Algorithmes et Structures de Données Chapitre 7 + Les Tris

Université de Corse - IUP NTIC2 2005/2006 – Algorithmes et Structures de Données
Algorithmes et
Structures de Données
Chapitre 7 – Les Tris
Capocchi Laurent
[e-mail]
http://spe.univ-corse.fr/capocchiweb
Université de Corse - IUP NTIC2 2005/2006 – Algorithmes et Structures de Données
Objectifs
 Les algorithmes de tris
Tri par sélection
Tri à bulle
Tri par insertion
Tri rapide (Quick sort)
Tri par fusion
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Tri et recherche sur les tableaux
Un tableau permet l'accès direct à un élément
Nous allons nous servir de cette propriété pour présenter
les principaux algorithmes de tri et de recherche
Notion de complexité d'un algorithme
Son étude consiste à prévoir le nombre d’opérations =
temps de calcul sur un ordinateur
Ce type d’analyse n’a de l’intérêt que pour les
programmes manipulant des données de grande taille
Analyse indépendante du type de matériel
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Complexité des algorithmes
Nombre d'opérations élémentaires (affectations,
comparaisons, opérations arithmétiques) effectuées par un
algorithme
On dit que la complexité d'un algorithme est O(f(n))
 n : taille des données
 f : combinaison de polynômes, logarithmes ou
exponentielles
Le nombre d'opérations effectuées est borné par c*f(n), où c
est une constante quand n tend vers l'infini

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Complexité des algorithmes
Les algorithmes usuels peuvent être classés en un
certain nombre de grandes classes de complexité :
Les algorithmes constant : O(1)
Les algorithmes sub-linéaires : O(log n)
Les algorithmes linéaires : O(n), O(n log n) sont
considérés comme rapides
Les algorithmes de complexité O(n2) et O(n3) sont plus
lent
Les algorithmes polynomiaux en O(nk) pour k>3 sont lent,
Les algorithmes exponentiels dont la complexité est > à
tout polynôme en n
Ils sont impraticables dès que la taille des données >
qqs dizaines
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Complexité des algorithmes
Ordres de grandeur (exemples)
1, log n, n, n.log n, n2, n3, 2n
n
f(n)
1
Log n
n
2
n
2n
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Complexité des algorithmes
La recherche de l'algorithme ayant la plus faible complexité
fait partie du travail régulier de l'informaticien
Il ne faut pas tomber dans l'excès :
Proposer un algorithme confus, complexe, développant
mille astuces et ayant une complexité en O(n1,99), alors
qu'il existe un algorithme simple, claire de complexité
O(n2)
Les critères de clarté et de simplicité doivent être
considérés comme aussi importants que celui de l'efficacité
dans la conception des algorithmes
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Efficacité d'un algorithme
Pourquoi évaluer l’efficacité d’un algorithme ?
Le ordinateurs ne sont pas infiniment rapides
La mémoire n’est pas gratuite
On doit utiliser des algorithmes performants en
terme
de durée : temps d’exécution
d’encombrement : mémoire
Évaluer l’efficacité d’un algorithme = Analyser
l’algorithme

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Qualité d'un algorithme
Performance : Étude du coût (complexité) en temps
et en mémoire
La complexité en mémoire (place mémoire prise par
l’algorithme) = problème de moins en moins primordial
vu les capacités techniques actuelles
Rmq : ne pas confondre un pb de mémoire saturée qui
vient du pg avec la complexité mémoire de l’algorithme
La complexité en temps
Certains pbs n’admettent pas de solutions, d’autres ont
des solutions qui nécessitent bcp de temps d’exécution
(pbs irréalisables)
On distingue la complexité en moyenne, la complexité
dans le pire des cas, et la complexité au meilleur des
cas
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Qualité d'un algorithme
La complexité en temps
Problème exponentiel
Utilisation d’heuristiques :
Méthode qui produit la plupart du temps un résultat
acceptable mais pas nécessairement optimal en un
temps raisonnable
On ne pourra pas prouver s’il est optimal ou non
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Pourquoi trier ?
Ranger les éléments dans un ordre connu (croissant
ou décroissant) pour faciliter les opérations de
Recherche, Insertion, Suppression
Exemples
Établir le classement de certains élèves
Mettre en ordre un dictionnaire
Trier l'index d'un livre
{18, 3, 10, 25, 9, 3, 11, 13, 23, 8}
doit devenir
{3, 3, 8, 9, 10, 11, 13, 18, 13, 25}
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Comment et quand trier ?
Il faut faire une distinction entre le tri d'un grand nombre
d'élément : plusieurs centaines, et le tri de quelques
éléments : paquet de cartes
Si peu d’éléments la méthode importe peu
Tri d’un paquet de carte : regarder si le paquet est trié si
oui, arrêter sinon le jeter par terre et recommencer…
Au bout d’un certain temps on risque d’avoir un
paquet ordonné !
La méthode peut également ne jamais s’arrêter
Le tri est possible s’il existe une relation d’ordre sur les
éléments
entiers, mots, …

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Plan
Méthodes élémentaires (tris naïfs)
Tri par sélection
Tri à bulle
Tri par insertion
Méthodes plus évoluées
Tri rapide (Quick Sort)
Tri par fusion
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Tri par sélection (tri par extraction)
Idée : on suppose que le tableau est partagé en 2 parties
1 partie triée
1 partie non triée mais dont tous les éléments sont > aux
éléments de la 1ère partie
Au début de l’algorithme : la partie triée est vide
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Tri par sélection (tri par extraction)
Principe
On cherche le minimum de la partie non triée
On le colle à la suite de la partie triée en l’échangeant
avec l’élément à la frontière
Exemple du tri du jeu de carte
On cherche la plus petite carte : on la met dans la main
gauche
On cherche la plus petite carte dans le paquet restant à
trier
On la met à droite du paquet qui est dans la main gauche
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Tri par sélection (tri par extraction)
Trouver l’emplacement de l’élément le plus petit du
tableau
minimum tel que ∀i, em ≤ei
Échanger les éléments e1 et em
On recommence sur la suite du tableau
{e2…eN}
On arrête lorsqu’on a plus qu’une suite composée d’un seul
élément {eN}
Essayez sur la suite {18, 3, 10, 25, 9, 3, 11, 13, 23, 8}

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18 3 10 25 9 3 11 13 23 8
318 10 25 9 3 11 13 23 8
im
im
3 3 10 25 9 18 11 13 23 8
i m
3 3 8 25 9 18 11 13 23 10
im
3 3 8 9 25 18 11 13 23 10
i m
3 3 8 9 10 18 11 13 23 25
im
3 3 8 9 10 11 18 13 23 25
i m
3 3 8 9 10 11 13 18 23 25
i m
3 3 8 9 10 11 13 18 23 25
i m
3 3 8 9 10 11 13 18 23 25
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Algorithme Tri par sélection
Recherche de l’emplacement de l’élément le plus petit
On doit regarder tous les éléments du tableau
Utilisation d’une boucle « pour »
On doit regarder s’ils sont plus petit que le minimum
Au départ il faut choisir un minimum…
Le premier élément du tableau à trier …
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Algorithme de Tri par sélection
Recherche de l’emplacement de l’élément le plus petit
minimum<-1
Pour i <- 2 à 10 faire
si t[i] < t[minimum] alors
minimum <-i
finsi
finPour
Échanger les éléments
tmp <- t[minimum]
t[minimum] <- t[i]
t[i] <- tmp
Refaire
pour
minimum
= 2 puis
3,…,N
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Algorithme de Tri par sélection
procédure triSelection (var A :Tableau))
Variables locales : i, j ,minimum, tmp : Entiers
Pour j <- 1 à longueur(A)-1 faire
minimum <- j
Pour i <- j+1 à longueur(A) faire
si t[i] < t[minimum] alors
minimum <- i
finsi
finPour
tmp <- t[minimum]
t[minimum] <- t[j]
t[j] <- tmp
finPour
finProcédure triSélection
Complexité en O(n2) dans
le meilleur, en moyenne et
au pire des cas