Examen de septembre du module LI213

Module LI213 – Types et Structures de donn´ees ann´ee 2004–2005
Examen de septembre du module LI213
Dur´ee : 2 heures
Seuls documents autoris´es :
le manuel de r´ef´erence d’OCaml et vos notes manuscrites de cours et de TD
Note importante : Si vous ne savez pas r´epondre `a une question, supposez d´efinie la fonction
demand´ee pour les questions suivantes.
Exercice 1 (6 points)
Q 1.1 (1 point) ´ Ecrivez une fonction mem : ’a -> ’a list -> bool telle que mem e liste renvoie
un bool´een indiquant si eappartient `a la liste.
Q 1.2 (1 point) ´ Ecrivez une fonction unique : ’a list -> ’a list telle que unique l supprime
les occurrences multiples de la liste let retourne la liste r´esultante. L’ordre des ´el´ements dans la liste
retourn´ee n’a aucune importance. Par exemple, unique [3 ; 4 ; 5 ; 4 ; 2 ; 3 ; 1] pourra retourner
[5 ; 4 ; 2 ; 3 ; 1].
Q 1.3 (1 point) ´ Ecrivez une fonction intersect : ’a list -> ’a list -> ’a list telle que
intersect l1 l2 renvoie la liste constitu´ee uniquement des ´el´ements appartenant `a la fois `a l1 et
l2. Ces ´el´ements ne doivent apparaˆıtre qu’une fois dans la liste retourn´ee. Par exemple, intersect
[1 ;3 ;2 ;3 ;4] [2 ;3 ;5 ;2] renverra la liste [2 ;3] ou [3 ;2]. L’ordre des ´el´ements dans la liste
retourn´ee n’a aucune importance.
Q 1.4 (1 point) ´ Ecrivez une fonction union : ’a list -> ’a list -> ’a list qui renvoie l’union
de deux listes, c’est-`a-dire les ´el´ements apparaissant dans au moins une des deux listes. Ceux-ci ne
doivent apparaˆıtre qu’une fois dans la liste retourn´ee et leur ordre dans cette liste n’a aucune impor-
tance.
Q 1.5 (2 point) ´ Ecrivez une fonction elts : ’a list list -> ’a list qui prend en argument
une liste de listes et qui renvoie la liste des ´el´ements qui composent ces listes. Ceux-ci ne doivent
apparaˆıtre qu’une fois dans la liste retourn´ee et leur ordre dans cette liste n’a aucune importance.
Par exemple, elts [[1 ;3 ;3 ;2] ; [2 ;4 ;5] ; [5]] pourra renvoyer [1 ; 3 ; 2 ; 4 ; 5].
Exercice 2 (6 points)
On repr´esente des polynˆomes par la liste de leurs coefficients (ordonn´es selon les puissances croissantes
dans le polynˆome). Attention : tout au long de l’exercice, les listes sont telles que leur dernier entier (le
coefficient de la plus grande puissance) est diff´erent de 0. Ainsi, la liste [3 ;0 ;5 ;0 ;4 ;6] repr´esente-
t-elle le polynˆome 3 + 5x2+ 4x4+ 6x5et la liste [] le polynˆome 0.
Q 2.1 (3 points) ´ Ecrivez une fonction add : int list -> int list -> int list telle que add
p1 p2 renvoie la liste correspondant au polynˆome p1 + p2. Rappelez-vous que les derniers ´el´ements
de la liste correspondant `a p1 + p2 doivent ˆetre diff´erents de 0. Ainsi add [1 ; 0 ; 3] [-1 ; 2 ; -3]
renverra la liste [0 ; 2].
Q 2.2 (1 point) ´ Ecrivez une fonction scalar : int -> int list -> int list telle que scalar n
prenvoie le produit du polynˆome ppar le scalaire n, autrement dit les coeffcients de psont multipli´es
par n. N’oubliez pas que les derniers entiers de la liste retourn´ee doivent ˆetre diff´erents de 0.

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Q 2.3 (2 points) ´ Ecrivez une fonction valeur : int list -> int -> int telle que valeur p x
renvoie la valeur du polynˆome pau point x, c’est-`a-dire p(x).
Exercice 3 (8 points)
Dans cet exercice, on utilise une structure d’arbre n-aire pour manipuler des intervalles. Chaque nœud
de l’arbre repr´esente un intervalle [x, y] o`u xet ysont des entiers. Les fils d’un nœud correspondent
`a des intervalles inclus dans celui-ci. De plus, l’arbre est construit de telle sorte que tous les fils d’un
nœud repr´esentent des intervalles disjoints deux `a deux. La figure 1 repr´esente un tel arbre.
[10,30]
b
e f
[16,30] [10,15]
[40,50]
c[60,61] d
[0,100]
a
Fig. 1 – L’arbre d’intervalles emboit´es.
Pour repr´esenter cet arbre en ocaml, on utilise les types nœud et arbre ci-dessous :
type noeud = { intervalle : int * int; children : noeud list }
and arbre = Nil | Elt of noeud;;
Ainsi l’arbre de la figure 1 sera-t-il repr´esent´e de la mani`ere suivante :
let arbre =
let noeud_c = {intervalle = (40,50); children = []}
and noeud_d = {intervalle = (60,61); children = []}
and noeud_e = {intervalle = (16,30); children = []}
and noeud_f = {intervalle = (10,15); children = []} in
let noeud_b = {intervalle = (10,30); children = [noeud_e; noeud_f]} in
let noeud_a = {intervalle = (0,100); children = [noeud_b; noeud_c; noeud_d]} in
Elt noeud_a;;
Q 3.1 (2 point) Soit la d´eclaration : type intersection = EMPTYSET | SUBSET | SUPSET |
INTERSECT ; ; ´ Ecrivez une fonction inter : ’a * ’a -> ’a * ’a -> intersection telle que inter
(x,y) (z,t) renvoie :
EMPTYSET si [x, y]∩[z, t] = ∅,
SUBSET si [x, y]⊆[z, t],
SUPSET si [x, y]⊃[z, t],
INTERSECT sinon.
Q 3.2 (2 points) ´ Ecrivez une fonction find list container : int * int -> noeud list ->
arbre prenant en argument un intervalle [x, y] ainsi qu’une liste de nœuds/intervalles disjoints. S’il
existe un nœud contenant l’intervalle [x, y] dans la liste, la fonction renvoie un arbre dont la racine est ce
nœud. Sinon s’il existe un nœud repr´esentant un intervalle [z, t] d’intersection non vide avec [x, y] et tel
qu’aucun des deux intervalles [x, y] et [z, t] n’est inclus dans l’autre, alors la fonction l`eve une exception
Intervalle error. Dans tous les autres cas, elle renvoie Nil. Ainsi find list container (45,46)
[noeud b ; noeud c ; noeud d] renverra Elt noeud c,find list container (30,46) [noeud b ;

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noeud c ; noeud d] l`evera l’exception Intervalle error et l’application find list container (55,
58) [noeud b ; noeud c ; noeud d] renverra Nil.
Q 3.3 (4 points) Dans cette question, on recherche le nœud de l’arbre en dessous duquel on
pourrait ins´erer un nouvel intervalle [x, y]. ´ Ecrivez une fonction find container : int * int ->
arbre -> arbre telle que find container (x,y) ab l`eve une exception s’il existe dans l’arbre un
nœud repr´esentant un intervalle [z, t] d’intersection non vide avec [x, y] et tel qu’aucun des deux
intervalles [x, y] et [z, t] n’est inclus dans l’autre. Dans le cas contraire, elle renvoie le sous-arbre dont
la racine est le nœud repr´esentant le plus petit intervalle de l’arbre contenant [x, y] si celui-ci existe, et
Nil sinon. Ainsi, find container (10,11) arbre renverra Elt noeud f,find container (10,28)
arbre l`evera l’exception Intervalle error (car l’insertion de [10,28] induirait que les fils de noeud b
ne seraient pas disjoints) et find container (110,200) arbre renverra Nil.