Sur la variation, par torsion, des constantes locales d`equations

Invent. math. 64, 89-118 (1981)
/~r/pentlo~/es
mathematicae
9 Springer-Verlag 1981
Sur la variation, par torsion, des constantes locales
d'equations fonctionnelles de fonctions L
P. Deligne 1 et G. Henniart 2
Institut des Hautes Etudes Scientifiques, 35 route de Chartres, F-91440 Bures-sur-Yvette, France
2 11 rue Ruhmkorff, F-75017 Paris, France
Introduction ......................... 89
0. Notations ......................... 91
1. Le cas de dimension 1 ................... 93
2. Une variante du th6or6me de Brauer ............. 101
3. Normes et traces ..................... 102
4. Le cas g~n6ral ....................... 108
Bibliographie ........................ 118
Introduction
Soit K un corps local non-archimSdien, fi corps r6siduel fini. Soient K une
cl6ture alg6brique s6parable de K et W= W(K/K) le groupe de Weil corres-
pondant (cf. [3], Ap. II, ou [1], w La th6orie du corps de classes local fournit
un isomorphisme wab--K *, que nous normaliserons comme dans [1], 2.3.
Nous utiliserons cet isomorphisme pour identifier syst6matiquement classes
d'isomorphismes de repr6sentations de dimension 1 de W et quasi-caractSres
de K*. Nous fixerons un caract6re non trivial r du groupe additif de K, et une
mesure de Haar dx sur ce groupe.
Si U est une repr6sentation de W (continue et de dimension finie), on sait que
pour chaque quasi-caract6re )~ de K* de conducteur a00 suffisamment grand, la
constante locale e(U| r dx) (cf. [1], 4.1) admet une description simple: no-
tant v k la valuation normalis6e de K, il existe un 516ment a de K* tel que l'on
ait X(1 +y)=O(ay) si y ~ K v6rifie 2vk(y)>aO0, et l'on a, en posant 7=a -1,
(1)
E(U | ~], dx)=~()~, ~,dx) dimU. det U(7)
C'est d'ailleurs ce fait qui est h la base de la construction des constantes loca-
les donnde dans [lJ, w En termes de la repr6sentation virtuelle
W= U-(dim U). 1, qui est de dimension 0 et de mSme dSterminant que U, la
formule (1) s'6crit
(2) e(W| Z, ~0)= det W(?).

90 P. Deligne et G. Henniart
Nous prouvons ici un r6sultat plus g6n6ral. Soit t un nombre r6el positif ou
nul. Soit W une repr6sentation virtuelle de W, de dimension 0, suppos6e trivia-
le sur le groupe de ramification W(t/2) i.e. dont tousles constituants (cf. 0.5)
sont triviaux sur W(t/2) (il s'agit de groupes de ramification en num6rotation
sup6rieure, cf. 0.4). Soit enfin V une repr6sentation de W, sans vecteur non nul
fixe par W(t). Alors on a la formule suivante (4.6).
(3) e,(W| V, ~9)=det W()'),
ot~ 7 est un 616ment de K* ne d6pendant que de Vet qJ. Sa valuation est
a(V)+(dimV)n(tp), o~ a(V) est l'exposant du conducteur de V, et n(O) l'ordre
de ~, cf. 0.3. L'616ment 7 n'est bien d6fini qu'& multiplication pr6s par un 616ment
du groupe U(t/2) des unit6s u de K v6rifiant VK(U--1)>t/2. Sa classe dans
K*/U(t/2) est ddjg caract6ris6e par les 6galit6s (3), quand W parcourt l'ensemble
des repr6sentations de la forme q-1, ot~ q est un quasi-caract6re de K* trivial
sur U(t/2).
Lorsqu'on suppose seulement que West une repr6sentation virtuelle de W,
de dimension 0 et triviale sur W(t), nous prouvons (4.2) que
e(W| V, O)/det W(y) est une racine de l'unit6 d'ordre une puissance de p.
L'616ment 7 de K*/U(t/2) intervenant dans la formule (3) se calcule comme
suit. Une variante du th6or6me de Brauer, donn6e au w permet d'6crire V,
dans le groupe de Grothendieck des repr6sentations de W, comme combinai-
son lin6aire finie de repr6sentations induites de repr6sentations Zi de dimension
1 de sous-groupes ouverts (d'indice fini) H i de W, la repr6sentation gi 6tant
non-triviale sur Hi c~W(t): V=Zn iInd(Zi), n i c Z; chaque H i correspond une
extension L i de K, et Zi s'identifie gun quasi-caract6re de L*; on choisit alors
a i dans L* de fa~on que l'on air zi(l+y)=tpoTrr,m(aiY) si y~L i v6rifie
2vL(Y)>a(zi). Si a(zi)<l, cette condition signifie que v(ai)>-n(Oo TrL,m) , et
on impose de plus que v(ai)= -(n(O o TrL,/K)+a(zi) ). Posant 7i=aF ~, on a
7 = n NL,/K(~i)"'.
Nous ne connaissons pas de d6monstration directe de ce que la classe, dans
K*/U(t/2), de la quantit6 7=7(V, ~9) d6finie par cette formule, ne d6pend pas de
la d6composition choisie de V en repr6sentations induites.
Si ~ est une repr6sentation de dimension 1 de W, on peut pr6ciser la
d6finition de 7=?(Z, 0) en exigeant que l'on ait
pour y dans K v6rifiant pv~(y)>a(z ). On peut de mame pr6ciser 7(V, 0), pour
une repr6sentation quelconque V de W, en la d6composant comme plus haut,
en d6finissant un 616ment 7i de L* par l'6galit6
p--1

Variation des constantes locales d'equations functionelles des fonctions L 91
pour tout y dans L i v6rifiant pvL,(y)>a(zi) , et en d6finissant 7(V, 4)=7 par la
formule (4). Si a(xi)< 1, on impose de plus l'6galit6
V ('Yi) = n (4 o TrL,/K ) + a(zi)"
Grfice fi une interpr6tation en termes de la function Ww-~e(W| V, tp, dx),
nous montrons que l'616ment ainsi d6fini ne d6pend pas des choix effectu6s (de
la d6composition de V et des 616ments ~'i),/t multiplication pr6s par un 616ment
de U((1-1/p)t)(cf. 4.11 fi 4.13).
Pour le formalisme auquel 7(V, 4) ob6it, voir la fin du chapitre 4 (4.16 et
sq.).
O. Notations
0.1. Si K est un corps valu6 complet, on note v sa valuation et (9 l'anneau de
valuation correspondant. Pout tout nombre r6el t, on note A(t) le sous-groupe
additif de K form6 des 616ments de valuation au moins t, et, sit est positif ou
nul, on note U(t) le sous-groupe des unit6s x de (9 v6rifiant v(x-1)>t. Si
n6cessaire, on pr6cise par un indice K. On fixe un nombre premier p, et les
corps valu6s consid6r6s sont de caract6ristique r6siduelle p.
0.2. Nous noterons E l'exponentielle tronqu6e:
p--1
e(x) = y~ xl/i !,
i=0
et Lle logarithme tronqu6
p--1
L(x) = ~ (- 1)' +' (x- 1)'/i.
i=1
Pour t positif ou nul, ces applications induisent des isomorphismes inverses
Fun de l'autre:
E
A (t)/A (t9 t) ~ U (t)/U {p t).
L
0.3. Soit K un corps local non-archim6dien, i.e. un corps valu6 complet ~ corps
r6siduel fini, fix6 dans toute la suite. Comme dans [1], nous noterons
4: K --* II~* un caract6re additif non trivial de K, n(~) l'ordre de 4, i.e. le plus
grand entier rn tel que ~ soit trivial sur A(-m), dx une mesure de Haar sur K,
K une cl6ture alg6brique s6parable de K et W(K/K)=W le groupe de Weil
(absolu) correspondant.
0.4. Si G est le groupe de Galois d'une extension galoisienne finie L/K, et tun
hombre rdel positif ou nul, on note G(t) le groupe de ramification d'indice ten
num6rotation supdrieure (cf. [2], IV, w 3). Rappelons que, comme fonction de t,
G(t) est d6croissant, saute en un nombre fini de valeurs, et qu'entre deux sauts
successifs t Iet t2, G(t) est constant, 6gal ~ G(t2).

92 P. Deligne et G. Henniart
La raison d'~tre de la num6rotation supdrieure est sa compatibilit6 au pas-
sage au quotient: si H est un sous-groupe distingu6 de G, (G/H)(t) est l'image
de G(t) dans G/H. Si Lest maintenant une extension galoisienne infinie de K et
G le groupe Gal(L/K), on d6finit les groupes G(t) par la formule G(t)
= lim proj Gal (E/K)(t), ofJ la limite est prise suivant les extensions galoisiennes
finies E de K dans L. La compatibilit6 pr6c6dente est conserv6e. Le groupe
d'inertie de G n'est autre que G(0) et le groupe d'inertie sauvage, son p-groupe
de Sylow, est l'adh6rence de la r6union des G(t) pour t>0.
Si L contient une extension non ramifi6e maximale de K, on d6finit comme
dans [3], App. II, le groupe de Weil W(L/K). I1 contient le groupe d'inertie de
G, et ceci permet de poser W(L/K)(t)= G(t) pour t positif ou nul.
Nous noterons I le groupe d'inertie de Gal (K/K): I=W(0), et P son pro-p-
sous-groupe de Sylow (groupe d'inertie sauvage).
0.5. Par repr6sentation (d'un groupe topologique), nous entendrons toujours
repr6sentation continue dans un espace vectoriel complexe de dimension finie.
Dans une repr6sentation de W, le groupe d'inertie I agit & travers un groupe
fini. Une repr6sentation de W sera dite non ramifi6e si 1 agit trivialement, et
ramifi6e dans le cas contraire. Soit V une repr6sentation virtuelle de W, i.e. un
616ment du groupe de Grothendieck de la cat6gorie des reprdsentations de W.
Elle s'6crit de fa~on unique V=~n(V')V', ofa V' parcourt les repr6sentations
irr6ductibles de Wet n(V') est un entier, la multiplicit6 de V' dans V. Les V' de
multiplicit6 non nulle sont en nombre fini; ce sont les constituants de V.
Pour la d6finition de la constante locale ~(V, ~, dx), nous renvoyons & [1]
4.1. Rappelons que pour V de dimension 0 (resp. de dimension 0 et de
d6terminant trivial), elle est ind6pendante de dx (resp. de dx et de 0); en ce cas
nous la noterons simplement e(V, tp) (resp. e(V)).
On note a(V) l'exposant du conducteur d'Artin de Vet Sw(V) l'exposant de
son conducteur de Swan. On a
a(V)=dim V-dim VZ+Sw(V).
0.6. Soit V une repr6sentation irr6ductible ramifi6e de W. Notons W(V) le
quotient de W qui agit fid61ement sur V; on d6finit c~(V) comme le dernier saut
de la fltration de W(V): par d6finition, on a
vWt'~v))=0 et vWt'~v)+~)=V pour tout e>0.
Si V est non ramifi6e, on pose ,(V)=0. Avec ces conventions, toute
repr6sentation irr6ductible V de W satisfait 5. la formule
Sw(V)=a(V) dim V.
Soit V une repr6sentation virtuelle de W. On note ~(V) (resp./?(V)) la borne
inf6rieure (resp. sup6rieure) des ~(V'). quand V' parcourt les constituants de V.
Que ron air ~(V)>c~ signifie que les constituants de V n'ont pas de vecteur
non nul fixepar W(c~): VW~')=0. Que l'on ait/~(V)</3 (on a alors/~>0) signifie
que V provient par inflation d'une repr6sentation virtuelle de W/W(/~).

Variation des constantes locales d'equations functionelles des fonctions L 93
Une extension finie s6parable L de K d6finit un ensemble galoisien
HomK(L,K ). On pose e(L/K)=~(U), off U est la repr6sentation de permuta-
tion de W sur Hom K (L, K). Si M est une extension galoisienne de K contenant
L, c~(L/K) est la borne inf&ieure des indices e tels que GaI(M/L) contienne
aal(M/K)(cO.
0.7. On sait (cf. [2], XV.w que l'isomorphisme de la th6orie du corps de
classes local: wab~--K * identifie wab(t) g U(t). Si X est un quasi-caract&e rami-
fi6 de K* (correspondant fi une repr6sentation de W de dimension 1), c~(X) est
donc le plus grand entier n>0 tel que Z soit non trivial sur UK(n ). Si )~ est
un quasi-caract&e de K*, non ramifi~ ou mod6r6ment ramifi6, on a c~(Z)=0.
On dit que Zest sauvagement ramifi6 si l'on a e(X)>0.
0.8. On note Qp/7Zp(1) le sous-groupe.de I12" form6 des racines de l'unit6 d'or-
dre une puissance de p. On note par mod* une congruence multiplicative, i.e.
une congruence dans le groupe multiplicatif d'un corps. Si X est un ensemble
fini, on note IXI son cardinal.
1. Le cas de dimension 1
1.1. Proposition. Soient Z et tl deux quasi-caraetOres de K*, vJrifiant ~(q)< ~(Z).
Soit mle plus petit entier tel que l'on ait 2m > ~(Z) et soit a un OlOment de K tel
que l'on ait Z(1 + y)=~b(ay) dos que l'Ol~ment y de K est de valuation au moins m.
On a alors vK(a)=-(n(~b)+ l +~(Z)) eta est unique mod* U(~(Z)/2 ). De mdme,
soit bun ~l~ment de K v&ifiant q(l + y)=tp(by) dos que l'on a vK(y)>o~(Z)/2.
Si l'on a ~(~/)>0~(Z)/2, alors v(b) vaut -(n(~b)+l+~(~/)) et b est unique
mod* U(~(~l)-~(Z)/2 + 1); sinon, best n'importe quel ~l~ment de K de valuation
au moins -(n(~b) + 0~(Z)/2 ). On a
(1.1.1) e((q- 1)Z, ~b)=q(a-1) 9 (gt/)- 1 (1 +b/a). ~b(b).
1.2. Les assertions concernant la valuation et l'unicit6 de a ou b sont faciles/t
d6montrer et laiss6es au lecteur (cf. [1], w Prouvons l'6galit6 (1.1.1). La
constante locale e(Z, ~b, dx) est la valeur de l'int6grale
S ~-l(x)O(x)dx=Y ~ z-'(x)0(x)dx.
K* ne2~ v(x) = n
Cette formule s'obtient formellement ~t partir de la formule de d~finition ([1]
3.3.1) (l'6quation fonctionnelle locale de Tate) en prenant pour f la fonction de
Dirac en 1. On peut la prouver en prenant pour f la fonction caract&istique
de U(n), n &ant assez grand. Rappelons que si on calcule rint~grale en la
brisant selon les classes lat&ales mod* U(m) et que rexposant a(D=~(D+ 1 est
pair, un seul terme subsiste: e(~,lp, dx)= j X-i(x)lp(x)clx; la fonction
aU(m)
int~grer est d'ailleurs constante. Si a(D est impair, on a
~(z, O, dx)= j )~-~(x)O(x)dx,
aU(m - 1)
et la fonction/t int6grer ne d6pend que de la classe de x mod* U(m).