Semaine 13 - Étienne Thibierge

Colles semaine 13, sujet A D’Arsonval, PSI?2016-2017
Induction et ferromagnétisme
Question de cours
Établir l’expression de la puissance moyenne reçue par un dipôle en régime sinusoïdal forcé. Définir le facteur de
puissance. Faire le lien avec la représentation des courants et des tensions sur un diagramme de Fresnel.
Éléments de correction de l’exercice 0 :
P=UeffIeff cos ϕ
Exercice 1 : Rails de Laplace couplés
Deux tiges T1et T2identiques, de masse m, chacune de résistance électrique R, sont mobiles sur deux rails
horizontaux parallèles séparés d’une distance a. L’ensemble est plongé dans un champ magnétique #” B=B#” ezet le
champ de pesanteur #” g=−g#” ez. À l’instant initial, T2est immobile et T1est lancée vers T2à la vitesse #” v0=v0
#”
ex.
Les deux tiges restent parallèles lors de leur mouvement. On note leurs vitesses #” v1=v1
#”
exet #” v2=v2
#”
ex. On
négligera tout frottement, la résistance électrique des rails, et l’auto-induction.
T1T2
xa
#”
v0
#”
B
⊗#”
g
i
A - Analyse qualitative
Expliquer sans calcul mais avec précision pourquoi la tige T1ralentit alors que la tige T2se met en mouvement.
Dans quel sens se déplace T2?
B - Mise en équation
1 - Établir un système d’équation différentielles couplées portant uniquement sur v1et v2.
2 - Déterminer les équations différentielles vérifiées par les fonctions somme et différence,
Σ(t) = v1(t) + v2(t)et ∆(t) = v1(t)−v2(t).
3 - En déduire v1et v2et tracer leur allure sur un même graphe.
4 - Déterminer le courant iqui traverse le circuit.
C - Analyse énergétique
5 - En s’appuyant sur les équations électrique et mécanique, établir et analyser le bilan de puissance du système.
6 - Calculer l’énergie totale dissipée par effet Joule au cours de l’évolution du système entre t= 0 et t→ ∞.
7 - Calculer la variation ∆Emd’énergie mécanique du système entre t= 0 et t→ ∞. Commenter.
Éléments de correction de l’exercice 1 :
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Colles semaine 13, sujet A : Induction et ferromagnétisme D’Arsonval, PSI?2016-2017
A - Analyse qualitative
La tige T1est mise en mouvement;
Cela modifie l’aire comprise entre les tiges et donc le flux de #” Bau travers du circuit;
Un phénomène d’induction a lieu, qui se traduit par un courant induit car le circuit est fermé ;
Les deux tiges sont parcourues par le courant induit, et ressentent donc une force de Laplace ;
D’après la loi de Lenz, ces forces de Laplace s’opposent à la cause de l’induction, c’est-à-dire la diminution de l’aire
du circuit : T1est donc ralentie, et T2se déplace dans le même sens que T1pour augmenter l’aire du circuit;
Au moment où les deux tiges ont la même vitesse, l’aire du circuit n’est plus modifiée et il n’y a plus d’induction.
B - Mise en équation
1 Équation électrique Calculons le flux magnétique au travers du circuit,
φ=S#” B·#” n=a(x2−x1)B
d’où on déduit la f.é.m. induite,
e=−dφ
dt=−a(v2−v1)B .
Le circuit équivalent ne contient qu’une résistance 2R(Rpar tige) et le générateur induit. La loi d’Ohm donne alors
e= 2Ri soit −a(v2−v1)B= 2Ri .
Équations mécaniques Les deux équations mécaniques s’obtiennent par application de la loi de la quantité de
mouvement aux deux tiges, en mouvement par rapport au référentiel du laboratoire, que l’on suppose galiléen. Ces
tiges sont soumises à leur poids et à une force de réaction qui se compensent ainsi qu’à la force de Laplace qui s’écrit
#”
F1=i(−a#” ey)∧(B#” ez) = −iaB #” exet #” F2=i(+a#” ey)∧(B#” ez) = iaB #” ex
La loi de la quantité de mouvement projetée sur #” exdonne alors
mdv1
dt=−iaB et mdv2 dt= +iaB .
Bilan. En combinant avec l’équation électrique,
mdv1
dt=(aB)2 2R(v2−v1)
mdv2
dt=−(aB)2 2R(v2−v1)
2En calculant la somme de ces deux équations, on trouve
md
dt(v1+v2) = 0 soit dΣ dt= 0 .
En calculant la différence, on obtient
md
dt(v1−v2) = (aB)2 R(v2−v1)d’où d∆ dt+(aB)2 Rm ∆=0.
3Les deux équations précédentes se résolvent facilement. La fonction somme Σest de dérivée nulle, et elle est
donc constamment égale à sa valeur initiale,
Σ(t) = v0.
La fonction différence ∆est solution d’une équation différentielle homogène du premier ordre, dont les solutions sont
de la forme
∆(t) = Ae−t/τ avec τ=Rm
(aB)2.
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Colles semaine 13, sujet A : Induction et ferromagnétisme D’Arsonval, PSI?2016-2017
La constante Ase détermine à partir de la condition initiale, ∆(0) = v0, d’où
∆(t) = v0e−t/τ .
On en déduit
v1(t) = 1
2[Σ(t) + ∆(t)] = v0 21 + e−t/τ et v2(t) = 1 2[Σ(t)−∆(t)] = v0 21−e−t/τ 
4D’après l’équation électrique,
i(t) = aB
2R∆(t)d’où i(t) = aBv0 2Re−t/τ .
C - Analyse énergétique
5Multiplions l’équation électrique par i, et les équations mécaniques par les vitesses,
a(v2−v1)Bi =−2Ri2mv1
dv1
dt=−iaBv1mdv2 dt= +iaBv2
puis sommons les trois équations, ce qui donne
d
dt1 2mv2
1+d
dt1 2mv2
2=−2Ri2
soit en reconnaissant les énergies cinétiques,
d
dt(Ec1 +Ec2) = −2Ri2.
Les variations d’énergie cinétique des tiges sont dues à la dissipation par effet Joule.
6L’énergie totale dissipée par effet Joule vaut
QJ=ˆ+∞
0
2Ri2dt
= 2Rˆ+∞
0aBv0
2R2
e−2t/τ dt
=(aBv0)2
2Rˆ+∞
0
e−2t/τ dt
=(aBv0)2
2Rh−τ 2e−2t/τ i+∞
0
=(aBv0)2
2R
τ
2
=(aBv0)2
2R
Rm
2(aB)2
QJ=1
4mv2
0.
7Il n’y a aucune énergie potentielle à prendre en compte. L’énergie mécanique initiale est donc
Em,i =Ec1,i +Ec2,i =1
2mv2
0+ 0 ,
et l’énergie mécanique finale
Em,f =Ec1,f +Ec2,f =1
2mv0 22+1 2mv0 22=1 4mv2
0,
La variation d’énergie mécanique au cours de l’évolution est donc
∆Em=−1
4mv2
0.
On trouve que ∆Em=−QJ: toute l’énergie dissipée par effet Joule est prise sur l’énergie mécanique.
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Colles semaine 13, sujet A : Induction et ferromagnétisme D’Arsonval, PSI?2016-2017
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Colles semaine 13, sujet B D’Arsonval, PSI?2016-2017
Induction et ferromagnétisme
Question de cours
Établir la relation entre ∆rG,Qet K. En déduire la loi d’action des masses ou loi de Guldberg et Waage.
Exercice 1 : Étude expérimentale d’un hystérésis magnétique
L L L Attention ! Erreurs dans les figures : les notations de la première ne correspondent pas à l’énoncé et la
deuxième est purement et simplement oubliée.
Cet exercice propose d’étudier un montage permettant de visualiser le cycle d’hysteresis d’un matériau sur l’écran
d’un oscilloscope, c’est-à-dire la courbe B(H)où Bet Hreprésentent les valeurs algébriques de #” Bet #” H.
Pour cela, on réalise le montage présenté figure 1. Sur le noyau ferromagnétique de forme torique, de section Set
de circonférence moyenne telle que 2S, on enroule N1spires constituant l’enroulement primaire et N2spires
constituant l’enroulement secondaire. On note vxla tension mesurée entre les bornes X+et X−et vycelle mesurée
entre les bornnes Y+et Y−. Le GBF et l’amplificateur forment une source de tension e(t) = Ecos(ωt)sinusoïdale de
fréquence f= 50 Hz. On suppose la résistance Rtelle que le produit N2i2est négligeable devant le produit N1i1.
Figure 1 –Schéma du montage expérimental.
1 - Pourquoi est-il judicieux de choisir un tore?
2 - Dans le montage, le circuit à ALI (entrée ve, sortie vs=vy) fonctionne en intégrateur. Quelle condition la
résistance Rdoit-elle vérifier ? Quelle valeur peut-on lui donner ?
3 - Exprimer Hen fonction de vxpuis Ben fonction de vy.
Pour les applications numériques, on prendra = 50 cm,S= 20 cm2,r= 5 Ω,N1=N2= 50. On obtient
l’oscillogramme ci-dessous AJOUTER LA FIGURE. L’ordonnée (échelle 2 V/div) représente vy, l’abscisse (échelle
1 V/div) représente vx.
4 - Déduire de cet oscillogramme les valeurs approximatives du champ rémanent Br, de l’aimantation rémanente Mr
et du champ coercitif Hc.
Dans ce montage, on peut raisonnablement négliger la puissance dissipée par effet Joule dans les enroulements.
Pour simplifier, on suppose également négligeables les pertes dues aux courants de Foucault dans le tore. Dans ces
conditions, la puissance dissipée pH=u1i1est uniquement due au ferromagnétique.
5 - Établir la relation liant PH, moyenne de pH, à l’aire Adu cycle d’hystérésis représentant l’évolution de Ben
fonction de H.
6 - On peut évaluer l’aire de la courbe à six carreaux. En déduire la valeur de la puissance moyenne PHdissipée à
cause du phénomène d’hystérésis dans l’ensemble du tore au cours de l’essai réalisé.
7 - A-t-on intérêt pour la fabrication des transformateurs à utiliser un ferromagnétique ayant un champ coercitif
important ou faible ? Justifier.
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