Formes quadratiques 1 Formes bilinéaires symétriques

Institut Galilée
Licence 2ème année
LSI - ATS
Algèbre 2
2010-2011
Formes quadratiques
IK
= IR
E
est un IK-espace vectoriel de dimension
Soit
ou C).
l
{e1 , · · · , en }
une base de
E.
Nous allons étudier les applications
q(x) =
n.
xi nE , on a x = x1 e1 + · · · + xn en .
q : E → IK telles que :
Pour
n
X
aii x2i +
i=1
X
aij xi xj
i6=j
polynôme homogène de degré 2 par rapport aux
xi , somme de termes "carrés"
et de termes "rectangles".
1
Formes bilinéaires symétriques
Dénition 1.1 On appelle forme bilinéaire symétrique sur E une application f : E × E → IK telle que :
Linéarité par rapport à la première variable :
f (x + x0 , y) = f (x, y) + f (x0 , y)
f (λx, y) = λf (x, y)
Symétrie :
f (x, y) = f (y, x)
On notera S(E) l'ensembles des formes bilinéaires symétriques sur E .
Exemples
1. Un produit scalaire si IK
2.
2
E = IR
,
= IR
f (x, y) = x1 y1 − x2 y2
1
Proposition 1.2
Soit f ∈ S(E) et soit {e1 , · · · , en } une base de E . On a


n
n X
n
n
X
X
X
f
xi ei ,
yj ej  =
xi yj f (ei ; ej )
alors :
i=1
j=1
i=1 j=1
Démonstration
En utilisant la linéarité de la dénition, on développe le
premier membre.
Dénition 1.3
Soit E = {e1 , · · · , en } une base de E et soit f ∈ S(E). La
matrice de f relativement à e est la matrice Mf = (aij ) ∈ Mn (IK) telle que :
ai,j = f (ei , ej )
Remarque 1.4
f n'est
pas un endomorphisme.
Proposition 1.5
La matrice d'une forme bilinéaire symétrique est symétrique, c'est à dire égale à sa transposée.
Démonstration
f (ei , ej ) =
Soit
A
la matrice de la f.b.s.
ai,j . Ce qui donne bien t A
f.
Alors
aj,i = f (ej , ei ) =
= A. Proposition 1.6
Soit E = {e1 , · · · , en } une base de E . Soit M une matrice
symétrique. Il existe une unique forme bilinéaire symétrique f dont la matrice
dans E soit M .
Démonstration f
est de matrice
M
E : f (ei , ej ) = mij
dans
pour tous
i
et
j.
Soient
x=
X
xi ei
et
y =
P
j
yj ej ,
alors
f (x, y) =
P
i,j
xi yj f (ei , ej )
(pro-
i
longement par linéarité).

Proposition 1.7

x1
X
P
 
Soient x =
xi ei et y = j yj ej . On pose X =  ... 
i
xn


y1
 
et Y =  ... . Soit M la matrice de la f.b.s f . Alors :
yn
f (x, y) =t XM Y
Démonstration
n
X
Soit
M = (mi,j ).
On a
t
XM =
··· ,
n
X
i=1
xi mij
est à la
j ème
place.
i=1
2
!
xi mij , · · ·
où
On a nalement :
t
XM Y =
n
n
X
X
j=1
!
xi mij yj =
i=1
n
n
X
X
j=1
!
xi yj f (ei , ej)
= f (x, y)
i=1
Proposition 1.8
de E à
a:
E 0.
Soient E et E 0 deux bases de E et P la matrice de passage
Soient M et M 0 les matrices de f par rapport à E et E 0 . Alors, on
M 0 =t P M P
Démonstration Soient X
et
y
dans la base
E
et
Y
(resp.
donc :
M 0 =t P M P
0
etY ) les matrices colonnes de
X = P X0
et
Y = P Y 0.
x
On a
tX 0M 0Y 0
f (x, y) =
=
=
=
D'où
X0
0
(resp. E ) . On sait que
t XM Y
X 0t P M (P Y 0 )
tX 0 tP M P Y 0
f
car la matrice associée à
relativement à la base
E0
est
unique.
Exemple
Soit
f
la forme bilinéaire symétrique sur
E = IR2
dénie par :
f (x, y) = x21 − 2x1 x2 + 3x22
La matrice de
f
dans la base canonique est :
1 −1
−1
3
2
1
0
0
, e2 =
e1 =
1
3
A=
Soit
E0
la base formée des vecteurs
Alors
f (e01 , e01 ) = 22
f (e02 , e01 ) = 4
La matrice de
f
dans la base
E0
f (e01 , e02 ) = 4
f (e02 , e02 ) = 3
est :
0
22 4
4 3
1 2
3 1
A =
La matrice de passage est
P =
Alors :
t P AP
= A0 .
Remarque 1.9
Si f est une f.b.s. sur E on a :
f (x + y, x + y) = f (x, x) + f (x, y) + f (y, x) + f (y, y) = f (x, x) + 2f (x, y) +
f (y, y)
1
et donc : f (x, y) = (f (x + y) − f (x, x) − f (y, y))
2
3
2
Formes quadratiques
Dénition 2.1
On appelle forme quadratique sur E une application q : E →
IK telle que
1. ∀x ∈ E, ∀λ ∈ IK, q(λx) = λ2 q(x)
1
2. L'application fq : E × E → IK : (x, y) 7→ (q(x + y) − q(x) − q(y)) est
2
une forme bilinéaire.
Remarque 2.2
fq est nécessairement symétrique.
Proposition 2.3
Il existe une bijection entre l'ensemble des formes quadratiques et l'ensemble des formes bilinéaires symétriques sur E .
Démonstration
E . L'application q : E → IK dénie par q(x) = f (x, x)
est une forme quadratique et fq = f d'après la remarque 1.9
Si q est une forme quadratique alors fq est une f.b.s. telle que fq (x, x, ) =
q(x). Soit
f
une f.b.s. sur
Dénition 2.4
La f.b.s. fq est appelée la forme polaire de q . La matrice de
q dans la base E est celle de fq , elle est évidemment symétrique.
Dénition 2.5 (Expression analytique)
quadratique q . On a :
f (x, y) =
n
X
i=1
q(x) =
n
X
X
xi yi +
Soit (aij ) la matrice de la forme
aij (xi yj + xj yi )
1≤i<j≤n
X
aii x2i + 2
i=1
aij xi xj (∗)
1≤i<j≤n
C'est l'expression analytique de q .
L'expression analytique permet une dénition alternative d'une forme quadratique, bien sur équivalente à la première dénition.
Dénition 2.6
Soit E un IK-espace vectoriel de dimension n. Une forme
quadratique sur E est un polynôme homogène de degré 2 en les coordonnées
d'un point de E .
q(x) =
n
X
ai x2i + 2
i=1
X
bij xi xj
1≤i<j≤n
Les n premiers termes sont les "termes carrés" et les autres les "termes
rectangulaire".
La matrice associée a pour termes diagonaux les a1 · · · an , les autres termes
sont les bij . (Règle de "dédoublement des variables")
4
Exemples
1. Soit
q(x) = x21 + 3x22 − 2x1 x2 .
La matrice associée est :
1 −1
−1 2
La forme polaire associée est :
f (x, y) = x1 x2
2.
1 −1
−1 2
q(x) = x21 + 3x22 − 4x23 + 6x1 x2 + 8x1 x3
La matrice associée est :
3
y1
= x1 y1 + 3x2 y2 − x1 y2 − x2 y1
y2


1 3 4
3 3 0
4 0 4
Orthogonalité
Dénition 3.1
Deux vecteurs x et y de E sont orthogonaux si f (x, y) = 0.
Dénition 3.2
Si A ⊂ E , l'orthogonal de A est le sous-espace A⊥ = {x ∈
E ; ∀a ∈ A f (x, a) = 0}
Dénition 3.3
On appelle noyau de f et on note Ker(f ) l'ensemble des
vecteurs x ∈ E tels que ∀y ∈ E f (x, y) = 0
Dénition 3.4
Si Ker f 6= {0}, on dit que f est dégénérée.
Si Ker f = {0}, f est non dégénérée.
Exemples
1. Soit
f
la f.b.s. de matrice
1 1
1 1
. Quel est son noyau ? Est-elle dégé-
nérée ?
Ker f = Vect(1, −1).
La forme est dégénérée.
2. Mêmes questions pour la forme quadratique
La forme est de matrice
1 0
0 −1
q(x) = x21 − x2 .
. Son noyau est
{0}.
Elle est non-
dégénérée.
Dénition 3.5
Le rang de f est dim E − dim (Ker f )
Proposition 3.6
Le rang de f est le rang de la matrice associée.
5
Démonstration
A la matrice de f dans B .
linéaire dont la matrice dans B est A.
x ∈ Ker f ⇐⇒ ∀y ∈ E f (x, y) = 0
⇐⇒ ∀Y t XAY = 0
⇐⇒ t XA = 0
⇐⇒ t AX = 0
⇐⇒ AX = 0
⇐⇒ u(x) = 0
⇐⇒ x ∈ Ker u
rg f = n − dim Ker f = n − dim Ker u = rg A Soit
B
une base de
E.
Soit
Soit
u
l'application
Exemples On reprend les exemples précédents :
1. Soit
f
la f.b.s. de matrice
La matrice est de rang
1 1
1 1
.
1.
2. Mêmes questions pour la forme quadratique
q(x) = x21 − x2 .
Elle est de rang 2.
Dénition 3.7
Un vecteur x est dit isotrope si f (x, x) = 0.
On appelle cône isotrope l'ensemble des vecteurs isotropes.
Un sous-espace F de E est dit totalement isotrope ssi F ⊂ F ⊥ .
Remarque :
Le cône isotrope est un cône au sens géométrique. En eet,
∀λ ∈ IK, ∀x ∈ C(f ) = C(q), λx ∈ C(f ) = C(q)
Exemples
1.
1 1
1 1
q(λx) = λ2 q(x) = 0.
.
Le vecteur
2.
car
q(x) =
x21
(1, −1)
est isotrope
− x2 .
La forme est non-dégénérée mais possède des vecteurs isotropes :
(1, −1)
par exemple.
4
q(X) = x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 où x, y , et z
d'espace, t le temps et c la vitesse de la lumière.
3. Forme de Lorentz. Sur IR ,
sont les coordonnées
La forme de Lorentz est non-dégénérée mais elle a des vecteurs isotropes. Le cône isotrope est le "cône de lumière".
Exercice Soit f
le rang de
f,
la f.b.s. sur IR
2
dénie par
les vecteurs isotropes de
f (x, y) = x1 y1 − x2 y2 .
Quel est
f?
Dénition 3.8
Soit q , de forme polaire f une forme quadratique sur E . On
dit qu'une base E = {e1 , · · · , en } est une base orthogonale pour f si :
f (ei , ej ) = 0
6
si
i 6= j
Remarque 3.9
Si une forme quadratique n'a que des termes carrés dans son
expression analytique dans la base E , alors la matrice associée est diagonale
et la base E est orthogonale.
4
Décomposition de Gauss
Théorème 4.1
Pour toute forme quadratique q sur E , E de dimension nie, il existe une base orthogonale dénie par la décomposition de Gauss.
Démonstration
1. Si
q(x)
possède un terme carré :
q(x) = ax21 + 2x1 u(x2 , · · · xn ) + q1 (x2 , · · · , xn )
2
1
= a x1 + u(x2 , · · · , xn ) + q2 (x2 , · · · , xn )
a
= a(x01 )2 + q2 (x2 , · · · , xn )
où
u
est une forme linéaire et
de dimension
2. Si
q(x)
q2
une forme quadratique sur un espace
n − 1.
n'a que des termes rectangulaires, on utilise l'identité remar-
quable :
1
1
ab = (a + b)2 − (a − b)2
4
4
Alors
q(x) = ax1 x2 + x1 u(x3 , · · · , xn ) + x2 v(x3 , · · · , xn ) + q1 (x3 , · · · , xn )
1
=
(ax1 + u)(ax2 + v) + q2 (x3 , · · · , xn )
a
1 0 2
=
(x ) − df rac14a(x02 )2 + q3 (x3 , · · · , xn )
4a 1
où
u
et
v
sont des formes linéaires et
sur un espace de dimension
q2
et
q3
des formes quadratiques
n − 2.
Par itération, on nit par avoir
q(x) =
X
a0i (x0i )2
La matrice de passage de la base de départ vers la base orthogonale s'obtient
en résolvant le système en
x0i =
xj :
X
αij xj
avec
i = 1··· ,n
j
les colonnes de cette matrice donnent les vecteurs de la base orthogonale.
7
Exemple
q(x) =
=
=
=
avec
x21 + 3x22 − 4x23 + 6x1 x2 + 8x1 x3
(x1 + 3x2 + 4x3 )2 − 6x22 − 20x23 − 24x2 x3
(x1 + 3x2 + 4x3 )2 − 6(x2 + 2x3 )2 + 4x23
x01 2 − 6x02 2 + 4x03 2
x01 = x1 + 3x2 + 4x3 , x02 = x2 + 2x3 , x03 = x3
les coordonnées de
x
dans
la base orthogonale.
Relativement à cette base, la matrice de
q
est :


1 0 0
A0 = 0 −6 0
0 0 4
 0 
 
x1
1 3 4
x1
x02  = 0 1 2 x2 
x03
0 0 1
x3


1 3 4
Donc Q = 0 1 2 est la matrice
0 0 1
t
0
l'ancienne et on a : Mq = QMq Q
de passage de la base orthogonale à
En résolvant le système
 0
 x1 = x1 + 3x2 + 4x1
x0 = x2 + 2x3
 20
x3 = x3
x1 = x01 + 2x02 , x2 = x02 − 2x03 et x3 = x03 .
D'où :
  
 0 
x1
x1
1 −3 2
x2  = 0 1 −2 x02 
x03
x3
0 0
1


1 −3 2
P = 0 1 −2 = Q−1 est la matrice de passage de l'ancienne base à
0 0
1
on obtient :
la
base orthogonale.
Dénition 4.2
Si IK = IR, il existe une base orthogonale où la matrice de
q est diagonale. Soit s le nombre coecients strictement positifs et soit t le
nombre de coecients strictement négatifs.
Le couple (s, t) s'appelle la signature de q et r = s + t est le rang de q .
Théorème 4.3 (Loi d'inertie de Sylvester)
variant de q .
8
La signature (s, t) est un in-
Admis
Commentaire : La loi d'inertie signie qu'il y a plusieurs bases orthogonales
possibles (même une innité...), que les termes de la diagonale sont alors
diérents mais le nombre
nombre
n−s−t
Dénition 4.4
s
de termes
de termes
=0
> 0,
le nombre
t
de termes
<0
et le
sont toujours les mêmes.
On retrouve le produit scalaire et l'espace euclidien :
1. Si t = 0, on dit que la forme q est positive.
2. Si s + t = n, on dit que la forme est dénie.
3. Si s = n, on dit que la forme est dénie positive. Dans ce cas, la forme
polaire fq est un produit scalaire et l'espace muni de fq est euclidien.
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