formation des images dans l`approximation de gauss

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CHAPITRE 8 : FORMATION DES IMAGES DANS
L’APPROXIMATION DE GAUSS
I. INTRODUCTION
A l’aide des lois décrivant le comportement de la lumière dans l’approximation de l’optique
géométrique, nous allons maintenant nous intéresser au comportement d’ensemble des rayons
lumineux. Notre but est d’étudier la convergence des rayons lumineux issus d’une source lumineuse
1, i.e. la formation des images. Nous étudierons les images formées par des miroirs et des lentilles
minces avec pour objectif de traiter dans le chapitre suivant leurs nombreuses applications aux
instruments d’optiques.
II. IMAGES EN OPTIQUE GEOMETRIQUE
1) Stigmatisme d’un système optique
Un instrument d’optique est composé d’un système optique provoquant la convergence des rayons
lumineux (miroir, lentille ou ensemble de miroirs et de lentilles) et d’un détecteur qui peut être un
écran, un œil, une plaque photographique, une caméra CCD …
Lorsque l’ensemble des rayons lumineux émis par un point objet A converge en un point A
′
du
détecteur, A′ est appelé image de A, on dit aussi que l’instrument est stigmatique 2 pour le couple
de points AA
′ (figure 8.1.a.). En vertu du principe de retour inverse, le système optique donnera
d’un point objet placé en A′ une image en A. Pour cette raison, les deux points sont dits conjugués
l’un de l’autre. Une relation de conjugaison permet de trouver l’un en connaissant l’autre.
Le stigmatisme d’un système optique est dit rigoureux si l’image d’un objet ponctuel est un point.
En pratique, l’image est toujours dégradée par rapport à l’objet, le stigmatisme d’un système
optique n’est donc pas rigoureux. Mais le caractère granulaire du récepteur nous permettra tout de
même de considérer le système optique comme stigmatique : si l’image d’un objet ponctuel a une
dimension inférieure au « grain » du récepteur (cônes et bâtonnets de la rétine, cristal photosensible
de la pellicule photographique, pixel de la caméra CCD …), tout se passera comme si l’image était
ponctuelle.
Remarque :
D’après le principe de moindre temps, tous les rayons issus du point objet doivent voyager de A à
A′ en une même durée minimale.
2) Image réelle, image virtuelle
Les définitions données dans le paragraphe précédents sont valables pour un système optique à la
sortie duquel les rayons issus d’un objet ponctuel convergent : une telle image est dite réelle.
Nous pouvons les généraliser au cas où les rayons sortants divergent : l’image virtuelle est alors le
point de convergence du prolongement arrière des rayons (figure 8.1.b.). Contrairement au cas
d’une image réelle, une telle image, en amont du système optique (ou dans le système optique), ne
peut pas être recueillie sur un écran.
1 cette source peut être primaire , i.e. émettre de la lumière (soleil, ampoule), ou secondaire , i.e. diffuser de la lumière
reçue d’une source primaire (objet éclairé).
2 du grec stigma : « pointe »

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Figure 8.1.a. : Image réelle Figure 8.1.b. : Image virtuelle
3) Exemple du miroir plan
Considérons un point objet placé à une distance AH d’un miroir plan (figure 8.2.). La situation
possédant une symétrie de révolution par rapport à l’axe (AH), nous restreindrons notre étude à un
plan contenant cet axe, la situation générale en trois dimensions s’en déduisant par rotation autour
de l’axe (AH). Cette symétrie impose donc à l’image de A de se trouver sur l’axe (AH).
Figure 8.2. : Miroir plan
Les lois de Descartes de la réflexion permettent de tracer un rayon quelconque réfléchi par le
miroir. Le triangle AIA′ est isocèle de base 2d : les prolongements de tous les rayons issus de A et
réfléchis par le miroir passent donc par le point A’ : A’ est le point conjugué de A (c’est une image
virtuelle) et le miroir plan est un système optique rigoureusement stigmatique.
La relation de conjugaison du miroir plan s’écrit :
0HA HA
′
+
=
(les distances algébriques sont positives lorsqu’elles sont mesurées dans le sens de propagation de
la lumière incidente).
Remarquons que la relation de conjugaison reste valable dans le cas d’un objet virtuel réalisable en
éclairant le miroir avec des rayons convergents (figure 8.3.). L’image A’ est alors réelle.
Figure 8.3. : Image réelle d’un objet virtuel
4) Cas des objets étendus, grandissement
Chacun des points d’un objet étendu (i.e. non ponctuel) émet de la lumière, l’image d’un objet
étendu s’obtient en construisant l’image de chaque point, ou lorsque cela est possible de certains
points particuliers.
A
A’
sy
stème o
p
ti
q
ue
A
A’
sy
stème o
p
ti
q
ue
-i
A
A’
i
I
H
-i
⊕
⊕
H
A
A’

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Exemple :
Dans le cas de l’image d’un objet rectiligne AB donnée par un miroir plan, le tracé de l’image
s’obtient comme en figure 8.4.
Figure 8.4. : Construction de l’image d’un objet étendu donnée par un miroir plan
On appelle grandissement du système optique et on note
γ
le rapport algébrique de la taille de
l’image sur la taille de l’objet :
AB
AB
γ
′
′
≡
Exemple :
Dans le cas du miroir plan, 1AB AB γ
′′
==+
, l’image est donc « droite » (i.e. non-renversée) et de
même taille que l’objet.
III. INTRODUCTION AUX ABERRATIONS : L’EXEMPLE DU DIOPTRE PLAN
1) Aberrations géométriques et stigmatisme approché
Nous savons depuis le lycée qu’un dioptre plan n’est pas un système optique stigmatique.
Considérons en effet un seau rempli d’eau dans le fond duquel est posé une bille: l’image (virtuelle)
de la bille est différente pour différents observateurs 3 (figure 8.5.) . Tous les rayons lumineux issus
de l’objets ne convergent donc pas en une image unique : c’est le phénomène d’aberrations
géométriques.
Figure 8.5. : Dioptre plan
Ceci est bien visible si l’on demande à un logiciel de tracer plusieurs images issues d’un objet
ponctuel plongé dans l’eau (figure 8.6.a.), en faisant varier l’angle d’incidence sur le dioptre de 0 à
40°. Si on fait varier l’angle d’incidence sur une plage plus faible, de 0 à 20°, la séparation entre les
différentes images s’amenuise (figure 8.6.b.). Enfin, lorsque la plage de variation de l’angle est 0° -
3 là encore, la symétrie de révolution du problème permet de connaître l’axe sur lequel se trouvent les images.
O
2
O
1
1
A
′
2
A
′
A
B
A
A’
B
’
I
H

PCSI CHAPITRE 8 : FORMATION DES IMAGES DANS L’APPROXIMATION DE GAUSS 4/16 Figure 8.6.a. : Dioptre air-eau, rayons issus d’un objet A
[
]
0, 40i∈° (échelle horizontale dilatée)
Figure 8.6.b. : Dioptre air-eau
[
]
0, 20i
∈
° (échelle horizontale dilatée)
Figure 8.6.c. : Dioptre air-eau
[
]
0,10i
∈
° (échelle horizontale dilatée)
Figure 8.6. : Aberrations géométriques et stigmatisme approché dans le cas du dioptre plan
A
eau
ai
r
eau
ai
r
A
eau
ai
r
A
A’
i

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verre
B
JR
nnn>>
A
R
A′
J
A′
B
A′
Rou
g
e
J
aune Bleu
air 1n
=
i
10°, la séparation entre les images n’est plus perceptible : le dioptre plan présente donc un
stigmatisme approché restreint aux petits angles (figure 8.6.c.).
Remarque :
Ce domaine de validité du stigmatisme du dioptre plan coïncide avec l’approximation géométrique
des petits angles, dans laquelle :
(
)
sin tan en radianiiii
2) Aberrations chromatiques
Nous avons vu au chapitre précédent que, dans un milieu dispersif, l’indice optique dépend de la
longueur d’onde. Dans le cas d’un dioptre plan dans son domaine de stigmatisme approché, et plus
généralement pour un système optique quelconque dans ces conditions, il y a donc une image par
longueur d’onde: c’est le phénomène d’aberrations chromatiques (figure 8.7.).
Figure 8.7. : Aberrations chromatiques dans le cas du dioptre plan
IV. MIROIRS SPHERIQUES DANS L’APPROXIMATION DE GAUSS
1) Miroirs
Un miroir est une surface à fort pouvoir réfléchissant, réfléchissant plus de 50% de l’énergie
lumineuse incidente. Il est réalisé en déposant par évaporation sous vide une fine couche métallique
(aluminium, argent ou or).
Un miroir sphérique est un miroir réalisé à partir d’une portion de sphère, le rayon algébrique
R
SC≡ de la sphère est appelé rayon de courbure du miroir (C est le centre de la sphère, et l’axe
est orienté dans le sens de propagation de la lumière incidente). Selon que le côté intérieur ou
extérieur de la sphère est recouvert d’une couche réfléchissante, le miroir sphérique est dit concave4
ou convexe (figures 8.8.).
Figure 8.8. : Miroirs sphériques
4 « cave » = creux
S
C
Miroir concave
(R<0)
S
C
Miroir convexe
(R>0)
⊕