Chapitre 1 : Phénomènes ondulatoires

Chapitre 1 : Phénomènes ondulatoires
Chapitre 1 : Phénomènes ondulatoires
Qui oserait contester le rôle essentiel joué par nos yeux et par nos oreilles dans notre perception
du monde ? Or, la vue est tributaire de l’existence de la lumière – qu’on peut décrire comme une
onde électromagnétique, et notre ouïe est sensible aux sons – qui peuvent être expliqués en
termes d’ondes acoustiques. A l’évidence donc, les phénomènes ondulatoires font partie
intégrante de notre environnement perceptible et méritent que l'on s'y attarde ne serait-ce que
pour ces raisons-là !
Les ondes électromagnétiques et acoustiques ont cependant une portée bien plus générale que
celle qui vient d'être brièvement évoquée : les ondes électromagnétiques permettent de
communiquer entre différents points de la planète (radio, TV, Internet), de réchauffer les
aliments (four à micro-ondes) ou d'écouter des CD (laser). De plus, comme ces ondes peuvent
aussi se propager dans le vide, elles nous renseignent également sur la nature et l’état d’objets
lointains et inaccessibles tels que les étoiles ou les galaxies. Quant aux ondes élastiques, dont les
sons constituent un cas particulier et qui ont besoin d'un support matériel pour se propager, elles
trouvent des applications dans les investigations médicales (ultrasons), dans la localisation
d'objets sous-marins (sonars), ou encore dans la détection de tremblements de terre
(sismographes), etc.
Pour comprendre le monde matériel qui nous entoure, le concept d’onde est donc incontournable.
Le but de cette brochure est de traiter un certain nombre d'exemples pour mettre en évidence la
diversité des phénomènes qui font appel à ce concept.
1.1 Qu'est-ce qu'une onde ?
Les objets qui nous sont familiers sont caractérisés par une masse m et obéissent aux lois de la
mécanique classique, en particulier à la loi fondamentale de Newton : F = ma. Une onde est une
entité différente, sans masse, obéissant à une autre équation et présentant des propriétés
particulières. Ainsi deux ondes peuvent s'annuler localement, ce qui n'est jamais le cas de deux
objets ordinaires ! Pour se représenter une onde, pensons au caillou que l'on jette dans un étang :
des vagues circulaires se propagent horizontalement à une certaine vitesse en s'éloignant du point
d'impact. On notera que ce n'est pas l'eau qui se déplace le long de la direction de propagation,
mais bien la perturbation associée à son mouvement vertical de va-et-vient. Dans ce cas précis la
perturbation porteuse d'énergie, et donc d'information, est la fonction décrivant la cote des
molécules d'eau par rapport au plan d'eau non perturbé.
Coupe verticale du plan d'eau : mouvement vertical de va-et-vient d'une molécule d'eau (cercle plein) en un point
fixe de l'espace repéré par le segment de droite vertical.
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Chapitre 1 : Phénomènes ondulatoires
Définition : une onde est une perturbation se déplaçant dans l'espace au cours du temps.
Qu'est-ce qui assure la propagation d'une perturbation ? Les ondes que l'on peut se représenter le
plus facilement sont les ondes qui se propagent dans un milieu matériel. La perturbation déplace
un certain nombre de particules de matière hors de leur position d'équilibre. Les particules
voisines, liées élastiquement aux précédentes, créent ainsi une force de rappel qui tend à ramener
les particules hors équilibre à leur position initiale. Ce processus se répète de proche en proche et
est à l'origine de la propagation de l'onde dans la matière.
♦ Exemples de quelques ondes familières :
a) Vagues sur l'eau
A l'équilibre, la surface de l'eau est plane. La vague est une
perturbation au cours de laquelle de l'eau est déplacée
verticalement hors de sa position d'équilibre, créant les creux et les
crêtes de la vague qui se propage horizontalement.
Remarque : il faut distinguer la vitesse de propagation de l'onde de
la vitesse verticale à laquelle oscille une particule d'eau ou un
bouchon placé à la surface du plan d'eau.
b) Ondes dans une corde
Considérons une corde tendue que l'on secoue
transversalement à l'une des extrémités : la petite bosse ainsi
formée constitue la perturbation qui se déplace le long de la
corde jusqu'à l'autre extrémité.
c) Ondes dans un ressort
La perturbation se propageant le long du ressort est
dans ce cas la "densité" des boudins.
d) Ondes dans l'air (son)
A l'équilibre, il règne une pression moyenne
p0 dans l'air. Une onde sonore se propageant
dans l'air crée des zones où la pression est
alternativement plus grande puis plus petite
que la moyenne. La perturbation peut être
décrite comme une surpression positive ou
négative se déplaçant à la vitesse v du son.
e) Ondes lumineuses
La perturbation qui constitue l'onde lumineuse est une
grandeur non matérielle plus difficile à appréhender,
r
E
puisqu'il s'agit de la vibration
d'un
champ
électrique
r
et d'un champ magnétique B à angle droit l'un de l'autre.
La vibration se propage
au plan
r perpendiculairement
r
formé par les champs E et B . Contrairement
€ aux ondes
élastiques décrites€plus haut, une telle onde peut se propager dans le vide.
€
€
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Chapitre 1 : Phénomènes ondulatoires
1.2 Ondes progressives
Comment décrit-on une onde progressive et que peut-on dire de sa vitesse ?
Considérons une onde se propageant sans atténuation dans une direction donnée. Si l'on fixe le
temps t (en prenant une photographie à un instant donné), la perturbation n'est plus alors qu'une
fonction de la coordonnée x. On la note y(x) et son amplitude maximum vaut A. La fonction y(x)
représente, selon les cas, la cote de l'eau au-dessus de la surface plane, la cote des points de la
bosse sur la corde par rapport à la corde non perturbée, la densité des boudins le long du ressort,
la surpression de l'air en différents points de l'espace, l'intensité du champ électromagnétique,
etc. Les figures suivantes montrent un exemple de perturbation en deux instants donnés, la bosse
s'étant déplacée au cours du temps :
y(x1) = A
y(x1) = 0
La perturbation est donc une fonction de la coordonnée x et du temps t, notée y(x,t). On constate
que si l'on se déplace à la même vitesse v que la perturbation, celle-ci paraîtra inchangée le long
de l'axe x. Cela signifie que la perturbation y n'est pas une fonction quelconque de la coordonnée
et du temps, mais qu'elle dépend de la combinaison x-vt si l’onde se déplace dans le sens de l'axe
x ou x+vt si l’onde se déplace en sens inverse.
La forme mathématique d'une perturbation non amortie est par conséquent une fonction qui
s'écrit y = f (x – vt) ou y = f (x + vt) selon le sens de déplacement de l'onde.
2
2
Exemple : dans le graphique ci-dessus, la perturbation est donnée par : y = A ⋅ e−(x−vt ) / a où a est
un paramètre caractérisant la largeur de la bosse. En prenant a = 0,55 m, A = 2 cm, v = 20 m/s on
retrouve les fonctions dessinées ci-dessus aux temps t1 = 0,08 s et t2 = 0,16 s.
€ un milieu matériel :
♦ Vitesse de propagation pour quelques ondes progressives dans
a) Vagues sur l'eau :
Si l'eau est peu profonde et si la profondeur vaut h, la vitesse est donnée par v = gh , avec
g = 9,81 m/s2. "Peu profonde" signifie que la profondeur de l'eau est faible par rapport à la
distance entre les crêtes successives de l'onde (longueur d'onde).
Exemple : L'onde du tsunami de décembre 2004 s'est propagée dans une
€ zone où la profondeur
de l'océan était d'environ 7000 m (eau peu profonde en comparaison de la longueur d'onde qui
était d'environ 800 km !). La vitesse de propagation du tsunami vaut dans un tel cas
v = 9,81⋅ 7000 ≅ 260 m/s soit environ 1000 km/h. En se rapprochant des rives, la vitesse du
tsunami diminue considérablement. Ceci explique la formation de murs d'eau au voisinage de la
terre ferme ainsi que le déferlement des vagues.
€
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Chapitre 1 : Phénomènes ondulatoires
€
b) Perturbation transversale dans une corde de masse M et de longueur L :
On peut montrer que la vitesse est donnée
par
F
v=
où F est la tension de la corde,
µ
c'est-à-dire l'intensité de la force avec
laquelle la corde est tendue, force qui
ramène les éléments de corde hors équilibre à leur position initiale (force de rappel). µ est la
M
masse linéique, définie comme la masse de la corde par unité de longueur, µ = .
L
Exemple : La masse de la corde de Mi d'un violon est de 0,123 g pour une longueur de 32,5 cm
et elle est tendue avec une force d'environ 70 N. La masse linéique valant alors
µ = 0,123⋅10−3 /0,325 = 0,38 ⋅10−3 kg/m , la vitesse de propagation
€ de l'onde transversale est de
v = 70 /0,38 ⋅10−3 = 429 m/s .
€
€
€
c) Vitesse du son dans un corps solide :
Il s'agit dans ce cas d'une onde de compression se propageant dans une roche ou dans une barre
métallique ou de l'onde dans une corde que l'on excite parallèlement à son axe. La vitesse vaut
E
v=
où E représente la rigidité du corps solide (E est nommé module d'élasticité ou module
ρ
de Young) et ρ est la masse volumique du solide. Cette expression donne la vitesse de certaines
ondes sismiques.
Exemple : La vitesse de propagation d'une onde de compression dans le granite pour lequel
E = 60'000 MPa et ρ = 2600 kg/m3 est de v = E / ρ = 60 ⋅10 9 /2600 = 4800 m/s soit environ
17'000 km/h.
d) Vitesse du son dans un gaz diatomique
tel que l'air :
€
1,4RT
où M est la masse
M
molaire du gaz, T sa température absolue et R = 8,31 J/(K.mol) est la constante des gaz. Pour l'air
1,4 ⋅ 8,31⋅ T
sec on obtient v =
= 20 T .
29 ⋅10−3
€
La vitesse dépend de la nature du gaz, de sa température et vaut v =
Exemple 1 : La vitesse du son dans l'air à 0°C vaut v = 20 273 = 331 m/s ; à 20°C, cette vitesse
est de v = 20 293 = 342 m/s , soit environ 1200 km/h.
€ 2 : Dans l'hydrogène à 20°C, la vitesse vaut v = 1,4 ⋅ 8,31⋅ 293/2 ⋅10−3 = 1306 m/s ,
Exemple
soit environ quatre fois plus que dans l'air€à même température.
€ De manière générale, la vitesse à laquelle une onde élastique se propage dans un milieu dépend
de l'inertie du milieu matériel ainsi que de l'intensité
de la force (force de rappel) ramenant vers
€
leur position d'équilibre les éléments qui en sont écartés :
vitesse =
force de rappel
=
inertie
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€
rigidité
densité
Chapitre 1 : Phénomènes ondulatoires
La lumière, quant à elle, n'est pas une onde élastique et sa propagation ne peut donc s'expliquer
de la même manière que celle des ondes traitées ci-dessus. On notera par ailleurs que la lumière
présente la propriété remarquable de pouvoir se déplacer dans le vide.
e) Vitesse de la lumière :
Elle dépend du milieu transparent dans lequel l'onde lumineuse se propage et est donnée par
v = c /n où c est la vitesse de la lumière dans le vide ( c = 299'800 km/s ≅ 300'000 km/s ) et n
est l'indice de réfraction du milieu transparent considéré.
€
Exemple : La vitesse de la lumière dans l'air pour lequel n ≅ 1 est de v ≅ c ≅ 300 ⋅10 6 m/s ce qui
représente 900'000 fois la vitesse du son dans l'air.
€ Dans l'eau pour laquelle n = 1,33 la vitesse de
6
la lumière vaut 226 ⋅10 m/s.
€
€
€
€ d'ondes
1.3 Types
Toutes les ondes vues jusqu'ici peuvent être classées en deux catégories selon que la perturbation
est perpendiculaire à la direction de propagation de l'onde (ondes transversales) ou que la
perturbation est parallèle à la direction de propagation (ondes longitudinales). Ainsi qu'on peut le
voir dans les images ci-dessous, les perturbations dans une corde et dans un ressort représentent
les exemples les plus simples de ces deux types d'onde :
Ondes transversales
Ondes longitudinales
Les vagues, la lumière, les principales ondes dans une corde, certains types d'ondes sismiques
sont des ondes transversales (figure de gauche). Le son dans l'air, d'autres types d'ondes
sismiques, les perturbations dans un ressort produites par compression de boudins, sont des
ondes longitudinales (figure de droite). Il peut arriver que dans un système mécanique les deux
types d'ondes soient présents : c'est le cas pour une corde que l'on frappe et étire en même temps,
le cas d'un ressort dont on resserre un certain nombre de boudins tout en l'agitant latéralement,
etc. Seules les ondes transversales ont la propriétés d'être polarisées. Si l'on se représente en effet
une corde que l'on secoue, on imagine facilement pouvoir produire une perturbation dans un plan
particulier (vertical, horizontal ou autre) contenant la direction de propagation. Dans le cas de la
lumière, cette propriété conduit à des applications spécifiques telles que les lunettes polaroïd par
exemple. Notons qu'il est plus facile de dessiner une onde transversale qu'une onde
longitudinale !
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Chapitre 1 : Phénomènes ondulatoires
1.4 Propriétés des ondes
Lorsqu'une onde change de milieu au cours de sa propagation (par exemple lors du passage d'une
onde d'une corde mince à une corde épaisse, ou lors du passage d'une onde de pression de
l'intérieur d'un tuyau à l'extérieur de ce même tuyau, ou encore lors du passage d'une vague d'un
milieu ouvert tel que l'océan à un milieu limité tel que l'entrée d'un port), il se produit un certain
nombre d'effets que nous décrivons brièvement ci-dessous. On notera tout d'abord qu'une partie
de l'énergie est réfléchie à l'endroit du changement de milieu, alors qu'une autre partie est
transmise ou absorbée. L'énergie incidente I se répartit ainsi en énergie réfléchie R et transmise T
(ou absorbée A). La conservation de l'énergie impose que I=R+T(+A).
♦ Réflexion
La réflexion est le phénomène le plus familier et le plus
simple à décrire : la réflexion d'une onde sonore sur une
surface produit un écho, celle de la lumière explique la
formation des images par un miroir. Cependant, selon que la
réflexion a lieu sur un milieu plus rigide ou moins rigide que
le premier milieu, elle se produit avec ou sans changement
de signe (ce que l'on appelle avec ou sans saut de phase).
Ceci est vrai pour tous les types d'ondes et est illustré dans
les figures ci-contre dans le cas d'une onde se propageant le
long d'une corde.
♦ Réfraction :
Une onde de direction donnée qui passe d'un milieu à un
autre change généralement de direction : la direction
réfractée dépend de la vitesse de propagation de l'onde
dans chacun des milieux. La loi de Snell-Descartes pour
la lumière est un cas particulier de la réfraction.
♦ Diffraction :
Une propriété remarquable propre aux ondes, est celle de pouvoir contourner un obstacle. C'est
ainsi que l'on peut entendre des sons
provenant de sources qui ne sont pas dans
notre ligne de visée. Cela ne serait pas le cas
si les sons étaient constitués de particules
matérielles : celles-ci se propageraient
immanquablement en ligne droite et l'on ne
pourraient entendre les sons provenant de
sources invisibles ! La diffraction est d'autant
plus marquée que l'ouverture de l'obstacle est petite par rapport à la longueur d'onde.
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Chapitre 1 : Phénomènes ondulatoires
1.5 Principe de superposition
Lorsque deux particules se rencontrent, elles obéissent aux lois régissant les chocs des corps
matériels. Qu'en est-il lorsque deux ondes se trouvent au même endroit au même instant ? Si les
amplitudes des ondes ne sont pas trop importantes, les perturbations se superposent l'une à l'autre
sans s'influencer mutuellement. Pour obtenir la perturbation résultante, il suffit d'additionner les
amplitudes des ondes individuelles à un endroit donné au même moment :
Dans le cas où deux ondes se déplacent en sens opposés, on obtient la série des instantanés
suivants montrant qu'après s'être superposées, les ondes poursuivent leur chemin sans être
déformées (ce qui est le cas par exemple dans une conversation croisée entre plusieurs personnes
ou lorsque les ondes radio provenant de diverses stations s'interpénètrent, etc).
Le principe de superposition revient donc à une addition algébrique simple des fonctions
décrivant les ondes. Il a des conséquences très particulières et intéressantes dans le cas des ondes
harmoniques qui seront décrites dans le chapitre suivant, permettant d'expliquer toutes une
catégorie de phénomènes tels que les interférences, les ondes stationnaires, les battements...
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Chapitre 1 : Phénomènes ondulatoires
Exercices
Sauf indication contraire, la température ambiante est de 20°C dans les exercices suivants.
1. Une perturbation de forme triangulaire se propage le long d'une corde à la vitesse de 1 m/s et
est réfléchie à l'une des extrémités, une fois avec saut de phase (extrémité fixée), une fois
sans saut de phase (extrémité libre). Dessiner la perturbation pour chaque seconde entre
t = 0 et t = 8 s.
t=0s
0
t=0s
1
2
3
4
5
x(m)
Extrémité fixe
2. Calculer et esquisser la fonction f (x) =
0
1
2
3
4
5
x(m)
Extrémité libre
1
pour différentes valeurs du
0,8(x − 2t) 2 + 0,1
paramètre t : t = 0 s ; t = 0,5 s ; t = 1 s.
1
Faire de même pour la fonction g(x) =
. Comparez.
2
0,8(x − 2t) + 0,1
€
3. Le bruit du tonnerre vous
€ parvient 2,3 secondes après que vous ayez été éblouis par l'éclair.
A quelle distance l'orage a-t-il lieu ?
4. Un séisme a lieu à une distance d d'un observateur. L'onde primaire (onde de compression se
propageant à 6 km/s) parvient à l'observateur 30 s avant l'onde secondaire (onde transversale
se propageant à la vitesse de 5 km/s). Que vaut la distance d ?
5. La vitesse de propagation d'une onde sonore dans l'acier est de 5050 m/s. Quelle serait la
vitesse de propagation de cette onde dans le cuivre dont la rigidité est inférieure de 40% à
celle de l'acier ?
6. Calculer la vitesse d'une onde se propageant dans une corde longue de 6 m, de masse de
560 g et tendue avec une force de 3 N.
7. Une corde longue de 3 m et dont la masse vaut 500 g, est le siège d'une onde progressive.
Quelle doit être la tension de la corde pour que la vitesse soit de 10 m/s ?
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8. Une des cordes de violon est en acier et son diamètre vaut 1/4 mm. (a) Quelle est la vitesse
d'une onde élastique dans cette corde lorsque la corde est tendue avec une force de 70 N ?
(b) Une corde en boyau (ou nylon) possède une masse volumique environ 7 fois inférieure à
celle de l'acier. Quelle serait la vitesse de l'onde si on remplaçait la corde en acier par la
corde en boyau en maintenant la même tension ?
9. Une corde tendue, longue de 12 m, est constituée sur un quart de sa longueur d'une matière
dans laquelle la perturbation se propage à 20 m/s. Le reste de la corde est plus mince, son
diamètre valant le tiers de celui de la première partie de la corde. Combien de temps faut-il à
la perturbation pour faire un aller-retour d'un bout à l'autre de la corde ?
10. Quel est le temps mis par le son pour parcourir la nef d'une église longue de 121 m lorsque la
température est de 25°C ? Lorsqu'elle est de 0°C ?
11. Comparer la vitesse du son dans l'oxygène à sa valeur dans l'air pour une température T
donnée.
12. Discuter la variation de vitesse de propagation d'une onde dans une corde lorsqu'on
(a) double la tension de la corde (b) double le diamètre de la corde (c) double la tension
ainsi que le diamètre de la corde (d) à tension et diamètre égaux, si on remplace une corde en
acier par une corde en nylon.
13. Un tuyau d'orgue est long de 5 m. Combien d'allers-retours le son peut-il faire en une
seconde ?
14. On produit des ondes dans un bac rempli d'eau. La profondeur de l'eau est de 8 mm. A quelle
vitesse se déplacent les ondes ? On dépose un petit bouchon à la surface de l'eau. Si la
distance entre deux crêtes successives est de 6 cm, combien de va-et-vient le bouchon
exécute-t-il par seconde ?
15. Comparer la vitesse d'une onde à la surface de l'eau lorsqu'elle se déplace dans l'océan
(profondeur moyenne 4000 m) et lorsqu'elle se rapproche de la plage (profondeur 1 m).
[ λ >> h] 16. Montrer que le module d'élasticité, ou module de Young, a pour unité des Pa ou N/m2.
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