Projet Mathématiques Numériques Évolution d`espèces

Pro jet Mathématiques Numériques
Évolution d'espèces
Armstrong Neil - Laborde Bertrand
14 Novembre 2005
Table des matières
1 Introduction
2
2 Le Programme Maple
4
3 Études de Cas
5
1.1
1.2
1.3
3.1
3.2
3.3
Écosystème sans interaction proies-prédateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modèle de Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Résolution du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stabilité . . . . . . . . . . . .
Evolution Progressive . . . . .
Prise en compte des ressources
3.3.1 Milieu sans ressource .
3.3.2 Milieu avec ressources
. . . . . . .
. . . . . . .
disponibles
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2
2
3
5
6
7
8
9
4 Conclusion
10
A Code Maple sans ressources
11
B Code Maple avec ressources
12
1
Chapitre 1
Introduction
Ce projet consiste à modéliser un système écologique dans lequel coexistent deux espèces :
des proies et des prédateurs. On cherche à déterminer le nombre de proies et de prédateurs au
cours du temps.
1.1
Écosystème sans interaction proies-prédateurs
Imaginons que les proies bénécient d'une quantité illimitée de nourriture dans le milieu.
S'il n'y avait aucune interaction entre les proies et les prédateurs, alors la population des
proies obéirait à une loi de croissance exponentielle de la forme :
dN (t)
dt
où
= aN (t)
a représente le taux d'accroissement des proies. On note N0 le nombre de proies à t = 0.
A l'inverse, comme les prédateurs n'interagissent pas avec les proies, et qu'elles représentent
leur unique forme de nourriture, la population des prédateurs est donc soumise à une loi de
décroissance exponentielle de la forme :
dP (t)
dt
=
cP (t)
=0
où c représente le taux d'accroissement des proies. On note P0 le nombre de prédateurs à t
.
Ce modèle ne reète évidemment pas la réalité et il faut prendre en compte les interactions
entre les proies et les prédateurs.
1.2
Modèle de Lotka-Volterra
Le modèle de Lotka-Volterra s'appuie sur des hypothèses simples. On garde toujours l'hypothèse selon laquelle les proies bénécient d'une quantité illimitée de nourriture. Mais on
considère que la présence de prédateurs impose un handicap au taux d'accroissement des proies
qui est proportionnel au nombre de prédateurs présents dans le milieu. // La loi d'évolution
devient donc :
dN (t)
dt
= (a
b P (t)) N (t)
b est une constante qui peut être assimilée à un taux de capture de la part des prédateurs.
Les proies représentent donc une source de nourriture pour les prédateurs qui leur permet de
vivre et de se reproduire.
Ainsi, l'interaction proies-prédateurs constitue un bénéce pour le taux d'accroissement des
prédateurs et ce bénéce est proportionnel au nombre de proies.
2
La loi d'évolution devient donc :
dP (t)
dt
1.3
= ( c + d N (t)) P (t)
Résolution du problème
Le système à résoudre est donc le suivant :
dN (t)
= (a b P (t)) N (t)
dt
dP (t)
= ( c + d N (t)) P (t)
dt
N0 , P0 donnés.
Pour le résoudre, on réalise l'approximation linéaire suivante :
On discrétise l'intervalle du temps en N sous intervalles égaux avec
t0 = 0
= ()
= ()
ti = i t
t = NT
On pose Ni N ti et Pi P ti
Pour des intervalles de temps susamment petit on considère
dN (t) = Ni+1
Ni
dP (t) = Pi+1 Pi
dt = t
On obtient le système discrétisé suivant pour (N0 , P0 donnés)
Ni+1
Pi+1
0iN 1
= Ni + t (a b Pi) Ni
= Pi + t (d Ni c) Pi
On peut résoudre ce système et déterminer facilement la population des proies et prédateurs
au cours du temps avec Maple.
3
Chapitre 2
Le Programme Maple
On souhaite résoudre le système : (N0 ,
Ni+1
Pi+1
P0 donnés)
0iN 1
= Ni + t (a b Pi) Ni
= Pi + t (d Ni c) Pi
Pour cela, on va écrire une procédure sur Maple qui calcule tous les Ni et Pi et qui ache
Ni et Pi en fonction du temps.
On crée deux tableaux dans lesquels on va stocker les valeurs successives de Ni et Pi . Grâce
à ce procédé, on peut calculer facilement la valeur suivante à l'aide de la valeur précédente.
On crée ensuite deux listes, l'une qui va contenir les couples de points
(Ni; i t)
et l'autre
(Pi; i t)
Il sut ensuite d'acher ces deux listes ce qui nous donne deux courbes : Pi et
du temps.
Il est également intéressant d'étudier le diagramme de phase.
Pour le construire, on crée une liste phase qui contient les points
obtient Ni en fonction de Pi pour tout i appartenant à ::N .
[0 ]
( Le Code est disponible en Annexe A )
4
Ni en fonction
(Ni; Pi). En l'achant, on
Chapitre 3
Études de Cas
3.1
Stabilité
On appelle la fonction maple avec ces options :
Especes(10, 0.04, 0.001, 0.012, 0.0002, 60, 40, 1000);
Les courbes restent stables car les paramètres ont été choisis pour que :
a b Pi
avec P0
c d Ni
avec N0
Cette courbe montre la coexistence parfaite entre les proies et les prédateurs, ce qui est iréel,
mais ces paramètres peuvent permettre de trouver des cas d'évolution intéressantes en modiant simplement P0 ou N0 .
Le cas suivant a été trouvé à partir d'un état stable ayant P0 N0 .
+
=0
=0
= 40
= 60
=
5
3.2
Evolution Progressive
On appelle la fonction maple avec ces options :
Especes(10, 0.05, 0.001, 0.01, 0.0002, 55, 50, 1000);
6
On démarre la simulation avec 55 proies et 50 prédateurs, sur le graphique on peut voir que
l'évolution se découpe en succession de deux phases :
Croissance et Décroissance des Proies
La population des proies commencent à décroître quand il y a trop de Prédateurs.
La population des proies recommencent à augmenter quand il y a susamment peu de
prédateurs.
Croissance et Décroissance de Prédateurs
Les Prédateurs se reproduisent tant qu'il y a susamment de proies, dés qu'il y a trop de
prédateurs, la population decroît.
La population des Prédateurs recommencent à augmenter quand il y a susamment de
proies pour la meute et les nouveaux-nés.
On peut aussi s'apercevoir de l'évolution des sommets, qui suivent une évolution exponentielle au cours du temps.
Le fait que la courbe du diagramme de phase soit refermée montre que le système est
instable.
3.3
Prise en compte des ressources disponibles
L'écosystème simulé jusqu'à présent etait peu réaliste.
Pour l'améliorer, on pourrait prendre en compte les ressources disponibles pour les proies dans
le milieu.
Soit R t la fonction qui représente les ressources disponibles au cours du temps. A l'image
des proies vis-à-vis des prédateurs, les ressources R obéissent à une loi de décroissance qui est
d'autant plus accentuée que le nombre de proies est important.
Ainsi, la loi d'évolution est : (R0 donné)
()
dR(t)
dt
= (
N (t)) R(t)
La quantité de ressource agit donc directement sur le taux de croissance de la population des
proies. Ainsi, la constante a utilisée jusqu'a présent, n'est plus constante, mais est une fonctionn
dépendant de R.
On choisit pour a R de prendre la fonction suivante :
( )
a(R) = a (
Cette fonction reste cohérente avec le fait que
R2
1 + R2 )
a(R) tende vers a lorsque R tends vers l'inni.
Par rapport à la première programmation sur Maple, il faut donc ajouter : (R0 donné)
aR:=a*((R[i]*R[i])/(1+R[i]*R[i])).
N[i]:=N[i-1]+\Delta{t}*(aR-b*P[i-1])*N[i-1]
Et enn il faut rajouter un tableau contenant les valeurs de
R[i]:=R[i-1]+\Delta{t}*(alpha-beta*N[i-1])*R[i-1]
(Le Code est disponible en Annexe B)
7
R(t) et les calculer par :
3.3.1
Milieu sans ressource
Tout d'abord, considérons un milieu dans lequel il n'y a aucune ressources. En prenant
R0
et en modiant le code de telle sorte que R t
quelque soit t, on obtient la courbe
suivante :
=0
()=0
Especes(1,0.01,0.001,0.01,0.0002,0.02,0.0005,100,10,0,3000);
Comme les proies ne disposent d'aucune ressource,
()
dN (t)
dt
a(R) = 0
= ( b P (t)) N (t)
()
()
La dérivée de N t est donc négative et donc N t est décroissante ce qui est cohérent.
Comme au départ les prédateurs disposent de beaucoup de proies, leur population commence
légèrement par augmenter mais trés vite, d N t devient trop petit et ne compense plus le
c.
( )
dP (t)
dt devient donc négatif et
dP (t)
= ( c + d N (t)) P (t)
dt
P (t) décroît ce qui est cohérent
susamment de nourriture pour survivre.
8
car les prédateurs n'ont plus
3.3.2
Milieu avec ressources
Considérons un milieu possédant des ressources.
Especes(1,0.01,0.001,0.01,0.0002,0.02,0.0005,50,10,100,5000);
Avec les conditions initiales choisies,
On rapelle que
(
dN (t)
dt
et
N (t)) < 0 donc R(t) est décroissante.
= (a(R)
b P (t)) N (t)
dP (t)
dt
= ( c + d N (t)) P (t)
On a choisit a(R),b,c,d,P et N tels que dPdtt = 0
Ceci explique la première tendance de P (t) et N (t) qui restent constantes pour des temps
proches de l'origine.
Cependant la diminution des ressources entraîne un premier changement pour N (t) qui commence a décroître car (a(R) b P (t)) < 0.
Et cette décroissance de N (t) entraîne ( c + d N (t)) < 0 et P (t) se met a décroître à son
0
0
( 0)
tour.
9
Chapitre 4
Conclusion
Le modèle de Lotka-Volterra est un modèle simple qui permet de modéliser l'évolution d'un
écosystème contenant des proies et des prédateurs. Ce modèle ne prend en compte qu'une seule
intéraction entre les deux espèces : les prédateurs se nourissent des proies.
Aussi, le seul facteur agissant sur l'évolution de ces deux populations est cette intéraction. Cette
hypothèse peut être satisfaisante et susante.
Si on considère un système fermé dans lequel les proies ont des réserves illimitées de nourriture : par exemple, ce modèle est satisfaisant si on considère un gigantesque aquarium dans
lequel on place des proies et des prédateurs et dans lequel on nourrit susamment les proies.
Le système est fermé et les conditions extérieures n'inuencent pas ce système.
En revanche, si on considère un système en nature sauvage, ce modèle de Lotka-Volterra serait insusant car il y a de nombreux autres facteurs extérieurs inuençant l'évolution des
populations comme :
le temps
la sècheresse
les maladies
etc..
De plus, le modèle de Lotka-Volterra considère que touts les prédateurs sont adultes et
attaquent toutes les proies, or les prédateurs juvéniles ne se nourissent pas immédiatemment
de proies.
10
Annexe A
Code Maple sans ressources
Especes:=proc(Dt, a, b, c, d, No, Po, t2)
local N, P, i,t, listeN, listeP, phase;
t:=t2/Dt;
N:=array(0..t);
P:=array(0..t);
N[1]:=No+Dt*(a-b*Po)*No;
P[1]:=Po+Dt*(-c+d*No)*Po;
for i from 2 to t do
N[i]:=N[i-1]+Dt*(a-b*P[i-1])*N[i-1];
P[i]:=P[i-1]+Dt*(-c+d*N[i-1])*P[i-1];
od;
listeN:=[seq([ i*Dt, N[i] ], i=1..t)];
listeP:=[seq([ i*Dt, P[i] ], i=1..t)];
phase:=[seq([N[i],P[i]], i=1..t)];
print(plot({listeN,listeP}, x=0..t2));
plot({phase});
end:
11
Annexe B
Code Maple avec ressources
Especes:=proc(Dt, a, b, c, d, alpha, beta, No, Po, Ro,T)
local N, P, R, i,t, listeN, listeP,listeR, aR;
t:=T/Dt;
N:=array(0..t);
P:=array(0..t);
R:=array(0..t);
aR:=a*((Ro^2)/(1+Ro^2));
N[1]:=No+Dt*(aR-b*Po)*No;
P[1]:=Po+Dt*(-c+d*No)*Po;
R[1]:=Ro+Dt*(aR-b*Po)*No;
for i from 2 to t do
R[i]:=R[i-1]+Dt*(alpha-beta*N[i-1])*R[i-1];
aR:=a*((R[i]*R[i])/(1+R[i]*R[i]));
N[i]:=N[i-1]+Dt*(aR-b*P[i-1])*N[i-1];
P[i]:=P[i-1]+Dt*(-c+d*N[i-1])*P[i-1];
od;
listeN:=[seq([ i*Dt, N[i] ], i=1..t)];
listeP:=[seq([ i*Dt, P[i] ], i=1..t)];
listeR:=[seq([ i*Dt, R[i] ], i=1..t)];
plot({listeN,listeP});
end:
12