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UPS Licence de Physique 2012–2013
Mécanique des Milieux Continus
EL5PPYB3
Travaux Dirigés
Enseignant du cours : Manoel Manghi
Enseignants des travaux dirigés : Manoel Manghi et Cyril Lemarchand

Licence de Physique 2012–2013 : EL5PPYB3 3
TD1 : Statique et cinématique des fluides
Glaçon dans un verre d’eau
1. À partir de l’équation de la statique des fluides, démontrer la loi de l’hydrostatique :
p(z) = p0+ρg(z0−z).
2. En appliquant cette formule pour un corps dont la partie immergée a pour volume Vim, montrer
que la résultante appliquée sur le corps (poussée d’Archimède) est
R=ρgVimˆ z.
3. Un glaçon (ρg= 900 kg.m−3) flotte dans un verre rempli d’eau à ras bord. Pourquoi une partie
du volume du glaçon est émergée ? Quel est le rapport du volume immergé au volume émergé ?
4. Le glaçon fond totalement. Comment évolue le niveau de l’eau dans le verre ?
Force de pression sur un barrage
On considère un barrage de profondeur hreprésenté par une paroi plane rectangulaire Ozx,O
étant un point de l’interface air-eau et Oz l’axe vertical ascendant. On note Mla masse de cette
paroi.
1. Calculer la force élémentaire de pression dFqu’exerce l’eau sur un élément de surface élémen-
taire dS de la paroi. En déduire la résultante Fde ces forces.
2. Par définition, on appelle centre de poussée le point Ptel que le moment des forces de pression
en ce point soit nul. Montrer que ce point admet pour coordonnées :
xP= 2 a
Mh et zP= 2 b Mh
avec aet bdes coefficients dont on donnera la signification physique, les unités et que l’on
calculera. En déduire les coordonnées de P.
Barrage à profil parabolique
z
x
h
0
pa
g
dT/dx
B
z
x
z=f(x)
b
0
pa
g
A
n
-h0
On considère un barrage à profil parabolique dans un canal
rempli d’eau, supposée au repos, de profondeur h0et de lar-
geur L(selon y) comme indiqué sur la figure A. On note ρ
la masse volumique de l’eau et pala pression atmosphérique
à la surface libre.

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1. Trouver l’équation du barrage parabolique z=f(x)en fonction des constantes bet h0.
2. Écrire les composantes infinitésimales de la force s’exerçant sur le barrage, dFxet dFzen
fonction de la pression p(z)(on introduira proprement la normale à la parabole n=nxˆ x+nzˆ z).
3. Écrire la loi fondamentale de la statique des fluides et déterminer p(z)en fonction de ρ, l’accé-
lération de la pesanteur get pa.
4. Calculer la force Fexercée par le fluide sur le barrage.
5. Application numérique : Donner les valeurs de la pression atmosphérique pa, de la masse vo-
lumique de l’eau ρet de g. On donne L= 20 m, b= 3 m et h0= 10 m, calculer Fxet
Fz.

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TD 2 : Cinématique et dynamique des fluides visqueux
incompressibles
Fonction de courant
On étudie les écoulements incompressibles plans dont la fonction de courant est de la forme
Ψ(x, y) = ax2+by2où aet bsont des constantes réelles.
Calculer le champ de vitesse et le vecteur tourbillon pour les 3 cas suivants : i)a= 0,b6= 0 ;
ii) a=−bet iii) a=b. Tracer les profils de vitesses et les lignes de courant correspondants. Comment
traiter le cas général aet bquelconques ?
Écoulement sur un plan incliné
On s’intéresse au fluide s’écoulant sur un plan incliné (cf. figure). Le fluide possède une surface
libre plane d’équation z=hqui est en contact avec un autre fluide de masse volumique et de viscosité
négligeables. La direction de la pesanteur fait un angle αavec ˆ z. Déterminer la solution (champ de
vitesse v(x, z)et pression p(x, z)) stationnaire de l’équation de Navier-Stokes correspondant à un
écoulement incompressible unidirectionnel selon ˆ x.
z
x
g
h
α
P0
Écoulement près d’un plan oscillant parallèlement à sa surface
x
y
V
g
z
On a un plan infini oscillant avec la pulsation ω, c’est-à-
dire que sa vitesse est de la forme : V=V0cos(ωt)ex. On
étudie l’écoulement d’un fluide visqueux incompressible au-
dessus de ce plan. On travaillera dans le repère cartésien xyz
schématisé ci-contre où l’origine de l’axe vertical yest prise
sur le plan. On note ρla masse volumique du fluide et ηsa
viscosité dynamique.
1. En utilisant les symétries du problème et l’incompressibilité du fluide, montrer que la seule
composante non nulle de la vitesse est vxet qu’elle ne dépend que de yet du temps t. Justifier
également que la pression pne dépend que de y.