Algorithmes de factorisation des entiers

Algorithmes de factorisation des entiers
Algorithmes de factorisation des entiers
http://www.math.univ-lyon1.fr/~roblot/ens.html

Algorithmes de factorisation des entiers
1R´ef´erences et Complexit´e
2Enonc´e du probl`eme
3Algorithmes pr´eliminaires
Primalit´e et pseudo-primalit´e
Reconnaissance des puissances de premiers
4Quelques r´esultats d’arithm´etique
Nombre et taille des facteurs premiers
Nombres B-friables
5Factorisation : algorithmes exponentiels
Divisions successives
M´ethode de Fermat
M´ethode de Gauss
M´ethode p−1 de Pollard
M´ethode ρde Pollard
M´ethode des factorielles
6Factorisation : algorithmes sous-exponentiels
Crible quadratique de Pomerance
M´ethode ECM de Lenstra
Crible du corps de nombres

Algorithmes de factorisation des entiers
R´ef´erences et Complexit´e
R´ef´erences
H. Cohen, A Course in Computational Algebraic Number Theory,
GTM 38, Springer-Verlag, 1993
H. Riesel, Prime Numbers and Computer Methods for Factorization,
Progress in Mathematics, Birkha¨user, 1985
R. Crandall, C. Pomerance, Primer Numbers, A Computational
Perspective, Springer, 2001

Algorithmes de factorisation des entiers
R´ef´erences et Complexit´e
Complexit´e
Complexit´e en O(f(N)).il existe C > 0 (constante) telle que le
nombre d’op´erations (dans un sens `a pr´eciser) est ≤C f(N)
D´efinition.
L(α, β;N) := exp β(log N)α(log log N)1−α
Rappel. la taille de Nest log N
Complexit´e exponentielle : α= 1 et L(1, β;N) = Nβ
Complexit´e polynˆomiale : α= 0 et L(0, β;N) = (log N)β
Complexit´e sous-exponentielle : 0 < α < 1

Algorithmes de factorisation des entiers
Enonc´e du probl`eme
Probl`eme de la factorisation des entiers
Soit N≥2 un entier
Trouver les nombres premiers p1, . . . , pset les entiers e1, . . . es≥1 tels
que
N=pe1
1···pes
s
Par r´eduction, on se ram`ene aux trois probl`emes suivants
1Est-ce que Nest un nombre premier ?
2(Sinon, est-ce que Nest une puissance d’un nombre premier ?)
3Sinon, trouver davec 2 ≤d<N et ddiviseur de N
Cas le plus difficile. N=pq avec pet qpremiers de mˆeme taille