Examen de septembre du module LI213

Module LI213 – Types et Structures de données
année 2004–2005
Examen de septembre du module LI213
Durée : 2 heures
Seuls documents autorisés :
le manuel de référence d’OCaml et vos notes manuscrites de cours et de TD
Note importante : Si vous ne savez pas répondre à une question, supposez définie la
fonction demandée pour les questions suivantes.
Exercice 1 (6 points)
Q 1.1 (1 point) Écrivez une fonction mem : ’a -> ’a list -> bool telle que mem
e liste renvoie un booléen indiquant si e appartient à la liste.
Q 1.2 (1 point) Écrivez une fonction unique : ’a list -> ’a list telle que
unique l supprime les occurrences multiples de la liste l et retourne la liste résultante.
L’ordre des éléments dans la liste retournée n’a aucune importance. Par exemple, unique
[3 ; 4 ; 5 ; 4 ; 2 ; 3 ; 1] pourra retourner [5 ; 4 ; 2 ; 3 ; 1].
Q 1.3 (1 point) Écrivez une fonction intersect : ’a list -> ’a list -> ’a list
telle que intersect l1 l2 renvoie la liste constituée uniquement des éléments appartenant à la fois à l1 et l2. Ces éléments ne doivent apparaı̂tre qu’une fois dans la liste re-
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tournée. Par exemple, intersect [1 ;3 ;2 ;3 ;4] [2 ;3 ;5 ;2] renverra la liste [2 ;3]
ou [3 ;2]. L’ordre des éléments dans la liste retournée n’a aucune importance.
Q 1.4 (1 point) Écrivez une fonction union : ’a list -> ’a list -> ’a list
qui renvoie l’union de deux listes, c’est-à-dire les éléments apparaissant dans au moins une
des deux listes. Ceux-ci ne doivent apparaı̂tre qu’une fois dans la liste retournée et leur
ordre dans cette liste n’a aucune importance.
Q 1.5 (2 point) Écrivez une fonction elts : ’a list list -> ’a list qui prend
en argument une liste de listes et qui renvoie la liste des éléments qui composent ces listes.
Ceux-ci ne doivent apparaı̂tre qu’une fois dans la liste retournée et leur ordre dans cette
liste n’a aucune importance.
Par exemple, elts [[1 ;3 ;3 ;2] ; [2 ;4 ;5] ; [5]] pourra renvoyer [1 ; 3 ; 2 ; 4 ;
5].
Exercice 2 (6 points)
On représente des polynômes par la liste de leurs coefficients (ordonnés selon les puissances
croissantes dans le polynôme). Attention : tout au long de l’exercice, les listes sont telles
que leur dernier entier (le coefficient de la plus grande puissance) est différent de 0. Ainsi,
la liste [3 ;0 ;5 ;0 ;4 ;6] représente-t-elle le polynôme 3 + 5x2 + 4x4 + 6x5 et la liste []
le polynôme 0.
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Q 2.1 (3 points) Écrivez une fonction add : int list -> int list -> int list
telle que add p1 p2 renvoie la liste correspondant au polynôme p1 + p2. Rappelez-vous
que les derniers éléments de la liste correspondant à p1 + p2 doivent être différents de 0.
Ainsi add [1 ; 0 ; 3] [-1 ; 2 ; -3] renverra la liste [0 ; 2].
Q 2.2 (1 point) Écrivez une fonction scalar : int -> int list -> int list
telle que scalar n p renvoie le produit du polynôme p par le scalaire n, autrement dit
les coeffcients de p sont multipliés par n. N’oubliez pas que les derniers entiers de la liste
retournée doivent être différents de 0.
Q 2.3 (2 points) Écrivez une fonction valeur : int list -> int -> int telle
que valeur p x renvoie la valeur du polynôme p au point x, c’est-à-dire p(x).
Exercice 3 (8 points)
Dans cet exercice, on utilise une structure d’arbre n-aire pour manipuler des intervalles.
Chaque nœud de l’arbre représente un intervalle [x, y] où x et y sont des entiers. Les fils
d’un nœud correspondent à des intervalles inclus dans celui-ci. De plus, l’arbre est construit
de telle sorte que tous les fils d’un nœud représentent des intervalles disjoints deux à deux.
La figure 1 représente un tel arbre.
Pour représenter cet arbre en ocaml, on utilise les types nœud et arbre ci-dessous :
type noeud = { intervalle : int * int; children : noeud list }
and arbre = Nil | Elt of noeud;;
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a
[0,100]
b
[10,30]
e
[16,30]
c
[40,50]
d
[60,61]
f
[10,15]
Fig. 1 – L’arbre d’intervalles emboités.
Ainsi l’arbre de la figure 1 sera-t-il représenté de la manière suivante :
let arbre =
let noeud_c = {intervalle = (40,50); children = []}
and noeud_d = {intervalle = (60,61); children = []}
and noeud_e = {intervalle = (16,30); children = []}
and noeud_f = {intervalle = (10,15); children = []} in
let noeud_b = {intervalle = (10,30); children =
[noeud_e; noeud_f]} in
let noeud_a = {intervalle = (0,100); children =
[noeud_b; noeud_c; noeud_d]} in
Elt noeud_a;;
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Q 3.1 (2 point) Soit la déclaration : type intersection = EMPTYSET | SUBSET
| SUPSET | INTERSECT ; ; Écrivez une fonction :
inter : ’a * ’a -> ’a * ’a -> intersection telle que inter (x,y) (z,t) renvoie :


 EMPTYSET si [x, y] ∩ [z, t] = ∅,
SUBSET
si [x, y] ⊆ [z, t],
si [x, y] ⊃ [z, t],

 SUPSET
INTERSECT sinon.
Q 3.2 (2 points) Écrivez une fonction find list container : int * int ->
noeud list -> arbre prenant en argument un intervalle [x, y] ainsi qu’une liste de
nœuds/intervalles disjoints. S’il existe un nœud contenant l’intervalle [x, y] dans la liste, la
fonction renvoie un arbre dont la racine est ce nœud. Sinon s’il existe un nœud représentant
un intervalle [z, t] d’intersection non vide avec [x, y] et tel qu’aucun des deux intervalles
[x, y] et [z, t] n’est inclus dans l’autre, alors la fonction lève une exception Intervalle error.
Dans tous les autres cas, elle renvoie Nil. Ainsi :
find list container (45,46) [noeud b ; noeud c ; noeud d] renverra Elt noeud c,
find list container (30,46) [noeud b ; noeud c ; noeud d] lèvera l’exception :
Intervalle error et l’application :
find list container (55, 58) [noeud b ; noeud c ; noeud d] renverra Nil.
Q 3.3 (4 points) Dans cette question, on recherche le nœud de l’arbre en dessous duquel
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on pourrait insérer un nouvel intervalle [x, y]. Écrivez une fonction find container :
int * int -> arbre -> arbre telle que find container (x,y) ab lève une exception s’il existe dans l’arbre un nœud représentant un intervalle [z, t] d’intersection non vide
avec [x, y] et tel qu’aucun des deux intervalles [x, y] et [z, t] n’est inclus dans l’autre. Dans le
cas contraire, elle renvoie le sous-arbre dont la racine est le nœud représentant le plus petit
intervalle de l’arbre contenant [x, y] si celui-ci existe, et Nil sinon. Ainsi, find container
(10,11) arbre renverra Elt noeud f, find container (10,28) arbre lèvera l’exception Intervalle error (car l’insertion de [10, 28] induirait que les fils de noeud b ne
seraient pas disjoints) et find container (110,200) arbre renverra Nil.