Les polynômes formels à une indéterminée à coefficients dans un

Dans ce chapitre,
),,( K
désigne un corps (commutatif) quelconque.
I La construction
A) Etape 1
- Soit
K
P
l’ensemble des suites d’éléments de K, indexées pas N et nulles à partir
d’un certain rang.
C'est-à-dire que
K
P
est l’ensemble des
N
Ka
telles que
K
N0,,  k aNnN
- On peut définir deux lois + et de la manière suivante :
Pour tous
KNN PbQaP iiii   )(,)(
, on pose :
N
 iii baQP )(
et
N
 kk pQP )(
où
 k
iiki kji jik babapk 0
,N
Alors :
+ et constituent des lois de composition internes sur
K
P
, et
),,( 
K
P
est un
anneau commutatif.
- Déjà, + est bien une loi de composition interne sur
K
P
.
En effet, si
N
ii aP )(
et
KN PbQ ii  
)(
, alors il existe
Nn
tel que
K
0,  i ani
et
Nm
tel que
K
0,  i bmi
. Donc
K
0),,max(  ii bamni
.
Donc
QP 
est nulle à partir d’un certain rang, donc
K
PQP 
.
- Montrons que est une loi de composition interne sur
K
P
.
Soient
KNN PbQaP iiii   )(,)(
,
Nn
tel que
K
0,  i ani
et
Nm
tel que
K
0,  i bmi
. Notons enfin
N
 kk pQP )(
Alors
mnk 
,
K
0
k
p
. En effet :
Soit
mnk 
. Alors pour tout
2
),( Nji
:
Si
kji 
, alors
mi 
ou
nj 
(car sinon
nj 
et
mi 
, et alors
knmji 
)
Donc
K
0
i
a
ou
K
0
j
b
, soit
K
0
jiba
Donc
K
0 
 kji jik bap
.
Donc
K
PQP 
.
- + n’est autre que la restriction à
K
P
de la loi + sur
N
K
.
Donc + est associative et commutative.
De plus, la suite
NK k
)0(
est évidemment neutre pour + et appartient à
K
P
.
Et enfin, si
KN PaP ii  
)(
, alors
KN PaQ ii  
)(
et
NK 
 k QP )0(
.
- Pour :
est évidemment commutative (car est commutative sur le corps K)
Il existe un neutre pour , c’est
...)0,0,1( KKK U
En effet : notons
N
ii uU )(
avec
K
1
0u
et
K
0,1  i ui
.
Soit alors
KN PaP ii  
)(
.
Alors
N
kk pPU )(
, où
kkk
kji jik aauauap    K
1
0
Donc
PPU 
, et par commutativité
PUP 
, donc U est bien neutre pour .
Distributivité de sur + :
Soient
KNNN PcRbQaP iiiiii   )(,)(,)(
. Alors :
N
 kk pRQP )()(
, où, pour tout
Nk
:
Les polynômes formels à une indéterminée à coefficients dans un corps K.

kji ji kji ji kji jiji kji jjik cabacabacbap
KK dans de itécommutativ ité,associativ corps le dans vitédistributi
)(
Et
N
 kk qRPQP )(
, où, pour tout
Nk
:
kji ji kji jik cabaq
.
Donc
RPQPRQP  )(
Et
PRPQRPQPRQPPRQ  )()(
Associativité de :
Soient
KNNN PcRbQaP iiiiii   )(,)(,)(
.
Alors
N
 kk pQP )(
, où, pour tout
Nk
,
kji jik bap
.
Et
N
 ll qRQP )()(
, où, pour tout
Nl
,
lsk skl cpq
Donc
lsji sji lsk kji sji lsk s kji jil cbacbacbaq
K
K dans de itécommutativ et itéassociativ dans vitédistributi
Par ailleurs, on a de même
N
 ll rRQP )()(
, où, pour tout
Nl
:
lsji sjil cbar
.
D’où
RQPRQP  )()(
, et le résultat comme est commutative.
Donc
),,( 
K
P
est bien un anneau commutatif.
B) Etape 2 : plongement de K dans
K
P
.
Soit
ˆ
noté ,...)0,0,()(
:
KK
K
K P
.
Alors est un morphisme injectif d’anneaux :
)()(...)0,0,(...)0,0,(...)0,0,()(  KKKKKK
)()(...)0,0,...)(0,0,(...)0,0,()(  KKKKKK
Justification de la deuxième égalité :
NKKKK
NN
kk
ba
c
iiii
)(...)0,0,(...)0,0,(
)()( 
avec
kji jik bac
.
Donc
 00back
si
0k
et
K
0
k
c
sinon.
K
KKKK P
1,...)0,0,1()1( 
 Enfin, si
...)0,0,(...)0,0,( KKKK
, alors évidemment
Par conséquent,
)(K
est un sous anneau de
K
P
, isomorphe à l’anneau
),,( K
.
(On dit qu’« il y a une copie de K dans
K
P
») On va identifier cette copie à K,
c'est-à-dire identifier, pour chaque
K
, et
ˆ
.
Ainsi, pour
K ,
et
K
PQP ,
(avec
N
ii u)(
ˆ
,
N
ii aP )(
) :
NKK 
 kk cPPP )(,...)0,0,(
ˆ
où
k
kji jik aauc
Donc
N
 ii aaaaP )(,...),,( 210
PPP  )(
QPQP  )(
)()( PP

PPPP P K
KK 11
ˆ
1
Les éléments de K seront appelés des scalaires.
C) Etape 3 : introduction de l’indéterminée
Soit X l’élément de
K
P
défini par :
,...)0,0,1,0( KKKK X
C'est-à-dire
N
ii X)(
où
K
1
1
et
K
N0,1\  k k
Alors
N
N  i
k
i
kuXk )(, )(
où
K
1
)(  k
k
u
et
K
N0,\ )(  k
i
uki
Démonstration : par récurrence sur k.
Pour
0k
:
...)0,0,1(1
0KKK
K P
X
Soit
Nk
, supposons que
N
i
k
i
kuX )( )(
où
K
1
)(  k
k
u
et
K
N0,\ )(  k
i
uki
Alors
N
 ii kk cXXX )( 1
Où
0 si 0
0 si
,
0
)(
0
1
)( 1
)( iu
iu
uci k
k
i
i
k
i
N
Soit, pour
0i
,
 1 si 1
1 si 0
)( 1ki
ki
uc k
ii
Donc
N
 i k
i
kuX )( )1(1
Théorème fondamental :
Soit
K
PP
. Alors P s’écrit de manière unique sous la forme :
Nk
k
kXaP
où les
k
a
sont des scalaires, nuls à partir d’un certain rang.
Démonstration :
Soit
K
PP
.
 P s’écrit
N
kk aP )(
, suit d’éléments de K nulle à partir d’un certain rang,
disons à partir du rang
1n
.
On a aussi :
n
n
n
n
n
XaXaXa
aaa
aaa
aaaP
...
...)0,0,1,0,...0,0(......)0,0,1,0(...)0,0,1(
...)0,0,,0,...0,0(......)0,0,,0(...)0,0,(
...)0,0,,...,(
1
1
0
0
10
10
10
KKKKKKKKKKKKK
KKKKKKKKKK
KK
D’où l’existence de P sous la forme
Nk
k
kXa
où les
k
a
sont nuls à partir d’un
certain rang.
 Unicité de l’écriture :
Si
NN k
k
k
k
k
kXbXa
, où les
k
a
et les
k
b
sont nuls à partir d’un certain rang.
Alors
N
NN
N   kk
k
k
k
k
k
kkk bXbXaa )()(
.
Vocabulaire :
- Les éléments de
K
P
seront toujours notés sous la forme
Nk
k
kXa
, où les
k
a
sont des éléments de K nuls à partir d’un certain rang (on oublie la forme
Nkk
a)(
).
Ils sont appelés polynômes formels à une indéterminée à coefficients dans K.
- Le polynôme X est appelé l’indéterminée.
- L’ensemble
K
P
des polynômes à une indéterminée à coefficients dans K est
noté
][XK
.

D) Etape 4 : conclusion, récapitulation
 Tout
][XP K
s’écrit de manière unique sous la forme
Nk
k
kXaP
où les
k
a
sont des éléments de K nuls à partir d’un certain rang.
Ainsi,
kk
k
k
k
k
k
kbakXbXa   
,N
NN
),],[( XK
est un anneau, dont K est un sous anneau.
 Si
Ni
i
iXaP
, et
Ni
i
iXbQ
où les
i
a
sont nuls à partir du rang
1n
et les
i
b
à partir du rang
1m
, alors :
n
i
i
iXaP 0
,
m
i
i
iXbQ 0
 N
i
i
ii
N
i
i
i
i
i
m
i
i
i
n
i
i
iXbaXbXaXbXaQP 0000 )(
, où
),max( mnN 
mn
k
k
k
mn
kkji mjni
k
ji
mn
kkji mjni
ji
ji
mj ni
ji
ji
mj ni
j
j
i
i
m
i
i
i
n
i
i
i
XcXbaXba
XbaXbXaXbXaQP
00 ,0,,00 ,0,,0
,0
,0
,0
,000 ))((
Où
kji jik bac
II Degré
A) Définition
Soit
][XP K
,
Ni
i
iXaP
où les
i
a
sont des éléments de K nuls à partir d’un
certain rang.
 Si
][
0X PK
, c'est-à-dire
K
0P
ou
0P
. Alors
K
N0,  i ai
. On dit alors
que P est de degré
 Sinon,
][
0X PK
et donc il existe
Ni
tel que
K
0
i
a
. On peut alors
introduire
K
N0,max  i ain
(puisque l’ensemble est non vide, et majoré
car les
i
a
sont nuls à partir d’un certain rang). n est appelé le degré de P.
Ainsi :
Pour tout
][XP K
,
NPdeg
, et on a l’équivalence :
N
K PP Xdeg0 ][
Les polynômes de degré 0 sont exactement les
K
K0\
Les polynômes de degré 1 sont exactement les
baX 
avec
0a
Les polynômes de degré n sont exactement les
n
i
i
iXa
0
avec
0
n
a
.
Les polynômes de degré
n
sont exactement les
n
i
i
iXa
0
L’ensemble de ces derniers est noté
][X
n
K
; en particulier,
][
0XK
n’est autre que
K, ensemble des polynômes constants.
B) Propriétés

Soient
][, XQP K
et
K
. Alors :
))(*,(deg)deg(*,
sinon
0 si deg
)deg(
))(,,(degdeg)deg(
)deg,max(deg)deg(
nnPmPm
P
P
nnQPQP
QPQP
mNN
N
Démonstration :
- Cas
0 QP
évident.
- Si
0P
et
0Q
(ou
0P
et
0Q
), le résultat est immédiat aussi.
- Maintenant si
0P
et
0Q
:
Notons
Pp deg
et
Qq deg
.
 On pose
),max( qpn 
.
On a
n
i
i
iXaP 0
, et
n
i
i
iXbQ 0
Donc
 n
i
i
ii XbaQP 0)(
, donc
nQP  )deg(
q
i
i
i
p
i
i
iXbXaQP 00
où
K
0
p
a
et
K
0
q
b
Donc
...
0
qp
qp XbaQP
 p
i
i
iXaP 0
avec
K
0
p
a
 Résultat avec une récurrence immédiate sur m.
Vocabulaire :
- Si P est un polynôme de degré n, le terme
n
nXa
s’appelle le terme dominant
de P et
n
a
le coefficient dominant de P.
- Par convention, le coefficient dominant du polynôme nul est 0.
-
k
a
s’appelle le coefficient de
k
X
, et
k
kXa
s’appelle le monôme/terme de
degré k.
- Un polynôme P non nul est dit unitaire lorsque son coefficient dominant est 1.
III Début d’arithmétique dans
),],[( XK
.
Théorème :
),],[( XK
est un anneau intègre.
Démonstration :
- Déjà,
),],[( XK
est commutatif et non réduit à
K
0
.
- Soient maintenant
][, XQP K
, supposons que
K
0PQ
Montrons qu’alors
KK 0ou 0  QP
.
Supposons que non, c'est-à-dire que
KK 0et 0  QP
.
Soient alors
QqPp deg,deg 
. Ainsi,
Nqp,
.
Alors
p
i
i
iXaP 0
et
q
i
i
iXbQ 0
, avec
K
0
p
a
et
K
0
q
b
Mais alors le coefficient de
qp
X
est
K
0
qpba
, donc
K
0PQ
, ce qui est exclu.
Autre démonstration :
QPPQ degdeg)deg( 
, et si
 QP degdeg
, alors forcément soit
Qdeg
, soit
Pdeg
.