c S.Boukaddid TD n˚16 : Machines thermiques sup2 TSI Machines

c S.Boukaddid
TD n˚16 : Machines thermiques
sup2 TSI
Machines thermiques
Exercice n˚1 : Cycle de Carnot
Un fluide (gaz parfait) décrit un cycle réversible constitué par :
• AB : détente isotherme à T2
• BC : adiabatique de T2 à T1 > T2
• CD : compression isotherme à T1
• DA : adiabatique de T1 à T2
1. Représenter un tel cycle en coordonées de Clapeyron (P,V) ou en diagramme
entropique (T,S). Sagit-il d’un cycle de type moteur thermique ou type pompe à
chaleur ?Comparer les aires des deux représentations du cycle.
2. Définir l’éfficacité d’un tel système. La calculer par la méthode graphique. Dépendelle de la nature du fluide ?
Exercice n˚2 : Climatiseur
On souhaite réaliser la climatisation d’un local afin de maintenir sa température à la
valeut T − 1 = 300K alors que la température extérieure est T2 = 315K. On utilise une
machine thermique,fonctionnant avec n mol d’un fluide assimilable à un gaz parfait,de
capacité thermique molaire à pression constante Cpm = 30J.K −1 .mol−1 . Au cours d’un
cycle,le fluide reçoit les transferts thermiques Q1 > 0 de la source froide (local) et
Q2 < 0 de la source chaude (extérieur),ainsi que le travail W > 0 .
1. Dans un premier temps,on considère que le cycle est un cycle de Carnot défini
comme suit : le fluide passe par les états d’équilibre A,B,C,D par une succession
des transformations :
• AB : compression adiabatique réversible de la température T1 à la température
T2
• BC : compression isotherme réversible à la température T2
• CD : détente adiabatique réversible de la température T2 à la température
T1
• DA : détente isotherme réversible à la température T1
(a) Représenter l’allure du cycle dans le diagramme de Watt (P,V)
(b) Définir,puis établir l’expression de l’éfficacité thermodynamique ec de la machine en fonction de T1 et T2 . Calculer ec .
2. En réalité,le fluide ne décrit pas le cycle de Carnot défini en 1.mais le cycle
suivant :
• AB : compression adiabatique réversible de la température T1 à la température
T10 avec T10 = 350K
• BC : refroidissement isobare de la température T10 à la température T2
• CD : détente adiabatique réversible de la température T2 à la température
T20
• DA : échauffement isobare de la température T20 à la température T1
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(a) Représenter l’allure du cycle dans le diagramme de Watt
(b)
I Exprimer les variations d’entropie du fluide (n mol) au cours de chacune des transformations qu’il subit en fonction de n, Cpm , T1 , T2 , T10
et T20 .
I En déduire l’expression de la variation d’entropie du fluide au cours
du cycle en fonction de n, Cpm , T1 , T2 , T10 et T20
I En déduire une relation simple entre T1 , T2 , T10 et T20 . On trouve ainsi
T20 = 270K.
(c)
I Etablir l’expression du transfert thermique Q02 reçu par le fluide au
cours de la transformation de B à C en fonction de net Cpm et de
certaines températures.
I Etablir l’expression du transfert thermique Q01 reçu par le fluide au
cours de la transformation de D à A en fonction de n et Cpm et de
certaines températures
I En déduire l’expression du travail W 0 reçu par le fluide au cours du
cycle
(d) Exprimer puis calculer la nouvelle efficacité thermodynamique e’ de la machine. Comparer à ec . La conclusion était-elle prévisible et pourquoi ?
Exercice n˚3 : Cycle de Brayton
Dans tout le problème le gaz subissant les différentes transformations est assimilé à
de l’air considéré comme un gaz parfait. Le rapport γ des chaleurs massiques sera pris
constant et égale à 1.4.
Les transformations seront toutes considérées comme réversibles.
On se propose d’étudier un dispositif à turbine à gaz fonctionnant suivant un cycle de
Brayton. Il s’agit d’un cycle moteur.Le schéma de principe du système est representé
ci-dessous.Les grandeurs échangées sont algébrisées selon les conventions habituelles
par rapport au système.
Qe
2
3
échangeur de
chaleur
W
Compresseur
Turbine
arbre de transmission
échangeur de
chaleur
1
4
Qs
Les différentes transformations sont :
• 1 → 2 : compression isentropique dans le compresseur
• 2 → 3 : apport de chaleur (Qe ) à pression constante
• 3 → 4 : détente isentropique dans la turbine
• 4 → 1 : dégagement de chaleur (Qs ) à pression constante.
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1. Calculer l’entropie d’une mole de gaz parfait en variables T, P . On note S0 l’entropie d’une mole de gaz parfait à la température T0 sous la pression P0 .
2. Représenter le cycle :
• Dans le diagramme de Watt
• Dans le diagramme entropique (T, S)
P2
P1
4. Tracer l’allure de la courbe représentatif de η = f (r). Commenter son allure.
3. Calculer le rendement η du cycle en fonction de γ et r =
5. En quel point du cycle la température est maximale
6. Les températures maximale et minimale atteintes au cours du cycle étant respectivement Tmax = 1000K et Tmin = 300K,déterminer la valeur de r rendant
maximal le travail fourni par le système. Calculer alors η.
Données : R = 8.314J.K −1 .mol−1
Exercice n˚4 : Cycle de Stirling et irréversibilité (Banque PT)
1. Cycle de Stirling d’un moteur ditherme
On considère n = 40.10−3 mol d’air,considéré comme un gaz parfait de rapport
Cpm
constant et égal à 1, 4,subissant un cycle modélisé par les évolutions
γ =
Cvm
suivantes à partir de l’état A : P1 = 1bar et T1 = 300K :
• compression isotherme réversible au contact de la source S1 à T1 ,jusqu’à
V1
l’état B,de volume V2 =
10
• échauffement isochore au contact de la source S2 à T2 = 600K jusqu’à
l’état C,de température T2
• détente isotherme réversible au contact de la source S2 à T2 jusqu’à l’état
D,de volume V1
• refroidissement isochore au contact thermique de la source S1 jusqu’à l’état
A,de température T1 . On donne R = 8, 31J.K −1 .mol−1 .
(a) Calculer les valeurs numériques de P, V et T pour chacun des états A,B,C
et D (on présentera les résultats dans un tableau) .
(b) Représenter l’allure du cycle en coordonnées de clapeyron (P,V) . Comment
peut-on,sans calcul,savoir si le cycle proposé est celui d’un moteur,ou d’un
système mécaniquement récepteur ?
(c) Calculer pour chaque étape le transfert thermique et le travail reçues par le
fluide.
(d) Commenter ces résultats : énergie thermique échangée avec source chaude ?
source froide ?A-t-on bien un cycle moteur ?
(e) Quelle est,sur le plan énergétique,la production de ce système,sur un cycle ?Quel
en est le coût,toujours sur le plan énegétique ?En déduire l’expression et la
valeur numérique du rendemet.
(f) Calculer la valeur de l’entropie crée par irréversibilité au sein du système au
cours d’un cycle. Quel type d’irréversibilité entre en jeu ici ?
(g) Calculer la création d’entropie au sein du système au cours de l’échauffement
isochore BC .
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2. Amélioration technique de Stirling
L’invention des frères Stirling (1816) a permet d’améliorer considérablement le
rendement de la machine précédente
T2
P2
z’
T1
Rg
C2
T2
isolant thermique
C1
P1
z
T1
La machine possède deux pistons P1 et P2 (ce dernier étant calorifugé ou athermane) dans deux cylindres C1 (T1 ) et C2 (T2 ) reliés par
• régénérateur Rg inventé par Stirling. L’ensemble constitué de Rg et des
conduites reliant Rg à C1 et C2 est thermiquement isolé du milieu extérieur,la
pression y est uniforme à chaque instant,et le volume de gaz dans cet ensemble est constamment négligé.
L’ensemble des opérations peut être ainsi décrit :
• Temps 1 : le piston P2 est immobile au fond de C2 (à droite) ;C2 est donc
vide,le fluide est en C1 et subit une compression isotherme à T1 de V1 à V2
• Temps 2 : le mouvement simultanné de P1 et P2 vers la gauche transfère,de
façon isochore,le fluide de C1 à C2 à travers Rg où il se réchauffe jusqu’à
T2 . P1 s’immobilise au fond (à gauche) de C1 .
• Temps 3 : on fait ensuite subir au fluide une détente isotherme à T2 jusqu’au volume V1 .
• Temps 4 : le mouvement simultané des deux pistons vers la droite transfère
le fluide de façon isochore,de C2 à C1 à travers Rg où il se refroidit jusqu’à
T1 .
(a) En comparant,pour le cycle précédent du 1.,les valeurs des transferts thermiques au cours des évolutions BC et DA,expliquer précisement et complétement
pourquoi et comment-tout en conservant,pour le fluide,chacune des évolutions
précédentes-une partie de l’énergie thermique précédemment transférée à S1
peut servir à économiser une partie de l’énergie thermique précédemment
fournie par S2 . Quelle est,dans ces nouvelles conditions,la valeur de l’énergie
thermique fournie par S2 ?
(b) Exprimer le nouveau rendement en fonction des températures T1 et T2
(c) Comparer au rendement de Carnot avec les mêmes sources
(d) Ce rendement peut-il être amélioré sans changer les sources ?
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