Algorithmes de factorisation basés sur la structure des corps de

Algorithmes de factorisation basés sur la structure des corps
de nombres cubiques et quartiques
Proposition de sujet de stage d'initiation à la recherche
Encadrant : Pierre-Jean Spaenlehauer
La sécurité des systèmes de chirement et de signature RSA repose directement sur la diculté
de factoriser des nombres entiers. Pour estimer précisément les paramètres à utiliser pour ces cryptosystèmes, il est essentiel de savoir mesurer l'eort de calcul nécessaire pour la factorisation de
grands entiers. Les algorithmes modernes de factorisation (e.g. GNFS, MPQS) de nombres RSA
(i.e. de nombres de la forme N = pq où p et q sont des nombres premiers) nécessitent des algorithmes ecaces pour factoriser des nombres entiers de tailles variées. Il est donc nécessaire d'avoir
une large panoplie d'outils algorithmiques de factorisation, pour pouvoir choisir la méthode la plus
adaptée à chaque situation.
On propose durant ce stage de travailler sur des variantes de l'algorithme de factorisation SQUFOF (SQUare FOrms Factorization) de Shanks. Les notions de théorie algorithmique des nombres
qui interviennent dans cet algorithme sont centrales dans les algorithmes récents de factorisation de
nombres RSA. L'algorithme SQUFOF
repose sur la structure des corps de nombres quadratiques
√
réels (i.e. les corps de la forme Q( N ) où N ∈ N n'est pas un carré). À ces corps sont associées des
structures algébriques nies (appelées usuellement infrastructures), dans lesquels il est possible de
calculer et d'exhiber des facteurs de N .
Ces infrastructures apparaissent également dans le contexte des corps cubiques complexes et
quartiques totalement complexes. Dans le contexte des corps cubiques, un algorithme présentant
de nombreuses similarités avec SQUFOF a été proposé dans la thèse de doctorat de Voronoï pour
calculer des invariants numériques associés aux corps de nombres cubiques (par exemple le régulateur ou un système d'unités fondamentales). Cet algorithme a également été généralisé au cas des
corps quartiques totalement complexes par Buchmann.
L'objectif de ce stage est d'étudier si, comme dans le cas des corps quadratiques réels, des
variantes de ces algorithmes pour les corps cubiques complexes et quartiques totalement complexes
peuvent fournir des algorithmes alternatifs pour la factorisation de nombres entiers.
On propose donc les trois objectifs suivants pour ce stage :
1. Comprendre le fonctionnement de l'algorithme SQUFOF pour la factorisation d'entiers et
l'implémenter ;
2. Étudier les algorithmes de Voronoï pour les corps cubiques complexes et voir s'il est possible
de les adapter au contexte de la factorisation ;
3. Si le temps le permet, étudier le cas des corps quartiques totalement complexes pour la
factorisation.
Références
[1] D. Shanks.
SQUFOF notes
[2] J. Gower, S. Wagsta.
558, AMS, 2008.
. Unpublished.
, Mathematics of Computation, 77(261) :551
Square Form Factorisation
[3] J. Buchmann. A generalization
20(2) :177191, 1985.
, Journal of Number Theory,
of Voronoi's unit algorithm I
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