Générateur Van de Graaf et effets spéciaux

UE PHY 235 2012-­‐2013 Université J. Fourier EXAMEN PARTIEL D’ ELECTROMAGNETISME Générateur Van de Graaf et effets spéciaux Durée : 1h30. Documents non autorisés, calculatrice autorisée. Les durées de chaque partie sont données à titre indicatif. La machine de Van de Graaf est un générateur électrostatique permettant de produire des potentiels électrostatiques très élevés. Le mode de fonctionnement est schématisé ci-­‐contre : à l’aide d’une haute tension ou par frottement, une courroie est chargée électriquement par un peigne chargé (« charged comb »). En faisant tourner la courroie (« conveyor belt »), les charges sont transportées jusqu’à un peigne collecteur (« collecting comb ») qui redistribue les charges dans une sphère métallique. On se propose ici d’étudier des effets électrostatiques spectaculaires liés à ces hautes tensions. Partie 1 : champ et potentiel électrostatiques créés par le générateur : (∼ 45 minutes)
Pour simplifier le problème on néglige la partie comprenant la courroie : on considère le générateur comme une sphère conductrice de rayon R, à l’équilibre électrostatique. 1.1)
1.2)
1.3)
1.4)
1.5)
1.6)
Comment sont réparties les charges dans un conducteur à l’équilibre ? Que peut-­‐
on en déduire pour le champ électrostatique à l’intérieur du conducteur ? Et pour le potentiel ? A l’aide du théorème de Gauss local et de la question précédente, montrez que la densité volumique de charges ρ à l’intérieur de la sphère est nulle. On suppose que la densité surfacique de charges est uniforme : σ=σ0. A l’aide du théorème de superposition, montrez que le potentiel électrostatique au centre de σR
la sphère s’écrit V0 = 0 . ε0
Déduisez-­‐en la capacité de la sphère chargée ainsi que l’énergie électrostatique emmagasinée. Etudiez les symétries de la distribution de charges et déduisez-­‐en la direction du champ €A L’EXTERIEUR de la sphère chargée, ainsi que les variables dont sa norme dépend. Quelle surface de Gauss serait adaptée à ce problème ? Calculez alors le champ électrostatique à l’extérieur de la sphère chargée, et montrez qu’il est équivalent au champ créé par une charge ponctuelle effective Qeff placée au centre de la sphère, que l’on exprimera en fonction de σ0 et R. Comparez votre résultat pour Qeff avec les résultats des question 1.3 et 1.4. 1.7)
1.8)
1.9)
Rappeler (sans le démontrer) le théorème de Coulomb. Est-­‐il vérifié au voisinage de la surface de la sphère ? D’après la question 1.6, calculez le potentiel électrostatique V(r) à l’extérieur de la sphère. Exprimez le en fonction de V0, R et r. On donne en coordonnées sphériques dl = drur + rdθ uθ + r sin θdϕ uϕ . Applications numériques : a) Calculez la densité surfacique de charges à générer si l’on veut mettre le générateur à un potentiel de 105V. Le rayon de la sphère est R=20cm. On donne ε0€
=8,85.10-­‐12 SI. b) En déduire la charge totale portée par la sphère dans ces conditions. c) Une batterie de téléphone portable totalement chargée contient une charge de 1200 mA.h. De quel pourcentage cette charge baisserait-­‐elle si la batterie servait à charger le générateur ? Conclusion ? Partie 2 : expériences spectaculaires : (∼ 15 minutes) 2.1)
2.2)
En vous basant sur les résultats de la partie précédente, expliquez qualitativement ce qui arrive à la chevelure de la jeune fille de la photo ci-­‐contre (on considère la jeune fille comme un conducteur parfait en bonne approximation). Justifier l’orientation de ses cheveux et tracer schématiquement l’allure des équipotentielles et des lignes de champ près de la sphère et près de la tête de la jeune fille. On approche un tube fluorescent (abusivement appelé « néon ») du générateur porté à un potentiel de V0=3.104V. Le centre O’ du tube est orienté radialement, de manière à ce que la droite OO’ reliant le centre de la sphère au centre du tube soit horizontale. Le tube lui-­‐même fait un angle α avec l’horizontale, et ses deux extrémités A et B, espacées de 2l, sont situées à une distance rA et rB de la sphère. V0
(σ)
O
V
A A
rA
α
r
rB
2l
O'
B VB
a) Si la différence de potentiel entre les électrodes VA-­‐VB est supérieure à une tension seuil (typiquement 1000 V), le tube commence à émettre de la lumière. Si on approche le tube orienté radialement (α=0), calculez la distance maximale rmax entre la sphère et le tube en dessous de laquelle le tube s’allume (comme illustré par la photo ci-­‐dessus). Le tube est tel que 2l=1m, et le rayon de la sphère est R=0,2 m. b) Discutez le cas particulier α=π/2. Le tube pourra-­‐t-­‐il s’allumer ? Partie 3 : polarisabilité des atomes : (∼ 30 minutes) CETTE PARTIE PEUT ETRE TRAITEE INDEPENDAMMENT Un tube fluorescent (communément appelé « néon ») s’allume lorsque le champ électrique appliqué entre ses deux électrodes est suffisamment élevé pour ioniser le gaz qu’il contient. Pour des champs électriques plus faibles, l’effet sera de déplacer les charges par rapport à leur position d’équilibre (on supposera les noyaux immobiles). Le champ va donc induire la formation de dipôles électrostatiques au sein de chaque atome. Nous modélisons ici un atome d’hydrogène comme un proton ponctuel de charge +e entouré d’un nuage électronique sphérique de rayon a et de charge totale –e répartie uniformément (la densité volumique de charges correspondante ρ est constante). Un champ extérieur E 0 constant est appliqué sur l’atome. Le nuage électronique va alors atteindre une nouvelle position d’équilibre, centrée à une distance réq du proton. €
a
3.6)
€
3.7)
€
E0
3.1)
Déterminer la densité volumique de charges électronique ρ. 3.2) Quelle est la position d’équilibre du nuage électronique et du proton en l’absence de -e
ρ=cte
champ extérieur ? 3.3) On considère dans un premier temps le nuage électronique seul et sans champ extérieur. A l’aide du théorème de Gauss, calculez le champ O
+e
E e − (r) créé par ce nuage électronique à une réq
distance r de son centre O, et montrez que
er
E e − (r) =
u . 4 πε 0 a 3 r
€
3.4) Calculez également le potentiel, en fixant V(r=0)=0. 3.5) L’équilibre de l’atome est atteint lorsque la €
force électrostatique totale s’exerçant sur le nuage électronique s’annule. Déduisez-­‐en que la distance d’équilibre entre le proton et le nuage électronique E 0 4 πε 0 a 3
vaut réq =
. e
Exprimez alors le moment dipolaire induit p en fonction de e et réq, et montrez que p = αε 0 E 0 , où α est appelé polarisabilité de l’atome et s’exprime en fonction de a. Dans ce modèle, l’atome est ionisé si le proton « sort » du nuage électronique. € maximale du proton ? Calculez alors l’énergie Quelle est la distance d’équilibre potentielle électrostatique de l’atome. Faites l’application numérique pour l’atome d’hydrogène (pour lequel a=0,529.10-­‐10 m), et comparez à l’énergie d’ionisation de cet atome Ei=13,6 eV.