mécanique quantique i

MÉCANIQUE QUANTIQUE I
NOTES DE COURS
(PHQ-330)
par
René Côté
Professeur titulaire
Département de physique
Université de Sherbrooke
Faculté des Sciences
Sherbrooke, août 2012

ii

Table des matières
1 Origines de la physique moderne 1
1.1 Lesdébutsdelaphysiquemoderne........................... 1
1.1.1 Lequantumdechargeélectrique ........................ 1
1.1.2 Lesrayonscathodiques ............................. 2
1.1.3 Ladécouvertedel’électron ........................... 3
1.1.4 L’expériencedeMillikan............................. 3
1.1.5 LesrayonsX ................................... 4
1.1.6 Ladécouvertedelaradioactivité ........................ 5
1.1.7 Rayonnements   et ............................. 6
1.1.8 Modèle nucléaire de l’atome et spectres atomiques . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Naissancedelamécaniquequantique.......................... 6
1.2.1 Unethéorierévolutionnaire ........................... 7
1.2.2 Denouvellesapplicationstechnologiques.................... 8
1.3 Quelques repères historiques1.............................. 9
2 Comportement corpusculaire de la radiation électromagnétique 15
2.1 Radiationducorpsnoir ................................. 15
2.2 Effetphotoélectrique................................... 26
2.3 EffetCompton ...................................... 32
2.4 Radiationdefreinage(Bremsstrahlung) ........................ 39
2.5 Créationetannihilationdepaires............................ 43
2.6 Expériences modernes de mise en évidence du photon comme corpuscule . . . . . . 44
2.7 Questionsetproblèmes.................................. 44
2.7.1 Lecorpsnoiretl’hypothèsedePlanck..................... 44
2.7.2 L’effetphotoélectrique.............................. 46
2.7.3 L’effetCompton ................................. 47
2.7.4 ProductionderayonsX ............................. 48
1D’aprèsJ.L.Basdevant,Mécaniquequantique,tomeII.

iv Table des matières
2.7.5 Créationetannihilationdepaires........................ 48
3 Comportement ondulatoire de la matière et quantification de l’énergie des sy-
tèmes physiques 51
3.1 OndesdematièredeLouisdeBroglie ......................... 51
3.2 ExpériencesdeDavisson-GermeretdeG.P.Thomson ................ 53
3.3 Spectresatomiques.................................... 60
3.4 ExpériencedeFrancketHertz ............................. 62
3.5 ModèleatomiquedeJ.J.Thomson ........................... 65
3.6 Expériences de diffractiondeRutherford........................ 66
3.7 ModèleatomiquedeBohr ................................ 69
3.8 Règles de quantificationdeWilsonetSommerfeld................... 74
3.9 PrincipedecorrespondancedeBohretlimiteclassique................ 77
3.10Protonetneutron .................................... 80
3.11Lavieillethéoriequantique ............................... 82
3.12Questionsetproblèmes.................................. 84
3.12.1 Lesondesdematière............................... 84
3.12.2 L’expériencedeDavissonetGermer ...................... 86
3.12.3 Lesspectresatomiques.............................. 87
3.12.4 L’expériencedeFrancketHertz ........................ 87
3.12.5 LemodèledeBohr................................ 87
3.12.6 Les règles de quantificationdeWilson-Sommerfeld .............. 89
3.12.7 LeprincipedecorrespondancedeBohr .................... 90
4 Concepts fondamentaux de la mécanique quantique 91
4.1 Introduction........................................ 91
4.2 Dualitéonde-corpusculeetprincipedecomplémentarité ............... 92
4.3 La fonction d’onde (r)etsoninterprétation .................... 95
4.3.1 Vitesse de phase et vitesse de groupe de l’onde matérielle . . . . . . . . . . 95
4.3.2 Représentation de la particule par un paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . . 100
4.4 Exemplesdepaquetsd’ondes .............................. 103
4.4.1 Ondeplanetronquée............................... 103
4.4.2 Paquetd’ondesgaussien............................. 105
4.5 Étalementd’unpaquetd’ondesdansletemps..................... 106
4.6 Interprétation probabiliste de la fonction d’onde ( )............... 109
4.7 Définition de la densité de probabilité ¯¯()¯¯2..................... 111
4.8 Le concept d’état quantique et la phase de la fonction d’onde . . . . . . . . . . . . 114
4.9 Lafréquencedel’onde.................................. 115
4.10Principed’indéterminationd’Heisenberg........................ 116
4.11 Applications du principe d’indéterminationd’Heisenberg............... 120
4.11.1 Contraintes imposées par la relation d’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.11.2 Explication de l’élargissement du paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.11.3 Ondeplane .................................... 122
4.11.4 Stabilitédesatomes ............................... 122
4.11.5 Mesure de la position d’une particule par un diaphragme . . . . . . . . . . 123
4.11.6 LemicroscopedeBohr-Heisenberg ....................... 123

Table des matières v
4.11.7 Tentative de déterminer par quelle fente passe l’électron dans l’expérience de
Young....................................... 126
4.11.8 Tempsdevied’unétatexcité.......................... 128
4.11.9 Particulelibre................................... 128
4.11.10Largeurdebande................................. 128
4.11.11Énergiedupointzérod’unoscillateurharmonique .............. 129
4.12 Expériences et considérations modernes sur les principes d’indétermination et de
complémentarité ..................................... 129
4.13Questionsetproblèmes.................................. 130
4.13.1 L’expériencedesfentesdeYoung........................ 130
4.13.2 LeprincipedecomplémentaritédeBohr.................... 130
4.13.3 Lafonctiond’ondeetsoninterprétation .................... 130
4.13.4 Lespaquetsd’ondes ............................... 132
4.13.5 Leprinciped’indéterminationd’Heisenberg .................. 133
5 Formalisme mathématique de la mécanique quantique 137
5.1 EquationdeSchrödingerdépendantedutemps .................... 137
5.2 Conservationdelanormeetcourantdeprobabilité.................. 140
5.3 EquationdeSchrödingerindépendantedutemps ................... 142
5.4 Un cas simple : le puits de potentiel infini ....................... 144
5.5 Calculdesvaleursmoyennes............................... 148
5.6 OpérateursXetP .................................... 149
5.7 Opérateurslinéairesetcommutateur.......................... 151
5.8 Opérateurshermitiques ................................. 151
5.9 Opérateuradjointouconjuguéhermitique....................... 152
5.10 Expression formelle du principe d’indétermination d’Heisenberg . . . . . . . . . . . 153
5.11 Hamiltonien ....................................... 156
5.12Evolutiond’unevaleurmoyennedansletemps .................... 157
5.13Lethéorèmed’Ehrenfestetlalimiteclassique..................... 158
5.14Postulatsdelamécaniquequantique.......................... 161
5.14.1 PostulatI..................................... 161
5.14.2 PostulatII .................................... 162
5.14.3 PostulatIII.................................... 162
5.14.4 PostulatIV.................................... 163
5.14.5 PostulatV .................................... 165
5.14.6 PostulatVI.................................... 165
5.15 Application : superposition linéaire d’états du puits infini .............. 166
5.16 La relation d’indétermination ∆∆≥}2...................... 169
5.17Lessautsquantiques................................... 172
5.18Superpositionlinéaireetmélangestatistique...................... 173
5.19Questionsetproblèmes.................................. 175
5.19.1 L’équationdeSchrödinger............................ 175
5.19.2 Calculdevaleursmoyennes ........................... 175
5.19.3 Courantdeprobabilité.............................. 177
5.19.4 Lesopérateurs .................................. 177
5.19.5 Théorèmed’Ehrenfest .............................. 180
5.19.6 Postulatsdelamécaniquequantique...................... 181