( )V )V

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Mécanique des fluides Manuel Marcoux V- 1
V
DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS
Dans ce chapitre, les fluides sont en mouvement et on s’intéresse aux causes (actions, forces)
générant le mouvement (principe fondamental de la dynamique). Ils auront une viscosité
nulle, et une masse volumique constante (ce qui est aussi le cas pour les gaz lorsque les
vitesse d’écoulement est inférieure à 0,3 fois la vitesse du son).
1. Notion de fluide parfait
Définition :
Un fluide parfait est un fluide pour lequel les forces de frottement sont nulles
(pas de viscosité)
De manière générale, tous les fluides sont visqueux, sauf l’Hélium liquide, à des températures
inférieures à K17.2 ( C°−
=
271 ), qui est alors un liquide dit superfluide (viscosité = 0)
Mais dans certaines configurations d’écoulement, les fluides réels peuvent se comporter
comme des fluides parfaits
Exemples de fluides très peu visqueux : Eau, air, hydrocarbures …
2. Accélération d’une particule fluide - Dérivée particulaire
Propriété :
Dans la description d’un écoulement fluide, l’accélération d’une particule fluide vérifie :
(
)
VGradV
t
V
tMa rr
r
r.),( +
∂
∂
=
où t
V
∂
∂r
correspond à l’accélération locale de la particule,
et
(
)
VGradV rr . correspond au caractère non uniforme de l’écoulement (advection)

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Démonstration : différentiation de la vitesse d’une particule fluide en déplacement
Généralisation :
De manière générale, pour tout champ ),( trF
r
, champ scalaire ou champ de vecteurs, on a :
(
)
FGradV
t
F
dt
Fd .
r
+
∂
∂
=
Il s’agit de la dérivée particulaire du champ considéré
(Dérivée Lagrangienne exprimée en variables eulériennes)
3. Principe fondamental de la dynamique – Equation d ‘Euler
Soit une particule fluide dans le champ de pesanteur de direction quelconque.
Dans un fluide au repos, l’équilibre se traduit par 0
r
r
r
r
=+=
∑
p
FPF ,
soit encore, localement, par la RFSF : 0
r
r
=− PGradg ρ
Pour un fluide en mouvement, la conservation de la quantité de mouvement se traduit par le
principe fondamental de la dynamique (ou loi de Newton ) : amFPF p
r
r
r
r
=+=
∑
Ceci se traduit localement, d’après l’expression de l’accélération de la particule fluide, par :
(
)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛+
∂
∂
=− VGradV
t
V
PGradg rr
r
r.
ρρ
Il s’agit de l’équation d’Euler, régissant le mouvement d’un fluide parfait
Démonstration : Il suffit de remplacer l’accélération par la dérivée particulaire de la vitesse,
et d’écrire le PFD en local, sur une particule fluide
Remarques :
Cette relation vectorielle est générale, elle peut se simplifier suivant les cas
 Si l’écoulement est stationnaire (régime établi), on a alors :
.
(
)
VGradVPGradg
r
r
r.
ρρ =−

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 Dans le cas d’un écoulement monodimensionnel, avec un champ de pesanteur
vertical, z
egg rr −= celle-ci donne :
0=++ dz
Vd
V
dz
Pd
g ρρ
4. Rappels d’analyse vectorielle
Opérateurs différentiels usuels, en cartésien :
 Gradient :
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇=
z
f
y
f
x
f
ffGrad r
 Divergent : z
V
y
V
x
V
V
V
V
z
y
x
VVDiv z
y
x
z
y
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇= ..
rrr
 Rotationnel :
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂∂
∂
−
∂
∂∂
∂
−
∂
∂
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∧
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∧∇=
y
V
x
Vx
V
z
Vz
V
y
V
V
V
V
z
y
x
VVRot
x
y
z
x
y
z
z
y
x
rrr
Opérations vectorielles :
 fGradggGradfgfGrad ..).( +=
 )(..).( fGradVVDivfVfDiv rrr +=
 VfGradVRotfVfRot
r
rr ∧+= )(.).(
Propriétés
0)(
r
=fGradRot et 0)( =VRotDiv
r

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Remarques :
 Laplacien : 2
2
2
2
2
2
2..)( zf
yf xf
z
f
y
f
x
f
z
y
x
fffGradDivf ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇=∇∇==Δ rr
peut s’appliquer à un vecteur : ⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
Δ
Δ
Δ
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
Δ=Δ
z
y
x
z
y
x
V
V
V
V
V
V
V
r
 VVDivGradVRotRot
r
rΔ−= )()(
 Les écritures des opérateurs présentées ici sont celles en représentation cartésienne,
celles-ci sont différentes en représentation cylindrique et sphérique (cf. formulaire)
5. Relation de Bernoulli
Propriété
Si on considère l’écoulement stationnaire incompressible d’un fluide parfait, alors, en tout
point d’une même ligne de courant, on vérifie :
Cstezg
V
P=++ ρρ
2
2
Il s’agit de la relation de Bernoulli (1738)
Démonstration : Utilisation des propriétés d’analyse vectorielle sur l’équation d’Euler
généralisée et de la définition des lignes de courant
⇒ Théorème : Dans un tube de courant parcouru par un liquide parfait, la charge totale est
constante en tout point
Remarques :
 Cette relation peut aussi être obtenu en écrivant la conservation de l’Energie
mécanique.

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Le bilan énergétique pour un élément de fluide de masse dm passant entre 2 sections dS
de l’écoulement ⇒ même résultat
CstedxdSPzgdmdmVFPEEE ppcm =++=++= 2
2
1
)(
 L’intégration de l’équation d’Euler le long d’une ligne de courant pour un écoulement
monodimensionnel donne directement ce résultat.
 En l’absence d’écoulement, 0
=
V, on retrouve la RFSF : CstezgP =
+
ρ
Autre écriture : Hydrologique
On divise par
g
ρ
→ on travaille en hauteur manométriques (en mètres)
HCstez
g
V
g
P==++ 2
2
ρ
hauteur hauteur altitude charge totale
pièzométrique capable du point (hauteur manométrique)
Applications :
 Ecoulements en conduite → hauteurs équivalentes en fonction du parcours du fluide
 Aérodynamique : aile d’avion, équilibre d’une balle sur un jet → force portante
 Effet venturi : écoulement dans un convergent, baisse de la pression
→ endommagement de la structure quand la pression devient trop basse
 Vidange d’un récipient – Théorème de Torricelli : hgVs2=
…
6. Ecoulement irrotationnel
Définitions :
On appelle vecteur tourbillon, ou vecteur vorticité, le vecteur VRot
r
r
2
1
=Ω