EM TD5 TSI2015-2016

EM
TD5
TSI2015-2016
La physique impose donc, dans un milieu vide de charge
Problème de Laplace
et en régime stationnaire,
= 0
Exercice 1 : Problème de Laplace avec Python
= −
On souhaite écrire un programme permettant de
déterminer la fonction potentiel électrostatique dans
un condensateur plan alimenté en ±10. La solution de
ce
problème
doit
vérifier
les
équations
Soit :
de
∆ = 0
l’électrostatique entre les deux conducteurs séparés
par un milieu assimilé par du vide et les conditions aux
Donc, pour ce problème à deux dimensions :
limites imposées au potentiel par l’expérimentateur.
Nous
prendrons
les
conditions
aux
suivantes concernant le potentiel qui sera noté et
exprimé en Volt (le problème est à deux dimensions) :
0
0
10
10
10
10
10
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-10
-10
-10
-10
-10
-10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
caractérisé par un couple de variables (; ) par avec 0 ≤ ≤ 10 et 0 ≤ ≤ 10. On peut proposer un
programme sous PYTHON utilisant la méthode d’Euler
afin de déterminer les potentiels (pour 1 ≤ ≤ 9 et
1 ≤ ≤ 9)
vérifiant
l’équation
de
Laplace
et
Avec la méthode d’Euler :
− − 1
≡
1
≡ (
+ 1
− ) − (
− − 1
)
Ainsi, le potentiel est défini en chaque point
0
+
=0
limites
les
conditions aux limites fixées.
1)
Ecrire alors la définition à donner à 2)
Le programme complet est donné ci-dessous.
avec la méthode d’Euler.
Interpréter les différentes lignes de codes.
≡ (
+ 1 − ) − (
− − 1)
=
+
=0
+ 1
+ − 1
+ + 1 + − 1
4
EM
Si on cherche à tracer les équipotentielles et quelques
lignes de champ alors on obtient :
TD5
TSI2015-2016
EM
TD5
Induction de Lorentz
TSI2015-2016
La loi des mailles nous donne l’équation électrique :
2 = &
Exercice 2 : Couplage parfait
On considère une barre conductrice de masse ! posée
sur deux rails parallèles distants de et astreint à se
"
# = &(2)
Les
équations
6B
sans
alors :
frottement mécanique; le tout est plongé dans un champ
= #$
magnétique #
% uniforme et indépendant du temps ;
•
translater
horizontalement
suivant
et
68
électrique
+ = 0 avec E =
B
D
FG
5H I H
et
mécanique
donnent
donc (') = ( exp ( )
M8
D
Bilans énergétiques
le circuit est initialement équivalent à une résistance &
On peut calculer la puissance de la force de Laplace :
est de norme .
: = −# = !
)*IN*IO+ = 9
considérée comme constante, à ' = 0 on lance la barre
avec une vitesse ( . A un instant ' la vitesse de la barre
?
6B
68
=
PQH
6 H
68
=
6RS
68
On peut calculer la puissance électrique mise en jeu par
le fem induite :
)T+F = # = & = )UVW*+
On a alors )*IN*IO+ + )T+F = 0 soit
6RS
68
= −)UVW*+
1)
Exprimer la tension induite apparaissant dans
le circuit.
Ce bilan traduit ici que l’énergie cinétique cédée par la
2)
Ecrire l’équation électrique du circuit à l’aide
barre est dissipée par effet joule dans la résistance.
de la loi des mailles.
La relation )*IN*IO+ + )T+F = 0
3)
Ecrire l’équation mécanique vérifiée par le
centre de masse de la barre conductrice en
utilisant
la
relation
dynamique.
4)
Montrer
que
(t)
fondamentale
vérifie
différentielle d’ordre 1.
5)
Exprimer la puissance
une
de
la
équation
)* de la force de
Laplace et la puissance )+ associée à la tension
induite. Comment sont
reliées ces deux
quantités ? Interpréter.
Exercice 3 : Induction de Lorentz et freinage par
induction
Le circuit ci-dessous est plongé dans un champ
uniforme et stationnaire. MN est le
magnétique #
tronçon
mobile,
de
longueur
<,
participant
à
la
conduction en fermant constamment le circuit. La tige
mobile est de masse ! et initialement immobile.
Rq : On ne tient compte ici que du champ magnétique
extérieur ce qui revient à négliger le champ propre (et
donc à négliger l’inductance propre du circuit)
On peut calculer le flux du champ magnétique extérieur
à travers la surface reposant sur le contour orienté
.−/(')0 précédemment.,(') = -1 #
23 = −#(')
On trouve alors : 245 (') = −
67(8)
68
#
On retrouve encore une loi de
phénomènes
induits.
En effet,
modération des
le
courant
apparaissant est responsable d’une force de Laplace qui
va ralentir le mouvement de la barre :
5
0
#
= ; > 0 @ ∧ > 0 @ = ; ?# = −#2A
9: = ; < ∧ #
4
4
4
?
0
5
6B
68
= −#(1)
Décrire qualitativement le mouvement de
chute.
2)
a)
Ecrire l’équation différentielle mécanique de
b)
Ecrire l’équation électrique liant la vitesse (')
5
L’équation mécanique est obtenue par le PFD suivant
" : !
1)
induit
la tige liant sa vitesse au courant traversant le circuit.
, le courant (') et la résistance équivalente &
du circuit.
EM
TD5
c)
3)
4)
a)
En
déduire
une
équation
TSI2015-2016
c)
différentielle
d’ordre 1 vérifiée par (').
En déduire la loi horaire définissant (') en
fonction de E =
FG
5H * H
3)
et 4)
Exprimer la puissance électrique )+ associée
Exprimer la puissance mécanique )* associée
à la force de Laplace.
c)
d)
Montrer que )* + )+ = 0
En déduire un bilan énergétique complet du
d’ordre 1 vérifiée par (').
En déduire la loi horaire définissant (') en
fonction de E =
FG
5H * H
, , #( et <
Faire un bilan énergétique. Comment est
utilisée puissance électrique délivrée par le
à la tension induite.
b)
En déduire une équation différentielle
générateur de tension ?
Le générateur va imposer un courant. Le rail, baignant
, va subir alors une force de Laplace ce qui
dans #
explique sa mise en mouvement.
dispositif.
On calcule la fem avec la loi de Faraday. L’orientation du
contour se fait dans le sens anti-horaire afin de
calculer un flux positif :2 = −#< et le courant est alors
donné par : = −
B5*
G
.
Le PFD donne alors :!
avec
* H 5H
FG
6B
68
=−
B* H 5H
G
+ ! soit :
= donc (') = E(1 − exp Y− Z).
X
D
)+ = −#< et )* = #< soit
6RS
68
8
6B
D
68
+ =
B
D
On considère un rail [[′ mobile, de masse !, de
longueur < fermant une circuit électrique alimenté par
un générateur de tension continue . La résistance
équivalente du circuit sera notée &. [[′ repose sur le
circuit horizontal, n’est soumis à aucun frottement et
reste dans le plan horizontal. Le champ magnétique
appliqué est uniforme et stationnaire
Vue du dessus
mouvement
qualitativement
de
la
tige
immobile).
la
[[′
mise
en
(initialement
2)
a)
Ecrire l’équation différentielle mécanique
de la tige liant sa vitesse au courant traversant le circuit.
b)
Ecrire
l’équation
(') = −
R
5*
68
6B
68
8
= −<# et l’équation électrique
+ =−
(1 − exp Y− Z).
D
B
D
R
5*
avec
* H 5H
FG
= donc
X
D
trouve ce bilan d’énergie :
fonctionnement moteur
Expliquer
est = & − <# soit :
6B
Avec l’équation électrique et l’équation mécanique, on
= ! − & Exercice 4 : Induction de Lorentz et Rail de Laplace en
1)
Le PFD donne alors :!
électrique
liant
la
vitesse (') , le courant (') et la
résistance équivalente & du circuit.
6RS
68
= −<# et = & − <# soit = & +
)T+F = −<_ = & + $O 6RS
68
EM
TD5
Induction de Neumann
Exercice 5 : Induction de Neumann et chauffage par
induction
TSI2015-2016
4)
5)
Exprimer la puissance électrique puis l’énergie
iF emmagasinée par le bobinage lors de
l’établissement d’un courant d’intensité j.
Montrer alors qu’il est possible d’identifier
une densité volumique d’énergie magnétique
A l’aide d’un modèle simple, nous allons expliquer le
principe du chauffage inductif. La casserole métallique
sera assimilée à une spire fermée de résistance R (on
néglige son inductance propre). On note ` le vecteur
unitaire normal à la spire et dont le sens est donné cidessous. La plaque « à induction » génère un champ
uniforme et tournant à la vitesse
magnétique #
angulaire a( constante b(') = a( '
$F à partir des résultats précédents.
D’où un flux propre totale : ,8V8 = `ℎ,k = µ( ` ℎl
On peut alors exprimer l’inductance de la bobine :
h = µ( ` ℎl
8
iF = ; h
8m(
n(8)
(')
h (')
(')' = ;
h(')(') = o
p
'
2 n(()
n(8m()
n(8)
Dans le cas d’une bobine initialement parcourue par
aucun courant, la quantité iF =
:n H (8)
donne l’énergie
emmagasinée par la bobine à un instant t.
Si on reprend le cas d’une bobine de grande dimension ℎ
et de rayon a, on a montré que : h = µ( ` ℎl
1)
Donner l’expression du flux à travers la surface S
de la spire
2)
3)
4)
transitoire (passage d’un courant nul à un courant j
constant) est : iF =
En déduire l’expression de la tension induite 2
Donner l’expression du courant induit En déduire la puissance ) dissipée par effet Joule.
:qH
=
µd rH stIH qH
=
H
5uvw
µd
ℎl
On peut alors définir une densité volumique d’énergie
H
5uvw
spontanément, d’où vient-elle ?
magnétique :$F =
Donner l’expression de la puissance moyenne
On voit donc que de l’énergie magnétique existe là où il
dissipée par effet Joule. Pourquoi utilise-t-on des
existe un champ magnétique non nul
Cette
5)
L’énergie magnétique accumulée pendant tout le régime
puissance
ne
peut
être
générée
fréquences d’alimentation seulement de l’ordre de
20kHz ?
On a )(') =
cdH (51)H
G
e` (a( ') dont l’origine provient du
champ magnétique tournant (qu’il faut produire) en
moyenne
cdH (51)H
G
.
Il
convient
alors
d’utiliser
des
fréquences élevées, cependant l’auto-induction devient
alors non négligeable et les courant limités en surface
(‘ce qui ne favorise pas le chauffage)
Exercice 6 : Inductance propre
Un tronçon de solénoïde, de longueur ℎ, de section /,
comporte g spires. On néglige les effets de bord
(solénoïde supposé infini)
1)
Déterminer son inductance propre h par deux
méthodes.
2)
Estimer h pour une bobine de TP à peu près
cubique de côté 10 cm et comportant 300
spires
3)
Quel est le lien entre l’inductance définie
dans le cours portant sur l’induction et celle
vue en électrocinétique ?
µd
EM
TD5
Induction mutuelle et auto-induction
TSI2015-2016
Il s’agit d’un comportement de type filtre passe haut et
donc :
Exercice 7 : La pince ampérométrique
-
On considère un tore de section carré de côté a. On
enroule sur ce tore, N spires jointives, elles se
caractérisent en régime stationnaire par une résistance
électrique totale R. Soit xy (z) le courant traversant ces
spires. On place sur l’axe générateur du tore un fil
infini traversé par le courant x(z).
Donner l’expression du flux du champ ,TM8
1)
magnétique créé par le fil à travers le tore. En
déduire l’expression du coefficient d’inductance
mutuelle { en fonction des constantes du
problème.
2)
Donner l’expression du flux propre ,8 du tore. En
déduire l’expression du coefficient d’inductance
propre h du tore en fonction des constantes du
problème.
3)
Proposer une équation différentielle reliant les
courants i(t) et i’(t).
4)
Mettre l’expression de la fonction de transfert
sous
la
forme = |
ny
n
expressions de | et a(
~
}~
d
~
X} ~
d
.
On
donnera
ny
n
les
5)
Quel est le comportement en fréquence de la
6)
Soit j( l’amplitude maximale du courant supposé
pince ?
sinusoïdal passant dans le fil. Donner l’expression
du courant maximal j( ′ passant dans le tore.
= €dny Calcul du flux propre :#
2ƒ et ,N = h′ =
€ d H
t
ln Y
†I
†
Z ′ soit h =
€ d H
t
t‚
†I
ln Y
†
Z
On a également ,Tn*→8V‚+ =
Soit :2 = −
67
68
=−
:6ny
68
−
ˆ
6n
‰
2 = &′ soit &′ + h
Donc en régime sinusoïdale :
j( ′ =
~Šd
q
~d d
~H
ŽX H
~
d
nŠ
n
68
6ny
68
=−
µd n
t
=
ˆ
‰
} c
ln Y
†I
†
Z=
:n

: 6n
 68
G}:c
=
ˆ
X } ‹c
 XŒˆc
‹
soit
-
Aucun courant en continu
Aucun courant en basses fréquences : a < a(
-
Courant N fois plus faible en hautes
-
Pour un échelon, on ne retrouve que les
fréquences a > a( et en opposition de phase
variations brusques (et avec changement de
signe)
EM
TD5
Applications
TSI2015-2016
5)
Rappeler le bilan de puissance intervenant dans le
cas d’induction de Lorentz traduisant le couplage
électromécanique
Exercice 8 : Moteur CC
Le moteur étudié est un petit moteur à courant continu.
6)
aimants en forme de coque
en
déduire
Représenter
le
schéma
électrique
équivalent du rotor alimenté sous la tension $. En
cylindrique collés à
déduire l’équation différentielle électrique (2)
l’intérieur du carter cylindrique du moteur. Le rotor
ferromagnétique comporte trois bobinages identiques
en cuivre répartis à 120° autour de l’axe de rotation et
et
Soient & et h la résistance et l’inductance du
rotor.
Le champ magnétique du stator est produit par deux
parfait
l’expression de la force électromotrice totale 2.
7)
reliant $, et a
Donner alors l’équation différentielle régissant
connectés à un collecteur à trois lames de cuivre. Le
l’évolution de la vitesse angulaire. Préciser l’ordre
courant électrique est amené aux bobinages par
du système. Donner l’expression de la pulsation
l’intermédiaire de deux balais conducteurs frottant sur
propre et du coefficient d’amortissement en
le collecteur. On va assimiler le rotor à un ensemble de
g conducteurs répartis sur un cylindre de rayon _ et de
longueur ℎ. Lorsqu’un conducteur traverse la ligne
neutre, le courant qui le parcourt s’inverse par
fonction de |, h, & et “.
On a gI = g et on a donc une force de Laplace qui
”
s’exerce sur chaque conducteur sous la forme :
s
changement de balai.
9 = ; < ∧ #
(
Au niveau du pôle Nord on a donc un champ −#‚ (‘)2‚ et
au niveau du pôle sud #‚ (‘)2
‚
Le changement d’orientation du courant entraîne alors
une force ortho radiale donnée par :
1)
conducteurs actifs (c’est-à-dire traversés par un
courant) dans ce moteur ?
2)
Soit #‚ (‘) la composante radiale constante du
champ magnétique, négative sous le pôle nord et
positive sous le pôle sud. Quelle est l’expression
vectorielle de la force 9 qu’exerce le champ
bouchon d’où :a
= a2
%
On obtient :
Γ+F = gI _2‚ ∧ ℎ#‚ 2’ = gI _ℎ#‚ 2% d’où | = gI _ℎ#‚
orientation selon la position du conducteur par
Avec le bilan énergétique :
le repère cylindrique (2
;
2’ ).
2%
‚ ;
Déterminer le moment Γ+F total qui s’exerce en
moyenne sur les conducteurs et montrez que sa
projection suivant 2% est donnée par Γ+F = |. On
donnera l’expression de |en fonction de _, ℎ, gI
4)
Le vecteur rotation est donné par la règle du tire
magnétique sur un conducteur ? Préciser son
rapport à la ligne neutre (faire un schéma) dans
3)
9 = ℎ#‚ 2’
Quelle relation y a-t-il entre g et gI , nombre de
et #‚
On note “ le moment d’inertie suivant l’axe "?.
Appliquer le théorème du moment cinétique afin
d’obtenir une équation (1) liant a(') avec le
courant d’intensité (').
2 = −|a
EM
Avec :
TD5
U 6c
• 68
= (') alors :
$=&
Et donc a( = –
“ a h“ a
+
+ |a
| ' | ' a & a | $
+
+
a= |
' h ' “h
“h
•H
U:
et donc 2{a( = soit { =
G
:
G
:
–•H = –:•H
U:
G
U
TSI2015-2016
EM
TD5
TSI2015-2016
() = µd }¡t‚ Soit :#
2’ =
Bilans énergétiques
Exercice 9 : Bilan énergétique de la charge d’un
t‚
4)
l
et
)
électromagnétique
On considère dans cet exercice la charge d’un
condensateur initialement déchargé sous une tension i(
constante délivrée par un générateur. Le condensateur
de
la
échangée
puissance
par
le
charge.
est constitué de deux plans circulaires de rayon ,
Exprimer alors l’énergie électromagnétique
effet de bord de telle sorte que le champ électrique et
=
magnétique seront donnés par = (')$
% et #
On a donc en posant / = l
accumulée au cours de la charge à l’aide des
distants de 2 et séparés par du vide. On négligera tout
réponses précédentes.
#(, ')$
ƒ dans le condensateur (en repérage cylindrique)
& =
et le champ électrique sera considéré comme nul à
par les armatures.
2’
composant avec l’extérieur au cours de sa
5)
l’extérieur. On note —(') et – —(') les charges portées
µd ‚ 6™
tIH 68
En déduire alors l’expression du vecteur de
Poynting
condensateur
H
∧ #
µ(
=−
—(') —(')
— (')
2‚ = −
2‚
2( / '
4( / '
On peut donc calculer le flux de ce vecteur de Poynting
pour = à travers la surface fermée :
t
¢ &/ = − ;
+/
;
’m( M+/
— (')
‘?
4( / '
2l2 — (')
4( / '
2 — (')
=−
2( / '
1 — (')
¢ & / = −
2¤ '
i(
=−
Donc l’énergie électromagnétique accumulée depuis le
1)
A l’aide du théorème de Gauss, déterminer
début de la charge est donnée par :
l’expression du champ présent entre les
∆i+F = ;
8→∞
armatures du condensateur.
On a rapidement : =
2)
8m(
2
šd tIH %
™(8)
§ ¤i( =
2¤
2
Il y a dans cet exercice certaines incohérences : un
champ électrique variable uniforme génère un champ
Avec l’équation de Maxwell-Ampère écrite
magnétique variable non uniforme qui à son tour génère
dans le condensateur, montrer qu’il existe
un champ électromoteur non uniforme. Nous avons donc
effectivement
négligé l’auto-induction. Cette approximation est tout à
un
champ
magnétique
orthoradial ?
fait valable en ARQS :
On a donc champ électrique variable qui va être à
l’origine d’un courant de déplacement :›
œ = (
6R
68
. C’est
donc Maxwell Ampère qui va nous permettre de
retrouver l’expression du champ magnétique lié à cette
iF =
Soit :
X
¨ Y
µd n(8)‚ ªP
= µ(
«
(®/¯)H
¬­
°H «
H±d ²
µd
ª«
distribution de courant d’influence
6)
3)
¥− ¢ &/¦ ' =
En
proposant
choisi,
un
judicieusement
1
³(O¯)H
X©
≪ 1 en ARQS
On souhaite vérifier les résultats précédents
par une mesure expérimentale à l’aide du
circuit ci-dessous. La manipulation consiste à
charger un condensateur sous une tension
68
du
=
µd +
magnétique dans le condensateur en fonction
6™(8)
l’expression
Z ‘? = (('))
champ
de
donner
contour
1
,la distance radiale et de constantes.
On calcule la circulation du champ magnétique sur un
contour de rayon < :
i( = 5V et à le décharger dans une résistance
& = 1µΩ. Nous allons ensuite fabriquer un
programme permettant de mesurer l’énergie
électrique emmagasinée par le condensateur.
= 2l#() = Ÿ '
. / = Ÿ µ .
. "{
#
ž#
( ›œ /
1
= µ( œ l 1
EM
TD5
7
3
U
C
2
100µF
déduire
la
valeur
l’énergie
acquise
logiVlogiciel
Pro
5
V N2 Latis
Proposer
un
OUT
R
V
En
N1
Carte
sysam
+
6
+
1k
i4Vdc
(
d)
1
V
TSI2015-2016
-
10k
par
expérimentale
le
encadrement
de
condensateur.
et
comparer
l’expression i+ = ¤i
i sachant que ¤ est
TL081
X
4
donné à 20% d’incertitude.
L’échantillonnage et le traitement mathématique sont
ici effectués à l’aide de la carte Sysam SP5™ et du
logiciel LATIS Pro™.
a)
Justifier
les
paramétrages
suivants
de
l’acquisition :
en calculant
lculant l’intégration de cette fonction concave à
partir d’une méthode des aires basée sur :
-
Paramètres
Temps
d’acquisition
Valeur choisie
1s
Nombre de
points
Période
d’échantillonnage
Déclanchement
Sens
1000
Seuil
4,5V
Pré-trig
25%
b)
On peut obtenir un encadrement précis de cette valeur
?
Eao
descendant
H
¸ W‹
Justifier que ·(
G
Justification
Plus important
que le temps
de décharge
Permet un bon
échantillonnage
1ms
X
Car décharge
de C
Car
initialement à
5V
Pour obtenir le
début de
décharge
Une aire max donnée par :
Int=int[n-1]+(Ucarre[n])*Te*0,5
1]+(Ucarre[n])*Te*0,5
-
Une aire min donnée par :
Int=int[n-1]+(Ucarre[n-1]Te*0,5
Te*0,5
Le résultat de l’intégration donne une énergie de
1,07mJ avec un encadrement tout à faut négligeable par
rapport à l’incertitude de 20% qui est annoncée sur
l’énergie : i+F (1,1 0,2!“
' permet de mesurer
l’énergie accumulée par le condensateur.
condensateur
Il s’agit de l’intégration de la puissance dissipée par la
résistance et donc de l’énergie déchargée par le
condensateur.
c)
Pour effectuer le calcul d’intégration, nous
utiliserons la méthode des trapèzes. Utiliser
une feuille de calcul (onglet traitement)
reporter
et
justifier
les
commandes
suivantes :
Action
Ucarre=EA0^2
Te=0,001
R=1000
Int=Table(0)
Int=(int[n-1]+(Ucarre[n1]+Ucarre[n])*Te*0,5)/R
Exercice 10 : Bilan énergétique d’une bobine
Un solénoïde
de
longueur <
(et supposé
comme
équivalent à un solénoïde infini), de section circulaire de
rayon a, comprend n spires par unité de longueur,
chacune étant parcourue par un courant d’intensité
Justification
Permet d’obtenir la
tension au carré
On déclare la valeur de
la période
d’échantillonnage
On déclare la valeur de
R
On déclare la première
valeur de la fonction
Int
On définit l’intégration
par la méthode des
trapèzes.
constante ' j( . A ' 0,, on ferme l’interrupteur
représenté ci-dessous et on éteint la générateur. On se
placera en ARQS.
EM
TD5
TSI2015-2016
5)
En déduire alors l’expression du vecteur de
Poynting
&
et
de
la
puissance
électromagnétique ) perdue par le composant
au cours de sa décharge. Exprimer alors la
variation d’énergie électromagnétique ∆i+F
(perdue) de la bobine à l’aide des réponses
précédentes.
& =
Avec
6n H (8)
68
∧ #
µ(
=−
µ( (`) (')
4
'
2‚
< 0 on retrouve le vecteur densité de
puissance sortant du solénoïde. Donc le flux sortant du
1)
Donner
l’équation
électrique
régissant
l’évolution du courant traversant la bobine
d’inductance h et la résistance &.
On a avec la loi des mailles et la convention récepteur :
(')
& + h
=0
'
M8
Donc :(') = ( 2¹ Y Z avec º = L/R
D
2)
En
déduire
alors
l’expression
du
champ
magnétique dans la bobine et à l’extérieur de
la bobine
Donc en utilisant les résultats du TD5 :
#(') = µ( `(') dans le solénoïde et le champ est nul
ailleurs
3)
Par
quelle
équation
de
Maxwell
peut-on
prévoir l’existence d’un champ électrique ?
Quelle est la direction de ce champ et son
expression.
On a, d’après Maxwell Faraday:
#
'
Ce champ électromoteur possède les symétries et
= −
'
invariances de la distribution de courant qui l’engendre.
Donc = ()2
’
4)
Donner
l’expression
de
ce
champ
électromoteur en calculant sa circulation sur
un contour judicieusement choisi.
On calcule alors la circulation de ce champ sur un
contour
centré
sur
l’axe
solénoïde :» < = ()2l = −µ( `
Soit :
Avec
6n(8)
68
= −
de
6n(8)
µ( ` (')
68
révolution
l du
2
2 ' ’
< 0 on retrouve on retrouve un champ
orthoradial (+) qui s’oppose à une diminution du courant
vecteur de Poynting à travers la surface fermée
délimitée par le solénoïde est donné par :
¢ &/ = − ¢ µ(
(`) (')
µ (`) l< (')
‘? = − (
4
'
2
'
Donc l’énergie perdue est donné par :
8→∞
∆i+F = ;
8m(
¥− ¢ &/¦ ' = oµ(
(`) l< h(
(')p = −
2
2
(
∞
EM
TD5
Questions de réflexion
TSI2015-2016
Question 4 :
Sur un intervalle de temps de durée ∆', la modification
Question 1 : Induction de Neumann
On déplace un aimant à une vitesse constante vers une
bobine comme indiqué sur le dessin ci-dessous.
dessous. Quel est
le signe de la tension i45 ?
du champ magnétique impose une variation du flux ∆,
donnée, dans une spire de résistance électrique &. La
quantité d’électricité § mise en
n jeu par le courant induit
dépend-elle de la durée ∆'? Dépend-elle
Dépend
de la manière
dont
varie
le
champ
(affine,
par
successions
d’échelons…) ?
∆8
S
∆
∆8
§ ; '' ;
(
(
,
∆,
' &'
&
Question 5 :
On
obtient
une
variation
du
flux
(augmentation
temporelle du champ magnétique perçu en tout point de
la bobine) conduisant à une tension induite qui va
s’opposer à cette augmentation. Le courant induit
positif est donc dirigé de B vers A. La tension
i45 mesurée est donc négative et augmente pendant le
déplacement
(en
valeur
absolue)
du
fait
de
l’inhomogénéité spatiale du champ
Question 2 : Corde de guitare
Une corde de guitare électrique est recouverte d’un
matériau ferromagnétique. Au dessous de chaque corde
horizontale est placé un microphone constitué d’un
aimant vertical fixé à l’intérieur d’une bobine. Donner le
principe de fonctionnement de ce système.
Comme précisé dans les documents accompagnant le
cours,
les
matériaux
ferromagnétiques
sont
« aimantables ». Ainsi l’excitation d’une corde conduit à
une vibration mécanique locale ∑¸
nmX n cos `a( ' et donc
à un champ magnétique possédant les mêmes variations
temporelles.
La tension induite qui est
conserve les mêmes harmoniques `a(
produite
Question 3 :
Lorsqu’on diminue le champ extérieur appliqué à une
spire conductrice, le courant induit crée un champ
magnétique qui modère la diminution qui lui a donné
naissance. Peut-on envisager des conditions telles que la
création du champ induit compense
nse exactement la
variation du champ extérieur ?
En raisonnant par l’absurde, l’annulation du flux total
conduirait à ne plus avoir de phénomène d’induction : le
phénomène d’induction modère la cause mais ne peut pas
aller jusqu’à la disparition de celle-ci.
L’obtention de l’expression de l’énergie emmagasinée
X
iF h l’intensité
a
permis
du
d’affirmer
courant
'.
la
continuité
Maintient-on
de
cette
affirmation lorsque le circuit est couplé à un autre
circuit par induction mutuelle ?
Non, la continuité de l’énergie magnétique n’empêche
pas la discontinuité dans
ns l’un des deux circuits.