PROBL`EMES DE THERMODYNAMIQUE (L3)

PROBL` EMES DE
THERMODYNAMIQUE (L3)
Christian Carimalo

TD1
I. Formes diff´erentielles, facteur int´egrant
1◦)Soit la forme diff´erentielle `a deux variables xet y:
D=X(x, y)dx +Y(x, y)dy (1)
Rappeler la condition n´ecessaire et suffisante pour que (1) soit la diff´erentielle d’une fonction
Z=Z(x, y). On dit dans ce cas que Dest une diff´erentielle totale dZ. Indiquer alors
comment on peut obtenir la fonction Z(x, y).
2◦)Les formes diff´erentielles suivantes sont-elles des diff´erentielles totales ? Si oui, d´eterminer
la fonction correspondante, `a une constante pr`es.
D1=y2dx +x2dy
(x+y)2;D2=a zdx−b zdy+by −ax z2dz ;D3=dx+xdy ;D4=yzdx+dy +dz
D5=CvdT +RT
VdV ;D6=−RT VdV ;D7=D5+D6
Dans ces expressions, a, b, Cvet Rsont des constantes.
3◦)Pour les formes qui ne sont pas des diff´erentielles totales, peut-on leur trouver un facteur
int´egrant ?
II. Coefficients thermo´elastiques
Les trois variables thermodynamiques pression P, volume Vet temp´erature Td’un syst`eme
binaire sont li´ees par une ´equation d’´etat que l’on peut ´ecrire sous la forme
F(P, V, T )=0
L’une quelconque de ces trois variables peut donc ˆetre consid´er´ee comme une fonction des
deux autres, ces derni`eres devant alors ˆetre consid´er´ees comme ind´ependantes. Si l’on se
donne Vet T,Pest alors d´etermin´e : P=P(V, T ); si Pet Tsont donn´ees, Vest
d´etermin´e : V=V(P, T ); si Pet Vsont donn´ees c’est Tqui est d´etermin´e : T=T(P, V ).
1◦)Etablir les relations
∂P
∂V T
=1
∂V
∂P T
,∂P
∂V T∂V ∂T P∂T ∂P V
=−1
2◦)On d´efinit les coefficients thermo´elastiques
α=1
V∂V ∂T P
, β =1
P∂P ∂T V
, χT=−1
V∂V ∂P T
Christian Carimalo 3TD de Thermodynamique - L3

a) Nommer ces coefficients. Pr´eciser leurs caract`eres extensif ou intensif.
b) Montrer que α=P βχT.
c) D´eterminer α, β et χTpour
•une mole de gaz parfait d’´equation d’´etat P V =RT ;
•un kilogramme de gaz parfait ;
•une mole de gaz de Van der Waals d’´equation d’´etat P+a
V2(V−b) = RT .
III. D´etermination d’une ´equation d’´etat `a partir des coefficients thermo´elastiques
A/ Montrer que pour un syst`eme binaire, la connaissance de deux coefficients thermo´elastiques
permet de d´eterminer l’´equation d’´etat. On donne
α=1
T1 + 3a V T 2, χT=1 P1 + a V T 2
V´etant le volume molaire et aune constante.
a) Quelle est la dimension de la constante a?
b) V´erifier que les expressions des deux coefficients sont compatibles avec les propri´et´es des
d´eriv´ees partielles d’une fonction.
c) D´eterminer l’´equation d’´etat correspondante. On imposera `a l’´equation trouv´ee d’avoir
comme limite l’´equation d’´etat des gaz parfaits pour les grands volumes.
d) Faire le mˆeme exercice si l’on se donne
α=R(V+a0)2
P V 2(V+ 2a0), β =R(V+a0) P V 2
V´etant le volume molaire, Rla constante des gaz parfaits et a0une constante.
B/ Des mesures des coefficients αet χTde l’eau pour des temp´eratures entre 0◦C et 10◦C
et pour des pressions inf´erieures `a 20 atm. ont donn´e les r´esultats suivants
α(T, P )=2A(T−T0) + B(P−P0), χT(T0, P ) = χ0
o`u A,B,T0et P0sont des constantes positives, Tla temp´erature et Pla pression ; χ0est
une constante positive ind´ependante de P.
1◦)D´eterminer l’expression de χT(T, P ).
2◦)D´eterminer l’´equation d’´etat de l’eau dans le domaine consid´er´e, sachant que pour P=
P0et T=T0, le volume massique prend la valeur v0.
C/ D´emontrer qu’un fluide pour lequel
α=R
RT +bP , χT=RT P(RT +bP ),et lim
b→0V(T, P ) = RT
P
a pour ´equation d’´etat V(T, P ) = RT +bP
P(Vest le volume molaire).
Christian Carimalo 4TD de Thermodynamique - L3

IV. Echelles de temp´eratures
Dans le domaine de temp´eratures comprises entre 0◦C et 816◦C, une r´esistance de platine
varie en fonction de la temp´erature Celsius tselon la loi
R(t)
R0
= 1 + µt−νt
100 t 100 −1
o`u R(t)est la valeur de la r´esistance `a t◦C, R0sa valeur pour t= 0◦C ; les param`etres µ
et νont pour valeurs respectives µ= 3,92 10−3,ν= 1,49.
Dans l’intervalle [0◦C,100◦C], on veut utiliser cette r´esistance comme grandeur thermom´etrique
pour d´efinir une ´echelle cent´esimale de temp´erature θ=A R(t) + Btelle que θ= 0 pour
t= 0◦C (R=R0) et θ= 100 pour t= 100◦C (R=R100).
1◦)Montrer que l’on d´efinit ainsi une ´echelle de temp´erature diff´erente de l’´echelle Celsius.
2◦)D´eterminer l’´ecart θ−ten fonction de t. Pour quelles valeurs de tl’´ecart est-il maximum ?
3◦)Jusqu’`a quelle temp´erature tau-del`a de 100◦C peut-on utiliser l’´echelle θde telle sorte
que l’´ecart relatif |θ−t
t|reste inf´erieur `a 1% ?
Christian Carimalo 5TD de Thermodynamique - L3