Cours de DEA, 1993 - IMJ-PRG

Quatre expos´es sur la th´eorie de l’´elimination
Patrice PHILIPPON
Cours de DEA intensif
CIRM-Luminy
18-22 Avril 1993.

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Expos´e n◦1 : Rappels d’alg`ebre commutative
Patrice PHILIPPON
UMR 7586 du CNRS - G´eom´etrie et Dynamique,
Universit´e P. & M. Curie, T.46-56, 5`eme ´et., F-75252 PARIS cedex 05.
Cet expos´e est consacr´e `a des rappels sur la notion de longueur d’un module
et les d´ecompositions primaires des id´eaux (§1), les notions de rang d’un id´eal, de
dimension d’un module et les anneaux semi-r´eguliers (§2) et la notion de diviseur
dans les anneaux int`egres et les anneaux de Krull (§3). Nous donnons quelques
d´emonstrations et renvoyons aux ouvrages de r´ef´erences pour les r´esultats plus difficiles
et les d´eveloppements des th´eories.
§1. Longueurs des modules et d´ecompositions primaires des id´eaux
Une bonne r´ef´erence pour ce paragraphe est [2], chap.4 & 2 et [3], chap.4.
Soit Run anneau commutatif, unitaire et Mun R-module non nul. On dit que
Mest simple s’il n’a pas de sous-module propre, non nul.
Une suite de composition d’un R-module Mquelconque est une chaˆıne M=
M0⊃M1⊃M2⊃. . . ⊃M`= 0 de R-modules telle que chaque quotient
Mi−1/Mi(i= 1, . . . .`) soit un R-module simple.
On montre (et nous l’admettrons), voir [2], §1.7, thm.5, que les suites de com-
position d’un module Mont toutes le mˆeme nombre de quotients et que toute suite
M=M0⊃N1⊃. . . ⊃Mtpeut-ˆetre raffin´ee en une suite de composition.
On appelle longueur du R-module M, not´ee `(M) , le nombre de quotients `
d’une suite de composition de M. S’il n’en existe pas, on pose `(M) = ∞, et on note
aussi `(0) = 0 . En particulier, si Mest simple on a `(M) = 1 .
Comme le montre la proposition suivante, si Mest un R-module libre de rang r
(i.e. M'Rr) alors `(M) = r.`(R) . Si Iest un id´eal de Rcontenu dans AnnRM,
alors Mest un R/I-module et `R/I (M) = `R(M) .
Si Rest un corps, la notion de longueur de R-module co¨ıncide avec celle de
dimension d’espace vectoriel.
Proposition 1 –Si Nest un sous-module d’un module Mon a
`(M) = `(N) + `(M/N).
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Rappels d’alg` ebre commutative
D´emonstration – Notons ϕ:M→M/N la surjection cannonique et consid´erons des
suites N=N0⊃N1⊃. . . ⊃N`0et M/N =L0⊃L1⊃. . . ⊃L`00 de modules
emboˆıt´es, alors
M=ϕ−1(L0)⊃. . . ⊃ϕ−1(L`00 ) = N=N0⊃N1⊃. . . ⊃N`0
est une suite de sous-modules de Memboˆıt´es. Si `(N) = ∞ou `(M/N ) = ∞,
on en d´eduit en prenant `0ou `00 arbitraire que `(M) = ∞et le r´esultat est
vrai. Sinon on prend `0=`(N) et `00 =`(M/N) , les quotients Ni−1/Niet
ϕ−1(Li−1)/ϕ−1(Li)'Li−1/Lisont simples, ce qui montre qu’on a obtenu une suite
de composition de Met donc `(M) = `0+`00 =`(N) + `(M/N ) .
En liaison avec la notion de longueur, voici une propri´et´e g´en´erale tr`es utile des
modules de type fini sur un anneau nœth´erien. Nous la donnons ici dans une version
gradu´ee pour un anneau de polynˆomes.
Proposition 2 –Soit Run anneau commutatif, nœth´erien, A=R[z0, . . . , zn],M
un A-module gradu´e, de type fini et Nun sous-module homog`ene de M.
(i) Il existe un entier s≥0et des ´el´ements homog`enes m0, . . . , ms−1∈Mtels que les
sous-modules Ni=N+Am0+. . .+Ami−1(i= 0, . . . , s)satisfont N0=N,Ns=M
et Ni+1/Ni'A/pio`u piest un id´eal premier homog`ene de A(i= 0, . . . , s −1) .
De plus, l’isomorphisme ci-dessus applique les ´el´ements homog`enes de A/pisur ceux
de Ni+1/Nien augmentant les degr´es du degr´e de mi.
(ii) Si N= 0 , les premiers isol´es associ´es `a AnnAMsont exactement les premiers de
la collection p0,...,ps−1qui ne contiennent strictement aucun de ces premiers. Soit
pun premier isol´e associ´e `a AnnAM, le nombre de pi(0 ≤i<s)´egaux `a pest
´egal `a la longueur `(Mp)du Ap-module Mp.
D´emonstration – (i) On proc`ede par r´ecurrence, supposons construits N0, . . . , Niet
Ni/ ⊆M. Consid´erons la famille d’id´eaux homog`enes, (Ni:Am) lorsque mparcourt
les ´el´ements homog`enes de M\Ni, l’anneau A´etant nœth´erien cette famille admet un
´el´ement maximal, disons pi=Ni:Amiavec mi∈M\Ni,mihomog`ene. Montrons
que piest premier, si a, b ∈A, satisfont ab ∈piet b6∈ pialors bmi6∈ Niet
Ni:Abmi⊃Ni:Ami=pi, d’o`u Ni:Abmi=pipar la maximalit´e de pi. Mais
abmi∈Niet donc a∈Ni:Abmi=pice qui prouve que cet id´eal est bien premier.
On pose Ni+1 =Ni+Ami, c’est un sous-module homog`ene de M,Ni/ ⊆Ni+1
et l’application A→Ni+1/Niqui `a a∈Aassocie l’image de amidans Ni+1/Niest
un homomorphisme surjectif de noyau piet degr´e ´egal au degr´e de mi. Ceci montre
Ni+1/Ni'A/pi.
Enfin, le module M´etant de type fini, la suite N0⊂. . . ⊂Ni⊂. . . doit ˆetre
ultimement stationnaire par la propri´et´e de nœth´erianit´e, ce qui entraˆıne l’existence
d’un entier s≥0 tel que Ns=M.
(ii) Comme piannule Ni+1/Nion a piNi+1 ⊆Niet par suite p0. . . ps−1M⊆
N0= 0 . Soit pun premier contenant AnnAM, alors p0. . . ps−1⊆AnnAM⊆p
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Rappels d’alg` ebre commutative
et p⊇pjpour un certain 0 ≤j < s . D’un autre cˆot´e, AnnAM⊆ ∩s−1
i=0 pi, et
Rad(AnnAM) = Rad(∩s−1
i=0 pi) est l’intersection des pi(0 ≤i < s) ne contenant
strictement aucun des premiers p0,...,ps−1.
On a (Ni+1)p6= (Ni)psi et seulement si (Ni+1/Ni)p'(A/pi)p6= 0 et, comme p
ne contient strictement aucun des p0,...,ps−1, ceci n’est possible que lorsque pi=p.
Soit i1, . . . , itla suite des indices i∈ {0, . . . , s −1}tels que pi=p, notons
N0
0= 0 , N0
j+1 = (Nij+1)p(j= 0, . . . , t −1) . On a une chaˆıne de Ap-modules
Mp=N0
t⊃. . . ⊃N0
0= 0 telle que N0
i+1/N0 i'Ap/p.Ap(i= 0, . . . , t −1) . Mais ce
dernier module est simple, on a donc une suite de composition de Mpet t=`(Mp) .
Dans le cas d’un module Mde type fini sur un anneau nœth´erien Ron
peut montrer (cf.[2], §4.3, prop.7) que `(M)<∞si et seulement s’il existe un
nombre fini d’id´eaux maximaux m1,...,msde Rdont le produit annule M(i.e
m1. . . ms.M = 0 ). Ceci indique que les notions de longueur et module simple sont le
plus utile pour les modules sur un anneau local (anneau commutatif, unitaire, nœth´erien
n’ayant qu’un seul id´eal maximal).
Proposition 3 –Soient Run anneau local, d’id´eal maximal pet Mun R-module
de type fini. On a `(M)<∞si et seulement s’il existe ν≥0tel que pν⊂AnnRM.
En particulier, si Mest simple alors AnnRM=p.
D´emonstration – On a M= 0 si et seulement si AnnRM=Ret sinon AnnRM⊂p.
Supposons `(M)<∞alors la suite de modules emboˆıt´es M⊃pM⊃. . . ⊃piM⊃. . .
doit ˆetre ultimement stationnaire, il existe donc ν≥0 tel que pνM=pν+1Met
le R-module pνMest de type fini. Soient m1, . . . , mrdes g´en´erateurs de pνM, la
relation pνM=pν+1Ms’´ecrit
mi=
r
X
j=1
αij mj(αij ∈p, i = 1, . . . , r).
Soient A= (αij )1≤i,j≤ret ∆ = Det(Id −A) , on a ∆mi= 0 (i= 1, . . . , r) et
∆∈1 + p. Ainsi ∆ /∈pest inversible dans Ret ∆.pνM= 0 entraˆıne pνM= 0 ,
c’est-`a-dire pν⊂AnnRM. En particulier, si pM=Malors M= 0 et AnnRM=R
R´eciproquement, si pν⊂AnnRMon consid`ere la suite de modules emboˆıt´es
M⊃pM⊃p2M⊃. . . ⊃pνM= 0 . Les modules quotients Ni=piM/pi+1Msont
de type fini et annul´es par p, ils peuvent ˆetre vus comme R/p-modules et on a alors
`R(Ni)≤`R/p(Ni) . Mais R/pest un corps et Niest donc un espace vectoriel de
dimension finie sur R/p, d’o`u `R(Ni)<∞et `(M) = Pν−1
i=0 `(Ni)<∞avec la
proposition 1.
Si Mest simple on doit avoir pM= 0 car pM6=M, d’o`u AnnRM=p.
La notion de longueur s’applique aux id´eaux (vus comme modules). On suppose
maintenant l’anneau Rcommutatif, unitaire et nœth´erien. Rappelons qu’un id´eal
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