écoulements de Poiseuille plan diphasiques

Mines Nancy - 2`eme ann´ee D´epartement ´ Energie : Production, Transformation
Module EPTS7AB M´ecanique des fluides par Emmanuel Plaut
Test 1 du 19 octobre 2015 - Dur´ee : 3 heures
Documents autoris´es : les polycopi´es de MMCSF et de MF - Calculatrices autoris´ees
Veuillez r´ediger avec soin et en langue fran¸caise. Toute r´eponse `a une question constitu´ee uniquement
de symboles math´ematiques sera, a priori, consid´er´ee comme nulle. Un corrig´e succinct, comportant aussi
des compl´ements, sera publi´e d`es cet apr`es-midi sur http ://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mf .
Bar`eme indicatif 1:Exercice question 1 2 3 4 5 6 7 8 Total
points 2,5 2 2 0,5 2,5 1,5 0,5 3 14,5
Probl`eme question 0 I.1 I.2 I.3 I.4 II.1 II.2 II.3 II.4 II.5 II.6 Total
points 0,5 1 2,5 1 2 0,5 1 2,5 2 4 4 21
Exercice Estimation des pouss´ees de turbor´eacteurs simple et double flux
On veut estimer les pouss´ees de deux moteurs a´eronautiques, `a savoir les turbor´eacteurs dont les sch´emas
de principe sont `a la fin de ce sujet en figure 1. On suppose que ces moteurs fonctionnent en r´egime de
croisi`ere, l’avion qu’ils propulsent ´etant en vol horizontal `a la vitesse constante V0. On travaille dans le
r´ef´erentiel li´e `a l’avion, dans lequel l’air ambiant arrive `a la vitesse V0.
§
La figure 1a pr´esente un turbor´eacteur simple flux (‘Turbojet’ en anglais, cf. aussi la figure 2). On
consid`ere que ce turbor´eacteur est `a sym´etrie de r´evolution autour de l’axe de son arbre (‘Shaft’ ). Il est
contenu dans une enveloppe solide repr´esent´ee en blanc. Par un orifice d’entr´ee (‘Inlet’ ) l’air ambiant (en
bleu fonc´e) est aspir´e `a la vitesse V0. Le d´ebit massique d’air ing´er´e est ˙m0. Ce flux d’air passe dans le
compresseur (‘Compressor’ ) dont les aubes sont repr´esent´ees en noir. Une fois comprim´e, donc, ´echauff´e, il
est m´elang´e dans la chambre de combustion (‘Burner’ en rouge) au k´eros`ene atomis´e, qui se vaporise tr`es
rapidement, brˆule, et fournit une grande ´energie interne. Le d´ebit massique de k´eros`ene inject´e est ˙mk, de
sorte qu’en entr´ee de la turbine (‘Turbine’ en magenta), le d´ebit massique de gaz admis ˙me= ˙m0+ ˙mk.
L’indice esignifie ‘Exhaust’ pour ´echappement. En effet, tout ce gaz, apr`es avoir entraˆın´e en rotation
l’arbre au niveau de la turbine, est finalement ´eject´e `a la vitesse Ve`a la sortie de la tuy`ere (‘Nozzle’ ).
On consid`ere le syst`eme constitu´e de tous les fluides internes au r´eacteur : air du flux ing´er´e, k´eros`ene une
fois inject´e dans la chambre de combustion, puis m´elange obtenu en sortie de la chambre de combustion,
dit «gaz brˆul´es ». Ces fluides occupent un domaine Dt.
1En faisant des approximations que vous expliciterez, estimez de fa¸con cin´ematique le taux d’´evolution
de la quantit´e de mouvement de ce syst`eme fluide en fonction de V0, Ve,˙m0et ˙me. Interpr´etez la physique.
2De mˆeme, estimez de fa¸con dynamique le taux d’´evolution de la quantit´e de mouvement de ce syst`eme
fluide. D´eduisez-en la force exerc´ee par les fluides sur le moteur, Ffluides →moteur en fonction de V0, Ve,˙m0
et ˙me. Interpr´etez la physique.
3De mˆeme, en ´ecrivant la loi de l’´evolution de la quantit´e de mouvement pour le moteur, suppos´e fix´e `a
l’avion par un «bras »de taille modeste, estimez la pouss´ee Fde ce moteur.
Commentez, en comparant notamment au cas d’un moteur fus´ee.
4En pratique, le d´ebit massique de k´eros`ene inject´e est n´egligeable, donc ˙me'˙m0. Donnez en cons´e-
quence une expression approximative de Fen fonction de ˙m0, V0et Veseulement.
§
1. Le total sur 35,5 sera ramen´e `a 20 environ suivant une r`egle qui reste `a d´efinir.
1

La figure 1b pr´esente un turbor´eacteur double flux (‘Turbofan’ ), qui est aussi `a double corps (‘two
spool’ ). En effet, dans l’arbre de cœur (‘Core Shaft’ en noir), solidaire du compresseur et de la turbine
de cœur (‘Core Turbine’ en magenta), est log´e le syst`eme repr´esent´e en vert, l’arbre du ventilateur (‘Fan
Shaft’ ) solidaire du ventilateur (ou «soufflante »,‘Fan’ ) et de sa turbine (‘Fan Turbine’ ). Ces deux syst`emes
ont des vitesses de rotation diff´erentes, ce qui permet une certaine flexibilit´e et de meilleurs r´eglages.
Un flux primaire (ou flux de cœur ‘Core Flow’ ou flux chaud en bleu fonc´e) est admis en entr´ee `a
une vitesse V0avec un d´ebit massique ˙mc. Il subit une ´evolution similaire `a celle du flux unique du
turbor´eacteur simple flux. Ce flux primaire passe dans le ventilateur, o`u il est acc´el´er´e une premi`ere fois. Il
est ensuite comprim´e dans le compresseur, m´elang´e dans la chambre de combustion au k´eros`ene atomis´e,
qui se vaporise et brˆule. Le d´ebit massique de k´eros`ene inject´e est ˙mk, de sorte qu’en entr´ee de la turbine
de cœur le d´ebit massique de gaz admis ˙me= ˙mc+ ˙mk.
Tout ce gaz, apr`es avoir entraˆın´e en rotation l’arbre de cœur, au niveau de la turbine de cœur, puis l’arbre
du ventilateur au niveau de la turbine du ventilateur, est enfin ´eject´e `a la vitesse Ve`a la sortie de la tuy`ere.
De plus un flux secondaire (ou flux de ventilateur ‘Fan Flow’ ou flux froid en bleu clair), de d´ebit
massique ˙mf, est admis en entr´ee `a la vitesse V0, autour du cœur. Il est acc´el´er´e par le ventilateur puis
rejet´e en sortie `a une vitesse Vf.
On appelle taux de dilution (‘Bypass ratio’ ) le rapport entre le d´ebit d’air qui ´evite (‘bypasses’ ) la chambre
de combustion et le d´ebit d’air qui passe dans la chambre de combustion, b= ˙mf/˙mc.
Le d´ebit total entrant est la somme de ces deux d´ebits ˙m0= ˙mf+ ˙mc.
5En faisant des approximations analogues `a celles utilis´ees questions 1, 2 et 3, estimez la pouss´ee Fde ce
moteur en fonction des d´ebits ˙mc,˙mf,˙meet des vitesses V0, Ve, Vf.
6En pratique le d´ebit de k´eros`ene est n´egligeable, ˙me'˙mc.
Remaniez la formule pr´ec´edente pour exprimer Fcomme la somme d’une pouss´ee due au flux primaire ou
chaud Fcet d’une pouss´ee due au flux secondaire ou froid Ff.
Commentez physiquement.
7Exprimez finalement Fen fonction des seules donn´ees ˙m0,˙mc, V0, Ve, Vfet b.
8On consid`ere un moteur CFM56-5B ´equipant un Airbus A320 en r´egime de croisi`ere `a Mach 0,8 `a une
altitude de 35000 pieds soit 10700 m. La temp´erature ambiante est d’environ −54 oC.
8.a Estimez la vitesse de vol V0de l’avion, en m/s, avec 2 chiffres significatifs.
8.b Sachant que ˙mc= 23 kg/s, b = 5,8, Ve= 500 m/s, Vf= 350 m/s , estimez les pouss´ees Fc, Ff
et F. Commentez physiquement.
§
Je remercie M. Tantot de SAFRAN Snecma et cette entreprise pour la fourniture des donn´ees num´e-
riques de la question 8.
§
Probl`eme ´ Etude d’´ecoulements de Poiseuille plan ´eventuellement diphasiques
On consid`ere un canal de section rectangulaire contenant, dans un rep`ere cart´esien Oxyz, la r´egion
D={(x,y,z) avec x∈[0,L], y ∈[−b,b], z ∈[−h,h]}.
On suppose que les parois situ´ees en y=±B(avec B > b) ont une influence n´egligeable sur l’´ecoulement
dans la r´egion D, de mˆeme que les r´egions d’entr´ee x < 0 et de sortie x>Ldu canal. Les parois situ´ees en
z=±hsont suppos´ees horizontales. Ce canal est rempli d’un (partie I) ou deux (partie II) fluides newtoniens
visqueux. Dans D, on suppose l’´ecoulement permanent bidimensionnel unidirectionnel de champ de vitesse
v=v(z)ex.(1)
0Avec quel adjectif physique pourrait on aussi qualifier des ´ecoulements de la forme (1) ?
2

IDans cette partie, tout le canal est rempli du mˆeme fluide newtonien visqueux.
I.1 Montrez que le gradient de pression motrice dans un tel ´ecoulement est forc´ement uniforme, de la forme
(dans le domaine D, domaine de travail pour toute cette partie)
∇bp=−Gex.(2)
I.2 Calculez le champ de vitesse, puis la vitesse d´ebitante V, que vous relierez `a G. Commentez physique-
ment cette relation.
I.3 Repr´esentez graphiquement ce champ de vitesse.
I.4 Calculez les pertes de charge dans cet ´ecoulement, entre x= 0 et L, en les mettant sous une forme
analogue `a celle utilis´ee en tuyau, faisant apparaˆıtre un coefficient de perte de charge λanalogue. Exprimez
λen fonction d’un nombre adimensionnel caract´eristique de l’´ecoulement. Commentez la formule obtenue.
§
II On consid`ere maintenant le cas o`u un fluide 1, de viscosit´e dynamique η1, occupe dans Dle sous-domaine
D1={(x,y,z)∈Dtels que |z|< h1},
et un fluide 2, de viscosit´e dynamique η2, le sous-domaine
D2=D+
2∪D− 2avec D+ 2={(x,y,z)∈Dtels que z > h1}, D− 2={(x,y,z)∈Dtels que z < −h1}.
Ces fluides ont la mˆeme masse volumique ρ. On note maintenant v1(z) (resp. v2(z)) la composante xde la
vitesse dans le fluide 1 (resp. 2).
II.1 Montrez que les gradients de pression motrice dans cet ´ecoulement sont forc´ement uniformes,
∇bp=−G1exdans D1,∇bp=−G±
2exdans D± 2.(3)
II.2 Explicitez les conditions cin´ematiques aux deux interfaces entre les fluides 1 et 2, situ´ees en z=±h1.
Montrez qu’`a chaque interface une condition cin´ematique est toujours v´erifi´ee ; l’autre sera prise en compte
`a la question II.5a.
II.3 On suppose l’existence d’une tension superficielle aux interfaces entre les deux fluides. Explicitez
la condition dynamique `a chaque interface et ´etablissez deux conditions portant l’une sur les pressions `a
l’interface, l’autre sur les vitesses `a l’interface.
II.4 Explicitez les conditions sur les pressions aux interfaces. D´eduisez-en des relations entre G1et G±
2,
puis les champs de pression dans les fluides. Montrez que l’on peut d´efinir de fa¸con claire une perte de
pression motrice δbpentre les sections d’entr´ee et de sortie de cet ´ecoulement, malgr´e le fait qu’il soit
diphasique. Cette perte de pression motrice sera suppos´ee strictement positive, ainsi que G1et G±
2.
II.5a Calculez les champs de vitesse dans les fluides. Vous aurez int´erˆet pour simplifier les calculs `a
introduire le rapport des viscosit´es M=η1/η2. On admet que l’´ecoulement est sym´etrique sous z7→ −z,
sur la base d’un principe que vous rappellerez.
II.5b Testez la coh´erence de vos calculs en consid´erant les cas extrˆemes o`u le fluide 1 est seul, h1=h, et
celui o`u le fluide 2 est seul, h1= 0.
II.6 Le fluide 2 est de l’eau de viscosit´e η2= 10−3Pa s, le fluide 1 une huile 1000 fois plus visqueuse. Le
canal, qui mod´elise une fracture dans une roche, a une ´epaisseur 2h= 2 cm et, pour sa r´egion utile, une
largeur 2b= 1 m, une longueur L= 100 m. On suppose que la perte de pression motrice δbp= 1 bar.
II.6a On consid`ere le cas de r´ef´erence avec le fluide 1 (huile) seul, h1=h. Calculez num´eriquement la
vitesse maximale v1(0), et repr´esentez sch´ematiquement le champ de vitesse du fluide 1 dans un plan bien
choisi.
3

II.6b On consid`ere le cas diphasique o`u h1= 0,5 cm. Calculez num´eriquement la vitesse maximale v1(0),
et repr´esentez les champs de vitesse des fluides (dans le mˆeme plan que question II.6a). Par rapport au cas
de r´ef´erence, quel type d’effet se produit ?
§
(a) ‘Turbojet’ :
(b) ‘Turbofan’ :
Fig. 1 –Sch´emas de principe, tir´es d’un site web `a but ´educatif de la NASA, d’un (a) turbor´eacteur simple
flux et simple corps,(b) turbor´eacteur double flux et double corps, dans le r´ef´erentiel li´e `a l’avion.
‘Turbojet’ :
Fig. 2 –Sch´ema plus d´etaill´e d’un turbor´eacteur simple flux et simple corps, tir´e d’un document de l’U.S.
Federal Aviation Administration.
4