SUR LES ENSEMBLES SEMI

Actes, Congrès intern. Math., 1970. Tome 2, p. 237 à 241.
SUR LES ENSEMBLES SEMI-ANALYTIQUES
par S. LOJASIEWICZ
1. Soit M une variété analytique réelle. Pour chaque a G M notons avec 2fl la
plus petite famille de germes de sous-ensembles de M en a contenant tous les
{/> 0}fl avec / analytique au voisinage de a, et vérifiant
M,vG2a=>t/Uv,«nvG2fl .
Un sous-ensemble E dQ M est dit semi-analytique si Ea G 2a pour tout a E: M.
Une autre description équivalente est la suivante. On dit qu'un A C M est
décrit dans un U C M par une famille F de fonctions réelles définies dans U, si
AnU=unAif avec des Ai} de la forme {f{/ > 0} ou {fi} = 0} ou {fif < 0} , fif G F.
Un sous-ensemble A de M est semi-analytique si et seulement s'il est décrit par
des fonctions analytiques dans un voisinage de chaque point de M.
La définition entraîne trivialement que le complémentaire, l'intersection finie,
la réunion localement finie, le produit et l'image inverse par une application ana-
lytique d'ensembles semi-analytiques est semi-analytique. Si N est une sous-variété
analytique de M et E C N, alors la semi-analyticité de E dans M entraîne celle
dans N, et réciproquement pourvu que E C N.
2. On appelle système normal (dans R") une famille {H'j(x1,. . . , xt ;Xj)}0^
/</s„
de polynômes distingués, ayant des discriminants Dij(xl,. . ., x{) ^ 0, des coef-
ficients analytiques au voisinage de 0 et vérifient
(l)Hkk-1 = 0,//* = 0=>HÏ~l = 0 )
1
sur un voisinage complexe de 0 .
(2)D) = 0=*#£-! = 0 )
Un voisinage Q = {|x/| < Ô,} s'appelle normal, si :
(a) les H*j sont holomorphes ; (1) et (2) subsistent au voisinage de
{zeCm:\zl\<6i} ,
(b) H(j(u , z) = 0 , \ut\ < b. => \z | < fy (dans le complexe).
Alors les
Vk ={xeQ:Hnn-1 =..-=ff*
+ 1
=0,Hkk-1 ¥=0} ,
(V ={Hnn-l*o}, v° = {Hnn~1 =.-• = #;= 0})

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forment une partition de Q ; on montre que Vk est à la fois ouvert et fermé dans
{je G Q : Hk+l = • • • = Hk = 0 ,Hkk~~l =£ 0}, et est donc une sous-variété analyti-
que de dimension k. On appelle la partition
n
SU = U {la famille des composantes connexes de V }
fc=0
une stratification normale de Q selon {Hft.
Les voisinages normaux (selon {HJ}) forment une base de voisinages de 0.
On montre les propriétés suivantes :
(1) Une stratification normale est toujours finie.
(2) Pour chaque strate r G SU, (r \ T) O Q est une réunion de strates de SfC
de dimension inférieure à celle de T (propriété de la frontière).
(3) Chaque strate r G Sit de dimension k est le graphe d'une application ana-
lytique d'un ouvert de Rk dans Rn~k.
(4) Si T0, T G SIC avec ro C T, alors chaque sous-variété (differentiable) trans-
versale à T0 intersecte T.
(5) Soit 7T : (*!,.. ., xn) -*• {x1,..., xm) ; alors ir(Q) est un voisinage normal
pour {#/}<)«/</*: m »
et
^(n est une strate ou une réunion de strates de la partition
normale de ir (Q) pour r G SfC selon que dim r < m ou > m ; dans le premier
cas on a 7r((ÏÏ\r) n Q) =±(TT (D\ir(T)) O 7r(ß).
Soit M une variété analytique. Une stratification normale en a G M est l'image
d'une stratification normale par une carte g telle que g (a) = 0.
3. On montre que les strates d'une stratification normale sont semi-analytiques.
On dit que SU est compatible avec une famille d'ensembles F si pour chaque
reSrC9EeFonaTCEourcM\E. On montre que :
(1) Pour chaque a G M et Ex,.. ., Es semi-analytiques il existe une stratification
normale en a, compatible avec Ex,. .., Es, d'un voisinage arbitrairement petit de
a.
(2) Un ensemble E C M est semi-analytique si et seulement si pour chaque
a G M il existe une stratification normale en a, compatible avec E.
Ceci entraîne que : chaque composante connexe d'un semi-analytique est semi-
analytique ; la décomposition en composantes connexes d'un ensemble semi-
analytique est localement finie ; chaque semi-analytique est localement connexe ;
l'adhérence (donc l'intérieur et la frontière) d'un ensemble semi-analytique est
semi-analytique ; enfin ce critère utile : un sous-ensemble Fd'un semi-analytique E
est semi-analytique si et seulement s'il en est de même de F n E\F et F\'mtEF.
4. Un point a d'un ensemble semi-analytique A est dit régulier de dimension k,
si V H A est une sous-variété analytique de dimension k pour un voisinage V de a.
On montre que l'ensemble des points réguliers de dimension k d'un ensemble semi-
analytique est semi-analytique.

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S. Une notion utile est celle de la dimension d'un ensemble semi-analytique ;
dimaE = maximum des dim. des points réguliers dans un voisinage suffisamment
petit de a = max (dim T : T G SfC , T C E) où SU est une stratification normale en a
compatible avec E ; dim E = max dimflis. Une propriété utile (dans les raisonne-
ments qui procèdent par récurrence sur la dimension) : dim (E \ E0) < dim E, où
E0 est l'ensemble des points réguliers de dimension maximale de E.
6. Soit M un espace euclidien.
Deux ensembles semi-analytiques compacts A et B tels que AHB =#=0 jouissent
de la propriété de séparation régulière : p(x ,A) > dp(x ,A C\ B)N lorsque x G B
avec certaines constantes d , N > 0.
Si / est analytique dans G, E compact C G , Z = {/ = 0), alors on a
\f(x)\>dp(x,Z)N
pour x G E, avec certaines constantes d , N > 0.
Si f(a) = 0 (/ analytique), alors |grad/(x) | > \f(x) f dans un voisinage de a avec
un 0 < 0 < 1. (Cette inégalité peut servir à démontrer que{/= 0} est rétracte
fort par déformation de son voisinage).
Si f(a) = 0 (/analytique), 0 < d < 1, alors |grad/(*)| |x| > 6 \f(x)\ dans un
voisinage de a. (Cette inégalité est utile par exemple pour démontrer qu'une condi-
tion de Kuiper-Kuo caractérise les germes/de classe Cr, qui sont C° -équivalents à
leur développement de Taylor d'ordre r,voir [12](r)).
Pour démontrer ces inégalités on utilise le "curve sellecting lemma" de Bruhat-
Cartan-Wallace : Si A est semi-analytique et si a G A n'est pas un point isolé de
A, alors A contient un arc semi-analytique qui aboutit à a(2).
Théorème (P. Lelong [16], M. Herrera [17]). La mesure de dimension k d'un
relativement compact semi-analytique de dimension < k est toujours finie.
THEOREME ([1] et [14]). - Un semi-analytique compact possède toujours la pro-
priété de Whitney. (Majoration de la longueur d'un arc qui permet de joindre deux
points de l'ensemble dans cet ensemble, en fonction d'une puissance positive de la
distance de ces points).
Pour démontrer ces faits on utilise le lemme de Rham : tout semi-analytique re-
lativement compact est une réunion finie de variétés analytiques semi-analytiques
chacune étant le graphe d'une application *p vérifiant \dz<p\ <K (constante) dans
un système de coordonnées.
En utilisant les propriétés métriques on montre que tout ouvert (resp. fermé) ,
semi-analytique est localement de la forme U O {ff. > 0} (resp. U O ifif >0})
avec f.. analytiques.
(1) Ces deux inégalités restent vraies dans le cas complexe. (On considère z -• |/(z)|2) .
(2) C'est-à-dire un arc un semi-analytique X relativement compact qui est l'image de
(0,1] par un plongement analytique (0,2) -• M, et tel que a =~\ — X ; le fait important
est que X est toujours un arc simple de classe C1.

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7. On peut répéter toute la partie précédente de la théorie en remplaçant la
classe des fonctions analytiques par celle des analytiques-algébriques c'est-à-dire
vérifiant de plus w (x , \p (x)) = 0 avec un polynôme w ^ 0 (dépendant de tp) ;
alors on a des variétés de Nash au lieu de variétés analytiques et des ensembles lo-
calement semi-algébriques au lieu d'ensembles semi-analytiques. On montre que
dans R" ce sont précisément les ensembles localement décrits par des polynômes ;
ceux qui sont décrits globalement s'appellent semi-algébriques ; si Pn est l'espace
projectif considéré comme Rw complété par "l'hyperplan à Too",, alors, dans la classe
des sous-ensembles de R", les semi-algébriques de R" coïncident avec les locale-
ment semi-algébriques de Pw. Un sous-ensemble E de M x N, avec N affine, s'appelle
N-semi-algébrique si chaque x G M possède un voisinage U tel que E soit décrit dans
U x N par des fonctions analytiques qui sont des polynômes par rapport à la variable
qui parcourt N.
8. Théorème de Seidenberg. Soient M, N des espaces affines, ir : M x N -> M
la projection naturelle. Si ECMxN est semi-algébrique alors ir(E) est semi-
algébrique ; dans le cas plus général où M est une variété analytique, si E est
iV-semi-algébrique alors it(E) est semi-analytique.
Dans le cas général où M et N sont des variétés analytiques on a encore le
théorème suivant : si E est un semi-analytique relativement compact de M x N et
si l'on admet que dim£'<l ou dimAf<2, alors ir(E) est semi-analytique
(cf. [ 1 ])- Mais il y a un exemple d'une sous-variété analytique compacte de dimen-
sion 2 de P3 x Px dont la projection (par P3 x Px -> P3) n'est pas semi-analytique.
Si M est un espace vectoriel, P l'ensemble des droites dans M, irx : M -> M/\, pour
X G P, la projection naturelle, on a le théorème de Koopman-Brown : Si E C M est
un semi-analytique relativement compact alors 7i\(2£) est semi-analytique sauf quand
X appartient â un fermé rare de P.
9. Soit M une variété analytique, F une famille localement finie de semi-
analytiques de M ; alors il existe une stratification semi-analytique SfC de M (par-
tition localement finie de M en sous-variétés analytiques, semi-analytiques, avec la
propriété de la frontière), compatible avec F (on aTCEouTCM\E quels que
soient r G SfC et E G F)_et jouissant des propriétés (A) et (B) de Whitney (si
ro, T G SfC et a G ro C r, alors : (A) tous les sous-espaces-limites en a des es-
paces tangents de T contiennent ceux de T0 on a ; (B) si z G T et x G ro tendent
vers a alors l'"angle" entre z — x et l'espace tangent de T en z tend vers zéro).
10. Soit M une variété analytique de type dénombrable, F une famille localement
finie de semi-analytiques de M. Alors il existe un complexe simplicial localement
fini K dans un espace affine L et un homéomorphisme h : \K\ -* M tel que :
(a) le graphe de h soit Z,-semi-algébrique (donc l'image par h d'un semi-algébrique
est semi-analytique) ;
(b) pour tout s G K ,h(s) est une sous-variété analytique (et semi-analytique) et
hs : s -> h (s) est un isomorphisme analytique ;

SUR LES ENSEMBLES SEMI-ANALYTIQUES 241
(c) la famille {h (s) : s G K} est compatible avec F.
BIBLIOGRAPHIE
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Institut de Mathématiques
Université de Cracovie,
KRAKOW, Pologne 2