c S.Boukaddid TD n˚16 : Machines thermiques sup2 TSI Machines

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S.Boukaddid TD n˚16 : Machines thermiques sup2 TSI
Machines thermiques
Exercice n˚1 :Cycle de Carnot
Un fluide (gaz parfait) d´ecrit un cycle r´eversible constitu´e par :
•AB : d´etente isotherme `a T2
•BC : adiabatique de T2`a T1> T2
•CD : compression isotherme `a T1
•DA : adiabatique de T1`a T2
1. Repr´esenter un tel cycle en coordon´ees de Clapeyron (P,V) ou en diagramme
entropique (T,S). Sagit-il d’un cycle de type moteur thermique ou type pompe `a
chaleur ?Comparer les aires des deux repr´esentations du cycle.
2. D´efinir l’´efficacit´e d’un tel syst`eme. La calculer par la m´ethode graphique. D´epend-
elle de la nature du fluide ?
Exercice n˚2 :Climatiseur
On souhaite r´ealiser la climatisation d’un local afin de maintenir sa temp´erature `a la
valeut T−1 = 300Kalors que la temp´erature ext´erieure est T2= 315K. On utilise une
machine thermique,fonctionnant avec nmol d’un fluide assimilable `a un gaz parfait,de
capacit´e thermique molaire `a pression constante Cpm = 30J.K−1.mol−1. Au cours d’un
cycle,le fluide re¸coit les transferts thermiques Q1>0 de la source froide (local) et
Q2<0 de la source chaude (ext´erieur),ainsi que le travail W > 0 .
1. Dans un premier temps,on consid`ere que le cycle est un cycle de Carnot d´efini
comme suit : le fluide passe par les ´etats d’´equilibre A,B,C,D par une succession
des transformations :
•AB : compression adiabatique r´eversible de la temp´erature T1`a la temp´erature
T2
•BC : compression isotherme r´eversible `a la temp´erature T2
•CD : d´etente adiabatique r´eversible de la temp´erature T2`a la temp´erature
T1
•DA : d´etente isotherme r´eversible `a la temp´erature T1
(a) Repr´esenter l’allure du cycle dans le diagramme de Watt (P,V)
(b) D´efinir,puis ´etablir l’expression de l’´efficacit´e thermodynamique ecde la ma-
chine en fonction de T1et T2. Calculer ec.
2. En r´ealit´e,le fluide ne d´ecrit pas le cycle de Carnot d´efini en 1.mais le cycle
suivant :
•AB : compression adiabatique r´eversible de la temp´erature T1`a la temp´erature
T0
1avec T0 1= 350K
•BC : refroidissement isobare de la temp´erature T0
1`a la temp´erature T2
•CD : d´etente adiabatique r´eversible de la temp´erature T2`a la temp´erature
T0
2
•DA : ´echauffement isobare de la temp´erature T0
2`a la temp´erature T1
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(a) Repr´esenter l’allure du cycle dans le diagramme de Watt
(b) IExprimer les variations d’entropie du fluide (n mol) au cours de cha-
cune des transformations qu’il subit en fonction de n, Cpm, T1, T2, T 0
1
et T0
2.
IEn d´eduire l’expression de la variation d’entropie du fluide au cours
du cycle en fonction de n, Cpm, T1, T2, T 0
1et T0 2
IEn d´eduire une relation simple entre T1, T2, T 0
1et T0 2. On trouve ainsi
T0
2= 270K.
(c) IEtablir l’expression du transfert thermique Q0
2re¸cu par le fluide au
cours de la transformation de B `a C en fonction de net Cpm et de
certaines temp´eratures.
IEtablir l’expression du transfert thermique Q0
1re¸cu par le fluide au
cours de la transformation de D `a A en fonction de n et Cpm et de
certaines temp´eratures
IEn d´eduire l’expression du travail W0re¸cu par le fluide au cours du
cycle
(d) Exprimer puis calculer la nouvelle efficacit´e thermodynamique e’ de la ma-
chine. Comparer `a ec. La conclusion ´etait-elle pr´evisible et pourquoi ?
Exercice n˚3 :Cycle de Brayton
Dans tout le probl`eme le gaz subissant les diff´erentes transformations est assimil´e `a
de l’air consid´er´e comme un gaz parfait. Le rapport γdes chaleurs massiques sera pris
constant et ´egale `a 1.4.
Les transformations seront toutes consid´er´ees comme r´eversibles.
On se propose d’´etudier un dispositif `a turbine `a gaz fonctionnant suivant un cycle de
Brayton. Il s’agit d’un cycle moteur.Le sch´ema de principe du syst`eme est represent´e
ci-dessous.Les grandeurs ´echang´ees sont alg´ebris´ees selon les conventions habituelles
par rapport au syst`eme.
´echangeur de
chaleur
´echangeur de
chaleur
Turbine
Compresseur
1
23
4
Qe
Qs
W
arbre de transmission
Les diff´erentes transformations sont :
•1→2 : compression isentropique dans le compresseur
•2→3 : apport de chaleur (Qe) `a pression constante
•3→4 : d´etente isentropique dans la turbine
•4→1 : d´egagement de chaleur (Qs) `a pression constante.
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1. Calculer l’entropie d’une mole de gaz parfait en variables T, P . On note S0l’en-
tropie d’une mole de gaz parfait `a la temp´erature T0sous la pression P0.
2. Repr´esenter le cycle :
•Dans le diagramme de Watt
•Dans le diagramme entropique (T, S)
3. Calculer le rendement ηdu cycle en fonction de γet r=P2
P1
4. Tracer l’allure de la courbe repr´esentatif de η=f(r). Commenter son allure.
5. En quel point du cycle la temp´erature est maximale
6. Les temp´eratures maximale et minimale atteintes au cours du cycle ´etant res-
pectivement Tmax = 1000Ket Tmin = 300K,d´eterminer la valeur de rrendant
maximal le travail fourni par le syst`eme. Calculer alors η.
Donn´ees : R= 8.314J.K−1.mol−1
Exercice n˚4 :Cycle de Stirling et irr´eversibilit´e (Banque PT)
1. Cycle de Stirling d’un moteur ditherme
On consid`ere n= 40.10−3mol d’air,consid´er´e comme un gaz parfait de rapport
γ=Cpm
Cvm
constant et ´egal `a 1,4,subissant un cycle mod´elis´e par les ´evolutions
suivantes `a partir de l’´etat A:P1= 1bar et T1= 300K:
•compression isotherme r´eversible au contact de la source S1`a T1,jusqu’`a
l’´etat B,de volume V2=V1
10
•´echauffement isochore au contact de la source S2`a T2= 600Kjusqu’`a
l’´etat C,de temp´erature T2
•d´etente isotherme r´eversible au contact de la source S2`a T2jusqu’`a l’´etat
D,de volume V1
•refroidissement isochore au contact thermique de la source S1jusqu’`a l’´etat
A,de temp´erature T1. On donne R= 8,31J.K−1.mol−1.
(a) Calculer les valeurs num´eriques de P, V et Tpour chacun des ´etats A,B,C
et D (on pr´esentera les r´esultats dans un tableau) .
(b) Repr´esenter l’allure du cycle en coordonn´ees de clapeyron (P,V) . Comment
peut-on,sans calcul,savoir si le cycle propos´e est celui d’un moteur,ou d’un
syst`eme m´ecaniquement r´ecepteur ?
(c) Calculer pour chaque ´etape le transfert thermique et le travail re¸cues par le
fluide.
(d) Commenter ces r´esultats : ´energie thermique ´echang´ee avec source chaude ?
source froide ?A-t-on bien un cycle moteur ?
(e) Quelle est,sur le plan ´energ´etique,la production de ce syst`eme,sur un cycle ?Quel
en est le coˆut,toujours sur le plan ´eneg´etique ?En d´eduire l’expression et la
valeur num´erique du rendemet.
(f) Calculer la valeur de l’entropie cr´ee par irr´eversibilit´e au sein du syst`eme au
cours d’un cycle. Quel type d’irr´eversibilit´e entre en jeu ici ?
(g) Calculer la cr´eation d’entropie au sein du syst`eme au cours de l’´echauffement
isochore BC .
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2. Am´elioration technique de Stirling
L’invention des fr`eres Stirling (1816) a permet d’am´eliorer consid´erablement le
rendement de la machine pr´ec´edente
z’ z
P2P1
Rg
T2
T2
T1
T1
C2C1
isolant thermique
La machine poss`ede deux pistons P1et P2(ce dernier ´etant calorifug´e ou ather-
mane) dans deux cylindres C1(T1) et C2(T2) reli´es par
•r´eg´en´erateur Rginvent´e par Stirling. L’ensemble constitu´e de Rget des
conduites reliant Rg`a C1et C2est thermiquement isol´e du milieu ext´erieur,la
pression y est uniforme `a chaque instant,et le volume de gaz dans cet en-
semble est constamment n´eglig´e.
L’ensemble des op´erations peut ˆetre ainsi d´ecrit :
•Temps 1 : le piston P2est immobile au fond de C2(`a droite) ;C2est donc
vide,le fluide est en C1et subit une compression isotherme `a T1de V1`a V2
•Temps 2 : le mouvement simultann´e de P1et P2vers la gauche transf`ere,de
fa¸con isochore,le fluide de C1`a C2`a travers Rgo`u il se r´echauffe jusqu’`a
T2.P1s’immobilise au fond (`a gauche) de C1.
•Temps 3 : on fait ensuite subir au fluide une d´etente isotherme `a T2jus-
qu’au volume V1.
•Temps 4 : le mouvement simultan´e des deux pistons vers la droite transf`ere
le fluide de fa¸con isochore,de C2`a C1`a travers Rgo`u il se refroidit jusqu’`a
T1.
(a) En comparant,pour le cycle pr´ec´edent du 1.,les valeurs des transferts ther-
miques au cours des ´evolutions BC et DA,expliquer pr´ecisement et compl´etement
pourquoi et comment-tout en conservant,pour le fluide,chacune des ´evolutions
pr´ec´edentes-une partie de l’´energie thermique pr´ec´edemment transf´er´ee `a S1
peut servir `a ´economiser une partie de l’´energie thermique pr´ec´edemment
fournie par S2. Quelle est,dans ces nouvelles conditions,la valeur de l’´energie
thermique fournie par S2?
(b) Exprimer le nouveau rendement en fonction des temp´eratures T1et T2
(c) Comparer au rendement de Carnot avec les mˆemes sources
(d) Ce rendement peut-il ˆetre am´elior´e sans changer les sources ?
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