Énumération de transversaux de circuits de cardinalité minimale à l

MÉMOIRE
PRÉSENTÉ À
L’UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À CHICOUTIMI
COMME EXIGENCE PARTIELLE
DE LA MAÎTRISE EN INFORMATIQUE
PAR
RAOUF BOUKLAB
ÉNUMÉRATION DE TRANSVERSAUX DE CIRCUITS DE CARDINALITÉ
MINIMALE À L’AIDE D’ARBRES ET/OU
JANVIER 2016

TABLE DES MATIÈRES
Table des matières i
Table des figures iii
Liste des tableaux v
Résumé 1
Remerciements 3
Introduction 4
1 Définitions et notations 12
1.1 Algorithmes, complexité et NP-complétude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Algèbre de Boole et fonctions booléennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Graphes ........................................ 21
2 Diagrammes binaires de décision 24
2.1 Formules booléennes, tables de vérité et diagrammes de Karnaugh . . . . . . 25
2.2 Arbres binaires de décision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Graphes binaires de décision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Opérations sur les diagrammes binaires de décision . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5 Ordre des variables et taille des diagrammes binaires de décision ordonnés . . 45

ii
2.6 Extensions et variantes des diagrammes binaires de décision . . . . . . . . . . 46
2.7 Conclusion ...................................... 48
3 Arbres et/ou 49
3.1 Structuredebase................................... 51
3.2 Opérations sur les arbres et/ou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Relation avec les diagrammes binaires de décision . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4 Conclusion ...................................... 66
4 Transversaux de circuits 67
4.1 Complexité du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2 Opérateurs de contraction de Levy et Low . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3 Opérateurs de contraction de Lin et Jou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4 Conclusion ...................................... 82
5 Énumération des transversaux à l’aide d’un arbre et/ou 83
5.1 Algorithme ...................................... 84
5.2 Implémentation.................................... 94
5.3 Conclusion ...................................... 99
Conclusion 100
Bibliographie 102
Annexe 108

TABLE DES FIGURES
1 Le sous-graphe acyclique induit d’un graphe G=(V,A). ............ 5
2 L’arbre et/ou représentant la famille de TCCM d’un graphe. . . . . . . . . . . 9
1.1 Diagrammes de Venn des différentes classes de problèmes. . . . . . . . . . . . 17
1.2 Graphe orienté et le graphe non orienté lui associé. . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1 Méthode de codage Gray. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Calcul de la formule booléenne en utilisant les tableaux de Karnaugh. . . . . 29
2.3 L’arbre binaire de décision associé à la fonction : f(a,b)=(a∧¬b)∨¬a. . . 31
2.4 Construction du DBD de la fonction f(a,b,c)=(¬a∧b∧c)∨(a∧c). . . . . . 34
2.5 Le DBDO représentant la fonction f(a,b,c,d)=(a∧b∧c)∨(¬b∧d)∨(¬c∧d) . 35
2.6 Le DBDOR représentant la fonction f(a,b,c)=(a∨b)∧c............ 38
2.7 Le DBDO représentant la fonction f(a,b,c,d)=(a∧b∧c)∨(¬b∧d)∨(¬c∧d) . 48
3.1 Décomposition d’un problème Ppar un arbre et/ou. . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 Représentation de la famille F={{0,1},{0,3},{1,2}} par DBD, DBDZ et
arbreet/ou. ...................................... 51
3.3 Arbres représentant CONTENT, VALUES et FAMILY. .............. 53
3.4 Aplatissement d’un arbre et/ou. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5 Binarisation d’un arbre et/ou. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6 Conversion d’un arbre et/ou en un DBD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

iv
3.7 Conversion de l’arbre et/ou représentant la famille F={{1,4},{2,3,4}} en
unDBDOR....................................... 63
3.8 Les différents cas possibles pendant la conversion d’un DBD en un arbre et/ou. 64
3.9 Conversion du DBD représentant la famille F={{a,c,d},{b},{e}} en un
arbreet/ou. ...................................... 66
4.1 Réduction du problème de couverture par sommets au problème TCCM. . . . 69
4.2 Réduction d’un graphe en appliquant les cinq opérateurs de Levy et Low. . . 72
4.3 Les sous-graphes π(G)et G−π(G)d’un graphe G=(V,A). .......... 73
4.4 Réduction d’un graphe en utilisant l’opérateur PIE. ............... 74
4.5 Réduction d’un graphe en utilisant l’opérateur CORE............... 76
4.6 Réduction d’un graphe en utilisant l’opérateur DOME. ............. 78
5.1 Un graphe ayant 2n/2transversaux de circuits minimaux. . . . . . . . . . . . . 83
5.2 Exemple de sommets inutiles, essentiels, dominés et équivalents. . . . . . . . 86
5.3 Représentation des sommets équivalents au sommet upar l’arbre et/ou. . . . . 88
5.4 Représentation des sommets essentiels dans l’arbre et/ou. . . . . . . . . . . . . 90
5.5 Division du problème selon ses composantes connexes. . . . . . . . . . . . . . 90
5.6 Séparation et évaluation selon un sommet bien choisi. . . . . . . . . . . . . . . 90
5.7 Comparaison entre un DBD et un arbre et/ou. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.8 Diagrammedeclasses................................ 95
5.9 L’arbre représentant la famille des TCCM du graphe de la figure 2. . . . . . . 97
5.10 L’arbre et/ou représentant la famille des TCCM d’un graphe. . . . . . . . . . . 97
5.11 Le DBD correspondant à un arbre et/ou produit par notre application. . . . . . 98
5.12 L’arbre et/ou correspond à un DBD produit par notre application. . . . . . . . 98
5.13 Un graphe créé par un anonyme représentant un dictionnaire de mots. . . . . 109
5.14 L’arbre représentant la famille des TCCM du graphe. . . . . . . . . . . . . . . 110