EM TD5 TSI2015-2016

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Problème de Laplace
Exercice 1 : Problème de Laplace avec Python
On souhaite écrire un programme permettant de
déterminer la fonction potentiel électrostatique dans
un condensateur plan alimenté en . La solution de
ce problème doit vérifier les équations de
l’électrostatique entre les deux conducteurs séparés
par un milieu assimilé par du vide et les conditions aux
limites imposées au potentiel par l’expérimentateur.
Nous prendrons les conditions aux limites
suivantes concernant le potentiel qui sera noté  et
exprimé en Volt (le problème est à deux dimensions) :
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10
-
10
10
-
10
10
-
10
10
-
10
10
-
10
10
-
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Ainsi, le potentiel  est défini en chaque point
caractérisé par un couple de variables  par 
avec  et . On peut proposer un
programme sous PYTHON utilisant la méthode d’Euler
afin de déterminer les potentiels (pour  et
) vérifiant l’équation de Laplace et les
conditions aux limites fixées.
1) Ecrire alors la définition à donner à 
avec la méthode d’Euler.
2) Le programme complet est donné ci-dessous.
Interpréter les différentes lignes de codes.
La physique impose donc, dans un milieu vide de charge
et en régime stationnaire,
Soit :
Donc, pour ce problème à deux dimensions :
Avec la méthode d’Euler :

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Si on cherche à tracer les équipotentielles et quelques
lignes de champ alors on obtient :

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Induction de Lorentz
Exercice 2 : Couplage parfait
On considère une barre conductrice de masse  posée
sur deux rails parallèles distants de  et astreint à se
translater horizontalement suivant  et sans
frottement mécanique; le tout est plongé dans un champ
magnétique  uniforme et indépendant du temps ;
le circuit est initialement équivalent à une résistance 
considérée comme constante, à  on lance la barre
avec une vitesse  . A un instant  la vitesse de la barre
est de norme .
1) Exprimer la tension induite apparaissant dans
le circuit.
2) Ecrire l’équation électrique du circuit à l’aide
de la loi des mailles.
3) Ecrire l’équation mécanique vérifiée par le
centre de masse de la barre conductrice en
utilisant la relation fondamentale de la
dynamique.
4) Montrer que (t) vérifie une équation
différentielle d’ordre 1.
5) Exprimer la puissance  de la force de
Laplace et la puissance  associée à la tension
induite. Comment sont reliées ces deux
quantités ? Interpréter.
Rq : On ne tient compte ici que du champ magnétique
extérieur ce qui revient à négliger le champ propre (et
donc à négliger l’inductance propre du circuit)
On peut calculer le flux du champ magnétique extérieur
à travers la surface reposant sur le contour orienté
précédemment.
On trouve alors : 
On retrouve encore une loi de modération des
phénomènes induits. En effet, le courant induit
apparaissant est responsable d’une force de Laplace qui
va ralentir le mouvement de la barre :
L’équation mécanique est obtenue par le PFD suivant
: 
La loi des mailles nous donne l’équation électrique :
Les équations électrique et mécanique donnent
alors :
 avec  donc 
• Bilans énergétiques
On peut calculer la puissance de la force de Laplace :
On peut calculer la puissance électrique mise en jeu par
le fem induite :
On a alors   soit
Ce bilan traduit ici que l’énergie cinétique cédée par la
barre est dissipée par effet joule dans la résistance.
La relation 
Exercice 3 : Induction de Lorentz et freinage par
induction
Le circuit ci-dessous est plongé dans un champ
magnétique  uniforme et stationnaire. MN est le
tronçon mobile, de longueur , participant à la
conduction en fermant constamment le circuit. La tige
mobile est de masse  et initialement immobile.
1) Décrire qualitativement le mouvement de
chute.
2)
a) Ecrire l’équation différentielle mécanique de
la tige liant sa vitesse  au courant 
traversant le circuit.
b) Ecrire l’équation électrique liant la vitesse 
, le courant  et la résistance équivalente 
du circuit.

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c) En déduire une équation différentielle
d’ordre 1 vérifiée par .
3) En déduire la loi horaire définissant  en
fonction de  et 
4)
a) Exprimer la puissance électrique  associée
à la tension induite.
b) Exprimer la puissance mécanique  associée
à la force de Laplace.
c) Montrer que 
d) En déduire un bilan énergétique complet du
dispositif.
On calcule la fem avec la loi de Faraday. L’orientation du
contour se fait dans le sens anti-horaire afin de
calculer un flux positif : et le courant est alors
donné par : .
Le PFD donne alors :  soit :
avec donc  .
 et   soit
Exercice 4 : Induction de Lorentz et Rail de Laplace en
fonctionnement moteur
On considère un rail  mobile, de masse , de
longueur  fermant une circuit électrique alimenté par
un générateur de tension continue . La résistance
équivalente du circuit sera notée   repose sur le
circuit horizontal, n’est soumis à aucun frottement et
reste dans le plan horizontal. Le champ magnétique
appliqué est uniforme et stationnaire
Vue du dessus
1) Expliquer qualitativement la mise en
mouvement de la tige  (initialement
immobile).
2)
a) Ecrire l’équation différentielle mécanique
de la tige liant sa vitesse  au courant 
traversant le circuit.
b) Ecrire l’équation électrique liant la
vitesse  , le courant  et la
résistance équivalente  du circuit.
c) En déduire une équation différentielle
d’ordre 1 vérifiée par .
3) En déduire la loi horaire définissant  en
fonction de  ,  et 
4) Faire un bilan énergétique. Comment est
utilisée puissance électrique délivrée par le
générateur de tension ?
Le générateur va imposer un courant. Le rail, baignant
dans  , va subir alors une force de Laplace ce qui
explique sa mise en mouvement.
Le PFD donne alors :  et l’équation électrique
est  soit : avec donc
.
Avec l’équation électrique et l’équation mécanique, on
trouve ce bilan d’énergie :
 et   soit 

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Induction de Neumann
Exercice 5 : Induction de Neumann et chauffage par
induction
A l’aide d’un modèle simple, nous allons expliquer le
principe du chauffage inductif. La casserole métallique
sera assimilée à une spire fermée de résistance R (on
néglige son inductance propre). On note  le vecteur
unitaire normal à la spire et dont le sens est donné ci-
dessous. La plaque « à induction » génère un champ
magnétique  uniforme et tournant à la vitesse
angulaire  constante 
1) Donner l’expression du flux à travers la surface S
de la spire
2) En déduire l’expression de la tension induite 
3) Donner l’expression du courant induit 
4) En déduire la puissance  dissipée par effet Joule.
Cette puissance ne peut être générée
spontanément, d’où vient-elle ?
5) Donner l’expression de la puissance moyenne
dissipée par effet Joule. Pourquoi utilise-t-on des
fréquences d’alimentation seulement de l’ordre de
20kHz ?
On a   dont l’origine provient du
champ magnétique tournant (qu’il faut produire) en
moyenne . Il convient alors d’utiliser des
fréquences élevées, cependant l’auto-induction devient
alors non négligeable et les courant limités en surface
(‘ce qui ne favorise pas le chauffage)
Exercice 6 : Inductance propre
Un tronçon de solénoïde, de longueur , de section ,
comporte  spires. On néglige les effets de bord
(solénoïde supposé infini)
1) Déterminer son inductance propre  par deux
méthodes.
2) Estimer  pour une bobine de TP à peu près
cubique de côté 10 cm et comportant 300
spires
3) Quel est le lien entre l’inductance définie
dans le cours portant sur l’induction et celle
vue en électrocinétique ?
4) Exprimer la puissance électrique puis l’énergie
emmagasinée par le bobinage lors de
l’établissement d’un courant d’intensité .
5) Montrer alors qu’il est possible d’identifier
une densité volumique d’énergie magnétique
à partir des résultats précédents.
D’où un flux propre totale :  µ
On peut alors exprimer l’inductance de la bobine :
µ
Dans le cas d’une bobine initialement parcourue par
aucun courant, la quantité  donne l’énergie
emmagasinée par la bobine à un instant t.
Si on reprend le cas d’une bobine de grande dimension 
et de rayon a, on a montré que :  µ
L’énergie magnétique accumulée pendant tout le régime
transitoire (passage d’un courant nul à un courant 
constant) est : 
µ
µ
On peut alors définir une densité volumique d’énergie
magnétique :
µ
On voit donc que de l’énergie magnétique existe là où il
existe un champ magnétique non nul