SDND101 - Lâcher d`un système masse ressort avec
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Version default Code_Aster Titre : SDND101 - Lâcher d'un système masse ressort avec c[...] Responsable : ALARCON Albert Date : 01/08/2011 Page : 1/6 Révision Clé : V5.01.101 : 054678e2a3c0 SDND101 - Lâcher d'un système masse ressort avec choc Résumé Ce problème correspond à une analyse transitoire par recombinaison modale d'un système discret non linéaire à un degré de liberté. La non-linéarité consiste en un contact avec choc sur un plan rigide. La masse est lancée avec une vitesse initiale non nulle contre l'obstacle. Le jeu initial entre le point matériel et l'obstacle est nul. Ce problème permet de tester le post-traitement des forces d'impact : vitesse de choc, durée de choc ... Manuel de validation Document diffusé sous licence GNU FDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html) Fascicule v5.01: Dynamique non linéaire des systèmes discrets Version default Code_Aster Titre : SDND101 - Lâcher d'un système masse ressort avec c[...] Responsable : ALARCON Albert 1 Problème de référence 1.1 Géométrie k m Date : 01/08/2011 Page : 2/6 Révision Clé : V5.01.101 : 054678e2a3c0 Kchoc . Uo 1.2 Propriétés des matériaux Le système est constitué d’une masse m et d’un ressort de raideur égale à K choc . Masse Raideur Rigidité normale de choc 1.3 k . La butée de choc a une raideur m=100 kg k =104 N / m K choc=10 6 N /m Conditions initiales U 0=0 ) et possède une vitesse initiale U̇ 00 . On U̇ 0=1 m/ s . Le système est initialement en position au repos ( choisira pour l'application une vitesse initiale Manuel de validation Document diffusé sous licence GNU FDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html) Fascicule v5.01: Dynamique non linéaire des systèmes discrets Version default Code_Aster Titre : SDND101 - Lâcher d'un système masse ressort avec c[...] Responsable : ALARCON Albert Date : 01/08/2011 Page : 3/6 Révision Clé : V5.01.101 : 054678e2a3c0 2 Solution de référence 2.1 Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence Pendant la phase d'impact, le système est solution de l'équation différentielle : m . ük.uK c u+ =0 avec u 0=0 et u˙0=U̇ 0 . + x désigne la valeur positive de x . La solution analytique de ce problème est : U̇ 0 sin c t où c = k K c . c m La vitesse s'annule pour t u̇=0= . 2 c u= La force de choc est alors maximale et vaut Par construction, la durée du choc vaut Le système revient à la position Dans le domaine F max= K c ut u̇=0 = K c T choc =2t u̇ =0 . U̇ 0 . c u=0 avec la vitesse −U˙ 0 . m. ük.u=0 avec pour conditions initiales u0 le système a pour équation u 1=0 et u˙1=−U̇ 0 . U̇ 0 sin 0 t ' où 0= k . 0 m La vitesse s'annule pour : t ' u̇=0= . 2 0 Par construction, le temps de vol libre vaut : T vol =2t ' u̇=0 . Sa solution est u=− Le système est donc périodique avec alternativement une phase de temps de choc de durée T choc où le système décrit une arche de sinus dans le domaine des u0 et une phase de vol libre de durée T vol où le système décrit une arche de sinus dans le domaine des u0 . T choc L'impulsion à chaque impact vaut : I = ∫ K c ut dt=2 K c 0 2.2 U̇ 0 2 c = 2 m U˙ 0 . k 1 Kc Résultats de référence Les résultats pris pour référence sont les valeurs des instants de force maximale, la valeur de force maximale, la durée du temps de choc, la valeur de l'impulsion et de la vitesse d'impact ainsi que le nombre d'impact élémentaires pour les deux premières oscillations du système. 2.3 Incertitude sur la solution Solution analytique. 2.4 • Références bibliographiques G.JACQUART : Post-traitement des calculs de cœur et d'internes REP sous sollicitation sismique - HP61/95/074/A. Manuel de validation Document diffusé sous licence GNU FDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html) Fascicule v5.01: Dynamique non linéaire des systèmes discrets Version default Code_Aster Titre : SDND101 - Lâcher d'un système masse ressort avec c[...] Responsable : ALARCON Albert 3 Modélisation A 3.1 Caractéristiques de la modélisation Date : 01/08/2011 Page : 4/6 Révision Clé : V5.01.101 : 054678e2a3c0 Le système masse-ressort est modélisé par un élément de type POI1 au noeud à se déplacer selon l'axe x . Le noeud NO1 est positionné en O=0. 0. 0. . NO1 . Il est assujetti Un obstacle de type PLAN_Z (deux plans parallèles séparés par un jeu) est utilisé pour simuler les éventuels chocs du système masse-ressort contre un plan rigide. On choisit de prendre l’axe Oy pour normale au plan de choc, soit NORM_OBST : (0., 1., 0.). Pour ne pas être gêné par le rebond de l’oscillateur sur le plan symétrique, on repousse celui-ci très loin (cf. [Figure. 3.1-a]). On choisit donc de situer l’origine de l’obstacle en ORIG_OBS : (-1. 0. 0.). Yloc JEU k m x Zloc NO1 U0 (0,0,0) ORIG_OBS (-1, 0, 0) Figure 3.1-a : Géométrie modélisée Il reste à définir le paramètre JEU qui donne le demi-écartement entre les plans en contact. On souhaite ici un jeu réel nul, d’où JEU :1 . Si l'on souhaite un jeu réel de j , il faut, dans le cas de figure présenté, imposer JEU :1 j . L’intégration temporelle est réalisée avec l’algorithme d’Euler et un pas de temps de les pas de calcul sont archivés. On considère que l’amortissement réduit modes calculés est nul. 3.2 5.10−4 s . Tous i pour l’ensemble des Caractéristiques du maillage Le maillage est constitué d’un nœud et d’une maille de type POI1. Manuel de validation Document diffusé sous licence GNU FDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html) Fascicule v5.01: Dynamique non linéaire des systèmes discrets Version default Code_Aster Titre : SDND101 - Lâcher d'un système masse ressort avec c[...] Responsable : ALARCON Albert 3.3 Date : 01/08/2011 Page : 5/6 Révision Clé : V5.01.101 : 054678e2a3c0 Grandeurs testées et résultats Pour les deux premiers chocs, on compare aux valeurs analytiques les valeurs calculées de l’instant où se produit l’impact, de la force maximale de choc, du temps de choc, de l'impulsion et de la vitesse d’impact. On teste également la valeur de l’extremum absolu de la force d’impact. Premier choc : Temps ( s ) INST F_MAX T_CHOC IMPULSION V_IMPACT Référence 1,5630E–02 9,9500E+03 3,1260E–02 1,9805E+02 –1. Deuxième choc : Temps ( s) INST F_MAX T_CHOC IMPULSION V_IMPACT Temps ( s ) F_MAX_ABS Référence 3,6100E–01 9,9500E+03 3,1260E–02 1,9805E+02 –1,0000E+00 Référence 9,95E+03 Manuel de validation Document diffusé sous licence GNU FDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html) Fascicule v5.01: Dynamique non linéaire des systèmes discrets Version default Code_Aster Titre : SDND101 - Lâcher d'un système masse ressort avec c[...] Responsable : ALARCON Albert 4 Date : 01/08/2011 Page : 6/6 Révision Clé : V5.01.101 : 054678e2a3c0 Synthèse des résultats On constate, sur l'ensemble des grandeurs, un très bon accord avec la solution analytique produite. Les grandeurs les moins bien représentées sont la durée de choc et l'instant de choc (à mieux que 1% cependant). Ce problème n'est pas lié à la précision du calcul mais au seul fait qu'un pas de temps d'intégration de 5.10−4 s a été choisi ce qui sur des durées aussi courtes que 0,03 s produit déjà une imprécision temporelle de 1,66% . Pour compléter cette synthèse, on pourrait réaliser un test de convergence en diminuant le pas de calcul. Manuel de validation Document diffusé sous licence GNU FDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html) Fascicule v5.01: Dynamique non linéaire des systèmes discrets
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