ESQUISSES ET SPECIFICATIONS MANUEL DE REFERENCE

Laboratoire d’Arithmétique, de Calcul formel et d’Optimisation
ESA - CNRS 6090
ESQUISSES ET SPECIFICATIONS
MANUEL DE REFERENCE
Première partie : Graphes à composition
Dominique Duval & Christian Lair
Rapport de recherche n° 1999-01-Ref1
Université de Limoges, 123 avenue Albert Thomas, 87060 Limoges Cedex
Tél. 05 55 45 73 23 - Fax. 05 55 45 73 22 - [email protected]
http://www.unilim.fr/laco/
ESQUISSES
ET
SPECIFICATIONS
MANUEL DE REFERENCE
Première Partie :
Graphes à Composition
D. Duval
Université de Limoges
Laboratoire d'Arithmétique, Calcul formel et Optimisation
123, avenue Albert Thomas, 87060 Limoges Cedex, France
[email protected]
et
C. Lair
Université Denis Diderot-Paris 7, U.F.R. de Mathématiques
Equipe Catégories et Structures
2, place Jussieu, 75251 Paris Cedex 05, France
[email protected]
version du 27 Septembre 1999
Sous le titre ESQUISSES ET SPÉCIFICATIONS sont regroupés plusieurs textes dont le but est
d’étudier certaines applications à l’informatique de la théorie des esquisses de C. Ehresmann. Ces textes
peuvent être vus comme les premiers pas vers une théorie pour le génie logiciel ; leur but n’est pas de prôner une unification des langages informatiques, mais plutôt d’offrir un cadre dans lequel il soit possible
de faire coopérer de façon rigoureuse des notions variées provenant de divers horizons informatiques.
Ces textes forment deux familles complémentaires, intitulées respectivement :
MANUEL DE RÉFÉRENCE et GUIDE DE L’UTILISATEUR.
La première famille fournit les définitions et résultats dans un cadre général, avec des preuves complètes,
alors que la seconde insiste sur les motivations et détaille plusieurs exemples. Même si ces deux familles
de textes sont complémentaires, elles peuvent être lues indépendamment l’une de l’autre. Aucun prérequis n’est supposé, sinon une certaine familiarité avec la problématique ou les outils, c’est-à-dire avec
les questions de spécification en informatique ou avec la théorie des catégories.
Ces textes sont en cours d’élaboration ; pour l’instant, quatre d’entre eux sont disponibles en tant que
rapports de recherche du LACO à l’adresse “http ://www.unilim.fr/laco/rapports” :
MANUEL DE RÉFÉRENCE :
Première partie : Graphes à composition
Deuxième partie : Esquisses projectives
GUIDE DE L’UTILISATEUR :
Première partie : Mosaïques
Deuxième partie : Spécifications implicites
Par ailleurs, plusieurs textes concernant des applications sont en préparation avec divers co-auteurs ;
ils concernent, entre autres : la notion d’état en informatique ; la surcharge, les coercions et les soussortes ; les systèmes de navigation.
La mise en place de ces idées doit beaucoup au groupe de travail esquisses et calcul formel ; nous
tenons à en remercier tous les participants, en particulier Catherine Oriat et Jean-Claude Reynaud, ainsi
que le CNRS.
1.
Introduction.
Dans une série de travaux (voir [Util-I], [Util-II] ... ), nous proposons
le formalisme des mosaïques, des produits en couronne et des produits en ruban pour
décrire, étudier, manipuler et construire des spécifications. En effet, nous montrons que
les termes de produits en couronne et, plus finement encore, de produits en ruban de
telles mosaïques représentent convenablement les programmes et leurs processus
d'évaluation aussi bien (et c'est là tout l'intérêt de ce nouvau formalisme) dans le cadre de
la programmation fonctionnelle que dans celui de la programmation impérative, dont les
aspects implicites (effets de bord, traitement des erreurs, gestion des états ... )
s'intégraient mal, jusqu'alors, aux formalisations antérieures.
Bien qu'une certaine familiarité avec les spécifications algébriques (voir par exemple
[Goguen et al.78] et/ou [Wirsing90]) et les catégories (voir par exemple [Mac Lane71])
ne puisse qu'aider à la compréhension de cette série de textes, aucun prérequis n'y est
absolument indispensable. En effet, nous y procédons progressivement, du particulier au
général, en détaillant un certain nombre d’exemples de spécifications de plus en plus
complexes, pour suggérer finalement la généralité optimum qui nous paraît judicieuse.
A l'inverse, il nous a semblé indispensable d'accompagner cette série de travaux (qui
constituent, en quelque sorte, un "Guide de l'Utilisateur" des mosaïques, du produit en
couronne et du produit en ruban en spécification) d'une suite d'autres (constituant un
"Manuel de Référence"), présentant purement formellement, avec cette généralité
optimum, "toutes" les définitions, "toutes" les méthodes et "tous" les résultats sur
lesquels ce Guide de l'Utilisateur se trouverait ainsi rigoureusement fondé : le présent
texte est le premier de cette suite d'autres qui composent ce Manuel de Référence (voir
[Ref-II] ... ).
Dans cette Première Partie sont exposés les rudiments de la théorie des
graphes à composition.
Introduits initialement en [Ehresmann65] (sous le nom de "graphes multiplicatifs", dans
une version un peu plus particulière que celle considérée ici), nous les regardons avant
tout, pour ce qui nous concerne, comme les supports des esquisses projectives (i.e. de
ces "graphes à composition munis de cônes distingués") dont les (ou certains de leurs)
modèles sont tant, à leur tour, les supports des mosaïques que les facteurs des produits
en couronne et des produits en ruban que nous avons en vue.
Formellement (§2), les graphes à composition sont des structures plus faibles
que celles de catégories. Tout comme elles, ils sont constitués d'objets (que nous
préfèrons appeler points) et de flèches, mais deux flèches consécutives n'y sont pas
nécessairement composables. Ainsi, en particulier, les graphes orientés sont des graphes
à composition où rien (de ce qui est consécutif) n'est composable, tandis que les
catégories sont des graphes à composition où (notamment) tout (ce qui est consécutif)
est composable.
Comme dans le cas plus particulier des catégories, les foncteurs entre graphes à
composition ne sont pas autre chose que des homomorphismes entre ces structures,
tandis que les transformations naturelles entre foncteurs (d'un graphe à composition
vers un autre) sont des comparaisons entre ces foncteurs, établies à l'aide de familles de
carrés évidemment commutatifs ... mais dont il convient de stipuler, au préalable, qu'ils
sont à côtés (consécutifs) composables.
En s'autorisant à n’utiliser que des graphes à composition d'une certaine taille
(conditionnée par un univers, i.e. un ensemble d'ensembles stable pour les opérations
ensemblistes "usuelles" - à défaut de pouvoir considérer, sans paradoxe, "l'ensemble de
tous les ensembles"), on dispose alors (§§ 3 et 4) du système tensoriel et du système
enrichi des graphes à composition de cette taille, à savoir :
• de la catégorie dont les points sont les graphes à composition de cette taille et dont
les flèches sont les foncteurs entre ces graphes à composition,
• d'un système de trois produits tensoriels de graphes à composition (le premier dit
creux, le deuxième dit plein, le trosième étant le produit cartésien),
• d'un système d'enrichissements de cette catégorie, i.e. d'une structuration
supplémentaire de ses "Hom", puisque l'ensemble des foncteurs d'un premier graphe
à composition vers un deuxième (tous deux de la taille considérée) est l’ensemble des
points d’un troisième graphe à composition (de même taille), exponentiation du
deuxième par le premier, dont les flèches sont les transformations naturelles entre ces
foncteurs,
• de compositions enrichies, opérant sur différents produits tensoriels de ces "Hom
enrichis".
De la sorte, sont complètement précisés et structurés les différents modes concrets de
composition, non seulement des foncteurs entre eux, mais aussi des foncteurs et des
transformations naturelles entre eux, ainsi que des transformations naturelles entre elles,
selon qu'ils et elles sont ou non à valeurs dans des graphes à composition généraux, des
catégories ou des graphes orientés. De même, ces "systèmes" étant explicités, les
constructions (de "lax-limites inductives") qui interviendront dans la suite sont d'ores et
déjà pleinement légitimées.
Un foncteur d'une catégorie vers une autre a tout naturellement pour image un
graphe à composition qui n'est pas, en général, une catégorie mais qui engendre, lorsqu'on
le "sature par composition", une sous-catégorie de la catégorie co-domaine de ce
2
foncteur. Plus structurellement encore, en considérant (§5) les classes d'équivalence
(modulo les égalités éventuelles de composés) de chemins (i.e. de familles) de flèches
consécutives d'un quelconque graphe à composition, on voit qu'il engendre toujours
"librement" une catégorie.
Ainsi, les graphes à composition apparaissent comme autant de présentations de
catégories par générateurs (leurs flèches) et relations (les équations résultant de la
composition - partielle - des flèches).
C'est évidemment la nature même d'un Manuel de Référence que de ne
pas toujours être d'une lecture lénifiante. Nous n'avons guère pu échapper à cette règle,
mais le lecteur trouvera dans la série de textes constituant le Guide de l'Utilisateur,
évoqué plus haut, de nombreuses motivations et de nombreux exemples.
C'est également la nature même d'un Manuel de Référence que d'être aussi auto-contenu
que possible, en permettant ainsi la reconstitution de "tout" ce qui est techniquement
nécessaire sans devoir recourir à de trop diverses sources d'informations, souvent
implicites ou ambigües. C'est ce à quoi nous nous sommes astreints : on peut donc lire ce
travail sans autre pré-requis qu'un minimum de familiarisation avec les usages les plus
courants en théorie des catégories.
2.
Graphes à composition, foncteurs et transformations
naturelles.
2.1.
Graphes à composition.
2.1.a.
Un graphe à composition G est constitué par :
• la donnée d'un ensemble de points Pt (G ) ,
• la donnée d'un ensemble de flèches Fl (G ) ,
• la donnée d'un ensemble de flèches identités FlId (G ) ⊆ Fl (G ) ,
• la donnée d'un ensemble
CComp (G ) ⊆ Fl (G ) × Fl (G ) ,
de
couples
(de
flèches)
composables
• la donnée d'une application sélection des domaines seldom (G ) : Fl (G ) → Pt (G )
(s'il n'y a pas risque d'ambiguïté, pour toute flèche g de G , on note plus
simplement seldom (G ) (g ) = dom (g ) ),
3
• la
donnée
d'une
application
sélection
des
co-domaines
G
G
G
selcodom ( ) : Fl ( ) → Pt ( ) (s'il n'y a pas risque d'ambiguïté, pour toute flèche
g de G , on note plus simplement selcodom (G ) (g ) = codom (g ) ),
• la donnée d'une application composition comp (G ) : CComp (G ) → Fl (G ) (s'il n'y
a pas risque d'ambiguïté, pour tout couple composable (g1 ,g2 ) de G , on note plus
simplement comp (G ) (g1 ,g2 ) = g2 • g1 , à moins qu'un symbole de composition
autre que le " • " , mais plus usuel dans certains cas particuliers, ne soit utilisé),
et, ce, de sorte que :
• pour toute flèche identité g de G , on a :
dom (g ) = codom (g ) ,
si bien qu'on dispose d'une application sélection des points (pour les flèches
identités) :
selpt (G ) : FlId (G ) → Pt (G )
=
seldom(G )
⊆
FlId (G ) → Fl (G ) → Pt (G )
=
selcodom(G )
⊆
FlId (G ) → Fl (G ) → Pt (G )
(s'il n'y a pas risque d'ambiguïté, pour toute flèche identité g de G , on note plus
simplement selpt (G ) (g ) = pt (g ) ),
• pour tout couple composable (g1 ,g2 ) de G on a :
codom (g1 ) = dom (g2 ) ,
dom (g2 • g1 ) = dom (g1 ) ,
codom (g2 • g1 ) = codom (g2 ) .
Alors, si G1 et G2 sont deux points de G et si g est une flèche de G telle que
dom (g ) = G1 et codom (g ) = G2 , on écrit g : G1 →G G2 (et même, le plus souvent,
s'il n'y a pas risque d'ambiguïté, g : G1 → G2 ).
Plus précisément encore, si G est un point de G et si g est une flèche identité de
G telle que pt (g ) = G , on écrit g : G =→G G (et même, le plus souvent, s'il n'y a
pas risque d'ambiguïté, g : G =→ G ).
De même, si G1 et G2 sont deux points de G , on note, indifféremment :
Hom G (G1 ,G2 ) = G (G1 ,G2 ) = { g ∈ Fl (G ) | g : G1 → G2 } .
Enfin, on désigne par :
CCons (G ) = { (g1 ,g2 ) ∈ Fl (G ) × Fl (G ) | codom (g1 ) = dom (g2 ) }
4
l'ensemble des couples de flèches consécutives de G (de sorte que, nécessairement, on
a CComp (G ) ⊆ CCons (G ) ).
2.1.b. Si G est un graphe à composition, on désigne (comme pour une
catégorie) par G op le graphe à composition dual de G , i.e. le graphe à composition
évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• Pt (G op ) = Pt (G ) ,
• Fl (G op ) = Fl (G ) ,
• FlId (G op) = FlId (G ) ,
• CComp (G op ) = { (g2 ,g1 ) / (g1 ,g2 ) ∈ CComp (G ) } ,
• seldom (G op ) = selcodom (G ) ,
• selcodom (G op ) = seldom (G ) ,
• pour tout couple composable (g2 ,g1 ) de G op , on a :
comp (G op) (g2 ,g1 ) = comp (G ) (g1 ,g2 ) .
2.1.c.
Une catégorie A est (i.e. s'identifie à) un graphe à composition tel
que :
• l'application selpt (A ) : FlId (A ) → Pt (A ) est une bijection, de sorte qu'on dispose
d'une application sélection des identités (en les points) :
selid (A ) : Pt (A ) → Fl (A )
=
⊆
selpt( A ) −1

Pt (A ) → FlId (A ) → Fl (A ) ,
(alors, s'il n'y a pas risque d'ambiguïté, pour tout point A de A , on note plus
simplement selid (A ) (A ) = id (A ) ),
• tous les couples consécutifs
CComp (A ) = CCons (A ) ,
sont
des
couples
composables,
i.e. on
• les identités sont des éléments neutres (locaux) pour la composition des flèches,
• la composition des flèches est associative.
5
a
2.1.d.
pour lequel :
Un graphe orienté R est (i.e. s'identifie à) un graphe à composition
• il n'y a pas de flèches identités, i.e. FlId (R ) = ∅ ,
• il n'y a pas de couples composables, i.e. CComp (R ) = ∅ .
Alors, à tout graphe à composition G est associé son graphe orienté sous-jacent
ssj (G ) , ayant mêmes points et mêmes flèches que G i.e. le graphe orienté tel que :
• Pt ( ssj (G ) ) = Pt (G ) ,
• Fl ( ssj (G ) ) = Fl (G ) ,
• seldom ( ssj (G ) ) = seldom (G ) ,
• selcodom ( ssj (G ) ) = selcodom (G ) .
2.2.
Foncteurs.
2.2.a. Si G
et G ' sont deux graphes à composition, un foncteur
φ : G → G ' de G vers G ' est constitué par :
• la donnée d'une application Pt (φ) : Pt (G ) → Pt (G ') (s'il n'y a pas risque
d'ambiguïté, pour tout point
G
de
G , on note plus simplement
Pt (φ) (G ) = φ (G ) ),
• la donnée d'une application Fl (φ) : Fl (G ) → Fl (G ') (s'il n'y a pas risque
G , on note plus simplement
d'ambiguïté, pour toute flèche
g
de
Fl (φ) (g ) = φ (g ) ),
et, ce, de sorte que :
• pour toute flèche g de G , on a :
φ ( dom (g ) ) = dom ( φ (g ) )
et :
φ ( codom (g ) ) = codom ( φ (g ) ) ,
autrement dit les diagrammes (d'applications) ci-dessous commutent :
6
Fl (G )
seldom (G )
Pt (φ)
Fl (φ)
Fl (G ' )
Fl (G )
seldom (G ' )
selcodom (G )
Pt (G ' )
Pt (G )
Pt (φ)
Fl (φ)
Fl (G ' )
Pt (G )
selcodom (G ' )
Pt (G ' )
d'où il résulte que l'application :
Fl (φ) × Fl (φ) : Fl (G ) × Fl (G ) → Fl (G ') × Fl (G ')
admet une restriction :
CCons (φ) : CCons (G ) → CCons (G ') ,
et donc le diagramme (d'applications) ci-dessous commute :
⊆
Fl (G ) × Fl (G )
CCons (G )
CCons (φ)
CCons (G ' )
Fl (φ) x Fl( φ)
Fl ( G ' ) × Fl (G ' )
⊆
7
• pour toute flèche identité g de G , la flèche φ (g ) est une flèche identité de G ' ,
autrement dit l'application :
Fl (φ) : Fl (G ) → Fl (G ')
admet une restriction :
FlId (φ) : FlId (G ) → FlId (G ')
et donc le diagramme (d'applications) ci-dessous commute :
FlId (G )
⊆
Fl (G )
Fl (φ)
FlId (φ)
FlId (G ' )
⊆
Fl (G ' )
• pour tout couple composable (g1 ,g2 ) de G , le couple (φ (g1 ),φ (g2 )) est un couple
composable de G ' et on a :
φ (g2 • g1 ) = φ (g2 ) • φ (g1 ) ,
autrement dit l'application :
CCons (φ) : CCons (G ) → CCons (G ')
admet une restriction :
CComp (φ) : CComp (G ) → CComp (G ')
et les diagrammes (d'applications) ci-dessous commutent :
⊆
CComp (G )
CCons (G )
CComp (φ )
CComp (G ' )
CCons (φ )
⊆
8
CCons (G ' )
CComp (G )
comp( G )
CComp (φ )
CComp (G ' )
Fl (G )
Fl (φ )
comp(G ' )
Fl (G ' )
2.2.b. Si G et G ' sont deux graphes à composition et si φ : G → G ' est
un foncteur, on désigne par φ op : G op → G ' op le foncteur dual de φ , i.e. le foncteur
évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• Pt (φ op ) = Pt (φ ) ,
• Fl (φ op ) = Fl (φ ) .
2.2.c. Si G , G ' et G '' sont trois graphes à composition et si φ : G → G '
et φ ' : G ' → G " sont deux foncteurs, on désigne par φ ' o φ : G → G '' le composé de
φ ' avec φ , i.e. le foncteur évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• Pt (φ ' o φ) = Pt (φ ') o Pt (φ) ,
• Fl (φ ' o φ) = Fl (φ ') o Fl (φ) .
De même, si
le foncteur identité en
G est un graphe à composition, on désigne par id (G ) : G → G
G , i.e. le foncteur évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• Pt ( id (G ) ) = id ( Pt (G ) ) ,
• Fl ( id (G ) ) = id ( Fl (G ) ) .
9
2.3.
Transformations naturelles.
2.3.a. Si G et G ' sont deux graphes à composition et si φ1 , φ2 : G → G '
sont deux foncteurs, une transformation naturelle t : φ1 ⇒ φ2 : G → G ' (ou encore
t : φ1 ⇒ φ2 ) de φ1 vers φ2 est constituée par :
• la donnée d'une famille de flèches de G ' :
fam (t ) = ( fam (t ) (G ) : φ1 (G ) → φ2 (G ) ) G
∈ Pt ( G )
(pour tout point G de G , on note plus simplement fam (t ) (G ) = t (G ) )
et, ce, de sorte que :
• pour toute flèche g : G1 → G2 de G , les couples (t (G1 ),φ2 (g )) et (φ1 (g ),t (G2 ))
sont des couples composables de G ' et on a :
t (G2 ) • φ1 (g ) = φ2 (g ) • t (G1 ) ,
autrement dit, le diagramme (de G ' ) ci-dessous commute :
φ 1 (G1 )
φ1 (g )
t (G1 )
φ2 (G1 )
φ 1 (G2 )
t (G2 )
φ 2 (g )
φ 2 (G2 )
2.3.b. Si G et G ' sont deux graphes à composition, si φ1 , φ2 : G → G '
sont deux foncteurs et si t : φ1 ⇒ φ2 : G → G ' est une transformation naturelle, on
désigne par t op : φ2op ⇒ φ1op : G op → G ' op la transformation naturelle duale de t , i.e.
la transformation naturelle évidemment obtenue lorsqu'on impose que :
• pour tout point G de G , on a t op (G ) = t (G ) .
2.3.c. Si
G
et
G'
sont deux graphes à composition, si
φ1 , φ2 , φ3 : G → G ' sont trois foncteurs et si t1 : φ1 ⇒ φ2 et t2 : φ2 ⇒ φ3 sont deux
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transformations naturelles, on dit que (t1 ,t2 )
naturelles) naturellement composable si :
est un couple (de transformations
• pour tout point G de G , le couple (t1 (G ),t2 (G )) est un couple composable de
G',
• pour toute flèche g : G1 → G2 de G , les couples (φ1 (g ),t2 (G2 ) • t1 (G2 )) et
(t2 (G1 ) • t1 (G1 ),φ3 (g )) sont des couples composables de G ' et de composés
égaux, i.e. tels que :
[ t2 (G2 ) • t1 (G2 ) ] • φ1 (g ) = φ3 (g ) • [ t2 (G1 ) • t1 (G1 ) ] ,
de sorte qu'on dispose, alors, de la transformation naturelle composée naturelle de t2
avec t1 :
t2 • t1 : φ1 ⇒ φ3 : G → G ' ,
i.e. de la transformation naturelle évidemment obtenue lorsqu'on impose que :
• pour tout point G de G , on a (t2 • t1 ) (G ) = t2 (G ) • t1 (G ) .
En particulier, si G ' = A ' est une catégorie, tout couple (t1 ,t2 ) de transformations
naturelles consécutives est naturellement composable (puisque, pour tout point G de
G , le couple (t1 (G ),t2 (G )) est un couple composable de A ' et puisque la
composition des flèches de A ' est associative).
De même, si G et G ' sont deux graphes à composition et si φ : G → G '
est un foncteur, on dit qu'une transformation naturelle t : φ ⇒ φ est identitaire si :
• pour tout point G de G , la flèche t (G ) : φ (G ) → φ (G ) est une flèche identité de
G'.
En particulier, si G ' = A ' est une catégorie, on dispose de la transformation naturelle
identité en φ :
id (φ) : φ ⇒ φ : G → A ' ,
i.e. de l'unique transformation naturelle identitaire de φ vers φ évidemment obtenue
lorsqu'on impose que :
• pour tout point G de G , on a id (φ) (G ) = id (φ (G )) .
2.3.d. Si G , G ' et G ''
sont trois graphes à composition, si
φ1 , φ2 : G → G ' et φ ' : G ' → G '' sont trois foncteurs et si t : φ1 ⇒ φ2 est une
transformation naturelle, on désigne par :
φ ' o t : φ ' o φ1 ⇒ φ ' o φ2 : G → G ''
la transformation naturelle composée de φ ' avec t , i.e. la transformation naturelle
évidemment obtenue lorsqu'on impose que :
11
• pour tout point G de G , on a (φ ' o t ) (G ) = φ ' (t (G )) ;
De même, si G , G ' et G '' sont trois graphes à composition, si φ : G → G '
et φ '1 , φ '2 : G ' → G '' sont trois foncteurs et si t ' : φ '1 ⇒ φ '2 est une transformation
naturelle, on désigne par :
t ' o φ : φ '1 o φ ⇒ φ '2 o φ : G → G ''
la transformation naturelle composée de t ' avec φ , i.e. la transformation naturelle
évidemment obtenue lorsqu'on impose que :
• pour tout point G de G , on a (t ' o φ) (G ) = t ' (φ (G )) .
Dans ces conditions, si G et G ' sont deux graphes à composition, si A ''
est une catégorie, si φ1 , φ2 : G → G ' et φ '1 , φ '2 : G ' ⇒ A '' sont quatre foncteurs et
si t : φ1 ⇒ φ2 et t ' : φ '1 ⇒ φ '2 sont deux transformations naturelles, il est facile de
vérifier (puisque A '' est une catégorie) que le diagramme (de transformations naturelles)
ci-dessous commute :
φ '1 o φ1
φ'
1o
t
φ '1 o φ2
t ' o φ1
t ' o φ2
φ'
2o
φ
1
φ'
2o
t
φ'
2o
φ
2
où sa diagonale définit donc la transformation naturelle composée de t ' avec t :
t ' o t : φ '1 o φ1 ⇒ φ '2 o φ2 : G → A '' .
12
3.
Exponentiation
composition.
3.1.
et
tensorisations
de
graphes
à
Exponentiation.
3.1.a. Si G et G ' sont deux graphes à composition, on désigne par
Fonc (G ,G ') l'ensemble des foncteurs allant de G vers G ' .
Si G , G ' et G '' sont trois graphes à composition et si φ ' : G ' → G '' est
un foncteur, on désigne par :
Fonc (G ,φ ') : Fonc (G ,G ') → Fonc (G ,G '')
l'application composition avec φ ' à gauche, i.e. l'application telle que :
• pour tout foncteur φ : G → G ' , on a Fonc (G ,φ ') (φ) = φ ' o φ .
De même, si G , G ' et G '' sont trois graphes à composition et si
φ : G → G ' est un foncteur, on désigne par :
Fonc (φ,G '') : Fonc (G ',G '') → Fonc (G ,G '')
l'application composition avec φ à droite, i.e. l'application telle que :
• pour tout foncteur φ ' : G ' → G '' , on a Fonc (φ,G '') (φ ') = φ' o φ .
Si G , G ' , G '' et G ''' sont quatre graphes à composition et si φ : G → G '
et φ '' : G '' → G ''' sont deux foncteurs, il est facile de vérifier que le carré
(d'applications) ci-dessous commute :
Fonc (G ',G '')
Fonc (G ',φ '')
Fonc (G ',G ''')
Fonc (φ ,G '')
Fonc (φ,G ''')
Fonc (G ,G '')
Fonc (G ,G ''')
Fonc (G ,φ '')
où sa diagonale définit donc l'application :
Fonc (φ,φ '') : Fonc (G ',G '') → Fonc (G ,G ''') .
13
3.1.b. Si G et G ' sont deux graphes à composition, on désigne par
Fon c (G ,G ') le graphe à composition des foncteurs de G vers G ' (ou
exponentiation de G ' par G ), i.e. le graphe à composition canoniquement obtenu
lorsqu'on impose que :
• ses points sont les foncteurs de G vers G ' ,
• ses flèches sont les transformations naturelles entre ces foncteurs,
• ses flèches identités sont les transformations naturelles identitaires entre ces
foncteurs,
• sa loi de composition est la composition naturelle (des couples - de transformations
naturelles entre ces foncteurs - naturellement composables).
En particulier, si G ' = A ' est une catégorie, le graphe à composition F o n c (G ,A ')
est évidemment une catégorie.
De même, si G ' = R ' est un graphe orienté, le graphe à composition F o n c (G ,R ')
est évidemment un graphe orienté.
Si G , G ' et G '' sont trois graphes à composition et si φ ' : G ' → G '' est
un foncteur, on désigne par :
Fonc (G ,φ ') : Fonc (G ,G ') → Fonc (G ,G '')
le foncteur composition avec φ ' à gauche, i.e. le foncteur évidemment obtenu lorsqu'on
impose que :
• pour tout foncteur φ : G → G ' , on a :
Fonc (G ,φ ') (φ) = φ ' o φ ,
• pour toute transformation naturelle t : φ1 ⇒ φ2 : G → G ' , on a :
F o n c (G ,φ ') (t ) = φ ' o t .
De même, si G , G ' et G '' sont trois graphes à composition et si
φ : G → G ' est un foncteur, on désigne par :
F o n c (φ,G '') : F o n c (G ',G '') → F o n c (G ,G '')
le foncteur composition avec φ à droite, i.e. le foncteur évidemment obtenu lorsqu'on
impose que :
• pour tout foncteur φ ' : G ' → G '' , on a :
F o n c (φ,G '') (φ ') = φ' o φ ,
• pour toute transformation naturelle t ' : φ '1 ⇒ φ '2 : G ' → G '' , on a :
F o n c (φ,G '') (t ') = t ' o φ .
14
Si G , G ' , G '' et G ''' sont quatre graphes à composition et si φ : G → G '
et φ '' : G '' → G ''' sont deux foncteurs, il est facile de vérifier que le carré (de foncteurs)
ci-dessous commute :
Fonc (G ',G '')
Fonc (G ',φ '')
Fonc (φ ,G '')
Fonc (G ',G ''')
Fonc (φ,G ''')
Fonc (G ,G '')
Fonc (G , G ''')
Fonc (G ,φ '')
où sa diagonale définit donc le foncteur :
F o n c (φ,φ '') : F o n c (G ',G '') → F o n c (G ,G ''') .
3.2.
Tensorisation creuse.
3.2.a. Si G et G ' sont deux graphes à composition, on désigne par
G G ' le graphe à composition produit tensoriel creux de G avec G ' , i.e. le graphe
à composition évidemment obtenu lorsqu'on impose, comme schématiquement
représenté ci-dessous, que :
15
G1
[G1 ,g ']
[G1 ,G '2 ]
g
[g ,G '2 ]
[g ,G '1 ]
[G2 ,G '2 ]
G2
[G2 ,g ']
G G'
G
G'
[G1 ,G '1 ]
G '2
[G2 ,G '1 ]
G '1
g'
• ses points sont les [G,G '] , où G est un point de G et G ' est un point de G ' ,
• ses flèches sont :
! les [g,G '] : [G1 ,G '] → [G2 ,G '] , où g : G1 → G2 est une flèche de G et
G ' est un point de G ' ,
! les [G,g '] : [G,G '1 ] → [G,G '2 ] , où
g ' : G '1 → G '2 est une flèche de G ' ,
G
est un point de
G
et
• ses flèches identités sont :
! les [g,G '] : [G,G '] =→ [G,G '] , où g : G =→ G est une flèche identité de
G et G ' est un point de G ' ,
! les [G,g '] : [G,G '] =→ [G,G '] , où G est un point de
g ' : G ' =→ G ' est une flèche identité de G ' ,
G
et
• ses couples composables sont :
! les ([g1 ,G '],[g2 ,G ']) , où (g1 ,g2 ) est un couple composable de G et G '
est un point de G ' , auquel cas on a [g2 ,G '] • [g1 ,G '] = [g2 • g1 ,G '] ,
! les ([G,g '1 ],[G,g '2 ]) , où G est un point de G et (g '1 ,g '2 ) est un
G',
couple
composable
de
auquel
cas
on
a
[G,g '2 ] • [G,g '1 ] = [G,g '2 • g '1 ] .
En particulier, si G = R et
évidemment un graphe orienté.
G ' = R ' sont deux graphes orientés, R R '
16
est
3.2.b. Si G 1 , G '1 , G 2 et G '2 sont quatre graphes à composition et si
φ : G 1 → G 2 et φ ' : G '1 → G '2 sont deux foncteurs, on désigne par :
φ φ' : G 1
G '1 → G 2 G ' 2
le foncteur produit tensoriel creux de φ avec φ ' , i.e. le foncteur évidemment obtenu
lorsqu'on impose que :
• pour tout point G1 de G 1 et pour tout point G '1 de G '1 , on a :
(φ φ ') ( [G1 ,G '1 ] ) = [φ (G1 ),φ ' (G '1 )] ,
• pour toute flèche g1 de G 1 et pour tout point G '1 de G '1 , on a :
(φ φ ') ( [g1 ,G '1 ] ) = [φ (g1 ),φ ' (G '1 )] ,
• pour tout point G1 de G 1 et pour toute flèche g '1 de G '1 , on a :
(φ φ ') ( [G1 ,g '1 ] ) = [φ (G1 ),φ ' (g '1 )] .
Tensorisation pleine.
3.3.
3.3.a. Si G et G ' sont deux graphes à composition, on désigne par
G ⌧ G ' le graphe à composition produit tensoriel plein de G avec G ' , i.e. le graphe
à composition évidemment obtenu lorsqu'on impose, comme schématiquement
représenté ci-dessous que :
G1
g
[g ,g ']
[g ,G '2 ]
[G2 ,G '2 ]
G2
G
[G1 ,g ']
[G1 ,G '2 ]
G'
[g ,G '1 ]
[G2 ,g ']
G⌧G'
G '2
g'
17
[G1 ,G '1 ]
[G2 ,G '1 ]
G '1
• ses points sont les [G,G '] , où G est un point de G et G ' est un point de G ' ,
• ses flèches sont :
! les [g,G '] : [G1 ,G '] → [G2 ,G '] , où g : G1 → G2 est une flèche de G et
G ' est un point de G ' ,
! les [G,g '] : [G,G '1 ] → [G,G '2 ] , où
g ' : G '1 → G '2 est une flèche de G ' ,
G
est un point de
G
et
! les [g,g '] : [G1 ,G '1 ] → [G2 ,G '2 ] , où g : G1 → G2 est une flèche de G
et g ' : G '1 → G '2 est une flèche de G ' ,
• ses flèches identités sont :
! les [g,G '] : [G,G '] =→ [G,G '] , où g : G =→ G est une flèche identité de
G et G ' est un point de G ' ,
! les [G,g '] : [G,G '] =→ [G,G '] , où G est un point de
g ' : G ' =→ G ' est une flèche identité de G ' ,
G
et
! les [g,g '] : [G,G '] → [G,G '] , où g : G =→ G est une flèche identité de
G et g ' : G ' =→ G ' est une flèche identité de G ' ,
• ses couples composables sont :
! les ([g1 ,G '],[g2 ,G ']) , où (g1 ,g2 ) est un couple composable de G et G '
est un point de G ' , auquel cas on a [g2 ,G '] • [g1 ,G '] = [g2 • g1 ,G '] ,
! les ([G,g '1 ],[G,g '2 ]) , où G est un point de G et (g '1 ,g '2 ) est un
G',
couple
composable
de
auquel
cas
on
a
[G,g '2 ] • [G,g '1 ] = [G,g '2 • g '1 ] ,
! les ([g,G '1 ],[G2 ,g ']) , où g : G1 → G2
g ' :G '1 → G '2
est une flèche de
[G2 ,g '] • [g,G '1 ] = [g,g '] ,
est une flèche de G
et
G ' , auquel cas on a
! les ([G1 ,g '],[g,G '2 ]) , où g : G1 → G2
g ' :G '1 → G '2
est une flèche de
[g,G '2 ] • [G1 ,g '] = [g,g '] ,
est une flèche de G
et
G ' , auquel cas on a
! les ([g1 ,g '1 ],[g2 ,g '2 ]) , où (g1 ,g2 ) est un couple composable de G et
(g '1 ,g '2 ) est un couple composable de
G ' , auquel cas on a
[g2 ,g '2 ] • [g1 ,g '1 ] = [g2 • g1 ,g '2 • g '1 ] .
3.3.b. Si G 1 , G 2 , G '1 et G '2 sont quatre graphes à composition et si
φ : G 1 → G 2 et φ ' : G '1 → G '2 sont deux foncteurs, on désigne par :
φ ⌧ φ ' : G 1 ⌧ G '1 → G 2 ⌧ G '2
18
le foncteur produit tensoriel plein de φ avec φ ' , i.e. le foncteur évidemment obtenu
lorsqu'on impose que :
• pour tout point G1 de G 1 et pour tout point G '1 de G '1 , on a :
(φ ⌧ φ ') ( [G1 ,G '1 ] ) = [φ (G1 ),φ ' (G '1 )] ,
• pour toute flèche g1 de G 1 et pour tout point G '1 de G '1 , on a :
(φ ⌧ φ ') ( [g1 ,G '1 ] ) = [φ (g1 ),φ ' (G '1 )] ,
• pour tout point G1 de G 1 et pour toute flèche g '1 de G '1 , on a :
(φ ⌧ φ ') ( [G1 ,g '1 ] ) = [φ (G1 ),φ ' (g '1 )] ,
• pour toute flèche g1 de G 1 et pour toute flèche g '1 de G '1 , on a :
(φ ⌧ φ ') ( [g1 ,g '1 ] ) = [φ (g1 ),φ ' (g '1 )] .
Tensorisation cartésienne.
3.4.
3.4.a. Si G
et G ' sont deux graphes à composition, on désigne
indifféremment par G ⊗ G ' = G × G ' le graphe à composition produit tensoriel
cartésien, ou encore produit cartésien, de G avec G ' , i.e. le graphe à composition
évidemment obtenu lorsqu'on impose, comme représenté schématiquement ci-dessous,
que :
G1
[G1 ,G '1 ]
[g ,g ']
g
[G2 ,G '2 ]
G2
G
G⊗G'
G'
G '2
g'
19
G '1
• ses points sont les [G,G '] , où G est un point de G et G ' est un point de G ' ,
• ses flèches sont les [g,g '] : [G1 ,G '1 ] → [G2 ,G '2 ] , où g : G1 → G2 est une flèche
de G et g ' : G '1 → G '2 est une flèche de G ' ,
• ses flèches identités sont les [g,g '] : [G,G '] → [G,G '] , où g : G =→ G est une
flèche identité de G et g ' : G ' =→ G ' est une flèche identité de G ' ,
• ses couples composables sont les ([g1 ,g '1],[g2 ,g '2 ]) , où (g1 ,g2 ) est un couple
composable de G et (g '1 ,g '2 ) est un couple composable de G ' , auquel cas on a
[g2 ,g '2 ] • [g1 ,g '1 ] = [g2 • g1 ,g '2 • g '1 ] .
En particulier si G = A et G ' = A ' sont des catégories, il est facile de vérifier que
A ⊗ A ' = A × A ' est une catégorie (dans la suite, nous utilisons nombre de fois des
produits cartésiens de graphes à composition et/ou de catégories, mais nous n'utiliserons
leur "statut" de produit tensoriel - qui sera précisé plus loin - que lorsqu'il s'agira de
catégories).
3.4.b. Si G 1 , G 2 , G '1 et G '2 sont quatre graphes à composition et si
φ : G 1 → G 2 et φ ' : G '1 → G '2 sont deux foncteurs, on désigne indifféremment par :
φ ⊗ φ ' : G 1 ⊗ G '1 → G 2 ⊗ G '2
=
φ × φ ' : G 1 × G '1 → G 2 × G '2
le foncteur produit tensoriel cartésien, ou produit cartésien, de φ avec
foncteur évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• pour tout point G1 de G 1 et pour tout point G '1 de G '1 , on a :
(φ ⊗ φ ') ( [G1 ,G '1 ] ) = (φ × φ ') ( [G1 ,G '1 ] ) = [φ (G1 ),φ ' (G '1 )] ,
• pour toute flèche g1 de G 1 et pour toute flèche g '1 de G '1 , on a :
(φ ⊗ φ ') ( [g1 ,g '1 ] ) = (φ × φ ') ( [g1 ,g '1 ] ) = [φ (g1 ),φ ' (g '1 )] .
20
φ ' , i.e. le
La catégorie des graphes à composition.
4.
4.1.
Univers.
4.1.a.
Un univers
• l'ensemble
N
U
est un ensemble (d'ensembles) tel que :
des entiers naturels appartient à
• si
U,
X1 et X2 sont deux ensembles appartenant
X1 × X2 appartient à U ,
• si
Y
d'ensembles qui appartiennent à
• si
X
X
U,
U.
et si
(X y ) y ∈ Y
y∈
U
est un ensemble appartenant à
appartient à
U , alors leur produit
U , alors la réunion UY X
est un ensemble appartenant à
appartient à
• si
U
est un ensemble appartenant à
à
et si
X'
y
est une famille
appartient à
est une partie de
U , alors l'ensemble P (X)
cartésien
U,
X , alors X '
de ses parties
Dans toute la suite, on raisonne dans un modèle de la théorie des ensembles de
Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix et axiome des univers ("il existe au moins un
univers").
4.1.b.
•
X
Si
appartient à
U
est un univers, on dit qu'un ensemble
X
est U-petit si :
U.
Dans ces conditions, on désigne par Ens U la catégorie des ensembles
petits, i.e. la catégorie canoniquement obtenue lorsqu'on impose que :
• ses points sont les ensembles U-petits,
• ses flèches sont les applications entre ces ensembles U-petits.
21
U-
4.2.
La catégorie des graphes à composition U-petits.
4.2.a.
Si
U
est un univers, on dit qu'un graphe à composition est
localement U-petit si :
• pour tous points G1 et G2 de G , l'ensemble Hom G (G1 ,G2 ) est un ensemble
petit,
(dans la suite, nous n'aurons à considérer que des catégories localement
U-
U-petites - "en
tant que graphes à composition" - mais; si tel n'était pas le cas, il faudrait prendre garde
au fait que la catégorie engendrée - comme précisé au §5 - par un graphe à composition
localement U-petit n'est pas nécessairement localement U-petite).
4.2.b.
Si
U
est un univers, on dit qu'un graphe à composition G est
U-
petit si :
• Pt (G ) est un ensemble U-petit,
• Fl (G ) est un ensemble
U-petit,
(de sorte que, nécessairement, les ensembles FlId (G ) et CComp (G ) sont aussi
petits).
U-
Dans ces conditions, on note C o m p U la catégorie des graphes à composition
U-petits, i.e. la catégorie
(évidemment localement
U-petite)
canoniquement obtenue
lorsqu'on impose que :
• ses points sont les graphes à composition U-petits,
• ses flèches sont les foncteurs entre ces graphes à composition.
De même, on désigne par Cat U la sous-catégorie pleine de Comp U dont les
points sont les catégories U-petites ("en tant que graphes à composition") et on note :
Cat U ⊆ Comp U : Cat U → Comp U
le foncteur injection canonique.
Enfin, on désigne par Or U la sous-catégorie pleine de C o m p U dont les
points sont les graphes orientés U -petits ("en tant que graphes à composition") et on
note :
Or U ⊆ Comp U : Or U → Comp U
22
le foncteur injection canonique.
4.3.
V est constitué par :
la donnée, pour toute flèche j de J , d'une catégorie Cpste (V , j ) composante de
V en j (on note plus simplement V j = Cpste (V , j ) et, si j = id (J ) : J =→ J
est une identité, V J = V id ( J ) ),
4.3.a.
•
Systèmes tensoriels.
Si J est une catégorie, un J -système tensoriel
• la donnée, pour tout couple (j : J → J ', j ' : J ' → J '') de flèches consécutives (donc
composables) de J , d'un foncteur produit tensoriel en (j , j ') :
ptens (V , (j , j ') ) : V j × V j ' → V j ' • j
(s'il n'y a pas risque d'ambiguïté, on note plus simplement :
- ⊗ j , j ' - = ptens (V , (j , j ') ) : V j × V j ' → V j ' • j
et même, bien souvent - à charge au lecteur de compléter :
- ⊗ ... - = - ⊗ j , j ' - : V j × V j ' → V j ' • j ).
Dans ces conditions, si ( j : J → J ', j ' : J ' → J '', j '' : J '' → J ''') est un triplet de
flèches consécutives (donc composables) de J , on dit que :
•
V
est quasi-associatif (avec déplacement des parenthèses) de gauche à droite en
( j , j ', j '') si on dispose d'une réécriture de quasi-associativité de gauche à droite, i.e.
d'une transformation naturelle :
qass j , j ', j '' : (- ⊗j , j ' -) ⊗j ' • j , j '' - ⇒ - ⊗j , j '' • j ' (- ⊗j ' , j '' -) : V j × V j ' × V j '' → V j '' • j ' • j ,
•
V
est associatif en ( j , j ', j '') si on dispose d'une réécriture d'associativité, i.e.
d'une équivalence naturelle :
ass j , j ', j '' : (- ⊗j , j ' -) ⊗j ' • j , j '' - ⇒ - ⊗j , j '' • j ' (- ⊗j ' , j '' -) : V j × V j ' × V j '' → V j '' • j ' • j ,
(on laisse au lecteur le soin de définir la quasi-associativité de droite à gauche, que nous
n'utiliserons pas dans la suite).
De même, si j : J → J ' est une flèche de J , on dit que :
•
V
admet le point V de V J pour quasi-unité au domaine de j si on dispose d'une
réécriture de quasi-unitarité au domaine, i.e. d'une transformation naturelle :
23
qunit V , j : id (V j ) ⇒ (V ⊗ id ( J ) , j -) : V j → V j ,
•
V
admet le point V de V J pour unité au domaine de j si on dispose d'une
réécriture d'unitarité au domaine, i.e. d'une équivalence naturelle :
unit V , j : id (V j ) ⇒ (V ⊗ id ( J ) , j -) : V j → V j ,
•
V
admet le point V ' de V J ' pour quasi-unité au codomaine de j si on dispose
d'une réécriture de quasi-unitarité au codomaine, i.e. d'une transformation naturelle :
qunit j , V ' : id (V j ) ⇒ (- ⊗ j , id (J ' ) V ') : V j → V j ,
•
V
admet le point V ' de V J ' pour unité au codomaine de j si on dispose d'une
réécriture d'unitarité au codomaine, i.e. d'une équivalence naturelle :
unit j , V ' : id (V j ) ⇒ (- ⊗ j , id (J ' ) V ') : V j → V j .
Plus globalement, on dit que :
•
V
est quasi-associatif de gauche à droite si :
!
V
est quasi-associatif de gauche à droite en tout triplet
flèches consécutives de J ,
( j , j ', j '') de
! tous les diagrammes de réécritures de quasi-associativité de gauche à droite
commutent (on dit, alors, qu'il y a cohérence de ces diverses réécritures),
•
V
est associatif si :
!
V
est associatif en tout triplet ( j , j ', j '') de flèches consécutives de J ,
! tous les diagrammes de réécritures d'associativité commutent.
De même, on dit que :
•
V
est quasi-unitaire et de famille d'unités ( U J (V ) ) J ∈ Pt ( J ) si :
! pour tout point J de J , l'élément U J (V ) est un point de
!
V
!
V
VJ ,
admet U J (V ) pour quasi-unité au domaine de toute flèche de J de
domaine J ,
admet U J (V ) pour quasi-unité au codomaine de toute flèche de J
de codomaine J ,
! tous les diagrammes de réécritures de quasi-unitarité commutent (on dit,
alors, qu'il y a cohérence de ces diverses réécritures),
•
V
est unitaire et de famille d'unités ( U J (V ) ) J ∈ Pt ( J ) si :
! pour tout point J de J , l'élément U J (V ) est un point de
24
VJ ,
!
V
admet U J (V ) pour unité au domaine de toute flèche de J
domaine J ,
de
!
V
de
admet U J (V ) pour unité au codomaine de toute flèche de J
codomaine J ,
! tous les diagrammes de réécritures d'unitarité commutent.
Enfin, on dit que :
•
V
est quasi-catégorique (de gauche à droite) si :
!
!
V
V
est quasi-associatif de gauche à droite,
est quasi-unitaire,
! tous les diagrammes de réécritures de quasi-associativité de gauche à droite et
de quasi-unitarité (éventuellement mélangées) commutent (on dit, alors, qu'il
y a cohérence de ces diverses réécritures),
•
V
est catégorique si :
!
!
V
V
est associatif,
est unitaire,
! tous les diagrammes de réécritures
(éventuellement mélangées) commutent.
4.3.b.
Si J
d'associativité
et
d'unitarité
V et W sont deux systèmes
Ω : V → W de V vers W est constitué
est une catégorie et si
tensoriels, un J -morphisme tensoriel
par :
• la donnée, pour toute flèche j de J , d'un foncteur
composante de Ω en j (on note plus simplement :
Cpste (Ω, j ) : V j → W j
Ω j (-) = Ω j = Cpste (Ω, j ) : V j → W j
et, si j : J =→ J est une identité :
Ω J (-) = Ω J = Ω id ( J ) ),
• la donnée, pour tout couple (j : J → J ', j ' : J ' → J '') de flèches consécutives (donc
composables) de J , d'une réécriture tensorielle en (j , j ') , i.e.. d'une transformation
naturelle :
tens j , j ' : Ω j (-) ⊗ j , j ' Ω j ' (-) ⇒ Ω j ' • j (- ⊗ j , j ' -) : V j × V j ' → W j ' • j .
25
Dans ces conditions, si
V
et
W
sont quasi-associatifs de gauche à droite,
on dit que :
• Ω : V → W est quasi-associatif de gauche à droite si :
! tous les diagrammes de réécritures tensorielles et de quasi-associativité de
gauche à droite (éventuellement mélangées) commutent (on dit, alors, qu'il y
a cohérence de ces diverses réécritures) ;
en particulier, si
V
et
W
sont associatifs, on dira qu'un J -morphisme tensoriel
quasi-associatif de gauche à droite de
V
Ω:V→W
W
V
vers
W
est associatif.
De même, si
et
•
est quasi-unitaire et de famille de réécritures tensorielles d'unitarité la
sont quasi-unitaires, on dit que :
famille :
( tensqunit J : U J (W ) → Ω J ( U J (V ) ) J ∈ Pt ( J )
si :
! pour tout point J de J , la flèche :
tensqunit J : U J (W ) → Ω J ( U J (V ) )
est une flèche de
WJ ,
! tous les diagrammes de réécritures tensorielles, de réécritures tensorielles de
quasi-unitarité et de réécritures de quasi-unitarité (éventuellement mélangées)
commutent (on dit, alors, qu'il y a cohérence de ces diverses réécritures);
en particulier, si
unitaire de
V
V
W sont unitaires, on dira qu'un J-morphisme tensoriel quasiW est unitaire, on dira que sa réécriture tensorielle de quasi-
et
vers
unitarité en tout point J de J est une réécriture tensorielle d'unitarité et on notera :
tensunit J = tensqunit J : U J (W ) → Ω J ( U J (V ) ) .
Enfin, si
V
et
W
sont quasi-catégoriques, on dit que :
• Ω : V → W est quasi-catégorique si :
! Ω : V → W est quasi-associatif de gauche à droite,
! Ω : V → W est quasi-unitaire,
! tous les diagrammes de réécritures tensorielles, de réécritures tensorielles de
quasi-unitarité, de réécritures de quasi-associativité de gauche à droite et de
réécritures de quasi-unitarité (éventuellement mélangées) commutent (on dit,
alors, qu'il y a cohérence de ces diverses réécritures) ;
26
en particulier, si
V
quasi-catégorique de
W
W
et
V
W
vers
sont catégoriques, on dira qu'un J -morphisme tensoriel
W
est catégorique.
4.3.c. Si J et K sont deux catégories, si θ : J → K est un foncteur et si
est un K -système tensoriel, on désigne par W θ le système tensoriel déduit de
par changement d'indexation, i.e. le J -système tensoriel évidemment obtenu
lorsqu'on impose que :
• pour toute flèche j de J , on a :
(W θ)j = W θ(j) ,
• pour tout couple (j : J → J ', j ' : J ' → J '') de flèches consécutives de J , on a :
ptens (W θ , (j , j ') ) : ( W θ ) j × ( W θ ) j ' → ( W θ ) j ' • j
=
ptens (W , (θ ( j ), θ ( j ') ) ) : W θ ( j ) × W θ ( j ' ) → W θ ( j ' ) • θ ( j ) .
Dans ces conditions, il est clair que si
W
associatif de gauche à droite (resp. associatif), alors
est un K -système tensoriel quasi-
W
θ
est un J -système tensoriel
quasi-associatif de gauche à droite (resp. associatif).
De même, si W est un K -système tensoriel quasi-unitaire (resp. unitaire), alors
est un J -système tensoriel quasi-unitaire (resp. unitaire).
W
W
On en déduit que, si
catégorique), alors
θ
W
θ
est un K -système tensoriel quasi-catégorique (resp.
est un J -système tensoriel quasi-catégorique (resp.
catégorique).
4.4.
4.4.a.
aucune flèche.
Le système tensoriel des graphes à composition
petits.
U-
On désigne par 1 ∅ le graphe orienté n'ayant qu'un seul point 0 et
De même, on désigne par 1 la catégorie n'ayant qu'un seul point 0 et une
seule flèche id (0 ).
27
Pareillement, on désigne par 2 la catégorie ayant exactement deux points 0 et
1 et une seule flèche non identité (0 ,1 ) : 0 → 1 .
Enfin, on note :
• 1 ⊆ 2 le foncteur injection canonique (envoyant 0 sur 0 )
• 1 " ⊆ " 2 le foncteur injection ("quasi-canonique") envoyant 0 sur 1 ,
• 2 |1 : 2 → 1 l'unique foncteur possible de 2 vers 1 .
4.4.b.
Si
U
est un univers, on désigne par :
- U - : Comp U × Comp U → Comp U
le foncteur produit tensoriel creux des graphes à composition
évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
U-petits, i.e. le foncteur
• pour tous graphes à composition U-petits G et G ' , on a :
(- U -) (G ,G ') = G
G',
• pour tous graphes à composition U -petits G 1 , G 2 , G '1 et G '2 et pour tous
foncteurs φ : G 1 → G 2 et φ ' : G '1 → G '2 , on a :
(- U -) (φ,φ ') = φ
φ' .
Alors, on note :
- | U - : Comp U × Or U → Comp U
le foncteur produit tensoriel creux des graphes à composition
orientés U-petits et :
U-petits avec les graphes
- | | U - : Or U × Or U → Or U
le foncteur produit tensoriel creux des graphes orientés
appropriées du foncteur précédent.
U-petits,
i.e. les restrictions
De même, on désigne par :
- ⌧ U - : Comp U × Comp U → Comp U
le foncteur produit tensoriel plein des graphes à composition
évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
U-petits, i.e. le foncteur
• pour tous graphes à composition U-petits G et G ' , on a :
(- ⌧ U -) (G ,G ') = G ⌧ G ' ,
28
• pour tous graphes à composition
U -petits
G 1 , G 2 , G '1 et G '2 et pour tous
foncteurs φ : G 1 → G 2 et φ ' : G '1 → G '2 , on a :
(- ⌧ U -) (φ,φ ') = φ ⌧ φ ' .
Alors, on note :
- ⌧| U - : C o m p U × C a t U → C o m p U
le foncteur produit tensoriel plein des graphes à composition
catégories U-petites, i.e. le foncteur restriction du précédent.
U-petits
aves les
Enfin, on désigne par :
- ⊗ U - : Cat U × Cat U → Cat U
le foncteur produit tensoriel cartésien des catégories
évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
U-petites,
i.e. le foncteur
• pour toutes catégories U-petites A A ' , on a :
(- ⊗ U -) (A ,A ') = A ⊗ A ' ,
• pour toutes catégories U-petites A 1 et A 2 , A '1 et A '2 et pour tous foncteurs
Φ : A 1 → A 2 et Φ ' : A '1 → A '2 , on a :
(- ⊗ U -) (Φ,Φ ') = Φ ⊗ Φ ' .
4.4.c.
Si
U
est un univers, on désigne par
tensoriel des graphes à composition
U-petits, i.e.
Comp U
le système
le 1 -système tensoriel catégorique
évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• (C o m p U ) 0 = C o m p U ,
• - ⊗ id ( 0 ) , id ( 0 ) - = - U - : C o m p U × C o m p U → C o m p U ,
Précisément, il est facile de vérifier que :
•
•
•
Comp U
Comp U
Comp U
est associatif en (id (0 ),id (0 ),id (0 )) ,
admet 1 ∅ pour unité au domaine de id (0 ) ,
admet 1 ∅ pour unité au codomaine de id (0 ) .
Cat U
le système tensoriel des catégories Upetites, i.e. le 1-système tensoriel catégorique évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
De même, on désigne par
29
• (C a t U ) 0 = C a t U ,
• - ⊗ id ( 0 ) , id ( 0 ) - = - ⊗ U - : C a t U × C a t U → C a t U .
Précisément, il est facile de vérifier que :
•
•
•
Cat U
Cat U
Cat U
est associatif en (id (0 ),id (0 ),id (0 )) ,
admet 1 pour unité au domaine de id (0 ) ,
admet 1 pour unité au codomaine de id (0 ) .
Et on dispose évidemment d'un 1-morphisme tensoriel catégorique injection canonique :
Cat U ⊆ Comp U : Cat U → Comp U .
Enfin, on désigne par O r U le système tensoriel des graphes orientés U-
petits, i.e. le 1-système tensoriel catégorique évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• (O r U ) 0 = O r U ,
• - ⊗ id ( 0 ) , id ( 0 ) - = - | | U - : O r U × O r U → O r U .
Précisément, il est facile de vérifier que :
•
•
•
Or U
Or U
Or U
est associatif en (id (0 ),id (0 ),id (0 )) ,
admet 1 ∅ pour unité au domaine de id (0 ) ,
admet 1 ∅ pour unité au codomaine de id (0 ) .
Et on dispose évidemment d'un 1-morphisme tensoriel catégorique injection canonique :
Or U ⊆ Comp U : Or U → Comp U
.
CompCat U
tensoriel des graphes à composition U-petits et des catégories U-petites,
4.4.d.
Si
U
est un univers, on désigne par
le système
i.e. le 2système tensoriel quasi-catégorique évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• (C o m p C a t U ) 0 = C o m p U ,
• (C o m p C a t U ) 1 = C a t U ,
• (C o m p C a t U ) ( 0 , 1 ) = C o m p U ,
• - ⊗ id ( 0 ) , id ( 0 ) - = - U - : C o m p U × C o m p U → C o m p U ,
• - ⊗ id ( 0 ) , ( 0 , 1 ) = - ⌧ U - : C o m p U × C o m p U → C o m p U ,
30
• - ⊗ ( 0 , 1 ) , id ( 1 ) = - ⌧| U - : C o m p U × C a t U → C o m p U ,
• - ⊗ id ( 1 ) , id ( 1 ) = - ⊗ U - : C a t U × C a t U → C a t U .
Précisément, il est facile de vérifier que :
•
•
•
CompCat U
CompCat U
CompCat U
CompCat U
est associatif en (id (0 ),id (0 ),id (0 )) ,
est quasi-associatif de gauche à droite en (id (0 ),id (0 ),(0,1 )) ,
est associatif en (id (0 ),(0,1 ),id (1 )) ,
•
est quasi-associatif de gauche à droite en ((0,1 ),id (1 ),id (1 )) (en
utilisant "suffisamment des flèches identités" des catégories facteurs des produits
tensoriels concernés) ,
•
CompCat U
CompCat U
CompCat U
CompCat U
CompCat U
CompCat U
CompCat U
•
•
•
•
•
•
est associatif en (id (1 ),id (1 ),id (1 )) ,
admet 1 ∅ pour unité au domaine de id (0 ) ,
admet 1 ∅ pour unité au codomaine de id (0 ) ,
admet 1 ∅ pour unité au domaine de (0 , 1 ) ,
admet 1 pour quasi-unité au codomaine de (0 , 1 ) ,
admet 1 pour unité au domaine de id (1 ) ,
admet 1 pour unité au codomaine de id (1 ) .
Alors, on dispose évidemment (moyennant un changement d'indexation) d'un 2morphisme tensoriel quasi-catégorique injection canonique :
CompCat U ⊆ Comp U : CompCat U
→ ( C o m p U ) 2 |1
et on voit, bien entendu (moyennant d'autres changements d'indexations), que :
( CompCat U ) 1 ⊆ 2 = Comp U
et que :
( CompCat U ) 1 " ⊆ " 2 = Cat U .
C o m p O r U le système tensoriel des graphes à
graphes orientés U-petits, i.e. le 2 -système tensoriel
De même, on désigne par
composition
U-petits
et des
catégorique évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• (C o m p O r U ) 0 = C o m p U ,
• (C o m p O r U ) 1 = O r U ,
• (C o m p O r U ) ( 0 , 1 ) = C o m p U ,
31
• - ⊗ id ( 0 ) , id ( 0 ) - = - U - : C o m p U × C o m p U → C o m p U ,
• - ⊗ id ( 0 ) , ( 0 , 1 ) = - U - : C o m p U × C o m p U → C o m p U ,
• - ⊗ ( 0 , 1 ) , id ( 1 ) = - | U - : C o m p U × O r U → C o m p U ,
• - ⊗ id ( 1 ) , id ( 1 ) = - | | U - : O r U × O r U → O r U .
Précisément, il est facile de vérifier que :
•
CompOr U
est associatif en (id (0 ),id (0 ),id (0 )) ,
•
CompOr U
est associatif en (id (0 ),id (0 ),(0,1 )) ,
•
CompOr U
est associatif en (id (0 ),(0,1 ),id (1 )) ,
•
CompOr U
est associatif en ((0,1 ),id (1 ),id (1 )) ,
•
CompOr U
est associatif en (id (1 ),id (1 ),id (1 )) ,
•
CompOr U
admet 1 ∅ pour unité au domaine de id (0 ) ,
•
CompOr U
admet 1 ∅ pour unité au codomaine de id (0 ) ,
•
CompOr U
admet 1 ∅ pour unité au domaine de (0 , 1 ) ,
•
CompOr U
admet 1 ∅ pour unité au codomaine de (0 , 1 ) ,
•
CompOr U
admet 1 ∅ pour unité au domaine de id (1 ) ,
•
CompOr U
admet 1 ∅ pour unité au codomaine de id (1 ) .
Alors, on dispose évidemment (moyennant un changement d'indexation) d'un 2morphisme tensoriel catégorique injection canonique :
C o m p O r U ⊆ C o m p U : C o m p O r U → ( C o m p U ) 2 |1
et on voit, bien entendu (moyennant d'autres changements d'indexations), que :
( CompOr U ) 1 ⊆ 2 = Comp U
et que :
( CompOr U ) 1 " ⊆ " 2 = Or U .
32
4.5.
Systèmes enrichis.
4.5.a.
Si J est une catégorie et si
système V -enrichi
A
V
est un J -système tensoriel, un J -
est constitué par :
• la donnée, pour tout point J de J , d'un ensemble Cpste (A , J ) composante de
A
en j (on note plus simplement
A J = supp (A , J ) ),
• la donnée, pour toute flèche j : J → J ' de J , d'une application exponentiation en j :
exp (A , j ) : A J × A J ' → Pt (V j ) ,
(on note aussi :
A j (-,-) = exp (A , j ) : A J × A J ' → Pt (V j )
mais, si J = J ' et si j = id (J ) : J =→ J est une flèche identité, on prendra garde, ici,
de ne pas confondre l'application :
A id ( J ) (-,-) : A J × A J → Pt (V J )
avec l'ensemble
A J ),
• la donnée, pour tout couple de flèches consécutives (donc composables)
( j : J → J ', j ' : J ' → J '') de J , pour tout élément A de A J , pour tout élément A '
de
A J'
et pour tout élément A '' de
i.e. d'une flèche de
Vj'
•
j
A J '' , d'une composition en
(A, j ,A ', j ',A '') ,
:
comp ( A , (A, j ,A ', j ',A '') ) : A j (A,A ') ⊗ j , j '
A j ' (A ',A '') → A j '
•
j (A,A '')
(s'il n'y a pas risque d'ambiguïté, on note plus simplement :
comp A , j , A ' , j ' , A '' : A j (A,A ') ⊗ j , j '
A j ' (A ',A '') → A j '
•
j (A,A '')
=
comp ( A , (A, j ,A ', j ',A '') ) : A j (A,A ') ⊗ j , j '
Dans ces conditions, si
•
V
A j ' (A ',A '') → A j '
•
j (A,A '')
).
est quasi-associatif de gauche à droite, on dit que :
est (strictement) associatif (parallèlement à V ) si, pour tout triplet
( j : J → J '', j ' : J ' → J '', j '' : J '' → J ''') de flèches consécutives de J , pour tout
élément A de A J , pour tout élément A ' de A J ' , pour tout élément A '' de
A
A J ''
et pour tout élément A ''' de
commute :
A J ''' , le diagramme (de V j ''
33
•
j'•j
) ci-dessous
( A j (A,A ') ⊗ ...
A j ' (A ',A '') ) ⊗ ... A j '' (A '',A ''')
qass ...
comp ... ⊗ ... A j '' (A '',A '''')
A j (A,A ') ⊗ ... ( A j ' (A ',A '') ⊗ ... A j '' (A '',A ''') )
A j (A,A ') ⊗ ... comp ...
Aj'
A j (A,A ') ⊗ ... A j ''
•
j ' (A
•
j (A,A
'') ⊗ ... A j '' (A '',A ''')
',A ''')
comp ...
comp ...
A j ''
De même, si
•
A
V
•
j ' • j (A,A
''')
est quasi-unitaire, on dit que :
est (strictement) unitaire (parallèlement à
V ) et de famille d'unités la famille :
( u J , A (A ) : U J (V ) → A id ( J ) (A,A) ) J ∈ Pt (JJ ) , A ∈ A J
si :
! pour tout point J de J et pour tout élément A de
AJ
, la flèche :
u J , A (A ) : U J (V ) → A id ( J ) (A,A)
est une flèche de
VJ ,
! pour toute flèche j : J → J ' (de domaine J ) de J et pour tout élément A '
de A J ' , le diagramme (de V j ) ci-dessous commute :
34
A j (A,A ')
qunit ...
U J (V ) ⊗ ... A j (A,A ')
u J , A (A ) ⊗ ... A j (A,A ')
id ( A j (A,A ') )
A j (A,A ')
comp ...
A id (J ) (A,A ) ⊗ ... A j (A,A ')
! pour toute flèche j : J ' → J (de codomaine J ) de J et pour tout élément
A ' de A J ' , le diagramme (de V j ) ci-dessous commute :
A j (A ',A )
qunit ...
A j (A ',A ) ⊗ ... U J (V )
A j (A ',A ) ⊗ ... u J , A (A )
id ( A j (A ',A ) )
A j (A ',A )
Enfin, si
•
A
V
comp ...
est quasi-catégorique (en particulier, catégorique), on dit que :
est (strictement) catégorique (parallèlement à
!
!
A
A
4.5.b.
B
A j (A ',A ) ⊗ ... A id (J ) (A,A )
V ) si :
est (strictement) associatif,
est (strictement) unitaire.
Si J est une catégorie, si
sont deux J -systèmes
constitué par :
V
A
Γ:A→B
est un J -système tensoriel et si
V-enrichis, un J-morphisme V-enrichi
• la donnée, pour tout point J de J , d'une application Γ J : A J → B J ,
35
et
est
• la donnée, pour toute flèche j : J → J ' de J , pour tout élément A de
tout élément A ' de
A J ' , d'une flèche de V j :
AJ
et pour
Γ j ( A,A ') : A j (A,A ') → B j ( Γ J (A ) , Γ J ' (A ')
(et, si J = J ' et si j = id (J ) : J =→ J est une flèche identité, on prendra garde de ne
pas confondre, ici, la flèche de V J :
Γ id ( J ) ( A,A ') : A id ( J ) (A,A ') → B id ( J ) ( Γ J (A ) , Γ J (A ') )
avec l'application :
Γ J : A J → B J ),
et, ce, de sorte que :
• pour tout couple ( j : J → J ', j ' : J ' → J '') de flèches consécutives de J , pour tout
élément A de A J , pour tout élément A ' de A J ' et pour tout élément A '' de
A J '' , le diagramme (de V j '
•
j
) ci-dessous commute :
A j (A,A ') ⊗ ... A j ' (A ',A '')
comp ...
A j'
Γ j (A,A ') ⊗ Γ j (A ',A '')
...
'
•
j
Γj
B j ( Γ J (A ), Γ J ' (A ') ) ⊗ ... B j ' ( Γ J ' (A '), Γ J '' (A '') )
comp ...
Dans ces conditions, si
A
et
B
(A ,A '')
Bj'
•
j
' • j (A ,A
'')
( Γ J (A ) , Γ J '' (A '') )
sont unitaires, on dit que :
• Γ : A → B est unitaire si :
! pour tout point J de J et pour tout élément A de
V J ) ci-dessous commute :
36
A J , le diagramme (de
uJ , A ( A )
A id ( J ) (A,A )
Γ id ( J ) ( A , A )
U J (V )
u
Enfin, si
A
et
B
J
,
Γ J (A )
(B )
B J ( Γ J ( A ), Γ J ( A ) )
sont catégoriques, on dit que :
• Γ : A → B est catégorique si :
! Γ : A → B est unitaire,
(on constatera qu'il est légitime de considérer qu'un morphisme de systèmes enrichis
associatifs est "nécessairement associatif").
4.5.c.
Si J
est une catégorie, si
V
et
W
tensoriels, si Ω : V → W est J -morphisme tensoriel et si
enrichi, on désigne par
Ω
A
d'enrichissement le long de
sont deux J -systèmes
A
le système enrichi déduit de
Ω , i.e. le J -système
est un J -sytème
A
W-enrichi
V-
par changement
évidemment obtenu
lorsqu'on impose que :
• pour tout point J de J , on a ( Ω A ) J = A J ,
• pour toute flèche j : J → J ' de J , pour tout élément A de ( Ω A ) J (i.e. de
et pour tout élément A ' de ( Ω A ) J ' (i.e. de
(Ω
A J ' ), on a :
A ) j ( A , A ' ) = Ω j ( A j ( A , A ' ) ) ),
AJ )
• pour tout couple ( j : J → J ', j ' : J ' → J '') de flèches consécutives de J , pour tout
élément A de ( Ω A ) J (i.e. de A J ), pour tout élément A ' de ( Ω A ) J ' (i.e. de
A J ' ) et pour tout élément A ''
de ( Ω A ) J '' (i.e. de
A J '' ), la flèche de W j '
•
j
:
comp ( Ω A , (A, j ,A ', j ',A '') ) : ( Ω A ) j (A,A ') ⊗ j , j ' ( Ω A ) j ' (A ',A '') → ( Ω A ) j ' • j (A,A '')
=
comp (Ω A , (A, j ,A', j ',A '')) : Ω j (A j (A,A')) ⊗ j , j ' Ω j ' (A j ' (A',A'')) → Ω j ' j (A j ' • j (A,A'')
•
37
est la composée des flèches consécutives suivantes de
Wj'
•
j
:
tens ...
:
Ω j (A j (A,A ') ) ⊗ ... Ω j ' (A j ' (A ',A '') )
↓
Ω j ' • j (A j (A,A ') ⊗ ...
A j ' (A ',A '') )
Ω j ' • j (comp ... )
:
Ω j ' • j (A j (A,A ') ⊗ ...
A j ' (A ',A '') )
↓
Ω j ' • j (A j ' • j (A,A '') )
W sont des J -systèmes
tensoriels quasi-associatifs de gauche à droite, si Ω : V → W est un J -morphisme
tensoriel quasi-associatif de gauche à droite et si A est un J -système V -enrichi
associatif, alors A est un J -système W -enrichi associatif.
De même, on voit que, si V et W sont des J -systèmes tensoriels quasi-unitaires, si
Ω : V → W est un J -morphisme tensoriel quasi-unitaire et si A est un J -système
V-enrichi unitaire, de famille d'unités :
( u J , A (A ) : U J (V ) → A id ( J ) (A,A) ) J ∈ Pt (JJ ) , A ∈ A ,
alors A est un J -système W -enrichi unitaire, de famille d'unités :
( u J , A ( A ) : U J (W ) → ( A ) id ( J ) (A,A) ) J ∈ Pt (JJ ) , A ∈ ( A ) ,
Dans ces conditions, il est clair que, si
V
et
Ω
J
Ω
Ω
Ω
Ω
J
où :
• pour tout point J de J et pour tout élément A de ( Ω A ) J (i.e. de
flèche de
WJ :
38
A J ), la
u J , A ( Ω A ) : U J (W ) → ( Ω A ) id ( J ) (A,A)
=
u J , A ( Ω A ) : U J (W ) → Ω J (A id ( J ) (A,A) )
est la composée des flèches consécutives de
WJ
suivantes :
tensqunit ... : U J (W ) → Ω J ( U J (V ) )
Ω J ( u J , A (A ) ) : Ω J ( U J (V ) ) → Ω J ( A
.
W sont des J -systèmes tensoriels quasi-catégoriques (a
fortiori, catégoriques), si Ω : V → W est un J -morphisme tensoriel quasi-catégorique
et si A est un J -système V -enrichi catégorique, alors A est un J -système W On en déduit que, si
V
id ( J ) (A,A) )
et
Ω
enrichi catégorique.
W
B
W
4.5.d. Si J et K sont deux catégories, si θ : J → K est un foncteur, si
est un K -système tensoriel et si B est un K -système W-enrichi, on désigne par
le système enrichi déduit de
θ
θ
B
par changement d'indexation, i.e. le J -système
-enrichi évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• pour tout point J de J , on a :
(B θ)J = B θ(J) ,
• pour toute flèche j : J → J ' de J , on a :
( B θ ) j (-,-) : ( B θ ) J × ( B θ ) J ' → Pt ( ( W θ ) j )
=
B
θ(j)
(-,-) :
B
θ(J)
× B θ ( J ' ) → Pt ( W θ ( j ) ) ,
• pour tout couple ( j : J → J ' , j : J → J ' ) de flèches consécutives de J , pour tout
élément B de ( B θ ) J (i.e. de B θ ( J ) ), pour tout élément B ' de ( B θ ) J ' (i.e. de
B
θ(J')
) et pour tout élément B '' de ( B θ ) J '' (i.e. de
39
B
θ ( J '' )
), on a :
comp ( B θ , ( B , j , B ' , j ' , B '' ) ) : ( B θ ) j ( B , B ' ) ⊗ ... ( B θ ) j ' ( B ' , B '' )
=
comp B , θ (
j ) , B ' , θ ( j ' ) , B ''
: B θ ( j ) ( B , B ' ) ⊗ ... B θ ( j ' ) ( B ' , B '' ) .
Dans ces conditions, il est clair que, si
B
associatif de gauche à droite et si
A
θ
W
est un K -système tensoriel quasi-
est un K -système
est un J -système W θ -enrichi associatif.
De même, on voit que, si
W
W-enrichi associatif, alors
est un K -système tensoriel quasi-unitaire et si
K-système W-enrichi unitaire, de famille d'unités :
B
est un
( u K , B (B ) : U K (W ) → B id ( K ) (B,B) ) K ∈ Pt (KK ) , B ∈ B K ,
alors
B
θ
est un J -système W θ -enrichi unitaire, de famille d'unités :
( u θ ( J ) , B (B ) : U θ ( J ) (W ) → B θ ( id ( J ) ) (B,B) = ( B θ ) J ( B , B ) ) J ∈ Pt (JJ ) , B ∈ ( B θ ) J .
Finalement, on en déduit que, si
fortiori, catégorique) et si
B
W
est un K -système tensoriel quasi-catégorique (a
est un K -système
un J -système W θ -enrichi catégorique.
4.5.e.
Si J est une catégorie, si J est un point de J , si
système tensoriel quasi-catégorique et si
on note
W-enrichi catégorique, alors B
A *J
A
la catégorie composante de
obtenue lorsqu'on impose que :
est un J -système
A
V
θ
est
est un J -
V-enrichi catégorique,
en J , i.e. la catégorie évidemment
• Pt (A *J ) = A J ,
• pour tous points A1 et A2 de
A J ), on a :
A *J
(donc, pour tous éléments A1 et A2 de
A *J (A1 ,A2 ) = V J ( U J (V ) , A id ( J ) (A1 ,A2 ) )
(autrement dit, on a :
Hom A *J (A1 ,A2 ) = Hom V J ( U J (V ) , A id ( J ) (A1 ,A2 ) ) ),
• pour tout point A de
A *J
(donc, pour tout élément A de
A J ), on a :
id (A ) : A =→ A*J A
=
→
u J , A (A ) : U J ( V ) 
40
VJ
A id ( J ) (A,A ) ,
• pour tous points A1 , A2 et A3 de
A *J
(donc, pour tous éléments A1 , A2 et A3
A J ) et pour toutes flèches a1 : A1 → A2 et
toutes flèches a1 : U J (V ) → A id ( J ) (A1 ,A2 )
de V J ), la flèche :
de
A *J (donc, pour
a2 : U J (V ) → A id ( J ) (A2 ,A3 )
a2 : A2 → A3 de
et
a2 • a1 : A1 → A *J A3
=
→
a 2 • a 1 : U J (V ) 
VJ
A id ( J ) (A1 ,A3 )
est la flèche obtenue par composition des flèches consécutives de
VJ
suivantes :
qunit ... : UJ (V ) → UJ (V ) ⊗ ... UJ (V )
a1 ⊗ ... a2 : UJ (V ) ⊗ UJ (V ) → A id ( J ) (A1,A2) ⊗ ...
comp ... : A id ( J ) (A1,A2) ⊗ ...
A id ( J ) (A2,A3)
A id ( J ) (A2,A3) → A id ( J ) (A1,A3) .
Dans ces conditions, si j : J → J ' est une flèche de J , on note :
A *j (-,-) : ( A *J ) op × A *J ' → V j
le foncteur exponentiation en j , i.e. le foncteur évidemment obtenu lorsqu'on impose
que :
• pour tout point A de
•
(i.e. pour tout élément A de
A J ) et pour tout point
A J ' ), on a :
A* j (A, A ') = A j (A,A ') ,
A *J (i.e. pour toute flèche
pour toute flèche
a : A1 → A2
de
a : U J (V ) → A id ( J ) (A1 ,A2 ) de V J ) et pour toute flèche a ' : A '1 → A '2 de
A *J ' (i.e. pour toute flèche a ' : U J ' (V ) → A J ' (A '1 ,A ' 2 ) de V J ' ), la flèche de
Vj :
A*j (a,a ') : A*j (A2 ,A '1 ) = A j (A2 ,A '1 ) → A j (A1 ,A '2 ) = A*j (A1 ,A '2 )
est la flèche obtenue par composition des flèches consécutives de V j suivantes
A ' de
A *J '
A *J
(i.e. pour tout élément A ' de
(par exemple) :
41
qunit ...
:
A j (A2 ,A '1 )
↓
A j (A2 ,A '1 ) ⊗ ... U J ' (V )
qunit ... ⊗ ... U J ' (V )
:
A j (A2 ,A '1 ) ⊗ ... U J ' (V )
↓
( U J (V ) ⊗ ...
( a ⊗ ...
A j (A2 ,A '1 ) ) ⊗ ... U J ' (V )
A j (A2 ,A '1 ) ) ⊗ ... a '
:
( U J (V ) ⊗ ...
A j (A2 ,A '1 ) ) ⊗ ... U J ' (V )
↓
( A id (J ) (A1 ,A2 ) ⊗ ...
A j (A2 ,A '1 ) ) ⊗ ... A id ( J ' ) (A '1 ,A ' 2 )
comp ... ⊗ ...
A id ( J ' ) (A '1 ,A '2 )
:
( A id ( J ) (A1 ,A2 ) ⊗ ...
A j (A2 ,A '1 ) ) ⊗ ... A id ( J ' ) (A '1 ,A ' 2 )
↓
A j (A1 ,A '1 ) ⊗ ... A id ( J ' ) (A '1 ,A '2 )
comp ...
:
A j (A1 ,A '1 ) ⊗ ... A id ( J ' ) (A '1 ,A '2 )
↓
A j (A1 ,A '2 )
42
(mais, par associativité, quasi-associativité de gauche à droite, quasi-unitarité et
cohérence, on peut l'obtenir d'au moins une autre manière - que nous laissons au
lecteur le soin d'expliciter)
4.5.f.
Si J est une catégorie, si J est un point de J , si
système tensoriel quasi-catégorique, si
A
et
B
V
sont deux J -systèmes
est un J -
V-enrichis
catégoriques et si Γ : A → B est un J -morphisme V-enrichi catégorique, on note :
Γ*J : A *J → B *J
le foncteur composante de Γ en J , i.e. le foncteur évidemment obtenu lorsqu'on impose
que :
• pour tout point A de
A *J
(i.e. pour tout élément de
A J ) on a :
Γ*J (A ) = Γ J (A ) ,
• pour tous points A1 et A2 de
et pour toute flèche
A *J
(donc, pour tous éléments A1 et A2 de
a : A1 → A2
a : U J (V ) → A id ( J ) (A1 ,A2 ) de
de
A *J
AJ )
(donc, pour toute flèche
V J ), la flèche :
Γ*J (a ) : Γ*J ( A1 ) → B*J Γ*J ( A2 )
=
→
Γ*J (a ) : U J (V ) 
VJ
B id ( J ) ( Γ*J ( A1 ) , Γ*J ( A2 ) )
=
→
Γ*J (a ) : U J (V ) 
VJ
B id ( J ) ( Γ J ( A1 ) , Γ J ( A2 ) )
est la flèche obtenue par composition des flèches consécutives de
VJ
suivantes :
a : U J (V ) → A id ( J ) (A1 ,A2 )
Γ id ( J ) ( A1 , A2 ) : A id ( J ) (A1 ,A2 ) → B id ( J ) ( Γ J ( A1 ) , Γ J ( A2 ) ) .
Dans ces conditions, si j : J → J ' est une flèche de J , on note :
43
Γ* j (-,-) : A *j (-,-) ⇒ B *j (-,-) o ( ( Γ*J ) op × Γ*J ' ) : ( A * J ) op × A *J ' → V j
la transformation naturelle composante de Γ en j , i.e. la transformation naturelle
évidemment obtenue lorsqu'on impose que :
• pour tout point A de
point A ' de
A *J '
A *J
(donc, pour tout élément A de
(donc, pour tout élément A ' de
A J ) et pour
tout
A J ' ), on a :
Γ*j ( A , A ' ) : A *j ( A , A ' ) → B *j ( Γ*J ( A ) , Γ*J ' ( A ' ) )
=
Γj(A,A ') : Aj(A,A ') → Bj(ΓJ(A),ΓJ'(A ')) .
4.6.
Le système enrichi des graphes à composition U-petits.
4.6.a.
Si G , G ' et G " sont trois graphes à composition, on note :
 o
G , G ' , G ''
 : F o n c (G ,G ') F o n c (G ',G '') → F o n c (G ,G '')
le foncteur évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• pour tous foncteurs φ : G → G ' et φ ' : G ' → G '' , on a :
( o
G , G ' , G ''
 ) ( [φ,φ '] ) = φ ' o φ ,
• pour tous foncteurs
φ1 , φ2 : G → G '
transformation naturelle t : φ1 ⇒ φ2 , on a :
( o
G , G ' , G ''
et
φ ' : G ' → G ''
 ) ( [t,φ '] ) = φ ' o t ,
• pour tous foncteurs φ : G → G ' et
φ '1 , φ '2 : G ' → G ''
transformation naturelle t ' : φ '1 ⇒ φ '2 , on a :
( o
G , G ' , G ''
et pour toute
et pour toute
 ) ( [φ,t '] ) = t ' o φ .
De même, si G et G ' sont deux graphes à composition (en particulier, si G '
est une catégorie) et si A " est une catégorie, on note :
 o⌧ G , G ' , A ''  : F o n c (G ,G ') ⌧ F o n c (G ',A '') → F o n c (G ,A '')
le foncteur évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• pour tous foncteurs φ : G → G ' et φ ' : G ' → A '' , on a :
(  o⌧ G , G ' , A ''  ) ( [φ,φ '] ) = φ ' o φ ,
44
• pour tous foncteurs
φ1 , φ2 : G → G '
transformation naturelle t : φ1 ⇒ φ2 , on a :
et
φ ' : G ' → A ''
et pour toute
(  o⌧ G , G ' , A ''  ) ( [t,φ '] ) = φ ' o t ,
• pour tous foncteurs φ : G → G ' et
φ '1 , φ '2 : G ' → A ''
transformation naturelle t ' : φ '1 ⇒ φ '2 , on a :
et pour toute
(  o⌧ G , G ' , A ''  ) ( [φ,t '] ) = t ' o φ ,
• pour tous foncteurs φ1 , φ2 : G → G ' et φ '1 , φ '2 : G ' → A ''
transformations naturelles t : φ1 ⇒ φ2 et t ' : φ '1 ⇒ φ '2 , on a :
et pour toutes
(  o⌧ G , G ' , A ''  ) ( [t,t '] ) = t ' o t .
Enfin, si A , A ' et A " sont trois catégories, on note :
 o⊗ A , A ' , A ''  : F o n c (A ,A ') ⊗ F o n c (A ',A '') → F o n c (A ,A '')
le foncteur évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• pour tous foncteurs Φ : A → A ' et Φ ' : A ' → A '' , on a :
(  o⊗ A , A ' , A ''  ) ( [Φ,Φ '] ) = Φ ' o Φ ,
• pour tous foncteurs Φ1 , Φ2 : A → A ' et Φ '1 , Φ '2 : A ' → A '' et pour toutes
transformations naturelles t : Φ1 ⇒ Φ2 et t ' : Φ '1 ⇒ Φ '2 , on a :
(  o⊗ A , A ' , A ''  ) ( [t,t '] ) = t ' o t .
4.6.b.
Si G est un graphe à composition, on désigne par :
uid (G )∅ : 1 ∅ → F o n c (G ,G )
le foncteur qui envoie le point 0 sur le foncteur id (G ) : G → G
point de F o n c (G ,G ) ).
(qui est bien un
Si A est une catégorie, on désigne par :
uid (A ) : 1 → F o n c (A ,A )
le foncteur (de la catégorie 1 vers F o n c (A ,A ) - qui est aussi une catégorie) qui
envoie le point 0 sur le foncteur id (A ) : A → A (et qui envoie donc la flèche id (0 )
sur la transformation naturelle id (id (A )) : id (A ) ⇒ id (A ) : A → A - qui est bien une
flèche de F o n c (A ,A ) ).
45
4.6.c.
Si
U
est un univers, on désigne par
des graphes à composition
U-petits, i.e. le 1-système
évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
C o m p U le système enrichi
C o m p U -enrichi catégorique
• ( C o m p U ) 0 = Pt (C o m p U ) est l'ensemble des graphes à composition U-petits,
• pour tous graphes à composition U-petits G et G ' , on a :
( C o m p U ) id ( 0 ) (G ,G ') = F o n c (G ,G ') ,
• pour tous graphes à composition U-petits G , G ' et G '' , on a :
comp G , id ( 0 ) , G ' , id ( 0 ) , G ''
=
 o
G , G ' , G ''

:
( C o m p U ) id ( 0 ) (G ,G ') ⊗ id ( 0 ) , id ( 0 ) ( C o m p U ) id ( 0 ) (G ',G '')
=
F o n c (G ,G ') F o n c (G ',G '')
↓
F o n c (G ,G '')
=
( C o m p U ) id ( 0 ) (G ,G '')
et pour lequel :
• la famille :
( uid (G )∅ : 1 ∅ → F o n c (G ,G ) ) G ∈ Pt (C o m p U )
est la famille des unités,
• la catégorie ( C o m p U )* 0 (composante du système enrichi
est canoniquement isomorphe à la catégorie C o m p U
Comp U
en 0 )
(des graphes à composition
U -petits).
De même, on désigne par
Cat U
le système enrichi des catégories
U-petites,
i.e. le 1 -système C a t U -enrichi catégorique évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• ( C a t U ) 0 = Pt (C a t U ) est l'ensemble des catégories U-petites,
46
• pour toutes catégories U-petites A et A ' , on a :
( C a t U ) id ( 0 ) (A ,A ') = F o n c (A ,A ') ,
• pour toutes catégories U-petites A , A ' et A '' , on a :
comp A , id ( 0 ) , A ' , id ( 0 ) , A ''
=
 o⊗ A , A ' , A '' 
:
( C o m p U ) id ( 0 ) (A ,A ') ⊗ id ( 0 ) , id ( 0 ) ( C a t U ) id ( 0 ) (A ',A '')
=
F o n c (A ,A ') ⊗ F o n c (A ',A '')
↓
F o n c (A ,A '')
=
( C a t U ) id ( 0 ) (A ,A '')
et pour lequel :
• la famille :
( uid (A ) : 1 → F o n c (A ,A ) ) A ∈ Pt (C a t U )
est la famille des unités,
• la catégorie ( C a t U )* 0 (composante du système enrichi
canoniquement isomorphe à la catégorie C a t U
C a t U en
(des catégories U-petites).
0 ) est
Alors (moyennant un changement d'enrichissement), on dispose évidemment d'un 1morphisme C o m p U -enrichi catégorique injection canonique :
C a t U ⊆ C o m p U : (C a t ⊆ C o m p ) C a t U → C o m p U .
Enfin, on désigne par O r U le système enrichi des graphes orientés U-petits,
i.e. le 1-système O r U -enrichi catégorique évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• ( O r U ) 0 = Pt (O r U ) est l'ensemble des graphes orientés U-petits,
• pour tous graphes orientés U-petits R et R ' , on a :
U
U
47
( O r U ) id ( 0 ) (R ,R ') = F o n c (R ,R ') ,
• pour tous graphes orientés U-petits R , R ' et R '' , on a :
comp R , id ( 0 ) , R ' , id ( 0 ) , R ''
=
 o
R , R ' , R ''

:
( O r U ) id ( 0 ) (R ,R ') ⊗ id ( 0 ) , id ( 0 ) ( O r U ) id ( 0 ) (R ',R '')
=
F o n c (R ,R ') F o n c (R ',R '')
↓
F o n c (R ,R '')
=
( O r U ) id ( 0 ) (R ,R '')
et pour lequel :
• la famille :
( uid (R )∅ : 1 ∅ → F o n c (R ,R ) ) R ∈ Pt (O r U )
est la famille des unités,
• la catégorie ( O r U )* 0
O r U en 0 )
(des graphes orientés U-petits).
(composante du système enrichi
canoniquement isomorphe à la catégorie O r U
est
Alors (moyennant un changement d'enrichissement), on dispose évidemment d'un 1morphisme C o m p U -enrichi catégorique injection canonique :
Or U ⊆ Comp U
: (O r U ⊆ C o m p U ) O r U → C o m p U .
C o m p C a t U le système
enrichi des graphes à composition U-petits et des catégories U-petites, i.e. le 2 -système
CompCat U -enrichi catégorique évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
4.6.d.
Si
U
est un univers, on désigne par
48
• ( C o m p C a t U ) 0 = Pt (C o m p U ) est l'ensemble des graphes à composition
petits,
U-
• ( C o m p C a t U ) 1 = Pt (C a t U ) est l'ensemble des catégories U-petites,
• pour tous graphes à composition U-petits G et G ' , on a :
( C o m p C a t U ) id ( 0 ) (G ,G ') = F o n c (G ,G ') ,
• pour tout graphe à composition U-petit G et pour toute catégorie
on a :
U-petite
A',
( C o m p C a t U ) ( 0 , 1 ) (G ,A ') = F o n c (G ,A ') ,
• pour toutes catégories U-petites A et A ' , on a :
( C o m p C a t U ) id ( 1 ) (A ,A ') = F o n c (A ,A ') ,
• pour tous graphes à composition U-petits G , G ' et G '' , on a :
comp G , id ( 0 ) , G ' , id ( 0 ) , G ''
=
 o
G , G ' , G ''

:
( C o m p C a t U ) id ( 0 ) (G ,G ') ⊗ id ( 0 ) , id ( 0 ) ( C o m p C a t U ) id ( 0 ) (G ',G '')
=
F o n c (G ,G ') F o n c (G ',G '')
↓
F o n c (G ,G '')
=
( C o m p C a t U ) id ( 0 ) (G ,G '') ,
• pour tous graphes à composition
petite A '' , on a :
U -petits
49
G et G ' et pour toute catégorie U-
comp G , id ( 0 ) , G ' , ( 0 , 1 ) , A ''
=
 o⌧ G , G ' , A '' 
:
( C o m p C a t U ) id ( 0 ) (G ,G ') ⊗ id ( 0 ) , ( 0 , 1 ) ( C o m p C a t U ) ( 0 , 1 ) (G ',A '')
=
F o n c (G ,G ') ⌧ F o n c (G ',A '')
↓
F o n c (G ,A '')
=
( C o m p C a t U ) ( 0 , 1 ) (G ,A '') ,
• pour tout graphe à composition
A ' et A '' , on a :
U -petit
G et pour toutes catégories
U-petites
comp G , ( 0 , 1 ) , A ' , id ( 1 ) , A ''
=
 o⌧ G , A ' , A '' 
:
( C o m p C a t U ) ( 0 , 1 ) (G ,A ') ⊗ ( 0 , 1 ) , id ( 1 ) ( C o m p C a t U ) id ( 1 ) (A ',A '')
=
F o n c (G ,A ') ⌧ F o n c (A ',A '')
↓
F o n c (G ,A '')
=
( C o m p C a t U ) ( 0 , 1 ) (G ,A '') ,
• pour toutes catégories U-petites A , A ' et A '' , on a :
50
comp A , id ( 1 ) , A ' , id ( 1 ) , A ''
=
 o⊗ A , A ' , A '' 
:
( C o m p C a t U ) id ( 1 ) (A ,A ') ⊗ id ( 1 ) , id ( 1 ) ( C o m p C a t U ) id ( 1 ) (A ',A '')
=
F o n c (A ,A ') ⊗ F o n c (A ',A '')
↓
F o n c (A ,A '')
=
( C o m p C a t U ) id ( 1 ) (A ,A '') ,
et pour lequel :
• la famille :
( uid (G )∅ : 1 ∅ → F o n c (G ,G ) ) G ∈ Pt (C o m p U )
est la famille des unités d'indice le point 0 , tandis que la famille :
( uid (A ) : 1 → F o n c (A ,A ) ) A ∈ Pt (C a t U )
est la famille des unités d'indice le point 1 ,
• la
catégorie
CompCat U
( C o m p C a t U )* 0
(composante
du
système
enrichi
en 0 ) est canoniquement isomorphe à la catégorie C o m p U
(des graphes à composition U-petits) tandis que la catégorie ( C o m p C a t U )* 1
C o m p C a t U en
(des catégories U-petites).
(composante du système enrichi
isomorphe à la catégorie C a t U
1)
est canoniquement
Alors (moyennant un changement d'indexation), on dispose évidemment d'un 2morphisme ( C o m p U ) 2 | 1 -enrichi catégorique injection canonique :
CompCat U ⊆ Comp U : CompCat U
→ ( Comp U ) 2 | 1 .
et on voit, bien entendu (moyennant d'autres changements d'indexations), que :
( CompCat U ) 1 ⊆ 2 = Comp U
et que :
( CompCat U ) 1 " ⊆ " 2 = Cat U .
51
CompOr U
De même, on désigne par
U-petits
composition
et des graphes
le système enrichi des graphes à
orientés
U-petits,
i.e. le 2 -système
CompOr U -enrichi catégorique évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• ( C o m p O r U ) 0 = Pt (C o m p U ) est l'ensemble des graphes à composition Upetits,
• ( C o m p O r U ) 1 = Pt (O r U ) est l'ensemble des graphes orientés U-petits,
• pour tous graphes à composition U-petits G et G ' , on a :
( C o m p O r U ) id ( 0 ) (G ,G ') = F o n c (G ,G ') ,
• pour tout graphe à composition
U -petit
G et pour tout graphe orienté
U -petit
R ' , on a :
( C o m p O r U ) ( 0 , 1 ) (G ,R ') = F o n c (G ,R ') ,
• pour tous graphes orienté U-petits R et R ' , on a :
( C o m p O r U ) id ( 1 ) (R ,R ') = F o n c (R ,R ') ,
• pour tous graphes à composition U-petits G , G ' et G '' , on a :
comp G , id ( 0 ) , G ' , id ( 0 ) , G ''
=
 o
G , G ' , G ''

:
( C o m p O r U ) id ( 0 ) (G ,G ') ⊗ id ( 0 ) , id ( 0 ) ( C o m p O r U ) id ( 0 ) (G ',G '')
=
F o n c (G ,G ') F o n c (G ',G '')
↓
F o n c (G ,G '')
=
( C o m p O r U ) id ( 0 ) (G ,G '') ,
• pour tous graphes à composition
U-petit
U -petits
R '' , on a :
52
G et G ' et pour tout graphe orienté
comp G , id ( 0 ) , G ' , ( 0 , 1 ) , R ''
=
 o
G , G ' , R ''

:
( C o m p O r U ) id ( 0 ) (G ,G ') ⊗ id ( 0 ) , ( 0 , 1 ) ( C o m p O r U ) ( 0 , 1 ) (G ',R '')
=
F o n c (G ,G ') F o n c (G ',R '')
↓
F o n c (G ,R '')
=
( C o m p O r U ) ( 0 , 1 ) (G ,R '') ,
• pour tout graphe à composition U-petit G et pour tous graphes orientés
R ' et R '' , on a :
U -petits
comp G , ( 0 , 1 ) , R ' , id ( 1 ) , R ''
=
 o
G , R ' , R ''

:
( C o m p O r U ) ( 0 , 1 ) (G ,R ') ⊗ ( 0 , 1 ) , id ( 1 ) ( C o m p O r U ) id ( 1 ) (R ',R '')
=
F o n c (G ,R ') F o n c (R ',R '')
↓
F o n c (G ,R '')
=
( C o m p O r U ) ( 0 , 1 ) (G ,R '') ,
• pour tous graphes orientés U-petits R , R ' et R '' , on a :
53
comp R , id ( 1 ) , R ' , id ( 1 ) , R ''
=
 o
R , R ' , R ''

:
( C o m p O r U ) id ( 1 ) (R ,R ') ⊗ id ( 1 ) , id ( 1 ) ( C o m p O r U ) id ( 1 ) (R ',R '')
=
F o n c (R ,R ') F o n c (R ',R '')
↓
F o n c (R ,R '')
=
( C o m p O r U ) id ( 1 ) (R ,R '') ,
et pour lequel :
• la famille :
( uid (G )∅ : 1 ∅ → F o n c (G ,G ) ) G ∈ Pt (C o m p U )
est la famille des unités d'indice le point 0 , tandis que la famille :
( uid (R )∅ : 1 ∅ → F o n c (R ,R ) ) R ∈ Pt (O r U )
est la famille des unités d'indice le point 1 ,
• la
catégorie
CompOr U
( C o m p O r U )* 0
(composante
du
système
enrichi
en 0 ) est canoniquement isomorphe à la catégorie C o m p U (des
graphes à composition
U -petits)
(composante du système enrichi
tandis que la catégorie
CompOr U
( C o m p O r U )* 1
en 1 )
est canoniquement
isomorphe à la catégorie O r U (des graphes orientés U-petits).
Alors (moyennant un changement d'indexation), on dispose évidemment d'un 2morphisme ( C o m p U ) 2 | 1 - enrichi catégorique injection canonique :
CompOr U ⊆ Comp U : CompOr U
→ ( Comp U ) 2 | 1
et on voit, bien entendu (moyennant d'autres changements d'indexations), que :
( CompOr U ) 1 ⊆ 2 = Comp U
et que :
( CompOr U ) 1 " ⊆ " 2 = Or U .
54
Catégories engendrées.
5.
5.1.
Catégories de chemins.
5.1.a. Si R est un graphe orienté, on désigne par Ch (R ) la catégorie des
chemins de R , i.e. la catégorie évidemment obtenue lorsqu'on impose que :
• ses points sont les points de R ,
• ses flèches sont :
! les chemins de longueur nulle en les points de R , i.e. les [R,R ] : R → R où
R est un point de R ,
! pour tout entier m ≥ 1 , les chemins de longueur m entre points de R , i.e.
les [R1 ,r1 ,...,rj,...rm ,Rm+1 ] : R1 → Rm+1 , où R1 et Rm+1 sont deux points
de R et r1 : R1 → R2 , ... , rj : Rj → Rj+1 , ... , rm : Rm → Rm+1 sont des
flèches (consécutives) de R ,
• pour tout point R de Ch (R ) (i.e. de R ) , on a :
selid (Ch (R )) (R ) = [R,R ] ,
• pour tous points R1 , R2 et R3 de R , pour tous entiers m ≥ 1 et n ≥ 1 , pour tout
chemin [R1 = R1,1 ,r1,1 ,...,r1,m ,R1,m+1 = R2 ] : R1 → R2 , de longueur m , et pour tout
chemin [R2 = R2,1 ,r2,1 ,...,r2,n ,R2,n+1 = R3 ] : R2 → R3 , de longueur n , on a :
comp (Ch (R )) ( [R1 ,r1,1 ,...,r1,m ,R2 ] , [R2 ,r2,1 ,...,r2,n ,R3 ] )
=
[R1 ,r1,1 ,...,r1,m ,r2,1 ,...,r2,n ,R3 ] : R1 → R3 .
Alors, on note (un peu - mais seulement un peu - abusivement) :
R ⊆ Ch (R ) : R → Ch (R )
le foncteur ("inclusion canonique") identifiant les flèches de R
longueur 1 , i.e. le foncteur tel que :
à des chemins de
• (R ⊆ Ch (R )) (R ) = R , pour tout point R de R ,
• (R ⊆ Ch (R )) (r ) = [R1 ,r ,R2 ] , pour toute flèche r : R1 → R2 de R .
En particulier, il est clair que :
• si
U
est un univers et si R est un graphe orienté
catégorie U-petite.
55
U -petit, alors
Ch (R ) est une
5.1.b.
Prouvons que :
PROPOSITION 1. Si R est un graphe orienté et si A
foncteur :
est une catégorie, alors le
Fonc (R ⊆ Ch (R ) , A ) : Fonc (Ch (R ) , A ) → Fonc (R , A )
est un isomorphisme.
PREUVE. Si φ : R → A est un foncteur, il est clair que son prolongement à Ch (R ) :
prol (φ) = (Fo n c (R ⊆ Ch (R ) , A ))-1 (φ) : Ch (R ) → A
est le foncteur évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• pour tout point R de R , on a :
prol (φ) (R ) = φ (R ) ,
• pour tout point R de R , on a :
prol (φ) ( [R,R ] ) = id ( φ (R ) ) ,
• pour tout entier m ≥ 1 , pour tous points R1 et Rm et pour tout chemin
[R1 ,r1 ,...,rj,...rm ,Rm+1 ] : R1 → Rm+1 , de longueur m , de R , on a :
prol (φ) ( [R1 ,r1 ,...,rj,...rm ,Rm+1 ] ) = φ (rm ) • ... • φ (rj ) • ... • φ (r1 ) .
De même, si φ1 , φ2 : R → A sont deux foncteurs et si
transformation naturelle, il est clair que son prolongement :
t : φ1 ⇒ φ2
est une
prol (t ) = (F o n c (R ⊆ Ch (R ) , A ))-1 (t ) : prol (φ1 ) ⇒ prol (φ2 ) : Ch (R ) → A
est la transformation naturelle évidemment obtenue lorsqu'on impose que :
• pour tout point R de R , on a :
prol (t ) (R ) = t (R ) .
FIN DE LA PREUVE.
Ainsi, de la PROPOSITION 1 résulte que, si R et R ' sont deux graphes
orientés et si φ : R → R ' est un foncteur, on dispose alors d'un unique foncteur
(prolongeant φ tant à Ch (R ) qu'à Ch (R ') ) :
Ch (φ) = prol ( (R ' ⊆ Ch (R ')) o φ ) : Ch (R ) → Ch (R ')
rendant commutatif le diagramme (de foncteurs) ci-dessous :
56
R
R ⊆ Ch (R )
Ch ( R )
φ
Ch (φ)
R'
R ' ⊆ Ch (R ')
Ch ( R ')
De même, si R et R ' sont deux graphes orientés, si φ1 , φ2 : R → R ' sont
deux foncteurs et si t : φ1 ⇒ φ2 est une transformation naturelle, on dispose alors d'une
unique transformation naturelle (prolongeant t tant à Ch (R ) qu'à Ch (R ') ) :
Ch (t ) = prol ( (R ' ⊆ Ch (R ')) o t ) : Ch (φ1 ) ⇒ Ch (φ2 ) : Ch (R ) → Ch (R ')
rendant commutatif le diagramme (de foncteurs et transformations naturelles) cidessous :
R
φ1
t
R'
5.1.c.
Si
U
R ⊆ Ch (R )
φ2
Ch (φ1)
R ' ⊆ Ch (R ')
Ch (R )
Ch (t )
Ch (φ2 )
Ch (R ')
est un univers, on désigne par :
Ch U (-) : Or U → Cat U
le foncteur catégorie des chemins, i.e. le foncteur évidemment obtenu lorsqu'on impose
que :
• pour tout graphe orienté U-petit R , on a :
57
Ch U (-) (R ) = Ch (R ) ,
• pour tous graphes orientés U-petits R et R ' et pour tout foncteur φ : R → R ' ,
on a :
Ch U (-) (φ) = Ch (φ) .
Clairement, de la PROPOSITION 1 résulte que, dans le diagramme (de foncteurs) cidessous :
Cat U
Cat U ⊆ Comp U
Ch U (-)
Or U
le foncteur
Or U
⊆ Comp
Ch U (-) : Or U → Cat U
Comp U
U
est un (Or U ⊆ Comp U )-adjoint à gauche du
foncteur Cat U ⊆ Comp U : Cat U → Comp U ("compatible avec les enrichissements").
5.2.
Catégories de classes de chemins.
5.2.a. Si
G
est un graphe à composition, on note (encore)
Ch (G ) = Ch ( ssj (G ) ) la catégorie des chemins de G , i.e. la catégorie des chemins du
graphe orienté sous-jacent à G et :
• on désigne par Cong (G ) la congruence (i.e la relation d'équivalence compatible avec
la structure de catégorie) sur Ch (G ) engendrée par la relation Rel (G ) telle que :
! pour tout point G de G et pour toute flèche identité g : G =→ G de G ,
on a :
[G,g,G ] Rel (G ) [G,G ] ,
! pour tous points G1 , G2 et G3 de G
(g1 : G1 → G2 ,g2 : G2 → G3 ) de G , on a :
58
et tout couple composable
[G1 , g2 • g1 ,G3 ] Rel (G ) [G1 ,g1 ,g2 G3 ] ,
• on note ClCh (G ) = Ch (G ) / Cong (G ) la catégorie des classes de chemins de G ,
i.e. la catégorie quotient de la catégorie Ch (G ) des chemins de G
par la
congruence Cong (G ) .
Alors, on dispose du foncteur passage aux classes (des chemins de longueur 1 ) :
G | ClCh (G ) : G → ClCh (G ) .
et il est clair que :
• G | ClCh (G ) est "l'identité sur les points",
• G | ClCh (G ) est "surjectif sur les flèches", autrement dit :
! pour tout point G de G (i.e. de ClCh (G ) ), on a :
selid ( ClCh (G ) ) (G ) = id (G ) = ( G | ClCh (G ) ) ( [G,G ] ) =[G, G] ,
! pour tous points G et H de G (i.e. de ClCh (G ) ) et pour toute flèche
c : G → H de ClCh (G ) et qui n'est pas une flèche identité de ClCh (G ) ,
il
existe
un
entier
m≥1
et
un
chemin
[G = G1 ,g1 ,...,gm ,Gm+1 = H ] : G → H , de longueur m , de G tels que :
c = ( G | ClCh (G ) ) ( [G,g1 ,...,gm ,H ] ) =[G, g1 ,..., g m , H ]
(en particulier, si G
est une catégorie, G | ClCh (G ) : G → ClCh (G )
évidemment un isomorphisme, qui permet d'identifier ClCh (G ) à G ).
En particulier, il est clair que, si
U
est
est un univers et si G est un graphe à
composition U-petit, alors ClCh (U ) est une catégorie U-petite.
5.2.b.
Prouvons que :
PROPOSITION 2. Si G est un graphe à composition et si A est une catégorie, alors
le foncteur :
Fonc (G | ClCh (G ) , A ) : Fonc (ClCh (G ) , A ) → Fonc (G ,A )
est un isomorphisme.
PREUVE. Si φ : G → A est un foncteur, il est clair que son extension :
ext (φ) = (F o n c (G | ClCh (G ) , A ))-1 (φ) : ClCh (G ) → A
est le foncteur évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• pour tout point G de G , on a :
59
ext (φ) (G ) = φ (G ) ,
• pour tout point G de G , on a :
ext (φ) ([G, G] ) = id ( φ (G ) ) ,
• pour tout entier m ≥ 1 , pour tous points G1 et Gm et pour tout chemin
[G1 ,g1 ,...,gj,...gm ,Gm+1 ] : G1 → Gm+1 , de longueur m , de G , on a :
ext (φ) ([G1 , g1 ,..., g m , Gm+1 ] ) = φ (gm ) • ... • φ (gj ) • ... • φ (g1 ) .
De même, si φ1 , φ2 : G → A sont deux foncteurs et si
transformation naturelle, il est clair que son extension :
t : φ1 ⇒ φ2
est une
ext (t ) = (F o n c (G | ClCh (G ) , A ))-1 (t ) : ext (φ1 ) ⇒ ext (φ2 ) : ClCh (G ) → A
est la transformation naturelle évidemment obtenue lorsqu'on impose que :
• pour tout point G de G , on a :
ext (t ) (G ) = t (G ) .
FIN DE LA PREUVE.
Ainsi, de la PROPOSITION 2 résulte que, si G et G ' sont deux graphes à
composition et si φ : G → G ' est un foncteur, on dispose alors d'un unique foncteur
(extension de φ tant à ClCh (G ) qu'à ClCh (G ') ) :
ClCh (φ) = ext ( (G ' | ClCh (G ')) o φ ) : ClCh (G ) → ClCh (G ')
rendant commutatif le diagramme (de foncteurs) ci-dessous :
G
G | ClCh (G )
φ
G'
ClCh (G )
ClCh (φ)
G ' | ClCh (G ')
ClCh (G ')
De même, si G et G ' sont deux graphes à composition, si φ1 , φ2 : G → G '
sont deux foncteurs et si t : φ1 ⇒ φ2 est une transformation naturelle, on dispose alors
d'une unique transformation naturelle (extension de t tant à ClCh (G ) qu'à
ClCh (G ') ) :
ClCh (t ) = ext ( (G ' | ClCh (G ')) o t ) : ClCh (φ1 ) ⇒ ClCh (φ2 ) : ClCh (G ) → ClCh (G ')
60
rendant commutatif le diagramme (de foncteurs et transformations naturelles) cidessous :
G
φ1
t
G'
5.2.c. Si
U
G | ClCh (G )
φ2
ClCh (φ1)
G ' | ClCh (G ')
ClCh (G )
ClCh(t )
ClCh (φ2 )
ClCh ( G ')
est un univers, on désigne par :
ClCh U (-) : Comp U → Cat U
le foncteur catégorie des classes de chemins, i.e. le foncteur évidemment obtenu
lorsqu'on impose que :
• pour tout graphe à composition U-petit G , on a :
ClCh U (-) (G ) = ClCh (G ) ,
• pour tous graphes à composition
φ : G → G ' , on a :
U -petits
G
et
G ' et pour tout foncteur
ClCh U (-) (φ) = ClCh (φ) .
Clairement, de la PROPOSITION 2 résulte que, dans le diagramme (de
foncteurs) ci-dessous :
61
Cat U
Cat U ⊆ Comp U
ClCh U (-)
Comp U
le foncteur
ClCh U (-) : Comp U → Cat U
est un adjoint à gauche du foncteur
Cat U ⊆ Comp U : Cat U → Comp U ("compatible avec les enrichissements").
6.
Bibliographie.
[Ref-II]
D. DUVAL et C. LAIR, Esquisses et Spécifications, Manuel de Référence, II :
Esquisses Projectives, Rapport de Recherche, L.A.C.O.,1999.
[Util-I]
D. DUVAL et C. LAIR, Esquisses et Spécifications, Guide de l'Utilisateur, I :
Mosaïques, Rapport de Recherche, L.A.C.O., 1999.
[Util-II]
D. DUVAL et C. LAIR, Esquisses et Spécifications, Guide de l'Utilisateur, II :
Spécifications Implicites, Rapport de Recherche, L.A.C.O., 1999.
[Ehresmann65]
C. EHRESMANN, Catégories et Structures, Dunod, Paris, 1965.
[Goguen et al.78]
J. A. GOGUEN, J. W. THATCHER, E. G. WAGNER, An initial algebra
approach to the specification, correctness and implementation of abstract data
types, Current Trends in Programming Methodology, vol. IV : Data Structuring, R.
T Yeh ed., Prentice-Hall, 1978, 80-149.
[Mac Lane71]
S. MAC LANE, Categories for the working mathematician, Springer, 1971.
[Wirsing90]
M. WIRSING, Algebraic specifications, Handbook of Theoretical Computer
Science, vol. B : Formal Models and Semantics, J. van Leeuwen ed., Elsevier and
M.I.T. Press, 1990, 675-788.
7.
Table.
62
1. Introduction. _____________________________________________________________________ 1
2. Graphes à composition, foncteurs et transformations naturelles. __________________________ 3
2.1. Graphes à composition. ________________________________________________________ 3
2.2. Foncteurs.___________________________________________________________________ 6
2.3. Transformations naturelles. ____________________________________________________ 10
3. Exponentiation et tensorisations de graphes à composition. _____________________________ 13
3.1. Exponentiation. _____________________________________________________________ 13
3.2. Tensorisation creuse. _________________________________________________________ 15
3.3. Tensorisation pleine. _________________________________________________________ 17
3.4. Tensorisation cartésienne.______________________________________________________ 19
4. La catégorie des graphes à composition.______________________________________________ 21
4.1. Univers. ___________________________________________________________________ 21
4.2. La catégorie des graphes à composition U-petits. ___________________________________ 22
4.3. Systèmes tensoriels. __________________________________________________________ 23
4.4. Le système tensoriel des graphes à composition U-petits. ____________________________ 27
4.5. Systèmes enrichis. ___________________________________________________________ 33
4.6. Le système enrichi des graphes à composition U-petits.______________________________ 44
5. Catégories engendrées._____________________________________________________________ 55
5.1. Catégories de chemins.________________________________________________________ 55
5.2. Catégories de classes de chemins. _______________________________________________ 58
6. Bibliographie. ___________________________________________________________________ 62
7. Table. __________________________________________________________________________ 62
63
64