Obtention de la formule de Black-Scholes par passage à la limite dans le modèle de Cox-Ross-Rubinstein Christophe Chorro, Alexandre Marino Introduction Ce document constitue, dans sa forme actuelle, un complément à vos notes de cours. Il deviendra probablement, dans un futur proche, un polycopié plus élaboré écrit en collaboration avec Alexandre Marino. Le but est d’introduire le formalisme mathématique de modélisation des marchés financiers en utilisant le langage rigoureux de la théorie des probabilités. Pour la partie ”plus financière” introduite en préambule de ce cours, je renvois aux premiers chapitres de [2]. L’objectif est ici d’obtenir la célèbre formule de pricing de Black-Scholes ([1]) qui est encore aujourd’hui un outil de référence pour les praticiens opérant sur les marchés financiers. Deux approches sont possibles à ce stade : 1) Aborder le problème de front en modélisant le cours de l’actif risqué à l’aide d’une équation différentielle stochastique. On est alors dans le cadre d’un modèle en temps continu. Cette approche nécessite cependant un minimum de bagage mathématique concernant la théorie des processus stochastiques. Il m’a semblé un peu utopique de traiter ”proprement” cette question durant le temps qui m’était accordé (7×1h30). Pour les personnes intéressées, le livre de Lamberton et Lapeyre constitue une excellente référence ([4]). 2) Étudier la modélisation en temps discret des marchés et effectuer de manière rigoureuse le passage à la limite. Cette seconde voie a le mérite de faire appel au minimum d’outils mathématiques tout en permettant d’introduire les notions fondamentales (condition d’autofinancement, arbitrage, marché complet, probabilité risque neutre, etc...). La présentation adoptée ici doit beaucoup à l’enseignement dispensé par le professeur Touzi dans le cadre de la promotion 2001-2002 du DEA MMME de l’Université Paris 1. Le partiel : L’examen d’évaluation qui aura lieu a l’issu de cet enseignement aura pour but de tester votre aptitude à effectuer des raisonnements d’arbitrage ainsi que la maı̂trise des définitions et des modèles abordés en cours. Il n’y aura donc pas de mauvaises surprises. BON COURAGE ! ! ! ! ! ! 1 Table des matières 1 Modélisation mathématique d’un ciers 1.1 Actif sans risque . . . . . . . . 1.2 Actifs risqués . . . . . . . . . . 1.3 Hypothèses de modélisation . . 1.4 Discussion des hypothèses . . . 1.5 Problématique : . . . . . . . . . marché organisé d’actifs finan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Le modèle binomial 2.1 Modèle binomial 1 période . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Hypothèse H1 : . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Hypothèse H2 : . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Modèle binomial 2 périodes . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Les hypothèses H1 et H2 sont vérifiées . . 2.2.2 Pricing et Hedging . . . . . . . . . . . . . 2.3 Modèle binomial N périodes . . . . . . . . . . . . 2.4 Modèle de Cox-Ross-Rubinstein (C.R.R) . . . . . 2.4.1 Le modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Rappels et notations de probabilités . . . . 2.4.3 Convergence en loi des variables aléatoires 2.4.4 Passage à la limite . . . . . . . . . . . . . Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 4 5 6 7 . . . . . . . . . . . . 7 7 8 9 12 13 13 15 17 17 19 20 22 27 2 1 Modélisation mathématique d’un marché organisé d’actifs financiers On se donne une échelle de temps : - C = [0, T ] : Marché en temps continu T - DN = {0, N , ..., T } : marché en temps discret à N périodes. On considère un espace de probabilité (Ω = {configurations macro-économiques}, A, P ) et une famille croissante (Ft )t∈C ((Ft )t∈DN ) de sous tribus de A représentant la quantité d’information disponible sur le marché à la date t. Remarque : La condition Ft ⊂ Ft0 lorsque t0 ≥ t est très naturelle. Elle signifie simplement que l’information disponible sur le marché se dévoile au cours du temps. Une telle famille de sous tribus est appelée une filtration. Définition 1.1 Un processus stochastique en temps discret (en temps continu) est une famille de variables aléatoires réelles indexée par DN (C). On peut alors définir deux grandes familles de processus stochastiques : Définition 1.2 Un processus stochastique en temps discret (St : Ω → R)t∈DN est prévisible (adapté) si, ∀t > 0, St est Ft−1 mesurable ( Ft mesurable) et si S0 est F0 mesurable. Pour ce qui est du cas continu, la définition du caractère adapté d’un processus est analogue à celle donnée en temps discret. Pour le caractère prévisible on considérera dans ce cours qu’il est identique au caractère adapté pour les processus en temps continu. On définit sur ce marché deux grandes catégories d’actifs : 1.1 Actif sans risque On note r le taux d’intérêt (supposé constant) de la banque de France sur la période [0, T ]. On note St0 : Ω → R+ la valeur d’une unité d’actif sans risque. En accord avec la définition 1.2, on suppose que le processus S 0 est prévisible. En pratique on considérera toujours que St0 = ert 3 1.2 Actifs risqués Soit d ∈ N∗ . On considère que sur le marché sont présents d actifs risqués : si Sti : Ω → R+ , i > 1, représente le cours de l’actif i à la date t, le processus S i est seulement adapté (on ne peut anticiper l’information). On note StR = (St1 , ..., Std ) . Définition 1.3 Un portefeuille financier est un processus prévisible Φt = (Φ0t , Φ1t , ..., Φdt ) ∈ Rd+1 | {z } ΦR t où Φit représente la quantité d’actif i que l’on détient à la date t. En notant x le capital de départ investit, on a R x = Φ00 S00 + ΦR 0 .S0 . La valeur à l’instant t de ce portefeuille est égale à R V x,t = Φ0t St0 + ΦR t .St Remarque : Φ0t < 0 représente un emprunt à la banque au taux r, Φit < 0 représente une vente à découvert Définition 1.4 (finance) Un portefeuille financier est autofinancé si après avoir investi x à t = 0, on ne réinjecte ou on ne retire aucun capital jusqu’à T . En revanche on a le droit, sous cette contrainte, de réagencer le portefeuille à sa guise à chaque instant. Explications : (temps discret) : En temps discret, on part du capital R x = Φ00 S00 + ΦR 0 .S0 . T Entre 0 et N on peut modifier la composition du portefeuille qui devient (Φ0T , ΦRT ). N N On doit avoir la contrainte 0 R R R 0 Φ00 S00 + ΦR 0 .S0 = Φ T S0 + Φ T .S0 . N N En généralisant ce raisonnement, on obtient ∀k ∈ 0, ..., N − 1, Φ0kT S 0kT + ΦRkT .S RkT = Φ0(k+1)T S 0kT + ΦR(k+1)T .S RkT . N N N N N N N N On montre très facilement (exo) que la relation (1) est valide 4 (1) ∀k ∈ 0, ..., N − 1 si et seulement si on a, ∀k ∈ 0, ..., N − 1, V x, (k+1)T N kT = V x, N + Φ0(k+1)T (S 0(k+1)T − S 0kT ) + ΦR(k+1)T .(S R(k+1)T − S RkT ). N N N N N N En temps continu : Entre 2 instants t et t + ε (ε > 0) on doit avoir par analogie avec le cas discret 0 R R V x,t+ε = V x,t + Φ0t+ε (St+ε − St0 ) + ΦR t+ε .(St+ε − St ). Cette relation est notée (de manière heuristique) : R dV x,t = Φ0t dSt0 + ΦR t .dSt . La condition ci-dessus peut s’exprimer de manière rigoureuse en utilisant la notion d’équation différentielle stochastique. Remarque : Si on connaı̂t le capital de départ x nécessaire à la constitution d’un portefeuille autofinancé, la connaissance de ΦR t implique la connaissance de 0 Φt (voir (1)) . 1.3 Hypothèses de modélisation H1 : Absence d’opportunités d’arbitrage (A.O.A), une définition mathématique Il n’existe pas de portefeuille autofinancé constitué à partir d’un capital nul dont la valeur vérifie V 0,T ≥ 0 et P (V 0,T > 0) > 0. Exo : Montrer que la condition précédente équivaut à dire qu’il n’existe pas de portefeuille autofinancé tel que V x,0 = x < 0, V x,T ≤ 0 et P (V x,T = 0) > 0. Théorème 1.1 Considérons deux portefeuilles autofinancés A et B tels que VAx,T = VBx,T . Alors, ∀t ∈ [0, T ], VAx,t = VBx,t . H2 : Tout actif contingent est réplicable Définition 1.5 Un actif contingent est une variable aléatoire FT mesurable (par exemple le payoff d’un call ou d’un put sur un des actifs risqués). Définition 1.6 On dit qu’un actif contingent B est réplicable si il existe un portefeuille autofinancé tel que V x,T = B. 5 Remarque : L’hypothèse H2 nous assure que l’on peut, à l’aide d’un portefeuille bien choisi, créer grâce au marché la richesse B à T . Définition 1.7 On dit qu’un marché est complet ssi H1 et H2 sont vérifiées. Définition 1.8 Dans le cadre d’un marché complet, on appelle prix à l’instant t de l’actif contingent B (noté Pt (B)) la valeur à l’instant t d’un portefeuille autofinancé répliquant B. En particulier si (Φt ) est tel que V x,T = B alors le prix de l’actif à t = 0 est x. Ce prix sera noté P0 (B) = p(B). Remarque : En vertu du théorème 1.1, la définition précédente ne présente aucune ambiguı̈té : la valeur de l’actif contingent à l’instant t est définie de manière unique. Il est fondamentale de comprendre que l’idée essentielle de la théorie moderne du pricing est d’utiliser le marché pour créer de la valeur. Définition 1.9 Soit B un actif contingent et (Φ0t , ΦR t ) le portefeuille de réplication associé, on note ∆t = ΦR . t 1.4 Discussion des hypothèses • Dans le cadre d’un marché complet, les raisonnements d’arbitrage présentés dans cette section (point de vue mathématique) coincident avec ceux effectués dans le préambule de ce cours (point de vue financier). Un excellent exercice est de réécrire les raisonnements d’un point de vue formel pour comprendre où interviennent les hypothèses H1 et H2 . • L’hypothèse H2 est intimement liée à la construction de portefeuilles sans risque. Considérons un actif contingent B (pour fixer les choses, B peut être un call européen d’échéance T ). L’hypothèse de réplication nous assure l’existence d’un portefeuille autofinancé (Φt ) tel que R Φ0T ST0 + ΦR T .ST = B. Ainsi, ST0 = R B − ΦR T .ST , Φ0T de même, St0 = R Pt (B) − ΦR t .St . Φ0t 6 On parle alors de gestion ∆ neutre : le problème de la réplication de B se ramène à la construction d’un portefeuille financier (contenant une unité d’actif contingent B et une certaine quantité d’actifs risqués) permettant de reproduire grâce au marché le taux des placements sans risque. Ce point de vue est notamment adopté dans [2]. 1.5 Problématique : Nous allons maintenant proposer une réponse concrète aux trois problèmes financiers fondamentaux suivant : 0) Modéliser le cours des actifs risqués Nous allons ainsi présenter plusieurs exemples de modélisation en temps discret. 1) Pricing Trouver, dans un modèle donné, le prix d’un actif contingent, en particulier, celui d’un call européen sur un des actifs risqués. 2) Hedging (couverture) Comment produire la richesse nécessaire à la livraison de l’actif : Connaı̂tre la composition exacte du portefeuille autofinancé de réplication d’un actif, en particulier, d’un call. 2 Le modèle binomial 2.1 Modèle binomial 1 période On considère un exemple très simple (le plus simple) de marché financier. On suppose 1) T = 1, N = 1, ainsi, D1 = {0, 1}. 2) Ω = {wu , wd }, F = P(Ω), P est une probabilité telle que 0 < P (wu ) < 1. 3) Un seul actif risqué est disponible avec S00 = 1, S10 = er S01 = s, S11 (wu ) = su, S11 (wd ) = sd 7 où r, s, u, d sont des réels > 0 fixés tels que u > d. 4) On supposera de plus que u > er > d. Remarque : Dans ce cas F0 = {∅, Ω} et F1 = P(Ω), en particulier, un portefeuille financier qui est un processus prévisible est, dans ce cas, déterministe (car mesurable par rapport à la tribu triviale F0 ). t=0 t=1 S 1 (wu ) = su ´´ 1 ´ ´ ´ ´ ´ ´ S01 = s ´ Q Q Q Q Q Q Q QQ 1 S1 (wd ) = sd Dynamique de l’actif risqué Ce marché est il complet ? 2.1.1 Hypothèse H1 : Proposition 2.1 A.O.A ⇔ u > er > d. Preuve : ⇒ Raisonnons par l’absurde. -Si u ≤ er . À t = 0, on considère le portefeuille Φ0 = (s, −1) qui reste constant au cours du temps (et qui est donc, de manière évidente, autofinancé). À t = 1, la valeur de ce portefeuille est ser −S11 ≥ s(er −u) ≥ 0. De plus, P (ser −S11 > 0) ≥ P (wd ) > 0 ce qui contredit la condition de non arbitrage. On remarque au passage pourquoi la condition 2) sur la probabilité P a été imposée. - Si er ≤ d. 8 On raisonne de la même manière. À t = 0, Φ0 = (−s, 11). À t = 1, la valeur de ce portefeuille est −ser + S11 ≥ s(d − er ) ≥ 0. De plus, P (−ser + S11 > 0) ≥ P (wu ) > 0. ⇐ Par l’absurde. Soit (Φ0t , Φ1t )t∈{0,1} un portefeuille autofinancé tel que 0 = Φ00 + Φ10 s et Φ01 er + Φ11 S11 ≥ 0 et P (Φ01 er + Φ11 S11 > 0) > 0. Par autofinancement Φ01 + Φ11 s = 0 et donc Φ11 [−ser + S11 ] ≥ 0 et P (Φ11 [−ser + S11 ] > 0) > 0. Un tel portefeuille ne peut exister car de Φ11 [−ser + S11 ] ≥ 0 et u > er > d on tire Φ11 = 0 et donc la condition P (Φ11 [−ser + S11 ] > 0) > 0 ne peut être vérifiée.2 2.1.2 Hypothèse H2 : Considérons un actif contingent B défini par ses payements à la date t = 1 : on a B(wu ) = Bu et B(wd ) = Bd Dans ce cas, un portefeuille autofinancé de réplication (Φt = (Φ0t , Φ1t ))t∈{0,1} formé avec le capital initial P (B) = x a pour valeur à t = 1 V x,1 = Φ01 er + Φ11 S11 = (x − Φ11 s)er + Φ11 S11 car la condition d’autofinancement entraı̂ne x = Φ01 + Φ11 s. On doit donc résoudre le système suivant (les inconnues étant les quantités déterministes (x, Φ11 )) : V x,1 (wu ) = Bu 9 V x,1 (wd ) = Bd . Il s’agit d’un système linéaire de deux équations à deux inconnues qui se résout aisément. On obtient alors Φ11 = Bu − Bd (dérivée discrète) su − sd et x = P (B) = er − d Bu u − er Bd × r + × r. u−d e u−d e Remarque : La condition d’autofinancement x = Φ01 + Φ11 s, nous fournit aussi la quantité d’actif sans risque que doit contenir le portefeuille de réplication : Φ01 = P (B) − B u − Bd . su − sd En définissant sur Ω la probabilité suivante Q(wu ) = er − d u − er et Q(wd ) = u−d u−d on peut voir que P (B) = EQ [Be−r ]. De plus, la condition u > er > d implique Q(wu ) > 0 et Q(wd ) > 0. Cette observation est un cas particulier d’un résultat important bien plus général (Admis, [4], chap.1) : Définition 2.1 Deux probabilités P et Q définies sur l’espace mesuré (Ω, A) sont équivalentes ssi ∀A ∈ A P (A) = 0 ⇔ Q(A) = 0. Théorème 2.1 Lorsque un marché financier est complet, il existe une unique probabilité Q équivalente à P telle que le prix p(B) d’un actif contingent B soit égal à l’espérance sous Q de sa valeur finale actualisée. 10 Remarque : Liens avec la finance (”le monde mathématique” coincide avec ”le monde financier”). Bien que naturelle, la définition de P (B) peut paraı̂tre arbitraire. Nous allons montrer par un raisonnement d’arbitrage purement financier qu’elle est totalement justifiée. Considérons que l’actif contingent B soit disponible à la vente sur un marché organisé au prix Π(B), on a alors la proposition suivante : Proposition 2.2 En l’A.O.A, on a forcément Π(B) = P (B). Preuve -Si Π(B) > P (B). - On achète B à t = 0, au prix Π(B) du marché. u −Bd - On achète à t = 0, −Φ11 = − Bsu−sd unités d’actifs risqué au prix −Φ11 s. - On achète à t = 0, −P (B) + Φ11 s unités d’actif sans risque au prix −P (B) + | {z } Φ11 s. −Φ01 Le capital nécessaire pour mettre en place cette stratégie est P (B) − Π(B) < 0. A t = 1, la valeur de ce portefeuille est B − B = 0. Contradiction. (Exo : Faire le cas Π(B) < P (B).)2 11 2.2 Modèle binomial 2 périodes On suppose 1) T = 1, N = 2, ainsi, D2 = {0, 21 , 1}. 2) Ω = {wu , wd }2 , F = P(Ω), on munit Ω d’une probabilité produit de la forme P ⊗ P où P est une probabilité sur {wu , wd } telle que 0 < P (wu ) < 1. 3) Un seul actif risqué est disponible avec r S00 = 1, S 01 = e 2 , S10 = er . 2 S01 = s, S 11 (wu ) = su, S 11 (wd ) = sd 2 2 S11 (wu , wu ) = su2 , S11 (wu , wd ) = S11 (wd , wu ) = sud, S11 (wd , wd ) = sd2 où r, s, u, d sont des réels > 0 fixés tels que u > d. 4) On supposera de plus que r u > e 2 > d. Dans ce cas, F0 = {∅, Ω}, F 1 = {∅, Ω, {wu }, {wd }}, F1 = P(Ω). 2 t=0 t = 1/2 t=1 1 2 ´ S1 (wu , wu ) = su ´ ´ ´ ´ ´ S01 = s ´ ´1 ´QS 1 (wu ) = su ´ 2 Q ´ Q ´ Q ´ Q ´ Q ´ Q ´ QQ 1 1 ´ ´ S1 (wu , wd ) = S1 (wd , wu ) = sud Q ´ Q ´ Q ´ Q ´ Q ´ Q ´ Q Q ´´ Q S 11 (wd ) = sd Q2 Q Q Q Q Q Q Q S 1 (w , w ) = sd2 d d 1 Dynamique de l’actif risqué 12 2.2.1 Les hypothèses H1 et H2 sont vérifiées Proposition 2.3 (Exo) On montre par un raisonnement analogue à celui de la r preuve de la proposition 2.1 que l’A.O.A est équivalente à u > e 2 > d. Preuve : Indication : Considérer le portefeuille constant au cours du temps r r (s, −1) (le portefeuille (−s, 1))) si u ≤ e 2 (si e 2 ≤ d).2 Proposition 2.4 L’hypothèse H2 est trivialement vérifiée en effectuant un raisonnement BACKWARD (récurrence arrière) permettant de se ramener au cas de trois marchés financiers complets une période (un tel raisonnement sera mis en place dans le paragraphe suivant). 2.2.2 Pricing et Hedging Dans ce contexte, on se propose d’étudier la réplication d’un actif contingent de la forme B = g(S11 ) où g est une fonction continue. Remarque : Notons que dans le cas considéré, B(wu , wd ) = B(wd , wu ) ce qui simplifie un peu les choses. t=0 t = 1/2 t=1 ´ B(wu , wu ) ´ ´ ´ ´ P (B) ´ Q ´ ´ ´ ´ P 1 (B)(wu ) 2 ´ QQ ´ Q ´ Q ´ Q ´ Q ´ Q ´ QQ B(wu , wd ) = B(wd , wu ) ´´ Q ´ ´ Q Q ´ Q Q Q ´ ´ ´ Q ´ Q P 1 (B)(wd ) Q2 Q Q Q Q Q Q Q B(w , w ) d d Dynamique de l’actif contigent 13 Pour pricer cet actif, on fait un raisonnement BACKWARD (récurrence arrière). On décompose le problème en trois marchés une période. On montre, par analogie avec la section précédente, que · ¸ B(wu , .) P 1 (B)(wu ) = EQ2 (on intégre en la deuxième variable) r 2 e2 où Q2 est la probabilité sur {wu , wd } défini par r e2 − d Q2 (wu ) = q2 = . u−d De même, · ¸ B(wd , .) . r e2 P 1 (B)(wd ) = EQ2 2 Enfin, " P (B) = EQ2 P 1 (B) 2 # r e2 . Au final, on a · P (B) = EQ2 ⊗Q2 ¸ B . er Remarque : On retrouve le résultat du théorème 2.1 car la probabilité Q2 ⊗Q2 est équivalente à P ⊗ P. Si B = g(S11 ) on obtient (comme B est symétrique) 2 1 X P (B) = r g(suk d2−k )Ck2 (q2 )k (1 − q2 )2−k . e k=0 On montre aussi que la quantité d’actif risqué que doit contenir le portefeuille de réplication à t = 12 vaut Φ11 = P 1 (B)(wu ) − P 1 (B)(wd ) 2 2 us − ds De la même manière, ∀w ∈ {wu , wd }, 2 Φ11 (w) = . B(w, wu ) − B(w, wd ) . uS 11 (w) − dS 11 (w) 2 14 2 Remarque : Le portefeuille Φ est autofinancé par construction car P (B) = Φ11 S01 + Φ01 2 et 2 r r Φ11 S 11 + Φ01 e 2 = P 1 (B) = Φ11 S 11 + Φ01 e 2 . 2 2 2 2 2 De plus il réplique l’actif : Φ11 S11 + Φ01 er = B. 2.3 Modèle binomial N périodes Dans le cas du modèle N périodes, nous allons préciser le formalisme mathématique sous-jacent et donner les formules de couverture et de pricing sans démonstrations. Le raisonnement utilisé est la généralisation immédiate du cas N = 2. t=0 t = 1/2 t=1 ...... t=N −1 t=N N ³³ u s ³ ³³ . .³ PP . . PP ... PP uN −1 ds ... . ³ . ³ . . ³ . . ³ 2 . ³ . u s. . . ³ PP .. . PP . . . PP uN −2 d2 s . us. . . . . .. . . ³³ . . . . . uds .... ³ .. ³³ s ³ ...... PP ... PP ds . . . . . PP . . . .... . . . . d2 s ... . .... .... .... ... .. . uN.. −i di s . 2 N −2 s ³ u d ³³ ³³ ³ PP PP PP N −1 s ³³ ud ³ . . . . ³³ .³ PP PP PP dN s Dynamique de l’actif risqué On suppose 1) T = 1, N ∈ N∗ , ainsi, DN = {0, N1 , ..., 1}. 2) Ω = {wu , wd }N , F = P(Ω), on munit Ω d’une probabilité produit de la forme P ... ⊗ P} où P est une probabilité sur {wu , wd } telle que 0 < | ⊗ {z P (wu ) < 1. N fois 15 3) Le marché comprend un seul actif risqué. De plus, kr S00 = 1, ∀k ∈ {1, ...N }, S 0k = e N . N k Pour w ∈ {wu , wd } , on note ik (w) = #{i ∈ {1, ..., k}|wi = wu }, jk (w) = #{j ∈ {1, ..., k}|wj = wd } (ik (w) + jk (w) = k). Alors, S01 = s, S 1k (w) = suik (w) djk (w) . N 4) On supposera de plus que r u > e N > d. Dans ce cas, ∀k ∈ {0, ...N }, F k = P({wu , wd }k ). N Ce marché financier vérifie, par analogie avec le cas N = 2, les hypothèses H1 et H2 . t= k N t= k+1 N P k+1 (B)(w, wu ) N ´´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ P k (B)(w) ´ Q N Q Q Q Q Q Q QQ P k+1 (B)(w, wd ) N Dynamique de l’actif contingent De plus, lorsque B = g(S11 ) avec g continue, on montre que, ∀k ∈ {0, ..., N −1}, ∀w ∈ {wu , wd }k , 1 r [qN P k+1 (B)(w, wu ) + (1 − qN )P k+1 (B)(w, wd )] N N N eN est la probabilité sur {wu , wd } telle que P k (B)(w) = où QN r QN (wu ) = qN = 16 eN − d . u−d (2) Ainsi, par une récurrence arrière, on en déduit que · ¸ g(S11 (w, .)) P k (B)(w) = E(QN )⊗N −k k N er(1− N ) et donc que ∀k ∈ {1, ..., N }, ∀w ∈ {wu , wd }k , P k (B)(w) = N N −k X 1 k ) r(1− N e ³ 1 j N −k−j ´ g S k (w)u d N j=0 j CjN −k qN (1 − qN )N −k−j . En particulier, P (B) = N 1 X ¡ j N −j ¢ N j g su d Cj qN (1 − qN )N −j . er j=0 (3) Remarque : La formule (2) nous permet d’avoir la méthode la plus efficace de calcul du prix de l’actif car elle permet d’éviter le calcul numérique des Ckn qui pose des problèmes. Pour ce qui est du problème de la couverture, on obtient par analogie immédiate avec le cas N = 2, ∀k ∈ {1, ..., N }, ∀w ∈ {wu , wd }k , Φ1k (w) = N P k (B)(w, wu ) − P k (B)(w, wd ) N N (u − d)S 1k−1 . N Il faut bien comprendre que le modèle multi-périodes est en fait une succession de N(N+1) problèmes locaux 1 période. 2 2.4 2.4.1 Modèle de Cox-Ross-Rubinstein (C.R.R) Le modèle Le modèle C.R.R est un cas particulier du modèle binomial N périodes dont les paramètres u et d (qui vont dépendre de N ) sont choisis pour permettre le passage à la limite lorsque N → ∞. L’intérêt de ce modèle datant de 1979 est qu’il approche de manière satisfaisante le célèbre modèle en temps continu proposé par Black et Scholes en 1973. 1) On se place dans le cas où T = 1, N ∈ N∗ ainsi DN = {0, N1 , ..., 1}. 2) Ω = {wu , wd }N , F = P(Ω) et on munit Ω d’une probabilité de la forme P ⊗ ... ⊗ P où P est une probabilité sur {wu , wd } telle que 0 < P (wu ) < 1. 17 3) On définit alors une famille de variables aléatoires (Z1 , . . . , ZN ) telles que ∀i ∈ {1, ..., N }, Zi : w = (w1 , ..., wN ) ∈ Ω 7→ Zi (wi ) ∈ {−1, 1} avec P (Zi = 1) = p P (Zi = −1) = 1 − p avec 1 > p > 0. Dans ce cas les Zi forment un N -échantillon. On pose Fk = σ(Z1 , ...Zk ). Le cours de l’actif risqué est alors donné par S01 1 = s et ∀k ∈ {1, ..., N }, S k = se kbN +σN k P i=1 Zi . N Le cours de l’actif sans risque vérifie, quant à lui, ∀k ∈ {0, ..., N }, kr S 0k = e N . N Il s’agit donc d’un cas particulier de modèle binomial avec uN = ebN +σN et dN = ebN −σN . On impose donc la condition d’A.O.A r uN > e N > d N . Dans ce cas ce modèle vérifie H1 et H2 . On s’intéresse, dans cette partie, à l’évaluation de l’actif contingent B = g(S11 ) = (S11 − K)+ (Payoff d’un call européen de strike K sur l’actif risqué S 1 ) pour une certaine constante positive K. D’après la formule (3), on a, en notant P N (B) le prix à t = 0 de l’actif contingent B dans le modèle C.R.R N périodes, N 1 X ³ j N −j ´ N j P (B) = r g suN dN Cj qN (1 − qN )N −j e j=0 N où r r uN − e N e N − dN , 1 − qN = . qN = uN − dN uN − dN En notant −j ηN = inf {j ∈ {0, ..., N }/sujN dN ≥ K}, N 18 (4) P N (B) = N ´ 1 X ³ j N −j j su d − K CjN qN (1 − qN )N −j N N er j=η (5) N N −j Remarque : La quantité ηN ∈ {0, ..., N }, de plus, ∀j ≥ ηN , sujN dN ≥ i N −i K. En effet, on remarque (en passant au log) que la fonction i 7→ suN dN est croissante car uN > dN . De plus, on peut toujours supposer suN N ≥ K car sinon l’actif contingent B est nul ce qui est peu intéressant. L’ensemble {j ∈ −j {0, ..., N }/sujN dN ≥ K} est donc non vide et sa borne inférieure finie. N 2.4.2 Rappels et notations de probabilités Une variable aléatoire X définie sur (Ω, A, P ) et à valeurs dans {0, ..., n} suit une loi binomiale de paramètres (n, p) si, ∀k ∈ {0, ..., n}, P (X = k) = Ckn pk (1 − p)n−k . On note alors X ,→ B(n, p). Remarque : Si X suit une loi binomiale de paramètres (n, p), on peut écrire X= n X Xi i=1 où les Xi sont des variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernoulli de paramètre p, c’est à dire, P (Xi = 1) = p et P (Xi = 0) = 1 − p. On notera de plus B(n, p, η) = P (X ≥ η). D’après la formule (5), N ´ 1 X ³ j N −j j (1 − qN )N −j P (B) = r suN dN − K CjN qN e j=η N N et donc N P (B) = s N X j=ηN CjN N ³ u q ´j µ (1 − q )d ¶N −j K X N N N N j − r CjN qN (1 − qN )N −j . r r e j=η eN eN N 19 En remarquant que uN q N (1 − qN )dN + = 1, r r eN eN on obtient P N (B) = sB(N, 2.4.3 uN q N K , ηN ) − r B(N, qN , ηN ). r e eN (6) Rappels concernant la convergence en loi des variables aléatoires Pour la démonstration des résultats présentés ici nous renvoyons à [3]. ∗ Convergence en loi des variables aléatoires Définition 2.2 Une suite (Xn )n∈N de variables aléatoires définie sur (Ω, A, P ) et à valeurs dans R converge en loi vers une variable aléatoire X réelle définie sur (Ω, A, P ) ssi pour toute fonction continue bornée f : R → R EP [f (Xn )] → EP [f (X)]. n→∞ On notera alors L Xn → X. n→∞ ∗ Critères de convergence Nous donnons maintenant deux critères permettant de démontrer la convergence en loi d’une suite de variables aléatoires. Définition 2.3 Si Y est une variable aléatoire définie sur (Ω, A, P ) à valeurs dans R on notera FY : R → [0, 1] (resp. ΦY : R → R) sa fonction de répartition (resp. sa fonction caractéristique) qui est définie, ∀t ∈ R, par ¤ £ FY (t) = P (Y ≤ t) (resp. ΦY (t) = EP eitY ). L Proposition 2.5 On a Xn → X ssi une des deux assertions suivantes est n→∞ vérifiée : a) FXn (t) → FX (t) pour tout point t où FX est continue. n→∞ b) ∀t ∈ R, ΦXn (t) → ΦX (t). n→∞ Le corollaire suivant est une conséquence immédiate du théorème de Dini. 20 L Corollaire 2.1 Si Xn → X et si tn → t dans R, alors, n→∞ n→∞ FXn (tn ) → FX (t). n→∞ L Corollaire 2.2 Si Xn → X avec FX continue, alors, n→∞ 1) P (Xn ≥ t) → P (X ≥ t). n→∞ 2) Si tn → t, n→∞ P (Xn ≥ tn ) → P (X ≥ t). n→∞ ∗ La loi normale N (m, σ 2 ) Définition 2.4 Une variable aléatoire X suit une loi normale de moyenne m et de variance σ 2 (on note alors X ,→ N (m, σ 2 )) si Z t (x−m)2 1 FX (t) = √ e 2σ2 . 2πσ 2 −∞ On peut montrer de plus que ΦX (t) = eitm e −σ 2 t2 2 . ∗ Théorème de la limite centrale La loi normale (appelée aussi loi de Gauss) est fondamentale en théorie des probabilités car elle apparaı̂t comme limite dans le résultat de convergence en loi suivant : Théorème 2.2 Soit (Xn )n∈N∗ une suite de variables aléatoires i.i.d de moyenne m et de variance finie notée σ 2 , alors, n P i=1 Xi − nm L √ → N (0, 1). 2 n→∞ nσ Preuve : On note Yi = Xi − m √ . σ2 21 Ainsi, n P i=1 Xi − nm n 1 X √ =√ Yi n i=1 nσ 2 où les Yi sont i.i.d de moyenne nulle et de variance 1. En utilisant l’indépendance et l’équi-distribution, on a · µ ¶¸n t n Φ1 P (t) = ΦY1 √ . √ Yi n n i=1 Comme Y1 est de carré intégrable, le théorème de dérivation sous le signe somme de Lebesgue nous assure que ΦY1 est deux fois dérivable avec Φ0Y1 (0) = iE[Y1 ] = 0 et Φ00Y1 (0) = −E[Y12 ] = −1. En appliquant la formule de Taylor Young au voisinage de 0, on obtient ¶ µ t t2 t ΦY1 √ =1− + o( ). 2n n n Un simple calcul de limite nous assure alors Φ √1 n n P i=1 Yi (t) → e n→∞ −t2 2 = ΦN (0,1) (t). On a donc le résultat en utilisant la proposition 2.5.2 Nous avons à présent le matériel nécessaire pour effectuer le passage à la limite dans le modèle C.R.R. 2.4.4 Passage à la limite Nous allons supposer dans ce paragraphe que bN = σ b et σN = √ , N N b et σ étant deux paramètres strictement positifs appelés le drift (la tendance, la dérive) et la volatilité. Remarque : Les résultats que nous allons démontrer ici sont valables lorsque les suites (bN )N ∈N∗ et (σN )N ∈N∗ vérifient 22 N bN → b et √ N →∞ N σN → σ. N →∞ En utilisant la relation (6), on a démontré que uN q N K , ηN ) − r B(N, qN , ηN ). r e eN Nous allons étudier le comportement asymptotique du terme B(N, qN , ηN ), la méthode étant identique (le faire en exercice) pour le terme B(N, uNNrqN , ηN ). e Ainsi, si on note, ∀N ∈ N∗ , (X1N , ..., XNN ) un N -échantillon d’une loi de Bernoulli de paramètre qN , à N ! X B(N, qN , ηN ) = P XiN ≥ ηN . P N (B) = sB(N, i=1 Comme E[X1N ] = qN et var[X1N ] = qN (1 − qN ) on a N P XiN − N qN i=1 ηN − N qN P p ≥p N qN (1 − qN ) N qN (1 − qN ) où n P i=1 p XiN − N qN N qN (1 − qN ) L → N (0, 1) N →∞ en vertu du théorème 2.2. Nous aurons besoin du lemme technique suivant : Lemme 2.1 En notant log( Ks ) + (r + d1 = σ ηN − N qN p N qN (1 − qN ) σ2 ) 2 , → −d1 + σ. N →∞ Preuve du lemme : Comme −j ηN = inf {j ∈ {0, ..., N }/sujN dN ≥ K}, N 23 (7) nous avons et −ηN suηNN dN ≥K N (8) −ηN +1 suηNN −1 dN <K N (9) avec b uN = e N b + √σ et dN = e N N − √σ N . On déduit aisément en passant au logarithme dans l’inégalité (8) que à ! log( Ks ) − b N √ + N . ηN ≥ 2 2σ De la même manière on déduit de l’inégalité (9) que à ! log( Ks ) − b N √ ηN < + N + 1, 2 2σ ainsi, N √ ηN = + N 2 à log( Ks ) − b 2σ De plus, comme ! √ + o( N ). r e N − dN qN = uN − d N on obtient par développement limité que qN = et donc 1 qN = √ N µ r−b N 2 √σ − σ + o( 1 ) 2N N N 2σ 1 √ √ + o( N ) N + r−b 2σ ¶ + 1 σ 1 − √ + o( √ ). 2 4 N N De ce fait, ηN − N q N = Comme p √ à N log( Ks ) − (r + 2σ σ2 ) 2 ! √ √ σ N + + o( N ). 2 √ s N 1 N qN (1 − qN ) = 1 + o( √ ), 2 N 24 log( Ks ) − (r + p → σ N qN (1 − qN ) N →∞ ηN − N qN σ2 ) 2 + σ = −d1 + σ.2 En utilisant (7), le lemme 2.1 et le corollaire 2.2, on obtient B(N, qN , ηN ) → 1 − F (−d1 + σ) = F (d1 − σ) N →∞ où F est la fonction de répartition d’une N (0, 1). De la même manière, on montre que B(N, uN q N , ηN ) → F (d1 ). r N →∞ eN Nous obtenons alors la proposition suivante : Proposition 2.6 Dans le modèle C.R.R à N périodes, le prix du call européen P N (B), à l’instant t = 0, converge vers la limite P (B) = sF (d1 ) − Ke−r F (d1 − σ) où log( Ks ) + (r + d1 = σ σ2 ) 2 (10) . Remarque : La formule (10) est connue sous le nom de formule de BlackScholes ([2], p. ? ? ? ?). Il est bon de voir quelle ne dépend ni de la probabilité a priori P ni du drift b. Elle nécessite uniquement la connaissance du paramètre de volatilité σ. Notons également que l’utilisation de la parité call-put (valable en A.O.A) nous fournit sans calculs le prix d’un put de strike K sur l’actif S 1 . En notant Φ1,N la quantité d’actif risqué que doit contenir le portefeuille de 0 réplication d’un call européen dans le modèle C.R.R N périodes, on obtient le résultat suivant dont la preuve est laissée en exercice. Il coincide également avec le résultat que l’on obtient en utilisant le modèle en temps continu de Black-Scholes. Proposition 2.7 Φ1,N → F (d1 ) = 0 N →∞ 25 ∂P (B) . ∂s Remarque : Les résultats obtenus précédemment sont très naturels et soulignent l’intérêt du modèle C.R.R comme approximation du modèle en temps continu de Black-Scholes. En effet, les calculs dans C.R.R peuvent s’effectuer de manière purement algorithmique à l’aide d’une simple routine programmée sur ordinateur (formule (2)). 26 Références [1] F. Black and M Scoles, The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political Economy, 81 (1973), 637-654. [2] J. C. Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, Sixth Edition, Prentice Hall, 2004. [3] J. Jacod and P. Protter, Probability essentials, Springer, 2002. [4] D. Lamberton and B. Lapeyre, Introduction to stochastic calculus applied to finance, Translated from the 1991 French original by Nicolas Rabeau and Francois Mantion, Chapman & Hall, London, 1996. 27