Interférences par division du front d`onde 1. Propriétés générales

Spéciale PSI - Cours "Optique ondulatoire"
1
Interférences
Chapitre III : Interférences par division du front d’onde
Objectif :
• Etude des gures d’interférence d’un dispositif à division du front d’onde.
• Présentation de quelques dispositifs.
1. Propriétés générales
1.1. Sources secondaires
S1
Voie (1)
M
S
source
Voie (2)
S2
Chacune des deux ”voies” de l’interféromètre constitue un système optique que nous supposerons stigmatique. Dans
ces conditions, l’interféromètre donne de la source ponctuelle S deux images S1 et S2 qui peuvent être, selon le type
d’interféromètre, réelles ou virtuelles :
(1)
(2)
S1 et S
S2
S
Les deux images S1 et S2 de la source ”primaire” S à travers les voies de l’interféromètre sont appelées les sources secondaires.
Pour toute vibration lumineuse ayant traversé la voie 1 de l’interféromètre, la condition de stigmatisme impose :
(SS1 ) = cste
De la même façon, pour toute vibration lumineuse ayant traversé la voie 2 de l’interféromètre :
(SS2 ) = cste
On a donc :
(SS2 )
Le plus souvent les deux voies sont symétriques et alors :
(SS1 ) = cste
(SS2 ) = (SS1 )
C’est ce que nous supposerons par la suite, mais cette condition est à véri(er pour chaque cas particulier.
1.2. Di érence de marche ”optique”
1.2.1. Di érence de marche géométrique
géo
Si le parcours s’e*ectue dans un milieu homogène d’indice n, ce que nous supposerons par la suite :
géo
= [(SS2 ) + (S2 M )]
[(SS1 ) + (S1 M)] = (S2 M)
1.2.2. Di érence de marche supplémentaire
sup
(S1 M) = n [S2 M
S1 M ]
(rappels)
• Si une onde se ré+échit d’un milieu moins réfringent sur un milieu plus réfringent (ré+exion air verre par exemple), un
déphasage de intervient.
Puisque = 2 0 , un déphasage de équivaut à un chemin optique supplémentaire de 20 :
ré#exion air-verre
sup
=
0
2
• Si une onde passe par un point image, nous admettrons que la phase subit également dans ce cas une discontinuité de
et donc il apparaît de même un chemin optique supplémentaire de 20 :
point de convergence
sup
=
0
2
Optique ondulatoire. Chapitre III : Interférences par division du front d’onde
1.2.3. Di érence de marche ”optique”
(M ) =
géo (M ) + sup
2
et déphasage
= n [S2 M
S1 M ] +
sup
=
2
0
=
2
0
(
géo
+
sup )
1.3. Méthode d’étude d’un interféromètre par division du front d’onde
Tout se passe comme si les interférences étaient celles de deux sources cohérentes constituées par les deux
sources secondaires S1 et S2 images géométriques de la source primaire S dans l’interféromètre.
L’étude des interférences données par un interféromètre à deux ondes par division du front d’onde s’e*ectue par conséquent
selon le protocole suivant :
1.3.1. Recherche de la position des sources secondaires S1 et S2
Cette recherche fait appel aux lois de l’optique géométrique et aux propriétés des systèmes optiques, souvent classiques :
lentille mince ou association de lentilles minces, prismes, miroirs etc..
1.3.2. Délimitation du champ d’interférences
Il convient de tracer les rayons qui, dans le plan d’étude, limitent les faisceaux incidents et émergents de l’interféromètre.
On peut observer des interférences dans tout le domaine de l’espace où se superposent les deux faisceaux émergents. Sur un
écran ce domaine délimite le ”champ d’interférences”.
1.3.3. Calcul de la di érence de marche optique
Les cas les plus fréquents ont été développés au chapitre précédent :
• Sources secondaires S1 et S2 à distances nies écran parallèle ou perpendiculaire à S1 S2 .
• Sources secondaires S1 et S2 à l’in ni : interférences de deux ondes planes.
• Ne pas oublier de recenser les éventuelles di*érence de marche ”supplémentaires” et d’en tenir compte dans la di*érence
de marche optique .
Il faut être capable de retrouver rapidement l’expression de la di*érence de phase dans chaque cas.
1.3.4. Ecriture de l’intensité lumineuse I(M )
Description complète du phénomène :
• I(M) = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos ( (M))
• Expression de l’interfrange si le phénomène est périodique.
• Calcul du contraste.
• Calcul du nombre de franges observables.
2. Trous d’Young
2.1. Description de l’interféromètre
Deux trous S1 et S2 identiques et de très petite dimension (rayon de l’ordre du dixième de millimètre, ou moins), sont percés
dans un écran opaque et distants de a (de l’ordre de quelques millimètres) : la lumière incidente est di*ractée (voir chapitre
sur la di*raction) par chacun d’eux et les ondes réémises se superposent dans toute une partie de l’espace.
Eclairés par une source ponctuelle S monochromatique de longueur d’onde , ils se comportent donc comme deux
sources secondaires cohérentes.
La source S est placée à la même distance de chacun d’entre eux. L’observation se fait sur un écran parallèle à S1 S2 .
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2.2. Description du champ d’interférences
2.2.1. Limites du champ d’interférence
y
S1
S
x
O
a
S2
D
Le domaine où sont théoriquement observables les interférences correspond au demi-espace situé après la traversée du plan
des trous d’Young (pour un traitement plus correct de cette question, voir le chapitre sur la di*raction) : les interférences
ne sont pas localisées.
La lumière di*ractée par les sources S1 et S2 est reçue sur un écran placé perpendiculairement à l’axe de symétrie du système,
donc parallèlement à S1 S2 à la distance D du plan des sources.
Pour les applications numériques : 0 = 0, 6 µm ; n = 1 ; a = 2 mm ; D = 0, 5 m.
2.2.2. Di érence de marche (M )
(x, y) =
géo (M ) + sup
= n [S2 M
d’après le chapitre II § 3.3.3.1.
S2 M
2.2.3. Di érence de phase
S1 M ] +
ay
D
S1 M
avec
sup
sup
=0
(x, y) = n ay
D
(M )
(M )
=
2
(M) =
2 n ay
D
0
(M ) =
0
2 nay
0D
=
2 ay
D
Exercice n 01 :
Retrouver le résultat précédent grâce à
(M) =
2
1
k1 .OM avec k1 =
= k2 .OM
S1 M
S1 M
2
et k2 =
2
S2 M
S2 M .
2.2.4. Répartition de l’intensité lumineuse
Les deux ondes transportent la même intensité lumineuse :
I(M) = 2I0 (1 + cos ) = 2I0 1 + cos
2 ay
D
Les franges lumineuses sont obtenues quand le déphasage est un multiple entier de 2 ,
D
a
franges brillantes en y = p
Les franges sombres s’intercalent au milieu des franges brillantes soit
franges sombres en ys = p +
1
2
avec p
avec p
ay
D
= p, soit :
Z
ay
D
= (2p + 1)
D
a
= 2p
Z
= p + 12 donc :
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L’interfrange est :
i=
D
a
Le contraste est :
V =1
Nous retrouvons la répartition suivante
y
Frange lumineuse
centrale p=0
p=4
p=3
p=2
p=1
i
x
p=-1
p=-2
p=-3
p=-4
i
Exercice n 02 : Déterminer le contraste si il existe un fond lumineux uniforme de lumière parasite Ib .
2.3. Accroissement de l’intensité lumineuse du système de franges
La di*érence de marche ne dépendant pas au premier ordre de x il est possible, pour augmenter l’intensité lumineuse I
sans modi er l’interfrange et le contraste, de remplacer le trou source par une fente source et les trous di*ractants par des
fentes di*ractantes.
y
S1
S
x
O
a
S2
D
2.3.1. Utilisation d’une fente source
La source ponctuelle S est remplacée par une fente source parallèle à l’axe Ox, de longueur
D. Chaque point de la source
donnant un système d’interférence identique à celui décrit précédemment et les di(érents points sources étant incohérents
entre eux, les intensités lumineuses s’ajoutent.
2.3.2. Utilisation de fentes d’Young
De la même façon, on peut remplacer les trous d’Young par des fentes parallèles à la fente source. La di*érence de marche
ne dépend pas de la position des points di*ractants sur chacune des sources (”les fentes sont des juxtapositions de trous”).
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2.3.3. Utilisation d’une lentille convergente
Une lentille convergente placée juste après le plan des fentes d’Young et conjuguant le plan de la source avec le plan
d’observation, permet de concentrer les faisceaux di*ractés au voisinage de l’axe et d’obtenir ainsi des franges plus lumineuses.
Si la lentille est stigmatique, la di*érence de marche en un point quelconque du champ d’interférences, donc l’interfrange,
n’est pas modi(ée.
Les deux méthodes décrites ici permettent d’augmenter dans le même rapport l’intensité lumineuse en tout
point du champ d’interférence et ne modi3ent donc pas le contraste des franges.
Exercice n 03 : Biprisme de Fresnel
Un biprisme est éclairé par une fente (ne de centre S, située dans le plan de symétrie des deux prismes. La lumière est monochromatique de longueur d’onde .
1) Montrer que, lorsque l’angle A est petit et l’angle d’incidence faible, tout rayon arrivant sur la face d’entrée est dévié de
= (n 1)A. En déduire la position des sources secondaires S1 et S2 , et leur écartement a.
2) Dessiner le champ d’interférence.
3) Décrire le système de franges observé sur l’écran.
4) Combien de franges peut-on espérer voir ? Comment peut-on les observer e*ectivement ?
Données : d = 10 cm , D = 1 m , A = 1 , n = 1, 5 et = 589 nm.
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Exercice n 04 : Un miroir métallique plan horizontal est éclairé par un faisceau de lumière parallèle, faisant le petit angle = 8
avec la surface du miroir, provenant d’une source éloignée monochromatique de longueur d’onde = 430 µm.Un détecteur ponctuel
M de signaux infrarouges peut se déplacer sur la verticale Oz perpendiculaire au miroir, dans le plan d’incidence ; il enregistre des
maximas et des minimas d’intensité.
z
M
I
O
A) Le miroir est supposé parfaitement ré+échissant. Déterminer :
1) l’ordre d’interférence p (z) au point M du détecteur de cote z au dessus du miroir.
2) la distance Z entre 2 positions succesives du détecteur correspondant à un maximum d’intensité.
B) Le miroir n’est pas parfaitement ré+échissant
3) On suppose que la vibration propagée par les rayons parallèles est perpendiculaire au plan d’incidence et que le facteur
de ré+exion du miroir pour l’intensité est alors R = 88%. Exprimer en fonction de R, puis calculer, le contraste C des franges
d’interférence détectées.
Exercice n 05 : Miroirs de Fresnel
Un système de miroirs de Fresnel est réglé de telle manière que les deux arêtes rectilignes qui constituent les bords adjacents des
deux miroirs soient en parfaite coïncidence.On désignera a et b les distances de cette arête à la fente éclairante et à l’écran d’observation
et par le supplément de l’angle des miroirs. La fente est éclairée par une source monochromatique de longueur d’onde .
1) Calculer le nombre de franges qui existe dans la partie commune aux deux faisceaux.
2) On donne a = b = 1 m, = 0, 55 µm ; on veut que la partie commune aux deux faisceaux contienne 25 franges brillantes ;
quelle valeur faut-il donner à l’angle ?
2.4. Translation de la fente source parallèlement à elle-même dans la direction S1S2
y
y’
S1
S’(y’)
S
x
a
O
S2
M(y)
D’
D
Supposons que la source S se déplace en S avec y = SS . En un point M(y) la di*érence de marche
les vibrations issues de S devient :
= (S S2 M )
(S S1 M ) = (S S2 )
=
(S S1 ) + (S2 M )
ay
ay
+
D
D
(S1 M )
que présentent
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Examinons le déplacement de la frange d’ordre d’interférence p.
Lorsque la fente source est en S, cette frange est à la distance y1 de O :
Dp
ay1
=p
p (y1 ) = =
y1 (p) =
D
a
Lorsque la fente source est en S , la frange d’ordre d’interférence p se trouve maintenant à la distance y2 de O :
p (y2 ) =
=
ay2
ay
+
D
D
y2 (p) =
Dp
a
D
y
D
Le déplacement de cette frange est donc :
D
y
D
La di*érence y2 (p) y1 (p) est indépendante de p, le système des franges d’interférence se translate donc ”en bloc”, la frange
centrale se trouvant maintenant en y2 :
D
y2 = D
y
y2 (p)
y1 (p) =
2.5. Observation des franges d’interférences
Les franges d’interférence constituent une ”image” au sens de l’optique géométrique et leur observation met en jeu les procédés
décrits dans le cours d’optique géométrique.
L’interfrange est le plus souvent faible (inférieur au millimètre) et ne peut donc pas toujours être résolu par l’oeil, même
au minimum de vision distincte (PP). En conséquence l’emploi d’un oculaire (muni d’un micromètre pour les mesures) est
fréquent, il permet :
• d’augmenter l’interfrange angulaire, angle sous lequel on voit deux franges consécutives.
• de supprimer l’accommodation de l’oeil.
L’écran n’est alors plus nécessaire, il suGt de placer le plan focal de l’oculaire (plan dans lequel se trouve la graduation
micrométrique) dans le plan où se trouvait l’écran pour observer les franges précédentes.
Si l’oculaire est de distance focale f , l’interfrange angulaire i (i = /a = distance angulaire entre deux maxima successifs)
devient :
D
i (f, i) = i > i
f
dispositif
interférentiel
écran
écran
i= D/a
i= D/a
i'
D
f
Exercice n 06 : Translation des franges
Soit un dispositif de fente de Young (fentes F1 et F2 distantes de a) éclairé à l’aide d’une source S (ponctuelle, monochromatique de
longueur d’onde et située à l’in(ni). L’écran d’observation est placé à une distance D. Données : a = 1 mm ; D = 2 m ; = 633 nm.
1) Qu’observons-nous sur l’écran ?
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2) Devant une des deux fentes du dispositif de Young, plaçons une petite lame (verre ou mica) à faces parallèles, transparente,
d’épaisseur e, et d’indice n pour la radiation de longueur d’onde utilisée. Nous admettrons que le faisceau arrive perpendiculairement
au plan des fentes et que la lame est traversée sous incidence normale. Données : e = 50 µm ; n = 1, 5. Qu’observons-nous sur l’écran
? De combien et dans quel sens se déplace le système de franges d’interférences ? Comment repérer ce déplacement ?
2.6. Observation des interférences ”à l’in3ni”
Le système des fentes d’Young peut être utilisé dans les conditions suivantes :
• Le plan des fentes éclairé en lumière parallèle par le faisceau d’un collimateur au foyer objet duquel se trouve le trou
source (ou la fente source) S.
• L’écran placé au foyer image d’une lentille convergente placé après le plan des fentes d’Young.
Cette lentille L2 est supposée stigmatique.
Les rayons qui convergent et interfèrent au point M de l’écran, dont le plan coïncide avec le plan focal image de la lentille
L2 , forment un faisceau de rayons parallèles entre le plan des fentes d’Young et cette lentille.
y
L1
L2
K1
S1
S
M
C1
S2
C2
K2
H
f
F
Puisque la lentille L2 est stigmatique, pour tout couple de points tels que K1 et K2 appartenant à un plan perpendiculaire
à la direction commune des rayons di*ractés allant interférer au point M (cf. chapitre I - exercice n 02) :
(K1 M) = (K2 M )
Et en particulier :
(S1 M ) = (HM)
Donc :
(S2 M )
(S1 M ) = (S2 H) + (HM)
(S1 M) = (S2 H) = nS2 H
Or :
S2 H = a sin
a
ay
f
Finalement :
=
nay
f
L’expression est donc tout à fait semblable à celle obtenue pour une observation sur un écran à distance 3nie
D au remplacement près de D par f . L’interfrange i s’écrit donc :
i=
0f
na
=
f
a
=fi
avec
i =
a
= interfrange angulaire
Exercice n 07 : Deux trous d’Young T1 et T2 , distants de a, sont éclairés par une source ponctuelle monochromatique, située
sur la médiatrice de T1 T2 . Nous observons les interférences à l’in(ni, c’est-à-dire dans le plan focal image d’une lentille convergente de
distance focale image f .
1) Tracer les rayons, issus de T1 et T2 , qui arrivent au même point M de l’écran.
2) Évaluer la di*érence de marche en M .
3) En déduire l’intensité lumineuse observée sur l’écran, la forme des franges d’interférence et l’interfrange. Montrer que la source
ponctuelle peut alors être remplacée par une fente (ne et les deux trous par deux fentes. Les interférences sont-elles localisées ?
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4) On envisage d’éclairer trois fentes identiques, parallèles et équidistantes par une source ponctuelle S . Montrer que les chemins
optiques (ST1 ), (ST2 ) et (ST3 ) sont ici di*érents. La source ponctuelle S est placée maintenant au foyer d’une lentille convergente.
Montrer qu’alors les trois chemins optiques
(ST1 ), (ST2 ) et (ST3 ) sont égaux. Soit a la distance entre deux fentes. Déterminer l’intensité en un point de l’écran et décrire le
système de franges.
5) Comment évoluent les franges, si les trois fentes subissent une translation « en bloc »?
2.7. Elargissement de la fente source : cohérence spatiale
2.7.1. Observation expérimentale
On constate expérimentalement que l’augmentation de la largeur de la fente source entraîne :
• un accroissement de l’intensité lumineuse dans le champ d’interférence, les franges brillantes devenant plus
lumineuses mais les franges sombres ne correspondant plus à un minimum nul de l’intensité lumineuse.
• Donc une diminution du contraste des franges.
2.7.2. Interprétation
La fente source, de largeur h, est centrée sur l’axe du système et se situe à une distance D du plan des fentes d’Young.
L’écran est toujours à une distance D du plan des fentes d’Young.
Les di*érents points de la source sont incohérents entre eux. Il convient donc, pour obtenir l’intensité lumineuse, de sommer
les intensités élémentaires correspondant aux interférences des vibrations émises par chaque élément de fente de largeur dy
en balayant l’ensemble de la fente de largeur h.
L’intensité lumineuse élémentaire dI(M) au point M d’ordonnée y peut s’écrire :
dI = 2dIs 1 + cos
2 a
0
y
y
+
D
D
On suppose que dIs (intensité de chacune des sources secondaires) est proportionnelle à la largeur dy de la fente source
élémentaire :
y
2 a y
+
dI = dy 1 + cos
D
D
0
y’
y
S
S1
h
dy’
D’
x
a
O
S2
M(y)
D
Optique ondulatoire. Chapitre III : Interférences par division du front d’onde
Largeur de la
fente source
Position de la
fente source
Pupille
di ractante
Di érence de
marche
ay
D
In(niment (ne
centrée (y = 0)
F1 et F2
In(niment (ne
y quelconque
F1 et F2
élémenentaire dy
centrée (y = 0)
F1 et F2
élémenentaire dy
y quelconque
F1 et F2
h/2
F1 et F2
h
y
h/2
+h/2
I=
ay
D
ay
D
I = 2I0 1 +
h
i
h
i
)
+
2
0
h/2
sin(
cos
I = 2I0 1 + cos
ay
D
2 y
i
2
0
ay
D
2
I = 2I0 1 + cos
0
dI = dy 1 + cos
ay
D
dI = dy 1 + cos
I=
dy 1 + cos
h/2
Intensité lumineuse
ay
D
+h/2
dI =
+
10
2
0
ay
D
ay
D
2 ay
0 D
ay
ay
D + D
+
+h/2
dI
h/2
ay ay
+
D
D
avec h = 2I0 et i =
0D
a
Le contraste des franges est donné par :
V =
h
i
sin
h
i
Lorsque h/i augmente à partir de 0, le contraste V diminue (les franges sont moins visibles) ; pour h/i = 1 les interférences
ne sont plus visibles V = 0. Si h continue d’augmenter il y a inversion du contraste des franges : les franges brillantes
occupent la position des franges sombres et réciproquement.
L’augmentation de la largeur de la fente diminue le contraste mais augmente la luminosité. Pour une observation optimale,
il faut donc trouver un compromis entre l’intensité lumineuse et le contraste des franges.
Optique ondulatoire. Chapitre III : Interférences par division du front d’onde
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Le contraste s’annule pour une largeur de fente h égale à l’interfrange i :
h=i
V =0
Pour cette valeur, la source est devenue spatialement incohérente.
Ce résultat s’interprète simplement : il suGt de regarder la source comme formée de couples de points distants deux à deux de
h/2. Chaque couple donne deux systèmes de franges décalés de h/2 dont les intensités lumineuses s’ajoutent (points sources
incohérents). Lorsque h = i, ces systèmes de franges sont décalés de i/2, donc en anticoïncidence (une frange lumineuse
de l’un correspondant à une frange sombre de l’autre). Cette valeur critique de la largeur de la source est appelée
longueur de cohérence spatiale.
Exercice n 08 : Deux fentes d’Young distantes de a = 1 mm sont placées à D = 1 m d’une fente source de largeur
une lumière de longueur d’onde = 0, 6 µm.
1) Calculer la largeur 0 minimale pour laquelle les franges d’interférence disparaissent .
2) Calculer la largeur maximale 1 de la fente source telle que la visibilité des franges reste supérieure à 0, 8.
On donne sinc(1, 1 rad) = 0, 80.
émettant
Exercice n 09 : Miroir de Lloyd
S
D>>b
b
miroir
1) On éclaire un miroir m par une source ponctuelle S , monochromatique de longueur d’onde , située à une distance b du plan du
miroir. Montrer qu’on observe des interférences dans un plan P . perpendiculaire au miroir, situé à la distance D de S , avec D
b.
Forme des franges obtenues? Calculer l’interfrange en fonction de b, et D.
2) On remplace la source S par une fente F , de largeur 2a, parallèle au miroir et dont le centre est à la distance b du miroir.
a) Déterminer 1’éclairement au point M du plan situé à une distance x de m et dû à une tranche de la source de largeur dy .
b) En déduire l’éclairement en M fourni par toute la source. Montrer qu’il s’écrit E (x) = E 1
V cos 2i0x , où V est le
coeGcient de visibilité. Préciser la signi(cation de i0 et donner l’expression de V . Décrire l’aspect des franges observées dans le plan
P.
3) Retrouver par un raisonnement qualitatif les abscisses des points où l’on observe un brouillage des franges.
2.8. Elargissement spectral de la source : cohérence temporelle
2.8.1. Observation expérimentale
On constate expérimentalement que l’augmentation de la largeur spectrale de la source entraîne :
• un accroissement de l’intensité lumineuse dans le champ d’interférence,
• une diminution du contraste des franges à mesure que l’on s’écarte de la frange centrale c’est à dire que la di érence
de marche entre les vibrations qui interfèrent augmente.
La source, in(niment (ne spatialement, est de largeur spectrale
0 centrée sur 00 (avec 0 = 1/ = nombre d’onde).
Optique ondulatoire. Chapitre III : Interférences par division du front d’onde
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2.8.2. Modélisation de l’émission d’une source par trains d’ondes
Raie quasi monochromatique :
profil réel
Raie monochromatique
0
0
Raie quasi monochromatique :
profil idéalisé
0
0
0
2
+
2
Nous admettrons que :
• une source lumineuse monochromatique émettrait des trains d’onde de durée in(nie,
• une source lumineuse de largeur spectrale
telle que :
1, (largeur comptée en fréquence), émet des trains d’onde de durée (nie 2
2× 1=1
2 représente la durée pendant laquelle la phase à l’origine de la source reste constante donc pendant laquelle elle est
cohérente.
train d’ondes
l =c
La ”longueur” d’un train d’onde, distance parcourue dans le vide, est donc : = c2 = c et comme 0 = 1/ = 1/c
0 = 1/c, on en déduit l’expression de la longueur d’un train d’ondes en fonction de la largeur de la raie 0 comptée en
nombre d’ondes :
1
=
0
Conclusion :
Une source rigoureusement monochromatique émettrait des trains d’onde de longueur in3nie .
Une source de largeur spectrale 0 émet des trains d’onde de durée 2 et de longueur 3nie telle que :
1
2× 1 =1; =
0
Plus la radiation est large, plus les trains d’onde sont courts, moins elle est cohérente.
Optique ondulatoire. Chapitre III : Interférences par division du front d’onde
13
2.8.3. Interprétation
Les di*érentes radiations contenues dans la source de largeur 0 sont incohérentes entre elles. Il convient donc, pour obtenir
l’intensité lumineuse, de sommer les intensités élémentaires correspondant aux interférences des vibrations émises par chaque
élément spectral de raie de largeur d0 en balayant l’ensemble de la radiation de largeur 0 :
Largeur spectrale
de la source
In(niment (ne
In(niment (ne
élémentaire d0
élémentaire d0
0
00
Raie centrée
sur
0 = 00
0 quelconque
0 = 00
0 quelconque
0 00 +
2
0+
Pupille
di ractante
F1 et F2
F1 et F2
F1 et F2
F1 et F2
F1 et F2
2
/2
I=
0+
/2
d0 [1 + cos (2
0
I = 2I0 1 +
Intensité lumineuse
I = 2I0 [1 + cos (2 00 )]
I = 2I0 [1 + cos (2 0)]
dI = d0 [1 + cos (2 0 0 )]
dI = d0 [1 + cos (2 0)]
/2
+
I = 00
/2 dI
/2
dI =
0
Di érence de
phase
2 00
2 0
2 00
2 0
0)]
/2
sin(
)
cos (2
00)
Raie quasi monochromatique :
profil idéalisé
d
0
2
0
+
2
Le contraste des franges s’annule pour :
1
V =0
0
Pour cette valeur, la source est devenue spectralement incohérente.
Ce résultat s’interprète ”simplement” : il suGt de considérer un train d’ondes émis par la source, divisé en deux par
l’interféromètre et ayant traversé chacune des deux voies. Le décalage est égal à . Quand = 1 = les deux trains d’onde
ne se ”recouvrent” plus : il n’y a plus d’interférences.
Avec les ordres de grandeur donnés précédemment :
=
Source
Source ”classique”
Laser
Temps de cohérence 2
10 10 s
10 7 s
Longueur de cohérence
Centimètre
Plusieurs mètres
= c2
Optique ondulatoire. Chapitre III : Interférences par division du front d’onde
I
14
Elargissement spectral de la source
/ = 0,1
/ = 0,05
y/i
Exercice n 10 : Fentes d’Young éclairées par un doublet
Une source ponctuelle S éclaire un dispositif de fentes d’Young représenté sur la (gure ci-dessus où les notations sont précisées.
Cette source est un doublet, c’est-à-dire qu’elle émet deux raies spectrales de longueurs d’onde très voisines 1 et 2 = 1 +
, avec
1 . On suppose ici que les deux «composantes» de ce doublet ont même intensité et sont incohérentes entre elles.
1) Déterminer les expressions des intensités lumineuses I1 (x) et I2 (x) en M correspondant à chaque composante du doublet.
Déterminer l’expression de l’intensité résultante I (x) en tenant compte de
1.
2) Montrer que l’on obtient des franges bien contrastées au voisinage immédiat de 0, mais dont le contraste diminue, s’annule puis
remonte au fur et à mesure que l’on s’éloigne de 0. Tracer l’allure de la courbe I (x) en s’en tenant à ses caractéristiques principales.
3) Montrer que le contraste V en M s’exprime à l’aide de la di*érence de marche : = (SS2 M ) (SS1 M).
4) Montrer que cette étude conduit à une détermination expérimentale de la longueur d’onde 1 et de l’écart
du doublet.
3. Complément : Les particules quantiques: ondes et/ou corpuscules?
( c 1999 Encyclopædia Universalis France S.A.)
La physique classique (préquantique) connaît essentiellement deux catégories d’objets : les corpuscules et les ondes. Les
premiers sont des entités discrètes, localisées dans une région restreinte de l’espace, décrivant certaines trajectoires, possédant
à tout instant une position et une vitesse déterminées. Liées à sa vitesse, l’énergie et la quantité de mouvement d’un corpuscule
sont les concepts essentiels que fait intervenir leur dynamique. Quant aux ondes classiques, elles décrivent des phénomènes
non localisés, continus et occupant tout l’espace. Elles se superposent, donnant ainsi lieu à des interférences. Tout phénomène
ondulatoire se décrit commodément comme une superposition d’ondes périodiques, à la fois dans le temps et dans l’espace,
et donc caractérisées par une longueur d’onde (période spatiale) et une période temporelle.
La mécanique quantique a procédé à une remarquable uni(cation de ces deux catégories. On l’introduira ici au moyen
d’une expérience conceptuelle très simple. Soit un dispositif formé d’une source S, d’une paroi P percée de deux trous T1 et
T2 (trous d’Young) et d’un écran récepteur E. Envisageons trois situations : S émet des corpuscules classiques, S émet des
ondes classiques, S émet des particules quantiques.
Optique ondulatoire. Chapitre III : Interférences par division du front d’onde
15
• La source S émet des corpuscules classiques. On imaginera, par exemple, une mitrailleuse, sur un trépied, tirant de
façon désordonnée dans toutes les directions. La paroi blindée P arrête les balles qui ne peuvent passer que par les
trous T1 et T2 . Supposons tout d’abord T1 seul ouvert ; seules parviennent à l’écran les balles passées par T1 , dont
les points d’impact forment une tache alignée sur ST1 , quelque peu élargie par l’e*et des bords du trou sur les balles
tangentes. Un résultat analogue se produit si T2 seul est ouvert. Dans chacun de ces cas, les répartitions des balles sur
l’écran sont représentées par deux courbes I1 et I2 . Si les deux trous sont ouverts, on obtient une courbe de répartition
qui n’est autre que la somme des courbes précédentes : I1,2 = I1 + I2 . En e*et, bien que ces courbes soient continues,
puisqu’elles donnent le nombre moyen de balles arrivant en chaque point de l’écran, le phénomène est corpusculaire,
donc discontinu ; chaque balle passe soit par le trou T1 , soit par le trou T2 . Le nombre de balles arrivant en un point
de l’écran est bien la somme du nombre des balles passées par l’un ou par l’autre des trous.
• La source S émet des ondes classiques. Il s’agira par exemple d’une source sonore mettant l’air en vibration comme
un haut-parleur. Un microphone se déplaçant sur l’écran E y mesurera l’intensité sonore. Supposons d’abord T1 seul
ouvert ; aux e*ets de di*raction par les bords près, le son ne parviendra sur l’écran que dans la zone située sur la ligne
ST1 . Le résultat sera analogue si T2 seul est ouvert, de sorte que, dans ce cas, les intensités I1 et I2 ressemblent à celles
du cas précédent. Mais, si l’on ouvre T1 et T2 , on obtient un phénomène tout di*érent : l’intensité I1,2 présente des
maximums et minimums successifs sur l’écran et n’est plus identique à la somme I1 + I2 . En e*et, l’onde sonore, non
localisée, passe à la fois par les deux trous T1 et T2 . L’amplitude de l’onde arrivant sur l’écran résulte donc de l’addition
des amplitudes transmises par T1 et par T2 . Comme, en général, les chemins parcourus depuis T1 et T2 di*èrent, les
deux ondes sont décalées. Si la di*érence des chemins est d’une longueur d’onde (ou de deux, ou de trois, etc.), les ondes
atteignent leur amplitude maximale en même temps et se renforcent (elles sont en phase). Si cette di*érence est d’une
demi-longueur d’onde, les ondes ont des amplitudes exactement opposées, leurs e*ets se compensent et leur résultante
est nulle (opposition de phase). L’intensité, qui est proportionnelle au carré de l’amplitude, sera maximale dans le
premier cas, minimale (nulle) dans le second. Ces interférences sont liées à la continuité du phénomène ondulatoire
qui se propage de la source à l’écran par l’un et l’autre des trous (au lieu du ”ou ” disjonctif du cas corpusculaire).
En termes plus techniques, on introduit les amplitudes u1 et u2 des ondes partielles transmises par T1 et par T2 . Les
intensités I1 et I2 sont données par I1 = (u1 )2 et par I2 = (u2 )2 . Quand les trous T1 et T2 sont ouverts, l’amplitude
est u1,2 = u1 + u2 (superposition des ondes) et l’intensité I1,2 = (u1 + u2 )2 = I1 + I2 .
• Utilisons maintenant une source lumineuse en S et une plaque photographique sur l’écran E. Si l’intensité de la
source lumineuse est forte, le résultat est analogue au cas précédent: il y a interférence d’ondes lumineuses, ce qui
se traduit expérimentalement par une alternance de plages sombres et de plages claires sur la plaque photographique.
Mais, si l’on diminue considérablement l’intensité de la source lumineuse (par exemple au moyen de (ltres absorbants),
on s’aperçoit que l’intensité lumineuse sur la plaque, loin d’être continue, résulte en fait d’une multitude d’impacts
lumineux microscopiques. Le +ux lumineux est en réalité discontinu et constitué d’entités individuelles : ce sont les
photons. Ces photons arrivent donc un par un sur la plaque. Ils sont dénombrables comme des corpuscules classiques,
mais présentent néanmoins des phénomènes d’interférences comme les ondes classiques : c’est le plus ou moins grand
nombre de photons arrivant sur une zone donnée de la plaque qui rend compte de ces di*érences d’éclairement et donc
de l’apparition de la (gure d’interférences. On obtient des résultats analogues en faisant l’expérience avec des électrons.
Dans ce cas, l’aspect corpusculaire évident se voit corrigé par l’apparition d’un phénomène d’interférences ondulatoire,
que traduit la répartition des impacts successifs des électrons.
On en conclut que photons et électrons ne sont assimilables ni aux corpuscules ni aux ondes de la mécanique classique.
Ils présentent, et toutes les particules de la microphysique avec eux, des caractères à la fois spéci(ques et universels : tous les
micro-objets se comportent de même. En vérité, les concepts mêmes de corpuscule et d’onde ne sont que deux approximations,
valables à l’échelle macroscopique et incompatibles entre elles, de la nature profonde et unique des constituants de la matière.
Sans doute faudrait-il inventer un nouveau mot ; quanton , parmi d’autres, a été proposé, pour désigner ces objets ni femme
ni poisson : on parlera de particules quantiques en se souvenant qu’il ne s’agit ni de corpuscules ni d’ondes, mais que chacune
de ces images peut être utile dans certaines conditions.
Il reste à formaliser de façon cohérente ce comportement. L’existence même du phénomène d’interférences amène à
introduire, comme dans le cas des ondes classiques, des amplitudes capables de s’ajouter. Ainsi, dans le cas de l’expérience
des trous d’Young, l’arrivée des particules quantiques sur l’écran sera décrite par des amplitudes f1 (x) ou f2 (x), suivant que le
trou T1 ou le trou T2 est seul ouvert, amplitudes qui dépendent évidemment de la position d’arrivée sur l’écran x à laquelle on
s’intéresse. Comment interpréter les carrés de ces amplitudes qui donnaient les intensités du cas ondulatoire classique ? Il n’y
a pas ici d’intensités continues puisqu’il s’agit d’impacts individuels, discrets, des particules. C’est Max Born , en 1924, qui
eut l’idée d’interpréter ces quantités comme les probabilités d’arrivée des particules : (f 1(x))2 pour le trou T 1 . L’amplitude
correspondant à l’ouverture des deux trous est la somme des deux amplitudes précédentes, f1,2 (x) = f1 (x) + f2 (x) ; son
carré donne la probabilité d’impact en x, et l’on voit qu’elle ne se réduit pas à la somme des probabilités correspondant à
l’ouverture de chacun des trous.
Cette description est générale : un processus quantique quelconque est décrit en termes d’amplitudes, appelées amplitudes
de probabilité. Ce sont des nombres associés à un état initial (ici, émission de particules par la source) et à un état (nal
donnés (ici, arrivée de la particule sur l’écran en x) dans des conditions bien déterminées (ici, l’un, l’autre ou les deux trous
ouverts). Leur carré donne la probabilité (ou, plus précisément ici, la densité de probabilité) de réalisation de l’état (nal
Optique ondulatoire. Chapitre III : Interférences par division du front d’onde
16
considéré à partir de l’état initial. La propriété essentielle de ces amplitudes de probabilité réside dans leur additivité : pour
un état initial et un état (nal déterminés, l’amplitude correspondant à la conjonction de plusieurs éventualités intermédiaires
(les deux trous ouverts) est la somme des amplitudes correspondant à chaque éventualité (l’un ou l’autre trou ouvert). Ce
principe de superposition des amplitudes exclut évidemment l’additivité des probabilités elles-mêmes et il est la base des
e*ets les plus notables de la mécanique quantique.