Imager les interférences quantiques dans les semi

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Imager
lesinterférencesquantiques
dansles semi-conducteurs
Article proposé par:
Hermann Sellier ,[e-mail]
Institut Néel, UPR 2940, CNRS, Grenoble
BenoîtHackens ,
CERMIN, UniversitéCatholiquedeLouvain-la-Neuve, Belgique
MarcoPala ,[e-mail]
IMEP, UMR 5130, CNRS/INPG/UJF, Minatec, Grenoble, Institut de Microélectronique, Electromagnétique etPhotonique
Serge Huant ,[e-mail]
Institut Néel, UPR 2940, CNRS, Grenoble
Une nouvelle microscopie àsonde locale aété développée pour étudierlesdispositifsmésoscopiques semi-
conducteurs dontlesélectronsde conduction sontenfouisàplusieurs dizainesde nanomètres sous lasurface.
Cette microscopie mesure les variationsde conductance pendantqu’une pointe nanométriqueàlaquelle on
appliqueune tension est déplacée au-dessus dudispositif pour modifierlocalementle potentiel électrostatique
comme une grille locale. Cetarticle présente leseffets observésexpérimentalement sur desanneaux quantiques,
ainsi que des simulations théoriquesmettanten évidence la correspondance entre lesimagesde conductance et
ladensité d’états locale.
escomposants actuelsde lamicro-électroniqueutili-
sentessentiellementlapropriété laplus fondamen-
tale de l’électron pour coderet véhiculerles signaux
numériques, à savoir sa charge. Plusieurs domainesde
recherche exploitantd’autrespropriétésdesélectronsont
émergé cesdernièresannéescomme l’électronique de
spin, basée sur le momentmagnétique intrinsèque de
l’électron1oul’électronique quantique, basée sur l’intri-
cation desétats quantiquesdesparticules 2 .
Lesinterférencesquantiques
Une autre propriété intéressante de l’électron, à savoir
sa« phase »,pourraitdonnerlieuàune nouvelle électro-
niquebasée sur la capacité de l’électron,vu comme une
onde, à interféreraveclui-même ouavecsescongénères.
Cette propriété quantique,décrite par une fonction
d’onde,vientcompléterlareprésentation corpusculaire
de l’électron par une image ondulatoire. Lorsque lesélec-
trons sontconfinésdansdespetites régionsde l’espace,
leur nature ondulatoire est responsable de laquantifica-
tion de leur niveaud’énergie etde leur fonction d’onde,
sous forme d’un ensemble discretd’états propres.Le
spectre discretdesniveaux d’énergie danslesatomesest
unbel exemple de quantification desfonctionsd’onde
électroniquesàl’échelle atomique.
Dansles structuresmétalliquesou semi-conductrices
de taille nanométrique,lesélectrons sontégalement
confinésdans une ouplusieurs directionsde l’espace.
Ceci donne naissanceàdesétats discrets dontlafonction
d’onde est une figure d’interférenceavecdesnœudset
des ventresde probabilité de présenceau sensde laméca-
nique quantique. Lorsquecesnanostructurespossèdent
un grand nombre d’électrons,leurs niveaux d’énergie
sontprochesetlesfiguresd’interférences sebrouillent.
Pour obtenirdesdispositifsoùleseffets d’interférences
sontbien visibles,il est doncnécessaire de réduire forte-
mentladensité électronique en utilisantdes systèmes
bidimensionnelsdanslesquelslesélectronsne peuvent se
déplacerque dans un plan.
Untel système électroniquebidimensionnel existe
naturellementàlasurface de certainsmétaux lorsqu’ils
sontpréparésetconservés sous ultra-vide. Lorsque des
atomes sontdisposés sur cettesurface de manièreàdéfi-
nir une barrièrecirculaire,lesfonctionsd’ondesdesélec-
tronspiégésàl’intérieur de cettecavité formentdes
figuresd’interférencecaractéristiquesdesondesen
milieuconfiné. La réalisation expérimentale de cette
structureàl’échelle de quelquesatomesaété obtenue en
1. Spintronique:le spin s’invite en électronique, Imagesde laphysique
2005,p. 192.
2.L’ordinateur quantique:un défi pour lesexpérimentateurs, Imagesde la
physique2005,p. 111.
L

Imagerlesinterférencesquantiquesdansles semi-conducteurs
50
1993parle groupe de Don Eiglerà IBM en utilisantla
pointe d’un microscope àeffet tunnel (STM pour
Scanning Tunnelling Microscope) à bassetempérature et
sous ultra-vide3 .Cette équipe anotammentassemblé un
corralcirculairede48atomesde feràlasurface ducuivre.
Lesimagesde ladensité électroniqueàl’intérieur de cette
cavité obtenuesen microscopie STM révèlent un ensem-
ble de cerclesconcentriques représentantlesfranges
d’interférencesen symétrie circulaire de lafonction
d’onde desélectrons(voirfigure1 ). Grâceàlarésolution
en énergie duSTM, chaque étatpropreapuêtre imagé
séparémentévitantainsilerecouvrementetle brouillage
desdifférentesfiguresd’interférencecorrespondantàdes
niveaux d’énergie différents.
La microscopie pareffet
de grille local
Les surfacesde métaux décritesprécédemment sont
trèsdélicatesetdoiventêtre préparées sous ultra-vide.
Heureusementil existe des systèmesélectroniquesbidi-
mensionnelsplus robustes,quisontnaturellementproté-
gésdescontaminationsde surface, car situésàl’intérieur
d’une multicouche de semi-conducteurs obtenue parépi-
taxie parjets moléculaires.Unautreavantage de ces systè-
mesest le contrôle de ladensité d’électronsgrâceau
dopage de lastructure. La fabrication pargravure de petits
dispositifsde taille nanométrique permetalors de réaliser
descavitésdanslesquelleslesfonctionsd’onde sontquan-
tifiéesetformentdesfiguresd’interférence qui évoquent
cellesducorralatomiqueréalisé parSTM.Mais une diffé-
rence importantevientde ladensité électroniquesurfa-
cique dansles semi-conducteurs,qui est environ 100 fois
plus faible qu’àlasurface d’un métal. Il en résulteune
plus faible énergie desélectronsde conduction auniveau
de Fermi (l’énergie de Fermi EFest proportionnelle àla
densitéàdeux dimensions),etdoncune plus grande lon-
gueur d’onde quantique (longueur d’onde de DeBroglie),
produisantainsi desfrangesd’interférencesbeaucoup
plus espacées.Ceci permetd’utiliserdescavitésde plu-
sieurs centainesde nanomètres, aulieude seulement
quelquesdizainesde nanomètresdansle casd’un métal.
Cependantil est nécessaire de placerle dispositif semi-
conducteur àune températuresuffisammentbasse pour
que lesélectrons se déplacentde manièrebalistique et
cohérentesur cesgrandesdistances sans subirde colli-
sionsautresquecellesduesaux bordsde la cavité.
La difficulté expérimentale dansl’étude de cesnano-
structuresépitaxiées vientparadoxalementde laposition
enterrée, à plusieurs dizainesde nanomètres sous lasur-
face,dugazd’électronsbidimensionnel. Certes, celales
protège descontaminationsetconfèreaux électrons une
grande mobilité,maiscelaempêche égalementleur obser-
vation parmicroscopie STM.C’est pour tenterde remédier
à ce problème qu’une nouvelle technique de microscopie a
été imaginée, appelée microscopie pareffetde grille local
(SGM pour Scanning GateMicroscopy). Elle consisteà
mesurerles variationsde conductance du système électro-
nique en présence d’une modification locale dupotentiel
appliquée par une pointe métallique nanométrique placée
justeau-dessus de lasurface etpolarisée avecune faible
tension. La pointebalaie àhauteur constantetoute lasur-
face dudispositif,de manièreàenregistrer une image de
ces variationsde conductance et tenterd’obtenirainsiune
cartographie desétats électroniques,en particulierdes
figuresd’interférencescorrespondantaux états propres,
dansle casd’une cavité.
Pouvoirmesurerla conductance implique que la
nanostructuresoitconnectée àdescontacts permettant
d’injecter un faible courantetde mesurerlatension résul-
tante. La cavité ne peut doncpasêtrecomplètementfer-
mée,maiscontientquand même desétats résonnants
discrets dontlesfiguresd’interférencesontbien définies
et ressemblentaux figuresdiscutéesprécédemment.
Notonsque lamicroscopie SGM ne sonde que lesétats à
l’énergie de Fermi car seulslesélectrons situésà cette
énergie participentàla conductance linéaire. La valeur de
latension appliquée sur lapointe permeten faitde contrô-
lerl’amplitude de laperturbation maisne change pas
l’énergie desélectrons.Cependant si l’on tientcompte de
l’influence de latempératureTnon nulle,le transport des
électrons se fait sur un intervalle d’énergie de quelques
k B Tautour duniveaude Fermi. Pour minimiserlasuper-
position de plusieurs figuresd’interférencesdifférentes,il
est doncnécessaire de refroidirle système àtrèsbasse
température. Parailleurs il peut existerplusieurs états
résonnants àlamême énergie,etce d’autantplus que
l’énergie est élevée. Pour une étude détaillée de cesphé-
nomènes,il est doncfavorable de réduire l’énergie de
Fermi en diminuantladensité électronique.
Figure 1 – Densité d’états électroniquesobtenue parSTM sur uncorral
quantiquecirculaire de 48 atomesde ferpositionnésen cercle sur une
surface de cuivre. Lesoscillations représententlafigure d’interférence de la
fonction d’onde d’un électron de surface dansla cavité formée parlesato-
mesde fer. (Image originale créée parIBM Corporation).
3.Confinementof Electrons toQuantumCorralson a MetalSurface,
M.F.Crommie etal., Science262,218 (1993).

51
Imagerlesinterférencesquantiquesdansles semi-conducteurs
D’un pointde vue instrumental,un microscope SGM
est un microscope àforceatomique (AFM pour Atomic
ForceMicroscope) placé dans uncryostatàlatempérature
de l’hélium liquide (4,2K) etdanslequel on peut appli-
quer unchamp magnétique. La pointe métallisée est pola-
risée àune tension V tip par rapport audispositif donton
mesure parailleurs la conductance. L’utilisation préalable
dumicroscope en mode topographique permetde repérer
laposition de lananostructure dontlasurface est isolante
avecune résolution typique de 20 nm. Les sondes utili-
séespour lamicroscopie SGM sontgénéralementdes
capteurs de forcestandards sous forme de micro-leviers,
dotésd’une pointe pyramidale (voirfigure2b ),etdonton
mesure ladéflexion avecun faisceaulaser.
Imagesobtenues
sur desanneaux quantiques
Il existeune géométrie particulière,en forme
d’anneau,qui produitdesinterférencesmodifiablesgrâce
àl’application d’unchamp magnétique. Lorsquecet
anneauest connectéàdescontacts,les variationsd’inter-
férencesdesétats situésauniveaude Fermi produisent
desoscillationsde la conductance, appelées« oscillations
de AharonovetBohm ». Cesauteurs ontdémontréthéori-
quementen 1959 que lafonction d’onde quantique d’une
particule contient unterme de phasesensible aupotentiel
vecteur magnétique etaupotentiel scalaire électrique
V ,etqueceterme de phase peut produire deseffets réels
mesurables,même lorsque leschampsetàl’origine
despotentielsn’agissentpasdirectement sur laparticule.
Cette influenceréelle despotentielsaété démontrée expé-
rimentalementdansdesexpériencesd’interférenceset,
désormais,lamodulation desinterférencesdansles
anneaux quantiquesen fonction duchamp magnétique
porte le nom « d’effetAharonov-Bohm ».
Pour réaliser unanneauqui présentecetype d’interfé-
rences,il est nécessaire de choisir un matériaudanslequel
lesondesélectroniquespeuvent se propager sur desdis-
tances suffisammentgrandes sansque leur phasesoit
perturbée. Cette distance, appelée « longueur de cohé-
rence de phase »,dépend notammentdes vibrationsdu
réseaucristallin (phonons)ainsi que desinteractionsentre
lesélectronseux-mêmes.Cette longueur de cohérence est
«relativement» élevée dansles systèmesélectroniques
confinés sous forme d’un planbidimensionnel àl’inter-
face entre deux couches semi-conductricesen alliages
GalnAsetAlInAs(voirfigure2a ),matériaux bien connus
dansle domaine de lamicro-électronique haute fréquence.
Elle dépassetypiquement un micron àlatempérature de
l’hélium liquide. Enutilisantles techniquesde lithogra-
phie etde gravure misesen œuvre parlamicro-électroni-
que,on peut graverce matériaude manièreà créer un
anneaudontle diamètre est inférieur aumicromètre. La
figure2ben présenteune image topographique obtenue en
microscopie AFM.L’anneau(de diamètre intérieur
210nm etextérieur 600 nm) est délimité pardes tranchées
creuséesjusqu’àlaprofondeur du système électronique
bidimensionnel,en maintenantdeux constrictionsqui
permettentaux électronsd’entreretde sortirde l’anneau
pour mesurer sa conductance électrique. A bassetempéra-
ture,lorsque l’on mesure la conductance en fonction du
champ magnétiqueappliqué perpendiculairement,on
observe desoscillationspériodiques(voirfigure2c ) qui
constituentlasignature de l’effetAharonov-Bohm.
Cesoscillations renseignent sur laprésence d’interfé-
rencesélectroniquesdansl’anneau,maisne donnent
aucune information spatiale. Pour dévoilerle comporte-
mentlocal desondesélectroniques,on utilisealors le
microscope en mode SGM eton enregistre les variations
de la conductance électrique de l’anneauen fonction de la
modification locale dupotentiel électrostatique induite
parlapointe dumicroscope. En principe,la conductance
de l’anneaudevraitêtre fortementmodifiée lorsque la
Figure2–(a)Schémaen coupe de lamulticouche de semi-conducteurs montrantlaposition enterrée ducanalbidimensionnel d’électronsobtenupar transfert
de chargesàpartird’un plan de dopant. (b)Schémade principe de lamicroscopie pareffetde grille localavecune représentation 3Dde latopographie dudis-
positif obtenue en mode AFM.La pointe polarisée en tension est balayée au-dessus de lasurface pour perturberlocalementle transport desélectronsde conduc-
tion situésà25 nm sous lasurface. (c)Magnéto-conductance de l’anneauquantiqueà4,2K.L’agrandissementmontre lesoscillationsAharonov-Bohm
périodiquesen champ magnétique.
A
O<
B
O<
E
O<

Imagerlesinterférencesquantiquesdansles semi-conducteurs
52
pointe dumicroscope setrouveàproximité d’un maxi-
mum d’interférence lié àun étatproprerésonnantde
l’anneau.Ons’attend doncàce que latechniqueSGM
permette d’imagercesétats résonnants.
La figure3présenteune cartographie SGM des varia-
tionsde conductance électrique( Δ G) observéeslorsque la
pointe dumicroscope se déplaceàproximité de l’anneau,
dans un plansituéàune distanceconstante de 50nm
au-dessus du système bidimensionnel d’électrons.
L’image SGM présenteun motif assezcomplexe de fran-
gesde conductance,quiapparaissentnon seulementlors-
que lapointese déplaceàlaverticale de l’anneau,mais
égalementàproximité de celui-ci,jusqu’àune distance
latérale de plusieurs centainesde nanomètres.Ceci nous
donne une information sur l’extension latérale de laper-
turbation de potentiel liée àlapointe. Sur lafigure3 ,on
remarque également une différence d’amplitude desfran-
gesde conductance entre lescôtésgauche etdroitde
l’anneau.Cette différence est liée àl’asymétrie de
l’anneau,qui présenteunbraslégèrementplus étroitque
l’autre, ce qui donne lieuàun effetplus marqué de laper-
turbation de lapointesur latransmission desélectrons
lorsqu’elle se déplaceàproximité dubrasétroit.En exami-
nantplus en détail lafigure3 ,on constate que lesfranges
de conductanceadoptent une disposition en cerclescon-
centriqueslorsque lapointese déplaceàl’extérieur de
l’anneau, alors qu’elles sontplutôt répartiesde manière
radiale àl’intérieur de l’anneau.La suite de cetarticle
s’attache àexpliquerl’origine de cesdeux typesde franges
de conductance.
Lechamp magnétique est un outil de choixà cetégard,
caril permetd’agir sur laphase électronique de manière
contrôlée. Dansle casprésent,l’augmentation duchamp
magnétique perpendiculaire provoque le déplacementdes
frangesconcentriquesavecune périodicité en champ
magnétique égale àlapériode desoscillationsAharonov-
Bohm danslamagnéto-conductance. Ceci montre que les
frangesconcentriques sontdirectementliéesàl’effet
Aharonov-Bohm :lorsque lapointes’approche d’uncôté
de l’anneau,le potentiel électrostatique est principale-
mentmodifié dumême côté de l’anneau.Cechangement
de potentiel induit unchangementde phase pour les
ondesélectroniquesau sein de cebras, ce qui modifie les
interférencesentre lesondesélectroniques transmisesà
travers lesdeux bras: c’est l’effetAharonov-Bohm « élec-
trostatique » dûaupotentiel scalaire électrique men-
tionné plus haut.Enconséquence,tous lespoints situés
sur une même frange concentriquecorrespondentàla
même modification de phase électronique;cesontdonc
deslignes« isophases»,qui nous donnent une informa-
tion spatiale locale sur lesperturbationsde phase électro-
niqueau sein desbrasde l’anneau.Lechamp magnétique
extérieur,parle déphasage supplémentaire qu’il intro-
duit,provoque le déplacementde cesfranges.
L’évolution en champ magnétique desfranges radiales
observéesaucentre desimagesSGM est beaucoup plus
complexe quecelle desfrangesconcentriques.Pour
comprendre leur origine,il est utile de faireappel àdes
simulationsde ladensité d’états locale (local density-of-
statesouLDOS) pour en déterminerles variations spatiales
àl’intérieur de l’anneau, ainsi qu’àdes simulationsde la
conductance électriqueau travers de l’anneau(lesmétho-
desde ces simulations sontbasées sur le formalisme des
fonctionsde Green). La figure 4amontreunrésultat typi-
que d’une simulation de la LDOS à l’énergie de Fermi,
équivalenteàladensité de probabilité électronique
oùΨest lafonction d’onde électronique. Les
Figure3–Image des variationsde conductance de l’anneauquantique en
fonction de laposition de lapointe pour une tension de perturbation
V tip =0,3V ,une distance pointe-électronsd tip =50nm,etpour unchamp
B=2T(une variation de conductance importante mais trèsétalée aété
soustraite pour mettre en évidence lesfrangesd’interférence discutéesdans
le texte). La ligne noirecontinue marque laposition de l’anneau repérée en
mode AFM.Image 2×2µ m 2 .
Figure 4 – (a)Simulation de ladensité de probabilité électronique
dans unanneauquantique d’énergie de Fermi E F= 101 meV.
(b-d) Simulation des variationsde la conductanceG ( x ,y ) de cetanneau sou-
misàune perturbation d’amplitude eV tip =E F /200 etd’extension spatiale
σ= 5,20,et40nm,respectivement.
Ψ2(,, ) xyEF
Ψ2(,, ) xyEF

53
Imagerlesinterférencesquantiquesdansles semi-conducteurs
calculsontété faits sur unanneauidéal en GaInAsde
dimension comparable aux anneaux sur lesquelslesexpé-
riencesontétéréalisées.Le motif quiapparaît sur la
figure 4aest très sensible aux variationsd’énergie de Fermi,
etn’est doncqu’un exemple. De plus il ne peut pasêtre
directementcomparéaux résultats expérimentaux, caril
n’est paspossible de connaître parfaitementlesdétailsdu
profil de potentiel etla configuration exacte desimpuretés
etdesdéfauts au sein de l’anneau réel. Atrèspetite échelle,
desoscillationsconcentriquesde LDOS sont visiblesdans
l’anneau sur lafigure 4a .La périodicitéspatiale de ces
oscillationscorrespond àlalongueur d’onde de Fermi (la
longueur d’onde desélectronsàl’énergie de Fermi,20 nm
dansle casprésent). Aplus grande échelle,la LDOS est
caractérisée parquatre franges radiales trèsmarquées, cor-
respondantàun état résonnantde l’anneau.
De manièreanalogueàl’expérienceSGM, l’influence
d’une perturbation locale de potentiel sur la conductance
de l’anneaupeut êtresimulée en chaque pointde lastruc-
ture. La figure 4bprésenteune telle image SGM simulée,
obtenue pour un potentiel de perturbation d’extension laté-
rale très réduite (5 nm). Encomparantlesfigures4aet4b,
on remarque directementquetous lesdétails visiblesdans
l’image de LDOS simulée sont visibleségalementdans
Relation entre perturbation locale de la conductance etdensité locale d’états
Encadré
L’effetde laperturbation produite parlapointesur latrans-
mission totale d’unsystème connectéàdeux contacts suppor-
tant unseul mode transverse peut être évalué dansle cadre de
lathéorie du transport de LandaueretBüttiker.Il faut pour cela
négligerl’effetdesdiffusionsinélastiques, ce qui est justifié
pour des systèmesmésoscopiquesà bassetempérature etdans
le régime cohérentdu transport.Un modèle analytiquesimple,
valable dansle régime àunseulcanal quantique de transport,
permetde relierla correction de conductance dueàlaperturba-
tion de lapointeaux grandeurs physiquesdu système. Enutili-
santle formalisme desfonctionsde Green, ce modèle montre
aupremierordre desperturbationsque la correction de con-
ductanceΔ G ( x i ,E F )àl’énergie de Fermi E Fdueàune perturba-
tion locale en x iest proportionnelle àlapartie réelle de la
fonction de Green locale retardée , à savoir:
oùUest l’énergie potentielle de laperturbation etGla
conductance non perturbée. Comme parailleurs lapartie
imaginaire de lafonction de Green locale est proportionnelle
àladensité locale d’états (LDOS):
on trouve que la correction de conductanceΔ Gest liée àla
LDOS par une relation de type Kramers-Kronig, basée sur la
transformée de Hilbert :
oùPdésigne lapartie principale de l’intégrale etE Fl’énergie
de Fermi. Ceci est valable dansle régime de laréponse
linéaire qui est respectétantque laperturbation de lapointe
n’est pas trop grande par rapport àl’énergie de l’étatpropa-
gatif considéré etqueson extension spatiale n’excède pasla
demi-longueur d’onde de Fermi du système (environ 10nm
dansles structuresenvisagéesdanscetarticle). Puisque la
transformée de Hilbert est la convolution de la LDOS avec
l’inverse de l’énergie de Fermi,nous pouvons remarquer
qu’elle peut aussi être interprétée comme un filtreagissant
sur lesétats lesplus prochesduniveaude Fermi.
Dansle régime de transmission à canaux multiples,il est
plus délicatd’établir une correspondance directe entreLDOS
etΔ Gparce que lafonction d’onde totale est déterminée par
la contribution de plusieurs modes transversesquiressen-
tentdifféremmentl’effetperturbateur de lapointe. Toute-
fois,dansdes structuresmésoscopiquescomme lesanneaux
quantiques,il est fréquentque la LDOS soitdominée par
quelquesétats seulement, ce qui permetde rétablirla corres-
pondanceLDOS- Δ Gdécrite plus haut.Un exemple d’une
telle correspondance est donné sur lafigureE1 ,oùon peut
voir une orbitesemi-classique marquantde son empreinteà
lafoisla LDOS etl’image de conductancecorrespondante.
GE
ii
RF
,()
Δ G
GxEUGE
iFii
RF
(,)[()]
,
=2
Re
ρπ (,)– [()]
,
xEGE
iFii
RF
=1 Im
Δ G
GxEUPdEEExE
iFFi
(,)(,)=−
∫
21
ρ
FigureE1 – (a)Densité d’états locale et(b) image de conductancesimu-
léespour unanneauquantique de paramètres réalistes(largeur
120 nm,diamètre intérieur 280nm etdiamètre extérieur 530 nm). Les
orbites semi-classiques sont visiblesdanslesdeux cas.La perturbation
simulantl’effetde lapointe est prisesous laforme d’un potentiel àlon-
gue portée :U ( r ) = U 0 /(1 + ( r / σ ) 2 )avecU 0=E F /50( E Fvaut typiquement
100 meVdansnosanneaux quantiques) etσ= 10nm.