortie.
0
µ
8.2.3 Intensité de l’onde transmise
Les figs. (8.3) et (8.2) illustrent quatre types d’analyseur que nous allons utiliser pour faire
différentes expériences pour connaître la polarisation de la lumière.
(a) Une simple feuille polaroïd caractérisée par un axe de transmission dont la direction est
donnée par un vecteur unitaire e (voir fig. 8.3).
(b) Un analyseur XY. Il s’agit d’un cristal de calcite qui décompose un faisceau incident en deux
faisceaux polarisés linéairement suivant X et Y. L’orientation du système d’axes XY est bien
sûr arbitraire (fig. 8.2 (a)).
(c) Le troisième appareil est similaire au second, mais tourné d’un angle par rapport au système
d’axes Cet appareil sera notre analyseur X’Y’.
(d) En combinant ingénieusement lames quart d’onde et cristal de calcite (nous discuterons de la
façon de réaliser cela en classe), nous pouvons construire un quatrième appareil qui sera notre
analyseur de polarisation circulaire (analyseur GD). Cet appareil décompose tout faisceau
incident en ses composantes de polarisation linéaire droite ou gauche (voir fig. 8.2 (b)).
Considérons, pour commencer, l’analyseur A et supposons que nous puissions ignorer les pertes
d’intensité c’est-à-dire que nous ayons une polariseur ou un analyseur idéal. La lumière incidente
sur le polariseur est polarisée linéairement dans une direction quelconque e
¥ Si l’axe de transmission du polariseur est parallèle à l’axe de polarisation de l’onde incidente,
alors l’intensité lumineuse avant le polariseur est égale à l’intensité lumineuse de l’onde après
la traversée du polariseur.
¥ Si l’axe de transmission du polariseur est perpendiculaire à l’axe de polarisation de l’onde
incidente, alors l’intensité lumineuse après le polariseur est nulle.
¥ Entre ces deux cas extrêmes, une fraction seulement de l’intensité incidente est transmise. Si
e désigne un vecteur unitaire suivant l’axe de transmission du polariseur alors, après la sortie
0
du polariseur, l’onde transmise est polarisée suivant e et a une intensité 0 soit
0
E0 (r ) = e 0 (−)
L’intensité transmise est donnée par la loi de Malus
¯ 0 ¯2
¯ ¯
= ¯0 ¯ = 02 (e · e )2 = 0 cos2
(8.9)
(8.10)
où 0 = 02 est l’intensité du faisceau incident et est l’angle entre les axes de polarisation et
de transmission.
§8.2 Description classique de l’onde électromagnétique
263
x
z
ep
ex
y
a)
ey
XY
x
z
ep
eG
y
b)
eD
GD
FIGURE 8.2. (a) analyseur de polarisation linéaire ; (b) analyseur de polarisation circulaire.
Considérons maintenant les cas B et C. Chacun de ces appareils possède deux canaux complémentaires de transmission que nous noterons 1 et 2 et qui peuvent être X et Y¡ ou X’ et
¢ Y’. Les
polarisations sont représentées par les vecteurs unitaires (e1 e2 ) soit (e e )ou e0 e0 Comme
tous ces vecteurs sont réels (ce sont des vecteurs dans l’espace euclidien), nous pouvons utiliser
la loi de Malus pour l’intensité transmise. Considérons que e représente la polarisation de l’onde
plane incidente (e e e0 e0 ), dont le champ électrique est donné par
E (r ) = e 0 (−)
(8.11)
Après le passage à travers l’analyseur XY ou X’Y’, le faisceau initial est divisé en deux faisceaux.
Le champ électrique de l’onde dans chaque canal est
0
E1 (r ) = e1 01 (−)
0
(−)
E2 (r ) = e2 02
L’intensité de l’onde dans chaque canal est (pour un analyseur idéal)
¯ 0 ¯2
¯
¯
1 = ¯01 ¯ = |e1 · e |2 |0 |2 = |e1 · e |2 0
¯ 0 ¯2
¯
¯
2 = ¯02 ¯ = |e2 · e |2 |0 |2 = |e2 · e |2 0
(8.12)
(8.13)
(8.14)
Pour l’analyseur GD, les vecteurs polarisations sont représentés par des vecteurs complexes (e e ).
Dans le système d’axe , nous avons, par exemple
µ
¶
−e + e
√
e =
;
(8.15)
2
µ
¶
+e + e
√
e =
(8.16)
2
264
Chap.8. État quantique, mesure, et interférences
De→/à↓
e
e
e0
e0
e
e
e
1
0
cos2
sin2
e
0
1
sin2
cos2
e0
cos2
sin2
1
0
e0
sin2
cos2
0
1
e
e
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0
0
1
TABLE 8.1. Fraction de l’intensité transmise pour un onde de polarisation incidente donnée (colonne)
détectée dans un canal de polarisation donné (rangée)
L’intensité transmise n’est pas donnée par un produit scalaire simple. Nous pourrions généraliser
les formules2 des éqs. (8.14), mais il suffit ici de savoir qu’une onde polarisée linéairement est
décomposée par un analyseur GD en deux faisceaux d’égales intensités et cela indépendamment
de l’orientation de l’analyseur GD. De même, une onde polarisée circulairement est décomposée en
deux ondes linéairement polarisées et d’intensité égales.Par exemple, dans le cas de l’onde circulaire
droite, nous avons à l’entrée dans l’analyseur XY :
E+ (r ) = E (r ) + E (r )
1
1
= − √ e 0 (−) + √ e 0 (−)
2
2
(8.17)
À la sortie, chaque canal ne contient que l’un de ces champ électrique. L’intensité du faisceau, dans
chaque canal, est alors |E (r )|2 ou |E (r )|2 soit la moitié de l’intensité totale incidente.
Puisqu’il n’y a que deux canaux dans chaque cas et que ces canaux représentent des possibilités
de polarisation qui sont mutuellement exclusives et complémentaires, nous devons toujours avoir
que
(8.18)
1 + 2 = 0
Pour les cas que nous avons considérés, il y a 6 possibilités de polarisation pour le faisceau incident
et 6 canaux possibles pour l’analyseur. Vous pouvez facilement calculer les intensités transmises
pour chacune des 36 expériences possibles. Elles sont résumées dans le tableau 8.1 (en fraction de
0 ).
8.3 Description quantique des expériences de transmission
Nous nous tournons maintenant vers la description quantique des expériences de la section précédente, c’est-à-dire une description en terme de photons. Imaginons un faisceau de photons que
nous savons être dans un état de polarisation linéaire e . Il est relativement facile de déterminer
si les photons dans un faisceau incident sont dans un état de polarisation linéaire donnée. Il suffit
de faire passer le faisceau dans un polariseur et de tourner le polariseur. Si l’intensité transmise
s’annule pour un certain angle (disons pour la direction e ) et est maximale pour un autre angle
à 90◦ du premier (direction e ), alors nous savons que les photons du faisceau sont polarisés linéairement suivant e . Si nous faisions passer ce faisceau à travers un cristal de calcite (un analyseur)
alors chaque photon émergerait dans un canal ou dans un autre. En tournant le cristal de calcite,
2 Par
exemple : e · e = 0 mais e∗ · e = 1 De même e · e 6= 0 mais e∗ · e = 0.
§8.3 Description quantique des expériences de transmission
265
on trouverait une orientation pour laquelle tous les photons émergerait dans un seul canal (le canal
Y).
Nous faisons maintenant une expérience qui consiste à envoyer une onde polarisée linéairement sur
un analyseur L’onde se propage suivant et e est le vecteur unitaire qui décrit sa polarisation.
L’analyseur est en fait un second polariseur qui transmet les polarisations parallèles à et
absorbe les polarisations parallèles à (Voir fig. 8.3)
Comme nous l’avons expliqué à la section précédente, l’intensité classique est donnée par la loi
de Malus
¯ 0 ¯2
¯ ¯
= ¯0 ¯ = |0 |2 (e · e )2 = cos2 ()
Quelle est maintenant la description quantique de cette expérience ? Supposons que nous placions
un détecteur de photons derrière l’analyseur. Que se passe-t-il lorsque l’intensité est suffisamment
faible pour que les photons arrivent un à un sur l’analyseur ? On pourrait penser que chaque photon
est fractionné en deux parties et que seule la partie polarisée suivant e serait transmise. Comme
l’intensité transmise selon e est plus faible que l’intensité incidente. Il faudrait admettre que la
fréquence du photon transmis change (puisque dans cette hypothèse, tous les photons incidents sont
transmis..). Ce n’est pas ce qu’on observe. Si le photon se fractionnait en deux, le faisceau devrait
changer de couleur, ce qui n’est pas observé. On n’enregistrera jamais donc une fraction de photon :
le photon franchit complètement l’analyseur ou bien il est entièrement absorbé. On
peut réellement compter (avec un photomultiplicateur) les photons qui sont transmis et vérifier que
seulement une fraction cos2 () des photons du faisceau initial est transmise et donc que la fraction
du nombre de photons transmis est bien celle calculée classiquement.
Si la polarisation incidente est e = e on sait avec certitude que le photon va franchir l’analyseur
placé suivant e . Si e = e on sait avec certitude qu’il sera bloqué. Donc, si le photon se trouve,
avant la mesure, dans un de ces états, on peut prédire avec certitude le résultat de la mesure. Mais
sauf dans ces cas spéciaux, on ne peut pas prédire avec certitude si un photon en particulier
sera absorbé ou non. On ne peut que déterminer les probabilités correspondantes. Si on envoie
un très grand nombre de photons sur notre analyseur, on doit retrouver le résultat classique
c’est-à-dire qu’on doit détecter cos2 () photons arrivant au détecteur.
Après le passage dans l’analyseur, le photon est complètement polarisé suivant e Son état
après la mesure est donc radicalement différent de son état avant la mesure. Il y a
eu un changement brusque de l’état du corpuscule. Cela traduit le fait que la mesure perturbe le
système microscopique de façon fondamentale.
Remarquez bien l’étrangeté de la chose. Nous savons que tous les photons incidents sont dans
le même état de polarisation. Pourtant, certains photons sont absorbés alors que d’autres sont
transmis ! Le même état initial ne présuppose pas le même comportement ! C’est un contraste
étonnant avec la description classique. Il nous est impossible de faire de prédiction sur un seul
photon. Nous devons adopter une description statistique et dire que la probabilité de transmission
à travers l’analyseur, de photons initialement suivant e est cos2 () En fait, nous pouvons refaire
la série des 36 expériences de la section précédente avec un détecteur de photons à la sortie de
chaque canal de l’analyseur et vérifier que la fraction du nombre de photons transmis pour chaque
couple e ,e correspond bien à la fraction de l’intensité transmise prédite par la théorie classique
(tableau 8.1).
Pour distinguer entre analyse quantique et analyse classique, nous allons adopter une nouvelle
notation pour l’état de polarisation en mécanique quantique. Nous noterons l’état de polarisation
initial et l’état de polarisation finale Ces états désignent un des 6 états de polarisation
que nous avons considéré précédemment et que nous noterons 0 0 , . En mécanique quantique, on dit que l’analyseur projette le photon d’un état quantique de polarisation vers un état
266
Chap.8. État quantique, mesure, et interférences
­
®
quantique de polarisation L’amplitude de probabilité pour ce processus est notée |
La probabilité pour qu’un photon initialement dans l’état soit détecté dans le canal de polarisation après sont passage à travers un analyseur XY,X’Y’ ou GD est obtenue en prenant le
module carré de l’amplitude de probabilité (cette dernière pouvant être un nombre complexe)
¯­
®¯2
→ = ¯ | ¯
(8.19)
Les 36 expériences décrites à la section précédentes (mais faites maintenant avec des détecne
teurs de photons) nous permettent de calculer les probabilités quantiques → Elles
­
® nous
permettent pas, cependant, de calculer les amplitudes de probabilités | Pour
connaître ces dernières, nous devons faire des expériences plus subtiles qui impliquent des phénomènes d’interférence.
x
A
P
ep
z
y
FIGURE 8.3. Un faisceau lumineux se propage dans la direction et traverse successivement le polariseur
et l’analyseur .
8.3.1 État quantique
Nous pouvons maintenant donner une définition précise de l’état de polarisation d’un photon :
F Définition de l’état quantique d’un photon : les photons d’un faisceau d’intensité 0
sont dans l’état quantique de polarisation si et seulement si le passage du faisceau à travers
un analyseur orienté suivant e résulte en une intensité transmise, 0 inchangée.
8.3.2 Orthogonalité
Lorsqu’un photon initialement
® dans l’état a un probabilité nulle d’être transmis dans l’état
­
, c’est-à-dire lorsque | = 0 nous disons que ces deux états sont orthogonaux. Ainsi, les
états de polarisation et sont orthogonaux, de même que les états et ou 0 et 0 .
Remarquez que pour la polarisation linéaire, l’orthogonalité vient du fait que les vecteurs e et
e sont perpendiculaires. Il n’y a pas d’analogie du même genre pour l’orthogonalité quantique en
§8.3 Description quantique des expériences de transmission
267
général, par exemple entre les états de polarisation circulaire droite ou gauche. Le concept d’orthogonalité en mécanique quantique est défini entièrement en termes d’expérience entre polariseurs et
analyseurs. Encore une fois, nous avons là une définition opératoire :
F Orthogonalité : si une particule est dans un état quantique , alors il y a une probabilité
nulle qu’une mesure quelconque puisse la trouver dans un état quantique orthogonal à l’état
.
8.3.3 Fermeture
Lorsqu’un faisceau de photons de polarisation arbitraire entre dans un analyseur de polarisation
linéaire, tous les photons transmis sont soit polarisés suivant e soit polarisés suivant e . Pour les
photons, deux états sont suffisants pour décrire l’état de polarisation du faisceau incident. Selon le
principe de décomposition spectrale, la somme des probabilité pour la projection du photon
incident sur l’état ou donne l’unité et nous pouvons dire que ces deux états constituent un
ensemble complet d’états de polarisation parce que tout photon de polarisation arbitraire peut être
décrit en termes des états de polarisation ou
F Fermeture : les états de polarisation { } {0 0 } ou { } constituent des ensembles
complets d’états de polarisation3 (on dit aussi qu’ils forment une base pour la représentation
des états de polarisation d’un photon) parce que la somme du nombre de photons émergeant
d’un analyseur dans les deux états de chacune de ces bases est égale au nombre de photons
entrant dans l’analyseur.
8.3.4 Comportement statistique des photons
Il est possible de faire l’expérience de transmission de la fig. 8.3 avec un faisceau de très faible
intensité. Alors, comme nous l’avons déjà noté, il est impossible de connaître à l’avance le comportement d’un seul photon. La loi de Malus est satisfaite seulement lorsque de nombreux photons
ont été transmis. D’un point de vue quantique, la loi de Malus est satisfaite en moyenne. Si le
nombre de photons traversant l’analyseur
est alors les mesures individuelles dévieront de la
√
4
.
Le
changement
relatif (par rapport à la moyenne) est provaleur moyenne
par
une
quantité
√
√
portionnel à soit 1 . Pour de très grands nombres (comme c’est le cas en pratique), le
changement relatif est à toute fin utile nulle et la loi de Malus nous apparaît exactement satisfaite.
3 Les états de polarisation circulaire droite et gauche sont des états propres de l’opérateur spin selon (direction de propagation) du photon (voir, par ex., G. Baym, Lectures on quantum mechanics, Benjamin/Cummings Publishing Co., 1969 (page
17)). Nous toucherons un mot de cette relation en classe.
4 Loi statistique pour les mesures répétées d’événements aléatoires.
268
Chap.8. État quantique, mesure, et interférences
8.4 Le concept d’état quantique
Le concept d’état quantique repose sur deux propriétés fondamentales : (1) le fait que l’on puisse
définir des classes de particules différentes (électrons, protons, etc.) ; (2) le fait que les particules
d’une même classe sont complètement identiques.
La plupart des expériences à l’échelle atomique impliquent un grand nombre de particules identiques. Par exemple, pour étudier la diffusion des électrons sur les protons, on ne pourrait pas se
contenter d’envoyer un seul électron sur un seul proton. On ne pourrait pas non plus réutiliser
plusieurs fois le même électron (comme on le ferait dans une expérience semblable en physique
macroscopique). Ce que l’on fait, plutôt, c’est d’utiliser un faisceau d’électrons et de le diriger
vers une source qui contient plusieurs protons. Cette expérience nous apprend quelque chose sur
l’interaction entre un seul électron et un seul proton parce que les électrons sont tous identiques,
de même que les protons sont tous identiques.
Pour définir un état quantique, nous devons donc posséder une grande quantité de particules
identiques. Comment savoir qu’elles le sont ? Cette question sera abordée formellement dans le
prochain cours où nous montrerons qu’il nous faut définir la valeur de ses différents nombres
quantiques (tout en respectant le principe d’incertitude).
En général, nous ne pouvons pas déterminer l’état quantique d’une seule particule. Par exemple,
si un photon est transmis par un polariseur orienté suivant e nous ne pouvons pas conclure que
le photon était polarisé linéairement suivant e avant la mesure. Le photon pouvait venir d’un
faisceau polarisé circulairement ! C’est seulement si l’intensité du faisceau transmis suivant e est
identique à celle du faisceau incident que l’on peut conclure que tous les photons du faisceau étaient
polarisés suivant e . En général, donc, nous déterminons l’état quantique de chaque membre d’un
grand ensemble de particules identiquement préparées. Cette détermination implique que la même
mesure est faite sur chaque membre de l’ensemble, un à la fois.
Un état quantique se rapporte à une particule et non à un ensemble5 . Cependant, pour pouvoir
dire qu’une particule est dans un état quantique, disons , nous devons avoir fait une mesure sur un
ensemble de particules identiques comme nous venons de le dire ! Les particules qui sont dans
un même état quantique vont se comporter de façon identique lorsqu’elles sont testées
pour cet état quantique uniquement. Par exemple, si on a un faisceau de photons polarisés
circulairement droit, dirigé sur un analyseur de polarisation circulaire, alors tous les photons du
faisceau seront détectés dans le canal droit de l’analyseur. Mais si on change cet analyseur pour
un analyseur de polarisation linéaire, alors tous les photons du faisceau ne se comporteront pas de
la même façon. Certains seront détectés dans le canal de polarisation linéaire e d’autres dans le
canal de polarisation linéaire e . Il n’y a aucun moyen de prédire le comportement d’un photon
dans ce cas.
8.5 Interférence et amplitude de probabilité
Nous allons maintenant considérer une expérience d’interférence et montrer que, dans ce cas,
il est essentiel de connaître les amplitudes de probabilité pour pouvoir calculer la probabilité des
différentes processus quantiques qui y sont impliqués.
Nous ajoutons un autre appareil de mesure à notre collection de polariseurs et d’analyseurs.
Appelons ce nouvel appareil une boucle. Comme montré à la fig. 8.4, il s’agit de deux analyseurs
5 Cette interprétation est contestée par certains physiciens. Nous reviendrons sur cette question au chapitre 8 si le temps le
permet.
§8.5 Interférence et amplitude de probabilité
269
x
z
y
ex
ep
ey
Boucle XY
valves
FIGURE 8.4. Boucle de polarisation.
(XY, X’Y’,ou GD) mis bout à bout de façon à créer deux canaux de transmission pour l’onde
incidente. Cependant, à la sortie de la boucle, les deux ondes sont réunies en une seule. Deux
petites “valves” nous permettent de bloquer chaque canal. Si les deux valves sont ouvertes, le
faisceau à la sortie est identique au faisceau à l’entrée et la boucle n’a aucun effet.
L’expérience qui nous intéresse consiste en fait en une série de trois expériences, que nous appellerons A,B, et C et qui sont schématisées à la fig. 8.5.
(a) Dans l’expérience A, un faisceau de polarisation linéaire est dirigé sur la boucle dont le
canal X’ est bloqué. À sa sortie de la boucle, le faisceau entre dans un analyseur XY dont le
canal Y est bloqué de sorte que l’on mesure l’intensité du faisceau dans le canal X. L’analyse
classique est simple : le champ électrique incident est
E(r ) = e 0 (−)
(8.20)
Après son passage dans la boucle, seule la composante selon e0 de cette onde demeure, de
sorte que le champ électrique est alors
¡
¢
(8.21)
E0 (r ) = e0 0 e0 · e (−)
= e0 0 cos (−)
(8.22)
L’intensité transmise est donc
0 = 0 cos2
(8.23)
02
À la sortie de l’analyseur XY, seule la composante selon e du champ E0 (r )
avec 0 =
est retenue de sorte que le champ électrique final est
¡
¢¡
¢
(8.24)
E00 (r ) = e 0 e · e0 e0 · e (−)
= −e 0 sin cos (−)
(8.25)
L’intensité transmise dans le canal X est donc
00 = 0 cos2 sin2
Si, par exemple, = 30◦ , la fraction de l’intensité transmise est 316
(8.26)
270
Chap.8. État quantique, mesure, et interférences
ey
ex
ex’
(a)
XY
ey’
ey
Boucle X’Y’
ey
ex
ex’
(b)
XY
ey’
ey
Boucle X’Y’
ey
ex
ex’
(c)
XY
ey’
ey
Boucle X’Y’
FIGURE 8.5. Expérience d’interférence pour la mesure des amplitudes de probabilité.
(b) L’expérience B est similaire sauf que nous bloquons le canal e0 de la boucle. Le champ
électrique final est alors
E00 (r ) = e 0 (e · e0 ) (e0 · e ) (−)
(−)
= e 0 cos sin
(8.27)
(8.28)
L’intensité transmise dans le canal X est la même qu’en A.
(c) Dans l’expérience C, aucun canal de la boucle n’est bloqué. Celle-ci n’a donc aucun effet sur
le champ incident qui reste polarisé suivant e L’analyseur XY (avec le canal Y bloqué) ne
retient que la composante X de ce champ qui est
E00 (r ) = e 0 (e · e ) (−) = 0
(8.29)
L’intensité transmise est donc nulle.
Comment interpréter cette expérience de façon quantique. Nous serions tentés de dire qu’un
photon qui émerge de la boucle X’Y’ a nécessairement suivi le canal X’ ou le canal Y’, mais pas
les deux à la fois ! L’expérience A nous montre que la probabilité de passer par le canal X’ de
la boucle et d’être ensuite détecté dans le canal X de l’analyseur est donnée par cos2 sin2 De
même, la probabilité de passer par le canal Y’ de la boucle et d’être ensuite détecté dans le canal
X de l’analyseur est encore une fois cos2 sin2 Comme il n’y a que deux canaux possibles, nous
sommes forcés de conclure que la probabilité, pour le photon, d’être détecté dans le canal X si les
deux canaux X’ et Y’ de la boucle sont ouverts doit être la somme des probabilités pour chaque
possibilité, soit 2 cos2 sin2 Sauf exception, nous n’obtenons donc pas le résultat mesuré soit une
probabilité nulle !
§8.5 Interférence et amplitude de probabilité
271
Évidemment, vous vous rendez bien compte que nous faisons, avec ce raisonnement, la même
erreur que dans notre première analyse de l’expérience des fentes de Young. Lorsqu’il se propage, le
photon a un comportement ondulatoire. L’onde associée passe nécessairement par les deux canaux
tout comme elle passe par les deux fentes dans le cas de l’expérience de Young. Nous savons, dans
ce cas, que pour calculer l’intensité en un point de l’écran nous devons d’abord écrire l’amplitude
du champ électrique venant de chaque fente et ensuite prendre le module carré de la somme des
amplitudes. Nous ne pouvons expliquer l’expérience de Young en ne considérant que
des intensités (ou des probabilités) car nous négligeons alors les effets d’interférence.
Voyons cela explicitement. Reprenons l’expérience C, la physique ondulatoire nous dit que l’onde
initiale donnée par l’éq. (8.20), à la sortie de la boucle, est donnée par la somme des champs
électriques venant de chaque canal (X’ et Y’) :
¡
¢
(8.30)
E0 (r ) = e0 0 (e0 · e ) (−) + e0 0 e0 · e (−)
= e0 0 sin (−) + e0 0 cos (−)
(8.31)
= E(r )
(8.32)
L’onde est inchangée puisque les deux canaux sont ouverts. La première ligne de cette équation
n’est seulement qu’une autre façon d’écrire l’onde polarisé e dans le système d’axes 0 0 (C’est
un exemple de décomposition spectrale : l’onde initiale est écrite en termes de ses composantes sur
les deux vecteurs de la base X’Y’). Dans ce système d’axes, l’onde sortant de la boucle est donnée
par la somme de deux champs électriques. Nous devons faire la même chose en mécanique quantique : lorsque le photon peut suivre plusieurs parcours, nous devons alors calculer les amplitudes
de probabilités correspondant à chaque parcours, sommer ces amplitudes, et ensuite calculer la
probabilité du processus total en prenant le module carré de l’amplitude totale.
Utilisons la notation que nous avons introduite précédemment. Dans l’expérience A, le photon
initialement dans l’état subit une projection dans l’état 0 puis une autre projection dans l’état
L’amplitude de probabilité pour ce processus est donnée par le produit des amplitudes pour
chaque processus :
­
®
®­
(8.33)
h | i 0 ́ = | 0 0 |
La probabilité correspondante est alors
¯
¯2 ¯­
®¯2 ¯­
®¯2
®­
®¯2 ¯­
¯
¯
= ¯h | i
¯ = ¯ | 0 0 | ¯ = ¯ | 0 ¯ ¯ 0 | ¯
0 ́
(8.34)
Nous obtenons donc, dans ce cas simple que la probabilité totale est un produit des probabilités de
chaque processus pris individuellement. En utilisant nos résultats de la section précédente pour les
probabilités quantiques, nous obtenons la même probabilité que celle déduite de l’analyse classique,
soit
(8.35)
= sin2 cos2
L’analyse de l’expérience B se fait de la même façon :
­
®
®­
h | i
= | 0 0 |
0
́
et
soit
¯
¯
= ¯h | i
¯2 ¯­
¯­
®¯
®¯
®­
®¯ ¯­
¯
¯ | 0 0 | ¯2 = ¯ | 0 ¯2 ¯ 0 | ¯2
=
¯
0 ́
= sin2 cos2
(8.36)
(8.37)
(8.38)
272
Chap.8. État quantique, mesure, et interférences
De→/à↓
|i
|i
|0 i
| 0 i
|i
|i
|i
1
0
cos
− sin
√
2
−
√
2
|i
0
1
sin
cos
√1
2
√1
2
|0 i
cos
sin
1
0
√ −
2
−
√
2
|0 i
− sin
cos
0
1
√1 −
2
√1
2
|i
|i
1
0
0
1
−
√
2
√1
2
−
√
2
√1
2
√
2
√1
2
√ −
2
√1 −
2
TABLE 8.2. Amplitudes de projection pour un photon de polarisation incidente donnée (colonne) détectée
dans un canal de polarisation donné (rangée)
Pour l’expérience C, il faut sommer les amplitudes de chaque processus. Nous obtenons
­
® ­
®
®­
®­
h | i = | 0 0 | + | 0 0 |
(8.39)
de sorte que la probabilité est
¯­
® ­
®¯2
®­
®­
= ¯ | 0 0 | + | 0 0 | ¯
(8.40)
= + + termes d’interférence.
Les termes d’interférences dans cette équation sont cruciaux pour donner = 0 Ils nous permettent également de déterminer les amplitudes. En effet, puisque = 0 l’amplitude associée à
ce processus doit être nulle. Nous savons donc que
®­
®­
­
® ­
®
| 0 0 | + | 0 0 | = 0
(8.41)
Nous avons établi précédemment la valeur de chacune des probabilités |h | i|2 De ces valeurs,
nous pouvons tirer le module de l’amplitude de probabilité, soit |h | i| mais nous perdons toute
information sur la phase. Il y a moyen, toutefois, de combiner cette information avec l’éq. (8.41)
pour déterminer les phases. En fait, il y a plusieurs possibilités de solutions de cette équation. Nous
devons fixer arbitrairement la phase d’une des amplitudes de probabilités pour pouvoir déterminer
les autres. L’éq. (8.41) nous donne alors automatiquement la phase (relative) des autres amplitudes
de probabilités. L’amplitude de probabilité est toujours définie à un facteur de phase près. Ce
facteur de phase disparaît lorsque nous prenons le module carré. Les phases relatives, elles, ne
disparaissent pas !
Une expérience similaire à celle décrite dans la fig. 8.5, mais faite avec une boucle GD (polarisation circulaire gauche et droite) nous permet de calculer les amplitude de projection dans les
canaux de polarisation circulaire. Nous obtenons dans ce cas
h | i h | i + h | i h | i = 0
(8.42)
Les amplitudes de projection sont données dans le tableau 8.2.
Remarquez que les amplitudes de probabilité sont, avec notre choix de phase, réelles pour les
polarisations linéaires, mais nécessairement complexes pour les polarisations circulaires.
Pour n’importe quelle paire d’états, nous pouvons prouver que
h | i = h | i∗
(8.43)
§8.6 Le vecteur d’état
273
Nous partons du fait que
h | i = 1
(8.44)
En effet, si un faisceau de photons de polarisation arbitraire entre dans un analyseur GD, le
nombre de photons sortant du canal gauche + le nombre de photons sortant du canal droit doit
égaler le nombre de photons incidents. Mathématiquement :
|h | i|2 + |h | i|2 = 1
(8.45)
h | i∗ h | i + h | i∗ h | i = 1
(8.46)
soit
Mais une boucle GD a la propriété que de ne pas changer le faisceau incident si les deux canaux
sont ouverts. L’état incident est projeté sur lui-même, à travers deux processus quantiques dont
la somme des amplitudes de probabilité doit donner l’unité :
h | i h | i + h | i h | i = 1
(8.47)
En comparant ces deux dernières équations, nous voyons immédiatement que la relation (8.43) est
satisfaite. En effet, en soustrayant ces deux équations, nous avons :
[h | i∗ − h | i] h | i + [h | i∗ − h | i] h | i = 0
(8.48)
Comme h | i et h | i sont des quantités linéairement indépendantes, cette équation ne peut
s’annuler que si les coefficients multipliant ces deux quantités sont nuls c’est-à-dire si
h | i∗ = h | i
∗
h | i
= h | i
(8.49)
(8.50)
Ce résultat est parfaitement général et peut se prouver pour n’importe quel ensemble complet
d’états. Par exemple :
h | i h | i + h | i h | i = 1
(8.51)
8.6 Le vecteur d’état
Nous avons vu que les états { } {0 0 } et { } constituent des ensembles complets d’états
sur lesquels nous pouvons développer n’importe quel état quantique Par analogie avec un vecteur
b peut être développé sur les vecteurs de
dans l’espace euclidien où un vecteur unitaire quelconque u
base et , nous allons considérer l’état quantique comme un vecteur. Les composantes de ce
vecteur sont ses amplitudes de projection sur un ensemble complet de vecteurs d’états mutuellement
perpendiculaires (et normalisés). Tout comme un vecteur est une quantité abstraite indépendante
d’un système d’axes particulier, le vecteur d’état est un état physique abstrait indépendant de la
base sur laquelle nous choisissons de le développer.
Par exemple, considérons la projection d’un état quantique initial sur un état final Nous
pouvons réaliser cela, en pratique en faisant passer les photons par une boucle XY avec les deux
canaux ouverts, puis par un analyseur XY ou GD. L’amplitude de probabilité pour cette projection
s’écrit
h | i = h | i h | i + h | i h | i
(8.52)
274
Chap.8. État quantique, mesure, et interférences
Comme l’état final est arbitraire, nous pouvons écrire cette relation en laissant en blanc ce dernier :
h| i = h| i h | i + h| i h | i
(8.53)
ce qui veut dire que nous pouvons mettre l’état de notre choix dans ce blanc. Enlevons maintenant
les crochets de gauche. Nous obtenons
|i = |i h | i + |i h | i
(8.54)
Le symbole |i est appelé vecteur d’état pour l’état . Parce que ce symbole est la moitié droite du
symbole hi qui s’appelle en anglais “brackets”, il est aussi appelé un ket. On parle alors du ket |i
L’éq. (8.54) décrit en fait le faisceau après sa sortie de la boucle et avant son entrée dans l’analyseur.
Comme la boucle ne change rien, le ket |i est seulement réécrit en terme de ses composantes sur
la base {|i |i}. Le composantes du vecteur d’état |i sur cette base sont données par h | i et
h | i Ce résultat est tout à fait analogue à l’éq. (8.30) dans notre analyse classique.
Nous pouvons, à partir de l’éq. (8.54), obtenir une relation encore plus abstraite pour les vecteurs
d’une base. Puisque l’état initial est arbitraire, enlevons le de cette équation et faisons ensuite
disparaître les crochets de droite. Nous obtenons
|i h| + |i h| = 1
(8.55)
Par analogie avec le terme ket, le symbole h| s’appelle un bra (c’est la partie gauche des “brackets”
de Dirac !). Cette importante relation, appelée relation de fermeture, caractérise toute base de
vecteurs d’états. Elle veut simplement dire que tout vecteur d’état peut être développé sur les
vecteurs de cette base.
En terminant, nous pouvons maintenant donner une définition précise6 d’une base de vecteurs :
F Base de vecteurs d’états : un ensemble de vecteurs d’états forme une base orthonormée si
®
­
— Les vecteurs sont mutuellement orthogonaux : | = (si = h | i = 1 qui est la
condition de normalisation pour un vecteur d’état).
P
— Les vecteurs satisfont à la relation de fermeture | i h | = 1
Vous pouvez vérifier que chacune des bases que nous avons considérées, soit {|i |i} {|0 i | 0 i}
,{|i |i} est composée de vecteurs orthonormaux qui satisfont à la relation de fermeture. Pour
chacune de ces bases, nous pouvons écrire
X
| i h | i
(8.56)
|i =
®
­
où les coefficients (complexes) | sont les composantes du vecteurs |i sur la base des | i
Nous pouvons faire une analogie entre vecteurs unitaires et vecteurs d’états. En effet, considérons
les trois vecteurs unitaires e e e de l’espace réel à trois dimensions. L’ensemble de ces trois
vecteurs constitue une base de l’espace à trois dimensions puisque ces vecteurs sont normés et
orthogonaux deux à deux ( = ) :
e · e =
(8.57)
6 Ou presque ! Nous ne considérons ici que des bases discrètes. Le concept de base, étendu aux bases continues, sera développé
plus à fond dans le prochain cours de mécanique quantique.
§8.7 Particularités de la mécanique quantique
275
et qu’on peut définir une relation de fermeture
X
e e = I
(8.58)
b de cet espace selon les trois
où I est un tenseur. Nous pouvons décomposer tout vecteur unitaire V
vecteurs unitaires en utilisant la relation de fermeture. En effet
b = V
b ·I
V
X
b·
e e
= V
´
X³
b · e e
V
=
(8.59)
=
X
e
= e + e + e
Finalement, les composantes de la projection du vecteur V sur les vecteurs de la base sont
données par
b
= V·e
et la somme des carrés des composantes donne l’unité puisque le vecteur est unitaire.
8.7 Particularités de la mécanique quantique
Il a été souvent question, dans ce cours, de la nécessité d’introduire des concepts nouveaux pour
décrire le comportement des particules microscopiques. Chaque fois que nous avions à interpréter
ces nouveaux concepts, nous nous en sommes tenus à l’interprétation orthodoxe de la théorie c’està-dire à l’interprétation dite de Copenhague et dont le principal architecte est Niels Bohr. Bien
que cette interprétation soit celle qui est adoptée par la vaste majorité des physiciens, elle reste
difficile à accepter car elle propose une vision de la mécanique quantique et du rôle des théories
physiques qui est très étroite.
Le problème de l’interprétation de la mécanique quantique passionne de nombreux chercheurs.
C’est un domaine de recherche fort actif. Avec la technologie dont nous disposons aujourd’hui, il
est possible de réaliser certaines des expériences de pensée originalement proposées par les pères
de la mécanique quantique et ainsi de tester la validité de certaines hypothèses comme celle, par
exemple, des variables cachées.7 Du côté théorique, de nouvelles avenues se sont ajoutées (comme
celle de la décohérence) qui permettent d’assoir la théorie sur des bases plus solides.
Nous pourrions passer sous silence ces problèmes d’interprétation de la théorie car ils nous
empêchent rarement de faire notre travail de physicien. La mécanique quantique est très claire sur
la procédure à suivre pour calculer le résultat d’une expérience. Il n’y a pas à faire intervenir des
problèmes d’interprétaiton. En principe, cependant, un physicien n’est pas seulement un utilisateur
de théories physiques ou un calculateur. Il doit avoir une vision plus globale de sa science et cela
inclue la compréhension des fondements des théories physiques qu’il utilise. Son but n’est pas que de
prédire des résultats d’expérience, mais bien de mieux comprendre le monde physique qui l’entoure.
7 Du
moins de certains types de variables cachées.
276
Chap.8. État quantique, mesure, et interférences
Les sections qui suivent sont des résumés (en traduction libre) et des adaptations de textes que
j’ai trouvés dans plusieurs livres dont celui de Sudbery (chapitre 5), de Bohm (chapitre 8), de
Omnès (section 2.7) et de Selleri. Les références complètes sont données dans la bibliographie si
vous préférez vous en remettre aux textes originaux.
Commençons par ré-examiner quelques particularités de la mécanique quantique.
8.7.1 Déterminisme incomplet des lois quantiques
La mécanique quantique diffère radicalement des autres théories physiques non seulement parce
qu’elle fait des prédictions de nature probabiliste, mais par le caractère fondamental qu’elle donne
à ces prédictions. Comme nous l’avons déjà mentionné dans ce cours, la mécanique quantique n’a
pas recours à des prédictions statistique par manque d’information mais parce que les processus
physiques (comme les sauts quantiques) sont indéterminés. Il n’y a aucune possibilité de connaître
suffisamment un système, même en principe, pour pouvoir en prédire exactement le comportement
futur comme on le fait en mécanique classique.
Cette particularité de la mécanique quantique est difficile à accepter car, jusqu’à la création de la
théorie quantique, on prenait pour acquis que tout événement a une cause. Si, au contraire, les lois
fondamentales sont de nature statistique, alors au moins quelques aspects de certains événements
n’ont pas de cause. C’est contre cet indéterminisme que Einstein se rébellait lorsqu’il disait :
“La mécanique quantique est très impressionnante, mais une voix intérieure me dit que ce n’est
pas encore la vérité. La théorie est très productive, mais ne nous rapproche guère des secrets du
Vieil Homme. Je reste convaincu qu’il ne joue pas aux dés.”8
L’idée qu’une force matérielle soit la cause du mouvement des particules vient d’une longue
expérience avec des systèmes classiques. Lorsqu’on y pense, il n’y a pas de raison logique pour
que le concept de causalité ne puisse souffrir certaines modifications à cause des découvertes de la
mécanique quantique. Distinguons tout de suite entre deux types de causalité :
1. Déterminisme strict : la cause détermine complètement l’évolution ultérieure du système
qu’elle affecte.
2. Déterminisme “de tendance” : la cause détermine une tendance générale dans l’évolution du
système, mais ne détermine pas complètement l’évolution du système.
Le déterminisme stricte a atteint son apogée avec les lois de Newton. On croyait alors qu’une
connaissance complète de toutes les causes (forces) ainsi que des conditions initiales permettrait de
décrire en détails l’évolution d’un système. En effet, un système classique évolue de façon continue.
Son état à un temps est complètement déterminé par son état à un instant antérieur 0 de
sorte que la théorie classique est complètement déterministe. En mécanique quantique, comme le
montre l’effet photoélectrique, il n’y a pas moyen de prédire exactement si le saut quantique va
avoir lieu et, si oui, quand il va avoir lieu. Seulement la probabilité de l’occurrence de ce processus
peut être calculée. Par le calcul des probabilités, la théorie quantique peut prédire le nombre moyen
de sauts par seconde qui auront lieu en chaque partie du système. Les lois quantiques sont donc
très différentes des lois classiques qui, elles, sont exactement causales. Toutes les lois ne doivent pas
être abandonnées cependant. Les lois de conservation de l’énergie, de la quantité de mouvement et
du moment cinétique sont aussi vérifiées par la mécanique quantique. Ces lois ne dépendent pas
du fait que les processus sous-jacents sont ou non discontinus et donc elles restent les mêmes dans
les deux théories. Nous dirons que la mécanique quantique relève d’un déterminisme incomplet
plutôt que d’un indéterminisme parce que si la mécanique quantique ne permet pas de prédire
8 Albert
Einstein, lettre à Max Born, 4 décembre 1926.
§8.7 Particularités de la mécanique quantique
277
le comportement d’un corpuscule, elle permet tout de même d’écrire des équations permettant de
saisir l’évolution dans le temps des valeurs moyennes de certaines quantités physiques (voir chapitre
IV pour l’équation gouvernant la valeur moyenne hi d’un opérateur).
La mécanique quantique rejette le déterminisme stricte de la mécanique classique. Pour elle, les
causes déterminent seulement un tendance statistique de sorte qu’une cause donnée doit être
considérée comme produisant seulement une tendance vers un effet. Remarquez que les processus à
l’échelle macroscopique impliquent un nombre astronomique de quanta. Dans ce cas, la probabilité
devient presque qu’une certitude. On peut faire une analogie avec les statistiques des compagnies
d’assurances : prédire la durée de vie d’une personne en particulier est impossible, mais il est
possible de calculer très exactement le temps de vie moyen d’une personne dans un très grand
groupe.
8.7.2 Indétermination des variables d’un système
La façon dont les propriétés d’une particule sont assignées à une particule en mécanique est
très différente de la procédure habituelle en mécanique classique. Tout d’abord, la mécanique
quantique n’associe pas à une particule quantique des propriétés bien définies comme en mécanique
classique. Contrairement à la mécanique classique, par exemple, une particule quantique n’a pas
nécessairement une position ou une quantité de mouvement bien définies. De plus, position et
quantité de mouvement ne peuvent être définies en même temps. Encore plus étrange, une particule
peut avoir une position bien définie en un instant, mais pas à tout moment dans un intervalle
de temps donné car alors sa quantité de mouvement serait connue exactement. Il s’ensuit que
la particule quantique n’a pas une trajectoire bien définie. On peut se dire qu’il n’y a rien de
fondamental dans les propriétés de position ou de quantité de mouvement et que ce sont là des
concepts classiques qu’il faut abandonner dans une description microscopique. Même en faisant
cela, il nous reste un certain malaise puisque sommes habitués à considérer que ces deux propriétés
sont des attributs essentiels d’une particule.
Un second aspect assez troublant et qui a donné lieu à de nombreux paradoxes (EPR, chat de
Schrödinger, etc.) est le statut indéterminé de la valeur d’une observable d’un système physique
lorsque celui-ci est dans un état qui n’est pas un état propre de cet observable. (Dans le cas du
fameux chat, celui-ci est dans un état qui est une combinaison linéaire des états mort et vivant).
Lorsqu’on fait une mesure physique de cette observable sur le système, on trouve nécessairement
une des valeurs propres du système. Mais avant la mesure, que vaut cette valeur ? Selon la mécanique quantique, elle est indéterminée. (Selon Heisenberg, cette question ne peut même pas être
posée !) Par exemple si un électron est dans un état qui est une combinaison linéaire d’orbitales
atomiques ayant des énergies différentes, l’énergie de l’électron est indéterminée. Si on fait une mesure, cependant, on trouve nécessairement une valeur pour l’énergie (correspondante à un des deux
états propres de la combinaison). La mécanique quantique nous interdit de dire que le système avait
cette valeur avant la mesure. Tout comme pour la position ou la quantité de mouvement, le système
n’a que des potentialités avant la mesure. Ces potentialités deviennent réalité lors de la mesure !
Rappelez-vous l’exemple du pêcheur et du poisson dans le lac. Si le poisson était quantique, on ne
pourraît rien dire de lui avant qu’il n’ait mordu à l’hameçon. Avant de mordre, il n’exite dans le
lac que sous forme de potentialités. Et si on veut être aussi strict qu’Heisenberg, on refusera de se
poser des questions sur le poisson avant qu’il ait mordu.
Indéterminisme et indétermination sont des concepts reliés l’un à l’autre. Le fait que la fonction
d’onde (ou, pour être plus précis, le vecteur d’état) ne déterminime pas complètement le résultat
d’une mesure fait en sorte qu’il est impossible d’associer aux observables du système des valeurs
bien définies.
278
Chap.8. État quantique, mesure, et interférences
Le principe d’indétermination d’Heisenberg reflète le déterminisme incomplet de la mécanique
quantique qui provient de la structure même de la matière. Selon l’interprétation de Copenhague,
quantité de mouvement et position (de même que les autres quantités physiques conjuguées) ne
peuvent exister simultanément avec des valeurs bien définies. En fait, l’idée qu’une particule puisse
avoir une position et une quantité de mouvement bien définies est équivalente à supposer l’existence
de variables cachées. La mécanique quantique fut crée dans le courant philosophique du positivisme.
Les quantités physiques n’ont de sens que si l’on peut les définir par un processus de mesure. Dire
que l’on ne peut connaître exactement et simultanément quantité de mouvement et position revient
à dire que l’on ne peut imaginer un appareil de mesure qui permettrait de définir exactement ces
deux quantités (nous avons étudié plusieurs exemples d’expériences de pensée, comme le microscope
de Bohr-Heisenberg qui ont démontré ce point).
8.7.3 Discontinuité
En mécanique classique, une particule est décrite par sa position et sa vitesse qui sont des
quantités variant de façon continue avec le temps. En mécanique quantique, nous ne pouvons
concevoir une particule comme ayant, en même temps, une position et une vitesse bien définies.
Il nous est donc impossible, à strictement parler, de définir une trajectoire. On peut imaginer que
la particule quantique a une certaine position au temps et une autre position au temps 0 Il
nous est cependant impossible d’inférer la deuxième position de la première ! Le mieux que nous
puissions faire est de représenter la particule par un paquet d’ondes. Sa position et sa vitesse sont
alors définies dans les limites du principe d’indétermination. La position moyenne de la particule
peut être suivie car la vitesse du paquet d’ondes représente la vitesse de la particule classique.
Comme le fait remarquer Bohm, l’idée classique qu’une particule a un mouvement dont la dérivée
(la vitesse) peut être définie en tout point (mouvement continue) était uniquement basée sur
l’expérience disponible à l’époque. Il n’y a aucune raison logique pour qu’un mouvement continu
soit le seul mouvement possible dans la nature.
Le quantum d’énergie est une unité indivisible d’énergie. Aucune expérience n’a pu détecter
l’absorption d’une partie d’un quantum. De plus, le transfert d’un quantum d’énergie d’un système
à un autre est aussi un processus indivisible qui se traduit par le saut quantique du système d’un état
à un autre. Autrement dit, le système ne passe pas par un série d’états intermédiaires. L’apparente
continuité de l’évolution des systèmes physiques à l’échelle macroscopique est, bien sûr, due à la
petitesse du quantum d’action (de ~) La plupart des processus en physique classique impliquent
de faibles énergies de sorte que le quantum d’énergie, est trop petit pour être détectable
8.7.4 Énergie et quantité de mouvement
L’énergie d’un système (potentielle, cinétique, de masse au repos ou électromagnétique) représente la potentialité qu’a un système de faire un travail sur un autre système lors d’une interaction
avec ce deuxième système. L’énergie totale d’un système isolé est conservée et c’est pourquoi nous
considérons l’énergie comme un attribut physique du système, bien qu’on ne puisse pas isoler
l’énergie du système lui-même.
La quantité de mouvement = d’un système isolé ne change pas non plus et nous considérons
cette quantité comme une attribut physique du système. Le quantité de mouvement peut être définie
comme une potentialité d’un système à produire, lors d’une interaction avec un second système,
une impulsion =
En mécanique classique, énergie et quantité de mouvement peuvent être écrites comme des
fonctions de la position et de la vitesse d’une particule. Par exemple, la quantité de mouvement
§8.7 Particularités de la mécanique quantique
279
classique est
= lim
∆→0
∆
∆
(8.60)
En mécanique quantique, énergie et quantité de mouvement ne peuvent être exprimées de cette
façon, la notion de trajectoire n’ayant pas de sens. Ces quantités sont définies par les relations de
de Broglie et représentent, contrairement à la mécanique classique, des quantités fondamentales.
Elles ne sont pas définies à partir du concept de trajectoire. On peut mesurer expérimentalement
ces quantités et montrer qu’elles sont conservées dans les processus quantiques.
8.7.5 Principe de complémentarité
Nous avons vu que les propriétés fondamentales de la matière, comme l’énergie et la quantité de
mouvement ne peuvent être définies que dans les limites du principe d’indétermination. Énergie et
temps, position et quantité de mouvement, onde et particule sont des aspects complémentaires ou,
pour utiliser le langage de Bohm, des potentialités qui s’opposent. Le système ne peut développer
une de ces potentialités qu’au dépend de l’autre. Ces aspects ne sont pas incompatibles tant que
l’on n’essaie pas de définir exactement l’un d’eux. Comme le dit le principe de complémentarité de
Bohr :
Au niveau quantique, les propriétés physiques d’un systèmes doivent être exprimées en
termes de paires de variables. Chacune des variables d’une même paire ne peut être
définie qu’au dépend d’une perte de précision sur la définition de l’autre variable.
Ce principe est contraire aux prescriptions de la mécanique classique où chaque variable peut
être définie exactement.
8.7.6 Absence de variables cachées
Il se pourrait qu’il y ait des variables cachées, c’est-à-dire des variables non encore découvertes
par la physique, et qui contrôleraient le temps et la position exacte du saut quantique. L’existence
de telles variables ferait en sorte que la mécanique quantique redeviendrait déterministe. Malheureusement, aucune expérience n’a pu mettre en évidence de telles variables. En fait, les expériences
modernes ont montré que si ces variables cachées existent, elle ne peuvent être que non-locales.9
Si les variables cachées existent, cela veut dire que la mécanique quantique est incomplète.
L’école de Copenhague a senti le danger qu’une telle possibilité faisait planer sur l’édifice théorique
de la nouvelle théorie. Une défense contre cette philosophie causale fut établie par Johann von
Neumann10 qui proposa, en 1932, son fameux théorème, montrant l’impossibilité de compléter
causalement la mécanique quantique, à partir de quelques hypothèses générales sur la structure
mathématique des théories physiques. Bohr, Born, Pauli, Heisenberg et Jordan (tous des tenants
de l’interprétation positiviste) soulignèrent avec vigueur l’importance de ce théorème. La grande
autorité de ces physiciens, jointe à la complexité mathématique du théorème de von Neumann, eut
comme conséquence pratique de mettre hors la loi l’idée de variables cachées.
9 Louis de Broglie, initialement un adepte de la nouvelle théorie quantique est devenu beaucoup plus critique de cette théorie
vers la fin de sa vie. Selon lui, une grande majorité de physiciens ont été trop influencés par la doctrine positiviste qui régnait
à l’époque de la création de la mécanique quantique. Il croyait possible que dans un futur proche une nouvelle couche de la
réalité soit découverte, une couche qui permettrait d’expliquer les lois probabilistes de la mécanique quantique en termes de
variables à présent inconnues de nous. Ces variables cachées permettraient de retourner à une théorie causale des phénomènes
physiques.
1 0 Johann von NEUMANN, mathématicien américain (1903-1957).
280
Chap.8. État quantique, mesure, et interférences
Dans son livre, ”Le grand débat de la mécanique quantique”, F. Selleri discute abondamment
du problème des variables cachées. Pour lui, le débat est loin d’être clos sur ce sujet et le théorème
de von Neumann n’a été qu’un erreur :
“De 1935 à 1970, les physiciens qui travaillèrent sur le problème de la causalité furent
très peu nombreux. Néanmoins, d’importants résultats furent obtenus par Bohm et de
Broglie qui se montrèrent capables de faire ce que von Neumann déclarait impossible :
trouver un modèle à variables cachées qui ne soit pas en contradiction avec la mécanique quantique dans ses prédictions statistiques et qui, en même temps, fournisse un
fondement causal au comportement individuel des systèmes quantiques. Il fallut quelques
temps avant que ces résultats soient complètement appréciés jusqu’à ce que l’on ait compris que le théorème de von Neumann, bien que mathématiquement correct, ne pouvait,
en aucune façon, interdire de généraliser la mécanique quantique, simplement parce que
l’un de ses axiomes n’était pas, en général, raisonnable physiquement [ ] Le théorème
de von Neumann ne s’applique qu’à des classes très particulières et très spéciales de
théories à variables cachées : celles qui vérifient ses axiomes.”
Une des théories à variables cachées les plus célèbres est sans doute celle de Bohm. On en trouvera
une vulgarisation dans le texte de David Albert : La théorie quantique de David Bohm, Pour la
science, dossier hors-série, juin 1994.
8.7.7 Principe de correspondance de Bohr
Les lois de la physiques quantiques doivent être choisies de telle façon que dans la limite classique,
où plusieurs quanta sont impliqués, elles redonnent les lois classiques en moyenne (voir chapitre 2).
Satisfaire le principe de correspondance n’est pas une mince affaire. Selon Bohm, on peut dire que
l’application de ce principe, combinée à la dualité onde-corpuscule, à l’indivisibilité du quantum et
à un déterminisme incomplet définit la mécanique quantique presque de façon unique.
8.7.8 Sens de la fonction d’onde
Le sens que l’on donne à la fonction d’onde ou, de façon plus générale, au vecteur d’état, définit
une interprétation de la mécanique quantique. Cette question est discutée plus en détails dans la
section 5.
8.7.9 Réduction du paquet d’ondes
Lorsqu’on fait une mesure sur un système, la fonction d’onde décrivant le système change de
façon radicale et instantanée. Par exemple, si nous mesurons la position d’une particule décrite
initialement par un paquet d’onde ayant une certain extension dans l’espace, alors après la mesure,
ce paquet d’ondes sera (théoriquement) réduit à une fonction delta de Dirac centrée à la position
de la particule (en réalité, l’appareil de mesure a une précision limitée et nouveau paquet d’ondes
aura aussi une certaine largeur). On dit que la mesure a provoqué la réduction du paquet d’ondes.
Quel sens attribuer à ce phénomène ? Cette question est extrêmement litigieuse et a donné lieu à
de nombreux paradoxes dont celui du chat de Schrödinger. La réponse à cette question implique
une réponse à la question de ce que représente la fonction d’onde d’un système. Il y a plusieurs
réponses possibles (voir section 5).
Le postulat de réduction du paquet d’ondes est mal défini. Il n’y a aucune définition précise de
ce qui constitue un acte de mesure et pas de spécification sur l’instant où la réduction est supposée
§8.8 L’interprétation de Copenhague
281
avoir lieu. De plus, ce postulat implique une vision dualiste du monde physique, une division
entre objet microscopique (le système physique étudié) et appareil macroscopique (l’appareil de
mesure) créant une frontière artificielle entre comportement quantique et comportement classique.
La dynamique d’un système quantique est dirigée par l’évolution déterministe fournie par l’équation
de Schrödinger et par la réduction du paquet d’onde. Cette réduction est purement aléatoire et
non-décrite par l’équation de Schrödinger.
La réduction du paquet d’ondes a un côté anti-causal comme le montre le paradoxe du chat de
Schrödinger. Elle fait jouer à l’acte d’observation un rôle prépondérant. Tout se passe comme si les
événements arrivent parce qu’ils sont observés plutôt que l’inverse (les événements sont observés
parce qu’ils arrivent).
8.7.10 Non-séparabilité du monde physique
Comme vous le verrez dans le texte sur le paradoxe EPR, le vecteur d’état pour un système
composé de deux sous-système |1 i |1 i + |2 i |2 i est très particulier. Lorsque le système global
est dans un état ayant cette forme, il est impossible de dire que chacun des sous-systèmes est dans
un état bien défini. Cependant, il est possible d’obtenir de l’information sur un sous-système en
faisant une mesure sur l’autre sous-système.
On peut dire qu’en principe, la mécanique quantique ne voit plus l’univers comme une somme de
parties distinctes et séparées les unes des autres, gouvernées par des lois causales pour former un
tout. Au contraire, en mécanique quantique, aucune des parties ne peut être définie autrement qu’en
interaction avec toutes les autres. L’univers est, en fait, une unité indivisible dont les différentes
parties apparaissent comme des abstractions, abstractions permises seulement dans le cadre d’une
description classique. C’est pour cela qu’on dit souvent que la mécanique quantique est une théorie
holistique.
8.8 L’interprétation de Copenhague
Comme le souligne Omnès, ce qu’on appelle Interprétation de Copenhague est surtout le travail
de Niels Bohr. Elle provient d’une synthèse des discussions de Bohr avec ses nombreux collaborateurs et visiteurs à l’Institut de physique de Copenhague. Bohr a donné plusieurs conférences sur
l’interprétation de la théorie quantique. Il a publié des articles et des commentaires mais n’a jamais
écrit un exposé complet et systématique de ses vues sur le sujet. Ce sont ses collaborateurs qui se
sont chargés de véhiculer ses idées et qui, ce faisant, les ont teintées de leurs propres conceptions.
Il y a donc plusieurs Interprétations de Copenhague, les idées de Bohr ayant été commentées et
interprétées de différentes façons.
L’interprétation de Copenhague est celle que nous avons véhiculée dans ce cours et dont les
particularités ont été discutées à la section précédente. Résumons-la en quelques points (Omnès,
section 2.7) :
— Même si elle ne fait que des prédictions de nature probabiliste, la théorie s’applique à des
systèmes physiques individuels qui peuvent être clairement identifiés (par exemple à un atome
donné) et non à une collection imaginaire de systèmes physiques (c’est-à-dire à un ensemble
de systèmes comme le fait la physique statistique).
— Les prédictions de la théorie sont de nature probabiliste uniquement. Il est fondamentalement
impossible de prédire autre chose que des probabilités.
— La frontière séparant l’objet observé et l’appareil de mesure est laissée au choix de l’observateur. Selon Heisenberg, le monde physique est divisé en deux parties, l’objet observé et le
282
Chap.8. État quantique, mesure, et interférences
système d’observation. L’objet observé est décrit par la mécanique quantique alors que le système d’observation nécessite une description classique. Considérez, par exemple, la détection
d’un photon par la rétine. Le photon est traité par la mécanique quantique alors que le signal
nerveux est un courant électrique décrit classiquement. Où mettre la frontière ? On peut isoler
un pigment (une molécule) de la rétine et décider de le traiter par la mécanique quantique (en
calculant sa bande d’absorption) ou, au contraire, de façon purement classique et déterministe
par une approche classique. En doute, on peut considérer la molécule comme faisant partie
d’une cellule ou d’un ensemble de cellule et traiter le tout classiquement. La frontière n’est
pas fixée et, selon Heisenberg, est laissée à notre bon jugement.
En principe, tout système devrait être taité de façon quantique. Avec les recherches modernes
sur le sujet, on commence à comprendre comment et quand un système physique acquiert un
comportement classique. L’acte d’observation devient alors mieux défini (voir l’article de Serge
Haroche qui vous sera remis dans le courant de la session).
Le point de vue de Bohr est beaucoup plus radical et mérite qu’on s’y attarde. Il constitue,
en quelque sorte, ce que l’on appelle l’interprétation minimale de la mécanique quantique.
Selon lui, seul compte le résultat d’une mesure et celui-ci est obtenu par une interaction entre
l’objet étudié et l’appareil de mesure. Lors de cette interaction, les deux objets ne forment
plus qu’un seul système. Les prédictions de la mécanique classique ne peuvent s’appliquer
qu’à ce système global (qui est, pour Bohr, un système physique macroscopique et classique).
Autrement dit, il est impossible de dire quoi que ce soit sur l’objet microscopique étudié à
partir de nos résultats (classiques) sur le système combiné. Pour Bohr, il n’y a pas de frontière
à proprement parler. L’expérience est un tout indivisible. Les objets atomiques n’ont pas de
propriétés propres. Seul existe le phénomène d’observation qui concerne l’ensemble indivisible objet atomique plus appareil de mesure et la description que l’on fait de ce phénomène
est toujours une description en langage classique (on donne la position d’une aiguille sur un
compteur, par exemple). Un résultat d’expérience est un fait, une certitude qui tombe dans
la langage classique. Le point de vue de Bohr relève du solipsisme. Il refuse, en quelque sorte,
d’admettre que la formation d’une trace dans une chambre à bulles est une évidence pour
l’existence d’une particule chargée. Seuls existent les événements macroscopiques. Pour lui, le
vecteur d’état n’est qu’un instrument de calcul qui nous permet de prédire le résultat d’une
expérience. Le vecteur d’état n’a pas à être interprété.
Pour Bohr, le rôle de la science est d’étendre le domaine de nos perceptions et d’y mettre un
ordre. Pour certains physiciens qui ont poussé encore plus à l’extrême cette attitue, le rôle
d’une théorie scientifique est de prédire les résultats d’expériences sur des systèmes physiques.
L’attitude de Bohr est un peu choquante. Pour beaucoup de physiciens, le rôle des théories
scientifiques ne peut se limiter à la prédiction des résultats expérimentaux. Il va bien au-delà
de cela. Prédire des résultats expérimentaux n’est pas un but mais un test d’une théorie scientifique. Le rôle du scientifique est d’essayer de comprendre le monde physique qui l’entoure.
— L’appareil de mesure est décrit en termes classiques.
— L’acte d’observation est irréversible. L’observation laisse une trace sur un papier, dans une
mémoire d’ordinateur ou dans notre cerveau. Elle est enregistrée. L’irréversibilité de la mesure
a conduit certains a présumer d’un lien entre le problème de la mesure en mécanique quantique
et celui de l’irréversibilité en thermodynamique.
— Le saut quantique qui a lieu lorsqu’une mesure est faite est une transition d’une potentialité à
une actualisation. Pour Bohr, le saut quantique est un nouveau type de loi physique. Comme
§8.9 Quelques positions par rapport à la mécanique quantique
283
nous l’avons discuté plus haut, il ne vient pas de la dynamique qu’implique l’équation de
Schrödinger. Le saut quantique est purement aléatoire.
— Des variables complémentaires ne peuvent être observées simultanément
— Seuls les résultats d’une mesure peuvent être considérés comme vrais. Pour Heisenberg, il n’y
a aucun sens à dire qu’un photon passe à travers l’une des fentes dans l’expérience de Young
si cela n’est pas mis en évidence par une expérience. Personne ne peut dire quoi que ce soit
de “vrai” sur un atome entre le temps où il est préparé et celui le temps où il est mesuré.
On cite souvent l’exemple d’un livre reposant sur une table dans une pièce fermée. Dans le
monde classique, on sait que le livre reste bien sur la table lorsqu’on sort de la pièce et que
l’on referme la porte parce que le livre est un objet classique et que “le livre est sur la table
même si je ne le voie pas” est une affirmation qui a un sens dans un monde classique. Rien
de cela ne peut être dit sur un atome sauf pour les rares instants où il est détecté. Est-ce que
l’atome est là ou non entre nos observations ? impossible de le dire. Pour Heisenberg, cette
question est complètement vide de sens (positivisme strict).
Après la lecture de ce petit résumé de l’interprétation de Copenhague, vous comprenez sans
doute pourquoi elle rend les physiciens si inconfortables depuis plus de 60 ans !
8.9 Quelques positions par rapport à la mécanique quantique
Supposons que nous fassions une mesure de la position d’une particule et que nous trouvions
qu’elle est au point . Une question légitime à se poser est la suivante : où était la particule tout
juste avant la mesure ? Il y a au moins trois façons de répondre à cette question. Ces différentes
façons caractérisent les différentes écoles de pensée en ce qui à trait l’interprétation de la mécanique
quantique.
— La position réaliste. Pour un réaliste, la particule était en . Cela semble une réponse
sensée et c’est celle qu’Einstein aurait donnée. Si cela est vraie, cependant, alors la mécanique
quantique est incomplète car elle est incapable de nous dire cela ! Pour le réaliste, l’indétermination n’est pas un fait de la nature mais plutôt le résultat de notre ignorance. La position
de la particule n’est jamais indéterminée mais seulement inconnue de l’observateur. Dans ce
cas, la fonction d’onde ne dit pas tout (contrairement au Postulat #1). Il y a de l’information
additionnelle contenue dans des variables cachées.
— La position orthodoxe. La particule était nulle part ! C’est l’acte de mesure qui force la
particule à prendre parti et donc à nous montrer un position (pourquoi la particule a-t-elle
décidé du point plutôt que d’un autre ? on a aucune idée de la réponse). L’observation non
seulement perturbe la mesure, elle la crée ! Nous forçons la particule à prendre une position.
Ce point de vue est celui associé à Bohr et ses partisans. C’est l’interprétation de Copenhague.
C’est la position la plus acceptée par la majorité des physiciens. Si elle est correcte, cependant,
alors il y a quelque chose de très bizarre associé à l’acte de mesure. Quelque chose qui n’a pas
été éclaicie depuis près d’un demi siècle de débat !
— La position agnostique. On refuse de répondre à cette question ! Ce n’est pas un comportement aussi stupide qu’il puisse paraître. En effet, quel sens peut-il y a voir à discuter d’un fait
(la position de la particule avant la mesure) qui n’est pas mesurable ? Pour les partisans de
cette position, discuter de la position de la particule avant la mesure relève de la métaphysique
(dans le sens péjoratif du terme). Comme le souligne ironiquement Griffiths dans son livre :
“for decades this was the fall-back position of most physicists : They’d try to sell you answer
#2 (orthodox position), but if you were persistent they’d switch to #3 (agnostic position) and
terminate the conversation”.
284
Chap.8. État quantique, mesure, et interférences
Jusqu’à tout récemment, toutes ces positions avaient leurs partisans. En 1964, cependant, John
Bell étonna la communauté scientifique en montrant que, si la particule a une position bien définie
ou non (même si non observable) avant la mesure, cela fait une différence expérimentale importante
et mesurable. La découverte de Bell élimina donc la position agnostique complètement. La métaphysique est redevenue de la physique ! Les tests expérimentaux ont été faits et semblent (certains,
comme Selleri ne sont pas d’accord là-dessus) confirmer la position orthodoxe : la particule n’a
tout simplement pas de position avant la mesure. La position orthodoxe, cependant, est directement reliée à la réduction du paquet d’ondes. Un autre problème important car il suppose (nous
en avons déjà parlé) deux types d’évolution en mécanique quantique. Un gouverné par l’équation
de Schrödinger et un autre relié à l’acte de mesure. Les recherches actuelles sur la décohérence
semblent apporter des éléments de réponse en ce qui concerne ce dernier point.
8.10 Quelques interprétations possibles de la fonction d’onde
Pour Sudbery, une interprétation de la mécanique quantique est essentiellement une réponse à
la question “Qu’est-ce que représente le vecteur d’état |Ψi ?” Des interprétations différentes ne
peuvent pas être différenciées sur une base scientifique. Elles n’ont pas des conséquences expérimentales différentes. Si elles en avaient, nous ne parlerions pas d’interprétations différentes, mais de
théories différentes. Pour les apprécier, elles doivent être comparées sur la base de leur intelligibilité,
de leur simplicité et de la satisfaction intellectuelle qu’elles nous procurent !
Voici quelques interprétations possibles de la théorie quantique (Sudbery, chapitre 5), autres que
l’interprétation minimale dont nous avons discutée plus haut, ainsi qu’un bref commentaire sur
chacune.
8.10.1 Interprétation littérale
Cette interprétation est celle que l’on rencontre dans la plupart des livres de cours. Le vecteur
d’état est considéré comme une propriété objective du système au même titre que la position ou
la quantité de mouvement en mécanique classique. Le postulat de réduction implique alors un
changement réel du système lors de la mesure qui est alors décrit par un nouveau vecteur d’état.
Dans cette interprétation, l’indéterminisme et l’indétermination doivent être acceptés comme des
faits d’expérience. La non-séparabilité fait en sorte que l’on est forcé de considérer le vecteur d’état
du système dans son entier, et, à la limite, le vecteur d’état de l’univers. Cette interprétation nous
laisse avec tous les problèmes du postulats de projection dont nous avons discutés précédemment.
8.10.2 Interprétation épistémique (subjective)
Plutôt que d’être vu comme une propriété objective du système, le vecteur d’état peut être vu
comme représentant la connaissance que l’observateur a de l’état d’un système. L’indétermination
dans la valeur des variables du système ne fait alors que réfléter un manque de connaissance de
ces valeurs. De même, les postulats de non-séparabilité et celui de réduction du paquet d’ondes
semblent alors perdre leur mystère. Il n’y a rien de mystérieux à ce que le vecteur d’état change
après une mesure puisqu’alors, la connaissance qu’a l’observateur de l’état du système vient de
changer brusquement. De la même façon, le paradoxe EPR est facilement résolu puisqu’il n’y a
pas de mystère à ce que la connaissance d’un système très éloigné change brusquement : lorsqu’on
ouvre le journal chaque matin, notre connaissance des événements dans un pays lointain change
effectivement de façon abrupte.
§8.10 Quelques interprétations possibles de la fonction d’onde
285
Parce que cette interprétation se réfère à un observateur en particulier, elle est souvent critiquée
comme étant subjective. L’élément subjectif de cette interprétation peut être enlevé en considérant
tous les observateurs possibles et en définissant un vecteur d’état unique pour le système représentant la connaissance maximale de l’état du système que n’importe quel observateur puisse avoir.
Mais de cette façon, le vecteur d’état redevient une propriété du système et on revient alors à
l’interprétation littérale. Si on préfère garder l’élément subjectif et accepter que le vecteur d’état
représente la connaissance d’un observateur en particulier alors il faut se poser la question “Qu’estce que l’observateur connaît ?” Quelle est cette connaissance qu’il a du système ? Si c’est quelque
chose à propos du système, nous revoilà revenus à l’interprétation littérale. Si, au contraire, c’est
quelque chose qui permet de prédire le résultat d’une expérience future, alors nous revoilà revenus
à l’interprétation minimale.
8.10.3 Interprétation ensembliste
Certains scientifiques, comme Einstein, ont refusé d’admettre que le vecteur d’état représente
l’état d’un système individuel. Pour eux, le vecteur d’état ne peut être appliqué qu’à un grand
ensemble de systèmes, tous initialement préparés de la même façon. Cette collection de système
s’appelle un ensemble (comme en mécanique statistique). Les probabilités comme |h| i|2 se réfèrent alors à une fraction de systèmes dans l’ensemble initial pour lesquels l’expérience a donné
le résultat Les systèmes, dans l’ensemble, qui ont donné le résultat constituent un ensemble
par eux-mêmes et sont donc décrit par un vecteur d’état | i différent de |i. Le processus de
projection (réduction du paquet d’ondes) n’est pas un saut dans l’évolution de l’ensemble telle que
donnée par l’équation de Schrödinger, mais représente plutôt le fait que notre attention est alors
retenue par un ensemble différent de l’ensemble initial.
Cette interprétation est en quelque sorte une façon de comprendre toute théorie statistique. Son
problème est que le concept d’ensemble est vague. Ce que l’on entend par un grand nombre de
systèmes n’est pas clair. Si l’on considère un ensemble infini et que toute collection finie de systèmes
n’est qu’un échantillon de cet ensemble infini, alors notre ensemble n’a aucune réalité empirique.
C’est un concept théorique associé à un système en particulier de la même façon que le vecteur
d’état est associé à un système dans l’interprétation littérale.
La notion d’ensemble ne nous permet pas de résoudre le problème de la réduction du paquet
d’ondes. En effet, si l’on peut distinguer expérimentalement des sous-ensembles dans l’ensemble
initial, c’est qu’il s’agit d’un mélange statistique d’états. Un ensemble qui est décrit par un seul
vecteur d’état est homogène en ce sens qu’il n’y a pas de distinction entre ses membres. Dans
le courant d’une expérience, un ensemble homogène devient un mélange statistique. Cela représente un changement objectif dans l’ensemble initial, changement qui ne peut être expliqué par un
changement d’attention de la part de l’observateur.
8.10.4 Interprétation en termes de variables cachées
L’hypothèse comme quoi le comportement d’un système quantique est gouverné par des variable
cachées constitue en fait une nouvelle théorie dont le but est d’expliquer la mécanique quantique
et qui peut, en principe, donner lieu à des résultats expérimentaux différents. Cette hypothèse
devient une interprétation si on ajoute que la différence dans le résultat des expériences n’est pas
mesurable en principe (mais alors pourquoi se compliquer la vie avec les variables cachées ?). Bohm
et de Broglie ont proposé une interprétation en terme de variables cachées. Le but de l’introduction
des variables cachées est bien sûr d’éliminer l’élément d’indéterminisme de la mécanique quantique.
286
Chap.8. État quantique, mesure, et interférences
La propriété principale des théories à variables cachées est que toutes les observables d’un système
ont des valeurs bien précises qui s’expriment en termes de ces variables cachées.
Il est impossible de rejeter complètement toute interprétation en termes de variables cachées. Ce
que l’on peut dire, suite aux travaux de Bell, c’est que si elles existent, alors elle doivent être non
locales.
§8.11 Questions et problèmes
287
8.11 Questions et problèmes
1. Un analyseur XY (cristal de calcite) est placé dans différents faisceaux de photons monochromatiques. L’orientation de l’analyseur peut être changée (on utilise le faisceau comme axe de
rotation).
(a) Pour le faisceau A, il y a une orientation de l’analyseur pour laquelle l’intensité transmise
dans le canal Y est 0 alors que l’intensité transmise dans le canal X est nulle. Quelle est
alors la relation donnant l’intensité dans chaque canal en fonction de l’angle de rotation
de l’analyseur ?
(b) Pour le faisceau B, l’intensité transmise dans les deux canaux est la même, peu importe
l’orientation de l’analyseur. Quelle est alors le polarisation des photons dans le faisceau
incident ?
(c) Pour le faisceau C, l’intensité transmise dans les canaux X et Y varie en fonction de
l’orientation de l’analyseur, mais il n’y a pas d’orientation pour laquelle l’intensité dans
un des faisceau serait nulle. Quelle est votre conclusion sur la nature du faisceau incident ?
2. Le champ électrique d’un onde polarisée linéairement suivant et se propageant dans la
direction + est donné par
E ( ) = e 0 cos ( − + )
(8.61)
avec = Selon la théorie classique, l’intensité de toute onde plane est proportionnelle à
2 , le valeur moyenne (dans le temps) du carré de l’amplitude du champ électrique.
(a) Montrez que pour cette onde plane, la valeur instantanée de 2 ( ) dépend de mais
2 2
que la valeur moyenne 2 est indépendante de Vérifiez que 2 = 0
(b) Le champ électrique d’une onde peut être écrit en terme de ses composantes 0 et
0 selon les directions 0 et 0 . Écrivez l’onde plane donnée ci-dessus en termes de ses
composantes suivants 0 et 0 . Calculez ensuite les valeurs moyennes 20 et 20 et vérifiez
2 2
que 20 + 20 = 0
(c) Les résultats obtenus en (a) et (b) sont des cas particuliers d’une règle plus générale.
En fait, l’onde plane monochromatique la plus générale que nous puissions écrire, pour
une propagation suivant est
E ( ) = e 0 cos ( − + ) + e 0 cos ( − + )
(8.62)
où les amplitudes 0 0 sont positives ou nulles. Pour
¡ 2 cette 2onde
¢ générale, montrez
+ 0 2 Ainsi, l’intensité
que (i) 2 ( ) = 2 ( ) + 2 ( ) et (b) 2 = 0
de l’onde ne dépend que de la somme du carré du module du champ électrique selon
deux axes perpendiculaires. L’intensité ne dépend pas de la phase relative des deux
composantes ni de la grandeur relative de ces deux composantes.
3. Un faisceau de photons polarisé selon est incident sur deux polariseurs (idéaux) placés en
séquences, comme le montre la fig. (8.6). Le premier polariseur à son axe de transmission
orienté d’un angle 1 par rapport à l’axe et le second, d’une axe 2
(a) Quelle est la probabilité de transmission à travers le premier polariseur pour (i) 1 = 0 ? ;
(ii) 2 = 2 ?
288
Chap.8. État quantique, mesure, et interférences
(b) Quelle est la probabilité de transmission nette à travers le système des deux polariseurs :
(i) pour 1 = 0 et 2 6= 0 ? ; (ii) pour 1 = 2 ? ; (iii) pour 1 = 2 2 ?
(c) Trouvez une expression pour la probabilité de transmission nette à travers le système en
fonction de 1 et pour une valeur fixe de 2 . Pour quelle valeur de 1 cette probabilité
est-elle maximale ?
ey
FIGURE 8.6. Deux polariseurs en séquence.
4. Considérez un système de N polariseurs (idéaux) placés en séquence, comme dans le problème
précédent. L’axe de transmission du premier polariseur fait un angle avec l’axe . L’axe
de transmission de chaque autre polariseur fait un angle avec le polariseur précédent.
Ainsi, l’axe de transmission du dernier polariseur fait un angle avec l’axe . Un faisceau de
photons polarisés suivant est incident sur ce système.
(a) Quelle est l’état de polarisation des photons qui émergent du dernier polariseur ?
(b) Quelle est la probabilité qu’un photon incident soit transmis à travers le système ?
(c) Pour un angle donné, trouvez la probabilité de transmission dans la limite où est
très grand (on suppose toujours que les polariseurs sont idéaux).
(d) Supposez que l’angle = 90◦ . Est-ce que le résultat de (c) est en contradiction avec le fait
qu’une polarisation suivant est orthogonale à une polarisation suivant ? Comment
pouvez-vous comprendre (en termes de photons) que l’intensité transmise ne soit pas
nulle ?
5. La précision relative d’une expérience de comptage de photons augmente avec le nombre de
photons enregistrés au détecteur. Un expérimentateur désire vérifier la loi de Malus en plaçant
deux polariseurs en séquence (comme décrit dans le chapitre). Avec un faisceau d’intensité
faible, il détecte les photons un à un. Pour une source d’intensité donnée, combien de temps
devra-t-il attendre pour une orientation de = 75◦ (par rapport au temps d’attente à = 15◦ )
pour obtenir le même pourcentage de précision dans les deux cas ?
6. Dans une expérience avec une faisceau de faible intensité, de la lumière de polarisation circulaire droite entre dans un analyseur XY. Le photomètre détecte 54 photons dans le canal X
et 46 dans le canal Y. Il conclut que le faisceau incident ne peut être polarisé circulairement
droit puisqu’un tel faisceau devrait donner le même nombre de photons dans chaque canal.
§8.11 Questions et problèmes
289
(a) Donnez un argument simple, mais si possible quantitatif, pour démontrer que le résultat
expérimental n’est pas en contradiction avec un faisceau de polarisation circulaire droite.
(b) Quelle expérience pourriez-vous proposer, impliquant un faisceau de 100 électrons, et
qui serait plus convaincante pour démontrer que le faisceau est polarisé circulairement
droit. Quel serait le résultat de votre expérience ? Est-ce que cette expérience pourrait
démontrer, hors de tout doute, que le faisceau initial est bien de polarisation circulaire
droite ?
7. Un expérimentateur veut obtenir un faisceau de polarisation circulaire gauche à partir d’un
faisceau de polarisation circulaire droite.
(a) Si un analyseur GD est inséré dans le faisceau, quelle fraction des photons de polarisation
D sortiront du canal gauche ?
(b) Si un polariseur linéaire est inséré dans le faisceau de polarisation D et qu’ensuite le
faisceau transmis est passé à travers un analyseur GD, quelle fractions des photons
incident, en moyenne, émergeront du canal gauche de l’analyseur ?
8. Un faisceau de photons de polarisation circulaire gauche est incident sur un système de trois
boucles de polarisation placées en séquence : d’abord la boucle XY, ensuite la boucle GD et
finalement la boucle X’Y’. Le faisceau recombiné sortant de la dernière boucle est enregistré
par un détecteur.
(a) Quelle fraction du faisceau incident est reçue par le détecteur ?
(b) Quelle est l’état de polarisation des photons entrant dans le détecteur ?
(c) Peut-on bloquer un canal quelconque, dans l’une des boucles, sans changer en aucune
façon l’intensité des photons détectés ?
9. Un faisceau de photons de polarisation linéaire passe à travers une boucle de polarisation
GD. Le faisceau sortant de la boucle est ensuite passé à travers un polariseur linéaire dont
l’axe de transmission est orienté suivant l’axe On cherche à savoir la fraction de la lumière
incidente qui passe à travers le polariseur final dans différents cas. Répondez d’abord sans faire
de calcul, puis ensuite en écrivant les amplitudes de projection et en calculant la probabilité
de transmission résultante.
(a) Le canal D est bloqué.
(b) Le canal G est bloqué.
(c) Les deux canaux sont ouverts (dans la boucle).
10. Supposez que l’on sache que les photons dans un faisceau sont soit dans un état de polarisation linéaire, soit dans un état de polarisation circulaire. Appelons cet état inconnu, l’état
quantique Que peut-on savoir au juste sur cet état en faisant seulement deux mesures de
la probabilité de projection ? Par exemple, supposez que l’on ait déterminé les probabilités
|h | i|2 et |h | i|2 Si l’une de ces probabilités est nulle, les photons doivent être dans
l’autre état (dans ce cas, pouvez-vous prédire la valeur de l’autre probabilité de projection ?).
D’autre part, si ces deux probabilités de projection ne sont pas égales, alors (puisque les
photons sont de polarisation linéaire ou circulaire) le faisceau doit être polarisé linéairement
à un angle autre que zéro ou 90◦ par rapport à l’axe (Peut-on déterminer l’angle plus précisément que cela ?) Finalement, si les probabilités de projection sont égales, alors le faisceau
est soit linéairement polarisé à 45◦ ou circulairement polarisé. S’il est polarisé circulairement,
cependant, nous ne pouvons pas dire s’il s’agit de polarisation droite ou gauche. Faites ce
genre d’analyse sur les paires de probabilités de projection suivantes.
290
Chap.8. État quantique, mesure, et interférences
(a) |h | i|2 et |h | i|2 ;
(b) |h0 | i|2 et |h | i|2 ;
(c) |h | i|2 et |h | i|2
11. Écrivez l’amplitude de projection totale correspondant au processus de mesure suivant : des
photons initialement dans l’état |i passent à travers un projecteur Y, puis un projecteur D
0
◦
et finalement à travers un projecteur Y’
√ (l’axe fait un angle de 30 avec l’axe ) avant d’être
2
détectés. Sachant que |h | i| = 1 5 quelle est la probabilité de projection ? Considérez
maintenant une seconde expérience dans laquelle des photons initialement polarisés suivant
0 (angle de 30◦ par rapport à ) passent à travers un projecteur D, puis un projecteur Y et
finalement un projecteur Reliez l’amplitude de projection totale ainsi que la probabilité
de projection pour cette seconde expérience à celles calculées précédemment. Comment les
amplitudes et probabilité de projection sont-elles modifiées pour cette deux expériences si on
remplace le projecteur D par une boucle de polarisation GD ?
12. Considérez le vecteur d’état suivant
|i =
(1 + )
(1 − )
|i +
|i
2
2
(8.63)
(a) Est-ce que cet état est polarisé circulairement ? Si oui, est-ce un polarisation circulaire
droite ou gauche ?
(b) Est-ce que cet état est polarisé linéairement ? Si oui, trouvez l’orientation de cette polarisation.
(c) Répondez aux mêmes deux questions pour les états suivants. Remarquez qu’au moins
un de ces états représente une polarisation elliptique. Dans ce cas, vous devez seulement
démontrer que la polarisation n’est ni linéaire, ni circulaire.
|i =
+2
−2
√ |i + √ |i
2
2
(8.64)
(1 − )
1
|i + √ |i
2
2
(8.65)
(d)
|i =
13. Le photons d’un faisceau sont décrits par le vecteur d’état
|i =
4
3
|i + |i
5
5
(8.66)
Si le faisceau transmet photons par seconde dans cet état, répondez aux questions suivantes.
(a) Quelle fraction des photons du faisceau vont passer, en moyenne, à travers un projecteur
Y?
(b) Quelle fraction des photons du faisceau, en moyenne, vont passer à travers un projecteur
X’ ? L’axe 0 fait un angle avec l’axe
14. Rappelez la définition de la réalité physique donnée par Einstein, Podolski et Rosen dans
leur célèbre article. Cette réalité est-elle celle décrite par la mécanique quantique ? Si non,
expliquez quelle est la différence importante entre les deux points de vue.
§8.11 Questions et problèmes
291
15. Selon l’interprétation de Copenhague de la mécanique quantique, peut-on parler d’une réalité
objective qui est indépendante de nos sens physiques ? Si non, qu’est-ce qui tient lieu de réalité
ultime pour les tenants de cette interprétation ?
16. Lorsqu’on joue aux dés, on ne peut pas prédire avec certitude la combinaison de chiffres que
l’on va obtenir. On dit que le processus est aléatoire. Voyez-vous une différence fondamentale
entre cet indéterminisme et celui de la mécanique quantique ? Commentez.
17. Puisque la fonction d’onde décrivant le comportement d’une particule satisfait une équation
différentielle, son évolution dans le temps est parfaitement prévisible. Où est donc passé le
fameux indéterminisme de la mécanique quantique ?
292
Chap.8. État quantique, mesure, et interférences
CHAPITRE 9
Brève révision des phénomènes ondulatoires
9.1 Quelques définitions
9.1.1 Onde
Perturbation de l’état d’une substance (par ex. de la densité), ou d’un champ qui se propage
dans cette substance ou ce champ. C’est la perturbation qui se déplace et non la substance ou
le champ ! Par exemple, dans une onde élastique (perturbation mécanique se propageant dans un
milieu élastique), des particules peuvent osciller autour d’une position centrale, mais le mouvement
moyen des particules (sur un cycle d’oscillation) est nul. Notez que, bien qu’il n’y ait pas transport de matière1 , il y a transport d’énergie et de quantité de mouvement par la perturbation. La
propagation de l’onde consiste en l’excitation d’oscillations de particules du milieu de plus en plus
éloignées de la source des ondes.
— Onde longitudinale : les oscillations ont lieu dans le sens de propagation de l’onde.
— Onde transversale : les oscillations ont lieu dans des plans perpendiculaires au sens de propagation des ondes. Les ondes transversales peuvent avoir différentes polarisations. Par exemple,
elles peuvent être
(a) linéaires : si les oscillations se font dans une direction donnée et fixe dans le temps,
(b) circulaires : si la direction des oscillations tourne autour d’une axe lors de la propagation.
9.1.2 Équation d’onde
L’onde élastique longitudinale est caractérisée par un potentiel scalaire (r ) qui vérifie l’équation différentielle (équation de l’onde)
∇2 (r ) =
1 Il
1 2
(r )
2 2
faut que la perturbation reste suffisamment faible pour que le phénomène soit linéaire.
(9.1)
294
Chap.9. Brève révision des phénomènes ondulatoires
où est la vitesse de l’onde. L’onde élastique transverse, elle, est caractérisée par un potentiel
vecteur A(r ) Elle vérifie l’équation différentielle
∇2 A(r ) =
1 2
A(r )
2 2
(9.2)
où est la vitesse de l’onde. L’onde acoustique est un exemple d’onde longitudinale. Dans ce cas, le
déplacement des particules est donné par un vecteur S(r ) = ∇(r ) L’onde électromagnétique
est un exemple d’onde transversale2 . Dans ce cas, le champ magnétique est relié au potentiel vecteur
par la relation B(r ) = ∇ × A(r ) et la vitesse de propagation est la vitesse de la lumière, .
Pour l’onde électromagnétique, on peut aussi écrire l’équation d’onde sous la forme
∇2 E(r ) =
1 2
E(r )
2 2
(9.3)
où E est le vecteur champ électrique.
9.1.3 Onde plane
L’onde est dite plane si la grandeur caractérisant le mouvement ondulatoire ( ou A par
exemple) ne dépend que du temps et de l’une des coordonnées cartésiennes spatiales. L’équation
de l’onde plane longitudinale est alors
2
1 2
(
)
=
( )
2
2 2
(9.4)
Sa solution générale est la somme d’une onde se propageant vers la droite et d’une onde se propageant vers la gauche (on parle dans ce cas d’ondes progressives par opposition aux ondes stationnaires) i.e.
( ) = 1 ( − ) + 2 ( + )
où 1 et 2 sont des fonctions arbitraires.
9.1.4 Onde sphérique
L’onde est dite sphérique si la grandeur caractérisant le mouvement ondulatoire n’est fonction
que du temps et de la distance, , à un certain point dans l’espace, appelé centre d’onde. Les ondes
sphériques sont excitées dans un milieu homogène et isotrope par une source d’ondes ponctuelle
dont les dimensions sont petites devant la distance aux points considérés du milieu. Pour une
onde longitudinale, l’équation d’onde devient (en coordonnées sphériques. Attention, ici n’est
pas l’angle azimuthal mais la grandeur caractérisant l’onde) :
1 2 ( )
1 2
((
))
=
2
2 2
(9.5)
et sa solution générale est
1
1
(9.6)
( ) = 1 ( − ) + 2 ( + )
où 1 ( − ) représente une onde sphérique s’éloignant de la source (onde divergente), et 2 ( + )
une onde sphérique s’approchant de la source (onde convergente).
2 Pour
l’onde électromagnétique, il n’y a pas de milieu élastique dans lequel se propagerait l’onde.
§9.1 Quelques définitions
295
9.1.5 Principe de superposition
L’équation de l’onde est linéaire de sorte que si 1 et 2 sont deux solutions de cette équation,
alors 1 + 2 est aussi une solution. Chaque onde se propage dans le milieu indépendamment des
autres, c’est-à-dire comme si les autres n’existaient pas. Notez que ce principe n’est vrai que pour
des milieux linéaires.
9.1.6 Onde harmonique
L’onde sinusoïdale (ou harmonique) représente une perturbation ayant une seule fréquence.
L’onde harmonique plane (se déplaçant vers la droite) est décrite par
(r ) = 0 sin(k · r+0 − )
(9.7)
où
— les fronts d’onde (lieux des points où la phase de l’onde est constante) sont donnés par une
série de plans parallèles et perpendiculaires au vecteur d’onde k,
— 0 est l’amplitude de l’onde,
— = 2 est la fréquence angulaire ou pulsation,
b est le vecteur d’onde,
— k = 2
n
— 0 est la phase initiale de l’onde.
— Il est plus commode d’utiliser la notation exponentielle pour décrire l’onde harmonique. On
écrira (pour l’onde se déplaçant vers la droite) :
(r ) = 0 (k·r+0 −)
(9.8)
Il faut se rappeler cependant qu’en physique classique, l’équation d’onde est réelle de sorte que
parties réelle et imaginaire sont complètement découplées. On utilise la notation exponentielle
par commodité seulement. Seule la partie réelle de l’expression exponentielle a un sens physique. On verra qu’il en va tout autrement pour l’équation d’onde décrivant l’onde de matière
de de Broglie.
9.1.7 Onde stationnaire
L’onde stationnaire résulte de l’interférence de deux ondes qui se propagent dans des directions
antiparallèles et qui ont même fréquence et même amplitude (ainsi que même polarisation pour
le cas des ondes transversales). Par exemple, si on combine deux ondes sinusoïdales planes se
propageant en sens contraire, on obtient
= 0 (k·r−) + 0 (k·r+)
= 20 (k·r) cos()
< [(r )] = 2 cos(k · r) cos()
(r )
(9.9)
Notez que l’amplitude de l’onde en chaque point ne dépend que de r et non du temps. L’onde
stationnaire ne transporte par d’énergie.
9.1.8 Dispersion
On parle de milieu dispersif lorsque la vitesse des ondes dans ce milieu dépend de leur longueur
d’onde.
296
Chap.9. Brève révision des phénomènes ondulatoires
9.1.9 Intensité
L’intensité d’une onde est la quantité d’énergie transportée par unité de temps à travers l’unité
d’aire d’une surface normale au sens de propagation de l’onde (on moyenne l’énergie sur un
cycle d’oscillation). Par exemple, dans le cas de l’onde sinusoïdale plane dans un milieu élastique,
(r ) = 0 sin(k · r − ), l’énergie cinétique est (ici, , est la vitesse d’oscillation des particules)
1
1
= 2 = 20 2 cos2 (k · r − )
2
2
(9.10)
alors que l’énergie potentielle est donnée par
1
1
= 2 2 = 20 2 sin2 (k · r − )
2
2
(9.11)
L’énergie totale est constante et vaut
1
= + = 20 2
2
(9.12)
Si désigne la densité du milieu élastique, alors la densité d’énergie (énergie par unité de volume)
est simplement = 20 2 2 et l’intensité de l’onde se propageant à la vitesse est
1
= 20 2
2
(9.13)
L’intensité de l’onde dépend donc du carré de son amplitude.
9.2 Interférence et diffraction
Il n’y a pas vraiment de différence essentielle entre les phénomènes de diffraction et d’interférence.
Habituellement, on parle d’interférence lorsque deux ondes venant de deux sources distinctes se
rencontrent et de diffraction pour l’interférence entre des ondes provenant d’une infinité de sources.
Par exemple, pour comprendre la diffraction d’un faisceau lumineux par un fente mince, on décompose la fente en une multitude de sources secondaires et on calcule l’interférence entre les ondes
provenant de toutes ces sources.
La notion de cohérence est importante lorsqu’on parle d’interférence. On dit que deux sources
sont cohérentes lorsque les ondes issues de ces deux sources ont une différence de phase qui ne
dépend pas du temps. Notez que si est la durée (moyenne) de l’émission d’un train d’onde par
une source lumineuse, alors est l’étendue moyenne du train d’onde dans l’espace. Pour observer
les phénomènes d’interférence, il faut que la différence de parcours en cause soit plus petite que
autrement nous aurions affaire à deux trains d’onde différents donc incohérents.
§9.2 Interférence et diffraction
297
Source
Les ondes diffractées proviennent du même front d’onde initial et sont donc cohérentes.
.
9.2.1 Interférence produite par deux sources cohérentes
Nous considérons une source d’ondes S. Les ondes sont incidentes sur un écran opaque dans
lequel on a percé deux minces fentes S1 et S2 . Les ondes issues de ces deux fentes proviennent du
même front d’onde de la source S et sont donc en phase. On considère l’interférence entre les ondes
provenant des deux fentes sur un écran P très éloigné d’elles. La largeur des fentes est supposée
infiniment petite et donc n’intervient pas dans le calcul. Soit
— la distance entre les fentes,
— la distance entres fentes et écran,
— la longueur d’onde de la source S,
— 0 l’amplitude des ondes provenant de S1 ou S2 sur l’écran,
— la position d’un point P sur l’écran (se référer à la démonstration faite dans votre cours
d’ondes),
un calcul simple nous donne que l’intensité de l’onde au point P est donnée par la formule
¶
µ
2
2
(9.14)
∝ 40 cos
qui est représentée sur la fig. (9.1).
On remarque sur l’écran des franges alternativement sombres et claires. Les maxima d’intensité
se produisent à = () où = 0 ±1 ±2 et les zéros d’intensité à = ( + 12) ()
Notez que la distance entre deux maxima successifs est donnée par ∆ =
Notez bien que le phénomène d’interférence est important si la longueur
d’onde de la source &
9.2.2 Diffraction par une mince fente rectangulaire
On considère maintenant que les ondes issues de la source S sont incidentes sur un écran opaque
percée d’une seule fente de largeur Les ondes sont diffractées par la fente et on observe le patron
298
Chap.9. Brève révision des phénomènes ondulatoires
4
3
2
1
0
-4
-2
0
x
2
4
FIGURE 9.1. Patron d’interférence produit par deux sources ponctuelles (0 = 1 = 1)
de diffraction produit sur un écran P situé loin de la fente (diffraction de Fraunhofer). Le patron de
diffraction peut être calculé en remplaçant la fente par une série de sources secondaires cohérentes
(principe de Huygens, ce calcul est fait dans le cours d’ondes).
L’intensité sur l’écran P est donnée cette fois-ci par la formule
"
¡
¢#
2
2 2 sin
∝ 0
(9.15)
¡ ¢2
qui est représentée sur la fig. (9.2). Les minima de diffraction ont lieu lorsque = où =
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-4
-2
0
x
2
4
FIGURE 9.2. Diffraction par une fente mince. (0 = 1 = 13)
0 ±1 ±2 L’intensité des maxima diminue comme 12 (contrairement au patron d’interférence
où tous les maxima sont d’égale intensité). La largeur du maximum central ( = 0) est
2
On utilise plus fréquemment l’ouverture angulaire du maximum central
∆ =
sin(∆) ≈
2
∆
=
(9.16)
(9.17)
§9.2 Interférence et diffraction
299
On voit encore une fois que les effets ondulatoires sont importants lorsque & Dans le cas
opposé, on est dans le domaine de l’optique géométrique où la lumière se propage en ligne droite.
9.2.3 Diffraction par deux fentes minces
Nous reprenons maintenant le phénomène d’interférence entre deux fentes minces mais considérons que les fentes ont une certaine largeur et qu’elles sont séparées par une distance (Voir
schéma.)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-6
-4
-2
0
x
2
4
6
FIGURE 9.3. Diffraction par deux fentes minces ( = 3).
Le calcul donne dans ce cas
∝ 420 2 cos2
µ
¶"
¡
¢#
sin2
¡ ¢2
(9.18)
soit un patron d’interférence modulé par le processus de diffraction. Cette formule est représentée
sur la fig. (9.3) où on a pris = 3 Les maxima d’interférence sont à = mais comme leur
amplitude est modulée par le patron de diffraction, certains de ces maxima seront masqués par les
zéros de diffraction qui se produisent à = Sur la fig. (9.3), par exemple, le maximum
d’interférence correspondant à = 3 est annulé par le premier zéro de diffraction ( = 1).
