SDND101 - Lâcher d`un système masse ressort avec

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Titre : SDND101 - Lâcher d'un système masse ressort avec c[...] Date : 01/08/2011 Page : 1/6
Responsable : ALARCON Albert Clé : V5.01.101 Révision :
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SDND101 - Lâcher d'un système masse ressort
avec choc
Résumé
Ce problème correspond à une analyse transitoire par recombinaison modale d'un système discret non linéaire
à un degré de liberté. La non-linéarité consiste en un contact avec choc sur un plan rigide. La masse est lancée
avec une vitesse initiale non nulle contre l'obstacle. Le jeu initial entre le point matériel et l'obstacle est nul. Ce
problème permet de tester le post-traitement des forces d'impact : vitesse de choc, durée de choc ...
Manuel de validation Fascicule v5.01: Dynamique non linéaire des systèmes discrets
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1 Problème de référence
1.1 Géométrie
km
Uo
Kchoc
.
1.2 Propriétés des matériaux
Le système est constitué d’une masse m et d’un ressort de raideur
k
. La butée de choc a une raideur
égale à
Kchoc
.
Masse
m=100 kg
Raideur
k=104N/m
Rigidité normale de choc
Kchoc=106N/m
1.3 Conditions initiales
Le système est initialement en position au repos (
U0=0
) et possède une vitesse initiale
˙
U00
. On
choisira pour l'application une vitesse initiale
˙
U0=1m/s
.
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2 Solution de référence
2.1 Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
Pendant la phase d'impact, le système est solution de l'équation différentielle :
m.¨ uk.uKcu+=0
avec
u0=0
et
˙
u0=˙ U0
.
x+
désigne la valeur positive de
x
.
La solution analytique de ce problème est :
u=˙
U0
c
sinct
où
c=
kKc
m
.
La vitesse s'annule pour
t˙u=0=
2c
.
La force de choc est alors maximale et vaut
Fmax=Kcut˙
u=0= Kc
˙
U0
c
.
Par construction, la durée du choc vaut
Tchoc =2t˙
u=0
.
Le système revient à la position
u=0
avec la vitesse
−˙ U0
.
Dans le domaine
u0
le système a pour équation
m. ¨ uk.u=0
avec pour conditions initiales
u1=0
et
˙
u1=− ˙ U0
.
Sa solution est
u=− ˙
U0
0
sin0t ' 
où
0=
k
m
.
La vitesse s'annule pour :
t ' ˙u=0=
20
.
Par construction, le temps de vol libre vaut :
Tvol =2t ' ˙
u=0
.
Le système est donc périodique avec alternativement une phase de temps de choc de durée
Tchoc
où le système décrit une arche de sinus dans le domaine des
u0
et une phase de vol libre de
durée
Tvol
où le système décrit une arche de sinus dans le domaine des
u0
.
L'impulsion à chaque impact vaut :
I=∫
0
Tchoc
Kcutdt=2Kc
˙
U0
c
2=2m˙
U0
1k
Kc
.
2.2 Résultats de référence
Les résultats pris pour référence sont les valeurs des instants de force maximale, la valeur de force
maximale, la durée du temps de choc, la valeur de l'impulsion et de la vitesse d'impact ainsi que le
nombre d'impact élémentaires pour les deux premières oscillations du système.
2.3 Incertitude sur la solution
Solution analytique.
2.4 Références bibliographiques
•G.JACQUART : Post-traitement des calculs de cœur et d'internes REP sous sollicitation sismique - HP-
61/95/074/A.
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3 Modélisation A
3.1 Caractéristiques de la modélisation
Le système masse-ressort est modélisé par un élément de type POI1 au noeud
NO1
. Il est assujetti
à se déplacer selon l'axe
x
. Le noeud
NO1
est positionné en
O=0. 0. 0.
.
Un obstacle de type PLAN_Z (deux plans parallèles séparés par un jeu) est utilisé pour simuler les
éventuels chocs du système masse-ressort contre un plan rigide. On choisit de prendre l’axe
Oy
pour normale au plan de choc, soit NORM_OBST : (0., 1., 0.). Pour ne pas être gêné par le
rebond de l’oscillateur sur le plan symétrique, on repousse celui-ci très loin (cf. [Figure. 3.1-a]). On
choisit donc de situer l’origine de l’obstacle en ORIG_OBS : (-1. 0. 0.).
Zloc
Yloc
ORIG_OBS
(-1, 0, 0)
NO1
U0 (0,0,0)
x
k m
JEU
Figure 3.1-a : Géométrie modélisée
Il reste à définir le paramètre
JEU
qui donne le demi-écartement entre les plans en contact. On
souhaite ici un jeu réel nul, d’où
JEU :1
. Si l'on souhaite un jeu réel de
j
, il faut, dans le cas de
figure présenté, imposer
JEU :1j
.
L’intégration temporelle est réalisée avec l’algorithme d’Euler et un pas de temps de
5.10−4s
. Tous
les pas de calcul sont archivés. On considère que l’amortissement réduit
i
pour l’ensemble des
modes calculés est nul.
3.2 Caractéristiques du maillage
Le maillage est constitué d’un nœud et d’une maille de type POI1.
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3.3 Grandeurs testées et résultats
Pour les deux premiers chocs, on compare aux valeurs analytiques les valeurs calculées de l’instant
où se produit l’impact, de la force maximale de choc, du temps de choc, de l'impulsion et de la vitesse
d’impact. On teste également la valeur de l’extremum absolu de la force d’impact.
Premier choc :
Temps (
s
)Référence
INST 1,5630E–02
F_MAX 9,9500E+03
T_CHOC 3,1260E–02
IMPULSION 1,9805E+02
V_IMPACT –1.
Deuxième choc :
Temps (
s
)Référence
INST 3,6100E–01
F_MAX 9,9500E+03
T_CHOC 3,1260E–02
IMPULSION 1,9805E+02
V_IMPACT –1,0000E+00
Temps (
s
)Référence
F_MAX_ABS 9,95E+03
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