Les polynômes formels à une indéterminée à coefficients dans un

Les polynômes formels à une indéterminée à coefficients dans un corps K.
Dans ce chapitre, (K ,,) désigne un corps (commutatif) quelconque.
I La construction
A) Etape 1
- Soit PK l’ensemble des suites d’éléments de K, indexées pas N et nulles à partir
d’un certain rang.
C'est-à-dire que PK est l’ensemble des a  K N telles que N  N , n  N , ak  0K
- On peut définir deux lois + et  de la manière suivante :
Pour tous P  (ai )iN , Q  (bi )iN  PK , on pose :
P  Q  (ai  bi )iN
et P  Q  ( pk ) kN où k  N , p k 
k
a b  a b
i  j k
i
j
i 0
i k i
Alors :
+ et  constituent des lois de composition internes sur PK , et ( PK ,,) est un
anneau commutatif.
- Déjà, + est bien une loi de composition interne sur PK .
En effet, si P  (ai )iN et Q  (bi )iN  PK , alors il existe n  N tel que
i  n, ai  0K et m  N tel que i  m, bi  0K . Donc i  max( n, m), ai  bi  0K .
Donc P  Q est nulle à partir d’un certain rang, donc P  Q  PK .
- Montrons que  est une loi de composition interne sur PK .
Soient P  (ai )iN , Q  (bi )iN  PK , n  N tel que i  n, ai  0K et m  N tel que
i  m, bi  0K . Notons enfin P  Q  ( pk ) kN
Alors k  n  m , p k  0 K . En effet :
Soit k  n  m . Alors pour tout (i, j )  N 2 :
Si i  j  k , alors i  m ou j  n
(car sinon j  n et i  m , et alors i  j  m  n  k )
Donc ai  0K ou b j  0 K , soit ai b j  0 K
Donc p k 
a b
i  j k
i
j
 0K .
Donc P  Q  PK .
- + n’est autre que la restriction à PK de la loi + sur K N .
Donc + est associative et commutative.
De plus, la suite (0 K ) kN est évidemment neutre pour + et appartient à PK .
Et enfin, si P  (ai ) iN  PK , alors Q  (ai )iN  PK et P  Q  (0K ) k N .
- Pour  :
 est évidemment commutative (car  est commutative sur le corps K)
Il existe un neutre pour  , c’est U  (1K ,0K ,0K ...)
En effet : notons U  (ui )iN avec u 0  1K et i  1, ui  0K .
Soit alors P  (ai ) iN  PK .
Alors PU  ( pk ) kN , où pk 
a u
i  j k
i
j
 ak u0  ak 1K  ak
Donc PU  P , et par commutativité UP  P , donc U est bien neutre pour  .
Distributivité de  sur + :
Soient P  (ai )iN , Q  (bi )iN , R  (ci )iN  PK . Alors :
P  (Q  R)  ( pk ) kN , où, pour tout k  N :
pk 
 a (b
i  j k
i
 cj )
j
a b


distributivité i  j  k
dans le
corps K
i
j
 ai c j
a b  a c

i

associativité, i  j  k
commutativ ité
de  dans K
j
i  j k
i
j
Et P  Q  P  R  (qk ) kN , où, pour tout k  N :
qk 
a b
i  j k
i
j
a c

i  j k
i
j
.
Donc P  (Q  R)  P  Q  P  R
Et (Q  R)  P  P  (Q  R)  P  Q  P  R  Q  P  R  P
Associativité de  :
Soient P  (ai )iN , Q  (bi )iN , R  (ci )iN  PK .
Alors P  Q  ( p k ) kN , où, pour tout k  N , p k 
Et ( P  Q)  R  (ql ) lN , où, pour tout l  N , ql 
Donc ql 

    a b
k  s l
  i  j k
i
j
a b
i  j k
i
j
p c
k  s l
k
.
s
 


c s  
  ai b j c s 


 




  distributivité k  s l  i  j  k
 associativité et
dans K
a b c
i  j  s l
i
j
s
commutativ ité
de  dans K
Par ailleurs, on a de même P  (Q  R)  (rl ) lN , où, pour tout l  N :
rl 
a b c
i  j  s l
i
j
s
.
D’où P  (Q  R)  ( P  Q)  R , et le résultat comme  est commutative.
Donc ( PK ,,) est bien un anneau commutatif.
B) Etape 2 : plongement de K dans PK .
Soit  : K  PK
.
ˆ
  ( )( ,0K ,0K ,...) noté 
Alors  est un morphisme injectif d’anneaux :
  (   )  (  ,0K ,0K ...)  (,0K ,0K ...)  (,0K ,0K ...)   ( )   ( )
  ( )  (,0K ,0K ...)  (,0K ,0K ...)(,0K ,0K ...)   ( ) ( )
Justification de la deuxième égalité :
( ,0K ,0K ...)( ,0K ,0K ...)  (ck ) kN
 
( ai )iN
avec c k 
( bi )iN
a b
i j k
i
j
.
Donc ck  a0 b0   si k  0 et ck  0 K sinon.
  (1K )  (1K ,0K ,0K ,...)  1P
K
 Enfin, si (,0K ,0K ...)  (,0K ,0K ...) , alors évidemment   
Par conséquent,  (K ) est un sous anneau de PK , isomorphe à l’anneau (K ,,) .
(On dit qu’« il y a une copie de K dans PK ») On va identifier cette copie à K,
c'est-à-dire identifier, pour chaque   K ,  et ̂ .
Ainsi, pour  ,   K et P, Q  PK (avec ̂  (ui )iN , P  (ai )iN ) :
où c 
u a  a
 P  ˆP  (,0 ,0 ,...) P  (c )
K
K
k kN
Donc P  (a0 , a1 , a2 ,...)  (ai )iN
 (   ) P  P  P
  ( P  Q )   P  Q
 ( ) P   ( P)
k

i j k
i
j
k
 1K  P  1̂K  P  1PK  P  P
Les éléments de K seront appelés des scalaires.
C) Etape 3 : introduction de l’indéterminée
Soit X l’élément de PK défini par :
X  (0K ,1K ,0K ,0K ,...)
C'est-à-dire X  ( i )iN où 1  1K et k  N \ 1,  k  0K
Alors k  N , X k  (ui( k ) )iN où uk( k )  1K et i  N \ k , ui( k )  0K
Démonstration : par récurrence sur k.
Pour k  0 : X 0  1PK  (1K ,0K ,0K ...)
Soit k  N , supposons que X k  (ui( k ) )iN où uk( k )  1K et i  N \ k , ui( k )  0K
Alors X k 1  X k X  (ci )iN
ui(k1)1 si i  0
Où i  N , ci   u     ( k )
   i
u0  0  0 si i  0
0 si i  k  1
Soit, pour i  0 , ci  ui(k1)  
1 si i  k  1
k 1
( k 1)
Donc X
 (u i ) iN
(k )
Théorème fondamental :
Soit P  PK . Alors P s’écrit de manière unique sous la forme :
P   ak X k où les a k sont des scalaires, nuls à partir d’un certain rang.
kN
Démonstration :
Soit P  PK .
 P s’écrit P  (ak ) kN , suit d’éléments de K nulle à partir d’un certain rang,
disons à partir du rang n  1.
On a aussi :
P  (a0 , a1 ,...an ,0K ,0K ...)
 (a0 ,0K ,0K ...)  (0K , a1 ,0K ,0K ...)  ...  (0K ,0K ,...0K , an ,0K ,0K ...)
 a0 (1K ,0K ,0K ...)  a1 (0K ,1K ,0K ,0K ...)  ...  an (0K ,0K ,...0K ,1K ,0K ,0K ...)
 a0 X 0  a1 X 1  ...  an X n
D’où l’existence de P sous la forme
a
kN
k
X k où les a k sont nuls à partir d’un
certain rang.
 Unicité de l’écriture :
Si  ak X k   bk X k , où les a k et les bk sont nuls à partir d’un certain rang.
kN
kN
Alors (ak ) kN   ak X k   bk X k  (bk ) kN .
kN
kN
Vocabulaire :
- Les éléments de PK seront toujours notés sous la forme
a
kN
k
X k , où les a k
sont des éléments de K nuls à partir d’un certain rang (on oublie la forme
(ak ) kN ).
Ils sont appelés polynômes formels à une indéterminée à coefficients dans K.
- Le polynôme X est appelé l’indéterminée.
- L’ensemble PK des polynômes à une indéterminée à coefficients dans K est
noté K [ X ] .
D) Etape 4 : conclusion, récapitulation

Tout P  K [ X ] s’écrit de manière unique sous la forme P   ak X k où les
kN
a k sont des éléments de K nuls à partir d’un certain rang.
a X
Ainsi,
kN


  bk X k  k  N , ak  bk
k
k
kN
(K [ X ],,) est un anneau, dont K est un sous anneau.
Si P   ai X i , et Q   bi X i où les ai sont nuls à partir du rang n  1 et les
iN
iN
bi à partir du rang m  1 , alors :
n
m
P   ai X i , Q   bi X i
i 0
i 0
n
m
N
N
i 0
i 0
P  Q   ai X i   bi X i   ai X i  bi X i   (ai  bi ) X i , où N  max( n, m)
i 0
i 0



P  Q    ai X i   bi X i    (ai X i )(b j X j )   ai b j X i  j
i 0 , n 
 i 0
 i 0
 i 0,n 
n
m
j 0 , m
nm

ab X

  
i j
k  0 i 0 , n , j 0 , m
i  j k
Où c k 
a b
i j k
i
i j
n m


ab X

  
i j
k  0 i 0 , n , j 0 , m
i  j k
j 0 , m

nm
k
  ck X k
k 0
j
II Degré
A) Définition
Soit P  K [ X ] , P   ai X i où les a i sont des éléments de K nuls à partir d’un
iN
certain rang.
 Si P  0 K [ X ] , c'est-à-dire P  0K ou P  0 . Alors i  N , ai  0K . On dit alors
que P est de degré  
 Sinon, P  0 K [ X ] et donc il existe i  N tel que ai  0K . On peut alors
introduire n  max i  N , ai  0K  (puisque l’ensemble est non vide, et majoré
car les a i sont nuls à partir d’un certain rang). n est appelé le degré de P.
Ainsi :
Pour tout P  K [ X ] , deg P N   , et on a l’équivalence :
P  0K [ X ]  deg P  N
Les polynômes de degré 0 sont exactement les   K \ 0K 
Les polynômes de degré 1 sont exactement les aX  b avec a  0
n
Les polynômes de degré n sont exactement les
a X
i 0
Les polynômes de degré  n sont exactement les
i
i
avec an  0 .
n
a X
i 0
i
i
L’ensemble de ces derniers est noté K n [X ] ; en particulier, K 0 [ X ] n’est autre que
K, ensemble des polynômes constants.
B) Propriétés
Soient P, Q  K [ X ] et   K . Alors :
 deg( P  Q)  max(deg P, deg Q)
 deg( P  Q)  deg P  deg Q (n  N ,  n  ,  ()  )
deg P si   0
 deg( P)  
  sinon
 m  N *, deg( P m )  m deg P (n  N *, n  ()  )
Démonstration :
- Cas P  Q  0 évident.
- Si P  0 et Q  0 (ou P  0 et Q  0 ), le résultat est immédiat aussi.
- Maintenant si P  0 et Q  0 :
Notons p  deg P et q  deg Q .
 On pose n  max( p, q) .
n
n
On a P   ai X i , et Q   bi X i
i 0
i 0
n
Donc P  Q   (ai  bi ) X i , donc deg( P  Q)  n
i 0
q


i 
 P  Q    ai X   bi X i  où a p  0 K et bq  0 K
 i 0
 i 0

pq
 ...
Donc P  Q  a p bq X

p
0
p
 P   ai X i avec a p  0K
i 0

Résultat avec une récurrence immédiate sur m.
Vocabulaire :
- Si P est un polynôme de degré n, le terme an X n s’appelle le terme dominant
-
de P et a n le coefficient dominant de P.
Par convention, le coefficient dominant du polynôme nul est 0.
a k s’appelle le coefficient de X k , et ak X k s’appelle le monôme/terme de
degré k.
Un polynôme P non nul est dit unitaire lorsque son coefficient dominant est 1.
III Début d’arithmétique dans (K [ X ],,) .
Théorème :
(K [ X ],,) est un anneau intègre.
Démonstration :
- Déjà, (K [ X ],,) est commutatif et non réduit à 0K .
- Soient maintenant P, Q  K [ X ] , supposons que PQ  0K
Montrons qu’alors P  0K ou Q  0K .
Supposons que non, c'est-à-dire que P  0K et Q  0K .
Soient alors p  deg P, q  deg Q . Ainsi, p, q  N .
p
q
Alors P   ai X et Q   bi X i , avec a p  0 K et bq  0 K
i
i 0
i 0
Mais alors le coefficient de X p  q est a p bq  0 K , donc PQ  0K , ce qui est exclu.
Autre démonstration :
deg( PQ)  deg P  deg Q , et si deg P  deg Q   , alors forcément soit
deg Q   , soit deg P   .
Théorème :
Les éléments inversibles de (K [ X ],,) sont exactement les éléments de K \ 0K .
Démonstration :
 Soit P  K [ X ] . Si P est inversible, alors il existe Q  K [ X ] tel que PQ  1K .
Alors deg P  deg Q  0 . Or, deg P, deg Q N   .
Donc deg P  deg Q  0
 Réciproquement, si P    K \ 0K , alors  admet un inverse 1 .
Donc Q  1 est inverse de P.
Définition :
Soient P, Q  K [ X ] . On dit que P est multiple de Q ou que Q est un diviseur de P
lorsqu’il existe S  K [ X ] tel que P  QS .
Définition :
Soient P, Q  K [ X ] . On dit que P et Q sont associés lorsque P divise Q et Q divise
P (ce qui équivaut à dire qu’il existe   K \ 0K  tel que Q  P )
Démonstration de la parenthèse :
 Si Q  P avec   K \ 0K  alors P divise Q et aussi Q  1P donc Q divise
P.
 Si P divise Q et Q divise P alors il existe S , S ' K [ X ] tels que Q  PS et
P  QS ' . Donc Q  QSS ' . Donc Q(1K  SS ' )  0K , d’où, comme K [ X ] est
intègre, soit Q  0K soit SS ' 1K .
o Si Q  0K , alors P  0K car Q divise P donc il existe R  K [ X ] tel que
P  QS  0 K .
o Si SS ' 1K , alors S est inversible, donc S    K \ 0K  , donc Q  P .
A) Division euclidienne dans K [ X ] .
Théorème :
Soient A, B  K [ X ] , avec B  0K .
Alors il existe un unique couple (Q, R ) d’éléments de K [ X ] tels que A  BQ  R
et deg( R)  deg( B ) .
On dit que Q est le quotient dans la division euclidienne de A par B et que R est le
reste dans la division euclidienne de A par B.
Démonstration :
 Unicité :
Si A  BQ  R , avec deg( R)  deg( B )
Et A  BQ ' R' , avec deg( R' )  deg( B) ,
Alors B(Q  Q' )  R' R . Donc deg( B)  deg( Q  Q' )  deg( R' R)

 max(deg R ,deg R ')
Ainsi, deg( B)  deg( Q  Q' )  deg( B) , donc deg( Q  Q' )  N . Donc Q  Q '  0 .
Donc B  0K  R'R , soit R '  R .
D’où l’unicité.
 Existence :
Soit B K [X ] \ 0K , de degré p  N et de coefficient dominant b p .
Montrons par récurrence que n  N , P(n) , où :
P(n)  A  K n [ X ], (Q, R)  K [ X ]2 , A  BQ  R et deg R  p
- Déjà, P (0) est vrai, puisque si deg A  0 , on a :
o Soit p  1 , et alors A  0K  B  A , donc (0K , A) convient.
o Soit p  0 , et donc B  b  K \ 0K  et donc A  b(b 1 A)  0K , donc le
couple (b 1 A,0K ) convient.
- Soit n  N , supposons P (n ) . Soit alors A de degré  n  1 .
Alors A s’écrit A  an 1 X n 1  an X n  ...  a0 X 0 .


K
A1 où deg A1  n
Supposons p  n  1 (dans le cas contraire, A  0K  B  A et (0K , A) convient)
On peut donc écrire :
A  an 1b p1 X n 1 p (bp X p  B1 )  an 1bp1 X n 1 p 
B1  A1

deg
B1  p
B
an1 X n1
1
n 1 p
Donc A  a b X
n 1 p
B  ( A1  an 1b p1 X n 1 p B1 )

A2 ,deg A2  n
Or, deg A2  n . Donc A2  BQ1  R1 avec (Q1 , R1 )  K [ X ]2 et deg( R1 )  p .
Donc A  (an1bp1 X n1 p  Q1 ) B  R1 .
Exemple :
A  X 5  2 X 3  2 X  2 B  X 2 1
A  X 3 ( X 2  1)  X 3  2 X 3  2 X  2  X 3 B  X 3  2 X  2
 X 3 B  X ( X 2  1)  X  2 X  2  ( X 3  X ) B  3 X  2
IV Substitution d’un polynôme à l’indéterminée
A) Définition, propriétés
Soit P  K [ X ] . P s’écrit P   ak X k où les a k sont nuls à partir d’un certain
kN
n
rang, disons n  1. Donc P   a k X k
k 0
Soit Q  K [ X ] .
n
On note Pˆ (Q)   ak Q k , soit Pˆ (Q )   ak Q k
kN
k 0
Théorème :
Soient P1 , P2  K [ X ] et Q  K [ X ] ,   K [ X ] . Alors :
( P ˆ P )(Q)  Pˆ (Q)  Pˆ (Q )
1
2
1
2
( P1 ˆ P2 )(Q)  Pˆ1 (Q)  Pˆ2 (Q)
ˆ (Q)  
Démonstration :
Soient P1   ak X k , P2   bk X k .
kN
kN
On introduit n  N tel que deg P1  n et deg P2  n . On a alors :
n
 P1  P2   (a k  bk ) X k
k 0
n
n
n
k 0
k 0
k 0
Donc Pˆ1 (Q)  Pˆ2 (Q)   ak Q k   bk Q k   (ak  bk )Q k  ( P1 ˆ P2 )(Q)
2n
 P1  P2   ck X k où ck 
k 0
a b
i  j k
i
j
2n
2n
 n
 n

et Pˆ1 (Q)  Pˆ2 (Q)    ak Q k   bk Q k    ai b j Q i  j    ai b j Q k   ck Q k
k 0 i  j  k
k 0
 k 0
 k 0
 0i , j  n
 ˆ(Q)  .ˆX 0 (Q)  .Q 0  
Remarque :
Le théorème s’énonce aussi ainsi :
Pour tout Q  K [ X ] , l’application K [ X ]  K [ X ] est un endomorphisme de
P Pˆ (Q)
l’anneau (K [ X ],,) (mais ni injectif ni surjectif).
Remarque :
Pour Q  K 0 [ X ] et si K est un sous corps de C, P  Pˆ (Q) est injective.
B) Polynômes pairs, impairs
On suppose ici que 1K  1K  0K (c'est-à-dire que 1K n’est pas un élément d’ordre
2 du groupe (K , ) )
Définition :
Soit P  K [ X ]
On dit que P est pair lorsque P( X )  P( X ) ( P)
On dit que P est impair lorsque P( X )   P( X ) (  P)
Proposition :
P est pair si et seulement si k  N , a2 k 1  0K
P est impair si et seulement si k  N , a2 k  0K
Démonstration :
P( X )   (1) k ak X k .
kN
Donc P est pair  k  N , (1) k ak  ak  i  N ,a2i 1  a2i 1
 i  N ,2.a2i 1  0 K
Or, 2.a2i 1  a2i 1  a2i 1  (1K  1K )a2i 1 . On a supposé que 1K  1K  0K .
Donc i  N ,2.a2i 1  0K  i  N , a2i 1  0K
On fait de même pour impair.