III – Approximation de l`optique géométrique

Université Pierre et Marie Curie - Licence de Physique L3- Parcours PF III-1
Module LP315 Electromagnétisme II et Optique Pierre Boissel Année 2006/2007
III – Approximation de l'optique géométrique - Milieux inhomogènes
1 Approximation de l'optique géométrique
1.1 Position du problème
Le milieu considéré ici est un milieu diélectrique, linéaire, non absorbant et localement
isotrope. Pour une excitation sinusoïdale, ce milieu est donc caractérisé par une susceptibilité
diélectrique scalaire réelle χ ou par son indice de réfraction χ += 1n.
Contrairement à ce qui a été vu jusqu'à présent, le milieu peut être inhomogène. En raison de
variations locales de ses propriétés (densité, température...) l'indice de réfraction dépend de la
position dans le milieu. n est une fonction scalaire de la position :
(
)
(
)
rnOMn
r
=.
Remarquons que dans ce cas, le milieu ne sera généralement pas isotrope globalement, c'est
pourquoi il était nécessaire de préciser "localement" isotrope dans la définition du milieu.
On se limitera ici à l'étude de la propagation d'ondes sinusoïdales de pulsation ω ,
appelées aussi monochromatiques car elles correspondent à une raie unique de couleur définie
dans une décomposition spectrale.
Dans le vide, des ondes planes ayant cette pulsation sont caractérisées par une vecteur d'onde
de norme ck ω =
0 ou par une longueur d'onde
ωπλ c2
0=. L'approximation de l'optique
géométrique consiste à considérer que la longueur d'onde est "très petite" ou qu'on se place à
la limite k0 tendant vers l'infini. Plus précisément :
♦ Du point de vue du milieu. Toutes les propriétés varient peu sur des distances de
l'ordre de la longueur d'onde. Pour l'indice de réfraction, cela peut se traduire par :
nn <<∇
r
0
λ
♦ Du point de vue des champs : La variation ne peut pas être lente dans toutes les
directions à cause de la propagation. Pour une onde plane, la phase varie de 2 π sur une
distance de l'ordre de 0 λ . On s'intéressera donc à des ondes "ressemblant" à des ondes planes
en cherchant des solutions dont l'amplitude complexe est de la forme :
(
)
(
)
(
)
ri
erArE
r
r
r
r
r
ϕ −
= les composantes de
A
r
et
ϕ
étant réelles.
On peut toujours opérer cette décomposition en module et phase pour un nombre complexe.
L'approximation de l'optique géométrique consiste à imposer que
(
)
rA
r
r
varie peu sur des
distances de l'ordre de 0 λ , Pour une composante de
A
r
, ceci revient par exemple à
0
λ
x
xA
x
A<<
∂
∂. De façon plus générale l'approximation se traduit par
AA
r
v
r
<<∧∇
0
λ
ou AA
r
v
r
<<⋅∇
0
λ
.
On appelle surfaces d'ondes les surfaces
(
)
r
r
ϕ = cte.

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Pour donner une idée de cette décomposition, on peut prendre comme exemple deux cas
étudiés en milieu homogène :
- Onde plane en polarisation linéaire
(
)
0
ErA
r
r
r
= constant,
(
)
rknr
r
r
r
⋅= 0 ϕ , les surfaces d'ondes sont des plans
- Onde sphérique (scalaire)
( )
r
a
rA =
r,
(
)
rnkr 0 =
r
ϕ , les surfaces d'ondes sont des sphères de centre O.
Remarques - Pour l'onde sphérique, la condition AA <<∇
r
0
λ n'est réalisée que loin du
centre de l'onde ( 0 λ >>r).
- Dans les deux cas,
(
)
r
r
ϕ varie de 2 π sur une distance n
0
λ . Il pourra être
utile dans la suite d'utiliser la fonction
(
)
(
)
0
krrS
r
v
ϕ = dont les variations sont comparables
aux variations de A.
1.2 Structure locale de l'onde
1.2.1 Equation eïkonale
On s'intéresse tout d'abord à la propagation d'une grandeur scalaire dont l'amplitude
complexe est exprimée sous la forme :
(
)
(
)
(
)
ri
erfrF
r
r
r
ϕ −
=
La propagation de cette grandeur est déterminée par l'équation d'onde :
( ) ( ) ( ) 0
2
2
2=+∆ rF
c
rnrF rrr
ω
En développant l'expression du Laplacien on obtient :
( ) ( )
[
]
[
]
{
}
( )
ϕϕ
ω
ϕϕϕ
ii ef
c
rneffiffrF −− −=∇∇+∆−∇−∆=∆ 2
2
2
22r
rrr
r
ce qui donne, en simplifiant par
ϕ i
e−et en identifiant les parties réelles et imaginaires :
( ) f
c
nff 2
2
2
2
ω
ϕ
=∆−∇
r
02 =∇∇+∆ ff
r
r
ϕϕ
En utilisant la fonction S, la première équation peut s'écrire :
(
)
f
f
k
nS
∆
+=∇ 2
0
2
21
r
Dans l'approximation de l'optique géométrique, le terme f
f
k
∆
2
0
1 est petit devant 1, donc
négligeable devant 2 n d'où le résultat :
nS =∇
v
ou nk0
=∇ ϕ
v
C'est cette équation qui est appelée équation eïkonale (ou iconale) d'après un mot grec
signifiant image.

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L'étude de la deuxième équation, déduite de l'égalité des parties imaginaires, traduit la
conservation de l'énergie. Nous ne l'aborderons pas ici.
1.2.2 Transversalité des champs
En revenant maintenant aux grandeurs vectorielles, les équations de Maxwell nous
permettent de préciser la disposition des champs électrique et magnétique. Le champ
électrique étant exprimé sous la forme
(
)
(
)
(
)
ri
erArE
r
r
r
r
r
ϕ −
= on a :
♦
(
)
0
2=⋅∇ En
r
r
soit
(
)
(
)
(
)
[
]
0
2222 =⋅∇−+⋅∇+⋅∇=⋅∇ − ϕ
ϕ
i
eAinAnAnEn
r
r
r
r
r
r
r
r
Dans l'approximation de l'optique géométrique,
(
)
An
r
r
⋅∇ 2 et An
r
r
⋅∇
2 sont négligeables
devant A
r
r
⋅∇ ϕ . On obtient donc 0=⋅∇ A
r
r
ϕ
.
A
r
est perpendiculaire au vecteur ϕ ∇
r
.
Remarquons que, au même niveau d'approximation, on obtient 0≈⋅∇ E
r
r
, ce qui justifie le fait
d'utiliser une équation d'onde du type de l'équation de d'Alembert pour le champ électrique,
en omettant le terme en
(
)
E
r
r
r
⋅∇∇ .
♦ BiE
r
r
r
ω −=∧∇
(
)
ϕ
ϕ
i
eAiAE − ∧∇−∧∇=∧∇
r
r
r
r
r
r
soit, en tenant compte de l'approximation,
EieAiE i
r
r
r
r
r
r
∧∇−=∧∇−≈∧∇ − ϕϕ
ϕ
d'où
ω
ϕ
E
B
r
r
r∧∇
=
Les vecteurs E
r
, B
r
et ϕ ∇
r
forment donc un trièdre direct, comme les vecteurs E
r
, B
r
et k
r
pour une onde plane. ϕ ∇
r
joue le rôle d'un vecteur d'onde local, que l'on peut noter loc k
r
.
L'équation eïkonale donne le module de loc k
r
:
nkkloc 0 =∇= ϕ
v
v
qui est bien le module du vecteur d'onde dans un milieu d'indice n.
On peut donc conclure que, localement, l'onde électromagnétique a les caractéristiques
d'une onde plane.
loc
k
r
B
r
E
r
M

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1.3 Surfaces d'onde et rayon lumineux
D'après les propriétés du gradient, ϕ ∇
r
est normal aux surfaces
cte
=
ϕ
. loc k
r
est donc normal
aux surfaces d'onde et E
r
et B
r
sont tangents à ces surfaces.
Enfin, le vecteur intensité moyenne, 0 µ BE
r
r
r
∧=I est parallèle à loc k
r
et donc normal
aux surfaces d'ondes.
Le rayon lumineux des opticiens est le trajet selon lequel se propage l'énergie de
l'onde électromagnétique. D'après le résultat ci dessus, c'est donc l'enveloppe du vecteur
d'onde local loc k
r
.
On en déduit le théorème de Malus-Dupin :
Le rayon lumineux est perpendiculaire aux surfaces d'onde.
1.4 Chemin optique
Considérons deux points M1 et M2 situés sur deux surfaces d'onde distinctes, 1 ϕϕ = et
2
ϕϕ =. La différence de phase entre les deux peut se calculer à partir de la circulation de
ϕ ∇=
r
r
loc
k :
∫∫ ⋅=⋅∇=− 2
1
2
1
12
M
Mloc
M
Mrdkrd
r
r
r
r
ϕϕϕ , le résultat étant indépendant du chemin suivi.
Si les points M1 et M2 sont sur le même rayon lumineux et si le trajet suit ce rayon, loc k
r
et rd
r
sont toujours parallèles. En appelant s l'abscisse curviligne on a : dskndskrdk locloc 0 ==⋅
r
r
.
La différence de phase est alors :
∫∫ ==− 2
1
2
1
012
M
M
M
Mloc dsnkdsk
ϕϕ
On définit le chemin optique entre M1 et M2 , noté [M1 M2] par l'intégrale :
[ ]
∫
=2
1
21
M
MdsnMM
La différence de phase entre M1 et M2 pour un trajet suivant le rayon lumineux s'écrit alors :
[
]
21012 MMk=−
ϕϕ
loc
k
r
M
2
M
1
ϕ
2
ϕ
1

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En utilisant la fonction S(M), le chemin optique entre M1 et M2 selon le rayon lumineux
s'écrit simplement :
[
]
(
)
(
)
1221 MSMSMM −= .
A partir de la définition donnée, on peut aussi calculer le chemin optique entre M1 et
M2 sur un trajet passant par un point P qui n'est pas sur le rayon lumineux. Sur une partie du
trajet au moins, l'élément de parcours rd
r
ne sera pas parallèle à loc k
r
ce qui entraîne
dskndskrdk locloc 0 =<⋅
r
r
.
Sur l'ensemble du parcours on aura donc
[ ] [ ]
21012210
2
1
2
1
MMkrdkdskPMMk M
Mloc
M
Mloc =−=⋅>= ∫∫
ϕϕ
r
r
.
Le chemin optique est donc plus long que celui calculé sur le trajet du rayon lumineux.
Ce résultat constitue le théorème de Fermat.
La trajectoire du rayon lumineux est celle qui correspond au chemin optique minimum.
Dans quelques cas, notamment pour des trajets comportant des réflexions sur des miroirs
courbes, le rayon optique est au contraire celui qui donne le chemin optique maximum. En
toute rigueur, on doit donc généraliser le théorème en remplaçant minimum par extremum.
1.5 Limites de l'optique géométrique
Les résultats précédents ont été obtenus dans le cadre d'une approximation. On peut se
demander ce qui se passe lorsque cette approximation cesse d'être valable. Nous examinerons
deux cas:
♦ Onde plane sur le bord d'un obstacle
Dans un modèle de propagation rectiligne, l'ombre portée de l'obstacle sur l'écran devrait
avoir un bord net. On constate qu'il n'en est pas ainsi, ce qui est normal car, au niveau du bord
de l'obstacle, l'amplitude
(
)
rA
r
de l'onde passe brutalement de zéro à une valeur finie.
L'hypothèse d'une variation lente n'est donc pas réalisée dans cette région. Les "rayons"
passant à moins de quelques longueurs d'onde de l'obstacle ne vont plus tout droit. Le résultat
doit être traité en tenant compte du caractère ondulatoire de l'onde électromagnétique, dans le
cadre de la théorie de la diffraction.
Optique géométrique Diffraction
♦ Onde sphérique au voisinage du centre
Considérons une onde sphérique limitée transversalement, convergeant vers un point M, par
exemple l'onde obtenue en faisant l'image d'un point lumineux par une lentille.. Si l'amplitude
varie lentement lorsqu'on s'éloigne de l'axe, les conditions de l'optique géométrique sont
réalisées. Cependant, en s'approchant du point M, la dimension transverse de l'onde tend vers
zéro. Il y a donc là aussi toute une zone autour de M dans laquelle les variations d'amplitude