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Initiation à la mécanique quantique
1. Longueur d’onde de De Broglie
a. Calculer la longueur d’onde de De Broglie pour un électron d’énergie cinétique égale à
10 eV. Commenter.
b. Calculer la longueur d’onde de De Broglie pour une personne de masse 70 kg se
déplaçant à la vitesse de 10 m.s
–1
. Commenter.
c. À ce jour, les fullerènes C
60
sont des molécules les plus grosses pour lesquelles des
phénomènes ondulatoires ont été observés. Dans les expériences correspondantes, les
molécules ont une vitesse moyenne de 220 m.s
–1
.
Calculer la longueur d’onde de De Broglie de ces molécules.
Comment se compare-t-elle aux dimensions de la molécule qui est de l’ordre du
nanomètre ?
2. Gaz quantique ou classique
On considère de l’hélium gazeux à température ambiante et à la pression atmosphérique.
L’énergie cinétique moyenne d’un atome d’hélium est égale à e
c
=
3
2
k
B
T, k
B
représentant la
constante de Boltzmann.
a. Déterminer et évaluer numériquement la vitesse quadratique moyenne d’un atome
d’hélium.
b. Calculer la longueur d’onde de De Broglie correspondante. La comparer à la distance
moyenne entre atomes d’hélium.
c. On s’attend à ce que les effets quantiques puissent jouer un rôle lorsque la longueur
d’onde de De Broglie est de l’ordre de grandeur ou plus grande que la distance moyenne
interatomique. Expliquer pourquoi et dites si l’étude de ce gaz d’hélium vous semble
relever ou pas de la mécanique quantique.
d. Lors de la formation d’un cristal métallique, on suppose que chaque atome du cristal
fournit un électron. L’ensemble de ces électrons libres constitue un gaz d’électron où
l’énergie de chaque électron est de l’ordre de l’électron-volt. La distance moyenne entre
électrons est supposée égale à la distance moyenne entre atomes. Reprendre les
arguments développés précédemment pour le gaz d’hélium dans le cas du gaz d’électrons
libres dans un métal. On pourra utiliser les valeurs numériques suivantes relatives au
cuivre : M
Cu
= 63 g.mol
–1
; µ
Cu
= 8,9.10
3
kg.m
–3
.
e. La conduction de l’électricité dans un métal est liée au gaz d’électrons libres.
Relève-t-elle d’un traitement classique ou quantique ?

3. Largeur spectrale
Un atome se trouve dans un état excité dont l’énergie est supérieure à celle du niveau
fondamental de 4,7 eV. Le temps de vie de cet état excité est de l’ordre de 10
–13
s.
a. Déterminer la fréquence et la longueur d’onde du rayonnement électromagnétique émis
lors de la désexcitation de l’atome.
b. Quelle est l’indétermination minimale sur l’énergie du photon lors de la désexcitation de
l’atome ?
c. En déduire la largeur spectrale de la raie d’émission correspondante exprimée en
longueur d’onde et en fréquence.
4. Énergie minimale d’un oscillateur harmonique.
Un oscillateur harmonique unidimensionnel de masse m et de pulsation propre ω
0
est soumis à
une énergie potentielle V(x) =
1
2
m
2
0
ω
x
2
. La position moyenne
x
et la quantité de mouvement
moyenne
x
p
de l’oscillateur sont nulles. Utiliser la relation d’indétermination de Heisenberg
spatiale permet de montrer que la valeur moyenne de l’énergie de cet oscillateur est bornée
inférieurement :
E
≥
1
2
m
2
0
ω
(∆x)
2
+
( )
2
2
8m x
∆
ℏ
où ∆x représente l’indétermination quantique
sur la position x de l’oscillateur.
a. Déterminer la valeur minimale que peut prendre la valeur moyenne de l’énergie de
l’oscillateur en fonction de ℏ et ω
0
. Exprimer l’amplitude de l’indétermination quantique ∆x
en fonction de m, ℏ et ω
0
.
b. À température non nulle, en raison de l’agitation thermique, il existe aussi des fluctuations
∆x
T
de la position de l’oscillateur autour de sa valeur moyenne. On donne ∆x
T
=
B
2
0
k T
m
ω
avec k
B
= 1,38.10
–23
J.K
–1
. Donner l’expression de la température T
c
en dessous de
laquelle les fluctuations quantiques sont plus importantes que les fluctuations thermiques.
c. Donner la valeur numérique de la température T
c
dans le cas d’un oscillateur mécanique
constitué d’une masse suspendue à un ressort. Choisir une fréquence d’oscillation
correspondant à une expérience réalisable au laboratoire de physique. Commenter la
valeur obtenue pour T
c
.
d. En 2010, une équipe de l’Université de Californie à Santa Barbara a atteint le régime
quantique en amenant un micro-résonateur piézo-électrique de fréquence très élevée
(6,0 GHz) à une température de 25 mK. Commenter le choix d’un oscillateur de fréquence
élevée et d’une température aussi faible.

5. Diffraction d’une onde électromagnétique par une fente
On considère l’expérience de diffraction d’une onde électromagnétique plane, de longueur
d’onde λ
0
= 633 nm, à travers une fente de largeur a = 0,070 mm selon l’axe (Ox), et de
longueur infinie selon (Oy). La figure de diffraction est observée sur un écran lointain, placé à
une distance D = 2,00 m. L’éclairement observé sur l’écran se concentre le long de l’axe (Ox).
Il est donné par la relation : ε(x) = ε
0
.
2
0
0
ax
sin
D
ax
D
π
λ
π
λ
.
a. On admet que la densité de probabilité de présence d’un photon au voisinage d’un point
de l’écran est proportionnelle à l’éclairement en ce point : dP(x,t) = C.ε(x).dx.
Déterminer l’expression de la constante C.
b. Déterminer la probabilité pour qu’un photon soit détecté à l’intérieur de la tache centrale
de diffraction correspondant à |x| ≤
0
D
a
λ
.
Données :
2
sinu
du
u
∞
−∞
∫
= π et
2
sinu
du
u
π
−π
∫
≈ 2,84.
6. État fondamental de l’atome d’hydrogène
Dans son état fondamental, un électron de l’atome d’hydrogène en orbite autour d’un proton
fixe en O est décrit par la fonction d’onde à symétrie sphérique ψ(M, t) = A.exp
r
a
−
où A et a
sont des constantes positives et r = OM.
a. Quel est, au premier ordre, le volume dτ compris entre les sphères de rayons r et r + dr ?
b. En déduire la probabilité dP = f(r).dr que la position de l’électron soit mesurée entre r et
r + dr ? En déduire une valeur de A.
c. Pour quelle valeur r0 de r la probabilité de trouver l’électron est-elle maximale ?
d. Quelle est la valeur moyenne
r
de r dans cet état ?
Quelle quantité physique représente a ?
Donnée :
n
0
x .exp( x).dx
∞
−α
∫
=
n 1
n!
+
α
pour α > 0.
7. Onde stationnaire ou non ?
On s’intéresse à une particule de masse m, soumise à une énergie potentielle V = 0.
a. Trouver les solutions stationnaires ϕ(x) de l’équation de Schrödinger.
b. En déduire l’onde Ψ(x,t) associée. Que reconnaît-on ?
c. Donner un exemple d’onde qui soit une onde stationnaire du point de vue de la mécanique
quantique et une onde progressive du point de vue de la physique ondulatoire.

8. Interférences
On considère une expérience d’interférences, où un faisceau de particules quantiques est
dirigé vers 3 fentes contenues dans le même plan. La détection des particules est effectuée en
un point M à grande distance du plan contenant les trois fentes.
Lorsque la seule fente n°1 est ouverte, l’amplitude de probabilité en M vaut Ψ
1
(M) =
1
3
.
Lorsque la seule fente n°2 est ouverte, l’amplitude de probabilité en M vaut Ψ
2
(M) =
i
2
.
Lorsque la seule fente n°3 est ouverte, l’amplitude de probabilité en M vaut Ψ
3
(M) =
i
e
6
− π
.
Déterminer la probabilité de détection d’une particule au voisinage du point M lorsque :
a. Seule la fente 2 est ouverte. b. Les fentes 1 et 2 sont ouvertes.
c. Les fentes 1 et 3 sont ouvertes. d. Toutes les fentes sont ouvertes.
9. Diffraction de molécules par une onde lumineuse.
On considère une expérience de diffraction de molécules de fullerène (C
60
) par une onde
stationnaire lumineuse. Un four contenant de la poudre de fullerène est chauffé à une
température proche de 900 K. Un dispositif permet de sélectionner dans le faisceau de
fullerène sortant du four les molécules de vitesse moyenne égale à v = 120 m.s
–1
et dont la
dispersion relative de vitesse est
v
v
∆
= 0,17. Le faisceau est collimaté par deux fentes
verticales successives de largeur respectivement égales à a = 7 µm et b = 5 µm, et séparées
de D’ = 1,13 m. Le faisceau de molécules est ensuite diffracté par une onde lumineuse
stationnaire. On admettra que, du point de vue des molécules de fullerène, l’onde lumineuse
stationnaire agit comme un réseau plan de diffraction, constitué de N fentes, infiniment fines et
équidistantes de d = 257 nm. Un détecteur, situé à une distance D = 1,2 m après le réseau,
permet de compter les molécules de C
60
. Le dispositif expérimental est représenté sur la fig. 1.
a. Déterminer la longueur d’onde de De Broglie des molécules de fullerène qui sont
sélectionnées par le filtre de vitesse.
b. Déterminer la dispersion ∆λ
DB
de la longueur d’onde de De Broglie.
c. Que représente la longueur ℓ
c
=
2
DB
DB
λ
∆λ
? Calculer sa valeur numérique.
d. Expliquer quel est l’intérêt des fentes de collimation. En utilisant l’inégalité de Heisenberg
spatiale, évaluer l’ouverture angulaire du faisceau moléculaire produite par chacune des
deux fentes.
La fig. 2 représente un exemple de figures d’interférences obtenue expérimentalement.

On suppose que le détecteur permet d’observer les interférences à l’infini du faisceau
moléculaire diffracté. Pour interpréter les résultats expérimentaux, on se ramène à la fig. 3.
On suppose que la longueur d’onde de De Broglie n’est pas modifiée par le passage à travers
le réseau.
e. Déterminer les directions θ pour lesquelles il y a interférence constructive des faisceaux
diffractés.
f. Interpréter l’allure de la courbe expérimentale fig. 2. En déduire la valeur numérique de la
vitesse moyenne des molécules de C
60
et la comparer à la valeur donnée par les auteurs
de l’expérience.
g. Montrer, en utilisant des arguments similaires à ceux développés dans les chapitres
d’optique physique, que le défaut de cohérence temporelle du faisceau permet
d’expliquer le nombre limité de franges visibles.
10. Étalement d’un paquet d’ondes
On considère une particule libre de masse m.
a. Retrouver rapidement la relation de dispersion correspondante.
On considère que l’état de la particule quantique est représenté par un paquet d’ondes formé
d’ondes planes progressives, dont les vecteurs d’ondes sont distribués autour d’une valeur
moyenne k
0
avec une dispersion ∆k, qui détermine l’extension spatiale initiale ∆x
0
du paquet
d’ondes à l’instant initial t = 0. La pulsation moyenne correspondant à k
0
est notée ω
0
.
b. Rappeler la définition de la vitesse de groupe v
g0
et déterminer son expression.
c. Montrer en utilisant la relation de dispersion qu’à la largeur ∆k correspond une dispersion
de la vitesse de groupe ∆v
g
autour de la valeur moyenne v
g0
.
Exprimer ∆v
g
en fonction de ℏ, m et ∆x
0
.
d. En déduire la largeur du paquet d’ondes ∆x(t) après un déplacement d’une durée t depuis
l’origine. Déterminer l’instant t
0
pour lequel la largeur du paquet d’ondes a doublé.
e. Application numérique.
Calculer t
0
pour un électron de masse m = 10
–30
kg initialement confiné dans un atome
∆x
0
= 10
–10
m, puis pour une gouttelette d’eau de rayon égal à 10 µm et de masse
m = 4.10
–12
kg. Commenter les valeurs numériques obtenues.
11. Paquet d’ondes gaussien libre
Une onde gaussienne est décrite par la densité g(k) = A.exp
( )
2
0
2
k k
q
−
−
, où A, k
0
et q sont
des constantes positives. La particule concernée est libre et de masse m.
a. Écrire la forme de la fonction d’onde ψ(x,t) correspondante.