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X Physique MP 2008 — Énoncé 1/8
ÉCOLEPOLYTECHNIQUEFILIÈREMP
CONCOURSD’ADMISSION2008
COMPOSITIONDEPHYSIQUE
(Durée :4heures)
L’utilisation descalculatricesestautorisée pourcette épreuve.
⋆ ⋆ ⋆
Gouttesd’eauetarcs-en-ciel
Ceproblème estconstituédedeuxpartiesindépendantesquel’on pourratraiterdansl’ordre
desonchoix.Lapremièrepartie concernesuccessivementquelquesaspectsdeladynamiquede
gouttesd’eau dansl’atmosphère etune étudedelaformede cesgouttes.Lasecondepartie
concernedesphénomènesoptiquesassociésàlaformation d’arcs-en-ciel. Onconsidèrerasucces-
sivementl’optiquegéométriquepuisl’optiqueinterférentielle etdiffractive.
•Danstoutleproblème,exprimersignifie établirl’expressionlittérale etcalculersignifie
donnerlavaleurnumérique.
•Danstoutleproblème,on notealanormedu vecteur~a.
PartieI
Gouttesetbulles
I.1.Tempsdetransitdegouttesd’eau dansl’atmosphère
Figure1-Forces
surune goutte
enchute verticale.
◮1Unegoutted’eausphériquederayona, indéformable etdemasse
volumiqueuniformeρtombedansun champ depesanteuruniforme~g
suivantun axeverticalOzdirigéverslebas(figure1).L’atmosphère
exerce surla gouttelaforce ~ F,ditedetraînée,opposée àlavitesse~v
etquis’exprimeparlarelation~ F=−6πηa~v
1+ℓ/a,oùηetℓsontdes
constantespositives.Exprimer,àpartirdel’équation du mouvementde
la goutte, lavitesselimitede chutede cettedernière,quel’on notera~ Vlim.
◮2On donneg=9,8m·s−2,ρ=1×103kg·m−3,ℓ=0,07 µmetη=1,7×10−5N·s·m2.
CalculerVlimpoura=a1=0,01 mm puispoura=a2=0,1mm.
◮3L’atmosphère estmodélisée parune coucheuniformedehauteur8km.En utilisantles
deuxrésultatsnumériquesdelaquestion2,évaluerletempsdetransitdegouttesd’eau partant
du hautdel’atmosphère etderayonsrespectifsa1eta2.
◮4Quelseraitletempsdetransitdansl’atmosphèredebulles(etnon plusdegouttes)de
rayona2=0,1mm etd’épaisseure=0,1a2?
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X Physique MP 2008 — Énoncé 2/8
I.2.Chuted’unegoutte
Figure2-Accrétiond’une goutte.
Unautremodèleposequela goutteàlaquelle
ons’intéressetraverseun nuagedegouttesim-
mobiles,quis’agrègentàla goutte enchute et
quiaccroissentsamassed’autant (accrétion).
Onignorealorslaforce detraînée,maisonad-
metqueletauxd’accroissementdelamassede
la goutte estproportionnelàsavitessede chute,
soit:1
m(t)
dm
dt=λv(t),oùλestune constantepositive;onappliqueraici leprincipefondamental
deladynamiquepourun systèmedemassevariable:
~
F=d~p
dt=d dt[m(t)~v(t)].
◮5Écrirel’équation différentiellevérifiée parv(t).Larésoudre etexprimerv(t)pourune
gouttetombantinitialementdu hautdel’atmosphère,oùsavitesse estnulle.
◮6Quelestletempscaractéristique,notéτv,d’évolution delavitesse?Quelle estlavitesse
limitede chute?
◮7Avec λ=5×10−4m−1,calculerτvetlavitesselimitede chute.Quelleremarque critique
surce modèle ce résultatnumériquevous suggère-t-il ?Pourquelrayon degoutteya-t-il égalité
de cettevitesselimiteavec cellequedonnel’expressionobtenueàlaquestion1?
I.3.Formedesgouttes
Letravail élémentairemisenjeulorsd’une évolutioninfinitésimaleréversibleautermede
laquellel’aireAdela gouttea augmentédedAestδW=γdA; laconstantepositiveγest
nommée constantedetensionsuperficielle.Latensionsuperficielletend àdiminuerl’airedela
goutte etàluifaireadopteruneformesphérique.Onadmetque,dansun champ depesanteur
d’intensitég,unetaille caractéristiquedela goutte,ditelongueurcapillaireetnotée Lc,ne
dépend quedeg,γetdelamassevolumiqueρ.
◮8Utiliserun argumentdimensionnelpourexprimerLc; lesgrandeursgetρayantles
valeursdonnéesàlaquestion2,calculerLcpourγ=0,007 J·m−2.
Unegouttesphériquederayonad’un fluide, immergée dansun autrefluide,nepeutdonc
être enéquilibrequesi lapressionàl’intérieurdela goutte,pint,estsupérieureàlapression
extérieure,pext.L’écart ∆pc=pint−pextestdonnéparlarelation:∆pc=2γ
a.
◮9Exprimer∆ph,différence depression hydrostatique entrelepointhautetlepointbas
dela goutte,située danslevide etsoumiseàun champ depesanteurd’intensitég.Exprimerle
nombredeBondB=∆ph
∆pc
etvérifierlarelationB=Åa
Lcã2
,oùLcestlalongueurcapillaire
quel’onaexprimée àlaquestion8.
◮10 Pourquellesvaleurspar rapport à 1 du nombredeBond la gouttetend-elleàêtre
parfaitementsphérique?
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X Physique MP 2008 — Énoncé 3/8
PartieII
Arcs-en-ciel
L’arc-en-cielestconstituéd’uneséried’arcslumineux,dontle centre estsituésurleprolon-
gementdelalignequivadu Soleil àl’œil del’observateur, l’un etl’autre étantdonc considérés
icicommeponctuels.Cephénomène estprincipalementdû àlaréfraction delalumièresolaire
danslesgouttesd’eau.
Lerayon desgouttesd’eau dansl’atmosphèrevade0,1mm à 2,5mm,avec unemoyenne
de0,5mm.Lerayon desgouttelettesdansun nuageou danslabrume estd’environ0,01 mm.
Toutescesgouttespeuventproduiredesarcs-en-ciel, mais seuleslesplusgrossesd’entre elles
donnerontun phénomèneauxcouleursvives.En-dessousd’unetaillede0,2mm, lapartierouge
del’arcdisparaît.Lesgouttestrèspetitesproduisentdesphénomènesdediffractionimportants
dontleseffets se combinentàceuxdelaréfraction.
Onobservesouventdeuxarcs: l’arcintérieurouprincipalestceluidontlescouleurs sontles
plusvivesetlespluspures; levioletapparaîtsurlafrangeinterne, lerougeàl’extérieur.Dansl’arc
extérieurousecondairelescouleurs sontdisposéesenordreinverse.Plusieursthéoriescoexistent
etexpliquentlesdifférentsphénomènesobservéslorsd’un arc-en-cieletnousenconsidèrerons
deux:
•lathéorie«classique» deDescartes,NewtonetdeYoungquis’appliquepourlesgrosses
gouttesd’eau,
•celledeAiry,datantde1838,pourdesgouttesdontlediamètre estsupérieurà 0,1milli-
mètre.
Pourune composantemonochromatiquedel’éclairement,delongueurd’ondeλ,on note
k=ω
c=2π λ.L’indice del’eauestnotén, l’indice del’airvaut1.On netiendrapascomptedes
diversespertesetatténuationsquiseproduisentauxinterfacesetpendantlapropagation.
II.1.Optiquegéométrique: l’arc-en-cieldeDescartes
L’arc-en-cielprimaire
Leplan delafigure3estdéterminéparlestroispointsSoleil, centredela goutte etœil
del’observateur.Avec lesnotationsdelafigure,desconsidérationsgéométriquesélémentaires
conduisentàlarelationquel’onadmettra
θ=(i−r)+(π−2r)+(i−r)=π+2i−4r,(1)
oùietrsontliésparlaloideDescartessini=nsinr.
◮11 Montrerqu’il existeun anglededéviationextrémale,notéθc
1etnomméangle critique,
donnépar
θc
1=π+2arccos 1
3(n2−1)!−4arccos 2 nn2−1 3!.(2)
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X Physique MP 2008 — Énoncé 4/8
Justifierqualitativementqu’il ya accumulation delumièrepourcetangle.
Figure3-Géométrie etnotationspour
l’arc-en-cielprimaire.
Figure4-Rayonsubissant.
deuxréflexionsinternes.
◮12 Calculerl’angleφc
1=π−θc 1(figure3)pourn=1,331 correspondantàλ=700 nm.
◮13 Pourlespectrevisibleallantdu rougeau bleu, l’indice variedefaçonmonotone entre
lesvaleurs1,331 et1,346 ;calculerlalargeurangulairedel’arc-en-ciel. Cettevariation d’indice
explique-t-ellequelebleuestàl’intérieuretlerougeàl’extérieurdel’arc?Faireun schéma
explicatifdu phénomèneobservé.
Lesarcs-en-cielsecondaires
Enréalité,un rayonincidentsubitplusieursréflexionsinternes; lafigure4illustrele casde
deuxréflexions.Onadmettralesdeuxrésultats suivants:
i)l’angled’émergence del’arcd’ordrek,correspondantàkréflexionsinternes,est
θk=kπ+2i−2(k+1)r,
ii)l’anglededéviationcritique(déviationstationnaire)θc
kcorrespondantaurayoncritiqued’ordre
kestdonnépar
θc
k=kπ+2arccossn2−1
k(k+2)−2(k+1)arccos"k+1 nsn2−1 k(k+2)#.
◮14 Justifierquel’arcprimaire etl’arcsecondaire(k=2)neserecouvrentpas(larégion
entrelesdeuxarcs s’appellelabandesombred’Alexandre).Quelestl’ordredescouleursdans
l’arcsecondaire?Cetarc est-il situéàl’intérieurouàl’extérieurdel’arcprimaire?
◮15 Enquoi lesdispersions spatialesdeslongueursd’ondeparun prisme etparunegoutte
sont-ellesdifférentes?Pourquoin’observe-t-onjamaisl’arc-en-cieltertiaire?
II.2Optiqueondulatoire:modèledeYoungetmodèled’Airy
L’explicationcartésiennedel’arc-en-cielnedonneaucuneindicationsurlarépartition des
intensités selonleslongueursd’onde,ainsiquesurlespolarisations.Lathéorieondulatoiredela
lumièrerend comptede cesphénomènes,comme ellerend compteaussid’arcs supplémentaires,
ditssurnuméraires,observablesen particulierprèsdu bordinternedel’arcprimaire.Nousnous
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X Physique MP 2008 — Énoncé 5/8
intéressonsmaintenantàcesderniersetpoursimplifierl’écriture,danstoutelasuitedu problème,
θ1serasimplementdésignéparθ.
Existence desarcs surnuméraires
Onconsidère(figure5.a)unegouttesphériquederayona,éclairée parun rayonsituéàla
distance bdesoncentre; la grandeurbs’appelleparamètred’impact.L’angled’incidence est
notéi, l’anglederéfractionestnotér, lepointderéflexioninterne estnotéP.Letraitplein
correspond aurayoncritique,deparamètred’impactb0,etlestraitstiretésàdeuxrayonsvoisins
symétriquesb=b0±δ.On poseb
a=sini=y.
Figure5-a)Trajetdelalumièredansune gouttede
centreCetderayona,auvoisinage durayoncritique.
b)AgrandissementautourdeO′avec
exagérationdel’anglededéviation.
◮16 Larelation(1)s’écrivantθ=π+2arcsin(y)−4arcsinÅy
nã,vérifierquedanslecasgénéral
dθ
dy=2
p1−y2−4 pn2−y2.
◮17 On notey0lavaleurdeycorrespondantàl’angle critiqueθc
1introduitàlaquestion11.
Exprimery0,»1−y2
0,»n2−y2 0etθ′′
0=Çd2θ
dy2åy=y0
enfonction den.
Pourn=1,333,calculerθc
1etθ′′ 0.
b
db
dσ=2πbdb
dΩ=2πsinθdθ
θ
dθ
lumière
incidente
Figure6-Correspondance entrelalumière
incidente etlalumièresortante.
◮18 Suivantleschémadelafigure6, la
lumièreincidentetraversantl’élémentde
surface dσ=2πbdbressort angulairement
dansl’anglesolidedΩ=2πsinθdθ.
Lerapport Σ=dσ
dΩ=
b
sinθ
db
dθdonne
larépartitionangulairedel’intensitélumi-
neusesortante.Quedevient-il siθ→θc
1?
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