Sur la variation, par torsion, des constantes locales d`equations

/~r/pentlo~/es
Invent. math. 64, 89-118 (1981)
mathematicae
9 Springer-Verlag 1981
Sur la variation, par torsion, des constantes locales
d'equations fonctionnelles de fonctions L
P. Deligne 1 et G. H e n n i a r t 2
Institut des Hautes Etudes Scientifiques, 35 route de Chartres, F-91440 Bures-sur-Yvette, France
2 11 rue Ruhmkorff, F-75017 Paris, France
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0. Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Le cas de dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Une variante du th6or6me de Brauer . . . . . . . . . . . . .
3. Normes et traces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Le cas g~n6ral . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
89
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102
108
118
Introduction
Soit K un corps local non-archimSdien, fi corps r6siduel fini. Soient K une
cl6ture alg6brique s6parable de K et W = W(K/K) le g r o u p e de W e i l corresp o n d a n t (cf. [3], Ap. II, ou [1], w L a th6orie du corps de classes local fournit
un i s o m o r p h i s m e w a b - - K *, que nous n o r m a l i s e r o n s c o m m e dans [1], 2.3.
N o u s utiliserons cet i s o m o r p h i s m e p o u r identifier s y s t 6 m a t i q u e m e n t classes
d ' i s o m o r p h i s m e s de repr6sentations de d i m e n s i o n 1 de W et quasi-caractSres
de K*. N o u s fixerons un caract6re n o n trivial r du g r o u p e a d d i t i f de K, et une
mesure de H a a r dx sur ce groupe.
Si U est une r e p r 6 s e n t a t i o n de W (continue et de d i m e n s i o n finie), on sait que
p o u r chaque quasi-caract6re )~ de K* de c o n d u c t e u r a 0 0 suffisamment grand, la
c o n s t a n t e locale e(U|
r dx) (cf. [1], 4.1) a d m e t une description simple: notant vk la v a l u a t i o n normalis6e de K, il existe un 516ment a de K* tel que l'on
ait X(1 +y)=O(ay) si y ~ K v6rifie 2vk(y)>aO0, et l'on a, en p o s a n t 7 = a -1,
(1)
E(U |
~],dx)=~()~, ~,dx) dimU. det U(7)
C'est d'ailleurs ce fait qui est h la base de la c o n s t r u c t i o n des constantes locales d o n n d e dans [ l J , w
En termes de la r e p r 6 s e n t a t i o n virtuelle
W = U - ( d i m U). 1, qui est de d i m e n s i o n 0 et de mSme d S t e r m i n a n t que U, la
formule (1) s'6crit
(2)
e(W|
Z, ~0)= det W(?).
90
P. Deligne et G. Henniart
Nous prouvons ici un r6sultat plus g6n6ral. Soit t un nombre r6el positif ou
nul. Soit W une repr6sentation virtuelle de W, de dimension 0, suppos6e triviale sur le groupe de ramification W(t/2) i.e. dont t o u s l e s constituants (cf. 0.5)
sont triviaux sur W(t/2) (il s'agit de groupes de ramification en num6rotation
sup6rieure, cf. 0.4). Soit enfin V une repr6sentation de W, sans vecteur non nul
fixe par W(t). Alors on a la formule suivante (4.6).
(3)
e,(W| V, ~9)=det W()'),
ot~ 7 est un 616ment de K* ne d6pendant que de V e t qJ. Sa valuation est
a(V)+(dimV)n(tp), o~ a(V) est l'exposant du conducteur de V, et n(O) l'ordre
de ~, cf. 0.3. L'616ment 7 n'est bien d6fini qu'& multiplication pr6s par un 616ment
du groupe U(t/2) des unit6s u de K v6rifiant VK(U--1)>t/2. Sa classe dans
K*/U(t/2) est ddjg caract6ris6e par les 6galit6s (3), quand W parcourt l'ensemble
des repr6sentations de la forme q - 1 , ot~ q est un quasi-caract6re de K* trivial
sur U(t/2).
Lorsqu'on suppose seulement que W e s t une repr6sentation virtuelle de W,
de dimension 0 et triviale sur W(t), nous prouvons (4.2) que
e ( W | V, O)/det W(y) est une racine de l'unit6 d'ordre une puissance de p.
L'616ment 7 de K*/U(t/2) intervenant dans la formule (3) se calcule comme
suit. Une variante du th6or6me de Brauer, donn6e au w permet d'6crire V,
dans le groupe de Grothendieck des repr6sentations de W, comme combinaison lin6aire finie de repr6sentations induites de repr6sentations Zi de dimension
1 de sous-groupes ouverts (d'indice fini) H i de W, la repr6sentation gi 6tant
non-triviale sur Hi c~W(t): V = Z n iInd(Zi), n i c Z; chaque H i correspond une
extension L i de K, et Zi s'identifie g u n quasi-caract6re de L*; on choisit alors
a i dans L* de fa~on que l'on air zi(l+y)=tpoTrr,m(aiY) si y ~ L i v6rifie
2vL(Y)>a(zi). Si a ( z i ) < l , cette condition signifie que v ( a i ) > - n ( O o TrL,m) , et
on impose de plus que v(ai)= -(n(O o TrL,/K)+a(zi) ). Posant 7i=aF ~, on a
7 = n NL,/K(~i)"'.
Nous ne connaissons pas de d6monstration directe de ce que la classe, dans
K*/U(t/2), de la quantit6 7=7(V, ~9) d6finie par cette formule, ne d6pend pas de
la d6composition choisie de V en repr6sentations induites.
Si ~ est une repr6sentation de dimension 1 de W, on peut pr6ciser la
d6finition de 7=?(Z, 0) en exigeant que l'on ait
pour y dans K v6rifiant pv~(y)>a(z ). On peut de mame pr6ciser 7(V, 0), pour
une repr6sentation quelconque V de W, en la d6composant comme plus haut,
en d6finissant un 616ment 7i de L* par l'6galit6
p--1
Variation des constantes locales d'equations functionelles des fonctions L
91
pour tout y dans L i v6rifiant pvL,(y)>a(zi) , et en d6finissant 7(V, 4 ) = 7 par la
formule (4). Si a(xi)< 1, on impose de plus l'6galit6
V('Yi)= n (4 o TrL,/K) + a(zi)"
Grfice fi une interpr6tation en termes de la function Ww-~e(W| V, tp, dx),
nous m o n t r o n s que l'616ment ainsi d6fini ne d6pend pas des choix effectu6s (de
la d6composition de V et des 616ments ~'i),/t multiplication pr6s par un 616ment
de U ( ( 1 - 1 / p ) t ) ( c f . 4.11 fi 4.13).
Pour le formalisme auquel 7(V, 4) ob6it, voir la fin du chapitre 4 (4.16 et
sq.).
O. Notations
0.1. Si K est un corps valu6 complet, on note v sa valuation et (9 l'anneau de
valuation correspondant. Pout tout n o m b r e r6el t, on note A(t) le sous-groupe
additif de K form6 des 616ments de valuation au moins t, et, s i t est positif ou
nul, on note U(t) le sous-groupe des unit6s x de (9 v6rifiant v ( x - 1 ) > t . Si
n6cessaire, on pr6cise par un indice K. On fixe un n o m b r e premier p, et les
corps valu6s consid6r6s sont de caract6ristique r6siduelle p.
0.2. Nous noterons E l'exponentielle tronqu6e:
p--1
e(x) = y~ xl/i !,
i=0
et L l e logarithme tronqu6
p--1
L(x) = ~ ( - 1)' +' ( x - 1)'/i.
i=1
Pour t positif ou nul, ces applications induisent des isomorphismes inverses
Fun de l'autre:
A (t)/A (t9t) ~
E
U (t)/U {p t).
L
0.3. Soit K un corps local non-archim6dien, i.e. un corps valu6 complet ~ corps
r6siduel fini, fix6 dans toute la suite. C o m m e dans [1], nous noterons
4: K --* II~* un caract6re additif non trivial de K, n(~) l'ordre de 4, i.e. le plus
grand entier rn tel que ~ soit trivial sur A ( - m ) , dx une mesure de H a a r sur K,
K une cl6ture alg6brique s6parable de K et W ( K / K ) = W
le groupe de Weil
(absolu) correspondant.
0.4. Si G est le groupe de Galois d'une extension galoisienne finie L/K, et t u n
h o m b r e rdel positif ou nul, on note G(t) le groupe de ramification d'indice t e n
num6rotation supdrieure (cf. [2], IV, w 3). Rappelons que, c o m m e fonction de t,
G(t) est d6croissant, saute en un n o m b r e fini de valeurs, et qu'entre deux sauts
successifs t I e t t2, G(t) est constant, 6gal ~ G(t2).
92
P. Deligne et G. Henniart
La raison d'~tre de la num6rotation supdrieure est sa compatibilit6 au passage au quotient: si H est un sous-groupe distingu6 de G, (G/H)(t) est l'image
de G(t) dans G/H. Si L e s t maintenant une extension galoisienne infinie de K et
G le groupe Gal(L/K), on d6finit les groupes G(t) par la formule G(t)
= lim proj Gal (E/K)(t), ofJ la limite est prise suivant les extensions galoisiennes
finies E de K dans L. La compatibilit6 pr6c6dente est conserv6e. Le groupe
d'inertie de G n'est autre que G(0) et le groupe d'inertie sauvage, son p-groupe
de Sylow, est l'adh6rence de la r6union des G(t) pour t > 0 .
Si L contient une extension non ramifi6e maximale de K, on d6finit comme
dans [3], App. II, le groupe de Weil W(L/K). I1 contient le groupe d'inertie de
G, et ceci permet de poser W(L/K)(t)= G(t) pour t positif ou nul.
Nous noterons I le groupe d'inertie de Gal (K/K): I = W ( 0 ) , et P son pro-psous-groupe de Sylow (groupe d'inertie sauvage).
0.5. Par repr6sentation (d'un groupe topologique), nous entendrons toujours
repr6sentation continue dans un espace vectoriel complexe de dimension finie.
Dans une repr6sentation de W, le groupe d'inertie I agit & travers un groupe
fini. Une repr6sentation de W sera dite non ramifi6e si 1 agit trivialement, et
ramifi6e dans le cas contraire. Soit V une repr6sentation virtuelle de W, i.e. un
616ment du groupe de Grothendieck de la cat6gorie des reprdsentations de W.
Elle s'6crit de fa~on unique V=~n(V')V', ofa V' parcourt les repr6sentations
irr6ductibles de W e t n(V') est un entier, la multiplicit6 de V' dans V. Les V' de
multiplicit6 non nulle sont en nombre fini; ce sont les constituants de V.
Pour la d6finition de la constante locale ~(V, ~, dx), nous renvoyons & [1]
4.1. Rappelons que pour V de dimension 0 (resp. de dimension 0 et de
d6terminant trivial), elle est ind6pendante de dx (resp. de dx et de 0); en ce cas
nous la noterons simplement e(V, tp) (resp. e(V)).
On note a(V) l'exposant du conducteur d'Artin de V e t Sw(V) l'exposant de
son conducteur de Swan. On a
a(V)=dim V-dim
VZ+Sw(V).
0.6. Soit V une repr6sentation irr6ductible ramifi6e de W. Notons W(V) le
quotient de W qui agit fid61ement sur V; on d6finit c~(V) comme le dernier saut
de la fltration de W(V): par d6finition, on a
vWt'~v))=0
et
vWt'~v)+~)=V
pour tout e > 0 .
Si V est non ramifi6e, on pose , ( V ) = 0 . Avec ces conventions,
repr6sentation irr6ductible V de W satisfait 5. la formule
toute
Sw(V)=a(V) dim V.
Soit V une repr6sentation virtuelle de W. On note ~(V) (resp./?(V)) la borne
inf6rieure (resp. sup6rieure) des ~(V'). quand V' parcourt les constituants de V.
Que r o n air ~(V)>c~ signifie que les constituants de V n'ont pas de vecteur
non nul fixepar W(c~): VW~')=0. Que l'on ait/~(V)</3 (on a a l o r s / ~ > 0 ) signifie
que V provient par inflation d'une repr6sentation virtuelle de W/W(/~).
Variation des constantes locales d'equations functionelles des fonctions L
93
Une extension finie s6parable L de K d6finit un ensemble galoisien
H o m K ( L , K ). On pose e(L/K)=~(U), off U est la repr6sentation de permutation de W sur H o m K (L, K). Si M est une extension galoisienne de K contenant
L, c~(L/K) est la borne inf&ieure des indices e tels que GaI(M/L) contienne
aal(M/K)(cO.
0.7. On sait (cf. [2], XV.w
que l'isomorphisme de la th6orie du corps de
classes local: wab~--K * identifie wab(t) g U(t). Si X est un quasi-caract&e ramifi6 de K* (correspondant fi une repr6sentation de W de dimension 1), c~(X) est
donc le plus grand entier n > 0 tel que Z soit non trivial sur UK(n). Si )~ est
un quasi-caract&e de K*, non ramifi~ ou mod6r6ment ramifi6, on a c~(Z)=0.
On dit que Z e s t sauvagement ramifi6 si l'on a e(X)>0.
0.8.
dre
une
fini,
On note Qp/7Zp(1) le sous-groupe.de I12" form6 des racines de l'unit6 d'orune puissance de p. On note par mod* une congruence multiplicative, i.e.
congruence dans le groupe multiplicatif d'un corps. Si X est un ensemble
on note IXI son cardinal.
1. Le cas de dimension 1
1.1. Proposition. Soient Z et tl deux quasi-caraetOres de K*, vJrifiant ~(q)< ~(Z).
Soit m l e plus petit entier tel que l'on ait 2m > ~(Z) et soit a un OlOment de K tel
que l'on ait Z(1 + y)=~b(ay) dos que l'Ol~ment y de K est de valuation au moins m.
On a alors vK(a)=-(n(~b)+ l +~(Z)) e t a est unique mod* U(~(Z)/2 ). De mdme,
soit b u n ~l~ment de K v&ifiant q(l + y)=tp(by) dos que l'on a vK(y)>o~(Z)/2.
Si l'on a ~(~/)>0~(Z)/2, alors v(b) vaut -(n(~b)+l+~(~/)) et b est unique
mod* U(~(~l)-~(Z)/2 + 1); sinon, b e s t n'importe quel ~l~ment de K de valuation
au moins -(n(~b) + 0~(Z)/2). On a
(1.1.1)
e((q- 1)Z, ~b)=q(a-1) 9(gt/)- 1(1 +b/a). ~b(b).
1.2. Les assertions concernant la valuation et l'unicit6 de a ou b sont faciles/t
d6montrer et laiss6es au lecteur (cf. [1], w
Prouvons l'6galit6 (1.1.1). La
constante locale e(Z, ~b, dx) est la valeur de l'int6grale
S ~-l(x)O(x)dx=Y
K*
~ z-'(x)0(x)dx.
ne2~ v ( x ) = n
Cette formule s'obtient formellement ~t partir de la formule de d~finition ([1]
3.3.1) (l'6quation fonctionnelle locale de Tate) en prenant pour f la fonction de
Dirac en 1. On peut la prouver en prenant pour f la fonction caract&istique
de U(n), n &ant assez grand. Rappelons que si on calcule rint~grale en la
brisant selon les classes lat&ales m o d * U(m) et que r e x p o s a n t a ( D = ~ ( D + 1 est
pair, un seul terme subsiste: e(~,lp, d x ) = j X-i(x)lp(x)clx; la fonction
aU(m)
int~grer est d'ailleurs constante. Si a(D est impair, on a
~(z, O, dx)=
j
aU(m -
)~-~(x)O(x)dx,
1)
et la fonction/t int6grer ne d6pend que de la classe de x mod* U(m).
94
P. Deligne et G. Henniart
Remptacer Z par Zq ne change pas le conducteur, et m6ne h remplacer a
par a + b , de m6me valuation. Si a(z) est pair, on a donc:
.,
e(tlZ, 6, dx)
~((,1-1)Z, V,~= ~(~, g , ~
-
(Ztl)-l(a+b)~(a+b)
Z-'(a)0(a)
'
d'ofi
((q - 1) Z, 0) = t/- 1(a) (Z q)- 1 (1 + b/a) 0 (b).
Pour montrer que le m6me r6sultat subsiste si a(z) est impair, il suffit de
v6rifier qu'en ce cas le rapport
R (u) = (Zq)- l ((a + b) u) qJ((a + b) u)/z - a(au) r
est indSpendant de u variant dans U ( m - 1 ) . Or on a
R (u)/R(1) = ()~rl)-'(u) O ((a + b)(u - 1))/Z - ' ( u ) ~ (a(u - 1))
= t l - l ( u ) t~(b(u - 1)),
et, puisque a(z) est impair, l'in6galit6 2m>~(Z) entraine (m-1)>=~(Z)/2, et la
ddfinition de b assure que R(u)/R(1) vaut 1. C.Q.F.D.
1.3. Corollaire. Conservons les hypotheses et notations de 1.1.
(i) On a e ( ( q - 1)Z, ~ ) - - q ( a - 1) rood* (l)p/77p(1).
(ii) Si de plus on a 2~(t/)<~(Z), on a
~((~- 1)z, 0)=~(a-1).
Puisque l'on a a(1/) < a (Z), on a aussi v(b) > v(a) et 1 + b/a a p p a r t i e n t / t U (1).
On prouve (i) en notant que ~b, et la restriction ~, U(1) d'un quasi-caractSre
quelconque de K*, prennent valeurs dans ff)p/Zp(1). La condition ~(r/)<~(Z)/2
permet de prendre b = 0 dans 1.t, ce qui prouve (ii).
1.4. Corollaire. Soient Z un quasi-caract~re sauvagement ramifi~ de K*, m l e plus
petit entier tel que l'on ait 2m>~(Z), et a un ~l~ment de K* tel que l'on ait
Z(1 + y)=t~(ay) si y E K est de valuation au moins m. Soit (qi)i~i une famille finie,
d'au moins deux ~l(ments, de quasi-earactdres de K*, vOrifiant ~(qi)<~(Z). On
choisit des ~l~ments b i de K tels que ~/i(1 + y)=~h(blY ) quand v(y)>=a(Z)/2. Pour
chaque pattie J de I, on pose
~/(J)= H qJ,
b ( J ) = ~ bj,
jeJ
e ( J ) = ( - 1 ) IJI.
j~J
Alors on a
(1.4.1)
e(Z H (1 - ~/,))= (zq (i)) - l( 1-[ (1 + b(J)/a) ~(J))
i~l
Jcl
•
l-[
iel
(l +b(J)/a)~tJ)) 9
Jcl\{i}
Remarque. DSs que I a au moins deux 516ments, la repr6sentation virtuelle
Z1-](1-t/i), de dimension 0, est de d6terminant trivial. C'est ce qui a permis
iel
Variation des constantes locales d'equations functionelles des fonctions L
95
d'omettre ~ sous le signe e,. D'ailleurs, dans le membre de droite, outre )~ et les
rh, seuls apparaissent les quotients b]a, eux aussi ind6pendants de 0.
1.5. D6montrons le corollaire 1.4. On a
l ~ ( 1 - r / i ) = ~, e,(J)r/(J)= ~ e(J)(r/(J)-l),
iEl
Jcl
J~l
d'ofl
e(7~ l-[ (1 - ~/i))= [ I e((r/(J)- 1)Z, ~h)~(J).
iEl
d~l
Chaque facteur est justifiable de (1.1.1), et l'on peut choisir b(J) comme 616merit
b attach6 ~ r/(J). Puisque ]-[ t/(J) ~lJ) vaut 1 et que ~, e(J)b(J) vaut O, on trouve
J~l
r
Jet
~I (1 -- r/i))= 1~ (Zq(J))-l( 1 +b(J)/a) ~(J)"
iEI
J=l
On peut 6crire le membre de droite comme le produit de
Z -1 ( I-[ (1 + b (J)/a) ~(s))
et du produit sur i des quantitSs
r//- ~( ~I (1 + b(J)/a)~(J)),
JcI
6gales ~t
t h ' ( [ [ (1 +b(J)/a)~(J)) 9tl~( 1-I
Jcl
(1 +b(J)/a)~(J').
Jcl\{i}
Cela prouve la formule (1.4.1).
1.6. Lemme. Soit I un ensemble fini non vide. Soit t = ( t l ) ~ une famille
d'indktermin~es et 77[[t]] l'anneau des s~ries formelles en les ti, d coefficients entiers. Pour chaque sous-ensemble J de I, on pose t ( J ) = ~ tj et e ( J ) = ( - 1 ) IJI. Dans
jeJ
77I[t]], le produit 1-[ (1 +t(J)) ~(JI est congru d 1 modulo [ I tv
JcI
i~l
Cette assertion r6sulte de ce que le produit consid6r6 devient identiquement
1 si on fait t~--O pour un indice i.
Remarque. Le lemme 1.l 1. pr6cisera le lemme 1.6.
1.7. Proposition. Soit Z un quasi-caraet~re sauvagement ramifik de K*. Soit (tl~)i~
une famille finie de quasi-earaet~res de K*. On suppose que l'on a c~(t/i)<7(Z )
pour chaque indite i et ~ (~(Z)-~(t/i))>a(Z). Alors on a
i~l
e(X [ I (1 -t/i))= 1.
iel
96
P. Deligne et G. Henniart
L'hypoth6se assure que I a au moins deux 616ments. On peut alors appliquer le corollaire 1.4. Par le lemme 1.6. on a
I~ (1 +b(J)/a) ~(J)=
- 1 mod* I-[ (bi/a).
Jcl
iel
Mais on peut choisir les bi de faqon que la valuation de b]a soit c~(Z)-~(~/i) (cf.
1.1.). Celle du produit des bi/a vaut alors au moins ~ ( z ) + l et Z~/(I) prend la
valeur 1 sur 1-[ (1 +b)(J)/a) ~(s). De m6me, pour chaque indice i, on a
Jcl
l-[ (1 +b(J)/a ~(s)= 1 mod*
J c I'-. {i}
[I
(bja),
j e l \ {i}
et la valuation de ce dernier produit vaut au moins ct(~h)+l. On a donc
th( I-[ (1 +b(J)/a)~(s))= 1 et (1.4.1) permet de conclure.
Jcl\{i}
Rappelons la
1.8. D~finition. Soient G e t H deux groupes ab~liens, notes additivement. Une
fonction f : G-+ H est dite de degr6 au plus n si pour toute famille (xl)i~~ de n + 1
~l~ments de G, on a
(1.8.1)
~ ( - 1)lJIf(~ xj)=O.
Jcl
jEJ
Nous dirons que f est homog6ne de degr6 n si f est de degr~ au plus n e t qu'en
outre on a f ( k x ) = k " f ( x ) pour tout entier k.
Soit x~-~6(x) l'application canonique de G dans l'alg6bre de groupe Z [ G ] .
Notons f l'homomorphisme de 7Z[G] dans H d6fini par f : f o 6 = f. La condition (1.8.1) s'6crit encore
(1.8.2)
f ( H (1 - 6 (x,))) = o.
isl
Dans Z [G], on a
6 (u) (1 - 6 (x)) (1 - 6 (y)) = (1 - 6 (x))(1 - 6 (y)) - (1 - 6 (x))(1 - 6 (u))
- ( 1 - c5 (y))( 1 - 6 (u)) + (1 - 6 (x + y)) (i - 6 (u)),
de sorte que (1.8.2) signifie aussi que f s'annule sur la puissance (n+ 1)e de
l'id6al d'augmentation de 77[G]. En particulier, si f est de degr6 au plus n, elle
est de degr6 au plus m quel que soit m sup6rieur/t n.
1.9. Lemme. Soient G u n groupe ab~lien, H u n 7l[1/n !]-module, et f une fonction de G dans H, de degrd au plus n. On peut, de faqon unique, ddcomposer f e n
une somme ~ f~, off f~ est homogdne de degrO i.
i=0
I1 est facile de voir que f admet au plus une telle d6composition. En effet,
le syst6me d'6quations lin6aires
~klfi(x)=f(kx),
i=0
k variant de 0 ~t n,
V a r i a t i o n des constantes locales d ' e q u a t i o n s functionelles des fonctions L
97
d6termine les fi(x), puisque le d6terminant de Vandermonde det(k i) est inversible dans 7/[1/n !].
Prouvons l'existence de la d6composition, par r6currence s u r n . Pour n=O,
f est une fonction constante et f = f o est la d6composition cherch6e. Supposons
n non nul, et soit
le ne polaris6 de f.
f(xa ..... x,)= f ( ,f l (a(x~)-
Cette fonction vaut 0 d6s qu'un des x~ s'annule, et est lin6aire en chaque x~; en
effet, on a
f (x + y, x 2 .... , x,) - f (x, x2, ..., x , ) - f (y, x2, ..., x,)
=f([(cS(x§
1)-(c~(x)- 1)-(cS(y)- 1)] f l (6(x,)- 1))
i=2
n
- - f ( ( 6 ( x ) - 1)(6(y)- 1) H (6(x,)- 1))= 0.
i=2
Posons f , ( x ) = l f ( x
.... ,x). Cette fonction est homog6ne de degr6 n, de n e
r
polarisde f ( x I ..... x,). La fonction f - f ,
que l'hypothase de r6currence.
est de degr6 au plus n - 1 , et on appli-
1.10. Pour ){ fix6, (1.7) montre que la fonction q ~ e ( q Z , r
du groupe des
quasi-caract6res de K*/U((1-1/n)c~()()) darts 117", et de degr6 <n. La proposition qui suit explicite une d6composition 1.9. lorsque n <p.
1.10. Proposition. Soient Z et ~I deux quasi-caractOres de K*. Soit n u n entier,
2 < n < p . On suppose que ){ est saugvagement ramifi~ et que tl v~rifie c~(q)<
(1 -l/n) c~()O. Soient a et b deux OlOments de K tels que l'on ait z ( E y ) = O ( a y ) pour
v(y)>~(z)/n et ~l(Ey)=tp(by) pour v(y)>=c~(z)/n. On a
(1.10.1)
i ( i - 1) bi/ai-1 "
e((r/- 1)Z , tp)=t/(a-1) - ~9
i=2
Si t/ est non trivial sur U(c~(l.)/n ), on a ct(;Z)-c~(tl)=v(b/a). Sinon, on peut
seulement conclure que l'on a v ( b ) > - n ( r
d'o~ v(b/a)>(1-1/n)ct(X ).
Dans tous les cas, l'hypoth~se c~(~/)<(1- t/n)c~()0, ou encore n(e(X)-e(r/))> a()0,
entraine nv(b/a)>e()O; elle assure que Z e s t trivial sur U(v(b"/a")) et q, sur
A(v(b"/a"-l)). Puisque n vaut au plus p, on a en particulier
l+b/a-EL(l+b/a)=E
d'od
(7•
(-1)~-li-lbi/d
p-1
)
mod* U(c~(X)+I)
)
()(t/)-1(1 + b/a)= t/., (a + b) ~ ( - 1)ibi/iai .
i=1
98
P. D e l i g n e et G. H e n n i a r t
On calcule ais6ment
p-I
(a+b)
~
p-1
E ( - 1)i((1/i) - 1 / ( i - 1))bi/a i - 1
( - - 1)ibi/ia i = - b +
i=1
i=2
+t(_ltp
1/(p_mt)bP/a~ 1
Comme le dernier terme, et tous ceux d'indice i>n, sont n6gligeables sous le
signe ~b, la formule (1.10.1) r6sulte de (1.1.1).
1.11. La fin de ce n~ ne servira plus dans la suite de l'article. Nous y donnons
nne g6n6ralisation commune de 1.7 et 1.10.
1.11. Lemme. On conserve les notations du lemme 1.6. Pour chaque famille finie
d'entiers naturels n-=(ni)i~i, on posera I n l = f ni, n ! = I ~ n i ! et tn=I-[t~ ', et on
iEl
i~l
i~l
notera J(n) l'ensemble des indices i tels que n i soit non nul. On appelle N le
cardinal de I.
(i) Dans Z[]-t~, l-[ (1 +t(J)) ~tJ) est somme de 1 - ( N - 1 ) ! V[ t i e t de termes de
Jcl
iEl
degr~ (total) au moins N + 1.
(ii) Dans Zr
on a
(1.11.1)
L ( H ( l + t ( J ) ) ~ t s ) ) = ~ ([nl-1)!- . ( - 1 ) u+l"l-1 9t" rood 1~ tP,
J=l
n !
i~l
la somme portant sur les familles d'entiers naturels n telles que n~ > 0 pour tout i
et qu'au moins un des n i soit strictement inf&ieur fi p.
D6montrons ce lemme. I1 suffit de prouver (i) dans Ql[t]], off l'on a
log I~ ( l + t ( J ) ) ~lJ)=- ~, e(S) Z ( - 1 ) " - i t ( J ) " ~ n
j=l
J=l
n>0
= Z (-1) "-1n-I Z e(J)t(Jf
J=l
n>0
D6veloppons t(J)" selon la formule du multin6me. Alors le coefficient du mon6me t" (off Inl=n) darts ~ e(J)t(J)" vaut
~
e(J)n!/n!, nul si J(n) est distinct de I.
jet
J(n)cdcl
On a donc
Z e(J)t(J)"= ( -
1)u ~ tan !/n !,
J=l
off la somme porte sur N-uples n v6rifiant In[ = n e t J ( n ) = I . On en tire
(1.11.2)
log I ] ( l + t ( S ) ) ~tJ,=
J=l
~
( - 1 ) u+lnl-1 (In[-1)! tn
n!
J(n)=I
et cette expression est bien somme de - ( N - l ) !
H t~ et de termes de degr6s
iel
sup6rieurs. Prenant l'exponentielle, on obtient (i), et une nouvelle d6monstration
du lemme 1.6.
Variation des constantes locales d'equations functionelles des fonctions L
99
Pour dSmontrer (ii), on note tout d'abord que les deux membres de (1.9.1)
sont bien/t coefficients dans 7Z(p); fi droite, on a en effet, pour chaque indice i,
(Inl-1)!/n!=(1/ni). ((Inl - 1 ) !/[(n i - 1)! 1~ nj!])e(1/ni)Tl;
j ~ l ".
{i}
si on choisit i de sorte que n~ soit au plus p - 1, on obtient
(Inl- 1)!/n! e 7/(p).
I1 suffit d o n c / t nouveau de v6rifier la congruence dans Q~t]]. Grfice au lemme
1.6, on a, dans Q [[t]]
L( l-[ (1 + t(J)) ~(J))-= log ( 1-[ (1 + t(J)) "(J)) rood l~ tf.
J~l
Jcl
On utilise alors (1.11.1).
iel
C.Q.F.D.
1.11. Proposition. Soit Z un quasi-caractOre sauvagement ramifiO de K*. On f i x e
un dlOment a de K* tel que l'on air z ( E y ) = q / ( a y ) dos que y 6 K
vOrifie
pv(y)>~(Z). On se donne une famille finie (rli)i~1 de quasi-caractdres de K*, et
une famille finie (cti)i~l de nombres rods. On suppose que pour chaque indice i, on a
je I \
{,}
et
~(~i)<c~i
.
On f i x e des Ol~ments b i de K tels que l'on air rli(EY)=~(biY ) d~s que l'on a
p v ( y ) > ~ . Avec les notations du lemme 1.11, on a alors
iel
n [
'
la somme portant sur les families n = (ni)~ ~ telles que chaque n~ soit > 0 eat qu'au
moins deux des ni soient strictement inf~rieurs fi p.
Remarque. Cette proposition permet de donner une autre d6monstration de la
proposition 1.7. Sous les hypoth6ses de 1.7 et avec les m6mes notations, on
peut poser ai=c~(rh) et appliquer (1.11.1). Les termes de la somme de droite
sont de valuation au moins celle de a~I(bi/a ). Les b i vdrifiant v(bi/a)>=
i~1
e(X)-c~(r/i), X est trivial sur U(v(~I(bi/a)) ) , d o n c
0 l'est sur A(v(a.lq(bi/a)) ).
iEl
iEl
Le membre de droite de (1.11.1) est donc trivial.
1.12. D~montrons la proposition 1.11. Les hypotheses entrainent qu'il y a au
moins deux caract6res qi. On a v(bi/a)>c~(Z)-a i, et d'apr6s le lemme 1.6
[ ] (1 +b(J)/a)'('t)~ U ( ~ (a(Z)-c~i))
Jcl
1~
Jcl\{i}
i~l
(1 +b(J)/a)~(J) ~ U( ~
jEl\{i}
(c~(Z)--c~/)).
100
P. Deligne et G. Henniart
Pour toute partie I o de I, posons
T(Io)=L( l-I (1 +b(J)/a) "(J).
J=Io
Par hypoth6se, on a
P ~ (~(X)- ~i)> ~(Z)
iEI
et
p E (~(x)-~)>~i;
j e I \ {i}
on peut donc 6crire la formule (1.4.1) sous la forme
e()~ l-[ (1 - r h ) ) = O ( - ( a + E b,) T(I)+ E b,T(I\{i})).
i~l
C o m m e on a p
~
iel
i~l
(~(X)-~)>c~i, on peut, sous le signe ~, n6gliger pour cha-
j e l ".. {i}
que i les multiples de
b, 1-I (b/a) p,
je I '- .{i}
i.e. n6gliger les multiples des m o n 6 m e s b"/a I'1-1 lorsque J ( n ) = l et qu'au plus
un des n i v6rifie hi< p.
On peut donc utiliser la congruence (1.9.t) pour remplacer T(I), sous le
signe ~,, par
T = S ( - 1)N-I"1-1 (In] - 1)! b,,/aln['
n!
o6 la s o m m e porte sur les n tels que J ( n ) = I ,
soient strictement inf6rieurs ~ p.
De m~me, on peut remplacer T(l\{i}) par
et qu'au moins deux des nj
Si= S ( _ 1)N_I=I (Inl~ 1)~ bn/alnl
o6 la s o m m e porte sur tes n tels que J(n)=I\{i}, et qu'au moins deux des nj
soient strictement inf6rieurs ~ p.
R e g r o u p a n t T et Si, et changeant nl en n~+ 1, on volt qu'on peut remplacer
bi(T+ Si) par
- 2)! bn/aln I_ 1
S(--1)N-Inl-Xnl ([nl n[
off la s o m m e porte sur les n tels que J ( n ) = I , et que deux au moins des n~ v6rifient
nj<p.
R e g r o u p a n t enfin avec le terme a T, on a remplac6 l'expression sous le signe
q, par
r ( - 1) N-f"r ( i n ] - 2)! (b,,/al. I_~
1 - ~ n,)
n!
)(Inli~x
off l'on s o m m e sur les m6mes n. C o m m e on a In[ = ~ nl, (1.11.1) en r6sulte.
iel
Variation des constantes locales d'equations functionelles des fonctions L
101
2. Une variante du th6or6me de Brauer
2.1. Soit G un groupe fini. Nous noterons R(G) le groupe de Grothendieck de
la cat~gorie des repr6sentations de G. Si H est un sous-groupe de G, la restriction b, H d'une repr6sentation de G, et l'induction/t G d'une repr6sentation de
H fournissent des homomorphismes
Rest: R(G)~ R(H)
et
I n d , : R ( H ) ~ R(G).
Si H est distingu6 dans G, Faction de G sur H par automorphismes
intOrieurs fournit une action de G sur l'ensemble /4 des classes d'isomorphisme
de reprOsentations irrdductibles de H. Si z e s t une telle classe, nous noterons
Z(z) le fixateur de z pour cette action; c'est un sous-groupe de G conteriant H.
Pour chaque repr6sentation V de G, la composante z-isotypique V~ de V e s t
stable par Z(z). Le foncteur V~V~ fournit un homomorphisme v--~v~ de R(G)
dans R(Z(r)), et on v6rifie que l'on a
(2.1.1)
v=
~
IndzOt~(v~).
z~H/G
2.2. Proposition. (i) Soient G u n groupe fini, A un sous-groupe ab~lien distingu~
de G, et V une representation de G. I1 existe des sous-groupes H i de G, contenant A, des earact~res Zi des H i e t des entiers n i tels que, dans R(G), on ait
V = Z n i IndG (Zi).
(ii) Si l'espace V A des points de V f i x e s par A est trivial, on peut choisir la
d~composition de sorte que Zi soit non trivial sur A.
Supposons d'abord A central dans G. On peut supposer V irr6ductible, auquel cas A agit sur V par un caract6re ~. Le th6or~me de Brauer assure l'existence de d6compositions
(1)
V=ZniIndg
(Zi),
nieTZ.
Ecrivons que l'on a V = V~:
G A ((Indn,
H z A Zi)~).
V = 22ni(Ind ~ EA Indnn',A Z~)~= X n i I ndn,
La e-composante isotypique de Ind~'Ax~ est triviale si Z~ est distinct de ~ sur
Hic~A, et est l'unique caract6re de H i A prolongeant Z~ et e, s'ils coincident sur
Hic~A. Ceci nous donne une d6composition (1), off les H i contienent A et les Xi
prolongent e. On a donc (i) et (ii).
Darts le cas g6n6ral, 6crivons la formule (2.1.1)
V=
~
lndzG~)V~.
Sous l'hypoth6se (ii), on peut omettre le caract6re e = 0 de la somme, l'espace V~
correspondant Otant nul. Sur V~, A agit selon e. La repr6sentation de Z(e) sur V~
102
P. Deligne et G. Henniart
se factorise par Z(e)/Ker(e), et darts ce groupe A/Ker(e) est central; ceci nous
ram6ne au cas central, d6j/l trait6.
2.3. Variante. Soit G u n groupe, extension de 77 par un groupe fini G(O). Soient A
un sous-groupe abklien distinguk de G, contenu dans G(O), et V une reprOsentation
de G. 11 existe des sous-groupes d'indice fini Hg de G (en nombre fini), contenant
A, des caractkres Zi des H i et des entiers n i tels que, dans R(G), on ait V
=ZniInd~,(Zi). Si V a est nul, on peut choisir la dOcomposition de fafon que Zi
soit non trivial sur A.
On peut supposer V irr6ductible. On v6rifie facilement (cf. [1] 4.10) que
toute repr6sentation irr6ductible de G est le produit tensoriel d'une
repr6sentation qui se factorise par un quotient fini G de G, par une
repr6sentation de dimension 1 triviale sur G(0). I1 suffit d'appliquer 2.2/t G.
3. N o r m e s et traces
3.1. Pour chaque extension finie s6parable L de K, notons FL le groupe L*/6~;
la valuation vL l'identifie /t 7/. Soit TL la demi-droite des 616merit positifs ou
nuls de FL|
la valuation vL l'identifie/t N +.
Rappelons la m6thode signalde par Serre ([2], IV w Rem. 3 p. 83) pour
indexer les groupes de ramification: les fonctions q) et ~ de H e r b r a n d engendrent un syst6me transitif d'isomorphismes entre les TL. Appelons T la limite
projective des TL, et notons encore VL l'isomorphisme c o m p o s t T---, TL vL ~N+.
Si L e s t une extension finie s6parable de K, et M une extension galoisienne de
L, les groupes de ramification de G a l ( M / L ) sont naturellement index6s par T;
on note Gal (M/L)[t] le groupe d'indice t. Cette indexation est compatible aux
passages aux sous-groupes et aux groupes quotients. On retrouve la
num6rotation sup6rieure en identifiant T / t N + par v L. Si M est une extension
finie de L, on retrouve la num6rotation inf6rieure en identifiant T & N + par
vM; on passe alors de la num6rotation sup6rieure & la num6rotation inf6rieure
par la fonction de H e r b r a n d OM/L=VM ~
Cette fonction est un
h o m 6 o m o r p h i s m e de N + sur lui-mame, lin6aire par morceaux et convexe; sa
d6riv6e ~t gauche en vL(t), Off t appartient /t T, est l'indice de Gal(M/L)[t] dans
Gal (M/L) [0].
Quelles que soient les extensions s6parables finies L e t M de K, nous poserons OM.L= VMo V[a. Si M est une extension de L, nous poserons OM/L:=OM, L.
3.2. Proposition. Soient L une extension finie sOparable de K, M une extension
finie sdparable de L.
(i) La fonction ~M/L est convexe.
(ii) Si l'extension M / L est rnodOrOe (i.e. si e(M/L) est nul cf 0.6), OM/L est
lindaire. Sinon, le dernier saut de la dOrivOe de OM/L se produit en e(M/L).
(iii) Soit t e n +. Si t>ct(M/L), la pente de t~M/L en t e s t l'indice de ramification e de M/L. Si t < e ( M / L ) , c'est un entier de la forme e/p k, k>=l. En
consequence, on a
t~M/L(C~(M/L)) < (e/p) c~(M/L).
Variation des constantes locales d'equations functionelles des fonctions L
103
Soit N une extension galoisienne finie de L contenant M ; posons
G = Gal (N/L) et H = Gal (N/M). Par d6finition, on a ~N/L= ~N/M o #JM/L, de sorte
que la d6riv6e h gauche de ~PM/Len VL(t) est
[c [o3 : ~ It]]
(3.2.1)
[G [o3 :H [o33
~9M/L(VL(t))=[H [0] : H [t]] = [O It] : H [ t ] ] '
C o m m e on a H[t]=G[t]r~H, l'indice au d6nominateur vaut encore
[G : G It] HI. La d6riv6e de ~PM/Lcroit donc avec t, et #JM/L est convexe, d'ofi (i).
L'indice (3.2.1) est constant, de valeur e = [ G [ 0 ] : H I 0 ] ] , d6s que G It] est inclus
dans H. C o m m e G It] est distingu6 dans G, cela signifie que G[t] agit trivialement dans la repr6sentation de permutation de G sur G/H. Mais cette derni6re
est 6quivalente b, la repr6sentation de G sur H o m L ( M , N ) . On en d6duit que H
contient G[t] si et seulement si on a VL(t)>~(M/L) cf. 0.6; cela prouve (ii) et la
premi6re assertion de (iii). Enfin, puisque G [ t ] est un p-groupe pour t non nul,
l'indice [ G [ t ] : H i t ] ] est une puissance de p, n o n triviale si t<c~(M/L), ce qui
prouve les autres assertions de (iii).
3.3. Soit L une extension finie s6parable de K. On sait que la norme
NL/K: L*--*K* s'identifie fl l'application de W(K/L) ab dans W(I~/K) ab d6duite de
l'inclusion de w(i~/L) dans W(I(/K) ([2], XI w La num6rotation sup6rieure
W(K/L) ab correspond & la filtration de L* par tes sous-groupes Ut.(t) ([2], XV
w2). On a donc, p o u r tout r6el t positif ou nul,
NL/K(UL(~ L/K(t))) = UK(t) r~NLm(L*).
En particulier, si Z est un quasi-caract6re de K*, on a
(3.3.1)
c~(Zo NL/K)<=0Lm(C~(Z)).
L'6galit6 vaut dans cette formule si on a ~(Z)>C~(L/K), puisqu'alors W(K/L)
contient W(c~(Z)).
Soient d(L/K) la valuation de l'idOal diffOrente de L sur K et 0L~K la fonction affine de lit dans ~ , de pente e, et prenant la valeur - d ( L / K ) - 1 en - 1 .
La diffOrente inverse 6tant le plus grand idOal fractionnaire de L que la trace
envoie dans CK, cette fonction joue pour la trace le rOle que OL/K joue pour la
norme: pour tout rOel t, on a
TrL/K (A L(0N K(t))) = A K(t).
De la formule N(1 + x ) = 1 + T r ( x ) + R , off R e s t un reste de valuation VK(R)
au moins 2VL(X)/e (Ocrire la norme comme un produit de conjuguOs), on
dOduit alors que 0L~K est la fonction linOaire qui coincide avec ~bL/K pour les
grandes valeurs de t, donc pour t valant au moins ~(L/K). On a donc, en
particulier,
(3.3.2)
~bL/r(ct(L/K)) + d(L/K) + 1 = e(e (L/K) + 1).
3.4. Nous dirons que t ~ T esr grand, rel. M/L, si VL(t)>c~(M/L), i.e., avec
les notations de 3.2, si t > 0 et G[t] cH. I1 est c o m m o d e de transporter cette
104
P. Deligne et G. Henniart
terminologie fi TL e t / t TM. En particulier, regardant la valuation de (9M comme
&ant /t valeurs dans TM, on dira que y e M * est de grande valuation, rel. M/L,
si vM(y) > tpM/L(a(M/L)).
Dans le cas particulier d'une extension mod6rhe, t e s t grand d6s que t >0, et
OM/L relie la valuation de x e Ca ~ celle de son image dans (9M.
Nous nous proposons de comparer NL/K(1 + y ) fi 1 +TrL/K(y ) pour y dans L,
de grande valuation rel. L/K. Par exemple, pour tout entier n > c~(L/K), on peut
d'apr4s 3.3 considhrer le diagramme suivant, o6 les fl6ches N et T sont
dhduites de NL/r et TrEK respectivement, et les flhches verticales ddduites de
y~--*l + y :
AL(~L/K(n))/AL(OL/K(n ) + 1)
(3.4.1)
1
UL(OL/K(n))/UL(OL/K(n)+ 1)
r , A~(n)/AK(n + 1)
1
N , UK(n)/U~(n + 1)
Nous verrons que ce diagramme est commutatif. Le raisonnement de 3.3 (resp.
la proposition 3.5 ci-dessous) le montre lorsque Oc/K(n)>(e/2)n (resp.
OL/K(n)>(e/p)n, ce qui, par le cas (iii) de la proposition 3.2, implique
n > ~ (L/K)).
On obtient des r6sultats plus pr6cis en remplaqant la fonction y ~ 1 + y par
la fonction E. S'il le d6sire, le lecteur pourra repasser au premier point de rue
en posant 1 + y = E y . Ez, off z e s t de valuation au moins 2v(y).
La proposition suivante, de d6monstration tr6s simple, sera pr6cis6e par 3.8,
prouv6 par d6vissage et r6duction au cas d'une extension cyclique de degr6 p.
Cette am61ioration de 3.5 ne nous servira que dans les preuves de 4.2 (via la
commutativit6 du diagramme 3.4.1) et 4.15.3.
3.5. Proposition. Soit y un ~l~ment de l'id~al maximal de (YL. On a
NL/~(E y ) - E( TrLm y) mod* UK((p/e) VL(Y)).
Plongeant L dans une extension galoisienne M de K, on peut 6crire la
norme (resp, la trace) d'un 616ment x de L comme produit (resp. somme) de
conjugu6s x ~ de cet 616ment. On trouve alors que NL/r(Ey)= H E S est congru
E(TrLmy ) modulo des 616ments de M de valuation au moins celle de yP. La
proposition en r6sulte aussit6t.
Soit Z un quasi-caract&e sauvagement ramifi~ de K*,
v&ifiant OL/K(a(Z))>(e/p)c~O0. Soient a un OlOment de K tel que l'on ait )~(Ey)
= O(ay) pour y dans K de valuation plus grande que e(Z)/P, eta' un OlOment de L
tel que l'on ait Z o NLm(Ey)=t~o TrL/K(a' y ) pour y darts L de valuation plus grande que ~(ZO NL/r)/p. AIors on a
3.6. Proposition.
a - a ' m od* UL(OL/K(~ (Z))- (e/p) ~ 00).
Notons d'abord que l'hypoth6se implique aO0>a(L/K) et a(ZONL/K)
=0L/K(a(Z)). Prenons un 616ment y de L, de valuation VL(y)>ea(x)/p. La proposition 3.5 donne alors
Z ~ NLm(EY) = x(E(TrL/K Y))"
V a r i a t i o n des c o n s t a n t e s locales d ' e q u a t i o n s functionelles des f o n c t i o n s L
105
Mais, d'apr6s 3.3, on a ~(Z o NL/K) = O L/K(O~(Z)) <=ea(z), d'ofi vL (y ) > o~(Z o NLir)/p
et z ~
) = ~ o TrLiK(a'y).
De 3.3 on ddduit aussi que l'on a
OUK(vK(TrLI K y)) > vL(y), c'est-A-dire
~LIK(~ (Z)) + e(vK(TrLK Y)-- ~(Z)) > vL(Y)
d'ofl
OLm(a(7))),
VK(TrL/K y) > a (Z)/p + (1/e)(e ~(Z)-et
vK( Tr Lm y) > ot(Z)/p.
On en tire l'6galit6 z(E(TrL/Ky))=O(aTrL/Ky).
v6rifiant VL(y)>e~(z)/p, on a donc
o TruK((a'--a)y)=
Pour tout 616ment y de K
1,
ce qui implique
v r (a , - a) >= - n (tp o TrLm ) - (e ~ (Z)/P) -- 1.
C o m m e a' est de valuation
--n(OoTrL/K)--~Lm(~(Z))--I
a - a' mod* UL(~kL/K(~ (X))-- (e/p) c~O~)).
,
on
a
bien
3.7. La proposition 3.6 nous servira sous la forme suivante.
3.7. Corollaire. Soient Z un quasi-caract&e sauvagement ramifiO de K * et tl un
quasi-caractOre de IY. On suppose que, posant u=sup(~(tl) , tpLm(~(L/K)) , on air
OK,L(U)<(1- 1/p)~(Z). On dO.finit a e t a ' comme en 3.6, et on a alors:
q(a)=q(a').
L'hypoth6se faite sur u nous donne d'abord
a(Z) > OK, L(u) > ~(L/K),
puis
=(z) + (u- 4'z/K(=(z)))/e < (1 - O/p)) =(z),"
d'ofl
u<~gzm(CqZ))-e~(z)/p,
et on applique 3.6.
3.8. Le graphique suivant visualise la proposition ci-dessous, et sa relation avec
3.5. D a n s le graphique, TL et TK sont represent6s ~ des 6chelles diff6rentes
(unit6s e et 1).
J
TL
/~=~
J/Erreur R
/ (pentee)lJ j
(pente e/p)
v(y)
(3.8.1)
v.,
L/K
9
__~ . . ~
(c~(L/K))
(~<J(z (L/K))
/
/ /
I
I
P
(Z(L/K)
TK
106
P. Deligne et G. Henniart
3.8. Proposition. Soit t u n Ol~ment de T, grand rel. L/K. Soit y un Ol~ment de
AL(VL(t)). On a TrL/KY~AK(VK(t)) et
NL/K(E y ) - E( TrL/K y) rood* UI((Ct(L/K) + p(v~(t)- c~(L/K))).
N o t o n s RL. K la fonction lin6aire de pente e/p, dOfinie pour t>=~(L/K) et coincidant avec ~L/r en ~(L/K); notons RK, L la fonction inverse. L'assertion de 3.8
signifie que si la valuation de y est grande rel. L/K, on a
NL/K(E Y) = E(TrL/K y) mod* UK(Rr.L(VL(Y)).
3.9. Supposons d ' a b o r d que l'extension L / K soit cyclique de degr6 p, totalement
ramifiOe. En ce cas, 6tudi6 en [2], V w ~L/K est de pente 1 pour t<~(L/K), de
pente p pour t>~(L/K), et l'on a RL, K(t)=t. C o m m e en 3.5, l'on trouve
NL/r(Ey)--(TrL/Ky )mod* UL(PVL(Y)) c~K*. C o m m e UL(PVL(Y))~K* n'est autre
que UK(VL(Y)), l'assertion de 3.8 est d o n c vraie.
Supposons la proposition 3.8 vraie pour deux extensions M / L et L/K, et
prouvons-la pour l'extension M/K. Puisque i'on a ~'Mm= OM/L~ OL//~ et que les
fonctions ~ sont convexes, v~(t) est un point de discontinuit6 de ~O~u/L si et
seulement si c'en est un p o u r OL/K, ou que VL(t) en est un pour tpM/L. En
particulier, t est grand rel. M / K si et seulement s'il l'est tel. M/L et tel. L/K. En
ce cas, s i y est un 616ment de AM(vM(t)), on a
NM/r(E y ) = NL/KNM/L (E y ) = NLm(E( TrMm y)) =-E( TrLm ( TrM/Ly))
d'o6
NM/K(E y ) =--E ( TrMm Y),
les congruences 6tant prises mod* UK(RK, L(VK(t))).NL/K(UL(RL, M(vM(t)) ). II s'agit
donc de prouver les in6galit6s
~K. LORL, M~RK, M et
RK, LO~tL, M~RK, M
en vM(t), pour t g r a n d rel. M/K. Dans ce domaine, ces fonctions sont lin6aires
de m6me pente, et il suffit de v6rifier les in6galit6s en vM(t), quand vK(t ) vaut
a(M/K). En ce point, on a RK,M=~K,M=~K,LO~'L,M, et RL, M ~ L , M ainsi que
R K , L ~ K / L , d'ol~l l'assertion de 3.8 pour M/K.
3.11. G r i m p a n t le long d'une tour, on d6duit de ce qui pr6c6de que la proposition 3.8 est vraie p o u r toute extension L/K qui se plonge dans une extension
galoisienne E/K, totalement ramifi6e et de groupe de Galois un p-groupe. En
effet, pour tout sous-groupe H d'un p-groupe G, il existe une suite de sousgroupes H = H o c H ~ c . . . c H . = G , off H i e s t distingu6 dans H~+t, et off les
quotients H~+~/H~ sont d'ordre p.
Passons au cas g6n6ral. Soient t o et t deux 616ments de T tels que l'on ait
vK(to)=a(L/K ) et t > t o. Prenons y dans L*, de valuation vL(t ). I1 s'agit de prouver la congruence
NLm(E y ) - E( Tr Lm y) mod* UK(vK(to) + p(vK(t ) -- VK(to))).
Variation des constantes locales d'equations functionelles des fonctions L
107
Soit K ' une extension mod6r6ment ramifi6e de K. D 6 c o m p o s o n s K ' |
produit des corps L i. N o t a n t Yl l'image dans Li de l'616ment y de K, on a
en
Nt.m(E Y) = [I NL,m'(E Yi)"
i
Les extensions Li/L sont moder6es. Les fonctions 0L,/L et 0K'/K sont donc
lin6aires. Puisque 0L,,/~, n'est autre que 0L,,LO 0L,~o 0K, K,, on a vK,(to)=~(Li/K').
Supposons la proposition vraie pour les extensions Li/K'. Chaque y~ 6tant de
valuation vL,(t), on a alors
NL,m, (E Yi) ==-E ( Tra,/K, y) m o d * UK, (v K, (to) + p (v K, (t) - v K, (to))).
et
E( TrL,/K,y) =--E ( ~ TrL,/K,y) = E( TrL/K y) m o d * Ur,(pvK,(t)).
i
i
Les deux m e m b r e s de cette derniare congruence ~tant dans K, on a
NL/K(E y) =-E ( Tr Lm y) rood* U~(vK (to) + p(VK(t)-- vK(t0))).
Mais, c o m m e on sait, on peut choisir K' de faqon que les extensions Li/K'
v6rifient la condition de 3.11. La proposition 3.8 est vraie pour les L j K ' donc
pour L/K.
(i) Pour tout entier n>~(L/K), le diagramme (3.4.1) est
commutatif
(ii) Soit Z un quasi-caractdre sauvagement ramifiO de K*, vdrifiant
c~(Z)>7(L/K ). D~finissons to~ T par l'Ogalit~ VK(to)=c~(L/K ) et t e T par vK(t )
=~(Z)- Soient a un ~lOment de K tel que l'on ait z ( E y ) = O ( a y ) pour y e K
3.12. Corollaire.
1
vdrifiant vK(y)--vK(to)>~(vr(t)--vK(to) ) et
a'
un Olkment de L tel que l'on ait
F
zoNL/K(Ey)= O o TrL/K(a' y ) pour y ~ L
Ces conditions dOterminent a m o d * U K
a' mod* UL
((
1-p
1
vdrifiant VL(y)--vL(tO)>p(VL(t)--vL(to)).
1-~
(vK(t)--VK(to)) ,
t
(VL(t)--vL(to)) , et l'on a
a=a'mod*UL((1--~)(vL(t)--VL(to))).
La partie (i) est imm6diate, si on r e m a r q u e que l'on a
(L/K) + p (n - ~ (L/K)) > n.
1
Pour prouver (ii) prenons un 616ment y de L v6rifiant VL(Y)--VL(tO)>~(VL(t )
--VL(tO)); on a donc RK, L(VL(y))>vK(t)=c~O0 et, par cons6quent z oNL/~(Ey)
=z(E(TrL/Ky)). On a aussi
VK( TrL/KY) >=OK, L (vL(Y)) > VK(to) + 1 (Vr(t) _ vr(to))"
P
108
P. Deligne et G. Henniart
On en d6duit l'6galit6 zoNL/K(Ey)=Oo TrLm(ay), c'est-/i-dire que a v6rifie la
propri6t6 caract6ristique de a'.
4. Le cas g6n6ral
4.1. Soit V une repr6sentation virtuelle de W, et soit 7 un 616ment de K* de
valuat ion a (V) + dim V- n (0).
Si t/est un quasi-caractare non ramifi6 de K*, on a
(4.1.1)
e(q | V, 0, dx) = e(V, tp, dx). q(7).
Plus g6n6ralement, si W e s t une repr6sentation virtuelle de W, non ramifi6e et
de dimension 0, on a (cf. [1] 5.5.3)
e(W|
(4.1.2)
V, ~ ) = det W(y).
Les r6sultats annonc6s dans l'introduction sur le calcul de e(W|
quand W est de dimension 0 et m o i n s ramifi6 que V, g6n6ralisent cette formule
(4.1.2) et, c o m m e le lecteur le v6rifiera ais6ment, s'y r6duisent si l'espace v e d e s
points fixes par P des points fixes par P est non trivial, ce qui, avec les notations de l'introduction, impose t = 0 . Pour prouver ces gdn6ralisations, nous
supposerons donc d6sormais que l'espace V e est trivial, i.e. que la
repr6sentation V n'a pas de constituant moddr6.
Le sch6ma de d6monstration de ces r6sultats est le suivant. On suppose
d ' a b o r d V de dimension 1. Si W e s t de la forme q - l , o~ r/ est un quasicaract6re de K*, le r6sultat a 6t6 vu au chapitre 1. Le th6or6me de Brauer en
dimension 0 et les propri6t6s d'induction des facteurs e permettent d'en d6duire
le cas off W e s t quelconque. On r a m a n e enfin le cas g6n6ral au cas off V e s t de
dimension I en appliquant "/i V l a variante du th6orame de Brauer donn6e dans
le chapitre 2.
4.2. Th6or~me. Soit V une representation virtuelle de W, sans constituant
modOr~.
(i) Il existe un OlOment y de K*, d~fini de far
unique rood* U(1), tel que
pour toute reprOsentation virtuelle W de W, de dimension 0 et vOrifiant
fl(W)<~(V) (cf. 0.6), on ait
(4.2.1)
e(W|
V, ~ , ) - d e t W(7)mod* Qp/7lp(1).
(ii) La valuation vr(7) est donn~e par la formule
(4.2.2)
vK(7) -- a (V) + dim V. n (~,).
(iii) E unicitO de 7 (resp. la formule (4.2.2)) vaut d~jd si ron suppose seulement
que l'Ogalit~ (4.2.1) est vraie quand W e s t de la forme ~1-1, off r/ est un quasicaractOre mod~r~ment ramifiO (resp. non ramifiO) de K*.
P r o u v o n s d ' a b o r d les assertions d'unicit6. Soit 7o un 616ment de K de valuation a (V)+ dim V. n(~9), et supposons l'6galit6 (4.2.1) vraie pour W = q - 1, off
Variation des constantes locales d'equations functionelles des fonctions L
109
r/ est un quelconque quasi-caract6re non ramifi6 de K*. Si 7~/o ~ 6tait de valuation non nulle, on pourrait choisir q de sorte que q(77o a) ne soit pas une
racine de l'unit6 d'ordre une puissance de p, et (4.1.2) contredirait (4.2.1). On a
doric bien vK(7)= vK(y0), d'ofi (4.2.2).
Supposons ensuite l'6galit6 (4.2.1) vraie pour W = r / 1, off q est un quelconque quasi-caract6re moddr6ment ramifi6 de K*. Cette 6galit6 d6termine alors la
valeur p(77o ~) pour tout caract6re p de U(O)/U(1), puisque ce groupe est d'ordre premier ~ p. Elle d6termine donc 7 rood* U(1).
4.3. Lemme. Gardons les hypothdses et notations de 4.2, et supposons en outre V
de dimension 1, correspondant au quasi-caractOre (sauvagement ramifiO) Z de K*.
Soit a l'61Oment de K*, uniquement ddfini rood* U(1), tel que ron ait Z ( I + y )
= O ( a y ) pour y e K vdrifiant vK(y)> oc(Z). Alors 7 = a -1 v~rifie la formule (4.2.1).
Par hypoth6se, les constitutants de W sont triviaux sur W(~(i~)). D'apr6s la
variante ([1], 1.5) du th6or6me de Brauer en dimension 0, W s'6crit c o m m e
combinaison lin6aire de repr6sentations de la forme IndW(X - I), off H est un
sous-groupe de W contenant W(c(0j), et X un quasi-caract6re de H trivial sur
W(e(Z) ). Les deux m e m b r e s de (4.2.1) sont multiplicatifs en W; on peut donc
supposer W lui-mame de cette forme W - - I n d W ( X - 1). Soient L l'extension finie de K fixde par H et r/ le quasi-caract~re de L* correspondant ~ X.
L'hypoth6se que X soit trivial sur W(e((Z)) se traduit par les in6galit6s
(*)
~(L/K)<~(X)
et
~(q)<0gm(~(~)).
4.4. On a W |
et Vm s'identifie au quasi-caract6re
X o Nc/K de L*. La compatibilit6 des facteurs ~ ~t l'induction, en dimension 0,
nous fournit alors l'6galit6
~(W|
V, ~ ) = e ( ( q - 1) Z ONLm , r o Trgm ).
Uhypoth6se ~(L/K)<cc(Z ) assure que l'on a C((ZONL/K)=t~L/K(~(Z)) et que,
pour y ~ L de valuation ~L/~:(Cr
on a (cf. 3.12, (i))
NL/K(Ey ) = E(Trgmy ) m o d * U(ct(Z ) + 1)
d'oO
Z ~ NLm(EY) = z(E(TrLmy) = t~(aTrmm(Y))= Lk ~ TrLm(ay).
L'hypoth6se c~(r/)<OLm(c(O0)= c(O(o NL/K) permet d'appliquer le corollaire 1.3(i);
on en d6duit l'6galit6
e((q - 1) Z ~ Nmm, 0" Trgm) =-rl(a -1) m o d ~p/Zp(1).
Pour toute repr6sentation virtuelle R de W(K/L), de dimension 0, on a
det IndWw(mL)R= det RIK •
(cf. [2], XI w et [1] 1.2, qui reproduit un r6sultat de P.X. Gallagher.
Determinant of representations of finite groups, Abh. Math. Sem. Un.
110
P. Deligne et G. Henniart
H a m b u r g , 28 3, 4 okt. 65). Ici, on trouve que l'on a det W = t / I K * et l'6galit6
e ( W | V, ~9)==_rl(a - 1) mod* ~ p / Z p ( l )
prouve 4.3.
4.5. Prouvons maintenant 4.2 dans le cas g6n6ral. On peut supposer V
irr6ductible.
Soit G le quotient de W par le sous-groupe de I qui agit trivialement sur V.
Le groupe G(~(V)) est le dernier groupe de ramification non nul de G; il est
donc ab61ien, et distingu6 dans G. I1 agit sur V sans vecteur fixe non nul (sinon,
l'espace des vecteurs fixes, stable sous W serait non trivial, et la repr6sentation
V serait r6ductible). A p p l i q u a n t la variante 2.3, on voit que V e s t une combinaison lin6aire Z n i I n d , , Zi off le sous-groupe H i de G contient G(~(V)) et off le
caract6re Zi de H i e s t non trivial sur G(~(V)). A H i correspond une extension L i
de K, et fl Zi un quasi-caract6re de L*, encore not6 Zi. Soit W~ la restriction de
W fl W(K/L). On a fl(Wi)<~L,/r(fl(W)) et ~(~I)=~L,/K(~(V)), donc aussi
fl(Wi)<~(Zi). Si a i est un +l+ment de L* tel que l'on ait Zi(1 + y ) = $ o TrL,/K(aiy )
pour y ~ L i v6rifiant VL~(y) > ~(Zi), on a
e(W|
V, ~9)=H e(W/| V/, qJ o TrL,m)"'
- - / / d e t W~(aVl) "'
par 4.3.
- - / / d e t W(NL,/K(al) "9
L'616ment ~=FINL,m(ai)-" v6rifie (4.21).
C.Q.F.D.
4.6. Th6or6me. Soit V une repr6sentation virtuelle de W, sans constituant
mod6rd. II existe un 616ment 7 de K*, dOfini de fagon unique mod* U(a(V)/2), tel
que pour toute representation virtuelle W de W, de dimension 0 et v6rifiant
f l ( W ) < a ( V ) / 2 , on ait
(4.6.1)
E(W|
V, $ ) = det W(7).
Cet 616ment ~ est congru h celui de (4.2.1) m o d * U(1).
La d6monstration de ce th6orSme est parall61e/t la pr6c6dente. L'unicit6 de
est claire, elle vaut d6jfl lorsqu'on se restreint/t prendre W de la forme q - 1
off r/est un quasi-caractSre quelconque de K*, trivial sur U(~(V)/2). La compatibilit6 avec (4.2.1) rSsulte de 4.2(iii).
4.7. L e m m e . Gardons les hypothd.ses et notations du th6orOme 4.6, et supposons
en outre V de dimension 1, correspondant au quasi-caractOre Z de K*. Soit a un
6iOment de K*, d6fini de fagon unique m o d * U(a(Z)/2), tel que l'on ait z(Ey)
= $ ( a y ) pour y ~ K v6rifiant v(y)>o~(Z)/2. Alors ~ = a -1 v6rifie (4.6.1).
Si l'on a fl(W)<a(Z)/2, on a aussi ~(det W)<~(Z)/2 , et la validit6 de (4.6.1)
ne d6pend pas du choix de a. On simplifiera les r6f6rences en prenant a tel que
l'on ait x(Ey) = $(ay) pour y 6 K vSrifiant v(y) > a(X)/P.
De la m~me maniSre qu'en 4.4, on se ramSne fl supposer W de la forme
IndW(X - 1), off le sous-groupe H de W correspond fl une extension L de K, et
V a r i a t i o n des c o n s t a n t e s locales d ' e q u a t i o n s functionelles des f o n c t i o n s L
111
le quasi-caract&e X de H ~ u n quasi-caract&e r/de L*, v6rifiant:
(*)
c~(L/K)<e(Z)/2
~(tI)<~OL/K(C~(Z)/2).
et
La premi6re in6galit6 assure que l'on a c~(ZONL/K)=tpLm(c~(Z)) et la
convexit6 de OL/K nOUS donne OL/K(e(X)/2)<OL/K(C~(Z))/2. On peut doric appliquer le corollaire 1.3(ii) /t ZONL/K et r/; si a' est un 616ment de L* tel que l'on
air
X o NL/K(Ey ) = ~ o TrL/K(a'y )
pour y ~ L* v&ifiant v(y) > a(~ o NLm)/2, on a
~(W@ V, O) = 5((r/- 1)ZoNr/K,t) o TrL/K)=q(a'-~)
Le corollaire 3.7 nous assure l'6galit6 t/(a)= r/(a'), et on conclut c o m m e en 4.4.
4.8. On passe du lemme au th6or6me c o m m e en 4.5. On se r a m 6 n e / t supposer
V irr6ductible, on 6crit V sous la forme 2n~ I n d , , Xi, on dbfinit un 616ment a i de
L* en exigeant l'6galit6 X ~ ( I + y ) = ~ o TrL,/K(aiY) pour v(y)>~(Xi)/2, et on trouve
que l'616ment ~=IIN~,m(a~) "' v6rifie (4.6.1). La convexit6 de OL/~ garantit
l'in6galit6 requise:
fl(Wi) ~. fflL,/K(fl(W)) < ~ L,/K(~(V)/2) <=~ L,/K(~Z(V))/2 = ~(Zi)/2.
4.9. Th6or~me. Soit V une representation virtuelle de W, sans constituant
modOr& Soit (W~)i~I une famille finie de representation virtuelles de dimension 0
de W. On suppose que l'on a fl(W/)<~(V) pour tout indice i et ~ (~(V)
- f l ( W i ) ) > ~ ( V ). Alors on a
i~t
5((@ W/) @ V) = 1.
ieI
Remarque. L'hypoth6se assure qu'il y au moins deux repr6sentations W/. Le
d6terminant de (@ W/) | V e s t donc trivial, ce qui justifie l'omission de ~ sous
le signe 5.
i~i
Si W/est de la forme Indw(K/L)(q
w
~- 1) Off L e s t une extension finie de K et ~h
un quasi-caract&e de L*, v6rifiant
(*)
on
~(ql)<~L/K(fl(W~))
et
~(L/K)<-_fl(Wi)),
a
(4.9.1)
5((@ W~)| V ) = 5 ( ( q i - 1)|
j~ I
@
(VVjlW(I(/L)))| VI W(I(/L))
j~ I \ {i}
et de plus
fl(W~IW(I(/L)) <=~L/K(~( Wi))
~(Vl W(K/L))= ~L/~(a(V)).
La convexit6 de ~L/K assure donc que l'hypoth6se du th6or6me est encore satisfaite pour la repr6sentation (de W(K/L)) apparaissant dans le m e m b r e de droite de (4.9.1).
112
P. Deligne et G. H e n n i a r t
W
De m6me, si V est de la forme Indw~K/L)~/,
Off le quasi-caract6re ~/ de L*
v6rifie ~(q)= ~L/K(~(V)), on a
e((Q W~)Q V)= e((~) (Wj[ W(K/L))(~q),
(4.9.2)
j~l
jEI
et l'hypoth6se du th6or6me est encore satisfaite pour la repr6sentation apparaissant au membre de droite de (4.9.2).
Les sempiternelles variantes du th6or6me de Brauer ram6nent donc le
th6or6me ~t la proposition 1.7.
4.10. Question. Soit V une repr6sentation de W, sans constituant mod6r6.
Soient (Gi)i~ I une famille finie de quotients de W par des sous-groupes ouverts
de I e t , pour chaque indice i, fli le dernier saut de la fltration de G i par les
groupes de ramification, en num6rotation sup6rieure. On suppose que pour
chaque i, on a fli<c~(V). Soient (ni)i~~ une famille d'entiers positifs ou nuls, et
pour chaque indice i, une repr6sentation virtuelle W~ de Gi, qui se trouve dans
le n~-sous-espace de la y-filtration de l'anneau des repr6sentations de G i. Pour
n i = 1 (resp. ni= 2) cela signifie que W/est de dimension 0 (resp. de dimension 0
et de d6terminant trivial).
Si on a ~ ni(~(V)-fli)(V), peut-on conclure que e(((~ I4///)| V) vaut 1?
iel
iel
Remarque. Si tousles n i valent 1, c'est le th6or6me 4.9. Si [I[ vaut 1 et s i n 1 vaut
2, c'est le th6or6me 4.6.
4.11. Lemme. Toute representation irr~ductible du groupe d'inertie sauvage dont
la classe d'isomorphie est fixe sous W se prolonge en une representation de W.
Le groupe d'inertie I est une extension
1 --~ P--~ I--r 77p.(1)-~ 1
(4.11.1)
Soient cro un g6n6rateur de ~p,(1), tr 1 un rel6vement de e 0 dans I, l(p')
l'616ment de ~,---lriZt de composante dans 7Zl 6gale h 1 (resp. ~t 0) pour l # p
l
(resp. l=p), et posons a=altP'). Cet 616ment d6finit un scindage de l'extension
(4.11.1).
Le groupe W e s t extension de 7/. par I. Le choix d'un rel6vement F de 1 c 7/
scinde cette extension; celui de F e t a identifie W au produit semi-direct it6r6
W'~ 7/~(2p, ~ P).
Pour prolonger ~ W une repr6sentation p: P--~GL(F), il sufft donc de se donner les deux automorphismes R = p ( a ) et S = p ( F ) de V assujettis aux conditions
suivantes
(a) Pour g ~ P , p ( a g a - 1 ) = R p ( g ) R -1
(b) p(a) est d'ordre fini premier h p.
(c) Notant PR la repr6sentation de I qui prolonge p et pour laquelle
R = p ( a ) , on a p a ( F g F - 1 ) = S p a ( g ) S -1 pour g ~ I .
Variation des constantes locales d'equations functionelles des fonctions L
113
Supposons V irr6ductible, de classe d'isomorphie fixe par I. I1 existe
alors R 0 v6rifiant (a). Soit n u n entier > 1, premier ~ p, tel que a" centralise le
quotient fini p(P) de P. La repr6sentation p 6rant irr6ductible, l'automorphisme
R~ de (V,p) est un scalaire 2. Soit 21/" une racine n .... de 2, et posons R 1
=Ro 21/". Cet automorphisme de V v6rifie (a), (b).
Supposons en outre la classe d'isomorphie de V fixe par W. I1 existe alors S
tel que p ( F g F 1)=Sp(g)S-1 pour g ~ P . Si p~ et P2 sont deux prolongements
de p ~ I, il existe un caract6re mod6r6 Z de I tel que Pl =P2)~. En particulier, il
existe )~ tel que S P R , ( F - l g F ) S - a = z ( g ) p n , ( g ) pour g e l . Remplacer PR, par
son produit avec un caract6re mod6r6 q m6ne f remplacer ;~ par gtl q-~. Le
groupe des caract6res mod6r6s est p'-divisible. I1 existe donc r/ tel que Z=r/1-q,
et on vdrifie (a) (b) (c) en prenant R = R l r / ( a ).
4.12. Pour chaque orbitev de W dans l'ensemble P des classes d'isomorphie de
reprdsentations irrdductibles de P, choisissons un reprdsentant + de v. Soient
W(*) le sous-groupe de W qui fixe i~, et K(*) l'extension correspondante de K.
L'extension K(+) est mod6r6ment ramifi6e. Choisissons (4.11) aussi une
repr6sentation V(v) de W(*)= W(ff~/K(*)) dont la restriction fi P soit de classe
Soit V une reprdsentation de W. Pour chaque vet6/W, le groupe
Home(V(*), V) est une repr6sentation de W (b), triviale sur P. On dispose d'un
homomorphisme naturel de W(+)-repr6sentations
Home(V(*), V)| V(*)-~ V.
Ces morphismes induisent un morphisme de repr6sentations de W:
(4.12.1)
@ Indwr
w Home(V(v),
9 V)| V(~)--, V
~eP/W
On laisse au lecteur la v6rification du lemme suivant (cf. 2.1)
4.12. Lemme. Le morphisme 4.12.1 est isomorphisme.
4.13. Proposition. Soient V une representation virtuelle de W, sans constituant
mod~rO, et W une reprdsentation virtuelle de dimension O. On suppose que
/~(w)< ~(v).
(i) Si la restriction de V d P e s t O, alors e(W| V)= 1.
(ii) Soit 7~ K* comme en 4.2. Si la restriction de W gt P e s t 0 (auquel cas le
quasi-caract~re det W e s t modOrOment ramifi~), on a
e ( W | V, ~ ) = det W(~).
La d6composition (4.12.1) s'6tend aux repr6sentations virtuelles, et pour
qu'une repr6sentation virtuelle R ait une restriction nulle ~ P, il faut et il suffit
que les repr6sentations virtuelles mod6r6es Homp(V(+), V) soient de dimension
0.
Si la repr6sentation virtuelle V a une restriction ~ P nulle, elle est en particulier de dimension 0, et la repr6sentation W | V est de d6terminant trivial.
114
P. Deligne et G. Henniart
Ceci justifie l'omission de ~ sous le signe e dans (i). De plus,
e(W| v ) = l - I e ( W Q Homp(V(*), V)| V(~)).
u
I1 suffit d'6tendre le produit aux v qui apparaissent dans un constituant de V,
chaque facteur est justifiable de 4.9, et ceci prouve (i).
Supposons que W a i t une restriction /t P nulle. D6composons W e n la
somme W = W 1 ~ - W2, avec
W1 = ~ IndW(r
W) @ (V(~r dim V(+). 1))
w
W2 = ~ IndW(r
W) @ (dim V(+). 1)).
v
Les repr6sentations virtuelles Home(V(~), W)| V(~) et Homv(V(r ), W)
| (dim V(r 1) de W(*) ayant m6me d6terminant, on a det W = d e t W2 (cf 4.4).
On a
~(W| V~~/) = e(Wl | V~~). ~(W2 | V~I//).
La repr6sentation W1 | V e s t de d6terminant trivial, et te facteur e(W1 @ V,~h)
se r6crit
e(W1@ V ) = I ] e(Home(V(* ), W) @ (V(~)- dim V(*). 1) @ V)
v
I1 suffit d'6tendre le produit aux v qui apparaissent dans les constituants de W;
chaque facteur est justiciable de 4.9, et e(W~ @ V)=I. Appliquant fi W2, on
trouve enfin que
e(W| V, t))= e(W2 | V, 0 ) = det W2(7)= det W(~).
4.14. Remarque. Pour toute repr6sentation virtuelle V de W, posons V = V '
+ V", avec
V'= X IndW(+)(dim Home(V(*), V). V(+))
V" = Z IndW(+)((Homv(V(*), V ) - dim Home(V(*), V). 1) | V(*)).
La restriction de V" /t P e s t 0, les repr6sentations irr6ductibles de P qui figurent dans les contitutants de V" sont parmi les mames pour V, et les
repr6sentations irr6ductibles de P qui figurent dans les constituants de V' sont
les constituants de la restriction de V /l P. On a donc fl(V'), fl(V")>fl(V) et
~(v'), ~(v H )=~(v).
Cette d6composition, et 4.14, permettent d'am61iorer l'hypothSse de 4.6 en
fl(W)< c~(V) et fl(W')< c~(V')/2.
4.15. Th~or~me. Soit V une reprdsentation virtuelle de W, sans constituant
moddrd. Notons simplement ~ la fonction ~1--* e(q | V, 0, dx) du groupe X des quasicaractkres de K* triviaux sur U((1- (I/p))~(V)).
Variation des constantes locales d'equations functionelles des fonctions L
115
p-1
(i) La fonction ~ s'dcrit de faqon unique comme un produit ~ = [ I ei, off e o est
i=0
constante, ~1 de la forme rl--~q(7) , pour un certain dlkment Y de K * bien d~fini
mod* U((1-(1/p))a(V)), et off les ei, pour i > 2 , sont homogknes de degrd i, d
valeurs dans ff~p/2~p(1).
(ii) Si on a 2 < n < p et n(a(V)-~(~I))>~(V) alors em(~l) vaut 1 pour m > n .
(iii) E dlkment 7 de K*, bien dOfini rood* U((1 - 1/p)~(V)), tel que el(r/)=q(7)
pour q dans X prOcise celui de (4.6.1), i.e. lui est congru rood* U(ct(V)/2).
A d m e t t o n s l'existence d'une dhcomposition e = l-I ei c o m m e en (i) et prouvons
son unicit6 et les assertions (ii) et (iii). Soit 7o un 616ment de K* vhrifiant
(4.2.1). On a nhcessairement e o (17)= e (V, ~b,dx), d'ofi
p--i
e ( ( q - 1) |
V, ~ ) = q ( 7 ) ' I~ ei(q)--- r/(7) re~
~p/7/p(1).
i=2
D'apr6s 4.2, l'616ment 71:=77o 1 de K* est dans U(1). On a
p--1
e ((t/- 1) |
V, ~). t/(7 o) - 1 = q (71)" H ~i (t])i=2
Fixons un entier n entre 2 et p" 2 < n < p . D'apr~s 4.9, la restriction de la fonction e(t/|
X ~ { E * au groupe X , des quasi-caract6res de K* triviaux
sur U ( ( 1 - 1 / n ) ~ ( V ) ) est de degr6 < n (utiliser la forme 1.8.2 de la d6finition
1.8). La m~me assertion vaut pour la fonction e ( ( t / - 1 ) | V,~p)t/(7o) -~ qui s'en
d6duit par multiplication par une fonction de X dans ~E* de degr6 < 1. La
fonction e((t/- 1 ) | V, g,)t/(70) -1 est en outre /l valeurs clans Qp/TZp(1), ce qui
permet de lui appliquer 1.9. Faisant n = p , on trouve qu'elle d6termine uniquemerit la fonction t / ~ / ( 7 1 ) et les fonctions e~. A son tour, la fonction t/-~t/(~l)
d6termine les 61~ments 71 et 7=70oll de K ' r o o d U((1-1/n)~(V)). Pour n quelconque, on obtient (ii). Enfin, (iii) r~sulte du c a s n = 2 de (ii), c o m p a r 6 / t 4.6.
P r o v o n s les assertions d'existence.
Pour V de dimension 1, 1.10 fournit une d6composition 4.150):
4.16. L e m m e . Soient V de dimension 1, ddfini par un caractdre sauvagement ramifi~ Z de K*, e t a un OlOment de K* tel que z ( E y ) = @ ( a y ) pour v(y)>a(Z)/p.
Eassertion 4.11(1) est vraie pour V, et on peut prendre 7 = a --1
4.17. L e m m e . Soit L = f f . une extension s@arable finie de K. On la munit du
caractkre additif ~ o Tr_Lm, et d'une quelconque mesure de Haar dx. Soient V' une
representation de W ( K / L ) et V son induite d W. On suppose qu'on a a ( V ' ) > 0 et
on pose [email protected](a(V')). Supposons 4.110) vrai pour V', et posons al(q')=q'(7'),
avec 7'~L* et 7=NL/r(7'). Alors les assertions du thdorkme 4.11(i) sont vraies
pour V (et q/), si l'on y remplace ~(V) par ~.
Pour tout quasi-caract6re tl de K*, on
a
e((q - 1) V, @) = e((q o Nz/r - 1) V', ~ o Try/t: ).
116
P. Deligne et G. Henniart
Si on a c~(tl)<(1-(1/p))cq la convexit6 de tpL/K fournit
~(q o NL/K) < ~L/K(~(q)) < (1 - (l/p)) ~OL/K(C0 = (1 -- (l/p)) c~(V').
L'assertion du lemme est donc claire.
4.18. Supposons m a i n t e n a n t que V e s t une repr6sentation quelconque de W,
sans constituant mod6r6. Par la variante du th6or6me de Brauer donn6e au
chapitre 2, on 6crit V-Zn/Indw(L,/K)(Zi),
w
off L/ est une extension finie de K et
)~i un quasi-caract&e de L* v6rifiant ~()~3=tpL,m(~(V)). Appliquant alors 4.t6 et
4.17, on voit que, si l'on choisit pour chaque i un 816ment 7~ de L* tel qu'on ait
)~i(Ey) = ~9o TrL,/K(Ti l y) pour y ~ L~ v6rifiant v(y)> c~(Zi)/p, alors on peut prendre
y=IINL,/K(73"' dans le th6or6me 4.15, relativement/L V e t ~. C.Q.F.D.
4.19. Le th6or6me 4.15 et le paragraphe 4.1, permettent donc d'attacher /t
une reprSsentation V de W (et au caract6re additif ~ fix6), un 616ment 7
=~(V, ~k) de K*, bien d6fini mod* U ( ( 1 - ( I / p ) ) c~(V)), et caract6ris6 par l'existence d'une dScomposition
(4.19.1)
8(q |
p--1
V,t~,dx)=e(V,~b,dx)tl(V,O)) 1~ 8~(q)
i=2
pour chaque caract6re t/ de K* trivial sur U((1-(1/p))~(V)), les fonctions ~i
6tant des fonctions homog6nes de degr6 i du groupe X de ces caract6res,
valeurs dans (l~p/;gp(1). Cet 616ment 7(V,~) v6rifie de plus (4.1.2), (4.2.1) et (4.6.l)
et il est de valuation a ( V ) - d i m V.n(tp).
Que se passe-t-il si l'on change caract6re additif ~?
Les autres caract6res additifs de K sont les caract6res Oa, a p a r c o u r a n t K,
d6finis par ~a(x)=tp(ax); ils sont n o n triviaux si a est non nul. Si X est une
repr6sentation virtuelle de dimension 0 de W, on a
e(X, tp~)=detX(a)e(X,t)),
(cf. [1], 5.4).
I1 est facile d'en d6duire la d6pendance de 7(V,O) en ~: on a det ((q - 1 ) V)
= qdim Vet
(4.19.2)
7(V, ~a)=adimV y(V, ~1).
4.20. Soit O K le dual de Pontrjagin du groupe additif de K. C'est un espace
vectoriel de dimension 1 sur K, pour le produit a. ~ = ~". Pour chaque entier
m, on munit sa puissance tensorielle m e de la valuation v pour laquelle on a
v(a~b|
ce pour tout 616ment a de K. La formule (4.19.1) signifie que l'616ment y ( V ) = y ( V , $ ) $ |
de ~ ( d i m V ) est ind6pendant du
caract6re $ (non trivial) choisi. On a v(7(V))=c~(V) et
(4.20)
7( V, 0 ) = ])(V) ~| dimV.
Soit L une extension finie de K. Le m o r p h i s m e ~ - - , ~ o TrL/K de f2K dans ~2L
est K-lin6aire, et se prolonge en un i s o m o r p h i s m e tL/K: (2K(~L~--~2L . On
Variation des constantes locales d'equations functionelles des fonctions L
117
d6finit la normeNL/K: ~c2L ~ ~K~ [L: K] par l'6galit6
NL/K(btL/K(tp))= NL/K(b) ~|
K3
pour ff dans OK, b dans L.
Avec ces notations, on a l e formulaire suivant.
4.21.
Formulaire
(4.21.1)
Multiplicativitk
Soient V, V', V" des repr6sentations de W. Supposons V extension de V' par
V". On a alors
~(V) = inf(a(V'), a (V"))
et
7 ( V ) - 7(V') 7(V") mod* U((1 - (l/p)) a(V)).
(4.21.2)
Induction
Soit L une extension finie de K. Soient V' une repr6sentation de
V son induite ~ W. On a
W(K/L) et
~,,,L(~(v'))<~(v)
et
7(V) -= NL/K(7(V')) mod* UK((1 -- (i/p)) ~r
(4.21.3)
L(a(V')))
Restriction
Soit L une extension finie de K. Soient V une repr6sentation de W et V' sa
restriction/t W(K,/L). Supposons qu'on ait a(L/K)< a(V) et notons e l'indice de
ramification de L/K. On a
7(V') = tL/K(7(V)) mod* UL((1 -- (l/p)) e(a(V)- ~(K/L)))
Remarque. On notera que si l'extension L/K est mod6r6ment ramifi6e, cette
formule d6termine 7(V), rood* U((1-(1/p)a(V)), i~ partir de 7(V'), et que 7(V) ne
d6pend donc que de la restriction de V au groupe d'inertie sauvage P. Ce fait
peut aussi de d6duire de 4.13(i).
(4.21.4)
Dimension 1
Soit V une repr6sentation de dimension 1, correspondant au quasi-caract6re ;(
de K*. Supposons Z sauvagement ramifi6, et choisissons un caract6re additif
prolongeant le caract6re y~--~x(Ey) de A(a(x)/p). On a
~ ~---~I ] / |
mod* U((1-(1/p))ct(Z)).
4.22. L'assertion (4.21.1) r6sulte aussit6t des d6finitions, et de la multiplicativit6
des facteurs e. L'assertion (4.21.2) reformule (4.17) et (4.21.4) reformule (1.8).
P r o u v o n s (4.21.3). Proc6dant comme en 4.4, 4.8, on peut supposer que V
est induite d'un quasi-caract6re sauvagement ramifi6 Z d'une extension finie
M de K, v6rifiant c~(M/K)<t)~,M(C~(X)), (on pourrait m~me supposer
a(M/K)<~br, M(a(X)), mais il n'importe). Soit t u n 616ment de T, tel que
118
P. Deligne et G. Henniart
vM(t) = 7(Z). D b c o m p o s o n s M |
en u n p r o d u i t de c o r p s :
M|
[ M i,
iEl
et p o s o n s Zi =;~ o NM,/M. O n a
V = I n d (;0
~(V) = v~(t)
~(z) =
v~(t)
~(V')= vL(t)
~(x~)=v~,(t).
et
V' = 0
I n d (Xi)
i~l
E n effet, l ' h y p o t h 6 s e ~(L/K)<a(V) a s s u r e que, p o u r t o u t p l o n g e m e n t a de L
d a n s _K, W(_Ka(L)) c o n t i e n t W [ t ] , t a n d i s q u e l ' h y p o t h 6 s e e(M/K)<t~K•
a s s u r e que, p o u r t o u t p l o n g e m e n t ~ de M d a n s K et t o u t t'>t, W(K/r(M))
c o n t i e n t W i t ' ] , q u e ~ e s t trivial s u r W [ t ' ] et n o n trivial sur W(K/z(M))[t]
= W(K/L) c~ W [t].
F i x o n s u n caract6re a d d i t i f n o n trivial ~ de K, et fixons 6 g a l e m e n t a d a n s
M tel q u ' o n ait )~(Ey)= ~ o TrMiK(ay ) p o u r y e M v6rifiant v(y)> ~O0/P, et p o u r
c h a q u e i u n 616ment a i de M i tel q u ' o n ait )~i(EY)=t~ o Tr~t,/K(aiy ) p o u r y e M i
v6rifiant v(y)> ~(Xi)/P. I1 s'agit de p r o u v e r la c o n g r u e n c e
NM/ra = ~[ NM,/La i rood* UL((1 -- (l/p)) e(a(V) -- a(L/K)))
i~l
Soit t o e T v6rifiant vK(to)= ~(L/K) et, p o u r c h a q u e i, soit ti E T v6rifiant vM(t )
= ~(Mi/M ). O n a t i <=t o p o u r t o u t i, et, d a n s le d o m a i n e {u ~ T, u > to} , les fonct i o n s ~L/r et ~u,/M s o n t toutes lin6aires, de p e n t e l'indice de r a m i f i c a t i o n corr e s p o n d a n t . Le c o r o l l a i r e 3.12(ii) f o u r n i t la c o n g r u e n c e
a - a i mod*
UM,((1 -
(1/p)) (VM,(t) -- VM,(ti))).
Cette c o n g r u e n c e v a u t a f o r t i o r i m o d * UM,((1 -- (I/p)) (VM,(t)- VM,(to) ). P r e n a n t la
n o r m e de M~ /~ L, et u t i l i s a n t le fait q u e p o u r t o u t e e x t e n s i o n N/R, o n a
NN/a UN(k ) = R c~ UN(k) = UR (k/eN m) o n t r o u v e la c o n g r u e n c e
NM,/L(a) =--N~,/L(ai) m o d * UL((1 -- (l/p)) (v L (t)-- vL(to))).
O n c o n c l u t e n n o t a n t q u e NM/K(a ) est le p r o d u i t des NM,/L(a ).
Bibliographie
1. Deligne, P.: Les constantes locales des 6quations fonctionnelles des fonctions L, in Modular
functions of one variable II Lectures in Math. n ~ 349, pp. 501-597. Springer Verlag 1973
2. Serre, J-P.: Corps locaux. Public. Inst. Math. Nancago, Paris: Hermann 1962
3. Weil, A.: Basic number theory. In: Grundlehren der Math. Wiss., Berlin Heidelberg New York:
Springer Verlag 1973
Received November 10, 1980