Examen de septembre du module LI213

Module LI213 – Types et Structures de données
année 2004–2005
Examen de septembre du module LI213
Durée : 2 heures
Seuls documents autorisés :
le manuel de référence d’OCaml et vos notes manuscrites de cours et de TD
Note importante : Si vous ne savez pas répondre à une question, supposez définie la fonction
demandée pour les questions suivantes.
Exercice 1 (6 points)
Q 1.1 (1 point) Écrivez une fonction mem : ’a -> ’a list -> bool telle que mem e liste renvoie
un booléen indiquant si e appartient à la liste.
Q 1.2 (1 point) Écrivez une fonction unique : ’a list -> ’a list telle que unique l supprime
les occurrences multiples de la liste l et retourne la liste résultante. L’ordre des éléments dans la liste
retournée n’a aucune importance. Par exemple, unique [3 ; 4 ; 5 ; 4 ; 2 ; 3 ; 1] pourra retourner
[5 ; 4 ; 2 ; 3 ; 1].
Q 1.3 (1 point) Écrivez une fonction intersect : ’a list -> ’a list -> ’a list telle que
intersect l1 l2 renvoie la liste constituée uniquement des éléments appartenant à la fois à l1 et
l2. Ces éléments ne doivent apparaı̂tre qu’une fois dans la liste retournée. Par exemple, intersect
[1 ;3 ;2 ;3 ;4] [2 ;3 ;5 ;2] renverra la liste [2 ;3] ou [3 ;2]. L’ordre des éléments dans la liste
retournée n’a aucune importance.
Q 1.4 (1 point) Écrivez une fonction union : ’a list -> ’a list -> ’a list qui renvoie l’union
de deux listes, c’est-à-dire les éléments apparaissant dans au moins une des deux listes. Ceux-ci ne
doivent apparaı̂tre qu’une fois dans la liste retournée et leur ordre dans cette liste n’a aucune importance.
Q 1.5 (2 point) Écrivez une fonction elts : ’a list list -> ’a list qui prend en argument
une liste de listes et qui renvoie la liste des éléments qui composent ces listes. Ceux-ci ne doivent
apparaı̂tre qu’une fois dans la liste retournée et leur ordre dans cette liste n’a aucune importance.
Par exemple, elts [[1 ;3 ;3 ;2] ; [2 ;4 ;5] ; [5]] pourra renvoyer [1 ; 3 ; 2 ; 4 ; 5].
Exercice 2 (6 points)
On représente des polynômes par la liste de leurs coefficients (ordonnés selon les puissances croissantes
dans le polynôme). Attention : tout au long de l’exercice, les listes sont telles que leur dernier entier (le
coefficient de la plus grande puissance) est différent de 0. Ainsi, la liste [3 ;0 ;5 ;0 ;4 ;6] représentet-elle le polynôme 3 + 5x2 + 4x4 + 6x5 et la liste [] le polynôme 0.
Q 2.1 (3 points) Écrivez une fonction add : int list -> int list -> int list telle que add
p1 p2 renvoie la liste correspondant au polynôme p1 + p2. Rappelez-vous que les derniers éléments
de la liste correspondant à p1 + p2 doivent être différents de 0. Ainsi add [1 ; 0 ; 3] [-1 ; 2 ; -3]
renverra la liste [0 ; 2].
Q 2.2 (1 point) Écrivez une fonction scalar : int -> int list -> int list telle que scalar n
p renvoie le produit du polynôme p par le scalaire n, autrement dit les coeffcients de p sont multipliés
par n. N’oubliez pas que les derniers entiers de la liste retournée doivent être différents de 0.
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Q 2.3 (2 points) Écrivez une fonction valeur : int list -> int -> int telle que valeur p x
renvoie la valeur du polynôme p au point x, c’est-à-dire p(x).
Exercice 3 (8 points)
Dans cet exercice, on utilise une structure d’arbre n-aire pour manipuler des intervalles. Chaque nœud
de l’arbre représente un intervalle [x, y] où x et y sont des entiers. Les fils d’un nœud correspondent
à des intervalles inclus dans celui-ci. De plus, l’arbre est construit de telle sorte que tous les fils d’un
nœud représentent des intervalles disjoints deux à deux. La figure 1 représente un tel arbre.
a
[0,100]
b
[10,30]
e
[16,30]
c
[40,50]
d
[60,61]
f
[10,15]
Fig. 1 – L’arbre d’intervalles emboités.
Pour représenter cet arbre en ocaml, on utilise les types nœud et arbre ci-dessous :
type noeud = { intervalle : int * int; children : noeud list }
and arbre = Nil | Elt of noeud;;
Ainsi l’arbre de la figure 1 sera-t-il représenté de la manière suivante :
let arbre =
let noeud_c =
and noeud_d =
and noeud_e =
and noeud_f =
let noeud_b =
let noeud_a =
Elt noeud_a;;
{intervalle
{intervalle
{intervalle
{intervalle
{intervalle
{intervalle
=
=
=
=
=
=
(40,50);
(60,61);
(16,30);
(10,15);
(10,30);
(0,100);
children
children
children
children
children
children
=
=
=
=
=
=
[]}
[]}
[]}
[]} in
[noeud_e; noeud_f]} in
[noeud_b; noeud_c; noeud_d]} in
Q 3.1 (2 point) Soit la déclaration : type intersection = EMPTYSET | SUBSET | SUPSET |
INTERSECT ; ; Écrivez une fonction inter : ’a * ’a -> ’a * ’a -> intersection telle que inter
(x,y) (z,t) renvoie :

EMPTYSET si [x, y] ∩ [z, t] = ∅,



SUBSET
si [x, y] ⊆ [z, t],
SUPSET
si [x, y] ⊃ [z, t],



INTERSECT sinon.
Q 3.2 (2 points) Écrivez une fonction find list container : int * int -> noeud list ->
arbre prenant en argument un intervalle [x, y] ainsi qu’une liste de nœuds/intervalles disjoints. S’il
existe un nœud contenant l’intervalle [x, y] dans la liste, la fonction renvoie un arbre dont la racine est ce
nœud. Sinon s’il existe un nœud représentant un intervalle [z, t] d’intersection non vide avec [x, y] et tel
qu’aucun des deux intervalles [x, y] et [z, t] n’est inclus dans l’autre, alors la fonction lève une exception
Intervalle error. Dans tous les autres cas, elle renvoie Nil. Ainsi find list container (45,46)
[noeud b ; noeud c ; noeud d] renverra Elt noeud c, find list container (30,46) [noeud b ;
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noeud c ; noeud d] lèvera l’exception Intervalle error et l’application find list container (55,
58) [noeud b ; noeud c ; noeud d] renverra Nil.
Q 3.3 (4 points) Dans cette question, on recherche le nœud de l’arbre en dessous duquel on
pourrait insérer un nouvel intervalle [x, y]. Écrivez une fonction find container : int * int ->
arbre -> arbre telle que find container (x,y) ab lève une exception s’il existe dans l’arbre un
nœud représentant un intervalle [z, t] d’intersection non vide avec [x, y] et tel qu’aucun des deux
intervalles [x, y] et [z, t] n’est inclus dans l’autre. Dans le cas contraire, elle renvoie le sous-arbre dont
la racine est le nœud représentant le plus petit intervalle de l’arbre contenant [x, y] si celui-ci existe, et
Nil sinon. Ainsi, find container (10,11) arbre renverra Elt noeud f, find container (10,28)
arbre lèvera l’exception Intervalle error (car l’insertion de [10, 28] induirait que les fils de noeud b
ne seraient pas disjoints) et find container (110,200) arbre renverra Nil.