Enoncé. - Page Personnelle de Pierre R. Marcoux

Professeur László Forró
5 février 2003
Physique Générale III, séance 13
Exercice 1 : Courants dans un four à induction : courants de Foucault et loi d’Ohm
Un cylindre conducteur non magnétique, de conductivité σ, de rayon a et de longueur l a ,
est placé à l’intérieur d’un long solénoïde comportant n spires par unité de longueur. Ce
solénoïde est parcouru par un courant sinusoïdal, de pulsation ω , d’intensité maximale I0.
JG
a) Déterminer la distribution volumique j0 des courants, induits dans le cylindre par
JG
variation temporelle du champ B créé par le solénoïde. On négligera le champ
magnétique créé par les courants induits.
b) Calculez la puissance moyenne dissipée par effet Joule dans l’unité de longueur du
cylindre.
Application numérique :
σ = 107 Ω-1.m-1
a = 1 cm
ω = 100π rad.s-1
µ0 = 4π.10-7 H.m-1
n = 104 m-1
I0 = 1 A
a
I0
z
B0
Exercice 2 : Modèle de Drude de la conductivité et effet Hall
Un fil métallique contient un gaz d'électrons libres en concentration n par unité de volume. On
G
admettra, avec Drude, que ces électrons de masse m, de charge -e et de vitesse v vérifient
JG
l'équation de Newton lorsqu'ils sont soumis à un champ électrique E dans la direction du fil
(voir dessin ci-dessous).
E
v
y
z
x
O
JG
a) Au temps t = 0, le champ passe brusquement de la valeur 0 à la valeur E . Quelle est la
G
variation de la vitesse v des électrons libres en fonction du temps et celle de la densité de
G
courant j dans le fil ?
Le résultat obtenu à la question (a) est absolument contredit par l'expérience qui montre une
G
JG
évolution rapide vers un état stationnaire vérifiant l'équation j = σE (loi d'Ohm). Pour
obtenir ce résultat, Drude considère l'existence d'une force de frottement visqueux appliquée à
l'électron libre et proportionnelle à sa vitesse. Il attribue cette force aux collisions des
G
G
JG mv
dv
= −eE −
électrons sur les atomes. L'équation de la dynamique s'écrit alors : m
dt
τ
b) Calculez la valeur de la conductivité σ dans ce modèle.
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5 février 2003
Physique Générale III, séance 13
JG
c) Une fois le régime stationnaire établi, on coupe le champ E à t = 0. Ecrivez la loi
d'évolution de la vitesse et donnez une signification physique au temps τ.
d) On applique un champ magnétique dans la direction Oy et on attend qu'un nouvel
équilibre soit atteint. En admettant que le courant ne puisse circuler que dans la direction
Ox du fil, calculez les nouvelles composantes Ex, Ey et Ez du champ électrique dans le
fil.
e) Calculez le coefficient de Hall définit par R H =
Ez
et montrez que la connaissance de ce
jB
coefficient permet de trouver la concentration n d'électrons libres dans le fil.
f) Application numérique : Un ruban d’argent de largeur a = 1 cm, d’épaisseur ε = 0,1
mm, est parcouru par un courant I = 15 A : les lignes de courant sont parallèles à la
longueur (supposée infinie). Ce ruban est placé dans une induction uniforme B = 2 T,
normale au plan du ruban. On mesure la différence de potentiel entre les deux bords du
ruban : VH = 25,2 µV. En déduire :
a) la vitesse du déplacement des électrons de conduction en régime permanent,
b) le nombre n d’électrons libres par unité de volume, et le comparer au nombre n’
d’atomes d’argent par unité de volume du ruban. On donne : MAg = 107,9 g.mol-1 ;
masse volumique de l’argent ρ = 10,5 g.cm-3 ; charge élémentaire e = -1,602.10-19
C ; nombre d’Avogadro NA = 6,022.1023 mol-1.
J
B
v
ε
y
a
z
x
O
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