Chapitre 1 : Phénomènes ondulatoires

Chapitre 1!: Phénomènes ondulatoires
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Chapitre 1!: Phénomènes ondulatoires
Qui oserait contester le rôle essentiel joué par nos yeux et par nos oreilles dans notre perception
du monde!? Or, la vue est tributaire de l’existence de la lumière – qu’on peut décrire comme une
onde électromagnétique, et notre ouïe est sensible aux sons – qui peuvent être expliqués en
termes d’ondes acoustiques. A l’évidence donc, les phénomènes ondulatoires font partie
intégrante de notre environnement perceptible et méritent que l'on s'y attarde ne serait-ce que
pour ces raisons-là!!
Les ondes électromagnétiques et acoustiques ont cependant une portée bien plus générale que
celle qui vient d'être brièvement évoquée!: les ondes électromagnétiques permettent de
communiquer entre différents points de la planète (radio, TV, Internet), de réchauffer les
aliments (four à micro-ondes) ou d'écouter des CD (laser). De plus, comme ces ondes peuvent
aussi se propager dans le vide, elles nous renseignent également sur la nature et l’état d’objets
lointains et inaccessibles tels que les étoiles ou les galaxies. Quant aux ondes élastiques, dont les
sons constituent un cas particulier et qui ont besoin d'un support matériel pour se propager, elles
trouvent des applications dans les investigations médicales (ultrasons), dans la localisation
d'objets sous-marins (sonars), ou encore dans la détection de tremblements de terre
(sismographes), etc.
Pour comprendre le monde matériel qui nous entoure, le concept d’onde est donc incontournable.
Le but de cette brochure est de traiter un certain nombre d'exemples pour mettre en évidence la
diversité des phénomènes qui font appel à ce concept.
1.1 Qu'est-ce qu'une onde!?
Les objets qui nous sont familiers sont caractérisés par une masse m et obéissent aux lois de la
mécanique classique, en particulier à la loi fondamentale de Newton!: F = ma. Une onde est une
entité différente, sans masse, obéissant à une autre équation et présentant des propriétés
particulières. Ainsi deux ondes peuvent s'annuler localement, ce qui n'est jamais le cas de deux
objets ordinaires!! Pour se représenter une onde, pensons au caillou que l'on jette dans un étang!:
des vagues circulaires se propagent horizontalement à une certaine vitesse en s'éloignant du point
d'impact. On notera que ce n'est pas l'eau qui se déplace le long de la direction de propagation,
mais bien la perturbation associée à son mouvement vertical de va-et-vient. Dans ce cas précis la
perturbation porteuse d'énergie, et donc d'information, est la fonction décrivant la cote des
molécules d'eau par rapport au plan d'eau non perturbé.
Coupe verticale du plan d'eau!: mouvement vertical de va-et-vient d'une molécule d'eau (cercle plein) en un point
fixe de l'espace repéré par le segment de droite vertical.

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Définition!: une onde est une perturbation se déplaçant dans l'espace au cours du temps.
Qu'est-ce qui assure la propagation d'une perturbation!? Les ondes que l'on peut se représenter le
plus facilement sont les ondes qui se propagent dans un milieu matériel. La perturbation déplace
un certain nombre de particules de matière hors de leur position d'équilibre. Les particules
voisines, liées élastiquement aux précédentes, créent ainsi une force de rappel qui tend à ramener
les particules hors équilibre à leur position initiale. Ce processus se répète de proche en proche et
est à l'origine de la propagation de l'onde dans la matière.
♦ Exemples de quelques ondes familières!:
a) Vagues sur l'eau
A l'équilibre, la surface de l'eau est plane. La vague est une
perturbation au cours de laquelle de l'eau est déplacée
verticalement hors de sa position d'équilibre, créant les creux et les
crêtes de la vague qui se propage horizontalement.
Remarque!: il faut distinguer la vitesse de propagation de l'onde de
la vitesse verticale à laquelle oscille une particule d'eau ou un
bouchon placé à la surface du plan d'eau.
b) Ondes dans une corde
Considérons une corde tendue que l'on secoue
transversalement à l'une des extrémités!: la petite bosse ainsi
formée constitue la perturbation qui se déplace le long de la
corde jusqu'à l'autre extrémité.
c) Ondes dans un ressort
La perturbation se propageant le long du ressort est
dans ce cas la "densité" des boudins.
d) Ondes dans l'air (son)
A l'équilibre, il règne une pression moyenne
p0 dans l'air. Une onde sonore se propageant
dans l'air crée des zones où la pression est
alternativement plus grande puis plus petite
que la moyenne. La perturbation peut être
décrite comme une surpression positive ou
négative se déplaçant à la vitesse v du son.
e) Ondes lumineuses
La perturbation qui constitue l'onde lumineuse est une
grandeur non matérielle plus difficile à appréhender,
puisqu'il s'agit de la vibration d'un champ électrique
€
r
E
et d'un champ magnétique
€
r
B
à angle droit l'un de l'autre.
La vibration se propage perpendiculairement au plan
formé par les champs
€
r
E
et
€
r
B
. Contrairement aux ondes
élastiques décrites plus haut, une telle onde peut se propager dans le vide.

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1.2 Ondes progressives
Comment décrit-on une onde progressive et que peut-on dire de sa vitesse!?
Considérons une onde se propageant sans atténuation dans une direction donnée. Si l'on fixe le
temps t (en prenant une photographie à un instant donné), la perturbation n'est plus alors qu'une
fonction de la coordonnée x. On la note y(x) et son amplitude maximum vaut A. La fonction y(x)
représente, selon les cas, la cote de l'eau au-dessus de la surface plane, la cote des points de la
bosse sur la corde par rapport à la corde non perturbée, la densité des boudins le long du ressort,
la surpression de l'air en différents points de l'espace, l'intensité du champ électromagnétique,
etc. Les figures suivantes montrent un exemple de perturbation en deux instants donnés, la bosse
s'étant déplacée au cours du temps!:
y(x1) = A y(x1) = 0
La perturbation est donc une fonction de la coordonnée x et du temps t, notée y(x,t). On constate
que si l'on se déplace à la même vitesse v que la perturbation, celle-ci paraîtra inchangée le long
de l'axe x. Cela signifie que la perturbation y n'est pas une fonction quelconque de la coordonnée
et du temps, mais qu'elle dépend de la combinaison x-vt si l’onde se déplace dans le sens de l'axe
x ou x+vt si l’onde se déplace en sens inverse.
La forme mathématique d'une perturbation non amortie est par conséquent une fonction qui
s'écrit y = f (x – vt) ou y!=!f!(x!+!vt) selon le sens de déplacement de l'onde.
Exemple!: dans le graphique ci-dessus, la perturbation est donnée par!:
€
y=A⋅e−(x−vt)2/a2
où a est
un paramètre caractérisant la largeur de la bosse. En prenant a!=!0,55!m, A!=!2!cm, v!=!20!m/s on
retrouve les fonctions dessinées ci-dessus aux temps t1!=!0,08!s et t2!=!0,16!s.
♦ Vitesse de propagation pour quelques ondes progressives dans un milieu matériel!:
a) Vagues sur l'eau!:
Si l'eau est peu profonde et si la profondeur vaut h, la vitesse est donnée par
€
v=gh
, avec
g!=!9,81 m/s2. "Peu profonde" signifie que la profondeur de l'eau est faible par rapport à la
distance entre les crêtes successives de l'onde (longueur d'onde).
Exemple!: L'onde du tsunami de décembre 2004 s'est propagée dans une zone où la profondeur
de l'océan était d'environ 7000!m (eau peu profonde en comparaison de la longueur d'onde qui
était d'environ 800!km!!). La vitesse de propagation du tsunami vaut dans un tel cas
€
v=9,81⋅7000 ≅260 m/s
soit environ 1000!km/h. En se rapprochant des rives, la vitesse du
tsunami diminue considérablement. Ceci explique la formation de murs d'eau au voisinage de la
terre ferme ainsi que le déferlement des vagues.

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b) Perturbation transversale dans une corde de masse M et de longueur L!:
On peut montrer que la vitesse est donnée
par
€
v=F
µ
où F est la tension de la corde,
c'est-à-dire l'intensité de la force avec
laquelle la corde est tendue, force qui
ramène les éléments de corde hors équilibre à leur position initiale (force de rappel). µ est la
masse linéique, définie comme la masse de la corde par unité de longueur,
€
µ =M
L
.
Exemple!: La masse de la corde de Mi d'un violon est de 0,123!g pour une longueur de 32,5!cm
et elle est tendue avec une force d'environ 70!N. La masse linéique valant alors
€
µ =0,123⋅10−3/0,325 =0,38 ⋅10−3!kg/m
, la vitesse de propagation de l'onde transversale est de
€
v=70 /0,38 ⋅10−3=429 m/s
.
c) Vitesse du son dans un corps solide!:
Il s'agit dans ce cas d'une onde de compression se propageant dans une roche ou dans une barre
métallique ou de l'onde dans une corde que l'on excite parallèlement à son axe. La vitesse vaut
€
v=E
ρ
où E représente la rigidité du corps solide (E est nommé module d'élasticité ou module
de Young) et ρ est la masse volumique du solide. Cette expression donne la vitesse de certaines
ondes sismiques.
Exemple!: La vitesse de propagation d'une onde de compression dans le granite pour lequel
E!=!60'000!MPa et ρ !=!2600!kg/m3 est de
€
v=E/ ρ =60 ⋅109/2600 =4800 m/s
soit environ
17'000!km/h.
d) Vitesse du son dans un gaz diatomique tel que l'air!:
La vitesse dépend de la nature du gaz, de sa température et vaut
€
v=1,4RT
M
où M est la masse
molaire du gaz, T sa température absolue et R!=!8,31!J/(K.mol) est la constante des gaz. Pour l'air
sec on obtient
€
v=1,4 ⋅8,31⋅T
29 ⋅10−3=20 T
.
Exemple 1!: La vitesse du son dans l'air à 0°C vaut
€
v=20 273 =331 m/s
!; à 20°C, cette vitesse
est de
€
v=20 293 =342 m/s
, soit environ 1200!km/h.
Exemple 2!: Dans l'hydrogène à 20°C, la vitesse vaut
€
v=1,4 ⋅8,31⋅293/2 ⋅10−3=1306!!m/s
,
soit environ quatre fois plus que dans l'air à même température.
De manière générale, la vitesse à laquelle une onde élastique se propage dans un milieu dépend
de l'inertie du milieu matériel ainsi que de l'intensité de la force (force de rappel) ramenant vers
leur position d'équilibre les éléments qui en sont écartés!:
€
vitesse =force de rappel
inertie =rigidité densité

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La lumière, quant à elle, n'est pas une onde élastique et sa propagation ne peut donc s'expliquer
de la même manière que celle des ondes traitées ci-dessus. On notera par ailleurs que la lumière
présente la propriété remarquable de pouvoir se déplacer dans le vide.
e) Vitesse de la lumière!:
Elle dépend du milieu transparent dans lequel l'onde lumineuse se propage et est donnée par
€
v=c/n
où c est la vitesse de la lumière dans le vide (
€
c=299'800 km/s ≅300' 000 km/s
) et n
est l'indice de réfraction du milieu transparent considéré.
Exemple!: La vitesse de la lumière dans l'air pour lequel
€
n≅1
est de
€
v≅c≅300 ⋅106m/s
ce qui
représente 900'000 fois la vitesse du son dans l'air. Dans l'eau pour laquelle
€
n=1,33
la vitesse de
la lumière vaut
€
226 ⋅106!m/s
.
1.3 Types d'ondes
Toutes les ondes vues jusqu'ici peuvent être classées en deux catégories selon que la perturbation
est perpendiculaire à la direction de propagation de l'onde (ondes transversales) ou que la
perturbation est parallèle à la direction de propagation (ondes longitudinales). Ainsi qu'on peut le
voir dans les images ci-dessous, les perturbations dans une corde et dans un ressort représentent
les exemples les plus simples de ces deux types d'onde!:
Ondes transversales Ondes longitudinales
Les vagues, la lumière, les principales ondes dans une corde, certains types d'ondes sismiques
sont des ondes transversales (figure de gauche). Le son dans l'air, d'autres types d'ondes
sismiques, les perturbations dans un ressort produites par compression de boudins, sont des
ondes longitudinales (figure de droite). Il peut arriver que dans un système mécanique les deux
types d'ondes soient présents!: c'est le cas pour une corde que l'on frappe et étire en même temps,
le cas d'un ressort dont on resserre un certain nombre de boudins tout en l'agitant latéralement,
etc. Seules les ondes transversales ont la propriétés d'être polarisées. Si l'on se représente en effet
une corde que l'on secoue, on imagine facilement pouvoir produire une perturbation dans un plan
particulier (vertical, horizontal ou autre) contenant la direction de propagation. Dans le cas de la
lumière, cette propriété conduit à des applications spécifiques telles que les lunettes polaroïd par
exemple. Notons qu'il est plus facile de dessiner une onde transversale qu'une onde
longitudinale!!