Images de faisceaux analytiques cohérents

Séminaire Lelong.
Analyse
F RANÇOIS N ORGUET
Images de faisceaux analytiques cohérents
Séminaire Lelong. Analyse, tome 1 (1957-1958), exp. no 11, p. 1-17
<http://www.numdam.org/item?id=SL_1957-1958__1__A7_0>
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Faculté des Sciences de Paris
11-01
-:-:-:-
Séminaire d’ANALYSE
4
mars
1958
(P. LE LONG )
Année
1957/58
COHÉRENTS
REMMERT]
IMAGES DE FAISCEAUX ANALYTIQUES
[d’après
H. GRAUERT et R.
par
I . Résultats
1. Notion
a.
François
préliminaires. Enoncé
NORGUET
des
théorèmes
fondamentaux.
d’espace analytique complexe.
,Catégorie
des espaces annelés
complexes. - On appelle catégorie des espaces
annelés complexes, la catégorie des espaces annelés obtenue en prenant pour
foncteur fondamental T le foncteur qui associe 8 à tout espace topologique X
le même espace muni du
à valeurs complexes ; à toute
des germes de fonctions continues
faisceau
X~
topologique
sur
.
application continue f d’un espace
X dans un espace topologique Y, le morphisme
(f ~ g ) de (Y ~ fi) dans
(X ~~- ) pour lequel g f associe, § tout germe de fonction continue à valeurs
complexes sur f (X) , son image réciproque par f .
EXEMPLE S.- Tout domaine
fonctionsholomorphes dans
lytique dans .
lé
X
est,
(X ~
sur
b.
Y
par
X
de
X,
muni du faisceau
est
définition,
tel ensemble
par
A(X) ~
Catégorie
complexe, tout
est
un
un
espace annelé
un
ensemble
analytique Y ~
espace annelé
A(X)
des germes de
complexe. Un
distingué
dans
muni du faisceau
complexe.
ensemble
l’espace
A(Y)
anaanne-
induit
.
des espaces
analytiques complexes. - On appelle espace analytique
espace annelé complexe séparé (X , A) dont chaque point x admet
un voisinage
U tel que la restriction à U de l’espace annelé
(X ~ A) soit
isomorphe, à un ensemble analytique Y dans un domaine de C muni du
faisceau A(Y) défini ci-dessus. On appelle
catégorie des espaces analytiques complots
catégoriodes espaces annelés complexes, dont les éléments
ecnt les morphismes admettant pour unités à gauche et à droite des
espaces analytiques complexes. Cette sous-catégorie est stable relativement au produit
.
topologique
catégorie
espaces . annelés complexes. C’est. la seula
catégorie considérée dans cet exposé ; de plus, les espaces analytiques complexes
dans la
des
considérés
supposés paracompactso Un morphisme d’espaces analytiques
complexes est appelé morphisme analytique. Un ensemble distingué dans unespace
analytique complexe est appelé ensemble analytique. Un faisceau de A-modules sur
un espace analytique
t~ ~ A) est appelé faisceau analytique ; il est dit anasont
lytique cohérent s’il
appelé
est
est
faisceau cohérent de
un
germe de fonction
au-dessus d’un ouvert
U
A-modules. Un élément de
A
analytique sur X ; une section du faisceau A ~
x ~ est appelée fonction analytique sur U .
de
Espaces analytiques holomorphiquement complets. - Un espace analytique ~~ 9 A)
est dit holomorphiquement complet si :
i. pour tout point x de x ~ il existe un nombre fini de fonctions analytiques
dans ~ ~ qui admettent x comme zéro isolé commun.
ii. pour tout ensemble M ~ infini et discret, de points de X, sans point d’accumulation dans X ~ il existe une fonction analytique dans ~ ~ non bornée sur NË
c.
c
Un
localement
recouvrement,
(X, A)
la restriction de
est
appelé
de
X ~ par des ouverts sur chacun desquels
espaoe analytique holomorphiquement complet,
rini,
est
un
recouvrement de Stein de
X . Tout espace analytique admet
un recou-
vrement de Stein arbitrairement fin.
_
2. Rappel de théorèmes
(X , A)
THÉORÈME 1. - Si
tique cohérent ;
tout entier
la
est
un
analytiques cohérents.
analytique,
espace
AP
directe
somme
fini
p
les faisceaux
sur
est
un
faisceau
le faisceau
A
est
analy-
analytique cohérent !
pour
positif.
,,
THEOREME 2. - Le faisceau d’idéaux associé à
~~ ~ A)
espace analytique
,
un
faisceau
(X , A) ;
restriction de
M
un
à
U
soit de
(Théorèmes
lytique cohérent
sous-faisceau
si tout point
M
THÉORÈME 4.
analytique dans
un
analytique cohérent.
sur un
A
espace
et
de
x
type
B
X
analytique
admet
(A) ,
THÉORÈME 5. - Soit
M
un
(X , A) ~ holomorphiquement
nombre
fini,
un
alors
de
sur un
espace
analy-
voisinage U tel que la
M est analytique cohérente
de CARTAN et
SERRE ). - Tout faisceau anaanalytique holomorphiquement complet est de type
(C)
en
ensemble
,
THEOREME 3. - Soit
tique
est
un
faisceau
.
analytique cohérent
complet. Si des sections
sont telles que, pour tout
point
x
analytique
sur un
espace
s. 1
de
M
au-dessus de
de
X,
le
Ax-module
x9
M
x
soit
engendré
par les éléments
alors les
si(x) ,
si engendrent
Ho(X ,
le
A)-
M) ,
module
THÉORÈ:ME 6. - Soit I~~ un faisceau analytique cohérent sur un espace analytique
(X ~ A) holomorphiquement complet, et soit U un ouvert de X ~ holomorphiquement complet et relativement compact ; alors le H (7 ~ A)-module H°(U ~ M)
est de type fini (U désignant l’adhérence de U).
THÉORÈME
est, pour tout
Leray. Donc
analytique cohérent
est isomorphe à
faisceau
M)
résulte que, si X
admet
un
est nul pour tout faisceau
THEOREME
dans
un
8. - Si
espace
f
(B)
pour tout
X,
sur
recouvrement de
un
q ~~: 0 .
Il
pour tout
recouvrement de Stein formé de kouverts,
M)
analytique cohérent
une
analytique Y ~
X , simple d’espèce
Hq(Y , f, (M) )
est
M
M
application analytique
M
et si
est
relativement à
f,
un
et tout
X~
sur
topologie de
la
Ho(U ,
M)
analytique X
analytique cohérent sur
M) est isomorphe à
faisceau
alors
sont des
un
ouvert de
M
un
sous-faisceau
Ho(U , Aq) ,
convergence unir or~me dans
c’est donc aussi
un
IEMME: 1. - Soit
de
Cn ,tel
(*)
analytique
un
tout sous-module de
voisinage
de
x
un
espace de Fréchet (espace
M) est muni d’une
H°(U ~
Aq) ;
Aq
muni dela
c’est
un sous-
est fermé pour la
Appendice I) ;
(H.
espace de Fréchet.
M
un
sous-faisceau
H1 (Uj , M)
que
car
;
de
Ho(U , Aq) ,
C-espaces vectoriels ;
c’est donc
(*) .
le faisceau des gerbes
il
vectoriel localement convexe, métrisable et complet)
topologie natu:relle comme sous-espace vectoriel de
espace fermé de
q
q > 0 .
Remarque préliminaire. - Soit U
de fonctions holomor hes dans U
et
en
d’un espace
3. Caractérisation c ohomologique des faisceaux analytiques cohérents
Ho(U , Aq)
(X , ~1)
analytique
d’un espace
7. - Tout recouvrement de Stein
=
0
analytique
de
Aq
dans le
polydisque
pour tout ouvert
été énoncé et démontré par H. GRAUERT et R. REMMERT ; la
démonstration qui suit est due à Mr ~ H. CARTAN, ainsi que le théorème 9 .
Le lemme 3
a
Alors à tout
correspond
jouissant
polydisque
polydisque
un
de la
propriété
T oute section de
Z"
M
M
Soit
une
suite
du
Z .
au-dessus de
1. - Il suffit de démontrer la
lemme
ri 03C1i ,
1 É i ~
et
n
une
tel que toute section de
existe ~1>0
puisse ~tre uniformément approchée,
par des sections de
DÉMONSTRATION
peut être approchée uniformément dans
Z’
au-dessus de
par des sections de
DEMONSTRATION
suivante :
M
de cette
suite
M
r!
proposition suivante :
ri , 2 ~ i ~ n . Il
au-dessus de
au-dessus de
au-dessus de
proposition. -
Pour établir la
proposition indiquée,
soit
intersection de .
H~(A~
Puisque
au-dessus de
section
f"
A
de
M)
est la
M
M)
=
somme
=
H~(6~
d’une section
au-dessus de
un
homomorphisme d’espaces
de
=
0,
f’
de
toute section
M
f
de
au-dessus de
A’
M
et d’une .
~.
Donc l’application H~(A’, M) x H~(A~ M)
est
M)
-~
Fréchet, qui
est
M) :
(f’ , f")
surjectif. D’après
un
-~ f
+
théorème
fil
de
Banach, c.’est
une
application
ft ~
Considérons toutes les
Quand f"
Ho(0394,
h
~ Ho(0394,
f
f’
f"
+
sup
f
telles
K(2014)
f~ ,
de
au-dessus de
0394o , s
M) , et |f’(z)| ~ m
quelconque
section de
A" ~
M
Soit
.
r’) ;
lemme est démontré.
alors
on a :
s’écrive
A
sous
au-dessus de
s ous
la
la forme
et
A* ,
et
|1 K(u1 z1)k f)l
vérifie
f 6.
H°(A’ , M) ,
et
au-dessus de
coïncident au-dessus de
de zéro dans
pour
que ~(2014)~ f=f +f"
au-dessus de
u.
M
’écrit
1 K(u1 z1)k f ~ Ho(0394, M)
te lle que
Le
de
’
M
sur
résultat de i., il existe des sections
M)
f -
de
voisinage
un
sur
pour
le
Alors
f~
un
engendre
compact
et
o
f"~H°(~" ,
M
M)
section
une
)f(z)i ;
A . D’après
sur
f"
telles que
~ H°(0394, M) , telle que |f|~1
où f’ ~H°(0394’ , M) , f" ~ Ho(0394" ,
ii. Soit alors
K=
M)
vérifiant|f(z)|~
|f’(z)| ~ 1 pour|zi|ri, 1in. Soit 1/~=m;
tel que toute f
forme f’ + f" où
toute
H°~/!,’ ~
H~(A" , M) , f ~ +
il
existe ~ > 0 et
décrit
M) . Done
ouverte.
A~
A ~
et
K(2014L)~
définissant
f" ~
une
section
section
LEMME 2. - Soient
A" . Si,
de
H1( U,
domaine de
un
pour tout domaine
M) = 0 , alors
DÉMONSTRATION
i.
G
Soient
M
M
U
cohérent dans
est
sous-faisoeau
analytique
holomorphiquement complet contenu dans G ,
un
G.
’
du lemme 2.
de
point
polydisque compact de centre x et
de rayon r contenu dans G. Tout élément de
Mx peut être approché arbitrairement, et uniformément dans un certain voisinage de x ~ par des sections de M
x
au-dessus de
un
forme dans
un
M’x, et Mx
=
au-dessus de
Z
un
vertu du lemme 1 . Or le sous-module
Zx ~ en
par les sections de
et
G,
M
au-dessus de
voisinage fixe
M’x . Ainsi, le
de
x.
x
x
est fermé pour la convergence uni-
Z ~
Donc tout élément de
Ax -module
engendré
de
M*
M
est
x
engendré
appartient à
M
par les sections de
M
Z .
x
ii. Soit
de rayon
un
y
point
de
tel que le
G,
r ~ soit contenu dans
M
sections de
au-dessus de
le
G ;
Zy .
centre
polydisque compact Z , de
A
si
M
-module
Y
décrit
est
engendré
y ,
par les
voisinage V assez
contient V ; donc, M est
petit
x, l’intersection des polydisques Z
y
engendré, dans V , par ses sections au-dessus de V , c’est-à-dire est de type
(A) dans V . Diaprés le théorème 3 sur les faisceaux analytiques cohérents,
Or,
un
y
de
M
est
cohérent dans
LEMME 3. - Soient
A" , Si,
tique de
(U~ M)
H
=
G.
(X , A)
un
pour tout domaine
est cohérent.
M
0 , alors
analytique, M un sous-faisceau anal:yU , holomorphiquement complet de X ~
espace
~
DEMONSTRATION du lemme 3. - Soient
.
de
X,
muni de la restriction
A|V
x
un
point
du faisceau
V
de
X~
A,
et identifié à
et
un voisinage
un
ensemble
muni du faisceau A(V) des germes de
analytique dans un domaine G de
fonction holomorphes induites sur V par les fonctions holomorphes dans G.
Soit N le prolongement trivial de M)v dans G ; c’est un sous-faisceau
soit W un domaine holomorphiquement complet contenu
analytique de
dans G ;
N) =
V , M)v) ; B Ô V est un ensemble ouvert de X ~
H V , MJV) = 0 et par suite
holomorphiquement complet ; donc
N) 0 ; d’après le lemme 2 ~ N est cohérent dans . G ; son image
H~(W ~
=
inverse
MJV
THÉORÈME
cohérent N
est donc
9. - Soit
sur un
faisceau cohérent dans
un
M
un
espace
sous-faisceau
V .
analytique d’un
analytique(X ~ A) .
faisceau
M)
=
0
analytique
pour tout
U
ouvert
DÉMONSTRATION. - Localement,
et la suite exacte
où les
AP
N
et
étant
cohérents,
1)=
H(U~M’)=0 ;
est
N
---~-
cohérent.
est
suite exacte
permet ’ de
I est
construire le
cohérent ; donc,
la suite exacte :
on a
puisque
M’
2014~- M
0
on a une
M
X ~
diagramme
et les colonnes sont exactes.
lignes
complet,
de
holomorphiquement complet
H
mais
cohérent ; M ~ quotient
3. Le faisceau
.
(u,
pour q">0 ; comme
M’ est un sous-faisceau de
0
distingué
sur
le
holomorphiquement
pour U
M’
de
M)=
0
hypothèse,
par
A~ ; d’après
par le faisceau cohérent
produit d’un
analytique
espace
le lemme
1~
3,
est cohérent.
et d’un espace
projectif.
DÉFINITION
distingué. - Soit Y x P~ l’espace analytique, produit
d’un espace analytique (Y ~ B) et de l’espace projectif complexe P~ à n
dimensions ; on a défini un fibre distingué F sur P~ ~ on désignera encore
a.
F
par
Y
o
x
F
le fibre
P~
sur
des
germes de
Y,
sur
sur
r .
PROPRIÉTÈ
b.
en
du faisceau
Y
x
P~
appellera faisceau distingué
sections holomorphes do
F
du faisceau
un
distingué. -
isomorphisme
résulte que le faisceau
rappelle
et F" le
que
Aq désigne
produit
la
tensoriel de
par la
F
0
On
il existe
(On
inverse de
image
Si
f
naturel de
un
x
F
faisceau libre..
la projection
f,(Aq ~ Fk) sur
est libre.
somme
directe de
faisceaux
q
de
le faisceau
désigne
F! (Aq ~ Fk)
k
Y
sur
projection
faisceaux
identiques
à
de
Y
~1 ~
m
~0).
Les notations sont celles de 3 .
Pn
il
identiques à
F).
4. Enoncé des théorèmes fondamentaux de Grauert et Remmert (valables pour
n
x
,
,
Q
Inn . -
M
Si
est
faisceau
un
--..---
-
.
-..
>--
---- >
...
d.e
compact
domaine relativement
un
et
t’
analytique cohérent sur Y ,
Fl) tel
existe un entier ko(Q ,
T)Q Pn soit simple relativement
,
THEOREME
x
.......
x
que le faisceau analytique cohérent I%1 o
à la projection de Q x Pn sur Q , pour tout entier
THÉORÈME
fm!(M)
Ig . - Si
est
un
Î.i
es"w un
,
-.
-
k ko.
analytique cohérent
faisceau
analytique cohérent
faisceau
r
-.-
Y
sur
x
+,
Y .
sur
analytique cohérent sur Y Pn , et
Q un domaine relativement compact et holomorphiq uement complet dg Y , il existe
soit de type (C) pour
tel que le faisceau M s
un entier
THÉORÈME IIIn . -
M
Si
est
un
faisce,au
k.~(Q , M)
tout entier
théorème
Le
3L
o
relatifs à
B
et
est
IIIn
un
une
conséquence
précédents
facile des
consacré à la démonstration des théorèmes In et IIm n. Dans
partie, seront démontrés, pour - n = 1 , le théorème I n et un
Sera
II’t
THÉORÈME
II’ . - Si
n
Fi
est
compact de Y ,
domaine relativement
cohérent
f, (M £ )
soit
s
que
faisceau
un
-
°n
~
Q,
sur
*
Pour démontrer le théorème
analytique cohérent
il existe
un
pour tout entier
"
THÉORÈME I’1 . tout
point
y
de
-
Soit
M
faisceaU
Un
-
Éz
il existe
Y,
V
voisinage
un
cohérent
analytique
de
-
--
y
tels que:
? .
si
M> tei
o
suivant,
V
tion àe
M
k #
il eXiste
qUi engendrent
b. Si
et
est
S
un
ce
domaine
Ôà
ltÎ
x’ P1
pp nombre
fini
de
sections §e
faisceau au-dessus de
dont il est
un
P1 ;
entier
un
P°Ur
ko j 0 ,
k
s
F au-dessus de
V x
holomorphiquement complet
est
M
Y *
SUr
.
k >
1,
x
contenu dans
faisceau de type
(B)
pour
V ,
la restric-
tout entier
k .
o
Dans
.
Une
Seconde
.
partie,
d’Un raisonnement par
de
et
Y x
entier É .lo(Q ,
démontrera le théorème
on
sur
conséquence immédiate:
une
V
cas
Cet
II°
:
n
de
n
Q
exposé
une première
particulier
ana.lytique holomorphiquement complet.
espace
théorèmes
et des
Hopf.
les théorèmes
récurrence,
I
n
utilisant de
et
IImn
façon
seront établis à l’aide
essentielle les éclatements
5* Modification
des
éclatements de
variétés,
Hopf.
P~
On exposera seulement le processus de modification de
point. Soit
un
0
l’origine
P~
de
C~ ~
par le groupe des homothéties de
Pn-1 ,
sur
X
Si
... ,
x
ou
x.
qui munissent
(C~ -
Dans
2
analytique
désignera
z. ~ z~ ~
homogènes
dans
Pn-1 ,
on
X
d’une structure de variété
X’
C
F ~ ces
an dimensions,
x
n -
et
de
g
X
équations z.
équations définissent
1
X’
=
sur
G U
en
({0} P~"~) .
x
et
f
X’
de
~0~
ouvert
un
à 2n - 1 dimensions.
analytique complexe
est défini par les
G
x
C~ -
et
dans
peut,
s’annule pas, prendre pour coordonnées locales
{o})
G~
senties coordonnées dans
z
... ~
des coordonnées
applications canoniques
application canonique h
une
le
en
{o’}
de
application canonique
graphe dans l’espace produit
on a une
G
par
C~ -
étant le quotient de
ne
$ i ~ n ~ dans
des
on
F ,
x1 , x2 ,
de
dont
par éclatement
=
z
une
La
x
y ,
variété
composition
dans
X
définit
’
de
X’
vérifiant les
sur
propriétés
suivantes :
i.
h" (0)
est
oanoniquement isomorphe à
;
ii. la restriction de h à G est un isomorphisme de
iii. h" (0) est une variété analytique non singulière
0~
si l’on
.
G
de
{o~ ~
sur
X~ d’équation
V~ ~ **’ ~ y~ comme coordonnées dans
iv~ h est propre (l’image réciproque d’un compact est un compact).
Plus généralement, si W est-une variété analytique complexe de dimension n,et
si on choisit un système de coordonnées locales au voisinage
p un point do
de p , et si l’on effectue l’opération précédente, le résultat ne dépend pas
z~
=
prend ~ ~
du choix des coordonnées locales. Prenons pour
une
variété analytique que
désignerons
W
l’espace
nous
obtenons
application analy6’ =rr"~(p) est canoniquement isomorphe à
de P~
sur
tique
donc à l’espace des droites de F passant par p , et T!~ est un
isomorphisme
> de
sauf sur f . En outre, l’application
sur
Pn03C3
qui applique tout
p
et tout point de
point de j* identiquement sur
sur la
droite qui le joint à p , considérée comme point de 03C3 , munit
d’une
structure d’espace fibre~ de base « ; de fibre
nous
par
une
P~"~ ~
(p
Pn03C3
.
Si
méme,
Y
est
on
pose :
un
i
analytique,
espace
l’application identique
Pour établir par récurrence les théorèmes I
n
et
IImn ,
de Y
sur
considèrera
on
n
lui-
le
commutatif
diagramme
où j désigne l’inclusion,
tion de
isomorphe
f
à
la
projection
x
sur
Y
de
Y x
F~
la
sur
Y.
projec.
~
Il. Démonstration des théorèmes
1. Un lemme
les matrices
sur
Rec ouvrement de
a.
Soit
un
y
point
de
y ~ tels que
non
homogène dans
V
de
x
~
II’
deux ouverts
r
V
deux
soit relativement
P1 ,
et
holomorphes inversibles.
v ’ et
Y,
V
PI
Il
6-’ deux
et
holomorphiquement complets. voisinages holomorphiquement complets
compact
dans
U~,
Soit z
nombres réels tels que
une
0é
coordonnée
~’1 .
On pose
Soit
soit
point de coordonnée
le point de coordonnée
le
p.
p~
0
0153
dans
pl ,
et
dans
b. Enoncé du lemme.
NOTATIONS.- Si G~==
domaine
on
D ,
désigne
on
par
pose |03B1|D
1n
(CL.)..~
=
la
sup
est
une
n
(n ~ n)-matrice
|Gij(x)|
(n , n)-matrice
;
on a
holomorphe dans le
évidemment
unité.
.
IEMME. - Pour tout entier
pour toute
existe deux
n > 0 ,
il existe
un
nombre réel
(n , n)-matrice ( , holomorphe et vérifiant
notions
inversibles 1 et 2 , holomorphes
=
telles que
respectivement,
(~1)-1 2
dans
tel que : pour toute
~
matrice ,
holomorphe
vérifiant :
"*"
i,
holomorphe
On le montre
T~. (~ ~ .
Ui ,
sur
développant
en
Alors
et
dans
on
~(n)
détermine
X)
U12 ,
JC
nombre réel
un
il existe
une
K
matrice
série de Laurent dans
en
de telle sorte que :
4n~
i.
(n ~ n)-matrice (S.-~ ~ holomorphe
il. toute
et vérifiant
.
~
admet
d.
0
U12 .
sur
les éléments de
tel que :
> 0
t:r
1
Préliminaire à la démonstration du lemme. - Il existe
c.
~(n)
(03B2i)-1
inverse
une
DÉMONSTRATION
| (03B2i)-1|U. 2 .
définit 3
suites j , j1
vérifiant
du lemme. - On
On
~.~L - l[~ ~ K~~
Ù:
~.
suppose |GL-
1|U12
et
j2
de matrices
de la
façon suivante :
i. o est défin:ie sur
U par G
1
=
+o,
.
Lj
ii. Si
on
détermine
Alors
on a
1
+
et,
par
hypothèse
-~
.
définie et
holomorphe
est
ji , holomorphe
Ui ,
sur
~
esL
inversible
sur
sur
U
12 ,
et
vérifie |Lj|U
|o|Ul2
12
~ 2j ,
de telle sorte que:
U~
car
de plus
iii. Si
s ur ~ 12
j , j1 et
pa.r:,
sont
définis
comme
précédemment,
on
détermine
j+1
~.
Il
résulte que :
en
~.~+~
La rolation de définition de
tend
Quand j
6~
vers +
j+1
sible dans
tend
s’écrit
tend
0,
vers
encore :
1
donc
0~
matrice
vers une
=
et inver-
holomorphe
G1 G(G2)-1 .
C .Q.F.D.
2. Démonstration du théorème
Les
sont celles de
Résolution du
a.
7.
hypothèses
est
d’une
a.
engendre
M
compact dans u.-, ~
(t , l)-matrice
à la
partie
a.
sur
le faisceau
engendrer
est
M
au-dessus de
existe deux
(t ~ t)-matrices
pour
analytiques cohérents ;
en
(a~ )... ~
i
=
a.
U’ .
Ho(Ui ,
M) ,
en
vertu du théorème
=
Comme
par les éléments
au-dessus de
d’éléments de
=
les faisceaux
théorème,
le
1~j~ t
théorème 6
du
recouvrement de Stein
est
théorème
U~
1.
problème~ correspondant
TL . -" (U~?).~ p
et
Ii .
vertu du
5,
1 , 2 , holomorphes
il
sur
~
U.
telles que
b. Prolongement
au-dessus de V (K1 - {p1}
En
développant
~ H ~? ~
on
s. =a~ s~
approché
de
et
sI
s .
au-dessus de
). - Soit [)
les éléments
a~
obtient des fonctions
les conditions suivantes :
’
de
a.
un
V
en
nombre
(K2 - {p2})
et de
s2
positif.
séries de Laurent dans la
éléments de matrices
couronne
vérifiant
i,
est
al
méromor he
sur
IL
n’admettent pour
iii. les éléments de
pôle
à
que
majoré
ordre
un
Soit
au-dessus de
M
sont des sections de
s’ (resp,
Les éléments de
-
._
k
une
section holomorphe
moins
fk , qui
k1 .
L’application 03C6k : Nl ~ M ~ Fk : s
les éléments de s! en sectionsde
rons encore
M ~
par
Ui 1
.~.
U..U1,
d.
p1
Soit ~ >0 ,
03B4
(x)
M ~ f-’
transformés
les
s’ l
k
p ,
à
un
ordre
au
(x) ~ fk(x)
au-dessus de
de
s.1
et
k
transf orme
Û -
s’ 1
nous
9
U,
est
comme 03C6k
9
si engendrent
prolongement approché de siJ. au-dessus
points
p
et
p ,
{pi} ;
s!
est
un
1
~ s
les éléments de
des sections
approximatives
tel que le lemme
sur
par de vraies sections. -
les matrices
03B4) ~ ;
tel que
12
1.
et
possède
et
Remplacement
choisit
et
s.l
hor s de s
F dans
de
s’ annule
ne
F-
k ~ 2k1 ,
à
égal
bi j ec tive
s’i . - Si
des éléments de
pôles
des
Compensation
c
inversible, holomorphe
dans
Ui ,
telle que
Posons
holomorphes s’applique ;
il existe alors
Q = Q-12 Q1
une
dans
matrice
U12 .
ou
Alors
défini
on
da.ns
Répétition
e .
des
/É
points po
k
pour
>k
=
et
2
Fi
a
sont
kF) ,
f. Démonstration de la seconde
vi>
W
x
ist
Un
coïncidant
sectionsen-
inversibles, ces
p1 .
On effectue 1er’=’, même construction
k
2k2 .
la réunion des sections construites
aucours
sur
partie
li
et
po
p1 , et
pour
P1 .
x
de théorème
I[ . prouver
que
domaine holomorphiquement complet de V . Pour
x
de type (B) , il suffit de prouver que
=
a.insi
on a.
12 ,
V x
au-dessus de
différents de
p[
max(k ,
processus engendre
des deux
et .
précédent. -
du processus
points singuliers p’o
Alors,
Gi
dans U
=
~ Fk
bI
de section de
hors dex
S’1 Sj
comme
Vj;
Comme les matrices
Ui .
é
gendrent
dans
=
ensemble
sur un
ÉÎg
avec
sj Gi Si
pose
ôfi
s
Soit
Fk)
Fk| W
P1
14
~
=
0 , puisque
x
Soit >
K x
recouvrement de Stein de
un sous-
§H
W12
est
=
W1 m W2 ,
H° (W12 , M 8 F) . En vertu du théorème 5 Sur les faisceaux analytiques
Cohérents, 5’ engendre Ho(W12 , M o Fk)
fj 03C j où 03C j
Donc Ô
d ÎÉ et fj éi
Î
Ho(W12 , 11) e
et
G é
..
*
1 $ js2
En développant
~i
est
t
les
fà
en
série àe Lamrent,
alors
dans
T ~ ~2 ~
f) _ fi
obtient
on
où
où
°~î
~ ° ~°
Démonstration àu théorème. -
a.
Le
problème
est de nature locale
Y :
sur
il suffit de montrer que, pour tout point y de Y , il existe un voisinage V
de y et un entier positif
tel que le faisceau
soi t
(ÎYi fil
cohérent dans
d ’après
..
V
x
la
... ,
P1
engendré
exacte:
IJ
pour l lo
première partie
k~
de
s
pour
par
Fî
fil
lo(V , M)
o
(V , Fî) .
du théorème
f au-dessus de
On choisit
I] ,
ces
, Fî) ;
sections
est
le
un
morphisme Aq(V
épimorphisme ;
un
À)
1,
a,
Alors,
nombre fini de sections
k~~
V x
,-
V
il existe
qui engendrent
q
Q
k p k o(V
1,
comme dans
x
P1)
soit
- FI
N
son
fil
M
k~
fil
f)V
F dans
x
P1
noya.u. La suit.i
donne naissance à
Fk
le faisceau
puisque
N
Comme
est
suite exacte
une
cohérent;
dérivés de
f.
(V , N)
pour
théorème
et
; la suite exacte des foncteurs
l’
la suite
réduit
se
Fk)=0
a
partie de
vertu de la seconde
en
est libre.
exacte :
..
Or:
canoniquement isomorphe à
(V) ;donc f, (N ~ Fk)
est un sous-faisceau analytique de
..
holoii. D’après la seconde partie du théorème
pour tout domaine
morphiquement complet, contenu dans V ,
F~) = 0 pour
en vertu du même théorème,
x P
N ~
est simple d’espèce
k ~k
(B) relativement à f ~
F")
i.
est
(V ~ N) ;
donc
En vertu de la caractérisation
f,
.
~N~
F~‘ k )
est
cohérent;
cohomologique
comme
des faisceaux
Fr) ! k isomorphe
®
analytiques cohérents,
(’~’ ) ,
a’
..
k +~
est
0
cohérent, f , (M ~ F)
cohérent.
est
Il est donc démontré que
f , (M ~ F )
cohérent pour
est
.
b.
Corollaire. -
compact dans
faisceau
Y
x
Cn
C~ ~
Soient
E
un
Y
DÉMONSTRATION. -
On
espace
ensemble
analytique cohérent
~ Y . Alors
un
f,(M)
plonge
analytique dans
Y
sur
x
G
analytique,
C~ ~
nul dans
Y
Y
un
C~ - E ~
fm!,(M) 0
Cn
dans l’espace de Osgood
et
=
~
on
prolonge
On définit la
M
trivialement pour obtenir
projection "B. :
Y
x
(~
un
- Y
faisceau
en
E C Y
x
cohérent
Y
domaine relativement
C~ ~
x
est
sur
.
M
On
=
x
f
M
G~
la
pour
-un
projection
m
>0 .
P1"""""n ...
P1 ;
"fois
cohérent
sur
(~ .
composant les projections :
et
on
applique
tensoriel par
Si Q
pour
(B)
n’étant pas modifié par le produit
est cohérent.
fois le théorème
n
II’1 ;
f, ~M~ : ~-, tM~
Fio ,
..
est un domaine
holomorphiquement complet
HP(Q
Y,
cela entraîne que
d’après lethéorème B ;
p > 0
dans
M
est
Cn ,
M) = 0
simple d’espèce
x
relativement af .
III. Démonstration des théorèmes
l
et
-
n
II~
n
récurrence.
par
~.201420142014.20142014201420142014
diagramme déjà construit :
On utilise le
k
Pour étudier
ce
un
faisceau par
faisceau
03C0 sur
M
Y
sur
P03C3n , puis
Y x
on
x
Pn (théorèmes
étudie
son
d’ordre
n) ,
on
relève
image par f (application
fibrée localement triviale , donc , localement, théorèmes d’ordre 1 ) et ensuite
par g (théorèmes d’ordre n - 1 ) . Ainsi on déduit les théorèmes d’ordre n
de s théorèmes d’ ordre 1 e t
n - 1 .
BIBLIOGRAPHIE
[1]
[2]
CARTAN (Henri). - Idéaux de fonctions analytiques de n variables complexes,
Ann. soient. Ec. Ncrm. Sup., 80 série, t. 61, 1944, p. 149-197.
CARTAN (Henri). - Idéaux et modules de fonctions analytiques de variables
complexes, Bull. Soc. math. France, t. 78, 1950, p. 28-64.
Variétés analytiques complexes et cohomologie, Colloque
sur les f onctions de plusieurs variables, Bruxelles. 1953. - Paris, Masson,
1953 (Centre Belge de Recherches mathématiques) ; p. 41-55.
[3]
CARTAN
[4]
GRAUERT
(Henri). -
Räume,
[5]
GRAUERT
der holomorph
1955, p. 233-259.
(Hans). - Charakterisierung
Math.
(H.)
Annalen,
et
t.
REMMERT
129,
(R.). -
vollständigen komplexen
Faisceaux analytiques cohérents sur le
et d’un espace projectif, C. R. Acad. Sc.
produit d’un espace analytique
Paris, t. 245, 1957, p. 819-822.
[6]
[7]
GRAUERT (H.) und REMMERT (R.).
Math. Annalen (à paraître).
(H.) und
(à paraître).
GRAUERT
REMMERT
- Über
(R.). -
den
Begriff
des
Bilder und Urbilder
komplexen Raumes,
analytischer
Garben
11-17
[8]
[9]
[10]
[11]
OKA (Kiyoshi). - Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables, VII :
Sur quelques notions arithmétiques, Bull. Soc. math. France, t. 78, 1950,
p. 1-27.
Séminaire H. CARTAN, t. 4,
Séminaire H. CARTAN, t. 6,
SERRE
1951/52.
1953/54.
(Jean-Pierre). - Quelques problèmes globaux
relatifs
aux
variétés de
Stein, Colloque sur les fonctions de plusieurs variables, Bruxelles. 1953.
Paris. Masson, 1953 (Centre Belge de Recherches mathématiques) ; p. 57-68.
-
cohérents,
[12]
SERRE (Jean-Pierre). - Faisceaux algébriques
Series 2, t. 61, 1-955, p. 197-278.
[13]
SERRE (Jean-Pierre). - Géométrie algébrique et
Inst. Fourier, t. 6, 1955/56, p. 1-42.
Annals of
Math.,
géométrie analytique,
Ann.