2. Graphes - Chemin

Plus court chemin
dans un graphe
Algorithmique avancée
Hervé Blanchon
IUT 2 – Département Informatique
Université Pierre Mendès France
2
Algorithmes de plus court chemin
!!On considère un graphe valué
"!chaque arc est muni d’un poids
!!Un chemin a pour poids la somme des poids des arcs qui le constituent
!!Le problème des plus courts chemins consiste à déterminer le poids
minimal d’un chemin d’un sommet à un autre, en supposant les poids
positifs
"!avec des poids qui peuvent être négatifs c’est moins facile
!!Il existe plusieurs algorithmes
"!algorithme de Floyd (en |S|3)
3
Plus court chemin sur un graphe non valué
!!Soit G un graphe non valué
!!En utilisant un nœud s comme point de départ, on voudrait trouver le plus
court chemin depuis s jusqu’à tous les autres nœuds.
!!On est intéressé uniquement par le nombre d’arcs parcourus (soit la
longueur des chemins)
"!Si on était intéressé par les chemins, il faudrait mettre d’autres
informations à jour
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Plus court chemin sur un graphe non valué
!!Soit s le nœud v3.
1.!Le plus court chemin de s à v3 est de longueur 0
"!on peut marquer cette information [schéma de gauche]
2.!On peut maintenant chercher tous les nœuds distants de 1 de s en
cherchant les nœuds adjacents de s (via un arc)
!!Il s’agit de v1 et v6. [schéma de droite]

5
Plus court chemin sur un graphe non valué
3.!On peut maintenant trouver les nœuds à distance 2 de s en cherchant les
nœuds adjacents à v1 et v6 pour lesquels un plus court chemin n’est pas
déjà connu (afin d’éviter de rentrer dans un cycle)
!!Il s’agit de v2 et v4 [schéma de gauche]
4.!On peut finalement trouver les nœuds à distance 3 de s en cherchant les
nœuds adjacents à v2 et v4
!!il s’agit de v5 et v7 [schéma de droite]
5.!Tous les nœuds ont été examinés, c’est terminé.
6
Plus court chemin sur un graphe non valué
!!La stratégie mise en œuvre est une stratégie en largeur d’abord
"!breadth-first search (BFS) ! File d’attente
!!Les informations qu’il faut mémoriser pour chaque nœuds v sont les
suivantes :
"!la longueur du chemin depuis s vers v : dv (distance à s)
!!initialement aucun nœud n’est atteignable, sauf s dont la distance à s est
égale à 0
"!le nœud précédent v sur le chemin qui l’atteint depuis s : pv
"!un booléen qui permet de savoir si v a déjà été visité : known
!!Ces informations sont mémorisées
dans une table
"!état initial :
7
Plus court chemin sur un graphe non valué
!!Trace de l’algorithme
8
V1 V2
V4 V3
V6 V7
V5
origine
0
File: V3
Autre trace

9
Autre trace
V1 V2
V4 V3
V6 V7
V5
origine
1
1
File: V1 V6
10
Autre trace
V1 V2
V4 V3
V6 V7
V5
origine
1
1
2
2
File: V6 V2 V4
11
Autre trace
V1 V2
V4 V3
V6 V7
V5
origine
1
1
2
2
File: V2 V4
12
Autre trace
V1 V2
V4 V3
V6 V7
V5
origine
1
1
2
2
File: V4 V5
3

13
Autre trace
V1 V2
V4 V3
V6 V7
V5
origine
1
1
2
2
File: V5 V7
3
3
14
Autre trace
V1 V2
V4 V3
V6 V7
V5
origine
1
1
2
2
File: V7
3
3
15
Plus court chemin sans poids
V1 V2
V4 V3
V6 V7
V5
origine
1
1
2
2
File: vide
3
3
void unweighted( Vertex s )
{
Queue<Vertex> q = new Queue<Vertex>( );
for each Vertex v // aucun des nœuds n’est atteint
v.dist = INFINITY;
s.dist = 0; // distance à s, premier nœud, =0
q.enqueue( s ); // s est enfilé
while( !q.isEmpty( ) )
{
Vertex v = q.dequeue( ); // le nœud à traiter est défilé
for each Vertex w adjacent to v
if( w.dist == INFINITY ) // on ne met dans la file que les
{ // jamais atteints
w.dist = v.dist + 1; // distance mise à jour
w.path = v; // précédent mis à jour
q.enqueue( w ); // le nœud traité est enfilé
}
}
}

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Plus court chemin sur un graphe non valué
!!Algorithme utilisant une file pour les nœuds à explorer
"!l’information Known n’est pas nécessaire
!!on ne met dans la file que les nœuds jamais atteints
for each Vertex w adjacent to v
if( w.dist == INFINITY )
{
// distance mise à jour
// précédent mis à jour
// le nœud traité est enfilé
}
!!Coût de l’algorithme
"!O(|E|+|V|)
!!E=nombre d’arcs
!!V=nombre de nœuds
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Plus court chemin sur un graphe valué positif (vp)
!!Le problème est du même type que le précédent
!!Information à mémoriser pour un nœud
"!un sommet est connu ou non (known à False ou True)
"!le sommet précédemment visité (pv)
"!la distance parcourue jusqu’alors (dv)
!!cette distance est la plus courte de s à v en utilisant uniquement des
sommets connus
!!La méthode générale est l’algorithme de Dijkstra (1959)
"!Algorithme glouton
!!celle qui semble être la meilleure option est choisie à chaque étape
!!sachant que tous les plus courts chemins sont déjà connus
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Plus court chemin sur un graphe vp
!!Classe nœud pour l’algorithme de Dijkstra
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Plus court chemin sur un graphe vp : exemple
!!Graphe de départ
!!Configuration initiale des données
"!nœud de départ (s) : v1
"!longueur de chemin = 0