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Bull. Soc. math. France,
126, 1998, p. 507–524.
REPR´ ESENTATIONS GALOISIENNES ASSOCI´ EES AUX
POINTS D’ORDRE DES JACOBIENNES DE
CERTAINES COURBES DE GENRE 2
PAR Pierre LE DUFF (*)
R´
ESUM´ E.—SoitJla jacobienne d’une courbe Cde genre 2 d´efinie sur Q.Soitp
un nombre premier. On suppose que la r´eduction du mod`ele de N´eron de Jsur Qp
est une extension d’une courbe elliptique par un tore. Soit Qune clˆoture alg´ebrique
de Q; le groupe de Galois Gal(Q/Q) agit sur les points de -division de J.Onnoteρ
la repr´esentation associ´ee. De plus, on suppose qu’il existe un nombre premier de
bonne r´eduction qtel que le groupe de Galois sur Qdu polynˆome caract´eristique de
l’endomorphisme de Frobenius en qest le groupe di´edral `a8´el´ements (ce qui implique
que Jest absolument simple). On peut alors d´eterminer une infinit´edenombres
premiers pour lesquels l’image de ρest GSp(4,F). Deux exemples sont trait´es `a
la fin de l’article.
ABSTRACT.—POINTS OF ORDER OF THE JACOBIAN OF SPECIAL CURVES OF
GENUS 2. — Let Jbe the Jacobian of a curve Cof genus 2, defined over Q.Letp
be a prime number. Assume that the reduction of the N´eron model of Jover Qpis
an extension of an elliptic curve by a torus. We denote by Qan algebraic closure
of Q; the Galois group Gal(Q/Q)actsonthe-division points of J.Wedenotebyρ
the associated representation. Let qbe a prime number where Jhas good reduction
such that the Galois group over Qof the characteristic polynomial of the Frobenius
endomorphism associated to qis the dihedral group with 8 elements (this implies that J
is absolutely simple). Then an infinite set of prime numbers can be found such that
the image of ρis GSp(4,F). Two exemples will be given at the end of this article.
0. Introduction
Soit June vari´et´eab´elienne de dimension g,d´efinie sur Kun corps de
nombres. Fixons Kune clˆoture alg´ebrique de Ket notons GKle groupe
(*) Texte re¸cu le 29 juillet 1997, r´evis´e le 28 avril 1998.
P. LEDUFF,D´epartement de Math´ematiques, Universit´e de Caen, Esplanade de la
Paix, 14032 Caen CEDEX (France). Email Leduff@math.unicaen.fr.
Classification AMS : 14 H 40, 14 G 05.
Mots cl´es : groupe symplectique, vari´et´eab´elienne, repr´esentation galoisienne.
BULLETINDELASOCI
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ET´ EMATH
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EMATIQUE DE FRANCE 0037–9484/1998/507/$ 5.00
c
Soci´et´emath´ematique de France

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de Galois Gal(K/K). Pour mun nombre entier, on note
Jm=Hom
Z/mZ,J(K)
le groupe des points d’ordre divisant mde J.LegroupeGKagit sur J
et on note ρla repr´esentation Galoisienne associ´ee :
ρ:Gal(K/K)−→ GL(2g, F).
Dans le cas des courbes elliptiques, l’´etude de l’image de ρest
faite dans [S1]. Ainsi, si Eest une courbe elliptique sans multiplication
complexe sur K, alors, pour tout nombre premier suffisament grand,
ρ(GK)=GL(2,F).
On peut ˆetre plus pr´ecis et affirmer qu’il existe une constante 0qui d´epend
de mani`ere effective de la hauteur de E,dudegr´e et du discriminant
du corps de nombres tel que, pour tout nombre premier >
0,ona
(cf.[MW])
ρ(GK)=GL(2,F).
Ribet dans [R] a ´etudi´e le cas des vari´etes ab´eliennes `a multiplications
r´eelles. Il consid`ere June vari´et´eab´elienne telle que E=End
KJ⊗Qest
un corps totalement r´eel de degr´eladimensiondeJ. L’image de ρest
incluse, pour presque tout ,dansGL(2,O/O)o`uOest l’anneau des
entiers de E. Dans le cas o`uJn’a pas partout potentiellement bonne
r´eduction, il d´emontre que pour presque tout ,
Im ρ=u∈GL(2,O/O):detu∈F.
Serre a g´en´eralis´e dans [S2] certains de ses r´esultats sur les courbes el-
liptiques au cas des vari´et´es de dimension sup´erieure. Notons GSp(2g, F)
le groupe des similitudes symplectiques et supposons que Jposs`ede une
polarisation de degr´ed2sur K.Sine divise pas d, l’image de ρest
incluse dans GSp(2g, F). On suppose qu’il existe 0>3 tel que l’image
de ρ0soit GSp(2g, F0). Il r´esulte d’un th´eor`eme de Serre (voir [S2]) qu’il
existe un nombre C(non effectif) tel que, pour tout >C,legroupede
Galois en soit GSp(2g, F). Il semble pour le moment tr`es difficile de
rendrecer´esultat effectif.
Le but de cet article est de donner des exemples de vari´et´es ab´eliennes
de dimension 2 pour lesquelles on sait d´eterminer un ensemble infini ex-
plicite de nombres premiers pour lesquels l’image de ρest GSp(2g, F).
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POINTS D’ORDRE DE CERTAINES VARI´ ET´ ES DE DIMENSION 2 509
Soient ¯vune valuation discr`ete de Ket I¯vle groupe d’inertie relatif
`a¯v.On´etudie dans le §1 l’action de I¯vsur les points d’ordre divisant 
de J. Dans le cas o`ulavari´et´eab´elienne a mauvaise r´eduction, on en
d´eduit l’existence d’un ´el´ement d’ordre ,not´eσ, qui appartient `a l’image
de ρet on sait calculer dim(ker(σ−1)). On s’int´eresse au cas des vari´et´es
de dimension 2 d´efinie sur Qdont la fibre sp´eciale du mod`ele de N´eron
est une extension d’une courbe elliptique par un tore. L’´el´ement d’ordre 
obtenu est alors une transvection :
dimker(σ−1)=3.
On d´emontre ensuite dans le §2 que le groupe des isom´etries symplectiques
Sp(4,F) est engendr´e par n’importe quel couple form´e d’une transvec-
tion et d’un ´el´ement dont le polynˆome caract´eristique est irr´eductible.
Lorsque Jest la jacobienne d’une courbe de genre deux, on sait calculer
les polynˆomes caract´eristiques des images par ρdes ´el´ements de Frobe-
nius (§3). Supposons d´etermin´eunnombrepremierqde bonne r´eduction
tel que le groupe de Galois sur Qdu polynˆome caract´eristique de l’´el´ement
de Frobenius en qest le groupe di´edral `a8´el´ements (ce qui implique que J
est absolument simple). On peut alors d´eterminer une infinit´edenombres
premiers pour lesquels l’image de ρest GSp(4,F)(§4). Une version
condens´ee des §§ 1, 3, 4 est d´ej`a parue dans [LD1]. Deux exemples num´e-
riques sont trait´es `a la fin de cet article.
Notations. — Dans tout ce qui suit,
•Kest un corps de nombres alg´ebriques,
•Kest une clˆoture alg´ebrique de K,
•vest une valuation discr`ete de Ket ¯vune extension de v`a K,
•Ovest l’anneau de valuation de v,lecorpsr´esiduel est not´ekvet pv
d´esigne sa caract´eristique,
•I¯vd´esigne le groupe d’inertie relatif `a¯v.
1. ´ Etude de l’action du groupe d’inertie
Soit June vari´et´eab´elienne de dimension gd´efinie sur K.Pourmun
nombre entier non nul, on note
Jm=Hom
Z/mZ,J(K).
On sait que Jmest un Z/mZ-module libre de rang 2g. Dans cette partie,
on s’int´eresse `a l’action du groupe d’inertie sur ce module. On rappelle
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que Jabonne r´eduction s’il existe un sch´ema ab´elien Jvsur Spec(Ov)
tel que
JJv×OvK.
Soit Jvle mod`eledeN´eron de Jrelatif `av(cf. [BLR, p. 12]). On note
Jv=Jv×Ovk
la fibre sp´eciale de J; c’est un groupe alg´ebrique commutatif sur kv.
Soit  J0
vla composante connexe contenant l’´el´ement neutre de 
Jv;c’est
l’extension d’une vari´et´eab´elienne par un groupe lin´eaire. Fixons ¯ kvune
clˆoture alg´ebrique de kvet notons
J=Hom
Z/Z,
Jv(¯ kv)
le groupe des points d’ordre divisant de la fibre sp´eciale. Enfin, soit JI
le
sous-groupe de Jqui est fix´eparI¯v. Le groupe des composantes connexes
est un groupe fini d’ordre not´e( Jv:
J0
v).
PROPOSITION 1.1. — Soit June vari´et´eab´elienne sur Kayant mauvaise
r´eduction en vet soit un nombre premier diff´erent de la caract´eristique
de k. Si ne divise pas ( Jv:
J0
v), alors l’extension K(J)/K est ramifi´ee
en v.
D´emonstration. — La composante connexe  J0
vest une extension d’une
vari´et´eab´elienne Bpar un groupe lin´eaire Htel que H=S×Uo`uSest un
tore et Uest unipotent. On sait [ST, lemme 1, p. 494] que  Jest l’extension
d’un groupe d’ordre divisant (  Jv:
J0
v)parunZ/Z-module libre de rang
dim(S)+2dim(B). De plus,  Jest isomorphe `aJIv
[ST, lemme 2]. La
condition sur impose que JIv
est de rang dim(S)+2 dim(B). La vari´et´e
amauvaiser´eduction en v,donc
dim(S)+2dim(B)<2dim(J).
Donc JI
n’est pas de rang 2 dim(J) ; autrement dit l’extension K(J)/K
est ramifi´ee en v.
Supposons maintenant que Ja une polarisation de degr´ed2et que 
est un nombre premier ne divisant pas d. La polarisation munit Jd’une
forme bilin´eaire altern´ee non d´eg´en´er´ee
W:J×J−→ µ,
appel´ee accouplement de Weil. Notons µadditivement, et soit
:Gal(K/K)−→ F
∗
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POINTS D’ORDRE DE CERTAINES VARI´ ET´ ES DE DIMENSION 2 511
le caract`ere cyclotomique. Lorsque (P, Q)∈J×Jet σ∈Gal(K/K),
on a :
Wσ(P),σ(Q)=(σ)W(P, Q).
Autrement dit, l’application P→ σ(P) est une similitude symplectique
de Jde multiplicateur (σ)∈F
∗. On obtient ainsi une repr´esentation
galoisienne
ρ:Gal(K/K)−→ GSp(2g, F),
o`uGSpd´esigne le groupe des similitudes symplectiques. Il existe dans
GSp(2g, F)des´el´ements d’ordre auquel on s’int´eressera plus particuli`e-
rement dans le §2.
D´
EFINITION 1.2. — Une similitude symplectique d’ordre qui laisse
stable un hyperplan est appel´ee transvection.
Lorsque la vari´et´eab´elienne a un certain type de mauvaise r´eduction,
on peut en d´eduire l’existence d’une transvection dans l’image de ρ.
PROPOSITION 1.3. — Soit June vari´et´eab´elienne sur Kdont la
r´eduction  Jven vest une extension d’une vari´et´eab´elienne de dimension
dim(J)−1par un tore de dimension 1.Soitun nombre premier diff´erent
de la caract´eristique de kvet qui ne divise pas (
Jv: J0
v).Ilexistealorsun
´el´ement du groupe d’inertie de vdont l’image par ρest une transvection.
D´emonstration. — En effet,  J0
est alors un Z/Z-module libre de
rang 2 dim(J)−1. Le groupe d’inertie laisse fixe un sous-espace de
dimension 2 dim(J)−1 ; l’extension K(J)/K est ramifi´ee en vdonc
il existe αappartenant au groupe d’inertie tel que ρ(α)=Id.Cet´el´ement
est une transvection.
REMARQUE. — On peut se demander ce qui se passe lorsque divise
( Jv:
J0
v). Consid´erons Jla jacobienne d’une courbe de genre 2 `ar´eduction
totalement d´eg´en´er´ee. On sait, par la proposition 1.1, que pour qui ne
divise pas (  Jv:
J0
v), il existe σ∈I¯vtel que
dimkerρ(σ)−1=2.
On peut montrer que, si (  Jv:
J0
v) est divisible par mais pas par 2,
il existe σ∈I¯vtel que ρ(σ) est une transvection. Dans le cas o`u2
divise (  Jv: J0
v), on ne peut rien affirmer, sans autres hypoth`eses, sur la
ramification en vde l’extension K(J)/K.
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