Semaine 13 - Étienne Thibierge

D’Arsonval, PSI? 2016-2017
Colles semaine 13, sujet A
Induction et ferromagnétisme
Question de cours
Établir l’expression de la puissance moyenne reçue par un dipôle en régime sinusoïdal forcé. Définir le facteur de
puissance. Faire le lien avec la représentation des courants et des tensions sur un diagramme de Fresnel.
Éléments de correction de l’exercice 0 :
P = Ueff Ieff cos ϕ
Exercice 1 : Rails de Laplace couplés
Deux tiges T1 et T2 identiques, de masse m, chacune de résistance électrique R, sont mobiles sur deux rails
#”
horizontaux parallèles séparés d’une distance a. L’ensemble est plongé dans un champ magnétique B = B #”
e z et le
#”
#”
champ de pesanteur g = −g e z . À l’instant initial, T2 est immobile et T1 est lancée vers T2 à la vitesse #”
v 0 = v0 #”
ex.
Les deux tiges restent parallèles lors de leur mouvement. On note leurs vitesses #”
v 1 = v1 #”
e x et #”
v 2 = v2 #”
e x . On
négligera tout frottement, la résistance électrique des rails, et l’auto-induction.
T1
a
T2
⊗ #”
g
#”
v0
#”
B
x
i
A - Analyse qualitative
Expliquer sans calcul mais avec précision pourquoi la tige T1 ralentit alors que la tige T2 se met en mouvement.
Dans quel sens se déplace T2 ?
B - Mise en équation
1 - Établir un système d’équation différentielles couplées portant uniquement sur v1 et v2 .
2 - Déterminer les équations différentielles vérifiées par les fonctions somme et différence,
Σ(t) = v1 (t) + v2 (t)
et
∆(t) = v1 (t) − v2 (t) .
3 - En déduire v1 et v2 et tracer leur allure sur un même graphe.
4 - Déterminer le courant i qui traverse le circuit.
C - Analyse énergétique
5 - En s’appuyant sur les équations électrique et mécanique, établir et analyser le bilan de puissance du système.
6 - Calculer l’énergie totale dissipée par effet Joule au cours de l’évolution du système entre t = 0 et t → ∞.
7 - Calculer la variation ∆Em d’énergie mécanique du système entre t = 0 et t → ∞. Commenter.
Éléments de correction de l’exercice 1 :
1/10
Étienne Thibierge, 19 janvier 2017, www.etienne-thibierge.fr
D’Arsonval, PSI? 2016-2017
Colles semaine 13, sujet A : Induction et ferromagnétisme
A - Analyse qualitative
.
.
.
.
.
La tige T1 est mise en mouvement ;
#”
Cela modifie l’aire comprise entre les tiges et donc le flux de B au travers du circuit ;
Un phénomène d’induction a lieu, qui se traduit par un courant induit car le circuit est fermé ;
Les deux tiges sont parcourues par le courant induit, et ressentent donc une force de Laplace ;
D’après la loi de Lenz, ces forces de Laplace s’opposent à la cause de l’induction, c’est-à-dire la diminution de l’aire
du circuit : T1 est donc ralentie, et T2 se déplace dans le même sens que T1 pour augmenter l’aire du circuit ;
. Au moment où les deux tiges ont la même vitesse, l’aire du circuit n’est plus modifiée et il n’y a plus d’induction.
B - Mise en équation
1
Équation électrique Calculons le flux magnétique au travers du circuit,
#”
φ = S B · #”
n = a(x2 − x1 ) B
d’où on déduit la f.é.m. induite,
e=−
dφ
= −a(v2 − v1 )B .
dt
Le circuit équivalent ne contient qu’une résistance 2R (R par tige) et le générateur induit. La loi d’Ohm donne alors
e = 2Ri
−a(v2 − v1 )B = 2Ri .
soit
Équations mécaniques Les deux équations mécaniques s’obtiennent par application de la loi de la quantité de
mouvement aux deux tiges, en mouvement par rapport au référentiel du laboratoire, que l’on suppose galiléen. Ces
tiges sont soumises à leur poids et à une force de réaction qui se compensent ainsi qu’à la force de Laplace qui s’écrit
#”
F 1 = i(−a #”
e y ) ∧ (B #”
e z ) = −iaB #”
ex
#”
F 2 = i(+a #”
e y ) ∧ (B #”
e z ) = iaB #”
ex
et
La loi de la quantité de mouvement projetée sur #”
e x donne alors
m
dv1
= −iaB
dt
m
et
dv2
= +iaB .
dt
Bilan. En combinant avec l’équation électrique,

dv1
(aB)2


m
=
(v2 − v1 )
dt
2R
2


 m dv2 = − (aB) (v2 − v1 )
dt
2R
2
En calculant la somme de ces deux équations, on trouve
m
d
(v1 + v2 ) = 0
dt
soit
dΣ
=0 .
dt
En calculant la différence, on obtient
m
d
(aB)2
(v1 − v2 ) =
(v2 − v1 )
dt
R
d’où
d∆ (aB)2
+
∆ = 0.
dt
Rm
3 Les deux équations précédentes se résolvent facilement. La fonction somme Σ est de dérivée nulle, et elle est
donc constamment égale à sa valeur initiale,
Σ(t) = v0 .
La fonction différence ∆ est solution d’une équation différentielle homogène du premier ordre, dont les solutions sont
de la forme
Rm
∆(t) = A e−t/τ
avec
τ=
.
(aB)2
2/10
Étienne Thibierge, 19 janvier 2017, www.etienne-thibierge.fr
D’Arsonval, PSI? 2016-2017
Colles semaine 13, sujet A : Induction et ferromagnétisme
La constante A se détermine à partir de la condition initiale, ∆(0) = v0 , d’où
∆(t) = v0 e−t/τ .
On en déduit
v1 (t) =
4
1
v0 1 + e−t/τ
[Σ(t) + ∆(t)] =
2
2
v2 (t) =
et
1
v0 1 − e−t/τ
[Σ(t) − ∆(t)] =
2
2
D’après l’équation électrique,
i(t) =
aB
∆(t)
2R
i(t) =
d’où
aBv0 −t/τ
e
.
2R
C - Analyse énergétique
5
Multiplions l’équation électrique par i, et les équations mécaniques par les vitesses,
a(v2 − v1 )Bi = −2Ri2
mv1
dv1
= −iaBv1
dt
m
dv2
= +iaBv2
dt
puis sommons les trois équations, ce qui donne
d 1
d 1
mv12 +
mv22 = −2Ri2
dt 2
dt 2
soit en reconnaissant les énergies cinétiques,
d
(Ec1 + Ec2 ) = −2Ri2 .
dt
Les variations d’énergie cinétique des tiges sont dues à la dissipation par effet Joule.
6
L’énergie totale dissipée par effet Joule vaut
ˆ
QJ =
+∞
2Ri2 dt
0
ˆ
+∞
= 2R
0
=
=
=
=
QJ =
7
aBv0
2R
2
e−2t/τ dt
ˆ
(aBv0 )2 +∞ −2t/τ
e
dt
2R
0
(aBv0 )2 h τ −2t/τ i+∞
− e
2R
2
0
2
(aBv0 ) τ
2R 2
(aBv0 )2 Rm
2R 2(aB)2
1
mv 2 .
4 0
Il n’y a aucune énergie potentielle à prendre en compte. L’énergie mécanique initiale est donc
Em,i = Ec1,i + Ec2,i =
1
mv 2 + 0 ,
2 0
et l’énergie mécanique finale
Em,f = Ec1,f + Ec2,f =
1 v0 2 1 v0 2
1
m
+ m
= mv02 ,
2
2
2
2
4
La variation d’énergie mécanique au cours de l’évolution est donc
1
∆Em = − mv02 .
4
On trouve que ∆Em = −QJ : toute l’énergie dissipée par effet Joule est prise sur l’énergie mécanique.
3/10
Étienne Thibierge, 19 janvier 2017, www.etienne-thibierge.fr
D’Arsonval, PSI? 2016-2017
Colles semaine 13, sujet A : Induction et ferromagnétisme
4/10
Étienne Thibierge, 19 janvier 2017, www.etienne-thibierge.fr
D’Arsonval, PSI? 2016-2017
Colles semaine 13, sujet B
Induction et ferromagnétisme
Question de cours
Établir la relation entre ∆r G, Q et K. En déduire la loi d’action des masses ou loi de Guldberg et Waage.
Exercice 1 : Étude expérimentale d’un hystérésis magnétique
L L L Attention ! Erreurs dans les figures : les notations de la première ne correspondent pas à l’énoncé et la
deuxième est purement et simplement oubliée.
Cet exercice propose d’étudier un montage permettant de visualiser le cycle d’hysteresis d’un matériau sur l’écran
#”
#”
d’un oscilloscope, c’est-à-dire la courbe B(H) où B et H représentent les valeurs algébriques de B et H.
Pour cela, on réalise le montage présenté figure 1. Sur le noyau ferromagnétique de forme torique, de section S et
de circonférence moyenne ` telle que `2 S, on enroule N1 spires constituant l’enroulement primaire et N2 spires
constituant l’enroulement secondaire. On note vx la tension mesurée entre les bornes X+ et X− et vy celle mesurée
entre les bornnes Y+ et Y− . Le GBF et l’amplificateur forment une source de tension e(t) = E cos(ωt) sinusoïdale de
fréquence f = 50 Hz. On suppose la résistance R telle que le produit N2 i2 est négligeable devant le produit N1 i1 .
Figure 1 – Schéma du montage expérimental.
1 - Pourquoi est-il judicieux de choisir un tore ?
2 - Dans le montage, le circuit à ALI (entrée ve , sortie vs = vy ) fonctionne en intégrateur. Quelle condition la
résistance R doit-elle vérifier ? Quelle valeur peut-on lui donner ?
3 - Exprimer H en fonction de vx puis B en fonction de vy .
Pour les applications numériques, on prendra ` = 50 cm, S = 20 cm2 , r = 5 Ω, N1 = N2 = 50. On obtient
l’oscillogramme ci-dessous AJOUTER LA FIGURE. L’ordonnée (échelle 2 V/div) représente vy , l’abscisse (échelle
1 V/div) représente vx .
4 - Déduire de cet oscillogramme les valeurs approximatives du champ rémanent Br , de l’aimantation rémanente Mr
et du champ coercitif Hc .
Dans ce montage, on peut raisonnablement négliger la puissance dissipée par effet Joule dans les enroulements.
Pour simplifier, on suppose également négligeables les pertes dues aux courants de Foucault dans le tore. Dans ces
conditions, la puissance dissipée pH = u1 i1 est uniquement due au ferromagnétique.
5 - Établir la relation liant PH , moyenne de pH , à l’aire A du cycle d’hystérésis représentant l’évolution de B en
fonction de H.
6 - On peut évaluer l’aire de la courbe à six carreaux. En déduire la valeur de la puissance moyenne PH dissipée à
cause du phénomène d’hystérésis dans l’ensemble du tore au cours de l’essai réalisé.
7 - A-t-on intérêt pour la fabrication des transformateurs à utiliser un ferromagnétique ayant un champ coercitif
important ou faible ? Justifier.
5/10
Étienne Thibierge, 19 janvier 2017, www.etienne-thibierge.fr
D’Arsonval, PSI? 2016-2017
Colles semaine 13, sujet B : Induction et ferromagnétisme
Éléments de correction de l’exercice 1 :
Dunod PSI exercice 22.6 page 694.
6/10
Étienne Thibierge, 19 janvier 2017, www.etienne-thibierge.fr
D’Arsonval, PSI? 2016-2017
Colles semaine 13, sujet C
Induction et ferromagnétisme
Question de cours
Définir la valeur moyenne et la valeur efficace d’une tension à l’aide d’une intégrale. Établir leur expression pour
une tension sinusoïale de pulsation ω.
Exercice 1 : Pince ampèremétrique
[écrit PT 2014]
La mesure de l’intensité d’un courant électrique peut nécessiter des méthodes très éloignées
de celle utilisée dans un multimètre d’usage courant. Cet exercice modélise une mesure
à l’aide d’une pince ampèremétrique, particulièrement adaptée à la mesure de courants
d’intensité élevée : les courants d’intérêt ont des intensités de l’ordre du kA. L’ouverture
de la pince ampèremétrique permet d’insérer dans sa boucle le fil parcouru par le courant
dont l’intensité est à mesurer. Lorsque la pince est fermée, ses deux mâchoires constituent
une bobine. Le phénomène d’induction magnétique permet d’obtenir aux bornes de cette
bobine une tension directement liée à l’intensité à mesurer.
Donnée : µ0 = 4π · 10−7 H · m−1 .
Le courant dont l’intensité variable i1 est à mesurer parcourt un fil rectiligne (1), confondu avec l’axe Oz, dont
les bornes A1 et A2 sont supposées infiniment éloignées l’une de l’autre. On peut montrer que le champ créé en tout
point de l’espace M repéré par ses coordonnées cylindriques, voir figure 1, vaut
µ0 i1 #”
#”
eθ
B 1 (r) =
2πr
On modélise la pince ampèremétrique par un tore de section carrée de côté a = 1 cm, d’axe Oz et de rayon moyen
r0 = 5 cm sur lequel sont bobinées régulièrement N = 1000 spires régulièrement réparties, voir figures 2 et 3. Le tore
est supposé être constitué d’un matériau non magnétique, c’est-à-dire dont les propriétés magnétiques sont celles du
vide. Les deux extrémités du bobinage sont reliées à un oscilloscope.
A - Tension aux bornes de la bobine
1 - On fait l’approximation que le champ magnétique est uniforme sur la surface d’une spire du tore et égal à sa
#”
valeur en M0 . Calculer le flux Φ12 de B 1 au travers d’une spire du bobinage (2), puis au travers du bobinage (2)
entier.
2 - Donner alors l’expression de la tension u2 obtenue aux bornes du bobinage (2).
3 - Le courant dans le fil (1) est sinusoïdal d’intensité i1 (t) = Im cos ωt. Déterminer l’expression de la fonction de
transfert complexe de la pince définie par H = U 2 /I 1 .
4 - Que devient l’expression à haute fréquence ? à basse fréquence ? Une pince ampèremétrique permet-elle de mesurer
des intensités dans toutes les gammes de fréquence ? Commenter.
7/10
Étienne Thibierge, 19 janvier 2017, www.etienne-thibierge.fr
D’Arsonval, PSI? 2016-2017
Colles semaine 13, sujet C : Induction et ferromagnétisme
B - Mesures
Le courant dans le fil (1) est sinusoïdal d’intensité i1 (t) = Im cos ωt.
La bobine (2) étant reliée à un oscilloscope, l’oscillogramme obtenu
est représenté figure 4. Les échelles sont de 1 carreau pour 5 ms et 1
carreau pour 500 mV.
5 - Établir l’expression de la tension u2 (t) à l’aide des paramètres µ0 ,
N , a, r0 , ω et Im .
6 - Quelle est la valeur numérique de la fréquence f de i1 ?
7 - Quelle est la valeur numérique de l’amplitude Im de i1 ? de sa
valeur efficace ?
C - Influence de la position du fil
8 - Définir à partir de Φ12 le coefficient d’induction mutuelle M entre les circuits (1) et (2) et donner son expression.
On suppose maintenant les bornes A1 et A2 du fil (1) reliées entre elles pour former un circuit fermé. Ce circuit
est supposé plan, contenu dans le plan méridien du tore. En outre, la bobine (2) est également supposée fermée sur
elle-même et parcourue par un courant d’intensité i2 (t) dont l’orientation est précisée figure 5. On peut montrer,
toujours par le théorème d’Ampère, que le champ créé par la bobine (2) en tout point de l’espace M repéré par ses
coordonnées cartésiennes d’axe Oz, voir figure 1, vaut

 µ0 N i2 #”
e θ si M est à l’intérieur de la bobine
#”
2πr
B 2 (r) =
 #”
0 sinon
#”
Pour la suite, on suppose comme en 1 que le champ B 2 est uniforme sur la surface d’une spire du bobinage (2) et
égal à sa valeur en M0 .
#”
9 - Calculer le flux Φ21 du champ B 2 créé par la bobine (2) à travers le circuit (1) ainsi réalisé. En déduire l’expression
du coefficient d’induction mutuelle M défini à partir de Φ21 et commenter.
10 - La figure 5 suggère une situation où la pince n’est pas centrée sur le fil (1), lui-même n’étant pas confondu avec
l’axe de la pince. Déduire de la question précédente que le résultat de la mesure faite partie B n’est pas modifié.
Commenter en termes d’utilisation pratique de la pince.
11 - Dans un contexte industriel, citer un avantage de la mesure de courant au moyen de cette pince par rapport à
l’utilisation d’un ampèremètre.
Éléments de correction de l’exercice 1 :
A - Tension aux bornes de la bobine
1
D’après l’hypothèse de l’énoncé, en tout point de la spire,
µ0 i1 #”
#”
B1 =
eθ .
2πr0
L’orientation du bobinage (2) n’est pas clairement précisée sur l’énoncé : choisissons-là telle que #”
e θ soit le vecteur
normal à une spire, ce qui d’une part est le plus astucieux et d’autre part en accord avec la figure 5. Ainsi,
Φ12,1sp = a2
µ0 i1 #” #”
eθ · eθ
2πr0
donc
8/10
Φ12 =
N µ0 i1 a2
.
2πr0
Étienne Thibierge, 19 janvier 2017, www.etienne-thibierge.fr
D’Arsonval, PSI? 2016-2017
Colles semaine 13, sujet C : Induction et ferromagnétisme
2
D’après la loi de Faraday, il apparaît aux bornes du bobinage (2) une f.é.m. induite
u2 = −
3
dΦ12
dt
u2 = −
soit
N µ0 a2 di1
.
2πr0 dt
En transposant dans le domaine complexe (cos ωt 7→ ejωt ) la relation précédente, on obtient
U 2 = −jω
N µ0 a2
I
2πr0 1
d’où
H = −jω
N µ0 a2
2πr0
4 À haute fréquence, |H| → ∞ et à basse fréquence, H → 0. Il n’est donc pas possible de mesurer l’intensité d’un
courant en basse fréquence avec une pince ampèremétrique, et encore moins d’un courant continu. De plus, on peut
noter que l’étalonnage de la pince ampèremétrique doit prendre en compte la fréquence du courant.
B - Mesures
5
D’après l’expression obtenue question 2, pour i1 (t) = Im cos ωt, on trouve
u2 (t) = ω Im
6
N µ0 a2
sin(ωt)
2πr0
Par lecture de l’oscillogramme, une période correspond à quatre carreaux soit 20 ms. On en déduit
f = 50 Hz .
7
Par lecture de l’oscillogramme, U2m = 1,0 V. On déduit de la relation précédente
U2m = 2πf Im
N µ0 a2
2πr0
Im =
donc
r0
U2m = 8,0 kA ,
N µ0 a2 f
ce qui donne comme valeur efficace
Im
Ieff = √ = 5,6 kA .
2
C - Influence de la position du fil
8
Par définition, Φ12 = M i1 donc par identification
M=
N µ0 a2
.
2πr0
#”
9 Comme le champ B 2 n’est non-nul qu’à l’intérieur de la bobine (2), c’est sa surface a2 qu’il faut prendre en
compte pour le calcul du flux car le circuit (1) entoure la bobine. Ainsi, le flux créé par le circuit (2) au travers du
circuit (1) vaut
µ0 N i2
e θ · #”
eθ
soit
Φ21 = a2
Φ21 = a2 B2 (r0 ) #”
2πr0
et par identification avec la définition Φ21 = M i2 on trouve
M=
µ0 N a2
2πr0
C’est donc exactement la même expression que celle trouvée à partir de Φ12 : ce n’est pas une coïncidence mais un
résultat général, le théorème de Neumann.
10 D’après la question précédente, même si la forme du circuit (1) change, le flux Φ21 n’est pas modifié : le seul
point important est que le circuit (1) entoure la bobine (2). En corollaire, l’expression de M est inchangée elle aussi
9/10
Étienne Thibierge, 19 janvier 2017, www.etienne-thibierge.fr
Colles semaine 13, sujet C : Induction et ferromagnétisme
D’Arsonval, PSI? 2016-2017
et ne dépend pas du positionnement précis des deux circuits. Par conséquent, la relation entre Φ12 = M i1 n’est pas
modifiée, et donc le calcul de la partie précédente reste valable. En résumé, la pince donne une mesure fiable quelle
que soit la position du fil à l’intérieur, ce qui est très avantageux pour une utilisation pratique.
11 Une pince ampèremétrique permet de mesurer un courant dans un fil sans avoir à couper ce courant pour
ouvrir le circuit et y placer un ampèremètre. On peut donc contrôler les courants électriques dans une installation en
fonctionnement. En contre-partie, mesurer le courant dans un câble contenant plusieurs fils n’est pas possible car les
contributions de chaque fil s’ajoutent, ce qui engendre en général des compensations non souhaitables qui rendent la
mesure inexploitable.
10/10
Étienne Thibierge, 19 janvier 2017, www.etienne-thibierge.fr