15/09/2015 1 GRAPHES et ALGORITHMES DE GRAPHES

15/09/2015
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GRAPHES
et ALGORITHMES DE GRAPHES
UF Recherche Opérationnelle
Objectifs
 Acquérir des connaissances sur un outil de modélisation
Problèmes discrets / combinatoires
Acquérir une connaissance de quelques problèmes
classiques de Graphes
Modélisation
Méthodes de résolution
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Bibliographie
Précis de Recherche Opérationnelle – 6ème édition – R. Faure, B. Lemaire, C. Picouleau,
Dunod, 2009.
Graphes et Algorithmes – 4ème édition – M. Gondran et M. Minou, Lavoisier, 2009.
Network Flows : Theory, Algorithms and Applications – K. Ahuja, J. Orlin et T. Magnati –
Prentice Hall, 1993
Graph Theory and its Applications – 2nd edition – J. Gross et J. Yellen – Chapman & Hall,
2005
MOOC : Conception et mise en oeuvre d’algorithmes, Ecole Polytechnique (2013-2014)
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Déroulement
Semestre 1
UF Recherche Opérationnelle
8 Cours et 7 TD de Graphes – 1 examen écrit
1 sujet de TP d’application des graphes / langage C
Semestre 2
UF Programmation Objet, Graphes et Réseaux
Projet de Graphes (Langage Objet)
Développement d’algorithmes corrects et efficaces pour résoudre des problèmes de
mobilité
Utilisation d’un langage orienté objet.
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Plan
1. Introduction (1 cours)
Généralités
Quelques définitions
Représentations informatiques
2. Parcours de Graphe (2 cours)
Principe du parcours
Parcours en profondeur d’abord
Parcours en largeur d’abord
Premières applications d’un algorithme de parcours
Connexité – Forte connexité
Tri topologique
3. Optimisation et Graphes
Plus courts chemins (2 cours)
Problèmes de flots (3 cours)
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Plan
1. Introduction
Généralités
Quelques définitions
Représentations informatiques
2. Parcours de Graphe
Principe du parcours
Parcours en profondeur d’abord
Parcours en largeur d’abord
Premières applications d’un algorithme de parcours
Connexité – Forte connexité
Tri topologique
3. Optimisation et Graphes
Plus courts chemins
Problèmes de flots
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1.1. Généralités (1)
Graphes
Modéliser des relations entre un ensemble fini d’entités
Chercher des propriétés, des interactions, ….
Entités = sommets
Relations = non orientées orientées
arêtes arcs
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1.1. Généralités (2)
Graphes dans la vie courante ?
Réseaux de transport
de passagers, de biens, d’énergie, …..
Internet
Réseaux sociaux
Mais aussi :
Bases de Données
Graphe des dépendances fonctionnelles
Activités d’un projet
Relation de dépendance entre activités
En Informatique : les graphes sont (presque) partout !
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1.1. Généralités (3)
Dimension
Graphes finis
Nombre de sommets : n
Nombre d’arêtes/d’arcs : m
Complexité
Fonction de n et de m
Densité
Nombre de relations existantes / Nombre de relations possibles
Restriction pour ce cours
Au maximum 1 arête (1 arc) entre 2 sommets (1-graphe)
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non orienté
orienté
1.1. Exemple (1)
Réseaux de Transport
Entités
Points spécifiques (par exemple des intersections de rues)
Relations
Lignes de transport entre deux entités (routes, lignes de bus, de métro, ….)
Problèmes types
Peut-on aller d’un point A à un point B ?
Quel est le temps minimal pour aller de A à B ?
Quels sont les points atteignables depuis A en moins de 30 min ?
Etc.
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1.1. Exemple (2)
Extrait du réseau cyclable de Toulouse
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1.1. Exemple (3)
Avec les orientations Sans les orientations
Modélisation
Pistes cyclables mono-directionnelles ou bi-directionnelles
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- en moyenne 3 relations par sommet :
- densité :

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Plan
1. Introduction
Généralités
Quelques définitions
Représentations informatiques
2. Parcours de Graphe
Principe du parcours
Parcours en profondeur d’abord
Parcours en largeur d’abord
Premières applications d’un algorithme de parcours
Connexité – Forte connexité
Tri topologique
3. Optimisation et Graphes
Plus courts chemins
Problèmes de flots
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1.2. Définitions –
Graphes non orientés (1)
Graphe non orienté : G(X, E)
Ensemble des nœuds (sommets) nodes/vertices
Ensemble des arêtes edge
Toute arête a deux extrémités
extrémité
Si les deux extrémités d’une arête sont identiques : boucle loop
Exemple. Tracer le graphe défini par :
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1.2. Définitions –
Graphes non orientés (3)
Pour un sommet , on définit :
 sommet voisin / adjacent ssi l’arête
 : l’ensemble des sommets voisins (ou adjacents)
 arête incidente à ssi extrémité de
 : l’ensemble des arêtes incidentes
 : son degré = nombre d’arêtes incidentes
 si pas de boucle sur
 s’il y a une boucle sur
Quand une arête est une boucle : elle compte pour 2 dans le calcul du degré de son
extrémité.
Propriété :
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1.2. Définitions –
Graphes non orientés (4)
Exemple
Calculer les degrés de tous les sommets
Vérifier la propriété
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1.2. Définitions –
Graphes orientés (1)
Graphe orienté : G(X, A)
Ensemble des nœuds (sommets) nodes/vertices
Ensemble des arcs arcs
Arc va de vers
Toute arc a deux extrémités
extrémité initiale extrémité finale
Si les deux extrémités d’un arc sont identiques : boucle loop
Exemple. Tracer le graphe défini par
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1.2. Définitions –
Graphes orientés (2)
Pour un sommet , on définit :
Par définition
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Graphe non orienté
Graphe orienté
Ens
. Sommets voisins
Ens
. Sommets successeurs
Ens
. Sommets prédécesseurs
Ens
. Arêtes incidentes
Ens
. Arcs sortants
Ens
. Arcs entrants
Degré
Degré
sortant
Degré
entrant
1.2. Définitions –
Graphes orientés (3)
 : degré d’un sommet
On a
Propriété :
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1.2. Définitions –
Graphes orientés (4)
Exemple
Calculer les degrés de tous les sommets
Vérifier la propriété
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