Electromagnétisme classique

Electromagnétisme classique Relativité restreinte
Patrick Puzo
Laboratoire de l’Accélérateur Linéaire – Orsay
[email protected]




Electromagnétisme en se limitant à ε = ε0 et μ = μ0
Quasiment rien de neuf. Que des rappels. Juste insister sur certains
points : basé sur l’« énergie ». Pas de calculs (livres !)
Plan des 6 cours :
 Généralités – Electrostatique
 Electrostatique (suite) - Magnétostatique
 Electromagnétisme
 Induction électromagnétique
 Relativité
 Relativité
Si vous avez une demande particulière, exprimez vous !
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
2/77
Bibliographie (1/4)
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
Physique
Utilitaire
Se méfier
3/77
Bibliographie (2/4)
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
Physique
Utilitaire
Se méfier
4/77
Bibliographie (3/4)
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
Physique
Utilitaire
Se méfier
5/77
Bibliographie (4/4)
P. Puzo (2010-2011)
Physique
Aucune bibliographie ne vous empêche
de garder un esprit critique !
Montrouge I
Utilitaire
Se méfier
6/77
Exemple : Biot et Savart



Loi expérimentale intégrale :
r r
r
µ
I dl # u
B(M ) = 0 $
4 " (C) r 2
On est tenté de dire que « le courant dB créé par dl vaut » :
!
r r
r
µ I dl # u
dB(M ) = 0
4 " r2
C’est faux. Ce n’est pas parce que
!
b
b
f
(x)
dx
=
"a
" a g(x) dx que f(x) = g(x)
!
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
7/77
Faroux
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
8/77
Perez
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
9/77
Halliday
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
10/77
Sources et références du cours #1 « Electrostatique »

Faroux (Vol I)

Jackson : chapitres 1 et 2

Perez : chapitres 1 et 2

(Halliday)
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
11/77
Plan du cours « Electrostatique »
I.
Outils mathématiques
II.
Charge électrique
III.
Electrostatique du vide
IV.
Continuité du champ et du potentiel
V.
Dipôles électrostatiques
VI.
Le problème du « zéro » des potentiels
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
12/77
Passage d’une formulation locale à une
formulation intégrale (et vice-versa)

Circulation conservative
Stokes ⇒

r r
r r
r r r
"(C) h . dr = 0 # $ % h = 0 # h = $( f )
Flux conservatif
!
Ostrogradsky ⇒
r r
r r
r r r
""(S) g . dS = 0 # $ . g = 0 # g = $ % a
Formulation
! intégrale
P. Puzo (2010-2011)
Formulation
différentielle
en champ
Montrouge I
Formulation
différentielle
en potentiel
13/77
Problème d’unicité : cas d’un champ
scalaire


!

Soit un champ scalaire f vérifiant, en tout point d’un volume (V) limité
r
par une surface (S) fermée, "f = # (r ) , où φ est définie en tout point,
sans singularité
La solution f est alors
! unique si :
 f est connue en chaque point de (S) : conditions de Dirichlet
r r
n . "( f ) est connue en chaque point de (S) r: conditions de Neumann

r
 f est connue sur une partie de (S), et n . "( f ) sur la partie
complémentaire
Ceci reste vrai si (V) est l’espace !
entier, à condition que f s’annule en
dehors d’une portion finie de l’espace et que φ(r) tende vers 0 à l’infini
au moins comme 1/r
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
14/77
Problème d’unicité : cas d’un champ
vectoriel



r
Soit un champ vectoriel A tel rque,
d’un volume (V) limité
r en tout
r point
r
par une surface (S) fermée, " . A et " # A soient définis sans
singularité
r !
r r
La solution A est alors
! unique si on connaît n . A en chaque point de (S)
: théorème d’Helmholtz
! reste vrai si (V) est l’espace entier,
Ceci
à condition que
r r
r !r r
" . A = 0 et " # A = 0
en dehors d’une portion finie de l’espace et que A(r) tende vers 0 à
l’infini au moins comme 1/r2
!
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
15/77
Systèmes de coordonnées


Le laplacien vectoriel intervient en électromagnétisme
Les coordonnées du laplacien vectoriel ne sont égales au laplacien des
coordonnées du vecteur que dans des cas particuliers. Dans le cas
général, on doit utiliser :
r r r r r r r
"A = # # . A $ # % # % A
(
)
(
)
!
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
16/77
Dérivation sous le symbole
d’intégration

On considère une fonction I(x) :

Si a et b ne dépendent pas de x :
Faroux II
b
I(x) = " a f (x, t) dt
!
dI(x) d # b
b )f (x, t)
&
= % " f (x, t) dt ( = "
dt
a
a
$
'
dx
dx
)x

I est continûment dérivable si f admet une dérivée partielle continue
!
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
17/77
Plan du cours « Electrostatique »
I.
Outils mathématiques
II.
Charge électrique
III.
Electrostatique du vide
IV.
Continuité du champ et du potentiel
V.
Dipôles électrostatiques
VI.
Le problème du « zéro » des potentiels
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
18/77
Quantification de la charge (1/2)


Halliday
La charge électrique est localisée dans la matière
 Expérience de Rutherford
La charge électrique est quantifiée
 Expérience de Millikan
 Forces : poids, qE (vers le haut),
poussée d’Archimède due à l’air,
résistance de l’air
 La mesure de la vitesse limite vl en
champ nul et du champ d’inversion E
permet de déduire r et q
 q est multiple de 1.6 10-19 C
!
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
r=3
" vl
2 g ( #h $ # a )
q=
6 " # r vl
E
!
19/77
Quantification de la charge (2/2)



On classe ainsi les particules en 3 familles (‘positive’, ‘négative’, ‘neutre’)
 Classification arbitraire
 Comportements identiques au sein d’une même famille
Les particules neutres sont quand même sensibles à l’EM
 Le neutron est sensible à B par l’intermédiaire de son moment
dipolaire
La charge des quarks est ‘fractionnaire’, mais pas ‘élémentaire’
 Up, Charm et Top (+2/3), Down, Strange et Bottom (-1/3)

Proton (uud) = +1 et Neutron (udd) = 0
 On ne peut pas isoler un quark et observer une charge fractionnaire
(confinement)
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
20/77
Grandeurs nivelées (1/2)
Faroux
"=




#Q
#V
Pour avoir un sens, la densité volumique ρ ne doit pas dépendre de ΔV et
doit être insensible à un « léger » déplacement de ΔV.
!
 On peut prendre une sphère de centre M et de rayon R
Dimensions de la sphère :
 R grand à l’échelle atomique : R >> 10-12 m
 R petit à l’échelle macroscopique : R << 10-6 m
 Finalement, R doit être de l’ordre de 1 à 100 10-10 m
Or le champ à la surface d’une sphère de 100 Å contenant une charge
élémentaire vaut 1,5 107 V/m
La situation est différente de la thermodynamique
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
21/77
Grandeurs nivelées (2/2)



On doit donc remplacer la
densité « vraie » par une
densité nivelée, s’étalant
sur 1 à 100 Å
 Théorie des
distributions
La forme de la fonction de distribution n’a pas d’importance, tant qu’elle
est continue
Le concept de densité de charge est adapté à une échelle où la matière
peut être décrite comme un milieu continu en ignorant sa structure
atomique
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
22/77
Conservation de la charge totale d’un
système isolé (1/2)

Expérimentalement, on constate que :
Q : charge contenue dans le volume V
q : charge sortant du volume pendant dt
dQ dq
+ =0
dt dt

D’où :
!
Q = ### (V ) " dV
$
dQ
%"
= ### (V ) dV
dt
%t
"
!
r r
r r
dq
= I = ## (") j . dS = ### (V ) $ . j dV
dt
#$ r r !
"
+% . j = 0
#t
!
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
&#$ r r )
,,, (V ) ( + % . j + dV = 0
' #t
*
Equation de
continuité
23/77
Conservation de la charge totale d’un
système isolé (2/2)

L‘équation de continuité s’applique aux grandeurs nivelées
Lorsqu’il existe plusieurs types de porteurs de charge, on peut observer de
la création de paires ou de la recombinaison :

"#$ r r
+ % . j$ = & $
"t

avec & $ ' 0 et
(& $ = 0
$
Des relations analogues à l’équation de continuité sont établies pour toutes
les!grandeurs conservatives (énergie totale, charge totale d’un système
isolé, masse totale en mécanique newtonienne)
"s r r
+ # . (Js ) = $ s
"t
P. Puzo (2010-2011)
avec $ s > 0
Montrouge I
Noter le taux de
création d’entropie
en thermodynamique
24/77
Plan du cours « Electrostatique »
I.
Outils mathématiques
II.
Charge électrique
III.
Electrostatique du vide
IV.
Continuité du champ et du potentiel
V.
Dipôles électrostatiques
VI.
Le problème du « zéro » des potentiels
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
25/77



L’électrostatique est l’étude des charges immobiles
 Les observables physiques seront indépendantes du temps
r
r r
Ceci implique que " . J = 0 mais n’interdit pas a priori J " 0
(qu’on supposera néanmoins ici)
!
Le domaine
! de validité de l’électrostatique est très grand :
 Limite haute : l’infini
 Limite basse : la prise en compte des effets quantiques (QED) en
s’approchant des charges (d << 10-10 m)

On peut utiliser des densités nivelées
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
26/77
Loi de Coulomb (1/3)

Loi expérimentale de 1785 s’exerçant entre 2 charges fixes
r
F1"2 =


1 q1 q2 r
u1"2
2
4 # $0 r12
ε0 : permittivité du vide
"0 # 8,85 10$12 F/m
1
$ 9 109 SI
4 " #0
!
Si l’espace
est isotrope, la seule direction privilégiée
est la droite
!
reliant les charges : le système possède donc la symétrie de révolution
autour de cet axe
!
 La force doit posséder cette symétrie (principe de Curie) et donc
être portée par l’axe
Expérimentalement, on vérifie F = k q1 q2 / r2. Pour éviter les facteurs 4
π (géométriques), on prend :
1
k=
4 " #0
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
27/77
Loi de Coulomb (2/3)



On peut montrer qu’il est équivalent de dire que la loi est en 1/r2 et que
le photon est de masse nulle
 Cette loi est vérifiée expérimentalement entre 107 et 10-18 m (on
recherche un potentiel - à la Yukawa - de la forme e-μr/r où
μ=mγc/hbar et on place une limite sur mγ)
 Limite actuelle : mγ < 4 10-51 kg (me ≈ 9 10-31 kg)
Jackson page 6
Les forces électrostatiques vérifient le principe de l’action et de la
réaction :
r
r
F1"2 = # F2"1
La loi de Coulomb est valide dans le vide. On l’appliquera également dans
l’air pour lequel εr ≈!1,00058
 Attention aux milieux matériels (εr≈81 pour l’eau à basse fréquence) !
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
28/77
Loi de Coulomb (3/3)

L’étude expérimentale se fait à l’aide de la balance de torsion de
Cavendish ou de la balance de Coulomb : le moment des forces entre
deux charges est compensé par un couple de torsion
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
29/77
Illustration : intensités relatives de
l’électrostatique et de la gravitation

Dans le modèle planétaire de l’atome d’hydrogène, l’électron décrit une
orbite circulaire de 50 pm = 50 10-12 m autour du proton
En supposant qu’on
peut utiliser la loi
de Coulomb
Force de
gravitation
&19 2
)
(
F
)
(
$30 2
1846 # (0.9 #10
) " 4 #10 $47 N
m A mB
grav
$11
F
=G
" 6.67 #10
!
$12 2
AB2
(50 #10 )
elec
"

1.6 %10
1 qA qB
9
=
$ 9 %10
$ 9.2 %10 &8 N
4 " #0 AB2
&12 2
50 %10
F elec
F grav
# 2 10 39
!
L’interaction EM est responsable des phénomènes à notre échelle
(physique, chimie, biologie), mais la cohésion de l’univers est assurée par
! si l’EM a une portée infinie !
la gravitation, même
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
30/77
Illustrations
Halliday

Imprimante à jet d’encre

Reproduction des fleurs
Halliday
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
31/77
Principe de superposition

On observe expérimentalement que pour une distribution discrète de
r
r
charges :
Fi = $ Fj"i
j#i



On en déduit que :
 On peut ramener l’électrostatique à l’étude de deux charges
ponctuelles
!
 Les lois de l’électrostatique doivent être linéaires
Cette linéarité est exploitée à tous les niveaux :
 Transmission de plusieurs conversations téléphoniques sur un unique
faisceau hertzien
Non linéarité d’origine quantique (diffusion photon-photon et
polarisation du vide)
Jackson p 11
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
32/77
Champ électrique (1/3)

Par définition pour des charges fixes :
Force de
Coulomb
r
r
r
F1"2 = q2 E1 soit E1 =
1
4 # $0
q1 r
u1"2
2
r
Champ électrique créé par (1) à la distance r

!
Quelques ordres de grandeur (V/m) :
 Laser de puissance
 A proximité d’un atome d’H
 Claquage dans l’air
 Dans la basse atmosphère
 A l’intérieur d’un conducteur
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
1- 2 1010
1010 (= 1 V/Å)
106
102
< 10-2
33/77
Champ électrique (2/3)
C/m3
r
E (M ) =
1
4 " #0
qi r
$ 2 ui
i ri
r
E (M ) =
1
4 " #0
%%%(D) $(P)
r
PM
PM 3
d 3P
Le passage d’une distribution de charge ponctuelle à une distribution
!
!
continue
s’effectue sans problème (somme de Riemann)
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
34/77
Champ électrique (3/3)


L’utilisation du champ au lieu de la force revient à remplacer une action
à distance (la force) par une action locale (le champ)
 Ceci est justifié par l’expérience car l’action sur une charge ne
dépend que du champ, et non de ses sources
 C’est indispensable pour expliquer la propagation
 Le champ a une existence propre et n’est pas un simple artifice
de calcul
r r
On pourrait se demander si le champ n’est pas défini par E = F /q
 Ceci n’est correct que si l’introduction d’une charge test ne modifie
pas le champ (attention à l’influence)
 On trouve parfois (!) :
r
!
r
#F &
E = limq"0 % (
$q'
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
!
35/77
Circulation du champ E – Potentiel (1/2)

En étudiant la circulation du champ d’une
charge ponctuelle, on montre qu’il existe une
fonction V telle que :
V=
q 1
+ Cste
4 " #0 r
ou de manière équivalente :
!

r
r
Br r
E = " #(V ) $ V (A) " V (B) = % A E . dl
Propriétés immédiates :
!
r r
r r r
" E . dl = 0 et # $ E = 0
(C)
P. Puzo (2010-2011)
!
Montrouge I
36/77
Circulation du champ E – Potentiel (2/2)

Le passage à des distributions discrètes et continues est immédiat :
1
V (M ) =
4 " #0

!
qi
$r
i
V (M ) =
i
1
4 " #0
$(P) 3
d P
V(∞) = 0
%%%(D) PM
La convention V(∞) = 0 n’est valable que si les charges sont réparties
dans un volume fini de l’espace
!
 Si ce n’est pas le cas, on ne peut plus utiliser ces relations pour
calculer V (qui reste défini). Il faut revenir à :
Br r
V (A) " V (B) = # A E . dl
!
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
37/77
Equipotentielles – Lignes de champ



Les équipotentielles sont les surfaces pour lesquelles V = Cste
Les lignes de champ sont les courbes tangentes en chaque point au
champ E
 Orientées dans le sens des potentiels décroissants
 Courbes ouvertes car le potentiel ne cesse de décroître sur une ligne
de champ
Un tube de champ est une surface fermée constituée par l’ensemble
des lignes de champ qui s’appuient sur un contour fermé
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
38/77
Théorème de Gauss

Surface fermée (S)
délimitant (V) :
r r Qint
""(S) E . dS = #
0

!
r r %
ou $ . E =
#0
On utilise le théorème de Gauss sous sa forme intégrale lorsque les
symétries sont suffisantes pour simplifier le calcul du flux
 Tout repose sur un choix judicieux de la surface de Gauss
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
39/77
Poisson - Laplace

!

!

Poisson :
r
r
E = " #(V )
r r #
".E =
$0
En l’absence de charge :
!
" #V +
$
=0
%0
" #V = 0
Equation de Poisson
Equation de Laplace
La solution V est unique si :
 Le potentiel est connu sur une surface fermée - un conducteur !
(Dirichlet)
 Le champ est connu sur une surface fermée (Neumann)
 Le potentiel est connu sur certains conducteurs, le champ l’est sur
les autres
Théorème d’unicité
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
40/77
Méthodes de calcul du champ E

Calcul direct :
r
E (M ) =

%%%(D) $(P)
PM 3
d 3P
Calcul indirect à l’aide du potentiel scalaire :
!
1
V (M ) =
4 " #0

1
4 " #0
r
PM
r
r
$(P) 3
%%%(D) PM d P puis E = & '(V )
Calcul à l’aide du théorème de Gauss :
!
r r Qint
""(S) E . dS = #
0
P. Puzo (2010-2011)
!
Montrouge I
41/77
Résolution des équations de Laplace
et Poisson




Les méthodes générales font intervenir les fonctions de Green et
imposent des calculs pénibles
De nos jours, on utilise généralement une résolution numérique à l’aide
de codes de calculs (commerciaux ou non)
Dans quelques cas particuliers simples, on peut trouver une solution
littérale :
 Méthode des images
 Méthode de séparation des variables
L’utilisation du théorème d’unicité permet de dire ensuite que c’est LA
solution
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
42/77
Méthode des images
pour résoudre


"V +
#
=0
$0
Lorsque 2 problèmes différents sont décrits par la même distribution
volumique de charge et les mêmes CL, ils admettent!la même solution de
l’équation de Poisson
 E et V sont donc identiques dans tout l’espace
Cette idée est la base de la méthode des images qui consiste à
remplacer un problème donné par un problème ayant - dans une partie
de l’espace - la même distribution volumique et les mêmes CL, mais un
calcul de E ou de V plus simple
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
43/77
Exemple : charge ponctuelle devant
un plan conducteur
d


On cherche à calculer la force exercée par le
demi-espace sur la charge q
 Il faut calculer le champ E exercé par le
demi-espace sur q
On considère un dipôle dans le vide. Le potentiel
dans le plan médian est nul. Donc le potentiel dans
le demi-espace de droite est le même dans les 2
problèmes, puisqu’on résout la même équation avec
les mêmes CL
r
#q
1 r
" E (A) =
uz
2
4 $ %0 (2 d)
2 1 r
⇒ La charge est attirée par le Fr = q Er (A) = " q
uz
2
16 # $0 d
demi-espace avec la force
!
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
z<0
z
q
V=0
Problème #1
V=0
d
-q
d
z
q
z=0
Problème #2
44/77
Résolution de ΔV = 0 par la méthode
de séparation des variables

On cherche la solution sous la forme particulière

On obtient :

"V X"(x) Y"(y) Z"(z)
=
+
+
=0
V
X(x) Y (y) Z(z)
On peut donc poser :
X"(x)
2
=
"
#
!
X(x)
Y"(y)
= " $2
Y (y)
V (x, y, z) = X(x) Y (y) Z(z)
!
Z"(z)
= #2 + $2
Z(z)
où α et β sont réels ou imaginaires purs (α2 et β2 >0 ou <0)

! déduit :
On en
(
V (x, y, z) = A e
i" x
+Be
#i" x
) (C e
i$ y
+De
#i $ y %
) '&E e
i " 2 +$ 2 z
+F e
# i " 2 +$ 2 z (
*
)
les constantes α, β, A, B, C, D, E et F sont déterminées par les CL
!
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
45/77
Résumé
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
46/77
Plan du cours « Electrostatique »
I.
Outils mathématiques
II.
Charge électrique
III.
Electrostatique du vide
IV.
Continuité du champ et du potentiel
V.
Dipôles électrostatiques
VI.
Le problème du « zéro » des potentiels
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
47/77
Les propriétés de continuité/discontinuité dépendent de la nature des
distributions (ou de leur modélisation)
Ne pas oublier que l’électromagnétisme classique n’est plus valable dès qu’on
se rapproche « trop » des charges

Charges ponctuelles
V (M ) =
r
E (M ) =
!
1
4 " #0
1
4 " #0
qi
$r
i
i
→ singularités au voisinage des charges
qi r
ui
2
i ri
$
!
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
48/77

Charges linéiques
r
E (M ) =

" 1r
ur
2 # $0 r
et V (M ) =
Charges volumiques
%r(
"
ln' *
2 # $0 & r0 )
→ singularité au voisinage des charges
!
r r r
"#E = 0
!
r r #
".E =
$0
"V = #
!
P. Puzo (2010-2011)
!
→ E et V sont définis en tout point
→ E et V sont continus en tout point
(car dérivées partielles bornées)
$
%0
Montrouge I
49/77

Charges surfaciques (1/3)
 Les champs E1 et E2 sont des fonctions de classe C1, mais ne sont pas
définis sur la surface de séparation
"

(
r
r r
%
E2 # E1 . n1$2 =
&0
)
!
La discontinuité de E vient de l’approximation faite en négligeant
l’épaisseur de la surface chargée
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
50/77

Charges surfaciques (2/3)
r
r
r
r
" n1#2 $ E2 % E1 = 0
(
)
!
r
r
# r
E2 " E1 = n1%2
$0

En résumé, on a :

Le potentiel V reste continu à la traversée d’une surface chargée
!
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
Faroux I p 64
51/77
Application : champ au voisinage d’une
plaque de densité uniforme Perez (page 56?)
Plaque d’épaisseur e
En faisant tendre e
vers zéro
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
52/77
Plan du cours « Electrostatique »
I.
Outils mathématiques
II.
Charge électrique
III.
Electrostatique du vide
IV.
Continuité du champ et du potentiel
V.
Dipôles électrostatiques
VI.
Le problème du « zéro » des potentiels
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
53/77


Un dipôle est constitué de 2 charges distantes
de d petite devant la distance d’observation
Grande importance :
 Apparaît en calculant le champ à grande
distance d’une distribution localisée
 Les molécules peuvent être assimilées à des
dipôles (rôle important en chimie)
 Sous l’action d’un champ E, certains corps
se comportent comme une assemblée de
dipôles (polarisation des diélectriques)
Moment dipolaire
électrique (Cm)
r
r
p = q NP
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
!
54/77


Un dipôle sera rigide si p n’est pas modifié par un champ E externe
 Bon modèle pour les molécules polaires (HCl gazeux par exemple)
On définit parfois un dipôle comme la limite, lorsque NP → 0, d’un
ensemble de 2 charges +q et –q placées en N et P, alors que p = q NP
reste constant
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
55/77
Potentiel du dipôle

C’est simplement la somme des potentiels créés
par les deux charges. Un calcul classique fournit
:
r r
1 p cos(% )
1 p .ur
V (r) "
=
2
4 # $0
4 # $0 r 2
r

!

r
r r
avec ur =
r
Un dipôle est entièrement déterminé par son
moment dipolaire électrique
Le potentiel décroît comme 1/r2, les termes en
1/r s’annulant à cause de la neutralité électrique
de l’ensemble
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
56/77
Champ électrique du dipôle


C’est simplement la somme des champs créés par les
deux charges. Un calcul classique fournit :
r r r r
r
1 3 ( p .ur ) ur % p
E"
4 # $0
r3
En coordonnées polaires :
!
Er =

1 2 p cos($ )
4 " #0
r3
Er =
1 p sin($ )
4 " #0
r3
E% = 0
Les termes en 1/r2 s’annulent également. Le champ
décroît plus rapidement que pour une charge
!
ponctuelle
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
57/77
Equipotentielles et lignes de champ (1/2)

Equipotentielles :
V (r) "

Lignes de champ :
!

1 p cos(% )
& r 2 = A cos(% )
4 # $0
r2
r r r
E " dr = 0 # r = B sin2 ($ ) avec B > 0
En chaque point (différent de l’origine), ne passent qu’une seule
équipotentielle et une seule ligne de champ
!
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
58/77
Equipotentielles et lignes de champ (2/2)
Perez

Faroux
Faroux : Les lignes de champ semblent revenir sur elles-mêmes au
voisinage de O, ce qui est absurde car une ligne de champ ne peut être
fermée. En fait, l’approximation r >> d n’est plus valable
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
59/77
Action mécanique de E constant sur un
dipôle rigide (1/2)




On ne doit pas tenir compte de l’action de N sur P,
ni de l’action de P sur N
Force résultante :
r
r
r
r
F = q Ea " q Ea = 0
Moment résultant :
r
r
r
r
r
r
r r
r r
!
" = OP # q Ea $ ON # q Ea = q NP # Ea = p # Ea = p Ea sin(% ) k
L’action mécanique d’un champ uniforme sur un
! dipôle rigide se réduit au couple Γ
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
Vecteur unitaire
normal au plan de
la figure
60/77
Action mécanique de E constant sur un
dipôle rigide (2/2)



Il existe deux positions d’équilibre : θ = 0 (p et E parallèles) et θ = π (p
et E anti-parallèles)
Un champ uniforme tend à orienter un dipôle suivant les lignes de champ
A l’échelle d’un dipôle, tout champ appliqué est généralement uniforme.
Au 1er ordre, l’effet principal d’un champ quelconque sera d’orienter le
dipôle dans le sens du champ
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
61/77
Action mécanique de E quelconque sur un
dipôle rigide (1/2)

r
r r r
On peut montrer que la résultante s’écrit cette fois : F = p ." Ea
avec en coordonnées cartésiennes :
(
)
r r
$
$
$
p . " # px
+ py + pz
$x
$y
$z
!



Le calcul du moment montre qu’on a toujours au
1er
r r r
ordre : " = p # E
Pour un champ!inhomogène, il existe une force, en plus du couple qui
tend à aligner le dipôle sur les lignes de champ
!
Dans le cas particulier où le dipôle est // au champ, la force tend à
attirer le dipôle vers les champs intenses (si p et E de même sens) ou
vers les champs faibles (si p et E de sens contraire)
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
62/77
Action mécanique de E quelconque sur un
dipôle rigide (2/2)

Dans le cas général, la force n’est pas parallèle au champ

r
r r r
La relation F = p ." Ea reste valable pour les dipôles qui ne sont pas
rigides

Un dipôle est entièrement caractérisé par son moment dipolaire p
!
(
P. Puzo (2010-2011)
)
Montrouge I
63/77
Action mécanique d’une charge sur un
dipôle

Charge q placée à l’origine

La force qui s’exerce sur le dipôle s’écrit :
r
F=
r
r
1 qp
$ 2 cos(% ) ur + sin(% ) u& ]
[
4 " #0 r 3
!
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
64/77
App. dipolaire : potentiel créé par une
dist. de charges ponctuelles (1/3)

Potentiel d’une distribution discrète :
V (M ) =

1
4 " #0
q
$ ri
i i
On peut développer les 1/ri selon :
!
)
,
# a &n
1 1+ a
= 1+
cos(" ) +L+ % ( Pn (cos(" )) +L.
r1 r + 2 r
.
$2 r '
*
-
où les Pn sont les polynômes de Legendre de 1ère espèce :
!
P0 (x) = 1
P.
!Puzo (2010-2011)
P1(x) = x
3 x 2 "1
P2 (x) =
2
Montrouge I
5 x3 " 3 x
P 3 (x) =
2
65/77
App. dipolaire : potentiel créé par une
dist. de charges ponctuelles (2/3)

Un calcul classique fournit :
V (r) = V0 (r) +V1(r) +V2 (r) +L
avec :
!
1 1
V 0 (r) =
$ qi
4 " #0 r i
Contribution
unipolaire
r r
1
1
q
r
$
i i . ur
2
4 " #0 r
i
%3 r r 2 r2 (
1
1
V 2 (r) =
qi ' (ri .ur ) $ i *
+
4 " #0 r 3
2 *)
'&2
V1(r) =
!
!
!P. Puzo (2010-2011)
i
Montrouge I
Contribution
dipolaire
Contribution
quadrupolaire
66/77
App. dipolaire : potentiel créé par une
dist. de charges ponctuelles (3/3)

Ce développement est analogue à celui fait en mécanique dans l’étude du
champ de gravitation : les charges sont remplacées par les masses mi et
1/4πε0 par l’opposé de la constante de gravitation G
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
67/77
Distribution unipolaire

Distribution unipolaire si
Q = " qi # 0
i

En plaçant l’origine du référentiel au barycentre électrique des points Pi
(affectés de leurs charges qi), on obtient :
!
1 Q
V (r) " V 0 (r) =
4 # $0 r
Au 3ème ordre près, la distribution se comporte comme une charge
ponctuelle
!

En mécanique, le barycentre mécanique n’est jamais nul
Le terme unipolaire est alors toujours prépondérant
" mi # 0
i
!
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
68/77
Distribution dipolaire

r
r
Distribution dipolaire si P = " qi ri # 0 et Q = 0
i

Si la charge totale est nulle, le 1er terme du développement du potentiel
s’écrit :
!
r r '1 *
r r
1
1
1
V (r) " V1(r) =
q
r
.
u
=
P
. &) ,
%
i i r
2
(r +
4 # $0 r
4 # $0
i

Le moment dipolaire P ne dépend pas de l’origine
!
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
69/77
Illustration : le moment dipolaire des
molécules



Deux types de molécules, en fonction des positions relatives des
barycentres ‘+’ et ‘-’
 Molécules polaires (HCl, H2O, NH3)
 Molécules apolaires (H2, Ar, Kr, Xe)
Les molécules apolaires sont polarisablesr par un champ externe
r
p
= " E (α : polarisabilité de la
 Le moment dipolaire induit est
molécule)
Deux molécules apolaires !
peuvent se polariser sous l’action de leurs
moments dipolaires électriques instantanés
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
70/77
Illustration : forces à grande distance
dans un gaz (1/2)

Forces moléculaires attractives (différentes des forces coulombiennes)
dues à des interactions entre dipôles
 Entre dipôles permanents : force de Keesom
 Entre dipôles permanents et induits : force de Debye
 Entre dipôles induits : force de London
p4 1
fK = CK
T r7

1
fD = CD " p2
r7
fL = CL
" "'
r7
Remarque : la notion de dipôle induit instantané est incorrecte. Il
faudrait faire apparaître une influence retardée, due à la distance
! les molécules. Voir le problème de physique de 2005
entre
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
71/77
Illustration : forces à grande distance
dans un gaz (2/2)

Toutes ces forces sont en 1/r7 et contribuent au terme en a de
l’équation de van der Waals qui traduit l’interaction à grande distance :
"
n2 a %
$$ p +
'' (V ( n b) = n R T
2
V &
#

Energies :
!
EL >> ED
ou EK
!
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
72/77
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
73/77
Plan du cours « Electrostatique »
I.
Outils mathématiques
II.
Charge électrique
III.
Electrostatique du vide
IV.
Continuité du champ et du potentiel
V.
Dipôles électrostatiques
VI.
Le problème du « zéro » des potentiels
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
74/77



On utilisera la convention V(∞) = 0 quand la distribution de charges est
localisée dans l’espace (pas de charges à l’infini)
On peut parfois utiliser V(∞) = 0 avec des charges à l’infini, à condition
qu’elles n’interviennent pas dans le problème
 Exemple d’un système baignant dans un champ uniforme
Question : comment peut-on réaliser dans la pratique V(∞) = 0 ?
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
75/77
BFR Electrostatique


On assimile la Terre à une sphère conductrice (rayon R = 6400 km)
Une source de tension e est intercalée entre la Terre et un conducteur
sphérique de rayon a à une hauteur h >> a
Charge +Q

Le conducteur porte une charge Q, la terre -Q

On prend la convention V(∞) = 0

On peut exprimer le potentiel de la Terre (en O)
et le potentiel de la sphère (en C)
C
h
e
O
Charge -Q
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
76/77
Charge +Q
C

Finalement :
V (O) "


#e
R2
1+
ha
et V (C) "
#e
ha
1+
R2
O
AN pour h = 1 m, a = 10 cm, e = 10 kV
!

h
e
V (O) " 2.44 #10 $ 9 V et V (C) " 10 4 V = e
Charge -Q
On voit donc sur cet exemple qu’il est équivalent de prendre le potentiel
nul sur!la Terre où à l’infini tant que ah/R2 << 1
On peut donc porter un conducteur à un potentiel quelconque wrt l’infini
en reliant une borne du générateur à la Terre
P. Puzo (2010-2011)
Montrouge I
77/77